一类非线性抛物型方程组正解的整体存在性

（责任编辑： 尤小平 ）
－１
ˉ ,v（x,t）＝k 1+C２－１－C２－１（１－φ（x））l２
－１
ˉ ,x∈Ω，t＞０，
其中 φ（x）由（１．２）式定义， 常数 k＞１ 待定， l１＝kμ１－１， μ１＝（p＋１） ／ ２＝α，l２＝kμ２－１， μ２＝（q＋１） ／ ２＝β． 如果 l１＝kμ１－１≥２，l２＝kμ２－１≥２ 那么直接计算得 （２．１）
收稿日期： 2011-11-15 作者简介： 吴春晨 （1978女， 福建福清人， 讲师， 硕士。研究方向： 偏微分方程。 )，
第2期
吴春晨： 一类非线性抛物型方程组正解的整体存在性
23
要结论为： 定 理 １ 设 ｐ ＞ｍ，ｑ ＞ｎ，α＝ （ｐ＋１）／２，β＝ （ｑ＋１）／２， 若 ａ ≥ （λ０C２ －１＋C１２C２ －２＋２C１２C２ －２ ）（１＋C２ －１）ｐ，ｂ ≥ （λ０C２－１＋C１２C２－１＋２C１２C２－２）（１＋C２－１）ｑ， 则问题 （１．１ ） 的任意解都整体存在并且一致有界． 2 定理的证明 证明 令 u（x,t）＝k １＋C２－１－C２－１（１－φ（x））l１
2 -2
荦φ
＋
２l１C2 （1-φ）
-1
-1
l１ －１
荦φ
l１
２
１＋C2 －C2 （1-φ）
-1
△ △ △ △ △ △ △ △ △
≤λ0kμ1C2 +kμ1(l1-1)C1 C2 +2l1kμ1C1 C2 ＜k
2 -1
u1
-1
(λ0C2 +C1 C2 +2C1 C2 ），
p -1 -1 l2 -p
-1
2012 年第 2 期 总第 110 期
《福建师大福清分校学报》 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＦＵＱＩＮＧ ＢＲＡＮＣＨ ＯＦ ＦＵＪＩＡＮ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
Sum No.110
一类非线性抛物型方程组正解的整体存在性
吴春晨
（福州大学至诚学院， 福建福州 350002 ）
摘 要： 考虑一类具有非线性边界流的拟线性抛物型方程组正解的性质， 得到了解整体存在的充要条件 关键词： 拟线性抛物型方程组； 非线性边界； 整体存在 中图分类号： O175.2 文献标志码： A 文章编号： （2012 ） 1008－3421 02－0022－03
鄣u ， 鄣v 分别表示 u, 的解的性质， 其中系数 m,n≥1， 区域 Ω奂RN（N≥１）有界光滑， a， b， p， q 为正数， 鄣n 鄣n 初值 u０（x）， v 在边界鄣Ω 上的外法向导数， v０（x）为正的 C１ 函数且满足相容性条件． 近些年来， 许多研究者都致力于探讨带非线性边界条件的方程组的解的性质［１－５］， 其中， 在文献 ［１］中， 李慧玲考虑了方程 (um)t=Vu-αup x∈Ω， t ＞0
1 引言与主要结论 本文考虑拟线性抛物型方程组
鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣
(um)t=Vu-αvp (vn)t=Vv-buq,x∈Ω， t ＞0 鄣u =vα, 鄣v =uβ， x∈鄣Ω， t ＞0 鄣n 鄣n u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈Ω (1.1)
∈ ˉm ∈ ＝０， u
t
ˉ =kμ１C （1-φ） 荦u 2
-1 -1
l１ －１
１+C2 －C2 （1-φ）
l１ －１ 2
△ △ △ △ △ △ △ △ △
-1
-1
l１
－２
（－荦φ），
－１ ２
ˉ＝ Vu
kμ１C2 （1-φ）
-1 -1
1+C2 -C2 （1-φ）
-1 2
l１
-△φ+（l１-1）（1-φ）
同样的， 由于 ２μ2－１＝q 且 b≥（λ０C2 ＋C1 C2 ＋２C1 C2 ）（１＋C2 ）q，因此若 （２．１ ） 式成立， 则有 ˉ －bu ˉ ，坌（x,t）∈Ω×（０，∞）． ∈ ˉm ∈ ≥Vv v t 而且， 只要 k(1+C2 ) ≥ｍａｘ v０（x）． ˉ
Ω -1 -1 q -1 2 2 -2 -1
意解都整体存在的， 并且一致有界． 3 n 个方程的情形 这一部分， 我们考虑将方程组 （１．１ ） 中的方程扩展成 ｎ 个方程的情形： mi p1 (ui )t=Vui -ai ui+1 , x∈Ω， t＞ 0 鄣ui =u αi, x∈鄣Ω， t＞ 0 i+1 鄣n ui(x,0)=ui0(x),x∈Ω （i＝１，２，…n,un＋１＝u１ ） ， 其条件与方程组 （１．１ ） 的条件相同．类似的， 我们可得到
-1 2 -1 2 -2 -1
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
(3.1)
定理 ２ pi＞mi,αi=(pi＋１）／２． 若 ai≥（λ０C2 ＋C1 C2 ＋２C1 C2 ）（１＋C2 ）pi，则问题（１．１）的任意解都整体存 在并且一致有界． 证明同定理 １， 故略．
参考文献： [1] [2] [3] [4] [5] [6] 李慧玲.一个非线性抛物型方程正解的性质[J].中国科学 A 辑： 数学， （3 ） ： 2007,37 257-273. 范萍， 李刚， 黄瑜.一个半线性耦合抛物型方程组爆破解的速率估计[J].南京气象学院学报， （3 ） ： 2008,31 441-446. 王西静.非线性边界条件下一致抛物型方程解的整体存在[J].湖南民族学院学报 （自然科学版 ） ， 2010,28(4),436-438. 王明新.一类带有非线性边界条件的拟线性抛物型方程解的大时间性态[J].数学学报 1996,39 （1 ） ： 118-124. 2001,46,893-908. M.X.Wang.Fast-slow diffusion systems with nonlinear boundary conditions[J]. Nonlinear Anal ， Courant R.Hilbert D.Methods of Mathematical Physics II[M].New York:Interscience,1962.
Ω
(1.2)
鄣φ ＜０ 并且对任意的 x∈ˉ 在鄣Ω 上， Ω， 有荦φ（x）≤C１．此外， 存在正数 C２ 和 C３， 使得在鄣Ω 上， C２≤－ 鄣n 鄣φ ≤C（参阅文献［６］ ˉ ｜dist(x，鄣Ω)≤ε 荦 ） ．同时存在一个较小的正数 ε， 使得对 x∈ 荦 ， 有荦φ ３ x∈Ω 鄣n ˉ ｜dist(x，鄣Ω)≥ε 荦 （x）≥C２ ／ ２．对于这样的 ε， 存在正数 C４， 使得对 x∈ 荦 ， 有 φ（x）≥C４．本文的主 x ∈Ω
现在选取正数 k， 使得 k＞max 1,2
坌
1/(μ1-1)
,2
1/(μ2-1)
,(1+C2 )ｍａｘ u０（x），(1+C2 )ｍａｘ v０（x）， 则（２．１）式， （２．２）式和（２．３）式成立， 这说明 ˉ ˉ
Ω Ω －１ －１
-1
-1
坌
-1 -1 l１ -1 -1 l２ ˉ ˉ 故问题（１．１）的任 u （x，t）＝k 坌 v （x，t）＝k 坌 １＋C2 －C2 （１－φ（x）） 坌 ， １＋C2 －C2 （１－φ（x）） 坌 是问题（１．１）的上解，
2
-1
2
-2
av =ak 1+C2 -C2 (1-φ)
p
≥ak (1+C2 )
2 -1 2
p
-1 -p
由于 ２μ1－１＝p 且 a≥（λ０C2 ＋C1 C2 ＋２C1 C2 ）（１＋C2 ）p， 因此若 （２．１ ） 式成立， 则有 ˉ －av ˉ ，坌Ω×（０，∞）． ∈ ˉm ∈ ≥Vu u t 另一方面， 只要 k(1+C2 ) ≥ｍａｘ u０（x）． ˉ
Global Existence of Positive Solutions for a Nonlinear Parabolic System
WU Chunchen
（Zhicheng College of Fuzhou University, Fuzhou, Fujian, 350002）
Abstr act: This paper deals with a certain quasilinear parabolic system with nonlinear boundary conditions. Some appropriate conditions for global existence of solutions are determined respectively. Key wor ds: quasilinear parabolic system；nonlinear boundary；global existence of solution
（２．３）
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福建师大福清分校学报
2012 年 3 月
就有 ˉ -1 β ˉβ 鄣v ＝kμ2C2 － 鄣φ ≥kμ2＝k ＝u ， 坌（x,t）∈鄣Ω×（０，∞）． 鄣n 鄣n
鄣 鄣
此外， 易见
-1 -1 -1 -1 l２ ˉ ˉ （x，０）＝k v 坌 １＋C2 －C2 （１－φ（x）） 坌 ≥k(1+C2 ) ≥v０（x），坌x∈Ω. －１
鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 奂 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣
鄣u =uq, x∈鄣Ω， t ＞0 鄣n
u(x,0)=u0(x),x∈Ω 并得到了许多有益的性质．受此启发， 本文对定义在相同区域上的问题 （１．１ ） 进行了研究， 运用上下 解方法， 我们得到问题 （１．１ ） 的正解的整体存在性的条件， 并将这个耦合型方程扩展成 ｎ 个方程的 情形． 设 λ０ 为下面问题的第一特征值： -Vφ=λφ， x ∈Ω ； φ=0， x∈鄣Ω 满足ｍａｘ φ（x）为 λ０ 所对应的特征函数， φ（x）＝１．众所周知， λ０＞０；在 Ω 上， φ（x）＞０； ˉ