2011年一道广东文科数学高考试题的教学设计反思
2011年高考广东数学试卷评析
2011年高考广东数学试卷评析2011年广东高考数学试卷分文、理两卷，试题整体稳定、难易适中，贴近考生，有利于素质教育和高校选拔新生；充分体现了考基础、考能力、考素质、考潜能和以考生发展为本的考试目标，对今后中学数学教育改革有良好的推动与导向作用.针对这套试卷让我们一起来看下述三个问题.一、试题特点（1）基础题以小综合的形式出现统观全卷，基础题分值约占72分（选择题与填空题的最后一题未列入其中，而解答题的第一题属于基础题），这些基础题无一例外的都是涉及多个知识点的小型综合题，有的是本题所在章节知识范围内的综合如：第1、3、4、6、7、10、11、16；有的是与章节外的知识的综合如：第2题（圆与集合）、第5题（线性规划与平面向量），由于基础试题的综合性，使考查的力度明显加大.请看：（理第5题）已知平面直角坐标系xOy上的区域D 由不等式组0≤x≤■,y≤2,x≤■y给定.若M(x，y)为D上动点，点A的坐标为(■，1)．则z=■?■的最大值为（）A. 4■B. 3■C. 4D. 3简解:如图，区域D为四边形OABC及其内部区域，z=（x,y）?（■,1）=■x+y,即z为直线则y=-■x+z的纵截距，显然当直线y=-■x+z经过点Ｂ（■，２）时，z取到最大值，从而zmax=（■）２＋２＝４，故选Ｃ.这是一道位于试卷第5的试题，应该说是一道简单题，但做起来并非十分简单.首先要会计算z=■?■，然后，再回归线性规划问题.此题能保证百分这八十的考生都能做对吗？我看很难.（2）部分试题背景新颖、思路灵活高考的公平性原则对命题人设计试题的背景提出了较高的要求.本次考试，有些试题的设计确实让你不得不佩服得五体投地，请看：第13题“某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm.”解析：根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的对应数据可列表如下：■=173,■=176,∴b=■=■＝１,a=■-b■=176-173=1, ∴所以回归直线方程为y=x+3，从而可预测也他孙子的身高为１８２＋３＝１８５cm.对于此题本人在高二的两个班中进行课前小测让学生用八分钟的时间完成，结果一个班中50名同学只有11人做对，另一个班50名同学中只有10 人做对.高考的结果也可想而知了.为什么会这样呢？试题背景新、灵活性自然增大，在本题中其实有四代人，其中三个父亲、三个儿子，认清这一点后x,y的变量的关系式也就产生了，否则，结论永远无法产生.（3）加强思想、方法的考查数学思想是数学的精髓，对数学解题具有指导作用；本卷中主要考查的数学思想有：①特殊化思想：第3题：若向量■,■,■满足■//■,且■⊥■,则■?（■＋２■）＝（）A．4B．3C．2D．0解：由■//■，令■=（1,0）,■=（2,0），又■⊥■，令■=（0,1），则立得答案D.第4题：设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+g（x）是偶函数B. f（x）-g（x）是奇函数C．f（x）＋g（x）是偶函数D．f（x）-g（x）是奇函数解：设f（x）=x2，g（x）=x，则立得答案A.②数形结合思想，如第19题：设圆C与两圆（x+■）2+y2=4,（x-■）2+y2=4中的一个内切，另一个外切.（1）求C的圆心轨迹L的方程.（2）已知点M（■,■）,F（■,0）且P为L上动点，求MP-FP的最大值及此时点P的坐标.我们看：解：（１）设Ｆ′（－■,0）,Ｆ（■,0）,并设圆Ｃ的半径为r，则CF ′-CF=（２＋r）-（r-2）=4,又４■，∴P点的横坐标应取■＝■，代入得其纵坐标为－■，综上所述，MP-FP的最大值为２，此时点Ｐ的坐标为（－■，■）.本题的两问中，集中体现的是数形结合思想.第一问通过画出图形，结合图形产生了“CF ′－CF＝４”，进一步产生结论，第二问的求解中，我们不仅能够从“MP-FP”中窥视到三点共线时产生最值，还能够从中找出哪一点是取得最值的点.数形结合，不仅便于直观求解，更重要的是它产生结论的方法，几乎是唯一方法.③归纳、猜想、证明.第20题“设b>0,数列an满足a1=b,an=■（n≥2）,（1）求数列{an}的通项公式”解：当b=2时，■=■+■,此时，■=■,从而an=2.当b≠2时，a1=b，a2=■=■,a3=■=■,猜想an=■，下面用数学归纳法证明：①当n=1时，猜想显然成立；②假设当n=k时，ak=■，则ak+1=■=■=■，所以当n=k+1时，猜想成立，由①②知，?坌n∈N*，an=■．很早以前，高考特别重视对这一思想方法的考查.时至今日，它又卷土重来，重新让我们走这条路.想一想，不奇怪.新课标教材对考生观察、分析、推理、论证的能力有特殊要求，为此还在教材中专门设立一章“推理与证明”，显然，这就非常正常了.另有方程思想、函数思想、分类讨论思想等都溶解试题的求解过程之中.数学思想、方法的合理选择，可以看出考生思维的灵活性，把数学思想方法置于数学试题之中可以很快的抓住问题的本质，准确的将问题转化，从而顺利地进行求解.（4）精巧试题层出不穷，亮点随处可见理科第6、7、8、13、20、21题，文科第2、6、7、9、10、12、13、18、19、21题等都是非常漂亮的精巧试题，欣赏一下理科的第8题：设S是整数集Z的非空子集，如果?坌a,b∈S,有ab∈S,则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z且?坌a,b,c∈T，有abc∈T,?坌x,y,z∈V有xyz∈V．则下列结论恒成立的是（）A．T,V中至少有一个关于乘法是封闭B．T,V中至多有一个关于乘法是封闭C．T,V中有且只有一个关于乘法是封闭D．T,V中每一个关于乘法是封闭分析：若C正确，则T,V中有且只有一个关于乘法是封闭，此时A一定正确；于是C一定不正确；同理若D正确，则A也一定正确；于是正确答案就在A、B之中.又当Ｔ＝奇数，Ｖ＝偶数时，T,V显然关于乘法都是封闭的，故选A.（5）注重知识的交汇性关注知识的内在联系和综合，在知识网络的交汇点处设计试题，是高考命题改革与发展的基本要求；本套试卷较准确地突出了这一要求；第16题文理试题几乎相同，本题考查了三角函数、诱导公式、特殊角的三角函数值、两角和与差的三角函数等，将三角的知识与技能融为一体进行了较综合的考查，但试题难很小，属于广大考生普遍能得分之题.第17题文、理都是概率统计题考到的基础知识有：抽样方法、标准差、统计表、古典概型、分布列与数学均值等.立体几何主要考查线面位置关系，文理试题的难度都不大，但求解此题应用立几中的所有的基础知识与基本技能，可以说是立几范围内质量较好的综合性试题.注：理科题还可以建立空间直角坐标系进行求解，只是要找好三条两两垂直的直线.最具代表性的试题是理科第20题的第二问，让我们一起来欣赏一下：当b=2时，an=2,■+1=2,∴an=■+1,从而原不等式成立;当b≠2时，要证an≤■+1,只需证■≤■+1,即证■≤■＋■,即证■≤■＋■,即证n≤■+■+■+…+■+■+■+■+…+■+■，而上式左边=（■+■）＋（■+■）+…+（■+■）＋（■+■）≥２■＋２■＋…＋２■＋２■=n.∴当b≠2时，原不等式也成立，从而原不等式成立.本题与不等式的交汇达到了近乎完美的程度，既相当隐含又非常灵活.（6）加强对算运算的合理性与科学性的考查2011年高考考纲明确指出，运算能力包括分析运算条件，探究运算方向，选择运算公式，确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.下面我们一起来欣赏理科压轴题，看看在这一题中是如何体现考纲的要求.在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线Ｌ:y＝■x2.实数p,q满足p2-4q≥0,x1,x2是方程x2-px+q=0的两根，记??I（p,q）=max{x1,x2}.（１）过点A（p0,■p02）（p0≠0）作Ｌ的切线交y轴于点Ｂ.证明：对线段ＡＢ上的任一点Ｑ（p,q）,有??I（p,q）=■;（2）设M（a,b）是定点，其中a,b满足a2-4b>0,a≠0.过M（a,b）作L的两条切线l1,l2，切点分别为E（p1,■p12），E′（p2,■p22）,l1,l2与y分别交于F,F′.线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M（a,b）∈X?圳p1>p2?圳??I（a,b）=■；（3）设D=（x,y）y≤x-1,y≥■（x+1）2-■，当点（p,q）取遍D时，求?渍（p,q）的最小值（记为?渍min）和最大值记为（记为?渍max）.解：（１）显然A（p0,■p02）在抛物线L上，∴过点Ａ的抛物线Ｌ的切线方程为：y-■p02=■p0（x-p0），即y=■p0x-■p02，若p0>0，则线段AB的方程为y=■p0x-■p02（0≤x ≤po）；若p00时，0≤p≤p0，则??I（p,q）=max{x1,x2}=■=■=■；当p00,b=（a-p1）2（a>p1或ap1时，?渍（a,b）＝■=a-■≠■（∵a≠p1）；当a0（如下图），∴b=（a-p1）2（p1p2，∴p1>p2，同理，当p1>0时，由Ｍ（a,b）∈X，可得p1>p2，综上所述Ｍ（a,b）∈X?圳p1>p2 ?圳?渍（a,b）＝■.（３）如下图，Ｄ表示直线y=x-1下方及抛物线y=■（x+1）2-■上方的区域（含边界），易知Ａ（0,-1）,B（2,1），当点（p,q）∈D时，■（p+1）2-■≤q≤p-1，从而（p-2）2≤p2-4q≤4-2p （0≤p≤2），■≤?渍（p,q）=■≤■，∴?渍（p,q）≥■=1，即?渍min=1，设■=t∈[0,2],则■＝■=■=■≤■，∴?渍max=■，综上所述，?渍min=1，?渍max=■.很多考生反映本题的难度大，读一遍都十分吃力.首先本题的新定义“??I（p,q）=max{x1，x2}”让一少考生无法认识.其次，在第一问的证明上条件“对线段ＡＢ上的任一点Ｑ（p,q）”的利用，也让不少考生难以下手，这些都增大试题的难度.其实第一问还算常规建立在分类的基础上，利用上Ｑ（p,q）在线段AB上，不难产生结论.第二问难度较大，应该说是四个命题的合成，首先可以充分利用第一问的结论，说明“若Ｍ（a,b）∈X，则?渍（a,b）＝■”及“当Ｍ（a,b）?埸X时，?渍（a,b）≠■”，显然这里既证明了原命题也证明了否命题，合在一起正好证明了一个充要条件.再结合方程说明“Ｍ（a,b）∈X?圳p1>p2”，也就完成了第二问的证明.可见对运算的合理与科学性的要求有多高？第三问其实是一个独立的内容，首先求得p的范围，进一步转化为求闭区间上函数的最值，应该说，这一问的难度是不太大的，若不是被前两问吓蒙了的话，完成这一问的求解是完全有可能的.（7）热点、重点内容的考查当向量、导数、概率与统计进入中学教材以来，始终是倍受关注的热点.人们普遍认为：高考一定会考.理由很简单，因它是新增的，要借助高考的“指挥大棒”来召示中学师生：这些内容很重要.理科卷，仅上述三个内容试题分值已超过35分（即第3、6、13、17、21题）；文科卷，仅上述三个内容试题分值已达35分（即第3、13、17、19题）.可见，热点果然有内容.另一个古老的热点问题：应用性问题.考试说明对应用意识要求较高，它指出：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.本次试卷中，理科考了三题，涉及分数约23分，文科考了两题涉及分数约18分.与去年相比有较大的减少.二、试卷的布局理科卷中选择题与填空题共14道，有两题（第8题与第13题）属于难题.第6题、第10题与第13题皆属于概率与统计试题，第6题的隐含条件隐的“太深”，轻易发现不了，当发现后就不难了.但第8题与第13题就不同，它真的很难.六个解答题第16题、第17题、第18题属于基础题与中档题，只要练习到位还是很容易得分的，值得一提的是，只要你在高考前认真的阅读过《高中》关于高考的预测的几篇文章，完成这几题也不成问题，因为它都在哪几篇文章的预测之中.后三题都有难度，尤其是最后两题，对于很多考生几乎都成了废题，中山市广一模的数学冠军说：最后一题连读三遍，不明其意，只得放弃.可以看出难题的分布欠佳，第8题、第13题及最后两题，它使整个分数下了几个档次.虽然我们也曾指导学生，当遇到不会做的题时，要学会跳过去；但由于心理因素，“量尺”度量的准确性是会打折扣的.但难题多的时候，都跳过去吗？显然，这也或多或少的影响分数的信度.三、2012年高考复习建议看看2011，想想2012；有几点应该引起我们的关注：（1）基础知识、基本技能、基本方法始终是高考试题考查的重点，且从近年的高考试题看，对基础知识的要求更高、灵活性更大了，只有基础扎实的考生才能正确地作出判断.（2）结合具体问题加强数学思想方法的训练，注意通性、通法，淡化特殊技巧；（3）以逻辑思维能力为核心，抓住运算能力是思维能力与运算技巧结合的特点强化运算能力，同时兼顾算理及逻辑推理能力；（4）从对空间图形的观察、分析、变换、抽象入手，培养空间想象能力；（5）新增内容是高考试题新的滋生点，面对新增内容要注意深度与广度，既要抓住它与其它知识的交汇题，更要注意新情境下，设计的新问题；（6）应用性问题每年都会考，新的课标把中学生的建模能力、解决实际问题的能力，提出的很响亮，用什么方式引起中学师生的关注呢？谁都会用考试的指挥棒.（作者单位：中山市第一中学）责任编校徐国坚“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。
2011年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2011年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•广东）设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则z=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】我们可以利用待定系数法求出Z，我们设Z=x+yi，结合已知中iz=1，结合复数相等的充要条件，我们易构造出一个关于x，y的方程组，解方程组即可求出满足条件的复数Z的值．【解答】解：设Z=x+yi∵iz=1，∴i（x+yi）=﹣y+xi=1故x=0，y=﹣1∴Z=﹣i故选A【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，其中利用复数相等的充要条件，构造出一个关于x，y 的方程组，是解答本题的关键．2．（5分）（2011•广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B=|（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】观察两集合发现，两集合表示两点集，要求两集合交集元素的个数即为求两函数图象交点的个数，所以联立两函数解析式，求出方程组的解，有几个解就有几个交点即为两集合交集的元素个数．【解答】解：联立两集合中的函数关系式得：，由②得：x=1﹣y，代入②得：y2﹣y=0即y（y﹣1）=0，解得y=0或y=1，把y=0代入②解得x=1，把y=1代入②解得x=0，所以方程组的解为或，有两解，则A∩B的元素个数为2个．故选C【点评】此题考查学生理解交集的运算，考查了求两函数交点的方法，是一道基础题．本题的关键是认识到两集合表示的是点坐标所构成的集合即点集．3．（5分）（2011•广东）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+λ向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故选B．【点评】本题考查两个向量平行的坐标表示，考查两个向量坐标形式的加减数乘运算，考查方程思想的应用，是一个基础题．4．（5分）（2011•广东）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．【点评】本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．5．（5分）（2011•广东）不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A．（﹣，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根；利用二次方程解集的形式写出解集．【解答】解：原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0∴x＞1或x＜故选：D【点评】本题考查二次不等式的解法：判断相应的方程是否有根；若有根求出两个根；据二次不等式解集的形式写出解集．6．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．4【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；数量积的坐标表达式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先做出可行域，将z=•的坐标代入变为z=，即y=﹣x+z，此方程表示斜率是﹣的直线，当直线与可行域有公共点且在y轴上截距最大时，z有最大值．【解答】解：首先做出可行域，如图所示：z=•=，即y=﹣x+z做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．因为B（，2），所以z的最大值为4故选：B【点评】本题考查线性规划、向量的坐标表示，考查数形结合思想解题．7．（5分）（2011•广东）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）A．20 B．15 C．12 D．10【考点】棱柱的结构特征．【专题】立体几何．【分析】抓住上底面的一个顶点，看从此顶点出发的对角线有多少条即可解决．【解答】解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．故选D【点评】本题考查计数原理在立体几何中的应用，考查空间想象能力．8．（5分）（2011•广东）设圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆 D．圆【考点】圆的切线方程；圆与圆的位置关系及其判定；抛物线的定义．【专题】直线与圆．【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可的动点的轨迹．【解答】解：设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，圆x2+（y﹣3）2=1的圆心为A，∵圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切∴|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r∴|CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=﹣1的距离由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．故选A【点评】本题考查了圆的切线，两圆的位置关系及抛物线的定义，动点的轨迹的求法，是个基础题．9．（5分）（2011•广东）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C． D．2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案．【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面棱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选C【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键．10．（5分）（2011•广东）设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），则下列等式恒成立的是（）A．（（f°g）•h）（x）=（（f•h）°（g•h））（x）B．（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C．（（f°g）°h）（x）=（（f°h）°（g°h））（x）D．（（f•g）•h）（x）=（（f•h）•（g•h））（x）【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），然后逐个验证即可找到答案．【解答】解：A、∵（f°g）（x）=f（g（x）），（f•g）（x）=f（x）g（x），∴（（f°g）•h）（x）=（f°g）（x）h（x）=f（g（x））h（x）；而（（f•h）°（g•h））（x）=（f•h）（（g•h）（x））=f（g（x）h（x））h（g（x）h（x））；∴（（f°g）•h）（x）≠（（f•h）°（g•h））（x）B、∵（（f•g）°h）（x）=（f•g）（h（x））=f（h（x））g（h（x））（（f°h）•（g°h））（x）=（f°h）•（x）（g°h）（x）=f（h（x））g（h（x））∴（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C、（（f°g）°h）（x）=（（f°g）（h（x））=f（g（h（x））），（（f°h）°（g°h））（x）=f（h（g（h（x））））∴（（f°g）°h）（x）≠（（f°h）°（g°h））（x）；D、（（f•g）•h）（x）=f（x）g（x）h（x），（（f•h）•（g•h））（x）=f（x）h（x）g（x）h（x），∴（（f•g）•h）（x）≠（（f•h）•（g•h））（x）．故选B．【点评】此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力，和知识方法的迁移能力．二、填空题（共5小题，考生作答4小题每小题5分，满分20分）11．（5分）（2011•广东）已知{a n}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q=2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知{a n}是递增等比数列，a2=2，我们可以判断此数列的公比q＞1，又由a2=2，a4﹣a3=4，我们可以构造出一个关于公比q的方程，解方程即可求出公比q的值．【解答】解：∵{a n}是递增等比数列，且a2=2，则公比q＞1又∵a4﹣a3=a2（q2﹣q）=2（q2﹣q）=4即q2﹣q﹣2=0解得q=2，或q=﹣1（舍去）故此数列的公比q=2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中利用等比数列的通项公式及a2=2，a4﹣a3=4，构造出一个关于公比q的方程，是解答本题的关键．12．（5分）（2011•广东）设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=﹣9．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于函数f（x）=x3cosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，然后利用g（x）为奇函数，进行解答．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣1=x3cosx则g（x）为奇函数，又∵f（a）=11，∴g（a）=f（a）﹣1=11﹣1=10∴g（﹣a）=﹣10=f（﹣a）﹣1∴f（﹣a）=﹣9故答案为：﹣9【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中构造出奇函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，是解答本题的关键．13．（5分）（2011•广东）工人月工资y（元）与劳动生产率x（千元）变化的回归方程为=50+80x，下列判断正确的是②①劳动生产率为1千元时，工资为130元；②劳动生产率提高1千元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1千元，则工资提高130元；④当月工资为210元时，劳动生产率为2千元．【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】回归方程═50+80x变量x增加一个单位时，变量产生相应变化，从而对选项一一进行分析得到结果．【解答】解：：∵对x的回归直线方程=50+80x，∴=（x+1）+50，∴﹣=80（x+1）+50﹣80x﹣50=80．所以劳动生产率提高1千元，则工资提高80元，②正确，③不正确．①④不满足回归方程的意义．故答案为：②．【点评】主要考查知识点：统计．本题主要考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程自变量变化一个单位，对应的预报值是一个平均变化，这是容易出错的知识点．14．（5分）（2011•广东）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为（1，）．【考点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可．【解答】解：曲线参数方程（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：；曲线（t∈R）的普通方程为：；解方程组：得：∴它们的交点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲线的交点坐标的方法，考查运算求解能力．属于基础题．15．（2011•广东）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7：5．【考点】相似三角形的性质．【专题】解三角形．【分析】根据EF的长度和与上下底平行知是梯形的中位线，设出中位线分成的两个梯形的高，根据梯形的面积公式写出两个梯形的面积，都是用含有高的代数式来表示的，求比值得到结果．【解答】解：∵E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，∴EF是梯形的中位线，设两个梯形的高是h，∴梯形ABFE的面积是，梯形EFCD的面积∴梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为=，故答案为：7：5【点评】本题考查梯形的中位线，考查梯形的面积公式是一个基础题，解题的时候容易出的一个错误是把两个梯形看成相似梯形，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2011•广东）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α，β∈，f（3）=，f（3β+）=．求sin（α+β）的值．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）把x=0代入函数解析式求解．（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin（x﹣），x∈R，∴f（0）=2sin（﹣）=﹣1（2）∵f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．∴sinα=，sinβ=∵α，β∈，∴cosα==，cosβ==∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆．17．（13分）（2011•广东）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2， (6)6（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．【考点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据平均数公式写出这组数据的平均数表示式，在表示式中有一个未知量，根据解方程的思想得到结果，求出这组数据的方差，再进一步做出标准差．（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41种结果，根据概率公式得到结果．【解答】解：（1）根据平均数的个数可得75=，∴x6=90，这六位同学的方差是（25+1+9+25+9+225）=49，∴这六位同学的标准差是7（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52=10种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种结果，根据古典概型概率个数得到P==0.4．【点评】本题考查一组数据的平均数公式的应用，考查求一组数据的方差和标准差，考查古典概型的概率公式的应用，是一个综合题目．18．（13分）（2011•广东）如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A′，B，B′分别为的中点，O1，O1′，O2，O2′分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点．（1）证明：O1′，A′，O2，B四点共面；（2）设G为A A′中点，延长A′O1′到H′，使得O1′H′=A′O1′．证明：BO2′⊥平面H′B′G．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1）要证O1′，A′，O2，B四点共面，即可证四边形BO2A′O1′为平面图形，根据A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径知道A′O1′∥B′O2′即BO2∥A′O1′再根据BO2=A′O1′=1即可得到四边形BO2A′O1′是平行四边形，则证．（2）建立空间直角坐标系，要证BO2′⊥平面H′B′G只需证，，根据坐标运算算出•，的值均为0即可【解答】证明：（1）∵B′，B分别是中点∴BO2∥B′O2′∵A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径∴A′O1′∥B′O2′∴BO2∥A′O1′∵BO2=A′O1′=1∴四边形BO2A′O1′是平行四边形即O1′，A′，O2，B四点共面（2）以D为原点，以向量DE所在的直线为X轴，以向量DD′所在的直线为Z轴，建立如图空间直角坐标系，则B（1，1，0），O2′（0，1，2），H′（1，﹣1，2），A（﹣1，﹣1，0），G（﹣1，﹣1，1），B′（1，1，2）则=（﹣1，0，2），=（﹣2，﹣2，﹣1），=（0，﹣2，0）∵•=0，=0∴BO2′⊥B′G，BO2′⊥B′H′即，∵B′H′∩B′G=B′，B′H′、B′G⊂面H′GB′∴BO2′⊥平面H′B′G【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，棱柱的结构特征，平面的基本性质及推论以及空间向量的基本知识，属于中档题．19．（14分）（2011•广东）设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数的定义域，求出导函数，设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞），讨论a=1，a＞1与0＜a＜1三种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．【解答】解：定义域{x|x＞0}f′（x）==设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞）①若a=1，则g（x）=1＞0∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．②若a＞1则2a（1﹣a）＜0，g（x）的图象开口向下，此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）＞0方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根为x1=，x2=且x1＜0＜x2∴在（0，）上g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数；在（，+∞）上g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）是减函数；③若0＜a＜1则2a（1﹣a）＞0，g（x）的图象开口向上，此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）可知当≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，即f'（x）≥0，f（x）是增函数；当0＜a＜时，△＞0，方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根满足＞＞0故在（0，）和（，+∞）上g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数；在（，）上g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）是减函数．【点评】本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减，同时考查了分类讨论的数学思想方法，属于难题．20．（14分）（2011•广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列a n的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可．（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的．【解答】解：（1）∵（n≥2），∴（n≥2），当b=1时，（n≥2），∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，即a n=1，当b＞0，且b≠1时，（n≥2），即数列{}是以=为首项，公比为的等比数列，∴=×=，即a n=，∴数列{a n}的通项公式是（2）证明：当b=1时，不等式显然成立当b＞0，且b≠1时，a n=，要证对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1，只需证2×≤b n+1+1，即证∵==（b n+1+1）×（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=（b2n+b2n﹣1+…+b n+2+b n+1）+（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=b n[（b n+b n﹣1+…+b2+b）+（++…+）]≥b n（2+2+…+2）=2nb n所以不等式成立，综上所述，对于一切正整数n，有2a n≤b n+1+1，【点评】本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的性质的能力，本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式，两边取倒数，条件许可的情况下，使用此技巧可以使得解题思路呈现出来．数列中有请多成熟的规律，做题时要注意积累这些小技巧，在合适的情况下利用相关的技巧，可以简化做题．在（2）的证明中，采取了分析法的来探究解题的思路，通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧．21．（14分）（2011•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP．（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，﹣1），设H是E上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，﹣1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（1）由于直线l：x=﹣2交x轴于点A，所以A（﹣2，0），由于P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP，可以设点P，由于满足∠MPO=∠AOP，所以分析出MN∥AO，利用相关点法可以求出动点M的轨迹方程；（2）由题意及点M的轨迹E的方程为y2=4（x+1），且已知T（1，﹣1），又H是E 上动点，点O及点T都为定点，利用图形即可求出；（3）由题意设出过定点的直线方程l1并与点M的轨迹E的方程联立，利用有两个交点等价与联立之后的一元二次方程的判别式大于0，即可得到所求．【解答】解：（1）如图所示，连接OM，则|PM|=|OM|，∵∠MPO=∠AOP，∴动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上，设M（x，y）①当MP⊥l时，|MP|=|x+2|，|om|=，|x+2|=，化简得y2=4x+4 （x≥﹣1）②当M在x的负半轴上时，y=0（x≤﹣1），综上所述，点M的轨迹E的方程为y2=4x+4（x≥﹣1）或y=0（x＜﹣1）．（2）由题意画出图形如下：∵由（1）知道动点M 的轨迹方程为：y2=4（x+1）．是以（﹣1，0）为顶点，以O（0，0）为焦点，以x=﹣2为准线的抛物线，由H引直线HB垂直准线x=﹣2与B点，则利用抛物线的定义可以得到：|HB|=|HO|，∴要求|HO|+|HT|的最小值等价于求折线|HB|+|HT|的最小值，由图可知当由点T直接向准线引垂线是与抛物线相交的H使得HB|+|HT|的最小值，故|HO|+|HT|的最小值时的H．（3）如图，设抛物线顶点A（﹣1，0），则直线AT 的斜率，∵点T（1，﹣1）在抛物线内部，∴过点T且不平行于x，y轴的直线l1必与抛物线有两个交点，则直线l1与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论：①当K时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，②当时，直线l1与轨迹E有且只有一个不同的交点，③当K=0时，直线l1与轨迹E有且只有一个交点，④当K＞0时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点．综上所述，直线l1的斜率K的取值范围是（﹣]∪（0，+∞）．【点评】此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了利用抛物线的定义求出HO|+|HT|的最小值时等价转化的思想，还考查了直线与曲线有两个交点的等价转化思想．11。
2011高考数学(文科)广东卷简评
2011年高考数学（文科）广东卷简评人生就象这四个季节一样，会色彩分明，只有经过冬天的冷，生疏和僵硬，春天的暖，萌动和希望，夏天的热，焦急和忧虑，然后，我们才终于到了秋天，微风轻抚麦穗的宁静，怀着这份宁静，走过收割完的麦田，带着行装开始了我们曾经的梦想在广州新东方，我和大家一起面对高考，这种心境不由让我想起了我曾经走过的麦田，才用漠然回首，去拾起那点点红尘.卷面分析2011年高考已经结束，同学们终于可以放下心了，不管考得怎样，相信很快会有结果的，只需要耐心等待就好了，接下来的一项重要工作就是琢磨志愿报考的问题了，希望同学们广泛听取老师和家长的建议，做好院校和专业的报考工作，本次高考数学的文科部分不算太难，总体体现了文科数学的考察特点，对其进行题型分析是非常有参考价值的，更为下一年的师弟师妹的复习提供很好的建议，也非常期望下一年大家能够取得好的成绩。
选择填空：1.复数，2.集合，3.向量，4函数定义域，5一元二次不等式，6.线性规划，7排列组合，8.圆锥曲线轨迹方程，9.立体几何三视图，10.抽象函数，11.等比数列，12.奇偶函数，13.线性回归，14.坐标系与参数方程，15.平面几何前三道大题：16.解三角形17.概率统计18.立体几何（①证明四点共线②证明线面垂直）后三道大题：19.函数单调性讨论20.数列（①求通项公式②证明不等式）21.圆锥曲线（①求轨迹方程②求长度最小值③直线斜率取值范围）以上题型告诉我们，得分的重点依然在三角函数，立体几何，概率统计，数列，圆锥曲线六个部分，保分的重点也应该在这些知识点上，同学们要对容易题型和中等题型充分重视，因为这些分数的获得都是可控的，同学们在平时的训练过程中，注意基本理论和计算能力的强化训练，这些分数是可以把握的，对于难题，我们应该采取会做的一定要尽量拿分，不要有太大心理压力，注重思想和理念的养成，对于最后的冲刺复习，同学们的复习应该回归基础，对偏题和难题不用太在意，能明白主要的解答过程就可以了，压轴大题突破点第19题，本题的进入门槛较低，是常规题，考察含有参数的函数的单调性的讨论，考生需要对一些基本结构的函数求导进行积累记忆，以便在考试的时候提高效率，对参数的讨论情况应该详细，注意讨论无根的情况，不等轻易认为函数导数有两个零点。
2011年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2011年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•广东）设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则z=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】我们可以利用待定系数法求出Z，我们设Z=x+yi，结合已知中iz=1，结合复数相等的充要条件，我们易构造出一个关于x，y的方程组，解方程组即可求出满足条件的复数Z的值．【解答】解：设Z=x+yi∵iz=1，∴i（x+yi）=﹣y+xi=1故x=0，y=﹣1∴Z=﹣i故选A【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，其中利用复数相等的充要条件，构造出一个关于x，y的方程组，是解答本题的关键．2．（5分）（2011•广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B=|（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】观察两集合发现，两集合表示两点集，要求两集合交集元素的个数即为求两函数图象交点的个数，所以联立两函数解析式，求出方程组的解，有几个解就有几个交点即为两集合交集的元素个数．【解答】解：联立两集合中的函数关系式得：，由②得：x=1﹣y，代入②得：y2﹣y=0即y（y﹣1）=0，解得y=0或y=1，把y=0代入②解得x=1，把y=1代入②解得x=0，所以方程组的解为或，有两解，则A∩B的元素个数为2个．故选C【点评】此题考查学生理解交集的运算，考查了求两函数交点的方法，是一道基础题．本题的关键是认识到两集合表示的是点坐标所构成的集合即点集．3．（5分）（2011•广东）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+λ向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故选B．【点评】本题考查两个向量平行的坐标表示，考查两个向量坐标形式的加减数乘运算，考查方程思想的应用，是一个基础题．4．（5分）（2011•广东）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．【点评】本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．5．（5分）（2011•广东）不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A．（﹣，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根；利用二次方程解集的形式写出解集．【解答】解：原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0∴x＞1或x＜故选：D【点评】本题考查二次不等式的解法：判断相应的方程是否有根；若有根求出两个根；据二次不等式解集的形式写出解集．6．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．4【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；数量积的坐标表达式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先做出可行域，将z=•的坐标代入变为z=，即y=﹣x+z，此方程表示斜率是﹣的直线，当直线与可行域有公共点且在y轴上截距最大时，z有最大值．【解答】解：首先做出可行域，如图所示：z=•=，即y=﹣x+z做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．因为B（，2），所以z的最大值为4故选：B【点评】本题考查线性规划、向量的坐标表示，考查数形结合思想解题．7．（5分）（2011•广东）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）A．20 B．15 C．12 D．10【考点】棱柱的结构特征．【专题】立体几何．【分析】抓住上底面的一个顶点，看从此顶点出发的对角线有多少条即可解决．【解答】解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．故选D【点评】本题考查计数原理在立体几何中的应用，考查空间想象能力．8．（5分）（2011•广东）设圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆 D．圆【考点】圆的切线方程；圆与圆的位置关系及其判定；抛物线的定义．【专题】直线与圆．【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可的动点的轨迹．【解答】解：设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，圆x2+（y﹣3）2=1的圆心为A，∵圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切∴|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r ∴|CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=﹣1的距离由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．故选A【点评】本题考查了圆的切线，两圆的位置关系及抛物线的定义，动点的轨迹的求法，是个基础题．9．（5分）（2011•广东）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C． D．2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案．【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面棱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选C【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键．10．（5分）（2011•广东）设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g （x），则下列等式恒成立的是（）A．（（f°g）•h）（x）=（（f•h）°（g•h））（x）B．（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C．（（f°g）°h）（x）=（（f°h）°（g°h））（x）D．（（f•g）•h）（x）=（（f•h）•（g•h））（x）【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），然后逐个验证即可找到答案．【解答】解：A、∵（f°g）（x）=f（g（x）），（f•g）（x）=f（x）g（x），∴（（f°g）•h）（x）=（f°g）（x）h（x）=f（g（x））h（x）；而（（f•h）°（g•h））（x）=（f•h）（（g•h）（x））=f（g（x）h（x））h（g（x）h（x））；∴（（f°g）•h）（x）≠（（f•h）°（g•h））（x）B、∵（（f•g）°h）（x）=（f•g）（h（x））=f（h（x））g（h（x））（（f°h）•（g°h））（x）=（f°h）•（x）（g°h）（x）=f（h（x））g（h（x））∴（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C、（（f°g）°h）（x）=（（f°g）（h（x））=f（g（h（x））），（（f°h）°（g°h））（x）=f（h（g（h（x））））∴（（f°g）°h）（x）≠（（f°h）°（g°h））（x）；D、（（f•g）•h）（x）=f（x）g（x）h（x），（（f•h）•（g•h））（x）=f（x）h（x）g（x）h（x），∴（（f•g）•h）（x）≠（（f•h）•（g•h））（x）．故选B．【点评】此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力，和知识方法的迁移能力．二、填空题（共5小题，考生作答4小题每小题5分，满分20分）11．（5分）（2011•广东）已知{a n}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q= 2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知{a n}是递增等比数列，a2=2，我们可以判断此数列的公比q＞1，又由a2=2，a4﹣a3=4，我们可以构造出一个关于公比q的方程，解方程即可求出公比q的值．【解答】解：∵{a n}是递增等比数列，且a2=2，则公比q＞1又∵a4﹣a3=a2（q2﹣q）=2（q2﹣q）=4即q2﹣q﹣2=0解得q=2，或q=﹣1（舍去）故此数列的公比q=2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中利用等比数列的通项公式及a2=2，a4﹣a3=4，构造出一个关于公比q的方程，是解答本题的关键．12．（5分）（2011•广东）设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=﹣9．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于函数f（x）=x3cosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，然后利用g（x）为奇函数，进行解答．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣1=x3cosx则g（x）为奇函数，又∵f（a）=11，∴g（a）=f（a）﹣1=11﹣1=10∴g（﹣a）=﹣10=f（﹣a）﹣1∴f（﹣a）=﹣9故答案为：﹣9【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中构造出奇函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，是解答本题的关键．13．（5分）（2011•广东）工人月工资y（元）与劳动生产率x（千元）变化的回归方程为=50+80x，下列判断正确的是②①劳动生产率为1千元时，工资为130元；②劳动生产率提高1千元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1千元，则工资提高130元；④当月工资为210元时，劳动生产率为2千元．【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】回归方程═50+80x变量x增加一个单位时，变量产生相应变化，从而对选项一一进行分析得到结果．【解答】解：：∵对x的回归直线方程=50+80x，∴=（x+1）+50，∴﹣=80（x+1）+50﹣80x﹣50=80．所以劳动生产率提高1千元，则工资提高80元，②正确，③不正确．①④不满足回归方程的意义．故答案为：②．【点评】主要考查知识点：统计．本题主要考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程自变量变化一个单位，对应的预报值是一个平均变化，这是容易出错的知识点．14．（5分）（2011•广东）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为（1，）．【考点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可．【解答】解：曲线参数方程（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：；曲线（t∈R）的普通方程为：；解方程组：得：∴它们的交点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲线的交点坐标的方法，考查运算求解能力．属于基础题．15．（2011•广东）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7：5．【考点】相似三角形的性质．【专题】解三角形．【分析】根据EF的长度和与上下底平行知是梯形的中位线，设出中位线分成的两个梯形的高，根据梯形的面积公式写出两个梯形的面积，都是用含有高的代数式来表示的，求比值得到结果．【解答】解：∵E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，∴EF是梯形的中位线，设两个梯形的高是h，∴梯形ABFE的面积是，梯形EFCD的面积∴梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为=，故答案为：7：5【点评】本题考查梯形的中位线，考查梯形的面积公式是一个基础题，解题的时候容易出的一个错误是把两个梯形看成相似梯形，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2011•广东）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α，β∈，f（3）=，f（3β+）=．求sin（α+β）的值．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）把x=0代入函数解析式求解．（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin（x﹣），x∈R，∴f（0）=2sin（﹣）=﹣1（2）∵f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．∴sinα=，sinβ=∵α，β∈，∴cosα==，cosβ==∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆．17．（13分）（2011•广东）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5成绩x n70 76 72 70 72（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．【考点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据平均数公式写出这组数据的平均数表示式，在表示式中有一个未知量，根据解方程的思想得到结果，求出这组数据的方差，再进一步做出标准差．（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41种结果，根据概率公式得到结果．【解答】解：（1）根据平均数的个数可得75=，∴x6=90，这六位同学的方差是（25+1+9+25+9+225）=49，∴这六位同学的标准差是7（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52=10种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种结果，根据古典概型概率个数得到P==0.4．【点评】本题考查一组数据的平均数公式的应用，考查求一组数据的方差和标准差，考查古典概型的概率公式的应用，是一个综合题目．18．（13分）（2011•广东）如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A′，B，B′分别为的中点，O1，O1′，O2，O2′分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点．（1）证明：O1′，A′，O2，B四点共面；（2）设G为A A′中点，延长A′O1′到H′，使得O1′H′=A′O1′．证明：BO2′⊥平面H′B′G．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1）要证O1′，A′，O2，B四点共面，即可证四边形BO2A′O1′为平面图形，根据A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径知道A′O1′∥B′O2′即BO2∥A′O1′再根据BO2=A′O1′=1即可得到四边形BO2A′O1′是平行四边形，则证．（2）建立空间直角坐标系，要证BO2′⊥平面H′B′G只需证，，根据坐标运算算出•，的值均为0即可【解答】证明：（1）∵B′，B分别是中点∴BO2∥B′O2′∵A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径∴A′O1′∥B′O2′∴BO2∥A′O1′∵BO2=A′O1′=1∴四边形BO2A′O1′是平行四边形即O1′，A′，O2，B四点共面（2）以D为原点，以向量DE所在的直线为X轴，以向量DD′所在的直线为Z轴，建立如图空间直角坐标系，则B（1，1，0），O2′（0，1，2），H′（1，﹣1，2），A（﹣1，﹣1，0），G（﹣1，﹣1，1），B′（1，1，2）则=（﹣1，0，2），=（﹣2，﹣2，﹣1），=（0，﹣2，0）∵•=0，=0∴BO2′⊥B′G，BO2′⊥B′H′即，∵B′H′∩B′G=B′，B′H′、B′G⊂面H′GB′∴BO2′⊥平面H′B′G【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，棱柱的结构特征，平面的基本性质及推论以及空间向量的基本知识，属于中档题．19．（14分）（2011•广东）设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数的定义域，求出导函数，设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞），讨论a=1，a＞1与0＜a＜1三种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．【解答】解：定义域{x|x＞0}f′（x）==设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞）①若a=1，则g（x）=1＞0∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．②若a＞1则2a（1﹣a）＜0，g（x）的图象开口向下，此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）＞0方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根为x1=，x2=且x1＜0＜x2∴在（0，）上g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数；在（，+∞）上g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）是减函数；③若0＜a＜1则2a（1﹣a）＞0，g（x）的图象开口向上，此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）可知当≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，即f'（x）≥0，f（x）是增函数；当0＜a＜时，△＞0，方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根满足＞＞0故在（0，）和（，+∞）上g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数；在（，）上g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）是减函数．【点评】本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减，同时考查了分类讨论的数学思想方法，属于难题．20．（14分）（2011•广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列a n的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可．（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的．【解答】解：（1）∵（n≥2），∴（n≥2），当b=1时，（n≥2），∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，即a n=1，当b＞0，且b≠1时，（n≥2），即数列{}是以=为首项，公比为的等比数列，∴=×=，即a n=，∴数列{a n}的通项公式是（2）证明：当b=1时，不等式显然成立当b＞0，且b≠1时，a n=，要证对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1，只需证2×≤b n+1+1，即证∵==（b n+1+1）×（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=（b2n+b2n﹣1+…+b n+2+b n+1）+（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=b n[（b n+b n﹣1+…+b2+b）+（++…+）]≥b n（2+2+…+2）=2nb n所以不等式成立，综上所述，对于一切正整数n，有2a n≤b n+1+1，【点评】本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的性质的能力，本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式，两边取倒数，条件许可的情况下，使用此技巧可以使得解题思路呈现出来．数列中有请多成熟的规律，做题时要注意积累这些小技巧，在合适的情况下利用相关的技巧，可以简化做题．在（2）的证明中，采取了分析法的来探究解题的思路，通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧．21．（14分）（2011•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣2交x轴于点A，设P 是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP．（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，﹣1），设H是E上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，﹣1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（1）由于直线l：x=﹣2交x轴于点A，所以A（﹣2，0），由于P是l上一点，M 是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP，可以设点P，由于满足∠MPO=∠AOP，所以分析出MN∥AO，利用相关点法可以求出动点M的轨迹方程；（2）由题意及点M的轨迹E的方程为y2=4（x+1），且已知T（1，﹣1），又H是E 上动点，点O及点T都为定点，利用图形即可求出；（3）由题意设出过定点的直线方程l1并与点M的轨迹E的方程联立，利用有两个交点等价与联立之后的一元二次方程的判别式大于0，即可得到所求．【解答】解：（1）如图所示，连接OM，则|PM|=|OM|，∵∠MPO=∠AOP，∴动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上，设M（x，y）①当MP⊥l时，|MP|=|x+2|，|om|=，|x+2|=，化简得y2=4x+4 （x≥﹣1）②当M在x的负半轴上时，y=0（x≤﹣1），综上所述，点M的轨迹E的方程为y2=4x+4（x≥﹣1）或y=0（x＜﹣1）．（2）由题意画出图形如下：∵由（1）知道动点M 的轨迹方程为：y2=4（x+1）．是以（﹣1，0）为顶点，以O（0，0）为焦点，以x=﹣2为准线的抛物线，由H引直线HB垂直准线x=﹣2与B点，则利用抛物线的定义可以得到：|HB|=|HO|，∴要求|HO|+|HT|的最小值等价于求折线|HB|+|HT|的最小值，由图可知当由点T直接向准线引垂线是与抛物线相交的H使得HB|+|HT|的最小值，故|HO|+|HT|的最小值时的H．（3）如图，设抛物线顶点A（﹣1，0），则直线AT的斜率，∵点T（1，﹣1）在抛物线内部，∴过点T且不平行于x，y轴的直线l1必与抛物线有两个交点，则直线l1与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论：①当K时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，②当时，直线l1与轨迹E有且只有一个不同的交点，③当K=0时，直线l1与轨迹E有且只有一个交点，④当K＞0时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点．综上所述，直线l1的斜率K的取值范围是（﹣]∪（0，+∞）．【点评】此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了利用抛物线的定义求出HO|+|HT|的最小值时等价转化的思想，还考查了直线与曲线有两个交点的等价转化思想．。
2011年高考数学教学反思
2011年高考后数学教学反思彭阳三中：黄金殿通过这三年来的教学以及对这次高考试卷的分析，本人有如下体会：第一轮复习应以课本为主，同时注重基础知识和基本技能、基本方法的培养和训练。
课本是教与学的蓝本，是知识和方法的重要载体，也是产生高考题的主要来源。
相当数量的基本题源于课本，即使是综合题，也是基础题的组合、加工和发展，离开课本的复习必然是天源之水，无本之木。
通过本人的观察与分析，相当一部分学生在答题中的一些失误，并不是因为缺乏灵活的思维与敏锐的感觉，而恰恰是因为对教学大纲中规定的基础知识、基本理论的掌握还存在某些欠缺，甚至有所偏废所致。
如何发挥课本的作用呢？首先，在复习每一课题的时候，必须重温课本中相应的部分，不仅弄懂课本中提供的知识和方法，还要弄清数学定理、公式的推导过程和例题的求解过程，对习题要再做一遍（时间允许的情况下）。
其次，在解高考训练题或模拟题时，如果遇到障碍，应该具备优先向课本请教的意识，通过课本查明知识和方法上的缺陷，尽可能把问题回归到课本中的例习题。
其三，在复习和训练的过程中，我们会积累很多解题经验和方法，其中不乏一些规律性的东西，要注意从课本中探寻这些经验、方法和规律的依据。
其四，关于解题规范和表达方式，应以课本为主，写得过于详细，耽误时间，写得过于粗略，会失去过程分，以课本中的例题为榜样便可恰到好处。
第二轮复习注意两点：第一，把知识形成系统，便于考试时提取和应用；第二，让情境变为熟悉，从而降低试题的思维水平，并通过这些做法提高自身对试题的适应程序。
大家都清楚，数学训练题实在是多，如果教师与学生一味解题讲在题海中疲于奔命，而不注重联系性、系统化，最终是得不偿失，当然也不能做过得过少，以致于学生无经验、无背景、无感知，最后只会失去系统。
另外，第二轮复习也是对第一轮复习的补充和第三轮复习开场，因此应注重解题过程中的错误和潜在的错误分析查漏补缺，夯实基础，很好地发现第一轮复习中的不足并及时补充，适应注意引导学生作习题时把自己置于一种仿真的环境，对答题速度、答题规范提出严格要求，做完一题后，要有足够的时间反思，充分挖掘其中价值，为第三轮复习养成好的思维定势。
2011年高考命题命题的反思与2012年高考备考的思考：2011广东省高考分析及2012备考研讨
2011年高考命题命题的反思与2012年高考备考的思考2010年高考新课标广东卷给人的第一感觉是“不难”. 考生出考场普遍感觉心情舒畅.应该来说，2010年的高考广东卷是在前三年新课标自主命题基础上进一步深化课标理念，体现人文关怀的一套试题.理科95分、文科82分的结果是，相当多的考生的分数都集中在100-110分，这是体现人文关怀的最大亮点所在，同时社会反响也很好.事实上，由于广东省的“普及高中教育”工作在全省已经接近尾声，课标中的数学大众化已是必然，不再是过往的“精英”教育.只有真正实现数学教育的大众化才能改变过去那种精英教育的种种弊端，才能减少甚至不再出现所谓的数学的失败者，让不同层次的高中生即使是“后进生”在高考中一样能获得比较满意的分数，这样的成就感无疑成就他们心头的希望之火，从而造成自信自立的社会公民. 我们认为2010年的这种命题理念是广东高考命题发展的必然，也是在新一轮命题周期中的良好开端，进而坚持改革，坚持广东特色，坚持深化素质教育，同时也是命题专家走出怕人议论“试题太浅”的误区的开始.2011年的高考是否坚持了这一理念了呢？令人遗憾的是，2011年的高考考完后考生哭倒一片！不仅仅是普通学校的考生，即便是像广东省实验中学和华南师大附中这样的全省一流中学，考生也是神情郁闷，这是考生对试卷难度的直观感受.相当多的考生都反映没有做完后两题.从阅卷的情况看，文理科最后一题都近70%以上的学生得零分.而全省平均分在去年的基础上都下降了15分左右，也能从一个侧面反映今年的高考试题之难.关于这方面的话题还可以通过高考阅卷所反映数据来说明.表2理科各大题的相关数据（抽样统计结果表3：难度与区分度的技术指标从上面表中的数据可以看出文科文科6道题中有两道难题，两道无效题占了三分之二；理科中则有三道无（低）效题，直接占了一半. 其中文科21题有将近90%的人是0分或者1分，理科21题则有70%以上的考生是0分.如此看来2011年的高考广东确实太难了.造成上述难度过大的原因是多方面，既有命题技术和对考纲课标把握方面的问题，也有中学教学的问题.（一）应在同一平台上实现命题者、考生平等对话课标高考广东卷坚持的命题指导思想就是“稳定中逐步创新，不断深化新课标理念”，命题时强调依据课标和考纲，对于主干知识重点考查，不刻意追求覆盖，这些无疑是很好的.因为这实现了命题者、考生、教师在同一个平台上对话，容易实现双向沟通，也是稳定得以实现的前提.但是我们看到2011年的课标广东卷显然地偏离了这一指导思想，使得话语主导权站在了命题者一边，进而导致了如下几个方面的结果：（1）超纲超标明显以文科为例，试题中地8题和第21题两题都是在考查轨迹问题，都是以抛物线为考查指向.对于轨迹问题，由于理科课标考纲和教材中都有涉及，因此在高考中考查无可厚非，2009-2011三年都考查了，这个没有问题，但是文科是没有曲线与方程这部分内容要求的.教材上人教A版必修2圆的方程习题4.1 B组有三个习题，而苏教版必修2则没有（包括选修1-1）.即便是在人教A版1-1中的圆锥曲线部分，要求上仅只是在概念部分加以体现没有深入.更重要的是，在前四年的广东卷中都没有涉及轨迹的要求，即便是2009年理科有轨迹的情况下，文科也仍然以待定系数法的要求呈现.从全国范围的新课标卷来看，文科也没有直接求轨迹的要求，独独在实行了四年新课标自主命题的今年的广东高考出现这样超越新课标的命题，情何以堪？此外文科21题，不仅仅求轨迹要求超纲，更重要是考纲对于抛物线要求是“了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质”，看看我们的高考题，要求又是什么？是非标准方程，从图形上看，还带个尾巴，这哪是考文科中学生，简直是考研究生！超纲的还有第7题，中学老师和学生第一眼看上去，那就是计数原理，难不成让学生一个个去数？计数原理即便是理科生也大大降低要求，偏偏考查的对象是没有计数原理要求的文科生，真不知道命题人有没有看考纲.从全卷来看，高考命题者显然对于考纲中的了解、理解、掌握欠缺必要的把握，命题出现超纲超标是必然.（2）知识点考查重复我们说主干知识重点考查，但是必要的覆盖还是需要的.但是我们如果研究2011年广东卷就会发现知识点重复考查非常明显.如文科4、5、6、19、20五题都在考查不等式的知识，其中第4题考查一元一次不等式组、第5和第19题考查解一元二次不等式、第6题考查二元一次不等式组与线性规划、第20题隐含这考查基本不等式，这五个题将不等式一章的内容考了个遍，密度之大实属罕见.再如，对最值问题的考查，理科试卷竟有5处，而其中利用数形结合思想求最值则有3处.此外对于几何知识的考查虽然延续了广东高考的一贯处理，但今年无疑是最多的，与此相对应的则是数形结合思想的考查也是密集态势，目不暇接.（3）命题欠缺严谨一份好的试题，应该是经过精雕细琢的，重视对数学概念和考生数学素养的考查；一个好的试题应该是自然的生成，没有堆砌造作的痕迹.但是我们看到，今年的广东试卷除了部分试题具有数学味以外，明显的缺乏上述特点.如线性规划那道题，在前面已经考查了向量运算的要求下，目标函数硬是要弄个所谓的与向量综合，既不自然，而且重复.再如理科的13题，线性回归这个问题，三个点如何能在统计意义上得到线性关系以及线性回归方程并进行预测？不妨算一下相关指数，得到 3221321()54111724()i i i i ii y y R y y ==-=-=-=-∑∑，我们知道2R 越接近1，模型拟合效果越好，但是如此之低的情况下，这样的回归方程本身是不可信的，但却在高考中出现了，而且是以戏剧性的方式.再如理科17题，（1）中甲厂产品共有98件，在（2）中是要用到的，但从设问的关系来看，两问又是并列的.换句话说，98件应该是放在题干中的.类似的还有如文科的18题，圆柱就是圆柱，是由矩形旋转得到的，何来直圆柱的这一说法？即使这个几何体的获得也是口语化的描述多于严谨性的说明.理科21题，显然命题者不知道中学没有max,min 这些符号，更别说中学生知道这些符号的含义了.如果非要找个出去的话，那就是在人教A 版教材选修系列4-5中习题1.1的15题，在侧栏有一个注“ min A 表示数集A 中最小数”.但并没有说明{}12max ,x x 表示什么意思.难道在题目中加一个注有那么难吗？当然缺乏精雕细琢的还有数据的打磨上，高考题的数据应该是漂亮而简洁的. （二） 试题设计应体现人文关怀如前所述，高考试题具有合理的难度，人们普遍会理解和接受，这与高考体现必要的人文关怀并不矛盾，其核心意义是让不同层次的学生都能在数学高考中获得与其能力相适应的分数，也即建立在基础知识、基本技能、基本方法的要求之上的.如果从题目上看，就是不要在客观题部分设置难度很大的试题，让考生以较平稳的心态进入到主观题的答题中去.同时在主观题部分，尽可能低起点，宽入口，设置多问，阶梯递进，让不同层次的学生都能在解答题中获得相应的分数，变一到两题把关为多题多问把关.这也是广东高考前四年所坚持的.但是我们看到2011年的广东卷明显缺乏这种人文关怀.（1）缺乏“送分”的诚意我们以为高考需要送分题，其实所谓的送分题就是基础题，也就是常规，单一知识点（综合知识点不超过两个）的题目.这一点2010年的广东卷做得非常好.但是在2011年的高考中，我们看不到这样的诚意.以文理科都有的第2题为例，考纲的要求是“会求两个简单集合的交集”，但是这两个题考查的却是直线与圆的位置关系（又是数形结合），这样的题目在前四年的高考中都是放在后几题或者填空题的.作为起点题的第2题何来一点诚意？事实上，以理科为例，从第5题开始就没存心让学生让学生以较好的心态进入后续主观题的作答中去.两个涉及到立体几何的问题，都是斜的，斜四棱柱和斜四棱锥，真是邪门！至于说第6题，如果对排球运动不熟悉的女生，这个题又会折磨她.文科的立体几何，16个符号足以让大多数的文科考生心理崩溃，而理科第二问的综合法优过向量法（按新课标要求，向量法求二面角才是首选），直接让一部分只会向量方法的学生无法企及后面的三道大题.（2）缺乏梯度的设计一个能真正甄别不同能力考生的考题不应是让绝大多数的考生不能沾边不能触碰的考题，而是让不同能力的考生都能有所获，能获取与之能力相应的分数.这样的试题应该是低起点，多切入点，多解法，进而全面考查考生的能力. 考纲也提出：“数学科的命题，……,重视试题间的层次，合理调控综合程度”.但是我们看到主观题部分，从立体几何开始，就是高起点，无论是文科的四点共面（命题不走寻常路），还是理科第二问，都比第一问难，都让学生措手不及，要知道在前几年的高考中立几题要求本应该是大多数考生能拿分的，并且拿满分的.文科的19题，一句话的题，对于大多数做到这里来的考生，除了求导能拿点分，实在想不出还能从哪里得分.为什么就不能设计多一问呢？还有，学生是懂得求单调区间步骤的，只要能达到考查考生分类整合思想与运算求解能力这一目标，何必要把这个函数式弄得那么复杂，何必非要让文科生．．．求导后经历复杂的含参二次不等式三个层次的讨论？数据设计简洁一点又何妨？降低一些层次又何妨，比如只讨论01a <<的情形不是一样可以达到考查目的吗？文理科20题，简直是“翻越三座大山”一般的考题，求倒数本身就是一种技巧，也就课标中强调的人为技巧化.学生如果不能看出这种技巧，或者在训练中没有涉及过这种技巧这个题便拿不到分，没有真正意义的能力要求可言，即使是第二问的不等式证明，也需要技巧，我们不绝对排斥技巧，但是这种人为的技巧要旗帜鲜明的反对，何况数列要求本来就不高，考纲要求也是针对等差等比数列而言.放眼全国新课标卷，在递推数列偃旗息鼓，回归本质的当下，这个题可以说就是鼓励高中教学搞技巧化，搞题海战术，反素质教育的.如果非要不可，也可以设置一些梯度，如可以增加一问“证明：当2b ≠时，数列12n n a b ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是等比数列.”如此一来，也可以达到目的.当然就本题第二问而言，学生做到这里估计不记得前面还有一个公式可用，这时何妨学一下2011年的安徽文科卷20题的做法给个“温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.”这样才是真正为学生着想，人文关怀之情跃然纸上！（3）部分试题过度形式化、阅读量大，晦涩难懂课标指出：“形式化是数学的基本特征之一. ……,要强调对数学本质的认识，否则将会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里. ……,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.”但是我们看到2011年的高考试卷，数学味太浓，形式化太重，与课标强调的“强调本质，注意适度形式化”不相一致.如理科21题，从题目到解答，简直就是一篇小论文.不仅是学生，我相信大部分的老师都没办法把这个题完整并正确地解答出来.这道题阅读量之大是广东自主命题以来的首次，近250个字符（理科全卷不含卷首有近3000个字符，也是自主命题以来的高峰，2010年的字符数将近2000，如果读题加上写出完整解答，不考虑思维受阻，错误的纠正、理解题意等的时间消耗，解答只是工整地抄一遍，所需时间少说也要一个小时以上）.绝大多数的学生，直接的结果是题目看都不看就放弃，那么命题者精心设计的这道的有什么意义？题中的符号学生不熟悉，充分必要条件的证明是两个等价.要知道，考纲对于充要条件的要求是“理解必要条件、充分条件与充要条件的意义”而非熟练掌握的运用.这一点又是超纲的，教材中涉及多是判断，而非要求层次更高的充要条件证明.（4）缺乏对中学教师的人文关怀毫无疑问，难度过大的试题除了深深地打击了考生以外，还包括广大一线高三的数学教师.笔者以为，高考命题就应该是大大方方，不跟中学教师搞躲猫猫，打“游击”.严格按照考纲要求的命题，教师引导学生复习也是在课标的基础上，按照考纲复习.仍然坚持广东省自主命题的指导思想，坚持一些优秀的做法和成功经验.高考命题专家和中学高三一线教师都在一个平台上对话，这样的平等导致的结果便是良性的，真正逐步实现课标要求的理念.可是2011年的高考，高三的老师带着学生辛苦耕耘了一年，到头来得到的结果是：不如不复习，一朝回到原点！这份感受命题专家能真正体会吗？真是一把辛酸泪，更与何人说！（三）素质教育需要正确的高考命题引导长期以来，高考命题与高考复习就存在一种竞争的态势.一方是“为了选拔优秀人才，题目不能太简单”，一方是“为了提高竞争力，复习时间不能太少了”.正如陕西师大罗增儒教授所说“情况就像看节目，本来大家应该坐着看，可是有人站起来了，于是大家都站起来了，并且形成了一种社会风气：凡是看节目都‘凳子不坐站起来’”.应该来说，2010年的高考广东卷，历史性地达到了95分，是非常可喜的局面，大家都盛赞这是广东卷最大的亮点，毕竟带着及格以上分数进入大学是让人开心的事情，这无疑体现了命题者的让步，这种让步和转变为推进素质教育实现了可喜的开端.但是2011年的高考广东卷急转直下，一出手就是让高考文理科降了15分.要知道广东高考的录取率在2010年已达到了78%以上，省教育考试院副院长黄友文还透露，今年的录取率甚至可能超过去年，接近八成的录取，为什么还要让进入高等学校的新生数学不及格呢？人为的增加难度，偏离新课标怎么能让考生满意，教师满意，社会满意呢？2010年的良好开端毁于一旦，十分可惜！学生考完后教师思考最多的问题就是下一年高考备考怎么做？2012年是单摆效应还是进一步难下去？估计大部分的教师会囿于前一年的高考命题特征，不得不加大练习力度，强化机械训练.显然这样是不利于实施素质教育的.事实上，2010年的高考后备考最大的亮点是，中学教学在逐步回归基础，不再深挖知识，这一点全省各地的模拟题可以看出，难度普遍下降，这有利于高一高二的教学回归，也让高三的备考真正去关注基础关注数学概念和数学本质.这也可以从考后网上的学生的话语中得到反证：学生说老师跟他们讲，今年高考不会难，让他们不要做难题.我们以为，高考试卷决定着广东60多万考生的“命运”，马虎不得，不可随意，需要殚精竭虑地从学校、考生、社会等各个方面的实际出发，需要从课程改革的现实出发，吸取过往广东自主命题的有益经验，仔细斟酌，深刻打磨，彻底摒弃“怕题目出浅了，学生分数太高了，领导、专家与同行认为出题水平低，怕给招生管理部门添麻烦（分数线太高）”的担心，那么无论怎么费心、费劲、费力、费时都是非常值得的，因为你在为65万考生及其背后成百上千万人着想.。
2011年普通高等学校招生全国统一考试—广东(文科数学)解析版
2011年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】（文科数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：（每小题5分，共50分）【2011⋅广东文，1】1．设复数z 满足1iz =，其中i 为虚数单位，则z = ( )． A ．i - B ．i C ．1 D ．1- 【答案】A ． 【解析】 1()iz i i i i -===-⨯-． 【2011⋅广东文，2】2．已知集合(){,|A x y x y =、为实数，且}221xy +=，(){,|B x y x y=、为实数，且}1x y +=，则AB 的元素个数为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C ． 【解析】AB 的元素个数等价于圆221x y +=与直线1x y +=的交点个数，显然有2个交点．【2011⋅广东文，3】3．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ= ( )． A ．14 B ．12C ．1D ．2 【答案】B ．【解析】 (1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=12． 【2011⋅广东文，4】4．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是( )． A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞【答案】C ．【解析】 10110x x x -≠⎧⇒>-⎨+>⎩且1x ≠，则()f x 的定义域是(1,1)(1,)-+∞．【2011⋅广东文，5】5．不等式2210x x -->的解集是( )． A ．1(,1)2-B ．(1,)+∞C ．(,1)(2,)-∞+∞D ．1(,)(1,)2-∞-+∞ 【答案】D ．【解析】21210(1)(21)02x x x x x -->⇒-+>⇒<-或1x >，则不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-+∞． 【2011⋅广东文，6】6． 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(),M x y 为D 上的动点，点A的坐标为)，则z OM OA =⋅的最大值为( )．A ．3B ．4 C． D． 【答案】B ．【解析】z y =+，即y z =+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y z =+经过点2)时，z取得最大值，max 24z =．【2011⋅广东文，7】7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )．A ．20B ．15C ．12D ．10 【答案】D ．【解析】正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有5210⨯=条．【2011⋅广东文，8】8．设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切．则C 的圆心轨迹为( )．A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆 【答案】A ．【解析】依题意得，C 的圆心到点(0,3)的距离与它到直线1y =-的距离相等，则C 的圆心轨迹为抛物线．【2011⋅广东文，9】9．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )．A ．B ．4C ．D ． 2【答案】C ．【解析】该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积122S =⨯⨯=，四棱锥的高为3，则该几何体的体积11333V Sh ==⨯=．【2011⋅广东文，10】10．设||||HO HT +是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()f g x 和()()f g x ；对任意x R ∈,()()()()f g x f g x =；()()()()f g x f x g x =．则下列等式恒成立的是( )． A ．()()()()()()()f g h x f h g h x =B ． ()()()()()()()f g h x f h g h x =C ． ()()()()()()()fg h x f h g h x =D ．()()()()()()()f g h x f h g h x =【答案】B ． 【解析】 对A 选项 (()fg h )()x =()f g ()()x h x (())()f g x h x =，(()f h ()g h )()x =()f h (()()g h x )=()f h ((()()g x h x )(()())(()())f g x h x h g x h x =，故排除A ；对B 选项 (()f g h )()x =()(())f g h x =(())(())f h x g h x ，(()f h ()g h )()x =()()()()f h x g h x (())(())f h x g h x =，故选B ； 对C 选项 (()fg h )()x =()(())f g h x ((()))f g h x =，(()f g ()g h )()x =()(()())()((()))f g g h x f g g h x = ． (((())))f g g h x =，故排除C ；对D 选项 (()f g h )()x =()()()()()()f g x h x f x g x h x =，(()f g ()g h )()x =()()()()()()()()f g x g h x f x g x g x h x =，故排除D ．解析二：二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：（每小题5分，共20分）【2011⋅广东文，11】11．已知{}n a 是递增等比数列，2432,4a a a =-=，则此数列的公比=q ．【答案】 2．【解析】 2243224422402(2)(1)0a a a q a q q q q q -=⇒-=⇒--=⇒-+=2q ⇒=或1q =-∵{}n a 是递增的等比数列，∴2q =．【2011⋅广东文，12】12．设函数3()cos 1.f x x x =+若()11f a =，则()f a -= ． 【答案】 9-．【解析】3()cos 111f a a a =+=，即3()cos 10f a a a ==，则33()()cos()1cos 11019f a a a a a -=--+=-+=-+=-．【2011⋅广东文，13】13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打时间x （单位：小时）与当于投篮命中率y 之间的关系：小李这 5天的平均投篮命中率为 ，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ． 【答案】 0.5；0.53．【解析】小李这5天的平均投篮命中率1(0.40.50.60.60.4)0.55y =++++= 3x =，1222221()()0.2000.1(0.2)0.01(2)(1)012()niii nii x x y y b x x ==--++++-===-+-+++-∑∑，0.47a y bx =-= ∴线性回归方程0.010.47y x =+，则当6x =时，0.53y = ∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【2011⋅广东文，14】14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧==θθsin cos 5y x （0≤θ ＜π) 和254x t yt⎧=⎪⎨⎪=⎩（t ∈R ），它们的交点坐标为 ． 【答案】 ． 【解析】 sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(01)x y <≤≤≤，254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =，22221(01)5450145x y x y x x x y x ⎧+=≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩或5x =-（舍去）， 又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为． 【2011⋅广东文，15】15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E 、F 分别为AD 、BC 上点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为 ． 【答案】75． 【解析】如图，延长,AD BC ，AD BC P =，∵23CD EF =，∴49PCD PEF S S ∆∆=∵24CD AB =，∴416PCD PEF S S ∆∆=∴75ABEF EFCDS S =梯形梯形． 三、解答题：（本大题共6小题，共80分）【2011⋅广东文，16】16．（本小题满分12分）已知函数()12sin()36f x x π=-，x R ∈．(Ⅰ) 求()0f 的值； (Ⅱ) 设10,0,,(3),2213f ππαβα⎡⎤∈+=⎢⎥⎣⎦6(3),25f πβ+=求()sin αβ+的值． 【解析】 ． (Ⅰ) (0)2sin()16f π=-=-；(Ⅱ) 110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α=16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12cos 13α==，4sin 5β== ∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=．【2011⋅广东文，17】17．（本小题满分13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为()1,2,,6n n =的同学所得成绩，且前5(Ⅰ) 求第6位同学成绩6，及这6位同学成绩的标准差；(Ⅱ) 从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间()68,75中的概率． 【解析】 ． (Ⅰ) 611756n n x x ===∑5616675707672707290,n n x x x =∴=-=⨯-----=∑622222222111()(5135315)4966n n s x x ==-=+++++=∑，7.s ∴=(Ⅱ) 从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法： {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}， 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法： {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，故所求概率为25． 解法二： （1）61(7076727072)756x +++++=，解得690x =， 标准差7s ==． （2）前5位同学中随机选出的2位同学记为(,)a b ，,{1,2,3,4,5}a b ∈且a b ≠，则基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种，这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中设A 表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”，则A 中的基本事件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)共4种，则42()105P A ==． 【2011⋅广东文，18】18．（本小题满分12分）如图所示，将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右平移到的,,,A A B B ''分别为,,,,CD C D DE D E ''''的中点，1122,,,O O O O ''分别为,,,CD C D DE D E ''''的中点．(Ⅰ) 证明：12,,,O A O B ''四点共面；(Ⅱ) 设G 为AA '中点，延长1A O ''到H ',使得11O H A O ''''=,证明：2BO H B G '''⊥面．【解析】 ．// (Ⅰ) ,,A A CD C D '''分别为中点，11//O A O A ''∴连接BO 2直线BO 2是由直线AO 1平移得到12//AO BO ∴12//O A BO ''∴ 12,,,O A O B ''∴共面．(Ⅱ) 将AO 1延长至H 使得O 1H=O 1A ，连接1,,HO HB H H '' ∴由平移性质得12O O ''=HB21//BO HO ''∴11,,2A G H O H H A H O H H GA H π''''''''''==∠=∠=1GA H O H H ''''∴∆≅∆12H O H GH A π'''∴∠+=1O H H G ''∴⊥ 2BO H G ''∴⊥12212222222,,O O B O O O O O B O O O O '''''''''''⊥⊥⋂= 1222O O B BO O ''''∴⊥平面 122O O BO '''∴⊥ 2BO H B '''∴⊥H B H G H ''''⋂=2.BO H B G '''∴⊥平面解法二：证明：（1）连接2,BO 22,O O '依题意得1122,,,O O O O ''是圆柱底面圆的圆心 ∴,,,CD C D DE D E ''''是圆柱底面圆的直径 ∵,,A B B ''分别为C D '',DE ,D E ''的中点 ∴1290A O D B O D ''''''∠=∠= ∴1A O ''∥2BO '∵BB '//22O '，四边形22O O B B ''是平行四边形 ∴2BO ∥2BO ' ∴1A O ''∥2BO∴12,,,O A O B ''四点共面（2）延长1A O '到H ，使得11O H AO ''=，连接1,,HH HO HB '' ∵11O H A O ''''=∴1O H ''2B ''，四边形12O O B H ''''是平行四边形 ∴12O O ''∥H B ''∵1222O O O O '''⊥，122O O B O ''''⊥，2222O O B O O ''''=∴12O O ''⊥面22O O B B ''∴H B ''⊥面22O O B B ''，2BO '⊂面22O O B B '' ∴2BO H B '''⊥易知四边形AA H H ''是正方形，且边长2AA '=，∵11tan 2HH HO H O H '''∠==''，1tan 2A G A H G A H '''∠==''，∴1tan tan 1HO H A H G ''''∠⋅∠=， ∴190HO H A H G ''''∠+∠=， ∴1HO H G ''⊥易知12O O ''HB ，四边形12O O BH ''是平行四边形， ∴2BO '∥1HO '， ∴2BO H G ''⊥，H G H B H ''''=，∴2BO '⊥平面H B G ''．【2011⋅广东文，19】19．（本小题满分14分）设0a >,讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性． 【解析】 ．函数()f x 的定义域为(0,)+∞．22(1)2(1)1(),a a x a x f x x---+'=当212(1)2(1)1a a a x a x ≠---+时,方程的判别式112(1)()3a a ∆=--．①当10,0,()3a f x '<<∆>时有两个零点，12110,22x x a a =>=+且当12120,()0,()(0,)(,)x x x x f x f x x x '<<>>+∞或时在与内为增函数； 当1212,()0,()(,)x x x f x f x x x '<<<时在内为减函数；②当11,0,()0,()(0,)3a f x f x '≤<∆≤≥+∞时所以在内为增函数；③当11,()0(0),()(0,)a f x x f x x'==>>+∞时在内为增函数；④当111,0,0,2a x a >∆>=->时210,()2x f x a '=<所以在定义域内有唯一零点1x ，且当110,()0,()(0,)x x f x f x x '<<>时在内为增函数；当1x x >时，1()0,()(,)f x f x x '<+∞在内为减函数。
2011年广东高考数学试卷分析
2011年试卷分析第1题考查的是复数的知识，是一道非常容易的题；第2题考查的是集合的知识，要求交集的元素的个数，也是比较容易；第3题考查但是向量的知识，重点考查向量平行于垂直的性质，题型的难度适中；第4题考查函数奇偶性的定义，只要应用函数奇偶性解决，难度适中第5题是一道线性规划与向量知识相结合的问题，要求向量数量积的最大值，难度中等；第6题考查的是概率的知识，要求学生要有较好的分析问题的能力，难度为中等难度的问题；第7题是一道例题几何体，考查了三视图的知识，已知几何体的三视图要求几何体的体积，学生要有较好的空间想象能力，比较简单；第8题是一道创新题，先给出定义，在要求根据定义来判断正误，这种题难度较大，要有较强的分析能力；第9题考查的是不等式的知识，比较容易；第10题考查()k ax-的展开式的x-的展开式的知识，要求学生熟悉()k a形式，相对比较容易；第11题考查等差数列的基础知识，主要考查项之间的关系，难度比较容易；第12题考查函数的极小值，只要应用函数的导数来解决，方法比较固定，计算相对繁琐，比较容易；第13题考查线性回归方程的知识，应用线性回归的方法解决，计算过程比较繁琐，也是一道比较简单的问题；第14题和第15题是选做题，分别为参数方程提和几何证明题，难度固定，跟往年差不多；第16题是一道三角函数的大题，应用三角函数的知识，比较容易；第17题考查的是概率的知识，主要考查古典概率的知识和分布列以及数学期望的知识，是一道比较容易的题；第18题是一道立体几何题，主要考查线面垂直以及二面角的知识，可以利用一般的方法，也可以采用空间向量的方法，难度适中，一般都能做对；第19题考查圆锥曲线的知识，第一小题求圆心的轨迹，比较容易，而第二小题则比较难，需要较强的分析能力；第20题考查数列的知识，主要考查分式递推数列，递推数列一直以来都是高考考查的重点，应该引起重视，同时本题的做法的也比较灵活，涉及到取倒数法以及对字母取值范围的讨论，特别是讨论的过程，是很多学生害怕的地方，所以这道题的难度较大；第21题是一道创新题，也是先给定一个定义，再要求根据定义来解决问题，体现素质教育的要求，是今年高考数学的压轴题，难度非常大，一般学生都很难做对，本题涉及了很多方面的知识，有圆锥曲线、函数、方程、不等式等等，综合性较强。
自然朴实瑕不掩瑜——2011年广东高考数学(文科)卷赏析
函数 计算 问题 ． 者为 了考查 考 命题 生的知识 、能力 和情感 ，将考生熟
悉的数学知识 和方法虚掩在外表复
１≤ ≤、 ０ ／
题 、第 １ 是统计 概率 问题 、第 ７题 １ 题是立 体几何问题 、第 １ ８ ９题是
函数 的导数 问题 、第 ２ ０题是 数列
的 域 由 等 组 ≤ ｙ 区 Ｄ 不 式 ｛２ Ｉ ／ ｙ ≤、
亮 点 一 ：全 面 考 查 、注
重 基础
仔细浏览高考试卷 ，给人 的第
一
分熟悉却又不能正确作答的试题 取 到 了异 曲 同工 的效 果． 这是命 题 者 再 次用铁 的事实提醒广大的高三备
考 师生 ：只有全面 、扎实地复习才
印象是 ：每 一道题都 似曾相识 ，
是 高考有效备考 的唯一捷径 ！
现如 此 大 的反差 呢 ？仔 细 阅读 试
都 渗 透着 新 课程 理 念 ． 细细 品味 。
试 题精 彩 纷呈 ，难 易 试题 错 落有
何 问题是考查证 明平行或垂直 、求
角度或距离 的师生惊诧不已 ！也让 那些 “ 手握 必考点 ，高考操胜 券 ” 的考生 目瞪 口呆 ！同样的命 题手法
由 “ 迭加 法 ”可 以求 出
＝＋ １
常见 的求截距 、求距离等相关问题
的函数 ，而是通过 向量的数量积来 表示的 ．这与常见的线性规划问题 就 已经 与众不 同了． 次 ，要计 算 其
— — — — — — ・ — — — —
ｂ …＋ 牟 ，化简为ａ ＋ ６ 一： ｎ ：
题 ，我们 不难 发现 ：今年高考试卷 中的部分试 题Ｊ 除好击 中了许多高三
师生高考备考复 习中的 “ 软肋”．
2011广东高考文科数学试卷分析
2011年广东高考文科数学试题与2010年文科数学试题比较分析一、总体评价：今年的广东省高考文科数学试卷在2010年的基础上，出题继续将学生的“知识、能力、素质融为一体”，内容上体现了“考查学生对基本知识、基本技能的掌握程度”和“考查学生对数学思想方法和数学本质的理解水平”，命题者依据考试大纲和说明设计试题，试卷最大的特点是：结构合理、考查全面、体现双基、加强思维。
在重点知识的考查顺序上做了一些调整，如文科卷的选择题中解析几何的位置继续后移现象。
说明今年的命题者认为立体几何与概率统计的内容对于学生来说是有一定难度的。
二、文科数学考点分布：三、学科主干内容重点考查：函数与二次不等式、导数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率统计是高中文科数学教学的重点内容，也是每年高考所考查的重点。
有关的核心知识：如圆锥曲线的定义、同角三角函数的关系、等比（等差）数列、空间中直线与平面的位置关系、几何体得有关计算、概率统计的应用等，在今年的试题中都充分考查到了。
这也体现了教学以必修模块为主题的思想。
根据高考考纲和实际考查情况，本次高考试题将考生的能力全面的考量了一番：如空间想象能力（文9）、推理论证能力（文18）、运算求解能力（文19）（它是一个对文科生要求很高的一个试题，起点较高）、数据处理能力（文17）（运算能力要求很高）、应用意识和创新意识（文10）等。
在应用问题方面：我们发现在今年的高考中应用题所占的比率是近四年的最低（文科从08年到10年依次占30%，27%，23%），逐年降低。
可见今年的试题减少了阅读量，我们认为是为了考查学生的思维能力与对基础知识的掌握程度。
四、试卷大题特点：文科第一个大题是三角函数，这是毫无悬念的了，属于容易题，将三角函数特殊角求值，诱导公式、同角三角函数之间的关系以及两角和差的正弦公式糅合在一起，侧重基础知识、基本能力的考查。
第17题是中档题，考查知识点是统计与概率，侧重于概念和计算，近几年的题都如此。
2011年广东高考文科数学解析
绝密★启用前 试卷类型：B2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式121()()()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑ ， ay b x =- ， 样本数据12,,,n x x x 的标准差，222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x ，y 表示样本均值． n 是正整数，则1221()()nnn n n n a b a b aab abb-----=-++++ ．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足1iz =，其中i 为虚数单位，则z =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【解析】A.由题得1()i z i i i i -===-⨯-所以选A.2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且1}x y +=，则A B ⋂的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】C.方法一：由题得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+=+10011122y x y x y x y x 或，)}1,0(),0,1(|),{(y x B A = ，所以选C.方法二：直接作出单位圆221x y +=和直线1=+y x ，观察得两曲线有两个交点，所以选C. 3．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ=A ．14B ．12C ．1D ．2【解析】B.)2,1()0,()2,1(λλλ+=+=+b a ，()//a b c λ+210324)1(=∴=⨯-⨯+∴λλ所以选B. 4．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)(1,)-⋃+∞D ．(,)-∞+∞【解析】C.由题得），，（）函数的定义域为（且∞+∴≠->∴⎩⎨⎧>+≠-11,1-110101 x x x x 所以选C.5．不等式2210x x -->的解集是A ．1(,1)2-B ．(1,)+∞C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞【解析】D 由题得21210(1)(21)02x x x x x -->⇒-+>⇒<-或1x >，则不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM OA=⋅的最大值为A ．3B ．4C ．32D ．42 【解析】B由题知不等式组表示的平面区域D是如图中的梯形OABC,||||cos 3||cos 3||z O M O A O M O A AO M O M AO M O N =⋅=⋅∠=∠=，所以就是求||ON 的最大值，||ON 表示方向上的投影，在OA OM 数形结合观察得当点M 在点B 的地方时，23正视图 图1侧视图 图22 俯视图 2图3 ||ON 才最大。
2011年广东高考数学试题(文科)
对我国民族基础教育政策的几点认识作者：柯东东摘要：民族基础教育政策不仅是国家意志在民族基础教育中的体现，而且在很大程度上也影响了民族基础教育的发展。
民族基础教育政策在目的上是为了提升民族基础教育质量，在导向上是要处理好效率与公平的关系，政策制定与执行过程是民族性与文化性的统一。
关键词：民族基础教育；政策；目的；导向；过程近年来，随着我国教育事业的不断发展，对教育科学的研究也在逐渐深入，特别是教育政策的研究越来越受到公众和研究者的关注。
尽管目前有关教育政策的研究已经取得了一定的成果，但是就民族基础教育政策的研究来说，无论在理论层面还是实践层面都还相对较少。
“民族基础教育政策的目的是什么”、“如何确立政策的价值导向”、“怎样看待政策实践中的问题”等等，都还有待于进一步深入探讨。
澄清这些问题，不仅是在我们开展民族基础教育政策研究之前做一次认识论上的反思，也是在实践中制定和落实民族基础教育政策的理论依据与参考。
一、政策目的 :提升民族基础教育质量自工业化社会以来，教育与国家之间的关系越来越紧密。
自从1870年英国国会颁布了《初等教育法》，就意味着国家对教育合法控制的开始。
现实情况告诉我们，任何一项教育政策的出台，都代表着一种国家的利益需求，都是国家意志在教育上的集中反映。
可以说，这是教育政策的一个基本性质。
我国的国家性质和社会制度决定了民族基础教育政策代表的是广大人民，特别是民族地区人民群众对民族基础教育的需求与期望。
因此，从政策的直接目的来看，就是发展民族基础教育，提升民族基础教育质量，满足人民需求。
这样，我们对于政策目的的考察就转变为对“教育质量”的考察，即要清楚“什么是民族基础教育质量”，换言之，就是怎样衡量民族基础教育质量。
“质量”一词最初主要运用于对工厂生产产品的规格、标准等进行评价，后来才逐渐被引入到教育领域，用来对教育的效果、教育培养人才的价值等方面进行衡量。
特别是现代人力资本理论的提出，更加强化了人们的“教育质量”意识。
2011年高考数学广东卷(文)全解析版
2011年全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式： 锥体的体积公式V =13sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高．线性回归方程y bx a =+中系数计算公式x b y a x xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==,)())((211样本数据12,,...n x x x 的标准差()()()[]222211xx xxxx ns n -++-+-=，其中y x ,表示样本均值，n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n nnb abb aa b a b a一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．设复数z 满足1=iz ，其中i 为虚数单位，则z =( ) A ．i - B ．i C ．1- D ．12．已知集合{}22(,)|,1A x y x y x y =+=为实数,且，{}(,)|,1B x y x y x y =+=为实数,且，则A B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．已知向量(1,2)a = ，(1,0)b = ，(3,4)c =，若λ为实数，//a b c λ+ ，则λ=( )A ．41 B ．21 C ．1 D ．24．函数)1lg(11)(x xx f ++-=的定义域是( )A ．()1,-∞-B ．),1(+∞C ．),1()1,1(+∞-D ．),(+∞-∞ 5．不等式0122>--x x 的解集是( ) A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21B ．),1(+∞C ．),2()1,(+∞-∞D ．),1(21,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞- 6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2220给定。
若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为)，则OA OM z ∙=的最大值为( )A ．3B ．4C ．23D ．247．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A ．20B ．15C ．12D ．108．设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆9．如图1～3，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形， 则几何体体积为( )A ．34B ．4C ．32D ．210．设()f x ，()g x ，()h x 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()()f g x 和()()f g x ∙：对任意x R ∈，()()(())f g x f g x = ；()()f g x ∙=()()f x g x ，则下列等式恒成立的是( ) A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙∙=∙ B ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙=∙ C ．()()()()()())(x h g h fx h g f =D ．()()()()()())(x h g h fx h g f ∙∙∙=∙∙二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
对2011年广东高考文科数学试卷第18题解法论文
对2011年广东高考文科数学试卷第18题的解法研究与思考【摘要】文章提供了对第18题的不同解法，通过对解法的比较，论述了几何与代数解法的优劣，肯定了该题对高中立体几何教学的导向，提出了对教材的编写思考以及对该题的改编思考.【关键词】广东高考；文科数学；解法；思考一、问题的提出图12011年广东高考文科数学试卷第18题原题：如图1所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的.a，a′，b，b′分别为cd，c′d′，de，d′e′的中点，o1，o′1，o2，o′2分别为cd，c′d′，de，d′e′的中点.（1）证明：o′1，a′，o2，b四点共面;（2）设g为aa′中点，延长a′o′1到h′，使得o′1h′1=a′o′1，证明：bo′2⊥平面h′b′g.二、解法分析解决几何问题，一般有几何解法与代数解法两种方法.要证o′1，a′，o2，b四点共面，利用几何解法应证：①o′1a′∥o2b或②a′bo′1o2相交；利用代数解法应证：o′1a′∥o2b.要证bo′2⊥平面h′b′g，几何解法应证明直线bo2与平面h′b′g内的两条相交直线垂直；利用代数解法应证：bo2·h′b=0，bo2·h′b′=0.具体解答如下：引理在凸四边形中，如果这个四边形的面积等于两条对角线积的一半，则对角线相互垂直.图8已知：s四边形abcd=12·ac·bd，求证：ac⊥bd.证明如图8，假设ab与cd不垂直，则过点a作ae⊥bd，cf⊥bd，垂足为e，f，则s四边形abcd=s△abd+s△bcd三、相关的思考1代数解法思维容量少，运算量也不大.几何解法要添加一定的辅助线，还要比较多的推理论证.因此，代数解法显然优于几何解法.那么我们的思考是：是否可以互相取代呢？如果可以互相取代，从减轻学生负担这一点说就完全可是二选一了.大家知道，代数研究的对象，要远远超过几何研究的对象，故是否就可以只学代数而不学几何呢？答案显然是否定的，几何在培养学生的空间想象能力方面有其不可替代的作用，所以去掉几何显然不可取.但随着科技的进步，特别是三维动画技术的运用，对立体几何的要求有所降低，故在新课标中降低几何的要求显然是符合实际的，该题的导向功能也是良好的.2新课程教材中文科教材为什么没有编写代数解法？而实际上对文科学生的空间想象能力的要求要低于理科学生.怎么样去体现这个差异呢？笔者认为运用代数方法解决立体几何问题是最好的解决方案.遗憾的是文科教材没有涉及代数解法，反而理科教材有更多的要求，这是为什么？以后再编写时是否可以适当增加代数解法呢？3该题涉及字母多，阅读量大，学生笔误很多，是否可以向较易与较难两个方面改进呢？（1）减小难度的改编若改为：将圆柱体改为长方体进行切割平移，而其他条件与结论不变，显然难度降低不少.（2）增加难度的改编图11若改为：如图11，p1为o1h′1中点，过点p1作垂直于o′1a′的平面切割圆柱后平移得到.①证明：o′1，a′，b，p2四点共面；②g在o1o′1上，且o′1g=14o1o′1，求证：bp′2⊥平面h′b′g.若再改为：p1为线段o1h′1上的点，且h′p1=mnh′a′，过点p1作垂直于o′1a′的平面切割圆柱后平移得到.①证明：o′1，a′，b，p2四点共面；②若o′1g=mno′1o1（m,n∈n+，且m<n），求证：bp′2⊥平面h′b′g.上述两种改编难度将会增加不少.总之，本小题主要考查空间想象、推理论证和抽象概括能力，以及化归与转化的数学思想方法.考查线线关系和线面关系，线线共面的判定定理，四点共面的判定，线面垂直的判定和性质，圆柱体的性质和平移等基础知识.对中学立体几何教学有良好的导向作用.但本题给学生的感觉是复杂的：点多，又要切割圆柱体，再平移，所以会给学生导向很难；此题不好表达，有些结论很简单，具体因为什么，说不好，故而导致选拔的功能有所减弱.因此在以后的选拔考试中如何命出更好的具有良好区分度的题又是一个值得研究的课题.【参考文献】［1］严士健，等.普通高中数学课程标准(实验)解读［m］.南京：江苏教育出版社，2004.［2］李建华，等.普通高中课程标准实验教科书《数学》(必修)［m］.北京：人民教育出版社,2007.［3］2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）考试大纲说明（广东卷）.广东教育考试院，2011.［4］2011年高校招生考试新课程考试大纲(理科数学).教育部考试中心，2011.［5］刘邵学，章建跃.几何中的向量方法［j］.数学通报，2009（6）.。
2011广东高考文科数学
2011 广东高考文科数学引言2011 年广东高考文科数学试卷是广东省教育厅根据当年高中课程大纲的要求，为广东省高中生设计的一套数学考试试卷。
本文主要对该试卷进行分析和评价，并提出一些建议，以帮助学生更好地应对类似考试。
试卷结构2011 广东高考文科数学试卷分为两部分：选择题和非选择题。
选择题占总分的70%，非选择题占总分的30%。
试卷涵盖了数学的各个主题，包括代数、几何、概率与统计等内容。
选择题分析选择题部分由多个小题组成，每个小题有四个选项，只有一个正确答案。
根据对试题的分析，可以得出以下结论：1.试题内容覆盖面广：试题涵盖了数学各个主题的知识点，包括代数、几何、概率与统计等。
2.题目难度适中：试题难度适中，既考察了基本的知识点掌握，又考察了对知识点的扩展应用能力。
3.答题时间紧张：选择题数量较多，考生需要在有限的时间内完成。
因此，良好的时间管理和解题策略至关重要。
非选择题分析非选择题部分主要包括解答题和证明题。
根据对试题的分析，可以得出以下结论：1.题目难度较高：非选择题部分主要考察学生对知识点的深刻理解和运用能力，题目相对较难。
2.解题思路多样：非选择题部分的题目要求学生运用所学的知识，灵活运用解题思路，解决实际问题。
3.答题要求严谨：考生在解答题和证明题时要注意书写的规范性和严谨性，避免计算和推理过程中的错误。
试卷评价根据对试卷的分析，可以得出以下评价：1.内容全面：试卷中包含了广泛的数学内容，能够全面考察学生的数学基础和运用能力。
2.难度适中：试题的难度适中，能够反映出学生的综合数学水平。
3.答题时间合理：试卷给出了合理的答题时间，考察能够在规定时间内完成答题。
4.考查能力全面：试卷既考察了学生对基础知识的掌握，又考察了学生的解决问题和推理能力。
建议根据对试卷的分析，可以给考生一些建议，帮助他们更好地应对类似的考试：1.熟悉考试内容：考生需要对高中数学教材进行全面复习，熟悉各个知识点的要求和应用。
2011年高考创新型数学试题赏析及教学反思
2011年高考创新型数学试题赏析及教学反思2011年高考创新型数学试题在教育界引起广泛关注和研究。
本文对该年份的高考试题进行赏析，并结合教学实际，对教学方法和策略进行反思和探讨。
1. 简述2011年高考数学试题情况2011年高考数学试题共分为选择题和非选择题两部分。
选择题包括单选题和多选题，非选择题则包括填空题、解答题和证明题。
整体试卷难度适中，注重培养学生的综合能力和创新思维。
2. 数学试题赏析2.1 单选题和多选题选择题要求学生熟练掌握基础知识，理解概念和定理，并能运用所学的知识解决问题。
其中，某些多选题设置了多种解题思路，鼓励学生运用不同的方法解题，培养学生的多样化思维能力。
2.2 填空题填空题要求学生灵活运用知识进行推理和归纳，能够从已有条件中得出结论，培养学生的逻辑思维和分析能力。
2.3 解答题解答题是2011年高考数学试卷的重点和难点部分。
它要求学生对所学知识进行深入理解，能够分析问题、归纳规律，运用所学的方法解答复杂的数学问题。
2.4 证明题证明题是培养学生数学证明能力的重要环节。
2011年高考试题中的证明题，要求学生归纳所学知识，理清思路，运用严密的推理和证明方法解决问题。
3. 教学反思3.1 强化基础知识的教学分析2011年高考试题，发现学生对基础知识的掌握程度直接影响了他们的解题能力。
因此，在教学中应注重强化学生的基础知识，加强基本操作的训练，帮助学生更好地理解和掌握数学概念和定理。
3.2 提倡综合能力的培养2011年高考试题注重培养学生的综合能力。
在教学过程中，我们应引导学生进行综合素质的培养，包括思维逻辑能力、分析解题能力、推理能力等，让学生能够从不同的角度综合运用所学的知识解决问题。
3.3 培养创新思维的能力创新是现代社会对人才的重要需求之一。
因此，在数学教学中，我们应注重培养学生的创新思维能力。
通过开放性问题和多样性的解题思路，激发学生的兴趣和创造力，让他们在解决问题中锻炼创新思维。
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搭建脚手架 沟通根与桃——2011年一道广东文科数学高考试题的教学设计反思【摘要】 高考题具有典型性、示范性，利用好高考试题能把握好复习方向和提高教学效益。
通过对课本习题的再加工，为学生搭建脚手架，根据“最近发展区”理论，让学生面高考题而不惊，做高考题而尽兴。
让学生思维的浪花在问题的解决过程中跌宕起伏；让学生的数学能力在自己力所能及的天地里尽情舒展。
【关键词】 最近发展区 思维 认知规律 分类讨论2012年的高考即将拉开帷幕。
2011年的高考试题对今年的高考具有很好的引导作用。
高考试题是我们教学的典型例题,充分挖掘高考试题所蕴含的价值,重视高考试题的教学示范作用,是提高高三复习效率的最佳“捷径”。
如果教师能够抓住学生的“最近发展区”，在根（课本习题）与桃（高考试题）之间搭建脚手架，发挥学生的主观能动性，最大限度的挖掘学生的潜能，激发学生的能力，就能使高三的复习事半功倍使学生的数学能力得到迅速的发展。
“最近发展区”是前苏联心理学家维果茨基提出来的，认为学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平；另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力。
两者之间的差异就是最近发展区。
教学应着眼于学生的“最近发展区”，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区而达到下一发展阶段的水平，然后在此基础上进行下一个发展区的发展。
接下来我以2011广东高考数学文科第19题为例，谈谈如何利用“最近发展区”理论指导高考复习。
1 考情分析设0>a ，讨论函数x a x a a Inx x f )1(2)1()(2---+=的单调性。
本小题考察的知识点是导数及其应用、函数与方程，体现基础性和综合性。
试题情景为讨论含参数的函数的单调性问题，考察学生对二次函数与自然对数的求导公式、利用函数研究函数及求函数的单调区间等基础知识的掌握程度，考察学生的运算求解和推理论证能力，以及考生对函数与方程、数形结合、分类与整合数学思想的理解、应用程度。
试题考察内容是该知识点的基础知识及重点内容。
考生出现的问题或错误主要是（1）未能求出定义域；（2）未能对参数进行完整的分类讨论；（3）运算出错。
本小题难度系数为0.21。
2 教学启示这是一道求函数单调性的题目，是高考常规题型，所用方法也是最基本的方法。
但是全省的平均分才2.94分，足以见学生掌握得并不好。
原因主要有以下几个方面：（1）学生对最后三道大题谈题色变。
一般老师都会强调，把选填题和前面三道大题做好，后面三道就尽量的拿分。
就是这个尽量，让学生觉得后面的三道大题太难了，老师都对我们没有信心，我们干脆放弃好了。
所以每次评讲试卷不管老师讲得再激情澎湃，我心依旧。
（2）高三课堂经常是老师一言堂。
高三的复习时间紧，任务重，而且各种模拟题铺天盖地。
老师很多时候为了能够让学生掌握更多的知识，每节课都想把自己精心准备的知识一股脑灌输给学生。
不再像高一高二新课教学那样注意知识的发生发展过程，以至于学生在课堂中不停地听不停地做笔记，而没有自己思考的空间。
缺少了思考，数学就如无水之山，缺少那么一点灵性。
不利于学生对知识的掌握以及思维能力的培养。
（3）学生思维的灵活性以及分类论思想掌握不充分。
该题主要是涉及到对参数a 进行讨论。
然而如何对a 进行分类，分类后又如何结合定义域写出函数的单调区间，对学生而言都有一定难度。
（4）题目编写不够合理，以往的高考中函数与导数的题目都会设置两到三小问，给学生搭建了一个螺旋上升的平台。
然而该题只有一问，没有一个阶梯，学生没有思路，很是茫然。
导数是研究函数性质的重要工具所以也是高考命题的热点。
导数是研究函数的工具。
研究函数方面，核心是单调性。
所以，我们在高考复习时，要把求函数的单调性的基本方法作为重点。
基于以上分析，我在教学过程中注意培养学生的自信心，尽量把课堂还给学生，让学生在思考中逐渐地懂得为什么要对参数a 分类，何时开始分类，分类后如何结合定义域进行讨论。
加涅学习理论中蕴含的一个重要的观点就是学习具有层次性，知识的认知过程是循序渐进和逐渐积累的过程。
有些高考题是源于课本习题的改编。
所以，我们要从课本中找到试题的出处，要对教材内容进行再加工，按照学习内容的层次性教学，让学生体会知识从简到难、从简到繁、从具体到抽象的过程；同时，也要充分结合学生的认知特点，根据学生的思考能力，适当地设置一些脚手架，让学生慢慢的爬到自己可以企及的高度。
3 教学超链接3.1 回归课本，重拾信心教材中的例题和习题一般是教材编写者精心挑选或设计出来的，具有典型性、示范性和明确的针对性，而且是学生十分熟悉的。
上述高考题来源于课本习题的变式。
基于此，我们找到该习题，并对习题进行变式。
这就能在学生的“最近发展区”产生认知冲突，从而构建知识体系，能够让学生认识到教材才是“最好的教科书”。
所以在高三复习课中，让学生找到知识的本源，并且让学生能够通过自己动手来掌握，不仅使学生对学好数学充满信心而且有助于对学生开放性思维的培养。
例一：（课本93页，练习1（4））求函数x x x x f --=23)(的单调区间.学生很快就做出正确答案，此时，学生归纳出求函数单调区间的方法：① 确定函数的定义域；② 求导函数)(/x f ，解不等式0)(/>x f （或0)(/<x f ）；③ 下结论：0)(/>x f 的解集为)(x f 的单调增区间；0)(/<x f 的解集为)(x f 的单调减区间。
变式1：求函数x ax x x f -=23-)(的单调区间 .多了一个参数a ，如何求函数的单调区间？学生纷纷动笔希望找到0)(/=x f 的解，却发现没有解。
那怎么办呢？原来是0)(/>x f 恒成立，所以函数)(x f 在R 上单调递增。
学生对于这个也能够很好的理解。
变式2：求函数x x ax x f -=23-)(的单调区间对函数求导，123)(2/--=x ax x f ，求导后学生就激烈讨论开了，往下该如何对a 进行分类？学生很快就发现了)(/x f 有可能是二次函数也有可能不是，所以先分为这两类。
当0≠a 时，)(/x f 是二次函数，接下来就是求根然后根据根的分布求单调区间了，可是)(/x f 不一定有解，所以又要对a 根据∆进行分类。
⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧>∆≤∆≠=0000a a a 所以对于如何分类学生就比较明了了。
分类讨论正应了“不是不讨，时候未到！时候一到，立即讨论”这句话。
选题目的：例一是不含参数的函数求单调区间问题，学生一般都可以自行解决，目的是掌握求单调性的基本方法。
而变式1和变式2则是在例一的基础上，要对参数进行讨论，主要为培养学生分类讨论的思想以及数形结合的思想。
这是学生的弱点也是高考的热点，这类题目一般学生初次遇到都不易独立完成解答。
但是有了例一的铺垫以及教师的适时点拨，学生便可以熟悉并掌握这类问题的基本方法，能较好地切入学生的“最近发展区”。
例2：(选修1-1 ， 93页，练习3)讨论二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的单调区间. 有了前面的铺垫，学生都跃跃欲试，并且对于如何分类也了然于胸。
最后得出讨论函数（含参数）的单调性，其实就是讨论含参数不等式0)(/>x f （或0)(/<x f ）的解集。
主要讨论有三个方面：①讨论方程0)(/=x f 是否有实数根；②讨论实数根是否在定义域内；③讨论实数根的大小关系。
选题目的：例二是在变式1、2的基础上进一步一般化，从一个参数到三个参数，但是基本的分类思想是样的。
这不就是上述高考题的一般解法吗？符合学生认知规律，使学生掌握了求函数单调区间的基本方法及如何对参数进行分类讨论。
运用从特殊到一般的方法引导学生全面去分析问题，让学生深入自身的“最近发展区”激活学生的思维。
3.2 掌握方法，实现飞跃例三：（2011湖南文22）设函数)(1)(R a aInx x x x f ∈--= （1） 讨论函数)(x f 的单调性（2）略学生运用例一的方法可以分类讨论，此时，问学生有没有更好的方法，也就是充分利用二次函数的图象性质进行分类呢?在教师的引导下，学生结合二次函数图象，有如下解：解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，22/1)(x ax x x f +-= 令1)(2+-=ax x x g ，则)(x g 的图象开口向上，并且过定点（0,1），对称轴为2a x =，结合图象，只需要讨论下面三种情况： 对称轴在x 轴、左边或者右边 （ⅰ）0,02≤≤a a 此时)(x f 在),0(+∞内为单调递增函数（ⅱ）2,04022≥⎪⎩⎪⎨⎧≤-=∆>a a a)(x f 在),0(+∞内为单调递增函数（ⅲ）20,04022<<⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆>a a a a2421--=a a x ，2422-+=a a x 且210x x <<)(x f 在),(,021+∞x x ），（内为单调递增函数，在),(21x x 内为单调递减函数综上，（略）选题目的：学生已经初步掌握了求函数单调性的基本方法，而教师如果只是用基本方法详细讲解，偏重于思维定势，必将不利于培养学生思维的灵活性，这样培养出的学生只会是机械化的学生。
学生在初中已经初步掌握了二次函数的图象，而在高中阶段更是进一步研究了二次函数的图象性质。
所以该题如果能够结合图像运用数形结合的方法进行解题，则将思维提升了一个层次，提高了学生的解题能力和灵活性思维能力。
学生的深层次“最近发展区”得以拓展。
3.3 伸手摘桃，直面考题有了前面的脚手架，学生顺着脚手架，一步一步往上爬，慢慢地，就能够摘到树顶上的桃子，就能顺利解决那道高考题了。
解法一：函数)(x f 的定义域为()+∞,0。
x x a x a a x f 1)1(2)1(2)(2/+---=， 当1≠a 时，方程01)1(2)1(22=+---x a x a a 的判别式)31)(1(12--=∆a a 。
① 当310<<a 时，0>∆，)(/x f 有两个零点， 0)1(2)13)(1(211>----=a a a a a x ，)1(2)13)(1(212a a a a a x ---+=， 且当10x x <<或2x x >时，0)(/>x f ，)(x f 在),0(1x 和()+∞,2x 内为单调递增函数；当21x x x <<时，0)(/<x f ，)(x f 在),(21x x 内为单调递减函数；② 当131<≤a 时，0≤∆，0)(/≥x f ，所以)(x f 在),0(+∞内为单调递增函数； ③ 当1=a 时，)0(01)(/>>=x x x f ，)(x f 在),0(+∞内为单调递增函数； ④ 当1>a 时，0>∆，0)1(2)13)(1(211>----=a a a a a x ，0)1(2)13)(1(212<---+=a a a a a x ， 所以)(/x f 在定义域内有唯一的零点1x ，且当10x x <<时，0)(/>x f ，)(x f 在),0(1x 内为单调递增函数；当1x x >时，0)(/<x f ，)(x f 在),(1+∞x 内为单调递减函数。