变系数KdV方程的多种孤波解
(2+1)维耦合KdV方程达布变换间的关系及其孤子解
(2+1)维耦合KdV方程达布变换间的关系及其孤子解黄坤;陈友军【摘要】从KdV方程的谱问题出发,推导出它的孤子方程族,并由前两个非平凡的孤子方程导出一个新的(2+1)维耦合KdV方程及其对应的Lax对.借助零曲率方程得到三种达布变换,并讨论三种达布变换间的关系.借助达布变换,解出(2+1)维耦合KdV方程的孤子解及研究解的性态.利用计算机数学软件,画出了孤子解各种碰撞图形.%Hierarchy of soliton equations of KdV equation is obtained from its spectral problem. Based on the first two nontrivial soliton equations, a new (2+1) dimensional coupled KdV equation and its Lax pair are derived. With the help of zero curvature equation, three Darboux transformations ( DTs) are obtained, and further relations among these three DTs are discussed. By an application of DT, the multiple soliton solutions of (2 + 1) dimensional coupled KdV equation are given, and properties of solutions are discussed. Using mathematical software, various collision graphics of the soliton solutions are given.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2013(030)001【总页数】8页(P71-78)【关键词】KdV方程;达布变换;孤子解【作者】黄坤;陈友军【作者单位】华北水利水电学院数学与信息科学学院,郑州450011【正文语种】中文【中图分类】O175.29(2+1）维耦合KdV方程最初用来描述在浅水中长波的扩散。
广义变系数KdV,mKdV方程的精确类孤子解
第 ２ ８卷 Hale Waihona Puke ３ 期甘肃工
业
大
学
学
报
Ｖｏ Ｊ ８ Ｎｏ ３ ｌ２ ．
Ｓｅ ．２ ｐｔ ００２
２０ ０ ２年 ９月
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｕ Ｕｎｉｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ａ ｆＧａ ｓ ｖ ｒｉｙ ｏ ｃ ｎ ｌｇ
Ｋｅ ｏ ｄ ｙ ｗ ｒ ｓ： ｓ ｌｔ ｒ ｏ ｕ ｉｎ； ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｄ ｅ ｕ ｔｏ ｏｉａ ｙ ｓ ｌ ｔ ｏ ｅ ｅ ａｉ ｄ Ｋ Ｖ ｑ ａ ｉ ｎ；ｇ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｍ Ｋｄ ｅ ｕ ｔｏ ｚ ｅ ｅ ａ ｉｅ Ｖ ｑ ａ ｉｎ；ｔ ｕ ｃ ｔｄ ｅ ｐ ｎ ｒ ｎ ａｅ ｘ ａ —
２ １ １ ；２ ７ ０ ９ ．中 国科 学 院 科 学 和 工 程 计 算 重 点 实 验 室 ，北 京 １ ０ ８ ；３ ０ ０ ０ ．洛 阳 大 学 ，河 南 洛
摘 要 ：利 用截 断 展 开 法和 延 拓 齐 次平 衡 法 同 时 求 出 了 广 义 变 系数 Ｋｄ 方 程 和 广 义 变 系数 ｍＫｄ Ｖ Ｖ
ｃ ｅ ｆｃｅ ｔ ｒ ｂ ａｎ ｄ ｂ ｈ ｓ ｆ ｔ ｕ ｃ ｔ ｄ ｅ ｐ ｎ ｉ ｎ ｍ ｅ ｈ ｄ ａ ｄ ｅ ｔ ｎ ｅ ｈ ｍ ｏ ｅ ｅ ｕ ａａ ｃ ｏ ｆｉｉｎ ｓ ａ ｅ ｏ ｔ ｉ ｅ ｙ ｔ ｅ ｕ ｅ ｏ ｒ ｎ ａ ｅ ｘ ａ ｓｏ ｔｏ ｎ ｘｅ ｄｄ ｏ ｇ ｎ ｏ ｓ ｂ ｌｎ ｅ
Ａ ｂ ｔ ａ ｔ Ｅｘ ｃ ｅｌｓ ａ ｅ ｏ ｉａ ｙ ｓ ｌ ｔｏ ｓｆ ｒｔ ｅ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ Ｖ ｎ Ｋｄ ｅ ｕ ｔｏ ｓｗｉｈ ｖ ｒａ ｌ ｓｒ ｃ ： ａ ｔｂ ｌ ｈ ｐ ｄ ｓ ｌ ｒ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ｈ ｅ ｅ ａｉ ｄ Ｋｄ ａ ｄ ｍ — ｔ ｚ Ｖ ｑ ａ ｉ ｎ ｔ ａ ｉｂ ｅ
变系数KdV方程组的精确解
Hirota方法求解KdV-mKdV混合方程的多孤子解
收稿日期：2008-02-25 Hirota 方法求解KdV-mKdV 混合方程的多孤子解吴妙仙1 张翼2（1.浙江广厦建设职业技术学院，浙江 东阳 322100, 2.浙江师范大学 数学系，浙江 金华321004）摘 要：Hirota 方法为构造非线性发展方程的精确解提供了一条有效途径。
我们利用Hirota 方法得到KdV 一mKdV 混合方程多孤子解的解析表达式，通过图形展示出多孤子的主要相互作用过程的特征，并从理论上对孤子解渐进分析证实孤子的特征。
关键词：Hirota 方法 KdV-mKdV 混合方程 多孤子解Multi-Solitary Wave Solutions of KdV-mKdV Equation through HirotaWu Miaoxian 1 Zhang Yi 2(1.Guangsha College of Applied Construction Technology, Dongyang 322100, Zhejiang; 2. Department of Mathematics, Zhejiang Normal University, Jinhua321004, Zhejiang)Abstract: Horita provides an effective way to find out the exact solution to Nonlinear Evolution Equation. Through Horita, we get Analytical Expressions of Multi-Solitary Wave Solutions of KdV-mKdV equation. The characteristics of Multi-Solitary Wave Solutions’ main interaction process are displayed through drawings and proved right through analyzing it theoretically. Key words: Horita methods; KdV -mKdV equation; Multi-Solitary Wave Solutions1 引言非线性科学中的许多问题都可归结为求解非线性发展方程的问题。
变系数广义KdV方程新的类孤波解和精确解
家感兴趣的方程之一 . 为了求解非线性偏微分方 程 ,文献 [ 1 ] 利用 B cklund 变换 , 得到了 ( 1 ) 式具有
PainlevΥ性质条件下的解 ; 文献 [ 2 ] 用截断展开方法
获得广义变系数方程新的精确类孤波解 ; 文献 [ 3 ] 用
Jacobi 椭圆函数展开法 , 获得不含外力项的变系数 KdV 方程的解 ; 文献 [ 4 ] 利用 Backlund 变换研究了广
2 3
31 变系数广义 KdV 方程 ( 1) 式的解
首先 ,将 ( 22) 式代入 ( 1) 式 ,得到关于
dv i ( i = 1 , dξ dv i , 合并 dξ
k i i
( 27)
3
β + 12 F1 Qx Q ξ β - 2 F2 Qx ξx 2 ( 3 F1 Q ξ x,x x ξx ξ ( 3β ) = 0, - 3 F2 Q x ,x )Π
2
( 30)
式中 F6 为 t 的任意函数 , F1 , F2 , F3 , F4 和 F5 是受
ξ ) , A = v8 = acn ( b
c =
2
a (1 - m ) , 2 6m
2
2
ξ - a 2
b
2
, a < 0.
( 18)
( 2 m2 - 1) a a ,β = 2 2 2 , 3m 12 b m
2
( 12)
2
ξ ) , A = v9 = a dn ( b
c =
a (- 1 + m )
2
6
, ( 13)
( 2 - m2 ) a a ,β = 2 , 3 12 b
式中 a , b 为实常数 . 4 ) 当 c = 0 , ( 4 ) 式的 v 有 Weierstress 椭圆函 数解 : a b 1 v15 = p (ξ, a , b) , A = , B = ,β = , 24 24 12 ( 19) 式中 a , b 为 Weierstress 椭圆函数不变量 . 为了利用 ( 4 ) 式作变换 , 将 ( 4 ) 式的 v 对ξ 求 导 ,得 2 ) 2 + 2 cv (ξ ) + 2A d v - v (ξ , 2 = β 2 dξ
孤立子理论在中国的发展(1978-1989)
孤立子理论在中国的发展(1978-1989)1834年8月,英国爱丁堡大学的数学教授、优秀的造船工程师罗素在校园附近的联合运河中首次观察到孤立波。
1965年,美国数学家克鲁斯卡尔和扎布斯基通过计算机模拟了孤立波的“碰撞”,发现经碰撞后的它们不会改变形状、大小和方向。
于是,二人在《Physical Review Letters(物理评论快报)》上发文首次提出了“Soliton”(孤立子)这个名词,以此来强调孤立波的“粒子”性行为与特性,标志着孤立子理论的正式诞生。
随着计算机技术的不断发展,人们在物理学、生物学、医学、海洋学、经济学、人口问题等诸多领域都发现了孤立子及与其密切相关的重要问题,孤立子成为非线性科学的三大普适类之一。
20世纪70年代后,孤立子理论传入国内,学者们在高校科研院所里开始进行孤立子的研究,先学习国外已有理论成果,再进行有效拓展和理论创新,同时注重培养自己的研究生。
这是一个积极良性互动的学习过程,在短短十年里就取得了可喜的成绩,也进一步促进了理论的传播与发展。
孤立子理论在中国的研究与发展虽然之前也受到近现代数学史研究者的关注,但是在谈及20世纪数学科学的回顾时基本没有提到孤立子理论的研究与发展,更没有从数学史的角度进行系统的梳理研究,这就无法全面地反映出中国现代数学的研究全貌。
因此,本文“孤立子理论在中国的发展(1978-1989)”便具有重要的理论和现实意义。
在查阅了大量原始资料和现有研究文献,并采访一些老一辈学者,采用文献分析、归纳分析、调研实践等方法,对中国孤立子理论研究做了较系统的分析总结:1.结合孤立子理论的四个发展阶段,论述1834至1989年间世界孤立子理论研究的主要成果及其意义。
2.考查了中国学者在国内外发表的孤立子理论研究论文和已有的研究文献,经过细致筛选,介绍了谷超豪、屠规彰、李翊神、曹策问、郭柏灵等代表性学者的求学之路及学术研究概况,同时介绍了学界其他学者的一些重要研究成果。
变系数组合KdV方程的精确类孤子解
ｄ）。 （ “６）ｌ（ 是 ＝－４（ ｂ） －￣） 。一，￡ １一，） ，ｆＪ ６２）ｌ＝ ６（） （ ｎ“） ，ｆ６厂一 “） ｃ）， Ｊ ｃｔ， ｆ 一 （ （ ｍｔ （ ｋ－ （ ｔ ｌ ｆ ｍ（ ｋｔ Ｚ・ ｌ ｆ
其 中 ａ ， ｂ ， ｏ “ ， ｋ为常数 ， 并且
ｍ
… 。 一 一
ｏ，ｃ ＞ 。．
一 ’
ｓ
ｔｎ ａ
－ 一ｏ，ｃ － ４ ｏ ４一 ｏ， Ｃｃ
（ｖ ｉ）双 曲函数解
一
＋
ｓｎｈ ｉ
…
＿ ｏ，
４ 。≠ ｏ ＇
。，
一
＋
２２ ｃ
。
＿ ０，
４ 。≠ ｏ，
。 ，
ｅ
（） ｑ
￡
一 ．
重新分 类 ， 在合并 其相互 包 含 关 系 的基 础 上 ， 并 寻找 非 线 性 发 展 方程 类 孤 子 解 的途 径 ， 得 了 变 系数 组 合 获 Ｋｄ Ｖ方 程 的精确类 孤子解 ．
１ 改进 的代 数 方 法
考虑 变系数 非线性发 展方 程
Ｆ（ ， ， ， ， ） ０ ， “ 口 … 一 ， （） １
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ ６ １４ ．
ＮＯ Ｖ． ２ Ｏ１１
变 系数 组合 Ｋｄ 方 程 的精 确 类 孤 子解 Ｖ
长 勒 ，斯仁 道 尔 吉
（ 内蒙 古 师 范 大 学 数 学科 学 学院 ． 内蒙 古 呼 和 浩 特 ０ ０ ２ ） １０ ２
摘
要： 利用一种改进的代 数方法 ， 研究了变系数组合 Ｋ Ｖ方程 ， ｄ 获得 了方程的精确类 孤子解 ， 中包括周 其
非线 性发 展方程 的求解是 数学 物理研 究 的重要课 题 之一 ， 目前 人们 已经发 现 了许 多 寻找非 线 性 发展 方
一类耦合KdV方程的孤波解和周期波解及其相互关系
一类耦合KdV方程的孤波解和周期波解及其相互关系张卫国;徐伟;李想【摘要】运用平面动力系统的理论和方法对一类耦合KdV波动方程所对应的平面动力系统进行了定性分析,给出了该方程在一定条件下存在唯一钟状孤波解和无穷多个周期波解的结论.分别利用待定系数法和首次积分法求得了该方程钟状孤波解和周期波解的精确表达式,并直观地指出了它们所对应的解轨线在全局相图中的位置.进一步讨论了方程孤波解与Jacobi椭圆函数型周期波解的关系,并直观地给出了当模数趋于1时Jacobi椭圆函数周期波解向钟状孤波解演变的三维示意图.%For a class of coupled KdV equations, the theory and method of planar dynamical system were applied to qualitatively analyse the dynamical system which the equation corresponds to. It is concluded that the equation has a unique bell profile solitary wave solution and infinite number of periodic wave solutions. The exact expressions of the bell solitary wave solution and the periodic solutions were provided by using the methods of undetermined coefficients and first integral respectively,and the positions of their orbits on the global phase portrait were pointed out. The relation between the solitary wave solution and the periodic wave solutions was discussed. Finally, 3-dimensional figures were presented to illustrate the evolution process of Jacobi elliptic functional periodic wave solution to bell solitary wave solution when the modulus tends to be 1.【期刊名称】《上海理工大学学报》【年(卷),期】2012(034)004【总页数】7页(P307-313)【关键词】耦合KdV波动方程;定性分析;孤波解;周期波解;全局相图【作者】张卫国;徐伟;李想【作者单位】上海理工大学理学院,上海 200093;上海理工大学理学院,上海200093;上海理工大学理学院,上海 200093【正文语种】中文【中图分类】O175.2;N941 问题的提出耦合KdV波动方程［1］可用来描述两个内部长波之间相互作用的过程，其中α，β，λ，δ，ε为非零参数.在变量ν＝0时，方程（1）可约化为在固态物理、等离子物理、流体物理和量子理论等领域有广泛应用的KdV方程［2－7］.近年来，多位学者研究了方程（1）的孤波解求解问题.陆宝群等分别利用待定系数法和函数展开法求得了方程（1）的精确孤波解［8－9］；Ito［10］运用循环算子推出了当α＝δ＝－2，β＝－6，ε＝0时，耦合方程具有无限多的对称性；叶彩儿［11］证明了当α＝β＝λ＝δ＝ε＝1时，耦合方程具有Painleve性质，在Painleve性质下可积，并通过自Backlund变换求出了方程（3）的孤立波解和奇异行波解.然而以往文献没有给出过方程（1）孤波解唯一性的结论，也没有研究过方程（1）的孤波解与周期波解之间的关系.现运用平面动力系统方法研究耦合KdV波动方程（1）的孤波解、周期波解的存在性，给出孤波解唯一性的结论，并分别运用假设待定法和首次积分法求出这两种解的精确解，还进一步研究这两种解的相关性.目前研究非线性发展方程孤波解与周期波解之间相互关系的文献还比较少，这种研究在理论和应用上显然是有意义的，因为它可揭示参数的变化对解的影响，加深人们对非线性波动的认识，并给非线性波动的控制提供有益的信息.文中首先运用平面动力系统理论和方法对方程（1）的行波解进行定性分析，给出不同参数下的全局相图，说明在一定条件下该方程只存在唯一的钟状孤波解，而同时却有无穷多个周期波解.其次分别运用待定系数法和首次积分法求出该方程钟状孤波解和周期波解的精确表达式，并直观指出它们所对应的解轨线在全局相图中的位置.随后讨论了方程孤波解与Jacobi椭圆函数型周期波解的关系，即当模数k趋近于1时，Jacobi椭圆函数周期波解逐渐扩张演变为钟状孤波解.最后作出了Jacobi椭圆函数周期波解向钟状孤波解演变的三维示意图.2 方程（1）有界行波解的定性分析设方程（1）有行波解u（x，t）＝u（ξ）＝u（x－ct），ν（x，t）＝ν（ξ）＝ν（x－ct），将其代入方程（1）中，可得将上式积分一次，可得其中，E1，E2为积分常数.由式（4）中第二个式子，可知现记为使得u（ξ）处处正则，现取E2＝0，这等价于u（ξ），ν（ξ）当的极限满足则有将式（6）代入式（4）中第一个式子，可得其中这样，在积分常数E2＝0的条件下就将求方程（1）孤波解和周期波解的问题转化为了式（6）和式（7）.由于式（6）中u（ξ）满足方程（7），故对方程（7）解的性态和求解的研究是本文的关键.现在研究方程（7），令x＝u（ξ），y＝u′（ξ），则方程（7）可转化为与之等价的平面动力系统在（x，y）平面上，系统（9）有限远奇点的个数依赖于方程f（x）＝lx2＋mx＋p＝0的实根的个数.记f（x）＝0的判别式为Δ＝m2－4lp.易知该方程在Δ＝0时有一个实根，在Δ＜0有两个共轭复根，在Δ＞0有两个不等的实根.因现只考虑系统（9）的有界行波解，所以始终假设Δ＞0.设方程f（x）＝0的实根为a1，a2，分别为当l＞0时，a1＜a2；当l＜0时，a1＞a2.记系统（9）在奇点Pi（ai，0）（i＝1，2）处的Jacobi矩阵为显然，系统（9）是Hamilton系统，有首次积分由Liouville定理的推论可知，Hamilton系统不可能存在渐近稳定与不稳定的平衡点（焦点、结点），平衡点只能是中心或鞍点；也不可能存在渐近稳定与不稳定的极限环，只可能存在简单闭轨.在典型的Hamilton系统中，只可能存在有限个平衡点，但可以有无穷多个周期闭轨.因故P1为鞍点，因故P2为中心点.对系统（9）作Poincare变换，可得系统（9）在y轴上各存在一对无穷远奇点Ai（i＝1，2），且在Ai周围各存在一个抛物型区域.另外，Poincare圆盘的圆周为轨线.由上述分析，可得到系统（9）的全局相图，如图1所示.图1 系统（9）的全局相图Fig.1 Global phase portraits of system（9）由相图1，可得到下列命题.命题1 设l≠0，除去奇点P1，P2和轨线L（P1，P1）以及由L（P1，P1）包围的闭轨线外，系统（9）的其它轨线均是无界的，并且这些轨线上的点的x坐标值和y坐标值也均是无界的.证明设l≠0，除去奇点P1，P2和轨线L（P1，P1），L（P2，P2）以及这些轨线周围的闭轨线外，系统（9）的其它轨线均是无界的，它们在＋∞时，或者趋于A1或者趋于A2.因此，这些轨线上的y坐标值一定是无界的.下面用反证法证明这些轨线上的x坐标值也是无界的.设这些轨线上的点的x坐标值是有界的.一方面，由于轨线上的任意点的切线斜率满足所以当时.另一方面，由微分中值定理可以判定：当时不可能保持有界.这个矛盾表明，这些轨线上的点的x坐标值是无界的.命题2 设l≠0，系统（9）存在一条同宿轨道和无穷多条闭轨线（见图1）.考虑到平面动力系统（9）中的同宿轨对应方程（1）的钟状孤波解，闭轨对应方程（1）周期行波解，因此由命题1、命题2和全局相图1，可得如下定理.定理1 设积分常数E2＝0，若行波波速c和积分常数E1满足m2－4lp＞0，则方程（1）存在唯一的钟状孤波解（对应于同宿轨道L（P1，P1））和无穷多个周期行波解.由于所讨论的方程（1）中参数α，β，λ，δ，ε都是非零的，故命题1和命题2中假设l≠0自然成立.3 方程（1）的钟状孤波解受文献［12］的启发，方程（7）有解其中，A，B，s，D待定.将式（11）代入方程（7）中，根据es（ξ＋ξ0）（s＝0，1，2，3，4，5，6）的线性无关性，并经化简得到A，B，s，D满足的方程组解方程组（12），可得下列两组解又因将式（14）中各数值代入式（11），可得方程（7）的解为经判定，此解不是有界行波解，故可将其排除.综合上面计算和前面的定性分析的结果，可得到下面关于方程（1）钟状孤波解的定理.定理2 假设定理1中条件成立，则方程（1）的唯一钟状孤波解为其中，l，m，p由式（8）给定.孤波解（u（ξ），ν（ξ））中的u（ξ）对应于图1中的同宿轨L（P1，P1）.定理2中的唯一性，已由定理1给出.另外因为sechx是偶函数，当时的解与k＝时的解相同.易验，本文所求孤波解与文献［8］用函数展开法所求方程（1）的钟状孤波解是等价的.文献［9］用待定系数法所求钟状孤波解是本文所研究方程（1）的钟状孤波解式（15）和式（16）在m2－4lp＝16，E1＝E2＝0时的情况.文献［10］中通过自Backlund变换求得方程（3）的孤波解是本文研究的方程（1）在α＝1，β＝1，λ＝1，δ＝1，ε＝1，即l＝5／2，m＝－5c时的特殊情况.用定性分析及假设待定结合方法的好处在于：利用定性分析的结果，可以清楚地看出方程（1）有界行波解存在的个数和大致形态，可以很直观地指出用假设待定方法求出的方程（1）的有界行波解对应的解轨线在全局相图中的位置，两者之间具有一一对应的关系.4 方程（1）的周期波解现结合前面定性分析中的部分结论，通过适当变换并运用首次积分方法对方程（1）的周期波解进行求解.由对方程（1）有界行波解的定性分析中可知，平面动力系统（9）是Hamilton系统，且具有首次积分式（10），式（10）即为系统（9）的Hamilton函数.以l ＜0的情形为例，求出对应图1（b）中同宿轨道所围中心的闭轨线对应的周期波解，对于l＞0情形的结论可类似得到.设（a，0）为周期轨道与x轴的交点，由于在对称同宿轨道内包围中心的同一周期轨道上点的Hamilton量相等，即于是，有可证得Hamilton量的取值范围为其中由式（17），可得记，则式（19）可写成对上式积分一次，可得易验，在Δ＝m2－4lp＞0和h1满足式（17）条件下，F（x）＝0有3个实根e1，e2，e3，它们由l，m，p，h1确定，故F（x）可写成F（x）＝（x－e1）（x－e2）（x－e3）.当l＜0时，有e3＜a2＜e2＜a1＜e1，且在（e3，e2）及（e1，＋∞）时，F（x）＞0，此时为求出有界的周期波解，应限制x在（e3，e2）内取值，如图2所示.现取α＝e3，并令则有其中将式（22）代入式（20），可得图2 F（x）＞0的范围Fig.2 Range of F（x）＞0利用椭圆函数cn（ζ，k）的微分公式令t＝cn（ζ），则式（24）变为考虑到cn（0）＝1，由式（25），有将式（26）代入式（23）中，立即有由式（27）得将其代入式（22），得到方程（7）的周期波解再考虑到cn（ξ＋4 K）＝cn（ξ），可得K＝，显然K随k变化，即椭圆函数周期T＝4 K可由l，m，p，h1确定.同理，当l＞0时，图1（a）中同宿轨道所围中心的闭轨线对应方程（7）的周期波解为综合上面的计算，可得到关于方程（1）的周期波解的如下定理.定理3 设定理1中条件成立.则方程（1）有Jacobi椭圆函数周期波解up（ξ）对应于图1（a），（b）中的同宿轨道L（P1，P1）所包围中心奇点的闭轨线.下面通过假设待定法求方程（7）的周期波解.受文献［13］的启发，假设方程（7）有解将其代入到式（7）中，可求得用首次积分法求解方程（1）的周期波解，主要目的在于以此说明椭圆函数中的模数k与周期波解对应的轨线和x轴的交点e1，e2，e3相关，从而k与方程（1）中的参数及波速等相关.5 方程（1）的孤波解和周期波解的关系从全局相图的角度观察，方程（1）的孤波解（u（ξ），ν（ξ））中的u（ξ）对应于全局相图1（a），（b）中的同宿轨线L（P1，P1），而周期波解（up（ξ），νp（ξ））中的up（ξ）对应于包围中心的闭轨线，它被包含于由同宿轨线L（P1，P1）所包围的区域中.下面以l＜0的情形为例进行讨论.考察在对称同宿轨道内的周期波解up（ξ）当k→1时向孤波解u（ξ）的演变，对于l＞0情形的结论可类似得到.当l＜0时，系统（9）过鞍点P1（a1，0）的同宿轨道上点的Hamilton量为其中再由Hamilton函数知，H即Hamilton量为h2的轨线在l＜0时与x轴的交点.其中，包含于同宿轨道的周期闭轨线与x轴的交点的横坐标e1，e2，e3与x1，x2，x3关系为x1＜e3＜e2＜x2＝a1＜e1＜x3（见图1（b）），且当模数时，有e3→x1，e2→x2＝a1，e1→x2＝a1.结合上面的分析，可求得其中，整理式（36），即有综合上面的计算和前面的定性分析，可得到如下定理.定理4 当k→1时，方程（1）的周期波解对应相图上的周期闭轨扩张成同宿轨道L（P1，P1）.为了直观地体现周期波解与孤波解之间的关联性，现作出Jacobi椭圆函数周期波解up（ξ）向孤波解u（ξ）演变的三维示意图，如图3所示.图3中，取此时l＝3，m＝4，p＝1.［1］ Kumpershmidt B A.A coupled Korteweg－de Vries equation with dispersion［J］.J Phys A：Math Gen，1985，（18）：571－573.［2］ Garder C S.The Korteweg－de Vries equation and generalizations IV ［J］.Journal of Mathematical Physics，1971，12（4）：1548－1551.［3］ Konno K，Ichikawa Y H.A modified Korteweg－de Vries equation forion acoustic waves［J］.J Phys Soc Japan， 1974，37（7）：1631－1636.图3 k→1时周期波解up（ξ）趋向于孤波解u（ξ）Fig.3 Periodic wave solution up（ξ）tends to solitary wave solution u（ξ）when k→1［4］ Dodd R K，Eilbeckj C，Gibbon D J，et al.Solitons and nonlinear wave equations［M］.London：Academic Press Inc Ltd，1982.［5］ Narayanamurti V，Varma C M.Nonlinear propagation of heat pulses in solids［J］.Phys Rev Lett，1970，25（16）：1105－1108.［6］ Tappert F D，Varma C M.Asymptotic theory of selftrapping of heat pulses in solids［J］.Phys Rev Lett，1970，25（16）：1108－1111.［7］ Zhang W G，Chang Q S，Fan E G.Methods of judging shape of solitary wave and solutions formula for some evolution equations with nonlinear terms of high order［J］.J Math And Appl，2003，287（1）：1－18.［8］ Lu B Q，Pan Z L，Qu B Z，et al.Solitary wave solutions for some systems of coupled nonlinear equations［J］.Physics Letters A，1993，180（1）：61－64.［9］ Xu X J，Zhang J F.New exact and explicit solitary wave solutions to a class of coupled nonlinear equations［J］.Communications in Nonlinear Science ＆Numerical Simulation，1998，3（3）：189－193.［10］ Ito M.Symmetries and conservation laws of a coupled nonlinear wave equation［J］.Phys lett A，1982，91（7）：335－338.［11］叶彩儿.几个非线性发展方程（组）的精确解与Painleve分析［D］.杭州：浙江大学，2003：28－31.［12］张卫国，刘刚，任迎春.非线性波动方程的孤波解与余弦周期波解［J］.上海理工大学学报，2008，30（1）：15－21.［13］ An J Y，Zhang W G.Exact periodic solutions to generalized BBM equation and relevant conclusions［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2006，22（3）：509－516.【相关文献】［1］ Kumpershmidt B A.A coupled Korteweg－de Vries equation with dispersion［J］.J Phys A：Math Gen，1985，（18）：571－573.［2］ Garder C S.The Korteweg－de Vries equation and generalizations IV［J］.Journal of Mathematical Physics，1971，12（4）：1548－1551.［3］ Konno K，Ichikawa Y H.A modified Korteweg－de Vries equation for ion acoustic waves［J］.J Phys Soc Japan， 1974，37（7）：1631－1636.［4］ Dodd R K，Eilbeckj C，Gibbon D J，et al.Solitons and nonlinear wave equations ［M］.London：Academic Press Inc Ltd，1982.［5］ Narayanamurti V，Varma C M.Nonlinear propagation of heat pulses in solids ［J］.Phys Rev Lett，1970，25（16）：1105－1108.［6］ Tappert F D，Varma C M.Asymptotic theory of selftrapping of heat pulses in solids ［J］.Phys Rev Lett，1970，25（16）：1108－1111.［7］ Zhang W G，Chang Q S，Fan E G.Methods of judging shape of solitary wave and solutions formula for some evolution equations with nonlinear terms of high order［J］.J Math And Appl，2003，287（1）：1－18.［8］ Lu B Q，Pan Z L，Qu B Z，et al.Solitary wave solutions for some systems of coupled nonlinear equations［J］.Physics Letters A，1993，180（1）：61－64.［9］ Xu X J，Zhang J F.New exact and explicit solitary wave solutions to a class of coupled nonlinear equations［J］.Communications in Nonlinear Science ＆Numerical Simulation，1998，3（3）：189－193.［10］ Ito M.Symmetries and conservation laws of a coupled nonlinear wave equation ［J］.Phys lett A，1982，91（7）：335－338.［11］叶彩儿.几个非线性发展方程（组）的精确解与Painleve分析［D］.杭州：浙江大学，2003：28－31.［12］张卫国，刘刚，任迎春.非线性波动方程的孤波解与余弦周期波解［J］.上海理工大学学报，2008，30（1）：15－21.［13］ An J Y，Zhang W G.Exact periodic solutions to generalized BBM equation andrelevant conclusions［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2006，22（3）：509－516.。
变系数广义KdV—Burgers方程的精确类孤子解
为 了 求解 方 程 （ ）设 ： ５，
ｆ ２ ３ｔ ， ｈ（） － Ｏ
－
（） ６
程 （ ） 合 了方程 （ ） ３综 １ 和方程 （ ） ２ 中的各 物理 因素 ， 更具
有 实 际 意 义 和 广 泛 的 应 用 空 间 ．因此 对 其 解 的构 造 和
ｈ （） Ｏ ３ｔｐ＝ ｆ
相 互 作 用
将 以上各式代人 （ ） ， ： ３式 得
＋ ｌ ） ＋ ） ４ ２ｔｕ ｈ （） ２ ＋ ￡） （） ＾（ （ ６ ＋ （） ， ３ （ ｕ ＋ ４ ￡ ＝ － ｔ ￡￡
一
２ 改进 算 法
本 文 求 解 了 比方 程 （） 实 际 的 具 有 变 系 数 的 广 义 ２更 Ｋ Ｖ Ｂ ｒｅｓ 程 ： ｄ — ｕｇｒ 方
ｌ （） ｔＨ（ ） ），ｔｇ ｔ （） ａ Ｈ” ｔｇ ｔ Ｕ ｐ（） ｃ Ｈ （ ＋（） （ ｔＨ（ ） （ ｔ ） ）
（） （） （ （） （） （ 日， ｐ ｔ Ｈ佗 ） ￡ ￡ ） ， ） ｐ Ｈ （
它的双孤子解可定性地解 释液体 中非传播 孤子 的
再 将 （５ 式 代 ／ （ ） 得 ： １） ２ ９式
一
２ ｓ￡ｇ ０ ｈ （） ＝
（ ６ １）
Ｄ＝ ， 丝 １６
，
由 （６ 式 易 得 ： １）
ｇｔ＝ ｘ ［Ｉ２ ３ ）ｚ （）Ａ２ ｐ ｈ（ ｄ ］ ｅ Ｔ （７ １）
Ｄ。 ６， ： Ｄ
一
Ａ３
Ａ一 ．， ＝ ； 。４， ２ ４Ａ Ａ ２
ｎ
苗 ＾ － ＾ ｎ ＾ Ｊ＾
三
ｔ‘ １ ，ｔ ｒＩ
， ． ／
ｑ）Ｉ２ ｉ）ｐＪｈ ） ］Ａ２）ｐｆ （＝ａ４ ｈｔｘ Ｉ （ｄ － ￣ｔｘ［ａ ￡ ， Ａ （ ［ａ ｒｒ－ （ｅ ［ ｅ ３ ４ ｈ
KdV-Burgers方程的新的孤波解
借助 Ｍａｈｍ ｔ ａ ｔｅ ａｉ 软件 ， ｃ 进一步获得 了 Ｋ Ｖ—ｕｇｒ ｄ Ｂ ｒｅ ｓ方程 的一些新的孤波解． 关键 词 ： ｉ ａｉ Ｒｃ ｔ方程组 ； ｄ —ｕｇｒ 方程 ； ｃ Ｋ Ｖ Ｂ ｒｅ ｓ 孤波解 中图分类号 ： ３０ ０ ９ ０ ４ ；２０ 文献标识码 ： Ａ 文章 编号 ：６ ２— ６ ０ ２ ０ ）６— ０４— ４ １７ ３ ０ （０ ８ ０ ０ ６ ０
Ｔｈ ｅ ｓ ｌｔ ｒ ｖ ｏｕｔｏｎ ｏ ＫｄＶ－ ｅ ｎ ｗ ｏ ｉａ ｙ ｗａ ｅ ｓ ｌ ｉ ｓ ｔ Ｂｕｒ ｅ ｓ ｅ ｕａ ｉ ｎ ｇ ｒ ｑ ｔｏ ＧＵＯ ａ — ｉ ｇ Ｇｕ ｎ ｐ ｎ
（ ｏ ｅｅｏ ｅｃ ｅ ｄ ｃｔｎ Ｚ ｅ ａｇＮ ｒ ｌ ｎｖｒｔ，ｉ ｕ ２ ０ ４ Ｃ ｉａ Ｃ Ｈ ｇ ｆ ａｈ ｒ ｕａｏ ，ｈｊ ｎ ｏｍａ Ｕ ｉ ｓ ｙ Ｊ ｈ ａ １０ ，ｈｎ ） Ｔ Ｅ ｉ ｉ ｅｉ ｎ ３
其 相应 的 求 解 方 法 的研 究 ， 引起 人 们 的 极 大 兴趣 ． 射 法 是 一 种 比较 系 统 的 方法 ， 由于 该 方 法 只适 用 于 可 积 系 统 ， 已 反 但 而
实际的物理问题往往是不可积的 ， 限制了其应用． ｒｔ 方法 ， 故 Ｈｉ ａ ｏ 虽然能解 决一大类 非线性演化方 程 ， 但有时仍 求不 出严格 的孤波解． 除此之外 ， 人们还 建立 起 Ｂｔ ｌｎ ￣ｋｕ ｄ变换 法 ］Ｈｏｆ ｏ ｃ 、 ｐ－ ｌ 换法 心 、 ａｂｕ Ｃ ｅ变 ］Ｄ ｒｏ ｘ变换 法心 、 ｕａ 换法 ］ 齐次平 衡 ］Ｍｉｒ 变 、 法 、 曲正切 函数展 开法 、 双 试探 函数法 、 非线性变换法 、ｉｅｃｓ ｅ 法 、 ｓｎ—ｏｉ 方 ｎ 直接约化 方法 、ａｏ ｉ 圆函数展 开法 、 曲函数 Ｊｃｂ 椭 双 等被有效地运用于具体 的非线性波动方程 中． 本文利用 文献 ［６ １ ］方法对 文献 ［２ １ ］进行改 进 ，
非线性弦振动的Kdv方程及其速度孤波解
非线性弦振动的Kdv方程及其速度孤波解
非线性弦振动的Kdv方程及其速度孤波解
作者：刘勇;龚育宁
作者机构：华东工学院;华东工学院
来源：振动与冲击
ISSN：1000-3835
年：1990
卷：009
期：001
页码：54-58
页数：5
中图分类：O322
正文语种：CHI
关键词：非线性弦振动;Kdv方程;速度孤波解;递减微扰法
摘要：文中用递减微扰法导出了非线性弦振动的Ｋdv方程，文中分析了无色散和无非线性（线性色散）两种特殊情况下的解，然后，详细的讨论了Ｋdv方程的速度孤波解的性态，并指出了非线性弦振动中孤波的主要特征。
波动方程的非线性波问题
波动方程的非线性波问题在数学中，波动方程是一个描述波动传播的偏微分方程。
其具体形式为：\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\nabla^2u其中u是波动的位移，t是时间，c是波速，\nabla^2是拉普拉斯算子。
对于线性波动方程，其解可以表示为一系列简谐波的叠加。
但是，当波动方程变为非线性时，问题就变得更加复杂。
非线性波动方程在很多领域中都有广泛的应用，比如声学、光学、地震学等。
其中，最为典型的例子是Korteweg-de Vries(KdV)方程。
这个方程最初是在河流水流的研究中提出来的，但后来被证明在很多领域都有应用。
KdV方程的具体形式为：\frac{\partial u}{\partial t}+6u\frac{\partial u}{\partialx}+\frac{\partial^3u}{\partial x^3}=0其中u是波动的位移。
这个方程的解可以表示为一个包含孤立波的波包，其中孤立波是一种不会衰减或扩散的波动。
这类波动被称为孤子(soliton)，是非线性波动方程的一种重要解。
孤子最初是由苏联科学家扎卡里·尼科拉耶维奇·卡尔玛诺夫(Karamnov)在1965年研究水流时发现的。
后来，来自日本的市村秀俊发现了小说中类似的孤立波现象，并将其称为“孤立波”，并更深入地研究了这个问题。
在学术界的共同努力下，KdV方程的解被成功地应用于众多领域，包括非线性光学、聚合物物理、等离子体等。
在研究非线性波动方程过程中，一个关键的问题是如何得到波动的解。
常见的方法是使用无穷小展开及其逆变换，如逆散射变换和逆拉普拉斯变换等。
逆散射变换是指将初始或边界条件转化为波的散射数据并通过反演得到波动的解。
这种方法在求解非线性方程时尤为有效，因为非线性方程的解往往无法使用常见的解析方法来求解。
因此，使用逆散射变换的方法，可以将问题转化为求解线性方程的解析解。
一个奇特的水波KdV方程
v dx w dt d 0 k
2.波动中的色散
色散波
一个波动可以看成许多平面波（谐波）w1、w2、w3… 的合成：
w k w vg k
v
如果所有谐波都以同一的速度行进，w1/k1w2/k2=...=常数，是非色散波； 如果每个谐波都有不同的行进速度， w/k≠常数，是色散波。 色散波将在传播中因弥散而消失。
KdV方程的孤立波解-1
设方程的解为
u u( x v0t ) u( )
方程变为 u
u u 2u u v0 2 0
u u 3u ( v) 3 0 t x x
整理后
u 3u (u ) 3 0
在尺度上：大到天文范围 ( 木星上巨型红斑 达4×108米， 约地球与月亮之间的距离；泰 国安达曼海面出现的孤立波约 150 公里宽；水面上孤立水波 的尺寸在1米量级)，小到纳米( 二硫化钽晶体中的电菏密度孤 立波)。
2.孤立波与孤立子
孤立子
计算发现，两个在空间传播的孤立波具有碰撞特性，说明：
(1)孤立波非常的稳定；(2)象一个物质粒子。
1. 一个奇特的水波
罗素的发现
水槽中的实验
罗素在一长水槽的一端，用一重锤垂落入水中，反复的观察重锤激起的水 浪的运动。
实验结论 水波移动速度 v、水的深度 d 及水波幅度 A的关系为：
v 2 B(d A)
波幅的宽度对高度之比也相对较窄。
B 为比例常数
实验结果说明水波的运动速度与波幅高度有关，波幅高的速度较快，且
孤立波
第一节 历史回顾 第二节 KdV方程 第三节 正弦—高登方程 第四节 非线性薛定谔方程与
双模耦合KdV方程的多孤子解与精确解
双模耦合KdV方程的多孤子解与精确解双模耦合KdV方程是描述非线性波动现象的重要数学模型之一，它在物理学和工程领域中具有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论双模耦合KdV方程的多孤子解和精确解，探讨其在实际应用中的意义和应用价值。
让我们回顾一下双模耦合KdV方程的基本形式：\frac{\partial u}{\partial t} + \alpha u \frac{\partial u}{\partial x} + \beta v \frac{\partial u}{\partial x} + \gamma \frac{\partial^3 u}{\partial x^3} = 0u和v分别代表两种不同类型的波动，α、β和γ分别是方程中的常数系数。
我们将在接下来的内容中研究这个方程的多孤子解和精确解。
多孤子是一种具有粒子性质的孤立波动解，它们在非线性波动系统中具有重要的数学和物理意义。
多孤子解的出现，标志着非线性波动系统中存在一定的稳定性和可积性。
对于双耦合KdV方程而言，其多孤子解的表达式可以由N孤子解叠加而成，其一般形式如下：u(x,t) =2\sum_{n=1}^{N}a_nsech^2\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{2}}(x-c_nt-x_n)\right)a_n、b_n、c_n和x_n分别代表N个孤子的振幅、速度、位置和形状参数，λ_n为常数。
这种形式的多孤子解可以通过适当的参数选择，描述出系统中不同类型波动的相互作用和传播过程，对于非线性波动系统的建模和分析具有重要的意义。
对于双耦合KdV方程的精确解，我们可以通过适当的数学方法和技巧进行求解，得到更加精确和准确的解析形式。
可以采用类似于逆散射方法、行波解方法等高级数学技术，来求解该方程的精确解。
这种方法可以得到各种不同类型的波动解，如孤子解、解析解、周期解等。
双模耦合KdV方程的多孤子解和精确解在非线性波动系统的研究中具有重要的意义和应用价值。
含外力项时变系数Kd V方程与时变系数耦合Kd V方程组的孤子解
含外力项时变系数Kd V方程与时变系数耦合Kd V方程组的孤子解杨绍杰;化存才【摘要】This paper studied the KdV equation with time-dependent coefficients and forcing term and the cou-pled KdV equations with time-dependent coefficients by using soliton ansaze.Firstly,the equation was converted to homogeneous equation by using a variable transformation.Then,by assuming the soliton solutions to be the form of sech function,and with the help of Maple software,the complicated and tedious calculations were per-formed,and the conditions of existence of solitons and soliton solutions were obtained.The results show that the calculation of soliton ansaze is simple and can obtain bright soliton solutions.%应用孤子拟解法研究了含外力项时变系数KdV方程与一类时变系数耦合KdV方程组。
首先将方程经过变量代换转换为齐次方程，然后将孤子解假设为双曲正割函数的形式带入方程或方程组，最后借助Maple软件完成复杂的计算来确定假设的孤子解的待定系数，从而得到孤子解存在的条件及其孤子解。
结果显示：孤子拟解法计算简便且能得到方程的亮孤子解。
变系数kdv方程的多种孤波解
变系数 KdV 方程是一种非线性偏微分方程，用来描述浅水调和波的动态过程。
变系数 KdV 方程的形式为：
u_t + uu_x + u_xxx = 0
其中 u 是浅水调和波的海洋水位函数，t 是时间，x 是空间坐标。
变系数 KdV 方程的多种孤波解包括：
1、特殊的孤波解：这种孤波解的形式为 u(x,t) = A(t)sinx，其中 A(t) 为时间函数。
2、相对的孤波解：这种孤波解的形式为 u(x,t) = c1sinx + c2cosx，其中 c1 和 c2 是常数。
3、小孤波解：这种孤波解的形式为 u(x,t) = a(t)sin(kx+变系数 KdV 方程的多种孤波解还包括：
4、大孤波解：这种孤波解的形式为 u(x,t) = a(t)sin(kx+φ(t)) + b(t)cos(kx+φ(t))，其中 a(t)、b(t) 和φ(t) 都是时间函数。
5、常数孤波解：这种孤波解的形式为 u(x,t) = c1cos(kx+c2t)，其中 c1 和 c2 是常数。
6、扩展孤波解：这种孤波解的形式为 u(x,t) = a(t)sin(kx+φ(t)) + b(t)cos(kx+φ(t)) + c(t)sin(kx+φ(t))，其中 a(t)、b(t)、c(t) 和φ(t) 都是时间函数。
kdv方程解的性质
kdv方程解的性质前言 (1)1 KdV方程的建立 (1)1.1 KdV方程的意义 (1)1.2 KdV方程的发现 (1)1.3 KdV方程的简单推导 (2)1.4 KdV方程常见形式 (3)2 KdV方程的孤立波解 (4)2.1行波法 (4)2.2 齐次平衡法 (6)2.3 3角函数法 (7)2.4 双函数法、吴文俊消元法 (9)2.5 -展开法 (11)2.6 Jacobi椭圆函数展开法 (13)2.6.1 Jacobi椭圆正弦函数展开法 (14)2.6.2 Jacobi椭圆余弦函数展开法 (15)2.6.3第3类Jacobi椭圆函数展开法 (15)2.7 试探法 (15)结论 (17)参考文献 (17)英文摘要 (18)致谢 (18)求KdV方程孤立波解的方法综述摘要：本文简单介绍了水中孤波的数学模型方程——KdV方程的发现和推导过程，简单介绍了KdV方程的重要意义，列举了该方程常见的几种研究形式，对最新的几种求KdV方程孤立波解的方法和计算过程进行了简单的归纳。
这些方法有：行波法、齐次平衡法、3角函数法、双函数法、吴文俊消元法、-展开法、Jacobi椭圆函数展开法、试探法等。
这些求解方法都从不同的角度探讨KdV方程的求解和这些解的性质，然而这些方法又是相辅相成的。
因为KdV方程是典型的非线性发展方程，是研究其他方程的基础，在此基础上发展起来的孤立子理论可以说是数学物理方法的里程碑，因此这些方法对其他非线性方程的求解有重要意义，并且对发现求解KdV方程的新方法有1定帮助。
关键词：非线性；KdV方程；孤立波解Summary of Several Methods of Solitary Wave Solutions to KdV EquationAbstract:This article simply introduces mathematical model equation of the solitary wave in the water ------- discovery and deducing process of KdV equation , introduces vital significance of KdV equation, enumerates several common forms of KdV equation , and summarizes several newest methods of the solitary wave solutions to KdV equation . These newest methods includes traveling wave method , even balance method , triangle function method , double function method , Wu Wenjun elimination method , -expansion method , Jacobi elliptic function expansion method , trial method and so on . These methods discuss solution and nature of KdV equation from different angles . However these methods are complementary one another . The KdV equation is typical nonlinear development equation , is foundation ofstudying other development equation . The solitary theory based on this is milestone in mathematical physic . Therefore , These methods have the vital significance to s olutions of other nonlinear equation .And it is helpful to find new methods to solve KdV equation. Keywords:Nonlinear ; Kortweg-de Vries equation ; Solitary wave solution前言KdV方程是典型的非线性发展方程。
kdv方程范文
kdv方程范文KDV方程是非线性偏微分方程的一种，全称为Korteweg-de Vries方程。
它是描述非线性波动现象的一种数学模型。
在数学物理学中，波动方程是一类常见的方程，通常用来描述波动的行为以及它们在介质中的传播方式。
而KDV方程则是对于一维波动现象的特定情况进行建模。
KDV方程最早由荷兰科学家Korteweg和de Vries在1895年提出，用来描述运动和波动在浅水域中的行为。
这个方程最初是为了解释Dutch Rijkswaterstaat（荷兰国家水务局）在完成与海上运动行为有关的工程项目时遇到的问题而引入的。
随着时间的推移，该方程被修订和推广，以适用于更广泛的波动现象，包括光学中的非线性传播、等离子体物理学等。
KDV方程的数学形式如下：∂u/∂t+c∂u/∂x+β∂³u/∂x³=0其中，u是波动的振幅，t是时间，x是空间坐标，c是线性波速，β是非线性系数。
这个方程描述的是波动振幅随时间和空间的变化关系。
第一项∂u/∂t表示波动的随时间变化，第二项c∂u/∂x表示波动的传播速度随空间变化，第三项β∂³u/∂x³表示波动的非线性效应。
KDV方程的一个重要特性是可以支持孤立子解。
孤立子是一种稳定的局部化波动现象，即一种仅在有限时间和空间范围内存在的波动。
由于非线性效应的存在，KDV方程的解可以同时满足线性波动方程和非线性波动方程的性质，从而产生孤立子解。
这也被认为是该方程的特殊之处。
通过适当的变换和技巧，可以将KDV方程转化为其他形式的方程，如非线性薛定谔方程、吉布斯方程等。
这些方程都是用于描述不同领域内的非线性波动现象的重要工具。
KDV方程在物理学和应用数学领域中被广泛应用。
它不仅在水动力学、光学等领域中发挥着重要作用，还在其他一些研究中发现了新的应用。
例如，在等离子体物理学中，研究等离子体中的孤立子行为和非线性波动现象时经常会用到KDV方程。
KdV方程方案论证
KdV方程方案论证简介KdV方程，即Korteweg-de Vries方程，是描述非线性波动现象的偏微分方程。
它广泛应用于流体力学、光学、固体力学和等离子体物理等领域。
本文将论证KdV方程在实际问题中的有效性和适用性。
KdV方程的数学描述KdV方程是一个描述非线性波动现象的偏微分方程，其数学描述如下：$$ \\frac{\\partial u}{\\partial t} + c \\frac{\\partial u}{\\partial x} + \\alphau \\frac{\\partial u}{\\partial x} + \\beta \\frac{\\partial^3 u}{\\partial x^3} = 0 $$其中，u(x,t)表示波动的幅度，x表示空间坐标，t表示时间，c表示波的传播速度，$\\alpha$和$\\beta$是常数。
KdV方程的解析解KdV方程是可积的，即可以通过逆变换得到解析解。
该方程的解析解可以通过使用Lax对线法、Darboux变换等方法得到。
Lax对线法将KdV方程转化为一个线性的本征值问题，通过求解该本征值问题可以得到KdV方程的解析解。
Darboux变换是求解非线性偏微分方程的一种有效方法，可以通过对一个已知解进行特定的变换得到新的解。
这些解析解的存在使得KdV方程在实际问题中具有一定的适用性和可解性。
KdV方程的数值解尽管KdV方程具有解析解，但在实际问题中，由于边界条件或初值条件的复杂性，往往很难获得解析解。
因此，数值解方法在求解KdV方程中起着重要的作用。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些方法可以将KdV方程离散化成一个方程组，然后通过迭代求解来获得近似解。
此外，还有一些高效的数值方法，如级数展开法、辛方法和Krylov子空间方法等，可以更准确地求解KdV方程。
因此，数值方法使得KdV方程的研究更加灵活和实用，可以应用于实际问题的解决。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
引言
ห้องสมุดไป่ตู้
为了研究诸如孤立子、 混沌、 湍流、 吸引子和分形等非线性问题， 人们往往借助于描述它们的数学模 — —非线性演化方程来研究这个问题 ． 自从 1834 年 Russell J S 第一次发现孤波现象［1］， 型— 并在 1967 年由 Gardner 等人利用反散射方法求得 KdV 方程的孤波解之后， 寻找非线性演化方程 （ NLEEs ） 的孤波解成为 了非线性领域中非常热门的课题之一 ． 为了获取非线性演化方程的精确周期解 ， 人们提出了许多方法， 如
N
u（ x， t） =
a n F n （ ξ） ， ∑ n = －N
aN ≠ 0
（ 3）
F （ ξ） 满足常微分方程 F ' = C + λ F + μF2 ， 这里 a i 是待定常数， 其中 C ， λ， μ 是待定常数， 正整数 N 由具支 配地位的非线性项与最高阶偏导数项齐次平衡确定 ． （ ⅲ） 将式（ 2 ） 代入式（ 1 ） ， 利用式（ 3 ） 可将式（ 1 ） 的左端变成关于 F （ ξ） 的多项式， 置 F （ ξ） 的各次幂
第 32 卷
hαa2 a －1 λ + 2 a2 C α ' x + a1 λα ' x + 16 gα3 a2 μC2 + 2 a2 C β ' = 0 ； 2 hαa2－2 λ + 3 hαa －2 a －1 C + 54 gα3 a －2 λ C2 + 6 gα3 a －1 C3 = 0 ；
3 2 ' 2 hαa0 a2 μ + 2 a2 μα ' x + 12 gα3 a1 λμ2 + 3 hαa1 a2 λ + 2 hαa2 2 C + 2 a 2 μβ + 38 g α a 2 λ μ + 3 2 h αa2 1 μ + 40 g α a 2 μ C = 0 ；
对方程作如下行波变换： u = u（ ξ） ， ξ = α（ t ） x + β （ t ） ， 同时根据齐次平衡得到 N = 2 ， 所以方程具有如 下形式的解： u = a －2 （ t ） F －2 （ ξ） + a －1 （ t ） F －1 （ ξ） + a0 （ t ） + a1 （ t ） F （ ξ） + a2 （ t ） F2 （ ξ） ， 其中 F 满足方程 F = C + λ F + μF ． ' 通过对 u 求偏导数 ， 得到
2 hαa0 a －2 C + 2 a －2 C α ' x + 12 gα3 a －1 λ C2 + 3 hαa －1 a －2 λ + 2 hαa2－2 μ + 2 a －2 C β ' + 38 gα3 a －2 λ2 C + hαa2－1 C + 40 gα3 a －2 μC2 = 0 ；
3 3 2 h αa2 = 0； 2 μ + 24 g α a 2 μ
u x = － 2 a －2 （ t ） F －3 （ ξ） F ' （ ξ） α（ t ） － a －1 （ t ） F －2 （ ξ） F ' （ ξ） α（ t ） + a1 （ t ） F ' （ ξ） α（ t ） + 2 a2 （ t ） F （ ξ） F ' （ ξ） α（ t ） 代入变系数 KdV 方程（ 4 ） 可以得到关于 F ' 函数和 F 函数的若干次幂的方程， 通过使各系数等于 0 ， 得到如 下方程组： － 2 gα3 a －2 μ2 C + gα3 a1 λ2 C + a1 C β ' － hαa0 a －1 μ + 2 gα3 a1 μC2 － a －1 μβ ' － 6 gα3 a －2 λμ2 +
' a 1 C α ' x － g α3 a － 1 λ 2 μ + h α a 0 a 1 C + a0 － hαa －1 a1 μ + 6 gα3 a2 C2 λ + hαa －1 a2 C － a －1 μα ' x = 0 ；
－ 7 gα3 a －1 λ2 C － 52 gα3 a －2 μλ C － 3 hαa －2 a －1 μ － 8 gα3 a －1 μC2 － a －1 C β ' － 2 a －2 λβ ' + a '－2 － 2 hα0 a －2 λ － hαa2－1 λ － 8 gα3 a －2 λ3 － a －1 C α ' x － 2 a －2 λα ' x － hαa0 a －1 C － hαa －2 a1 C = 0 ； － 16 gα3 a －2 μ2 C － 2 hαa －2 a －1 μ － hαa2－1 μ + a '－ 1 － 8 gα3 a －1 λμC － 2 c － hαa －2 a －1 λ － 2 a －2 μα ' x － gα3 a －1 λ3 － a －1 λβ ' － 14 gα3 a －2 λ2 μ － a －1 λα ' x － hαa0 a －1 λ = 0 ；
1
F － 展开法的扩充
F － 展开法是齐次平衡法的新应用， 可视为 Jacobi 椭圆函数、 三角函数以及双曲正切函数展开方法的
全面概括． 给定含两个自变量的非线性演化方程 ： P（ u， ut ， ux ， uu ， u tx ， u xx ， …） = 0 ，
（ 1）
其中 P 为其变元的多项式， 包含有非线性项和高阶偏导数项 ． 对 F － 展开法作扩展， 给出求解方程的步骤 如下： （ ⅰ） 求方程的行波解 u（ x， t） = u（ ξ） ， k， ξ = kx － ωt， ω 为待定常数． 将上述行波解代入方程， 则将方程化为关于 u（ ξ） 的常 u' ， u″， …） = 0 ． （ 2） 微分方程： P （ u， （ ⅱ） 假设 u（ ξ） 可表示为 F （ ξ） 的有限幂级数（ F － 展开式）
第 32 卷 第 8 期 2012 年 6 月
*
绍 兴 文 理 学 院 学 报 JOURNAL OF SHAOXING UNIVERSITY
Vol． 32 No． 8 Jun． 2012
变系数 KdV 方程的多种孤波解
沈水金
（ 绍兴文理学院 摘 数学系， 浙江 绍兴 312000 ）
要： 对 F － 展开法作了适当的扩充： 让 F 函数的幂扩充为从 － N 次到 N 次的形式， 同时让 F 满足不同形式的方程， 得到
2 hαa2－2 C + 24 gα3 a2 C3 = 0 ；
' 7 gα3 a1 μ2 C + 52 gα3 a －2 μλ C + 3 hαa2 a1 C + 8 gα3 a1 μ2 C + a1 μβ ' + 2 a2 λβ ' － a2 +
3 3 ' ' 2 h α0 a 2 λ + h α a 2 1 λ + 8 g α a 2 λ + a 1 μα x + 2 a 2 λα x + h α a 0 a 1 μ + h α a 2 a － 1 C = 0 ．
－1 u t = a '－2 （ t） F －2 （ ξ） － 2 a －2 （ t） F －3 （ ξ） F ' （ ξ） ［ α ' （ t） x + β ' （ t） ］ + a '－1 （ t） F （ ξ） －
（ 5）
'
2
' ' a －1 （ t） F －2 （ ξ） F ' （ ξ） ［ （ t ） + a1 （ t） F （ ξ） + a1 （ t） F ' （ ξ） ［ α ' （ t） x + β ' （ t） ］ + a0 α ' （ t） x + β ' （ t） ］ + ' （ t） F2 （ ξ） + 2 a s （ t） F （ ξ） F ' （ ξ） ［ ， a2 α ' （ t） x + β ' （ t） ］
2
变系数 KdV 方程的更多形式的精确解
KdV 方程是孤立子理论的基础方程， 并且众多学者利用一系列求解方法给出了很多形式的精确解 ． 而
目前对变系数方程的研究更是受到了很多人的关注 ， 变系数 KdV 方程形式如下： u t + h（ t） uu x + g（ t） u xxx = 0 ．
（ 4）
通过 maple 软件和吴方法， 求解上述方程组可以得到如下解的情况 ： 2． 1 第一种情况 a －2 = a －1 = 0 ； a2 = － 12 gα2 μ2 12 gα2 μλ = 常数； a1 = － = 常数； h h （ 6）
6） 取 C = 1， F （ ξ） = coth ξ； λ = 0， μ = － 1， 则得到微分方程的解： F （ ξ） = tanh ξ， 1 1 7） 取 C = ， λ = 0， μ = ， 则得到微分方程的解： F （ ξ） = sec ξ + tan ξ 或 F （ ξ） = csc ξ － cot ξ； 2 2 8） 取 C = 1 1 ， λ = 0， μ =－ ， 则得到微分方程的解： F（ ξ） = coth ξ ± csch ξ， 或 F（ ξ） = tanh ξ ± isech ξ． 2 2
3） 取 C = 1， λ = 0， μ = 1， 则得到微分方程的解： F （ ξ） = tan ξ； 1 4） 取 C = 0， （ m 为任意常数） ； λ = 0， μ ≠ 0， 则得到微分方程的解： F （ ξ） = － μξ + m 5） 取 C = － 1 1 ， λ = 0， μ =－ ， 则得到微分方程的解： F （ ξ） = sec ξ － tan ξ 或 F （ ξ） = csc ξ + cot ξ； 2 2