数值分析 第三章 函数逼近10-08
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数值分析讲义第三章 函数逼近
* n k
P ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
k
n2
b, s.t.
(充分性)：设[a, b]上至少有n 2个点a x1 x2 x P ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
一致逼近或 均匀逼近 均方逼近或 平方逼近
max a x b f ( x) P( x)
f ( x) P( x) 2
b
a
f ( x) P( x) dx
2
存在性问题： f(x)C[a,b], 是否存在
Pn(x) f(x)(uniformly)?
Th1. (Weierstrass定理)设f(x)C[a,b]， >0, 多项式P(x)， s.t. f ( x) P( x) 在[a,b]上一致成立。 Weierstrass,德，
3个重要推论
推论1
证
最佳逼近多项式唯一
设f ( x)有两个最佳逼近多项式P( x), Q( x), 则x [a, b] - En P( x) f ( x) En , - En - En Q( x) f ( x) En , P( x) Q( x) f ( x) En 2 P( x) Q( x) R( x) 也是f ( x)的最佳逼近多项式， 2 且R ( x) f ( x)的n 2个交错点组x1 x2 x n 2 满足 R ( xk ) f ( xk ) 1 En
k
En R( xk ) f ( xk )
P( xk ) f ( xk ) Q( xk ) f ( xk ) 2 2
(*)
P ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
k
n2
b, s.t.
(充分性)：设[a, b]上至少有n 2个点a x1 x2 x P ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
一致逼近或 均匀逼近 均方逼近或 平方逼近
max a x b f ( x) P( x)
f ( x) P( x) 2
b
a
f ( x) P( x) dx
2
存在性问题： f(x)C[a,b], 是否存在
Pn(x) f(x)(uniformly)?
Th1. (Weierstrass定理)设f(x)C[a,b]， >0, 多项式P(x)， s.t. f ( x) P( x) 在[a,b]上一致成立。 Weierstrass,德，
3个重要推论
推论1
证
最佳逼近多项式唯一
设f ( x)有两个最佳逼近多项式P( x), Q( x), 则x [a, b] - En P( x) f ( x) En , - En - En Q( x) f ( x) En , P( x) Q( x) f ( x) En 2 P( x) Q( x) R( x) 也是f ( x)的最佳逼近多项式， 2 且R ( x) f ( x)的n 2个交错点组x1 x2 x n 2 满足 R ( xk ) f ( xk ) 1 En
k
En R( xk ) f ( xk )
P( xk ) f ( xk ) Q( xk ) f ( xk ) 2 2
(*)
数值分析 第3章 函数逼近与曲线拟合
在[a, b]上一致成立 。
定理：设X为一个内积空间,u1,u2,…,un∈X,矩阵
(u1 , u1 ) (u2 , u1 ) (u1 , u2 ) (u2 , u2 ) G (u , u ) (u , u ) 2 n 1 n (un , u1 ) (un , u2 ) (un , un )
称为格拉姆矩阵,则G非奇异的充分必要条件是 u1,u2,…,un线性无关 。
• 4、 函数的内积 记区间[a,b]上所有连续函数的全体为C[a,b],
可以证明C[a,b]是一个线性空间,把所有次数不超
过n的多项式全体记为Pn,则 Pn是C[a,b]的子空间. 若(x),g(x)C[a,b],
则称
{
(2.2)
则称{k(x)}是[a,b]上带权(x)的正交函数族; 若Ak=1, 则称之为 标准正交函数族.
例如,三角函数族 1, cos x, sin x, cos2 x, sin 2 x, 就是区间
[ , ] 上的正交函数族.因为对
k 1,2,
有
(1,1) 2 , (sin kx, sin kx) (coskx, coskx)
2、函数空间 数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予 集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.
例如 Rn : n 维 向 量 空 间 ； Hn : 多 项 式 空 间 ； C [a , b ] : 数 域 R 上 的 线 性 空 间 ； C p [a , b] : 具 有p阶 连 续 导 数 的 函 数 空 ； 间
1 1 ( 0 , 0 ) ln dx ln xdx 1 0 0 x 1
( x, 0 )
数值分析第三章
a≤ x≤b b ∫a | f ( x ) | dx，
称为1 − 范数 , 称为 2 − 范数 .
(
b 2 ∫a f ( x )dx
)，
1 2
三、内积与内积空间
R n中向量x及y定义内积 : ( x, y ) = x1 y1 + L + x n y n .
定义3 上的线性空间， 定义3 设X是数域 K ( R或C)上的线性空间，对 ∀u, v ∈ X， 中一个数与之对应， 并满足条件： 有K中一个数与之对应，记 为( u, v )，并满足条件： (1) ( u,v ) = (v , u), ∀u,v ∈ X ; (2) (αu,v ) = α ( u,v ), α ∈ R; (3) ( u + v , w ) = ( u,w ) + (v,w ), ∀u,v,w ∈ X ; (4) ( u, u) ≥ 0, 当且仅当 u = 0时， , u) = 0. (u 则称( u, v )为X上的u与v的内积. 定义了内积的线性空间 称 的共轭， 为内积空间. (v , u)为( u,v )的共轭，当 K = R时 (v , u) = ( u,v ).
2)
j =1
∑ α ju j = 0 ⇔ ( ∑ α ju j , ∑ α ju j ) = 0
j =1 n j =1
n
n
n
⇔ ( ∑ α j u j , uk ) = 0, k = 1,L, n.
j =1
∴ G非奇异 ⇒ u1 , u2 ,L, un线性无关 (反证法 )；反之亦然 .
在内积空间X上可以由内积导出一种范数, 即对u ∈ X , 记 || u ||= (u , u )， Cauchy − Schwarz不等式得出. (1.10) 易证它满足范数定义的正定性和齐次性, 而三角不等式由
称为1 − 范数 , 称为 2 − 范数 .
(
b 2 ∫a f ( x )dx
)，
1 2
三、内积与内积空间
R n中向量x及y定义内积 : ( x, y ) = x1 y1 + L + x n y n .
定义3 上的线性空间， 定义3 设X是数域 K ( R或C)上的线性空间，对 ∀u, v ∈ X， 中一个数与之对应， 并满足条件： 有K中一个数与之对应，记 为( u, v )，并满足条件： (1) ( u,v ) = (v , u), ∀u,v ∈ X ; (2) (αu,v ) = α ( u,v ), α ∈ R; (3) ( u + v , w ) = ( u,w ) + (v,w ), ∀u,v,w ∈ X ; (4) ( u, u) ≥ 0, 当且仅当 u = 0时， , u) = 0. (u 则称( u, v )为X上的u与v的内积. 定义了内积的线性空间 称 的共轭， 为内积空间. (v , u)为( u,v )的共轭，当 K = R时 (v , u) = ( u,v ).
2)
j =1
∑ α ju j = 0 ⇔ ( ∑ α ju j , ∑ α ju j ) = 0
j =1 n j =1
n
n
n
⇔ ( ∑ α j u j , uk ) = 0, k = 1,L, n.
j =1
∴ G非奇异 ⇒ u1 , u2 ,L, un线性无关 (反证法 )；反之亦然 .
在内积空间X上可以由内积导出一种范数, 即对u ∈ X , 记 || u ||= (u , u )， Cauchy − Schwarz不等式得出. (1.10) 易证它满足范数定义的正定性和齐次性, 而三角不等式由
数值分析第3章
∫
b
a
x n ρ ( x)dx(n = 0,1,L) 存在且有限值 ;
(3)[a,b]非负连续函数g( x)若 )[a,b]非负连续函数 )[a,b]
∫
b
a
g ( x）ρ ( x)dx = 0，
则g( x) ≡ 0
则称其为区间[a,b]上的权函数. 上的权函数. 则称其为区间 上的权函数
11
3.2 正交多项式
定理对任意的f(x)∈C［a,b］，在 a,b］ 定理对任意的f(x)∈C［a,b］，在Pn［a,b］中 f(x)∈C ］， 都存在对f(x)的最佳一致逼近元，记为p (x)， f(x)的最佳一致逼近元 都存在对f(x)的最佳一致逼近元，记为p*n(x)，即
* f ( x ) − pn ( x ) ∞
•在Pn［a,b］中，是否存在一个元素pn(x)， 在 a,b］ 是否存在一个元素p (x)， 使不等式 ≤‖f(x)‖f(x)‖f(x)-p*n(x)‖∞≤‖f(x)-pn(x)‖∞ (1) 对任意的p a,b］成立? 对任意的pn(x)∈Pn［a,b］成立?
29
最佳逼近多项式 多项式的存在性 一、 最佳逼近多项式的存在性
定义1： 定义 ：设
f ( x ), g ( x ) ∈ c[a , b], 称 ∫ ρ ( x ) f ( x ) g ( x )dx为
b a
f(x),g(x)关于权 ρ ( x ) 的内积，记为 g). 关于权 内积，记为(f, 定义2 定义2 足
b
如果函数f(x), 上连续, 如果函数f(x), g(x) 在[a,b]上连续,满
= min max { f ( x ) − pn ( x )
pn ∈H n a ≤ x ≤b
《数值分析》第3讲：函数逼近与计算
想）
函数的逼近与计算
pn * ( x) ? 1、Chebyshev给出如下概念
设 f ( x) C[a,b], 如p果( x) Hn ,
f (x)
|
p( x0 )
f
(
x0
)
|
max
a xb
|
p( x)
f ( x) |
p4 0*(x)
则称 x是0 偏差点。
如果 p( x0 ) f ( x0 ) 则称 x是0 正偏差点。
b
2a
a0 (
x ) 0 (
x)k
(
x)dx
b
b
2a an( x)n( x)k ( x)dx 2a ( x) f ( x)k ( x)dx
即
I ak
2a0 0( x),k ( x) 2a11( x),k ( x)
2an n( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
函数的逼近与计算
则
1
1 1
2
n1
1 H 2
1 3
1 n2
1 n 1
1 n2
1 2n 1
例3.2 (P56)
已知 f ( x) 1 x2 C[0, 1], span{1, x}
则
1
(0 , 0 )
1dx 1,
0
(0 , 1)
1
1
xdx
0
2
(1, 0 )
1
1
xdx ,
▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数 新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的 定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。
函数的逼近与计算
函数的逼近与计算
pn * ( x) ? 1、Chebyshev给出如下概念
设 f ( x) C[a,b], 如p果( x) Hn ,
f (x)
|
p( x0 )
f
(
x0
)
|
max
a xb
|
p( x)
f ( x) |
p4 0*(x)
则称 x是0 偏差点。
如果 p( x0 ) f ( x0 ) 则称 x是0 正偏差点。
b
2a
a0 (
x ) 0 (
x)k
(
x)dx
b
b
2a an( x)n( x)k ( x)dx 2a ( x) f ( x)k ( x)dx
即
I ak
2a0 0( x),k ( x) 2a11( x),k ( x)
2an n( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
函数的逼近与计算
则
1
1 1
2
n1
1 H 2
1 3
1 n2
1 n 1
1 n2
1 2n 1
例3.2 (P56)
已知 f ( x) 1 x2 C[0, 1], span{1, x}
则
1
(0 , 0 )
1dx 1,
0
(0 , 1)
1
1
xdx
0
2
(1, 0 )
1
1
xdx ,
▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数 新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的 定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。
函数的逼近与计算
《函数的数值逼近》PPT课件
（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的P(x) 存在，如何构造P(x)？ （3）如何估计用P (x)近似替代 f ( x) 产生的误差？
精选课件ppt
7
2、插值多项式的存在唯一性
定理 若插值结点 x0,x1,…, xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件 P(xk)= yk (k = 0,1,…,n)
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10
§2 代数多项式插值
一、线性插值与抛物线插值
1. 线性插值(n =1)
设已知区间[ xk , xk+1]端点处的函数值yk= f (xk)，yk+1 = f (xk+1)，
求线性插值多项式L 1(x ) ，使其满足
L1 ( xk ) yk
L1
(
xk
1
)
yk 1
x 0 xk
y = L1(x)
P(x) = a0 + a1 x + ⋯ + an xn
则称P( x)为n 次插值多项式. 相应的插值法称为多项式插 值法(代数插值法)。
x
y = f (x) •
(xi, yi)
y = P(x) 曲线 P ( x)
近似 f ( x)
0 a=x0 x1 x2 x3
xn=b y
精选课件ppt
6
研究问题：
构造法：
先求 插值基函数l k-1(x), l k (x), l k+1(x) (二次函数), 满足：
lk1(xk1)1, lk1(xk)lk1(xk1)0;
lk(xk)1,
lk(xk1)lk(xk1)0;
(4)
lk1(xk1)1, lk1(xk1)lk1(xk)0,
精选课件ppt
7
2、插值多项式的存在唯一性
定理 若插值结点 x0,x1,…, xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件 P(xk)= yk (k = 0,1,…,n)
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§2 代数多项式插值
一、线性插值与抛物线插值
1. 线性插值(n =1)
设已知区间[ xk , xk+1]端点处的函数值yk= f (xk)，yk+1 = f (xk+1)，
求线性插值多项式L 1(x ) ，使其满足
L1 ( xk ) yk
L1
(
xk
1
)
yk 1
x 0 xk
y = L1(x)
P(x) = a0 + a1 x + ⋯ + an xn
则称P( x)为n 次插值多项式. 相应的插值法称为多项式插 值法(代数插值法)。
x
y = f (x) •
(xi, yi)
y = P(x) 曲线 P ( x)
近似 f ( x)
0 a=x0 x1 x2 x3
xn=b y
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6
研究问题：
构造法：
先求 插值基函数l k-1(x), l k (x), l k+1(x) (二次函数), 满足：
lk1(xk1)1, lk1(xk)lk1(xk1)0;
lk(xk)1,
lk(xk1)lk(xk1)0;
(4)
lk1(xk1)1, lk1(xk1)lk1(xk)0,
数值分析第3章函数逼近和快速傅立叶变换
数值分析第3章函数逼近和快速傅立叶变换第3章的内容主要涉及函数逼近和快速傅立叶变换。
函数逼近是指通过一系列已知数据点来估计一个函数的近似值。
快速傅立叶变换是一种高效计算连续傅立叶变换的方法。
函数逼近是数值分析中一项重要任务，它涉及到通过一组已知数据点来估计一个未知函数的值。
常用的函数逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近和样条函数逼近。
多项式逼近是利用一组已知数据点来构造一个多项式，使得该多项式在这些数据点上的值与已知数据点的值尽可能接近。
多项式逼近的基本思想是利用多项式的线性组合来近似未知函数，通过最小化误差函数来确定逼近多项式的系数。
多项式逼近的优点是简单易实现，但是当数据点较多或者函数较复杂时，多项式逼近的结果可能不够精确。
三角函数逼近是利用三角函数的线性组合来近似未知函数。
三角函数逼近的基本思想是利用三角函数的周期性来估计未知函数的值。
通过最小化误差函数来确定逼近三角函数的系数。
三角函数逼近适用于具有周期性的函数，在信号处理和图像处理中得到广泛应用。
样条函数逼近是利用多个局部的插值多项式来逼近未知函数。
样条函数逼近的基本思想是将整个待逼近区间分成多个子区间，每个子区间内使用一个插值多项式来逼近未知函数。
通过最小化误差函数来确定样条函数的系数。
样条函数逼近适用于具有较强光滑性的函数，在计算机图形学和计算机辅助设计领域得到广泛应用。
快速傅立叶变换（FFT）是一种高效计算连续傅立叶变换的方法。
傅立叶变换可以将一个连续函数分解成若干个正弦和余弦函数的和，它在信号处理、图像处理和通信等领域有着重要应用。
传统的傅立叶变换算法的时间复杂度为O(n^2)，而快速傅立叶变换算法的时间复杂度为O(nlogn)，能够极大地提高计算效率。
快速傅立叶变换的基本思想是将一个长度为n的序列分解成两个长度为n/2的序列，通过递归地进行这种分解，最终得到长度为1的序列。
然后再通过合并各个子问题的解来得到原始序列的傅立叶变换。
数值分析 逼近
.. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. .
数值逼近
数值分析
5/88
Rn 上三种常用范数 ∥x∥∞ = max{|xi|} ∥x∥1 = |x1| + · · · + |xn| ( )1/2 2 2 ∥x∥2 = |x1| + · · · + |xn|
. 第三章 函数逼近 . . §1 基本概念 . . 一 . 、函数逼近与函数空间 在数值计算中经常要计算函数值。 1. 当函数只在有限个点集给定函数值， 要在包含该点集的区间用公式给出表达 式； 2. 用简单函数逼近复杂函数。
.. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. .
性质 1. {φn}∞ n=0 是首项系数为 1 的正交多项 式。
.. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. .
数值逼近
数值分析
16/88
2.Hn = span{φ0(x), φ1(x), · · · , φn(x)}， φ0(x), φ1(x), · · · , φn(x) 是正交基。 3.φn(x)(n ≥ 1) 与任何次数小于 n 的多项 式 P (x) ∈ Hn−1 正交。 4.φn(x)(n ≥ 1) 在区间 (a, b) 内有 n 个不 同零点。
数值逼近
数值分析
5/88
Rn 上三种常用范数 ∥x∥∞ = max{|xi|} ∥x∥1 = |x1| + · · · + |xn| ( )1/2 2 2 ∥x∥2 = |x1| + · · · + |xn|
. 第三章 函数逼近 . . §1 基本概念 . . 一 . 、函数逼近与函数空间 在数值计算中经常要计算函数值。 1. 当函数只在有限个点集给定函数值， 要在包含该点集的区间用公式给出表达 式； 2. 用简单函数逼近复杂函数。
.. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. .
性质 1. {φn}∞ n=0 是首项系数为 1 的正交多项 式。
.. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. .
数值逼近
数值分析
16/88
2.Hn = span{φ0(x), φ1(x), · · · , φn(x)}， φ0(x), φ1(x), · · · , φn(x) 是正交基。 3.φn(x)(n ≥ 1) 与任何次数小于 n 的多项 式 P (x) ∈ Hn−1 正交。 4.φn(x)(n ≥ 1) 在区间 (a, b) 内有 n 个不 同零点。
数值分析--第3章 函数逼近和快速傅里叶变换-文档资料
则称 x1, , xn 线性相关. 否则，若等式(1.1)只对 成立， 0 1 2 n
, xn线性无关. 则称 x 1,
2019/2/17 课件 6
若线性空间 S是由 n 个线性无关元素 x1, , xn 生成的，
x S 都有 x x x 1 1 n n
, xn 称为空间 S 则 x1, 的一组基，记为
S span { x , , x } 1 n
并称空间 S 为n 维空间，系数 称为 x 在基 , 1, n
, , x1, , xn下的坐标， 记作 ( 1 n).
如果 S中有无限个线性无关元素 x , ,x , 则称 S 1 n, 为无限维线性空间.
n
的一组基，故
n H span { 1 , x , , x }, n
a ,a , ,a )是 p ( x ) 的坐标向量，H n 是 n 1 维的. 且( 0 1 n
2019/2/17
课件
8
对连续函数 f( ，它不能用有限个线性无关的 x ) C [ a , b ] 函数表示，故 C[a, b] 是无限维的，但它的任一元素 f ( x)
( x ) span { ( x ), ( x ), , ( x )} C [ a , b ]
0 1 n
可表示为
( x ) a ( x ) a ( x ) a ( x ). （1.4）
0 0 1 1 n n
*
*
函数逼近问题就是对任何 f( ， x ) C [ a , b ] 在子空间Φ
个代数多项式 p ( x ) ， 使
在 [ a , b ] 上一致成立. 伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明. 他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式
数值分析第3章108页
3.1 函数逼近的基本概念
3.1.1 函数逼近与函数空间
问题 1、数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算 基本初等函数及其他特殊函数；
2、当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式.
这些都涉及到在区间 [上a, b用] 简单函数逼近已知复杂 函数的问题， 这就是函数逼近问题.
称为连续函数空间.
2
函数类B通常为 n次多项式，有理函数或分段低次多项 式等.
数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为 赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.
例如将所有实 n维向量组成的集合，按向量加法及向量 与数的乘法构成实数域上的线性空间， 记作 R n ，称为 n维 向量空间.
9
定义2 设 S为线性空间，xS，若存在唯一实数‖·‖， 满足条件：
（1） x 0, 当且仅当 x 0 时，x 0; （正定性）
（2） xx, R;
(齐次性)
（3） xyxy, x,y S . (三角不等式)
则称‖·‖为线性空间 S上的范数，S与‖·‖一起称为赋范
线性空间，记为 X .
10
例如，在 R n上的向量 x (x1,,xn)T R n,三种常 用范数为
，
n
其元素
p(x)Hn 表示为
p (x ) a 0 a 1 x a n x n ,
（1.2）
它由n 1个系数(a0,a1,,an) 唯一确定.
1, x, , xn 是线性无关的，它是 H n 的一组基，故
H nspan{ 1 ,x,L,xn},
且 (a0,a1,,an)是 p( x) 的坐标向量，H n 是 n 1维的.
满足‖·‖∞ =1 ，即 max1 x ,x{ 2}1 的向量为单位正 方形，
3.1.1 函数逼近与函数空间
问题 1、数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算 基本初等函数及其他特殊函数；
2、当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式.
这些都涉及到在区间 [上a, b用] 简单函数逼近已知复杂 函数的问题， 这就是函数逼近问题.
称为连续函数空间.
2
函数类B通常为 n次多项式，有理函数或分段低次多项 式等.
数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为 赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.
例如将所有实 n维向量组成的集合，按向量加法及向量 与数的乘法构成实数域上的线性空间， 记作 R n ，称为 n维 向量空间.
9
定义2 设 S为线性空间，xS，若存在唯一实数‖·‖， 满足条件：
（1） x 0, 当且仅当 x 0 时，x 0; （正定性）
（2） xx, R;
(齐次性)
（3） xyxy, x,y S . (三角不等式)
则称‖·‖为线性空间 S上的范数，S与‖·‖一起称为赋范
线性空间，记为 X .
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例如，在 R n上的向量 x (x1,,xn)T R n,三种常 用范数为
，
n
其元素
p(x)Hn 表示为
p (x ) a 0 a 1 x a n x n ,
（1.2）
它由n 1个系数(a0,a1,,an) 唯一确定.
1, x, , xn 是线性无关的，它是 H n 的一组基，故
H nspan{ 1 ,x,L,xn},
且 (a0,a1,,an)是 p( x) 的坐标向量，H n 是 n 1维的.
满足‖·‖∞ =1 ，即 max1 x ,x{ 2}1 的向量为单位正 方形，
数值分析第二次作业答案answer2
S4 = 0.11157238253891，S8 = 0.11157181325263。 同学们根据自己理解计算 S4 ，S8 都可。 复合梯形公式和复合 Simpson 公式的代码已重复多次，同学们自己整 理。 3. 用 Simpson 公式计算积分 误 差 为 |R(f )| = | − η ∈ (0, 1)。 4. 推导下列三种矩形求积公式： ∫b f (x)dx ∫a b f (x)dx ∫a b a f (x)dx = (b − a)f (a) + = (b − = (b −
14.7 53.63 从而 a = −7.855048，b = 22.25376。 2. 已知实验数据如下： 。 xi 19 25 31 38
44
yi 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 用最小二乘法求形如 y = a + bx2 的经验公式。 答案：两个待定常数，只能两个 φ。 φ0 ，φ1 也必须形如 y = a + bx2 。 可设 φ0 = 1，φ1 = x2 。法方程为： ( 5 5327 )( a b ) = ( 271.4 369321.5 )
第三章 函数逼近 1. 观测物体的直线运动，得出以下数据： 时间 t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离 s(m) 0 求运动方程。 ( 10 φ0 = 1，φ1 = t。法方程为： 6 14.7 )( a b ) = ( 280 1078 )
6
1. 用 LU 分解及列主元高斯消去法解线性方程组 8 10 −7 0 1 x1 −3 2.099999 6 2 x 5.900001 2 = 5 5 − 1 5 − 1 x 3 x4 1 2 1 0 2 输出 Ax = b 中系数 A = LU 分解的矩阵 L 及 U ，解向量 x 及 det A；列 主元法的行交换次序，解向量 x 及 det A；比较两种方法所得的结果。 代码： A=[10,-7,0,1;-3,2.099999,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2]; b=[8,5.900001,5,1]'; x=A\b;x(1) 结果：1.7764e-016 LU分解代码： A=[10,-7,0,1;-3,2.099999,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2]; b=[8,5.900001,5,1]'; [m,n] = size(A); if m~=n, error('A matrix needs to be square'); end for i=1:n-1 pivot = A(i,i); if abs(pivot)<50*eps, error('zero pivot encountered'); end for k = i+1:n A(k,i) = A(k,i)/pivot; A(k,i+1:n) = A(k,i+1:n) - A(k,i)*A(i,i+1:n); end end 7
第三章 函数逼近与计算
三、常用的度量标准：
(一) 最佳一致逼近
若以函数f (x)和P(x)的最大误差
max f x P x
x a ,b
f x P x
作为度量误差 f (x) － P (x) “大小”的标 在这种意义下 准, 的函数逼近称为最佳一致逼近或均匀逼近。
(二) 最佳平方逼近：
.
2、最小偏差
定义
若记集合的下确界为
En inf f , P inf max f n
P H n n P H n n a x b
x Pn x
则称 E n 为 f x 在 a , b 上的最小偏差。
3、偏差点
定义 设 f x C a , b , P x H n , 若在 x x 0 上有
解得
x2 2 1 2 0 .4 5 5 1, f
x2
1 x 2 1 .0 9 8 6 .
由 a0
f a f x2 2
1
2
f b f a a x2 ba
a1 x2 2
.
得
2
0 .9 5 5 ,
a0
1 x2 2
推论3
设 f x 是区间 a , b 上的连续函数， f x 的 则
n 次最佳一致逼近多项式是 f x 的某个 n 次插值多
项式。
七、一次最佳逼近多项式 n 1
1、推导过程
设
f
f
x C a , b ，且
2f Leabharlann x 在 a , b 内不变号， 要求
1
数值分析—第3章函数逼近与数据拟合法
j 0
称为广义多项式。
数值分析
三、函数的最佳平方逼近 对于给定的函数 f ( x) C[a, b] 如果存在 使
* ( x) Span 0 , 1 , , n } {
b
a
( x) f ( x) ( x) dx min
* 2
( x ) a
mn mn0 mn0
(2) 递推关系
相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式： T0 ( x ) 1, T1 ( x ) x (n 1, 2, ) Tn1 ( x ) 2 x Tn ( x ) Tn1 ( x ) Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。
连续函数在[a, b]上线性无关的充分必要条件是它们 的Gramer行列式Gn 0，其中
( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , n ) G n G n ( 0 , 1 , , n ) (1 , 0 ) (1 , 1 ) (1 , n ) ( n , 0 ) ( n , 1 ) ( n , n )
(n 1, 2, )
(3) 奇偶性： 当n为偶数时，Pn (x)为偶函数； 当n为奇数时，Pn (x)为奇函数。 (4) Pn (x)的n个零点都是实的、相异的，且全
部在区间[-1, 1]内部。
数值分析
2．切比雪夫(Tchebyshev)多项式 称多项式
Tn ( x) cos(narc cos x)
Span{ 0 , 1 , , n }
并称 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是生成集合的一个基底。 设函数系{
0 ( x), 1 ( x), , n ( x) ，…}线性无关，
称为广义多项式。
数值分析
三、函数的最佳平方逼近 对于给定的函数 f ( x) C[a, b] 如果存在 使
* ( x) Span 0 , 1 , , n } {
b
a
( x) f ( x) ( x) dx min
* 2
( x ) a
mn mn0 mn0
(2) 递推关系
相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式： T0 ( x ) 1, T1 ( x ) x (n 1, 2, ) Tn1 ( x ) 2 x Tn ( x ) Tn1 ( x ) Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。
连续函数在[a, b]上线性无关的充分必要条件是它们 的Gramer行列式Gn 0，其中
( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , n ) G n G n ( 0 , 1 , , n ) (1 , 0 ) (1 , 1 ) (1 , n ) ( n , 0 ) ( n , 1 ) ( n , n )
(n 1, 2, )
(3) 奇偶性： 当n为偶数时，Pn (x)为偶函数； 当n为奇数时，Pn (x)为奇函数。 (4) Pn (x)的n个零点都是实的、相异的，且全
部在区间[-1, 1]内部。
数值分析
2．切比雪夫(Tchebyshev)多项式 称多项式
Tn ( x) cos(narc cos x)
Span{ 0 , 1 , , n }
并称 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是生成集合的一个基底。 设函数系{
0 ( x), 1 ( x), , n ( x) ，…}线性无关，
第三章函数逼近和曲线拟合
则称 x1, x2 ,..., xn 为空间S的一组基，记为：
S=span{ x1,..., xn}
并称该空间为n维空间。1,2 ,...,n P
称为x在这组基下的坐标。 例：n次多项式
p(x) Hn , p(x)=a0 + a1x ... an xn Hn span{1, x, x2 ,..., xn}
4
11
4.5
12
4.6
强 度 yi 编 号 拉伸倍数 xi
1.4
13
5
1.3
14
5.2
1.8
15
6
2.5
16
6.3
2.8
17
6.5
2.5
18
7.1
3
19
8
2.7
20
8
4
21
8.9
3.5
22
9
4.2
23
9.5
3.5
24
10
强 度 yi
5.5 5
5.5
6.4 6
5.3 6.5
7 8.5
8 8.1 8.1
6
内积与内积空间 定义3：设X为数域K（R或C）上的线性空
间，满足条件：
u, v X , k (u, v) K, st.
(1) (u, v) (v, u)
(2) (u, v) (u, v), for K
(3) (u v, w) (u, w) (v, w), for w X
(4) (u, u) 0, u 0 iff (u, u) 0
存在唯一实数 g ，满足条件：
(1) x 0; x 0 iff x 0
(2) x x , R
(3) x y x y , x, y R
S=span{ x1,..., xn}
并称该空间为n维空间。1,2 ,...,n P
称为x在这组基下的坐标。 例：n次多项式
p(x) Hn , p(x)=a0 + a1x ... an xn Hn span{1, x, x2 ,..., xn}
4
11
4.5
12
4.6
强 度 yi 编 号 拉伸倍数 xi
1.4
13
5
1.3
14
5.2
1.8
15
6
2.5
16
6.3
2.8
17
6.5
2.5
18
7.1
3
19
8
2.7
20
8
4
21
8.9
3.5
22
9
4.2
23
9.5
3.5
24
10
强 度 yi
5.5 5
5.5
6.4 6
5.3 6.5
7 8.5
8 8.1 8.1
6
内积与内积空间 定义3：设X为数域K（R或C）上的线性空
间，满足条件：
u, v X , k (u, v) K, st.
(1) (u, v) (v, u)
(2) (u, v) (u, v), for K
(3) (u v, w) (u, w) (v, w), for w X
(4) (u, u) 0, u 0 iff (u, u) 0
存在唯一实数 g ，满足条件：
(1) x 0; x 0 iff x 0
(2) x x , R
(3) x y x y , x, y R
数值分析函数逼近与曲线拟合
y
f (x)
P1 ( x)
E1
a
x2
bx
最佳一次逼近多项式例题1(继续)
最佳一次逼近多项式例题2(返回)
切比雪夫定理图示(定理)
E2
P2 (x) f (x)
E3
E4
P4 (x) f (x)
P3 (x) f (x)
最佳平方逼近问题(返回)
法方程的建立(特例)
C[0,1]上的最佳平方逼近(例题)
C[0,1]上的最佳平方逼近例题(返回)
用正交函数做最佳平方逼近(返回)
最佳平方逼近多项式(例题)
最佳平方逼近多项式例题(返回)
线性模型例题(返回)
线性模型图例(返回)
指数模型例题(返回)
指数模型图例(返回)
双曲模型图例(返回)
S-曲线模型图例(返回)
§3.6最佳平方三角逼近与FFT(返回)
§3.2 正交多项式(返回)
正交函数族与正交多项式 正交多项式的性质 勒让德(Legendre)多项式 切比雪夫(Chebyshev)多项式 其他正交多项式
§3.3 最佳一致逼近多项式(返回)
偏差与偏差点 最佳一致逼近多项式 切比雪夫定理 最佳一致逼近多项式的构造 最佳一次逼近多项式
T0
T0
T3
T2 T3
TT11
T2
偏差与偏差点(返回)
最佳一致逼近多项式(返回)
切比雪夫定理(返回)
最佳一致逼近 多项式的构造(例题)
切比雪夫多项式 与零的偏差(定理)
最佳一致逼近例题(继续)
最佳一致逼近例题(返回)
最佳一次逼近多项式(例题)
最佳一次逼近多项式图示(返回)
哈尔(Haar)条件(法方程)
f (x)
P1 ( x)
E1
a
x2
bx
最佳一次逼近多项式例题1(继续)
最佳一次逼近多项式例题2(返回)
切比雪夫定理图示(定理)
E2
P2 (x) f (x)
E3
E4
P4 (x) f (x)
P3 (x) f (x)
最佳平方逼近问题(返回)
法方程的建立(特例)
C[0,1]上的最佳平方逼近(例题)
C[0,1]上的最佳平方逼近例题(返回)
用正交函数做最佳平方逼近(返回)
最佳平方逼近多项式(例题)
最佳平方逼近多项式例题(返回)
线性模型例题(返回)
线性模型图例(返回)
指数模型例题(返回)
指数模型图例(返回)
双曲模型图例(返回)
S-曲线模型图例(返回)
§3.6最佳平方三角逼近与FFT(返回)
§3.2 正交多项式(返回)
正交函数族与正交多项式 正交多项式的性质 勒让德(Legendre)多项式 切比雪夫(Chebyshev)多项式 其他正交多项式
§3.3 最佳一致逼近多项式(返回)
偏差与偏差点 最佳一致逼近多项式 切比雪夫定理 最佳一致逼近多项式的构造 最佳一次逼近多项式
T0
T0
T3
T2 T3
TT11
T2
偏差与偏差点(返回)
最佳一致逼近多项式(返回)
切比雪夫定理(返回)
最佳一致逼近 多项式的构造(例题)
切比雪夫多项式 与零的偏差(定理)
最佳一致逼近例题(继续)
最佳一致逼近例题(返回)
最佳一次逼近多项式(例题)
最佳一次逼近多项式图示(返回)
哈尔(Haar)条件(法方程)
数值分析实验三 函数的数值逼近
数值分析实验三函数的数值逼近-插值与曲线拟合一、实验目的（一）学习MATLAB中多项式的表示及多项式运算（二）学习用典型的插值和拟合方法求函数的近似值或近似表达式（三）掌握拉格朗日、牛顿插值法的基本理论及MATLAB实现，解决一些实际问题。
二、实验内容（一）多项式表示及运算1、在MATLAB命令窗口中输入以下语句，观察结果，分析语句功能（1）p=[1,-5,6,-33]，poly2sym(p)（2）syms xf=4*x^3+6*xsym2poly(f)分析函数poly2sym和sym2poly的功能。
2、多项式运算在MATLAB命令窗口中输入以下语句，观察结果p=[3,2,1]; a=1:2:5;polyval (p,a)，分析函数polyval功能（二）拉格朗日插值法、Newton插值理论的MATLAB实现Lagrange插值的参考程序：X=[];Y=[]; %X,Y存放已知数据点syms x sn=length(X);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(x-X(j))/(X(k)-X(j));endends=s+p*Y(k);ends; s=simplify(s);Newton插值的参考程序：X= [];Y= [];n=length(X);for i=1:1:n-1CS(i,1)=(Y(i+1)-Y(i))/(X(i+1)-X(i));endfor j=2:1:n-1for i=j:1:n-1CS(i,j)=(CS(i,j-1)-CS(i-1,j-1))/(X(i+1)-X(i+1-j));endendsyms N x bN=Y(1);a=0;b=(x-X(1));for i=1:1:n-1a=CS(i,i);N=N+a*(b);b=(b)*(x-X(i+1));endfprintf('插值多项式为')N用Lagrange或Newton插值完成课本P48 第2题, P34例5，P28 例2. （三）函数拟合理论的MATLAB实现1、多项式拟合的MATLAB实现（1）学习多项式拟合函数polyfit的使用，其调用格式为：p=polyfit(x,y,n)其中，参数x代表已知数据点自变量组成的向量；参数y代表已知数据点函数值组成的向量；参数n代表所求得拟合多项式系数向量；参数p代表拟合多项式的次数。
数值分析_第三章_函数逼近与计算
有二个交错点组 ， 故 P（ x） ＝ （ M ＋ m）／２ 即为所求 畅 １］ 上不变号 ５畅 解 设 f （ x） ＝ x ，P１ （ x） ＝ ax ．f″（ x） 在 ［０ ， 且连续 ，P１ （ x） 是 f （ x） 的最佳一次逼近式 畅 因 ［ f′（ x） － P′１ （ x）］ ＝ ３ x － a 在区间内只有一个零点 （这是
３
（２） 对 f （ x） ＝ sin x 在 ０ ，
π 上求一次和三次 Bernsten 多项 ２
（２） 当 f （ x） ＝ x 时 ，Bn （ f ，x） ＝ x ．
最佳一致逼近多项式 畅
唯一 ？ ６畅 求 f （ x） ＝ sin x 在 ０ ， 计误差 畅
x
π 上的最佳一次逼近多项式 ， 并估 ２
＋
８ ３ ６ ３ ２ １ － ２ t ＋ ３t t ２ π π π
相应的 M aclaurin 级数为 比较误差 ： ‖ ２ t － sin t ‖ π
∞
２ ３ ３ １ ６ t ＋ ２ （ ３ － ２） t ＋ ３ （２０ － １２ ３） t ． t ≈ t － ＝ maxπ
∫
１ ０
x d x 的上界 ，并用 １ ＋ x
６
积分中值定理估计同一积分的上下界 ， 并比较其结果 畅 １９畅 选择 a ， 使下列积分取得最小值 ：
上求一元素 ， 使其为 x ∈ C［０ ， １］ 的最佳平方逼近 ， 并比较其结果
２
２０畅 设 Φ１ ＝ span（１ ，x） ，Φ２ ＝ span（ x
０ ≤ t≤ ２
t ． ３！
３
２ t － sin t π
＝ １１０
２ ２ ２ arccos － sinarccos π π π
数值分析第三章函数逼近与 曲线拟合习题答案
6。对，定义 问它们是否构成内积。 解： 令（C为常数，且） 则 而 这与当且仅当时，矛盾 不能构成上的内积。 若，则 ,则 若，则 ,且 即当且仅当时，. 故可以构成上的内积。 7。令，试证是在上带权的正交多项式，并求。 解： 若，则 令，则，且，故 又切比雪夫多项式在区间上带权正交，且 是在上带权的正交多项式。 又 8。对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式 解： 若，则区间上内积为 定义，则 其中 9。试证明由教材式给出的第二类切比雪夫多项式族是上带权的正交多 项式。 证明： 若 令，可得 当时， 当时， 又，故 得证。 10。证明切比雪夫多项式满足微分方程 证明：
若 且，则 则法方程组为 解得 故关于的最佳平方逼近多项式为 17。求函数在指定区间上对于的最佳逼近多项式： 解： 若 且，则有 则法方程组为 从而解得 故关于的最佳平方逼近多项式为 若 且，则有 则法方程组为 从而解得 故关于的最佳平方逼近多项式为 若 且，则有 则法方程组为 从而解得 故关于的最佳平方逼近多项式为 若 且则有 则法方程组为 从而解得 故关于最佳平方逼近多项式为 18。，在上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。 解： 按勒让德多项式展开 则 从而的三次最佳平方逼近多项式为 19。观测物体的直线运动，得出以下数据：
切比雪夫多项式为 从而有 得证。 11。假设在上连续，求的零次最佳一致逼近多项式？ 解： 在闭区间上连续 存在，使 取 则和是上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。 由切比雪夫定理知 P为的零次最佳一致逼近多项式。 12。选取常数，使达到极小，又问这个解是否唯一？ 解： 令 则在上为奇函数 又的最高次项系数为1，且为3次多项式。 与0的偏差最小。 从而有 13。求在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。 解： 于是得的最佳一次逼近多项式为 即 误差限为 14。求在上的最佳一次逼近多项式。 解： 于是得的最佳一次逼近多项式为 15。求在区间上的三次最佳一致逼近多项式。 解： 令，则 且 令，则 若为区间上的最佳三次逼近多项式应满足 当 时，多项式与零偏差最小，故 进而，的三次最佳一致逼近多项式为，则的三次最佳一致逼近多项式为 16。，在上求关于的最佳平方逼近多项式。 解：
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14
, n, s.t.
推论3
f ( x)在[a, b]上有n 1阶导数，且f ( n1) ( x)在[a, b]上保号(恒正恒负)， 则区间端点a, b必属于切比雪夫交错点组
证：设交错点组的个数超过n+2个,或者a(或b)不属于交错点 组，都将导致R(x)=f(x)-P(x)在开区间(a,b)内至少有n+1个点
k
x
Pn* ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
x
k
n2
b, s.t.
(充分性)：设[a, b]上至少有n 2个点a x1 x2 Pn ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
则
3
2.
类似地，
4
赋范线性空间
定义（赋范线性空间） 设 E 是实数域（或复数域）K
按一定 x E 实数 x 0 ，且满足下列 上的线性空间。若 规则
三条（ 范数公理） （1）正定性： x 0,当且仅当x 0时, x 0 （2）齐次性： x x （3）三角不等式 x, y E, 有 x y x y 则称实数 x 为 x 的范数，称 E 为赋范线性空间，记作
k
12
En R( xk ) f ( xk )
P( xk ) f ( xk ) Q( xk ) f ( xk ) 2 2
(*)
P( xk ) f ( xk ) En Q ( xk ) f ( xk ) En 而 ， 2 2 2 2 P( x ) f ( xk ) Q( xk ) f ( xk ) E 当且仅当 k n 时(*)成立 2 2 2 P( xk ) Q( xk ) P( x) Q( x)有n 2个根，而P( x) Q ( x)是不超过n次的多项式。 矛盾
切比雪夫 交错点组
n2
b, s.t.
切比雪夫定理 *
(反证)设Pn*不是最佳逼近多项式，则有Pn* ( x) Q( x) H n , s.t. max a x b Q( x) f ( x) max a xb Pn* ( x) f ( x)
* Pn* ( x) Q( x) P n ( x) f ( x) Q ( x ) f ( x )
则x [a, b], 有 En 2h Pn* ( x) f ( x) En En h Pn* ( x) h f ( x) En h Pn* ( x) h f ( x) En h Pn* ( x) h 与f ( x)的偏差小于En，与En是最小偏差矛盾
最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题
6
Def1
偏差和最小偏差
( f , Pn ) 0 偏差有下界 0
P n ( x) Hn , ( f , P n)
f P n
maxaxb f ( x) P n ( x)
称为f(x)与 Pn ( x) 在[a,b]上的偏差。
En
inf PnHn ( f , P maxaxb f ( x) P n ) inf P n ( x) n Hn
所有偏差的下确界 En 0 最小偏差有下界0
* n
称为f(x)在[a, b]上的最小偏差
Def2
if P ( x) Hn , s.t. ( f , P ) En
* n
称为f(x)在[a, b]上的最佳一致逼近多项式或最小偏 差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。
7
最佳逼近多项式的存在性?
令 R( x) P 1 ( x ) f ( x ), 则必有R ( x2 ) 0， 又 R( x) f ( x), 即 R( x)在[a, b]上不变号， 故R( x)单调，因此R( x) a1 - f ( x)在( a, b)内只有一个零点x2， 即 R( x2 ) a1 - f ( x2 ) 0 a1 f ( x2 )
E, 或 E 。
5
§2 最佳一致逼近多项式 一、问题描述：切比雪夫(俄)从另一观点研究一致逼 近问题，不是让多项式次数n,而是固定n. Hn={次数不超过(≤)n的代数多项式}C[a, b], {1, x, …, xn}构成它的一组基，Hn =span{1, x, …, xn}.
P n ( x) Hn , P n ( x) a0 a1 x
* 说明： 1. 1 的取法： 若P ； n ( x1 ) f ( x1 ) 0, 1; 否则 1
2. Pn* ( x)在[a, b]上是f ( x)的最佳逼近多项式， Pn* ( x)在[a, b]的一个子区间上不一定是f ( x)的最佳逼近多项式
3个重要推论
推论1
an xn , ai R
f ( x) C[a, b], 求Pn* ( x ) H n , s.t . f ( x) P ( x) min Pn H n f ( x ) Pn ( x ) ,
* n
即 max a xb f ( x) Pn* ( x ) min Pn H n max a x b f ( x ) Pn ( x )
在点x1 x2
x n 2 上的符号与Pn* ( x) f ( x)一致 x n 2 上轮流取, 11
Pn* ( x) Q( x)也在点x1 x2
Pn* ( x) Q( x)有n 1个零点 (在(a,b)内)
* P n ( x ) Q ( x ) 0是不超过n次的多项式，其零点个数不超过 必要性证明见北大、吉大、南大合编的“计算方法” P.67 n. 矛盾
Approximation_introduction
第三章 函数逼近
§1 引言 问题提出：f(x)C[a,b]
插值法是函数逼近的一种重要方法，在插值节点上准确 逼近。高次插值光滑性好，但不一定收敛，分段低次插值 一致收敛，但光滑性差。 当xx0时，可用Taylor展开逼近， ( n ) f x0 n f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) x x0 x x0 n! 当|x-x0|较大时，逼近误差很大。光滑性好，但需知道导 数值，且收敛范围有限，收敛速度很慢。 寻找一种新的逼近函数，简单、光滑性好，例如多项式， 且能“均匀的”逼近f(x). 1
9
同理可证只有负偏差没有正偏差也是不成立的
几何 解释
曲线y=p(x)在[a,b]上总是位于y=f(x)+En与y=f(x)-En形成 的带形之间，且与这两条曲线至少各接触一次。
10
Pn* ( x) H n , Pn* ( x)是最佳逼近多项式
Chebyshov,1859
Th4
证
Pn* ( x)在[a, b]上至少有n 2个轮流为 , 的偏差点, 即有n 2个点a x1 x2
一致逼近或 均匀逼近 均方逼近或 平方逼近
max a x b f ( x) P( x)
f ( x) P( x) 2
b
a
f ( x) P( x) dx
2
存在性问题： f(x)C[a,b], 是否存在
Pn(x) f(x)(一致)?
2
Th1. (Weierstrass定理)设f(x)C[a,b]， >0, 多项式P(x)， Weierstrass,德， s.t. f ( x) P( x) 在[a,b]上一致成立。 1885年提出， 时年70岁； 注: 1912年Bernstein (俄)证明 1.设f(x)C[0,1], P(x)=
分析：由推论3，a, b均属于交错点组。 由Th4知，至少有三个交错点 a x1 x2 x3 b , s.t.
P 1 ( xk ) f ( xk ) 1 max a x b P 1 ( x ) f ( x ) ， 1, k 1, 2,3
k
16
Th2
f ( x) C[a, b], there must exist a polynomial Pn* ( x) H n , s.t. ( f , Pn* ) En
如何求最佳逼近多项式?来自二、最佳逼近多项式的特性和切比雪夫定理
偏差点
Def 3
Pn ( x) H n , there must exist x0 [a, b], s.t. f ( x0 ) Pn ( x0 ) max a x b f ( x) Pn ( x)
15
特例1
一次最佳逼近多项式
* Th4给出了最佳逼近多项式的特性，但要求出 P n ( x) 却相当困难。现讨论n=1的情形。
设f ( x) C 2 [a, b], 且f ( x)在[a, b]上保号，在H1(线性函数类)中寻求 最佳一次逼近多项式 P 1 ( x) a0 a1 x, 即要确定a0 , a1
证
最佳逼近多项式唯一
设f ( x )有两个最佳逼近多项式P ( x ), Q ( x ), 则x [a, b] - En P ( x ) f ( x ) E n , - E n Q ( x ) f ( x ) E n , P( x) Q( x) f ( x ) En 2 P( x) Q( x) R( x) 也是f ( x )的最佳逼近多项式， 2 且R ( x ) f ( x )的n 2个交错点组x1 x2 x n 2 满足 - En R ( xk ) f ( xk ) 1 En
a 1 2 n 1 b, s.t. R(i ) 0, i 1, 2, , n 1.
由Roll定理知， 在(a, b)内至少存在一个， s.t. R ( n 1) ( ) 0, 而 R ( n 1) ( x) f ( n 1) ( x) - P ( n 1) ( x) f ( n 1) ( x), 从而 f ( n 1) ( ) 0, 与f ( n 1) ( x)在[a, b]上保号矛盾。
, n, s.t.
推论3
f ( x)在[a, b]上有n 1阶导数，且f ( n1) ( x)在[a, b]上保号(恒正恒负)， 则区间端点a, b必属于切比雪夫交错点组
证：设交错点组的个数超过n+2个,或者a(或b)不属于交错点 组，都将导致R(x)=f(x)-P(x)在开区间(a,b)内至少有n+1个点
k
x
Pn* ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
x
k
n2
b, s.t.
(充分性)：设[a, b]上至少有n 2个点a x1 x2 Pn ( xk ) f ( xk ) 1 f , Pn* ， 1
则
3
2.
类似地，
4
赋范线性空间
定义（赋范线性空间） 设 E 是实数域（或复数域）K
按一定 x E 实数 x 0 ，且满足下列 上的线性空间。若 规则
三条（ 范数公理） （1）正定性： x 0,当且仅当x 0时, x 0 （2）齐次性： x x （3）三角不等式 x, y E, 有 x y x y 则称实数 x 为 x 的范数，称 E 为赋范线性空间，记作
k
12
En R( xk ) f ( xk )
P( xk ) f ( xk ) Q( xk ) f ( xk ) 2 2
(*)
P( xk ) f ( xk ) En Q ( xk ) f ( xk ) En 而 ， 2 2 2 2 P( x ) f ( xk ) Q( xk ) f ( xk ) E 当且仅当 k n 时(*)成立 2 2 2 P( xk ) Q( xk ) P( x) Q( x)有n 2个根，而P( x) Q ( x)是不超过n次的多项式。 矛盾
切比雪夫 交错点组
n2
b, s.t.
切比雪夫定理 *
(反证)设Pn*不是最佳逼近多项式，则有Pn* ( x) Q( x) H n , s.t. max a x b Q( x) f ( x) max a xb Pn* ( x) f ( x)
* Pn* ( x) Q( x) P n ( x) f ( x) Q ( x ) f ( x )
则x [a, b], 有 En 2h Pn* ( x) f ( x) En En h Pn* ( x) h f ( x) En h Pn* ( x) h f ( x) En h Pn* ( x) h 与f ( x)的偏差小于En，与En是最小偏差矛盾
最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题
6
Def1
偏差和最小偏差
( f , Pn ) 0 偏差有下界 0
P n ( x) Hn , ( f , P n)
f P n
maxaxb f ( x) P n ( x)
称为f(x)与 Pn ( x) 在[a,b]上的偏差。
En
inf PnHn ( f , P maxaxb f ( x) P n ) inf P n ( x) n Hn
所有偏差的下确界 En 0 最小偏差有下界0
* n
称为f(x)在[a, b]上的最小偏差
Def2
if P ( x) Hn , s.t. ( f , P ) En
* n
称为f(x)在[a, b]上的最佳一致逼近多项式或最小偏 差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。
7
最佳逼近多项式的存在性?
令 R( x) P 1 ( x ) f ( x ), 则必有R ( x2 ) 0， 又 R( x) f ( x), 即 R( x)在[a, b]上不变号， 故R( x)单调，因此R( x) a1 - f ( x)在( a, b)内只有一个零点x2， 即 R( x2 ) a1 - f ( x2 ) 0 a1 f ( x2 )
E, 或 E 。
5
§2 最佳一致逼近多项式 一、问题描述：切比雪夫(俄)从另一观点研究一致逼 近问题，不是让多项式次数n,而是固定n. Hn={次数不超过(≤)n的代数多项式}C[a, b], {1, x, …, xn}构成它的一组基，Hn =span{1, x, …, xn}.
P n ( x) Hn , P n ( x) a0 a1 x
* 说明： 1. 1 的取法： 若P ； n ( x1 ) f ( x1 ) 0, 1; 否则 1
2. Pn* ( x)在[a, b]上是f ( x)的最佳逼近多项式， Pn* ( x)在[a, b]的一个子区间上不一定是f ( x)的最佳逼近多项式
3个重要推论
推论1
an xn , ai R
f ( x) C[a, b], 求Pn* ( x ) H n , s.t . f ( x) P ( x) min Pn H n f ( x ) Pn ( x ) ,
* n
即 max a xb f ( x) Pn* ( x ) min Pn H n max a x b f ( x ) Pn ( x )
在点x1 x2
x n 2 上的符号与Pn* ( x) f ( x)一致 x n 2 上轮流取, 11
Pn* ( x) Q( x)也在点x1 x2
Pn* ( x) Q( x)有n 1个零点 (在(a,b)内)
* P n ( x ) Q ( x ) 0是不超过n次的多项式，其零点个数不超过 必要性证明见北大、吉大、南大合编的“计算方法” P.67 n. 矛盾
Approximation_introduction
第三章 函数逼近
§1 引言 问题提出：f(x)C[a,b]
插值法是函数逼近的一种重要方法，在插值节点上准确 逼近。高次插值光滑性好，但不一定收敛，分段低次插值 一致收敛，但光滑性差。 当xx0时，可用Taylor展开逼近， ( n ) f x0 n f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) x x0 x x0 n! 当|x-x0|较大时，逼近误差很大。光滑性好，但需知道导 数值，且收敛范围有限，收敛速度很慢。 寻找一种新的逼近函数，简单、光滑性好，例如多项式， 且能“均匀的”逼近f(x). 1
9
同理可证只有负偏差没有正偏差也是不成立的
几何 解释
曲线y=p(x)在[a,b]上总是位于y=f(x)+En与y=f(x)-En形成 的带形之间，且与这两条曲线至少各接触一次。
10
Pn* ( x) H n , Pn* ( x)是最佳逼近多项式
Chebyshov,1859
Th4
证
Pn* ( x)在[a, b]上至少有n 2个轮流为 , 的偏差点, 即有n 2个点a x1 x2
一致逼近或 均匀逼近 均方逼近或 平方逼近
max a x b f ( x) P( x)
f ( x) P( x) 2
b
a
f ( x) P( x) dx
2
存在性问题： f(x)C[a,b], 是否存在
Pn(x) f(x)(一致)?
2
Th1. (Weierstrass定理)设f(x)C[a,b]， >0, 多项式P(x)， Weierstrass,德， s.t. f ( x) P( x) 在[a,b]上一致成立。 1885年提出， 时年70岁； 注: 1912年Bernstein (俄)证明 1.设f(x)C[0,1], P(x)=
分析：由推论3，a, b均属于交错点组。 由Th4知，至少有三个交错点 a x1 x2 x3 b , s.t.
P 1 ( xk ) f ( xk ) 1 max a x b P 1 ( x ) f ( x ) ， 1, k 1, 2,3
k
16
Th2
f ( x) C[a, b], there must exist a polynomial Pn* ( x) H n , s.t. ( f , Pn* ) En
如何求最佳逼近多项式?来自二、最佳逼近多项式的特性和切比雪夫定理
偏差点
Def 3
Pn ( x) H n , there must exist x0 [a, b], s.t. f ( x0 ) Pn ( x0 ) max a x b f ( x) Pn ( x)
15
特例1
一次最佳逼近多项式
* Th4给出了最佳逼近多项式的特性，但要求出 P n ( x) 却相当困难。现讨论n=1的情形。
设f ( x) C 2 [a, b], 且f ( x)在[a, b]上保号，在H1(线性函数类)中寻求 最佳一次逼近多项式 P 1 ( x) a0 a1 x, 即要确定a0 , a1
证
最佳逼近多项式唯一
设f ( x )有两个最佳逼近多项式P ( x ), Q ( x ), 则x [a, b] - En P ( x ) f ( x ) E n , - E n Q ( x ) f ( x ) E n , P( x) Q( x) f ( x ) En 2 P( x) Q( x) R( x) 也是f ( x )的最佳逼近多项式， 2 且R ( x ) f ( x )的n 2个交错点组x1 x2 x n 2 满足 - En R ( xk ) f ( xk ) 1 En
a 1 2 n 1 b, s.t. R(i ) 0, i 1, 2, , n 1.
由Roll定理知， 在(a, b)内至少存在一个， s.t. R ( n 1) ( ) 0, 而 R ( n 1) ( x) f ( n 1) ( x) - P ( n 1) ( x) f ( n 1) ( x), 从而 f ( n 1) ( ) 0, 与f ( n 1) ( x)在[a, b]上保号矛盾。