2017-2018学年届吉林省长春市普通高中高三质量监测(三)数学(理)试题(解析版)【有答案】

长春市普通高中2018届高三质量监测（三） 数学理科一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的） 1. 设集合，，则A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意得：，∴故选：C 2. 若复数，则A. B. C. D.【答案】A 【解析】，∴故选：A3. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示， 则8771 用算筹可表示为，故选：C．4. 函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数是偶函数，排除A，C，当，.排除B故选：D.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．5. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,则的值可以为A. B. C. D.【答案】C【解析】将函数的图象向右平移个单位得到函数，得到：.故选：C.6. 如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在空白框中填入及最后输出的值分别是（）A. 和6B. 和6C. 和8D. 和8【答案】D【解析】空白框中n依次加2可保证其为偶数，排除A，C时，，时，所以D选项满足要求．故选：D．7. 本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种A. B. C. D.【答案】A【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；∴故选：A.8. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，.故选：B.9. 已知△的内角的对边分别为，若，，则△面积的最大值是A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，由余弦定理，，故，有，故.故选：B10. 已知边长为的等边三角形，为的中点，以为折痕，将△折成直二面角，则过四点的球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为，故其外接球的半径为，其表面积为.故选：D.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．11. 已知焦点在轴上的双曲线的左右两个焦点分别为和，其右支上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由双曲线可知，从而.故选：B.12. 已知定义域为的函数的图象经过点，且对，都有，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】B【解析】令，有，所以在定义域内单调递增，由，得，因为等价于，令，有，则有，即，从而，解得且.故选：B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 设实数满足约束条件，则的最大值为___________.【答案】9【解析】作出可行域，如图：由可行域可确定目标函数在处取最大值故答案为：9点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 已知、取值如下表：画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值为_______.（精确到）【答案】1.7【解析】将代入回归方程为可得，则，解得，即精确到0.1后的值约.故答案为：1.715. 已知函数，若，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】当，当，故.故答案为：16. 已知腰长为的等腰直角△中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值________.【答案】【解析】如图建立平面直角坐标系，,∴，当sin时，得到最小值为故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知数列的前项和为，且，在正项等比数列中，.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由求出的通项公式，由等比数列的基本公式得到的通项公式；（2）利用错位相减法求出数列的前项和.试题解析：（1），令，，又数列为等比，，，又各项均为正，（2）由（1）得：，，点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4 组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求在第1组已被抽到人的前提下，第3组被抽到人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出人，记关注“生态文明”的人数为，求的分布列与期望.【答案】(1) (2)（3）试题解析：（1）由，得，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件，第3组抽到2人为事件，则（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为的可能取值为0，1，2，3.，，所以的分布列为，19. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，分别是线段的中点，.（1）求证：∥平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）取中点，连接，易得四边形为平行四边形，从而所以∥平面；（2）平面，且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式得到所成锐二面角的余弦值.试题解析：（1）取中点，连接分别是中点，，为中点，为矩形，，，四边形为平行四边形平面，平面，平面（2）平面，且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系则设平面法向量为，，则，即，取则设平面法向量为，，则，即，取.平面与平面所成锐二面角的余弦值为.点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于,两点，求四边形面积的最大值.【答案】(1) (2)6【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心的轨迹的方程；（2）设的方程为，联立可得，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可.试题解析：(1)设动圆的半径为，由题意知从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点，从而轨迹的方程为.（2）设的方程为，联立，消去得，设点，有则，点到直线的距离为，点到直线的距离为，从而四边形的面积令，有，函数在上单调递增，有，故，即四边形面积的最大值为.21. 已知函数.（1）若在上是单调递增函数，求的取值范围；（2）设，当时，若，其中，求证：.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）在上是单调递增函数等价于在上，恒成立，即：，构造新函数求最值即可；（2）要证，即证，记，易证在上递增，转证。

试题解析：（1）的定义域为且单调递增，在上，恒成立，即：设，，当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，，，即 .（2），设，则，在上递增且令，设，，，在上递增，，，，令即：又，即：，，在上递增，即：，得证.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4—4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，：.（1）求与的交点的极坐标；（2）设点在上，，求动点的极坐标方程.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）联立，得到，从而求出与的交点的极坐标；（2）设，且，由已知利用相关点法可得动点的极坐标方程.试题解析：（1）联立，，，，交点坐标.（2）设，且，由已知得，点的极坐标方程为.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）对于都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）对x分类讨论，得到三个不等式组，分别解之，最后求并集即可；（2）对于，都有恒成立，转化为求函数的最值问题即可.试题解析：（1）当时，当解得当恒成立.当解得，此不等式的解集为.，当时，当时，，当单调递减，∴f(x)的最小值为3+m，设当，当且仅当时，取等号即时，g(x)取得最大值.要使恒成立，只需，即.。