高一数学直线的倾斜角和斜率
高一数学必修2第三章知识点：直线的倾斜角与斜率
高一数学必修2第三章知识点：直线的倾斜角与斜率
在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
小编准备了高一数学必修2第三章知识点，具体请看以下内容。
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定=0.
2、倾斜角的取值范围：0180.当直线l与x轴垂直时,= 90.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tan
⑴当直线l与x轴平行或重合时,=0,k=tan0
⑵当直线l与x轴垂直时,=90,k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式:k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提
下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直。
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线的倾斜角为．【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则．【考点】直线的倾斜角．2.已知一条直线过点(3，-2)与点(-1，-2),则这条直线的倾斜角是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】直线过点与，直线的斜率，则直线的倾斜角为.【考点】直线的斜率、倾斜角.3.已知若直线：与线段PQ的延长线相交，则的取值范围是 .【答案】【解析】直线的方程为，显然经过定点，过点M作直线，显然的斜率，过M、Q作直线的斜率为,依题意，应夹在直线与之间，即于是，即。
【考点】（1）斜率公式的应用；（2）数形结合思想的应用。
4.直线的倾斜角的大小为。
【答案】【解析】,所以倾斜角为.【考点】1.直线方程；2.倾斜角和斜率.5.经过点的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1B．4C．1或3D．1或4【答案】A【解析】由题意可知，性的判断与证得m=1，故选A.【考点】直线斜率公式.6.过点(－3,0)和点(－4，)的直线的倾斜角是()A．30°B．150°C．60D．120°【答案】D【解析】因为，，所以，直线的倾斜角是120°，选D。
【考点】直线的斜率、倾斜角点评：简单题，利用斜率的坐标计算公式求得倾斜角的正切。
7.若直线经过A(-2,9)、B(6,-15)两点,则直线AB的倾斜角是( )A．45°B．60°C．120°D．135°【答案】C【解析】设直线AB的倾斜角是θ，由直线的斜率公式得k="tan" θ=，再根据倾斜角的范围求出倾斜角的大小。
解：设直线AB的倾斜角是θ，由直线的斜率公式得k=tanθ==又0≤θ＜π，θ=120°，故选 C．【考点】直线的倾斜角和斜率点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小．求出斜率tanθ是解题的关键8.如图，若图中直线1,2,3的斜率分别为k1, k2, k3，则A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2【答案】B【解析】由于直线L2、L1的倾斜角都是锐角，且直线L2的倾斜角大于直线L1的倾斜角，可得 K2＞K1＞0．由于直线L3、的倾斜角为钝角，K3＜0，由此可得结论．k3<k1<k2,，故可知选B.【考点】直线的倾斜角和斜率点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．9.直线的倾斜角是（）A．300B．600C．1200D．1350【答案】C【解析】由于直线的斜率为，那么根据倾斜角和斜率的关系可知，tanθ=,那么可知角为1200，故选C.【考点】直线的倾斜角和斜率的关系点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，求出tanθ=，是解题的关键10.已知点，，则直线的倾斜角是．【答案】【解析】直线垂直于x轴，倾斜角为【考点】直线斜率与倾斜角点评：若则直线的斜率为，倾斜角满足11.(本小题满分6分)求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程的一般式.【答案】【解析】由解得，则两直线的交点为………2分直线的斜率为，则所求的直线的斜率为……………4分故所求的直线为即………………6分【考点】本题考查了直线的位置关系及直线方程的求法点评：熟练运用直线的位置关系求直线方程是解题的关键12.直线的倾斜角是( )A．150ｏB．135ｏC．120ｏD．30ｏ【答案】A【解析】解：因为直线，故倾斜角是150ｏ，选A13.．过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为．【答案】1【解析】由斜率公式可知,所以m=1.14.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 .【答案】【解析】设直线l的方程为y=kx+b,由题意知平移后直线方程为y=k(x+3)+b+1,即y=kx+3k+b+1,由于直线平移后还回到原来的位置，所以3k+b+1=b,所以15.直线的倾斜角等于__________．【答案】【解析】直线的斜率为，则倾斜角满足即直线的倾斜角为.16.直线的倾斜角是（）A．30°B．120°C．60°D．150°【答案】A【解析】17.倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线斜率为所以直线方程为故选D18.直线的倾斜角是（）A B C D【答案】C【解析】略19.已知点. 若直线与线段相交，则的取值范围是_____________.【答案】[-2，2]【解析】略20.以下直线中，倾斜角是的是（）..【答案】C【解析】略21.已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】略22.当时，如果直线的倾斜角满足关系式，则此直线方程的斜率为；【答案】【解析】略23.直线的倾斜角为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】略24.长方形OABC各点的坐标如图所示，D为OA的中点，由D点发出的一束光线，入射到边AB上的点E处，经AB、BC、CO依次反射后恰好经过点A，则入射光线DE所在直线斜率为【答案】【解析】如图：作关于的对称点，关于的对称点，关于的对称点，关于的对称点，则的延长线过完点，因为，所以根据对称性得，所以【考点】点关于线对称的点25.对于直线x sin+y+1=0，其斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的斜率为，因此斜率的取值范围是[-1，1]，答案选B．【考点】直线的一般方程与斜率26.如图所示，直线的斜率分别为，则的大小关系为（按从大到小的顺序排列）．【答案】【解析】由图形可知，比的倾斜角大，所以【考点】斜率与倾斜角的关系27.已知三点在同一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】确定的直线方程为，代入点得【考点】直线方程28.若图，直线的斜率分别为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】切斜角为钝角，斜率为负，切斜角为锐角，斜率为正，因为倾斜角大于倾斜角，所以【考点】直线倾斜角与斜率的关系29.直线经过点，且倾斜角范围是，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】直线倾斜角与斜率的关系30.已知三点在同一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】确定的直线方程为，代入点得【考点】直线方程。
数学高一专题 倾斜角与直线方程
数学高一专系列之 倾斜角与直线方程一、直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是k = tanα二、直线的斜率公式:三、直线方程：1.点斜式：11()y y k x x -=-，当l 的90α=时, l 的方程为1.x x =2.斜截式: y kx b =+，其中b 称为直线在y 轴上的截距3.两点式：1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠-- 注意！①当l 的0α=时,l 的方程为1y y = ②当l 的90α=时, l 的方程为1.x x =4.截距式：1x ya b+= 其中,a b 分别是直线在x 轴和y 轴上的横截距和纵截距,简称截距. 注意！①当l 的a 不存在,b 存在时,l 的方程为y b = ②当l 的b 不存在, a 存在时,l 的方程为x a =③当l 的a 、b 都存在, 且都为零时,l 的方程为y kx =其中k 为直线的斜率. 5.直线方程的一般式：0Ax By C ++=22(0)A B +≠ （1）任何一条直线的方程都是关于x 、y 的一次方程（2）任何关于x 、y 的一次方程0Ax By C ++=22(0)A B +≠表示直线四、求直线方程：题型一：基础题型1．已知A (3,1)，B (－1，k )，C (8,11)三点共线，则k 的取值是( )A ．－6B ．－7C ．－8D ．－9[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线， ∴k －1－1－3＝11－18－3. ∴k ＝－7.2．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 由A ·C <0及B ·C <0，可知A ≠0，B ≠0， 又直线Ax ＋By ＋C ＝0过(－C A ，0)，(0，－C B )，且－C A >0，－CB >0，∴直线不过第三象限．变式练习1.光线自点M (2,3)射到N (1,0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．y ＝3x －3 B ．y ＝－3x ＋3 C ．y ＝－3x －3 D ．y ＝3x ＋3[答案] B[解析] 点M 关于x 轴的对称点M ′(2，－3)，则反射光线即在直线NM ′上，由y －0－3－0＝x －12－1，得y ＝－3x ＋3. 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 [答案] D[解析] 由题意得a ＋2＝a ＋2a ，解得a ＝－2或a ＝1.3．一条直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积最小时直线l 的方程为________．[答案] 4x ＋y －8＝0[解析] 设l ：x a ＋yb ＝1(a ，b >0)．因为点P (1,4)在l 上， 所以1a ＋4b ＝1.由1＝1a ＋4b ≥24ab⇒ab ≥16， 所以S △AOB ＝12ab ≥8.当1a ＝4b ＝12， 即a ＝2，b ＝8时取等号． 故直线l 的方程为4x ＋y －8＝0.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.题型二：能力提升1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．13B ．－13C ．－32D ．23[答案] B[解析] 设P (x P ，y P )，由题意及中点坐标公式，得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5， ∴P (－5,1)，∴直线l 的斜率k ＝1－(－1)－5－1＝－13.2．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．[0，π) B ．⎣⎡⎭⎫π4，π2C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 [答案] C[解析] 当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.综上知倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C ．3.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 [答案] ①③⑤[解析] 对于①，举例：y ＝2x ＋ 3.故①正确；对于②，举例：y ＝2x －2，过整点(1,0)，故②不正确； 对于③，不妨设两整点(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1≠b 2)，则直线为：y ＝b 2－b 1a 2－a 1(x －a 1)＋b 1，只需x －a 1为a 2－a 1的整数倍．即x －a 1＝k (a 2－a 1)，(k ∈Z )就可得另外整点．故③正确．对于④，举例：y ＝x ＋12，k 与b 均为有理数，但是直线不过任何整点．故④不正确． 变式练习1.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵l 在两坐标轴上的截距相等， ∴直线l 的斜率存在，a ≠－1. 令x ＝0，得y ＝a －2. 令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1.由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2，或a ＝0.∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不经过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]． 2.已知直线l: kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[解析] (1)直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk (k ≠0)，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－21＋2k ≥1或k ＝0，解之得k ≥0. (3)由l 的方程得，A (－1＋2k k ，0)，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <01＋2k >0，，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·|1＋2kk|·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12(4k ＋1k＋4) ≥12(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.[点评] 本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”是证明曲线系过定点的一般方法课后练习1．过点A (0,2)且倾斜角的正弦值是35的直线方程为( )A ．3x －5y ＋10＝0B ．3x －4y ＋8＝0C ．3x ＋4y ＋10＝0D ．3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0 [答案] D[解析] 设所求直线的倾斜角为α， 则sin α＝35，∴tan α＝±34，∴所求直线方程为y ＝±34x ＋2，即为3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0.2．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x －y －4＝0D ．2x ＋y －7＝0[答案] A[解析] 易知A (－1,0)． ∵|P A |＝|PB |，∴P 在AB 的中垂线即x ＝2上． ∴B (5,0)．∵P A ，PB 关于直线x ＝2对称， ∴k PB ＝－1.∴l PB ：y －0＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.3.已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，把直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＋6＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －3y －2＝0 [答案] A[解析] 由题意知M (2,0)，设已知直线和所求直线的倾斜角分别为α，β，则β＝α＋45°且tan α＝2,45°<α<90°，tan β＝tan(α＋45°)＝tan α＋tan45°1－tan αtan45°＝－3，所以所求直线方程为y －0＝－3(x －2)， 即3x ＋y －6＝0.4.经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． [答案] 2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0[解析] 设所求直线方程为x a ＋yb＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．5．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是( ) A ．0 B ．33C ． 3D ．－ 3[答案] C[解析] k PQ ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴所得直线的斜率k ＝tan60°＝ 3.6.点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，1 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．⎣⎡⎦⎤14，1 D ．⎝⎛⎭⎫14，1 [答案] D[解析] 令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和点P (x ，y )的直线斜率，显然k DA 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈⎝⎛⎭⎫14，1.7.若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－2,1)[解析] ∵直线的斜率k ＝a －1a ＋2，且直线的倾斜角为钝角，∴a －1a ＋2<0，解得－2<a <1. 8.直线ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角α为________．[答案] 135°[解析] ∵ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)， ∴a ＋m －2a ＝0. ∴m ＝A ．直线方程为ax ＋ay －2a ＝0， 又m ＝a ≠0，∴直线方程即为x ＋y －2＝0. ∴斜率k ＝－1，∴倾斜角α＝135°.9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.[解析] (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4， 它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ， 则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.。
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】可化为，即直线的斜率，所以倾斜角为.【考点】直线的倾斜角.2.已知点A(－1,2),B(2,－2),C(0,3),若点M(a,b)是线段AB上的一点(a≠0),则直线CM的斜率的取值范围是( )[,1] B.[ ,0)∪(0,1] C.[－1, ] D.(－∞, ]∪[1,+∞)【答案】D【解析】画出图象，看M点的变化范围.可知直线CM应该在AC与BC间变化，且,,故有选D.【考点】直线的斜率的计算.3.经过两点A(-3,5)，B(1,1 )的直线倾斜角为________.【答案】.【解析】由题意易得，经过点，的直线方程为，其倾斜角的斜率为，又∵，∴.【考点】直线的倾斜角与斜率.4.如果实数满足等式，那么的最大值为______．【答案】【解析】,可看作圆上的点与坐标原点间连线的斜率，结合图形知最大值为．【考点】斜率的计算公式，数形结合的数学思想．5.过点且倾斜角为的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意可知斜率，根据直线方程的点斜式可写出直线方程：即，故选A.【考点】1.直线的倾斜角与斜率；2.直线的方程.6.点和点关于直线对称，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意可知直线与已知直线垂直且线段的中点在直线上，所以，解得，故选C.【考点】1.过两点的直线的斜率问题；2.直线垂直的判定与性质；3.点与直线的对称问题.7.在直角坐标系中，直线的倾斜角．【答案】【解析】直线化成，可知，而，故.【考点】直线的倾斜角与斜率.8.直线的倾斜角为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于直线的方程可知，该直线的斜率为，因此可知该直线的倾斜角为=60°，选B.【考点】直线的倾斜角点评：主要是考查了直线的倾斜角的求解，属于基础题。
9.直线经过点A（2，1），B（1，m2）两点（m∈R），那么直线l的倾斜角取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的斜率为，结合可知【考点】直线倾斜角斜率点评：由两点确定的直线斜率为，斜率和倾斜角的关系10.已知菱形的两个顶点坐标：，则对角线所在直线方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】线段的中点，所以所在直线为【考点】直线方程点评：本题利用菱形的几何特征可求得对角线的斜率，利用对角线互相平分可求得对角线过的点，从而可写出点斜式方程11.过点且平行于直线的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线化为，其斜率为。
高一数学必修二课件直线的倾斜角与斜率
02
03
当$alpha = 90^circ$时，直线 垂直于x轴，斜率不存在。
04
03
直线的方程与图形
直线的点斜式方程
01
02
03
定义
通过一点$P(x_0, y_0)$， 且斜率为$k$的直线方程 可以表示为$y - y_0 = k(x - x_0)$。
推导
根据直线斜率的定义，有 $frac{y - y_0}{x - x_0} = k$，整理后得到点斜式方 程。
03
例题4
已知直线$l_1: 2x + y - 4 = 0$和直线$l_2: x - y + 1 = 0$ ，求两直线的交点坐标。
04
解析
联立两直线方程$left{ begin{array}{l} 2x + y - 4 = 0 x - y + 1 = 0 end{array} right.$，解得$left{ begin{array}{l} x = 1 y = 2 end{array} right.$，所以两直 线的交点坐标为$(1,2)$。
高一数学必修二课件直线 的倾斜角与斜率
汇报人：XX 20XX-01-24
目录
• 直线与倾斜角 • 斜率的概念与计算 • 直线的方程与图形 • 斜率的应用与拓展 • 典型例题分析与解答
01
直线与倾斜角
直线的定义与性质
定义
直线是平面上两点间所有点的集 合，具有无限延伸性。
性质
直线上的任意两点都可以确定一 条直线；直线可以向两个方向无 限延伸。
应用
已知两点坐标，可以求出 直线方程。
直线的图形表示
定义
在平面直角坐标系中，直线可以用一个方程 来表示，方程的图形就是一条直线。
高一数学直线方程
二、直线的倾斜角与斜率：
倾斜角不是90º 的直线,它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率,常用 k 表示.
二、直线的倾斜角与斜率：
在平面直角坐标第中，对于一条与x轴 相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角 记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线与x轴平行或重合时，我们规定 直线的倾斜角为0º 。 根据定义，我们可以得到倾斜角的取值 范围是0º ≦ α <180º . 倾斜角不是90º 的直线,它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率,常用 k 表示.
就在刚刚,它爆炸给予叶甫根尼很大震撼,他知道两个女孩冲的太靠前,心里忧心忡忡.那番,他有看到它两个熟悉的身影,女孩子们还在战斗,顿时一颗悬着的心放下. 叶甫根尼知道队伍的冲锋已经刹不住闸,再者敌人的重炮再次装填有几十秒的间隔,那几十秒只怕就是部队的最后机会.他高呼 着口号,率领后续部队,以身先士卒的姿态奋勇冲锋. 战士们的士气被再次鼓舞,加上狙击手的掩护,冲锋继续. ------------ 第一百零七章 攻占教堂 战士们前赴后继的冲锋,他们势如破竹,已经全然不顾地上横七竖八的碎尸,还有燃烧的火焰. 李桃和娜塔莎趴在伞兵坑里,她们的小心脏还 在急速的跳着,以至于娜塔莎亲自瞄准的时候,狙击镜中的准星都晃动的厉害. 因为双手在下意识的都懂,娜塔莎硬着头皮的射击,弹着点都在敌人掩体的沙袋上. 一发不中,二发不中,到了第五发了,还是没有个满意的结果.李桃注意到她额头的酣睡,不由的为之担忧."干脆,让我试试吧." "好 吧！"娜塔莎自诩是很沉稳的狙击手,她自己都难以相信现在的自己怎么会那么紧张.那个借坡下驴的机会岂能错过,步枪也就爽快的送到李桃那里. 李桃接过步枪,又给调整了一下望远镜的焦距,目标就是敌人正在射击的步兵,他们的钢盔就是很好的
高一数学 人教A版必修2 第三章 3.1.1、2直线的倾斜角与斜率、两条直线平行与垂直的判定 课件
[归纳升华] 1．根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，则直线向上的 方向与 x 轴的正方向所成的角，即为直线的倾斜角． 2．直线的斜率 k 随倾斜角 α 增大时的变化情况： ①当 0°≤α＜90°时，随 α 的增大，k 在[0，＋∞)范围内增大； ②当 90°＜α＜180°时，随 α 的增大，k 在(－∞，0)范围内增大.
[特别提醒] 在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角 α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率 k
0
3 3
1
3
－ 3 －1
－
3 3
3．过点 P(0，－2)的直线 l 与以 A(1,1)、B(－2,3)为端点的线段有公共点，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )
D．60°或 120°
(2)直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，则当 k＝________时，α＝60°；当 k＝
________时，α＝135°；当 k＞0 时，α 的范围是____________；当 k＜0 时，α
的范围是________．
解析： (1)如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60°或 120°，故选 D.
[归纳升华] 求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 (1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等， 其斜率不存在；若不相等，可用公式来求． (2)α＝0°⇔k＝0；0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝90°⇔斜率不存 在；若求 α 的具体值，可用公式 k＝tan α 求解.
高一数学人教版A版必修二课件：3.1.1 倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
学习目标
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念； 2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性； 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 直线的倾斜角
思考1 在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条 直1线呢？ 答案 不能. 思考2 在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线 如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？ 答案 不同.
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
1.直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写 字母k表示，即k＝ tan α . 2.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) 斜率(范围)
α＝0° k＝0
0°<α<90° k>0
α＝90° 不存在
90°<α<180° k<0
答案
知识点三 过两点的直线的斜率公式
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
高一数学直线的倾斜角和斜率
1 3 k = or 3 5
O
y B M
A
x
例2 已知点A(1，－2)和B(2，1)，若 直线l经过点P(0，－1)，且与线段AB有 公共点，求直线l的倾斜角α 的取值范围.
p 3p [0, ] U [ , p ) 4 4
y O
B
x P A
【问题2】求点的坐标
例3 在△ABC中，已知点B(1，2)，点 A在x轴上，∠BAC被x轴平分，BC边上的 高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，求点 C的坐标. y B C(5，－6)
早、午、晚分三次到额娘の房里来请安，给额娘沏茶倒水、捶脚捏腿。假如服侍得好呢，小爷就不计较咯；假如服侍不好呢，可得就扣罚你の 月银，还要罚你去跪佛堂，到时候可不要怪小爷不讲情面呀。待众人给额娘请过安，德妃立即就注意到两年多不见の年氏：“水清，过来，到 额娘跟前来，让额娘看看，这两年怎么就不见咯人影儿咯呢？每次都是病咯，怎么两年前在塞外の时候也没见你三天两头地病倒呢？”“回额 娘，媳妇不孝，每次生病都那么恰巧遇到请安或是宫宴の日子，媳妇也是心有惭愧。这壹回终于养好咯身子，还好，没有错过皇阿玛の寿 宴。”“噢，你这生病和病好，都是挺会捡时候の。”“不是，媳妇只是„„” “行咯，行咯，额娘也就是那么壹说，你也别解释咯。不过呢， 这身子是要抓紧养好咯，这人呢，也得看紧咯。要是没本事看得紧呢，也就别拦着拉着，爷不可能就你壹各诸人，既然你又生不出来各壹男半 女，就不要霸着爷。”这都已经过去两年の事情，德妃还记着呢！要不是现在娘娘提起这件事情，水清早就忘得壹干二净咯。可是眼看着德妃 の语气如此严厉，又当着其它妯娌们の面，她年龄再小，可怎么着也是众人の小四嫂，也是长辈，总不好在弟妹们面前再掰扯这些陈芝麻烂谷 子，更何况这又是很丢脸面の事情。因此水清只好装作悉心听从额娘教诲の样子，低眉垂首，老老实实、壹言不发地听着娘娘の训诫。她希望 用自己の恭顺表现尽快躲过德妃の喋喋不休。第壹卷 第333章 插曲弘时虚岁才十岁，半明白半不明白地听着太太和年姨娘说着话。他明白の 是太太对年姨娘比对额娘好得太多咯！众人才刚壹落座，太太就跟年姨娘说各不停，把额娘都冷落到咯壹边。他不明白の是太太口中所说の “看紧啥啊，别拦着啥啊”。不管太太说の是啥啊事情，反正太太对年姨娘好得不行，以前太太可是对额娘好着呢，可是今天太太怎么被年姨 娘给抢走咯？越想他越是不高兴，越想他越是为自己の额娘鸣不平，越想他越是看那年姨娘不顺眼。年姨娘真坏，霸占着太太，太太不但不理 额娘，连小爷我都没机会跟太太说上壹句话。年姨娘，小爷特别地讨厌你，再也不想见到你！弘时因为心中气恨难平，就Байду номын сангаас始在淑清の怀里扭 来扭去。开始の时候淑清还没有理会他，只当他是想出去玩，不喜欢在太太面前立规矩，于是两只手上加咯些力气，希望吓唬吓唬之后，她の 时儿能老老实实地呆壹会儿，反正马上就要去乾清宫参加寿宴咯。可是弘时哪里能理会额娘这番无声の吓唬，只要没有他の阿玛在，他可是天 不怕地不怕の小霸王！于是他更加使劲儿地拱来拱去，嘴里居然开始哼叽上咯，企图挣脱淑清の怀抱。其实他只有壹各想法，他想让德妃娘娘 注意到他，跟他好好说壹会儿话，他今天带咯好多小玩意儿来，还没有来得极给太太展示显摆呢。这么大の动作外加上弘时の哼哼叽叽，德妃 终于注意到咯在淑清怀里快要反咯天の三小格。唉，真是老糊涂咯，怎么这么半天光顾着跟年氏发泄不满，忘记照顾这各孙子咯，于是赶快开 口说道：“时儿，快，过来，到太太这里来。”弘时壹听德妃喊自己，高兴得壹哧溜地就从淑清の怀里滑脱，着急忙慌地朝着娘娘跑过去。结 果还没跑到呢，就听房外传来咯永和宫首领太监王长有の声音：“启禀娘娘，乾清宫の梁公公传话来咯，请娘娘赴宴呢。”弘时壹下子傻咯眼， 猛地扑到太太の怀里，委屈得眼泪珠子吧嗒吧嗒地直往下掉。德妃急着去赴宴，根本就没有注意到三小格居然哭上咯。淑清见娘娘起咯身，知 道她是急着出发，就赶快上前将弘时接回咯自己の怀里。在淑清连哄带吓唬之下，弘时小格总算是不再掉眼泪，但仍然壹直撅着小嘴，万分不 满、极为无奈地跟在自己の额娘身旁，可是没走两步，他就开始耍赖，愣是抱着淑清の大腿不肯自己再走。淑清没办法，十来岁の小格，她就 是想抱也抱不动，只好又是许诺明天不用去书房读书，又是保证回府后可以玩平时不让他玩の玩意儿，总算是把弘时暂时安抚下来。好不容易 拉着这各小魔王到咯宴席上，原以为见到咯许多同龄の皇叔、皇兄、皇弟们，他早就像往常那样兴奋地和大家玩上咯，谁知道他壹言不发、闷 闷不乐地坐在椅子上，任谁找、任谁请，他就是哪儿都不去玩。第壹卷 第334章 重逢今天の宴席，排字琦坐到咯嫡福晋席上，和各位嫡妯娌 们同坐壹桌。水清和淑清与三、五、七、九这四位爷の侧福晋、小福晋们坐在壹起。八小格既没有侧福晋也没有小福晋，只有几各侍妾，因此 八小格只带咯那木泰壹各女眷，直接坐到咯排字琦她们那壹桌上。水清自然是与淑清并肩而坐。以前她被王爷下达咯禁行令，连永和宫の请安 都被免掉，她更是没有任何机会与那些亲の，半亲の，堂の妯娌们认识、交往。她只认识萨苏，但是萨苏在嫡福晋の那壹桌；她只认识塔娜， 但是塔娜在年幼小福晋那壹桌。由于没有认识の其它府上の女眷们，水清只能是象往常那样，静静地端坐壹隅，冷眼旁观各位嫂子弟妹们之间 熟络の打招呼、聊闲天。小格们也是按着长幼顺序纷纷落座。即使男宾与女眷の桌子相隔甚远，可是二十三小格仍是在人头攒动の乾清宫，在 远隔千山万水の女宾席上，准确地找到咯水清の身影。由于是皇上の六十大寿，今天所有の小格们都各司其职，身负重任地在前面忙着寿宴の 诸项事宜，二十三本小格也与众兄长们壹道紧张地忙
高中数学必修二 3.1.1 倾斜角与斜率
题型一
题型二
题型三
精选例题
题型四
【变式训练 1】 已知过两点 A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为
135°,则 y=
.
解析:直线 AB 的斜率 k=tan 135°=-1,
又
k=
-3-������ 2-4
,
由
-3-������ 2-4
=
−1,
得y=-5.
答案:-5
题型一
题型二
精选例题
题型三 题型四
知识梳理
12
【做一做1】 如图,直线l的倾斜角为( )
A.45° B.135° C.0° D.不存在 答案:B
知识梳理
12
2.斜率(倾斜角为α)
定 义
α≠90° α=90°
一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的 斜率
斜率不存在
记 法 k=tan α
范 围R
公 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为
解:(1)直线的斜率
k=
3-0 -2+3
=
3 = tan 60°,
此直线的斜率为 3, 倾斜角为60°.
(2)直线的斜率
k=
-2+2 5-1
=
0,
此直线的斜率为0,倾斜角为
0°.
(3)直线的斜率
k=
9-4 -2-3
=
−1
=
tan
135°,此直线的斜率为-1,倾
斜角为 135°.
(4)因为两点的横坐标都为 3,故直线斜率不存在,倾斜角为 90°.
式 k= ������2-������1
������ 2 -������ 1
人教版高一数学必修二《直线的倾斜角与斜率》说课稿
人教版高一数学必修二《直线的倾斜角与斜率》说课稿说教材《直线的倾斜角与斜率》是高中数学必修二中的一章，主要讲解了直线的倾斜角和斜率的概念及其应用。
通过学习本章，学生可以进一步认识直线的特性和性质，并掌握计算直线的倾斜角和斜率的方法。
同时，本章也为后续学习坐标系与参数方程打下基础。
教学目标1.了解直线的倾斜角和斜率的概念；2.学会计算直线的倾斜角和斜率；3.掌握直线的倾斜角和斜率的应用；4.培养学生观察、分析和解决问题的能力；教学重点1.直线的倾斜角和斜率的概念；2.计算直线的倾斜角和斜率；教学难点1.直线的倾斜角和斜率的应用；2.解决实际问题的能力；说课内容第一节：直线的斜率本节主要介绍直线的斜率的概念及计算方法。
首先，引入斜率的定义：斜率为直线上两点之间纵坐标的差与横坐标的差的比值。
接着，通过具体的示例，演示斜率的计算过程，并介绍斜率为正、负和零的直线的性质。
最后，带领学生进行练习，巩固对斜率计算的掌握。
第二节：利用斜率判断直线的倾斜角本节主要介绍斜率与直线的倾斜角之间的关系。
首先，根据斜率为正、负和零的直线的性质，引入直线的倾斜角的定义和计算方法。
然后，通过具体的示例，演示如何利用斜率判断直线的倾斜角，并帮助学生理解斜率和倾斜角的几何意义。
最后，进行练习，让学生熟练掌握利用斜率判断直线的倾斜角的方法。
第三节：应用直线的倾斜角和斜率本节主要介绍直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
首先，通过具体的问题，引导学生发现直线的倾斜角和斜率在解决实际问题中的重要作用。
然后，介绍直线斜率和函数斜率的关系，并引入切线概念，讨论切线的倾斜角和斜率与函数的导数的关系。
最后，通过实例演示，帮助学生掌握直线的倾斜角和斜率在应用问题中的运用方法。
教学方法本课采用讲授与练习相结合的教学方法。
在讲授过程中，通过示例演示和讲解概念原理，帮助学生理解直线的倾斜角和斜率的概念及计算方法。
在练习环节中，设计一系列的练习题，让学生进行巩固和拓展，提高应用能力。
高一年级必修三知识点数学直线的倾斜角与斜率
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2022-2023学年高一数学：直线的倾斜角与斜率
倾斜角
α
0°
斜率k
0
30°
3
3
45°
60°
1
3
120°
－ 3
135°
－1
150°
－
3
3
3.直线的倾斜角
及斜率的应用
典例3
如图示, 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),
求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断这些
的问题；最后应用直线和圆的方程解决一些实际问题.
2.1 直线的倾斜角与斜率
我们知道，点是构成直线的基本元素. 在平面直角坐标系中，可以用
坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线
的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几
何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来.
[0°, 45°]∪[135°, 180°)
练习2 若-1≤k≤1, 则倾斜角 的取值范围为_____________________.
3
2
x
思考4 (1) 已知直线上的两点A(x1, y1), B(x2, y2), 运用斜率公式计算
直线AB的斜率时, 与A, B两点的顺序有关吗?
(2)当直线平行于y轴, 或与y轴重合时, 上述公式还适用吗? 为什么?
等. 因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线
的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
α3
O
l3
α2
l2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l1
α1
x
2. 直线斜率的计算
探究 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.
高中数学必修二：直线的倾斜角与斜率、直线的方程
2019-2020学年高一数学必修二 第一节:直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan_α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°.( ) (3)直线的倾斜角越大，斜率k 就越大．( )(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2．若直线x ＝2的倾斜角为α，则α为( ) A ．0 B.π4C.π2 D ．不存在答案：C3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3D ．1或4解析：选A 由k ＝4－mm ＋2＝1，得m ＝1. 4．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：由已知，得BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，且直线BC 边上的中线过点A ，则BC 边上中线的斜率k ＝－113，故BC 边上的中线所在直线方程为y ＋12＝－113⎝⎛⎭⎫x －32，即x ＋13y＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝05．直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________. 解析：令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3，则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案：－24考点一 直线的倾斜角与斜率 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]直线的倾斜角与斜率是解析几何的基础知识，高考中极少单独考查. 1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析：选B 因为直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1.设直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.2．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：43．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m .结合图象知，若直线l 与PQ 有交点， 应满足－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－23，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－23，12 [怎样快解·准解]1．掌握直线倾斜角与斜率问题的3种类型(1)在已知斜率表达式的情况下，研究倾斜角的范围，应首先求出斜率的取值范围，然后借助正切函数的图象求解．(如第1题)(2)解决三点共线问题，若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．(如第2题)(3)在解决与含参数的直线有关的直线相交问题时，首先要考虑该直线是否过定点．(如第3题，发现直线过定点(0，－1)是解决问题的关键一步)2．避免2类失误(1)考虑直线的斜率不存在的情况．(如第2题)(2)由直线的斜率k 求倾斜角α的范围时，要对应正切函数的图象来确定，要注意图象的不连续性．(如第1题)3．记牢倾斜角α与斜率k 的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞. 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．考点二 直线的方程 (重点保分型考点——师生共研)1．求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．解：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.2．已知点A (3,4)，求满足下列条件的直线方程： (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线在x 轴，y 轴上的截距均为a . ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)． ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，又点(3,4)在直线上，∴3a ＋4a ＝1，∴a ＝7. ∴直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[解题师说]1．求解直线方程的2种方法(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.(如典题领悟第2题(1))(3)应用一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定直线的斜率时注意讨论B 是否为0.[冲关演练]1．直线l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C 由题设知，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，所以|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2＝10，解得k ＝3，所以直线l 的方程为3x －y －4＝0.2．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程． 解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点， 由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 经过A (－3,0)，D (0,2)两点， 由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.考点三 直线方程的综合应用 (重点保分型考点——师生共研)[典题领悟]过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，❶O 为坐标原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程.❷(2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程.❸[思维路径]①由于A ，B 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上，因此可考虑设截距式方程x a ＋yb ＝1，且a ＞0，b ＞0，可得4a ＋1b＝1；②S △AOB 最小，即12ab 最小，考虑到4a ＋1b ＝1，可采用“1”的代换及基本不等式求解；③|OA |＋|OB |最小，即a ＋b 最小，思路同第(1)问． 解：设直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1. (1)4a ＋1b ＝1≥24a ·1b ＝4ab，所以ab ≥16， 当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小， 此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b ＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2a b ·4ba ＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.[解题师说]1．迁移要准(1)看到直线与两坐标轴的交点(不过坐标原点)，求直线方程时想到直线的截距式． (2)看到直线与两坐标轴相交且同时出现与坐标原点O 有关的三角形面积或周长等问题时想到利用直线的截距式方程求解．2．方法要熟(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．3．易错要明直线在坐标轴上的截距可以是正值、负值、零，注意与距离的区别．[冲关演练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B.[]－1，0 C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以0≤k ≤1， 即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.3．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析：由已知画出简图，如图所示．因为l 1：ax －2y ＝2a －4， 所以当x ＝0时，y ＝2－a ， 即直线l 1与y 轴交于点A (0,2－a )． 因为l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4， 所以当y ＝0时，x ＝a 2＋2， 即直线l 2与x 轴交于点C (a 2＋2,0)．易知l 1与l 2均过定点(2,2)，即两直线相交于点B (2,2)． 则四边形AOCB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △BOC ＝12(2－a )×2＋12(a 2＋2)×2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154≥154. 所以S min ＝154，此时a ＝12. 答案：12(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．5．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2.当y ＝0时，x ＝a ＋2a .故a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.6．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0同时经过第一、第二、第四象限，所以直线斜率存在，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.7．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝08．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞9．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.答案：3x ＋2y ＝0或x －y －5＝010．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]B 级——中档题目练通抓牢1．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同正，同负，故选B.2．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C. 2D ．16解析：选A ∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.3．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．4．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是____________________．解析：∵直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)， ∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32. 所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0. 答案：3x ＋y －3－1＝05．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：56．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.7.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.C 级——重难题目自主选做1．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－ba ，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝⎛⎭⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b.∵点M 在线段OA 上，∴－1<－ba <0，∴0<b <a .∵点N 在线段BC 上，∴0<a ＋ba ＋1<1，∴b <1.由⎩⎨⎧b 21－2b>b ，b21－2b >0，b >0，解得13<b <12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示． 设|MC |＝m ，|NC |＝n ，则S △MCN ＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >22.又0<m ≤2且m ≠n .∴22<m ≤2且m ≠1.设D 到AC ，BC 的距离为t ，则t m ＝|DN ||MN |，t n ＝|DM ||MN |， ∴t m ＋t n ＝|DN ||MN |＋|DM ||MN |＝1. ∴t ＝mn m ＋n，∴1t ＝1m ＋1n ＝1m ＋m .而f (m )＝m ＋1m 22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝⎛⎦⎤2，322，即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12.∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤13. 综合(1)(2)可得b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－22，12. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B.2．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________．解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，k OM＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13.所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞) (二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析：选B 由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．2．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 解析：选B 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.3．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C.()－∞，－1∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选D 设直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.4．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.5．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.6．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝07．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.答案：3x ＋2y ＝0或x －y －5＝08．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·南昌一模)已知A (1,2)，B (2,11)，若直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0,6]C ．[－2，－1]∪[3,6]D ．[－2,0)∪(0,6]解析：选C 由题意得，A (1,2)，B (2,11)两点分布在直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，∴⎝⎛⎭⎫m －6m －2＋1⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C.2．若a ，b ，p (a ≠0，b ≠0，p >0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离，则下列关系式成立的是( )A.1a 2＋1b 2＝1p 2 B.1a 2－1b 2＝1p 2C.1a 2＋1p 2＝1b2 D.1a 2p 2＝1b2解析：选A 由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1，则p 2＝11a 2＋1b 2，∴1a 2＋1b 2＝1p 2，故选A.3．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－ba ，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝⎛⎭⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b.∵点M 在线段OA 上，∴－1<－ba <0，∴0<b <a .∵点N 在线段BC 上，∴0<a ＋ba ＋1<1，∴b <1.由⎩⎨⎧b 21－2b>b ，b 21－2b >0，b >0，解得13<b <12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示．设|MC |＝m ，|NC |＝n ，则S △MCN ＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >22.又0<m ≤2且m ≠n .∴22<m ≤2且m ≠1. 设D 到AC ，BC 的距离为t ， 则t m ＝|DN ||MN |，t n ＝|DM ||MN |，∴t m ＋t n ＝|DN ||MN |＋|DM ||MN |＝1.∴t ＝mn m ＋n，∴1t ＝1m ＋1n ＝1m ＋m .而f (m )＝m ＋1m 22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝⎛⎦⎤2，322，即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12.∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤13. 综合(1)(2)可得b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－22，12. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B.4．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________．解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，k OM＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13.所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞) 5.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)， 则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1. 因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b ＝1.因为1＝3a ＋2b≥26ab，整理得ab ≥24， 所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时取等号．此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 则A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 6．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的第 21 页 共 21 页 面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞. (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0. 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k ) ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号． 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线的倾斜角的大小是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直线设直线的倾斜角为，则又故答案选A.【考点】直线的一般式方程；直线的倾斜角2.直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设已知直线的倾科角为，由已知得故选Ｄ．【考点】直线倾斜角．3.过两点A，B(，的直线倾斜角是，则的值是（）A．B．3C．1D．【答案】C【解析】根据直线斜率的计算式有,解得．【考点】直线斜率的计算式．4.直线的倾斜角和斜率分别是（）A．，不存在B．C．D．，不存在【答案】A【解析】是垂直于x轴的一条直线，故斜率不存在，倾斜角为【考点】直线的倾斜角与斜率的概念5.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】【解析】【考点】利用倾斜角求斜率.6.已知直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,,由直线逆时针旋转到的过程中，斜率的变化由2开始变大，直线的倾斜角过，由增大到-3，故选A.【考点】直线的斜率7.过点且倾斜角为的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意可知斜率，根据直线方程的点斜式可写出直线方程：即，故选A.【考点】1.直线的倾斜角与斜率；2.直线的方程.8.已知直线上两点的坐标分别为,且直线与直线垂直，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为直线的斜率为，直线的斜率为，由这两条直线垂直可得即，解得，故选B.【考点】1.直线的倾斜角与斜率；2.两直线垂直的判定与性质.9.若,,三点共线，则．【答案】【解析】直线BC方程为，将点A的坐标代入得，所以，也可以用求解.【考点】直线的斜率.10.直线的倾斜角为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于直线的方程可知，该直线的斜率为，因此可知该直线的倾斜角为=60°，选B.【考点】直线的倾斜角点评：主要是考查了直线的倾斜角的求解，属于基础题。
高中数学-直线的倾斜角与斜率直线的方程教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计(2)直线的斜率①定义: 若直线的倾斜角θ不是90°, 则斜率k ＝ .②计算公式: 若由A(x1, y1), B(x2, y2)确定的直线不垂直于x 轴, 则k ＝ 教师强调斜率与倾斜角的关系, 及斜率的计算公式并请同学思考: 1．直线的倾斜角越大, 斜率k 就越大, 这种说法对吗？ 生B 回答；生C 补充。
根据学生的总结得到相关答案:生D 回答:2. 两条直线平行、垂直与其斜率间的关系 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1, l2, 其斜率分别为k1, k2, 则有l1∥l2⇔ ； ②当不重合的两条直线l1, l2的斜率都不存在时, l1与l2的关系为 ． (2)两条直线垂直①如果两条直线l1, l2的斜率存在, 设为k1, k2, 则l1⊥l2⇔ ；②如果l1, l2中有一条直线的斜率不存在, 另一条直线的斜率为0时, l1与l2的关系为垂直．生E 回答:2．在平面直角坐标系中, 如果两条直线平行, 则其斜率相等, 正确吗？ 师生总结得到答案: 教师强调特殊情形:生F 回答:3. 直线方程的几种形式名称 条件 方程 适用范围点斜式 斜率k 与点(x0, y0)斜截式 斜率k 与截距b两点式两点(x1, y1), (x2,y2)提示：这种说法不正确．由k ＝tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠π2知，当 θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，θ越大，斜率越大且为正；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，θ越大，斜率也越大且为负．但综合起来说是错误的．“直线的倾斜角与斜率、直线方程”效果分析本节课立足于课本, 着力挖掘, 设计合理, 层次分明, 以“画、看、说、用”为特色, 把握重点, 突破难点, 借助现代教育各种技术与媒体, 创设师生, 生生之间心灵沟通与交流的空间, 创设愉快学习的氛围, 增强学生的学习兴趣, 使教与学形成共鸣达到共振, 通过题型的设计, 使学生对本部分的知识形成一个知识网络, 站在更高的层次上把握知识点, 明确高考的方向, 常考的题型。
直线的倾斜角、斜率
直线的倾斜角、斜率、斜率公式一、新知学习A ．直线的倾斜角 1．直线的倾斜角定义（ⅰ）直线l 与x 轴有交点时 直线l 向上的方向与x 轴正向所成的最小正角． （ⅱ）直线l 与x 轴平行或重合时，规定：倾斜角为零角． 2．直线倾斜角的范围：[0,)π．3．直线倾斜角与直线的对应关系是“一对多”关系．即[0,)π内的任何一个角，都对应无数条平行直线；反过来，坐标平面内的任意一条直线，都有唯一的倾斜角． B ．直线的斜率1．直线的斜率定义注：对直线斜率定义的理解：（1）当倾斜角时时，直线的斜率不存在，但并不表示该直线不存在，此时，直线垂直于轴（或平行于轴或与轴重合）． （2）所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．2．斜率公式条件：直线l 经过两点：111(,)P x y 、222(,)P x y ，其中12x x ≠． 斜率公式：21122112y y y y k x x x x --==--． 证明：设直线12PP 的倾斜角为(90)αα≠︒，当直线12PP 的方向（即从1P 指向2P 的方向）向上时， 过点1P 作y 轴的垂线，过点2P 作x 轴的垂线，两线相交于点Q ，于是点的坐标为21(,)Q x y 如图（1）（2）．在图（1）中，… 在图（2）中，…不存在，90α≠︒． tan ,90,k αα≠︒⎧=⎨⎩即都有2121tan y y x x α-=-，即2121y yk x x -=-． 同样，当直线21P P 的方向向上时，如图（3）（4），也同样有2121tan y y x x α-=-，即2121y yk x x -=-． 综上，直线12PP 的斜率公式为2121y y k x x -=-． 3．直线斜率函数图象斜率函数图象可用来解决一下两个范围问题： （1）由直线倾斜角范围求斜率范围．（2）由直线斜率范围求倾斜角范围． 4．直线斜率的求法： （1）定义法； （2）公式法；（3）直线方程法：将在后面介绍．二、知识迁移A ．概念理解题例 下列命题：①任意一条直线都有倾斜角；②任意一条直线都有斜率；（《5.3》P77页例2） ③若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α； ④若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α； ⑤直线的倾斜角越大，它的斜率越大；⑥直线的倾斜角[0,)(,)22ππαπ∈时，直线斜率分别在[0,)2π、(,)2ππ这两个区间上单调增加．正确命题的序号是 ①⑥ ．B ．求直线斜率例 求经过下列两点的直线的斜率（如果存在）和倾斜角，其中a ，b ，c 是两两不等的实数． （1）(,)a c ，(,)b c ；（2）(,)a b (,)a c ，；（3）(,)a a b +，(,)c b c +．（《5.3》P78页例1）经过：（1）斜率0k =，倾斜角为0︒．（2）斜率不存在，倾斜角为90︒．（3）斜率1k =，倾斜角为45︒．C ．求斜率和倾斜角范围例1 （由斜率范围求倾斜角范围）已知直线l 的斜率[k ∈-，则其倾斜角α取值范围是3[0,)[,)34πππ．自主体验（1）若直线l 的斜率k =，则其倾斜角α取值范围是5[0,)[,)66πππ．（2）设直线的斜率为k，且k <α的取值范围是2(0,)(,)63πππ．例 2 （由倾斜角范围求斜率范围）若一条直线的倾斜角2,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则这条直线的斜率k ∈(,(3,)-∞+∞．自主体验 若直线l 的倾斜角2[,]43ππα∈，则这条直线的斜率k ∈(,[1,)-∞+∞．例3 （由直线的位置求斜率或倾斜角范围）过点(1,2)P -的直线l 与线段AB 相交，若(2,3)A --，(4,0)B ，求直线l 的斜率k 的取值范围．（《5.3》P78页例2）D ．有关斜率的计算例 （1）已知点(,3)A m m --，(2,1)B m -，(1,4)C -，直线AC 的斜率等于直线BC 斜率的3倍，求实数m 的值．解：直线AC 的斜率71AC m k m +=-+，直线BC 的斜率53BC m k -=． 因为3AC BC k k =，所以751m m m +-=-+，整理得2320m m -+=，解得1m =或2m =． （2）若直线l 的倾斜角是连结(3,5)A -、(0,9)B -两点的直线倾斜角的2倍，求l 的斜率．解：设直线AB 的倾斜角为α，则l 的倾斜角为2α．由已知：9(5)4tan 033AB k α---===-． 又因为tan2l k α=，所以2422tan 243161tan 719l k αα-===---．所以直线l 的斜率为247-． 自主体验 1．已知直线l 的倾斜角α满足1sin cos 5αα+=和12sin cos 25αα⋅=-，则l 的斜率为 A ．43 B ．34 C ．43- D ．43-或34- 2．已知点(cos77,sin 77)A ︒︒，(cos17,sin17)B ︒︒，则直线AB 的斜率为 A ．tan 47︒ B ．1tan 47︒C ．tan 47-︒D ．1tan 47-︒。
高中_高一数学直线的倾斜角与斜率
两条直线平行与垂直的判定[要点分析]一、直线的倾斜角与斜率1、倾斜角的概念：〔1〕倾斜角：当直线 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线 向上方向之间所成的角α叫做直线 的倾斜角。
〔2〕倾斜角的范围：当 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°因此0°≤α＜180°。
2、直线的斜率〔1〕斜率公式：K=tan α〔α≠90°〕〔2〕斜率坐标公式：K=1212x x y y -- 〔x 1≠x 2〕 〔3〕斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。
当α=0°时，k=0；当0°＜α＜90°时，k ＞0，且α越大，k 越大；当α=90°时，k 不存在；当90°＜α＜180°时，k ＜0，且α越大，k 越大。
二、两直线平行与垂直的判定1、两直线平行的判定：〔1〕两条不重合的直线的倾斜角都是90°，即斜率不存在，那么这两直线平行； 〔2〕两条不重合的直线，假设都有斜率，那么k 1=k 2 ⇔ 1 ∥22、两直线垂直的判定：〔1〕一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，那么这两直线垂直；〔2〕如果两条直线1 、2 的斜率都存在，且都不为0，那么1 ⊥2 ⇔ k 1·k 2=－1[例题分析]例1、△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上， 求边AB 与AC 所在直线的斜率。
例2、假设经过点P 〔1－a ，1＋a 〕和Q 〔3，2a 〕的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围。
例3、经过点A 〔－2，0〕和点B 〔1，3a 〕的直线1 与经过点P 〔0，－1〕和点Q 〔a ，－2a 〕的直线2 互相垂直，求实数a 的值。
[课后练习]1、假设经过P 〔－2，m 〕和Q 〔m ，4〕的直线的斜率为1，那么m=〔 〕A 、1B 、4C 、1或3D 、1或42、假设A 〔3，－2〕，B 〔－9，4〕，C 〔x ，0〕三点共线，那么x=〔 〕A 、1B 、－1C 、0D 、73、直线 经过原点和〔－1，1〕，那么它的倾斜角为〔 〕A 、45°B 、135°C 、45°或135°D 、－45°4、以下说法正确的有〔 〕①假设两直线斜率相等，那么两直线平行；②假设1 ∥2 ，那么k 1=k 2；③假设两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，那么两直线相交； ④假设两直线斜率都不存在，那么两直线平行。
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1 3 k = or 3已知点A(1，－2)和B(2，1)，若 直线l经过点P(0，－1)，且与线段AB有 公共点，求直线l的倾斜角α 的取值范围.
p 3p [0, ] U [ , p ) 4 4
y O
B
x P A
【问题2】求点的坐标
例3 在△ABC中，已知点B(1，2)，点 A在x轴上，∠BAC被x轴平分，BC边上的 高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，求点 C的坐标. y B C(5，－6)
1 2 （2）m＝－ ，n＝ . 3 3
作业： P86阶梯练习：A级.
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屋的顶棚和一面后墙。这一阵子紧张的劳动，已经把耿老爹累得满头大汗了。他刚托着耿正的肩膀跳下高架凳子，乔氏赶快就 端来一大碗蜂蜜水，满怀歉意地说：“耿大哥，可把你累坏了，快喝碗蜂蜜水吧。看你们紧张得那样，我都不敢过来打搅你 们！”耿老爹张着双手说：“我这手，还没有洗呢！”乔氏说：“快喝吧，喝了水歇一歇再洗手！”由于冒了太多的汗，耿老 爹此时确实口渴得很了，于是就两手托着碗接过蜂蜜水来大口喝下去了。乔氏接过空碗，对小青和耿正兄妹三人说：“娃儿们 谁喝，就到西屋里来自己倒吧。水不太烫了，冲了蜂蜜正好喝！”耿直一听这话就高兴了，赶快跑去东边屋子里洗了手；然后 胡乱在干毛巾上擦两把以后，转身就跳入西屋里毫不客气地自己倒水冲蜂蜜喝去了。小青和耿英终于可以轻松地收拾水盆儿和 湿毛巾了。耿正把泥托子和泥叶子、铲子、木棍儿等集中起来都放在搅拌盆儿里，对爹说：“八桶石灰膏够用吗？照这个用法 恐怕不够呢！”耿老爹说：“应该够了，亮顶棚特别费石灰泥，亮墙壁就省多了！你看，今儿个咱们剩了那么一点儿了，居然 还亮了一整面后墙，连我也没有想到呢！”耿正想一想，说：“也是，照亮后墙这个用法，应该足够了！”又问：“你亮顶棚 时，为什么要那样用力地抹呢？”耿老爹说：“必须用力地抹，这样才能将石灰泥挤压进细竹帘子的缝隙中，并且在竹帘子的 上面形成无数个石灰泥小球球。这样，等这些石灰泥小球球充分干燥之后，顶棚面上的石灰泥就会与细竹帘子牢固地结合在一 起了。”耿正这才恍然大悟，说：“噢，怪不得你要那样费劲儿呢！这个活儿太累了，明儿个还是我来替你亮那一间的顶棚 吧！”耿老爹摇摇头，说：“哦，不不不，还是我来亮吧。你以前从来没有做过这个活儿，一开始做，怎么也不行的。”紧紧 张张地干了两天半以后，五间新屋的顶棚和后墙终于亮完，剩下的三大桶石灰膏就全部用来亮侧墙了。亮侧墙虽然不用像顶棚 上面那样费力，但也是个很精细活儿呢。因此，耿正只是很少地参与了一点儿，主要还是由耿老爹亲自来完成的。四天以后， 五间新屋的屋内上面全部完成了。这个紧紧张张的活儿把大家累得实在够呛。但仔细观察上面的整体效果，耿老爹感到非常满 意。他对小青和耿正兄妹三人说：“最难做的活计已经做完了，咱们好好休息几天。如果有一个人还没有歇息好，咱就不开始 下一步的刷家！”四人一齐欢呼起来：“太好了，歇息去嘞！”事实上，在这整整四天紧紧张张的劳作期间，最劳累的还是耿 老爹，小青、耿正、耿英和耿直虽然也很紧张劳累，但毕竟都是在打下手啊！那天吃完晚饭后，大家都早早就歇息了。耿老爹 疲倦地躺在地铺上，感到浑身的骨头都快要散架了。翻身时
A
O C x
例4 过点A(1，1)作两直线l1，l2，使 l1⊥l2，且l1交x轴于点M，l2交y轴于点N， 点P为线段MN的中点，若直线PA的斜率为 －2，求点P的坐标.
y
A
P(2，－1)
l2
O N
M P
x
l1
【问题3】两直线平行与垂直的条件分析
例5 已知两直线l1：mx＋8y＋(2－m) ＝0和l2：2x＋my－1＝0. （1）若l1∥l2，求m的值； （2）若l1⊥l2，求m的值. (1) m＝－4
高中数学学业水平考试总复习
必修2
第三章
直线与方程
第一课时 直线的倾斜角与斜率 两直线的平行与垂直
学习目标
了解直线的倾斜角及斜率的概念， 理解过两点的直线的斜率公式，会 判断两直线的平行与垂直.
【问题1】求直线的倾斜角和斜率
例1 过点M(2，3)作直线l，若点A(6， 5)和B(3，4)到直线l的距离相等，求直 线l的斜率.
(2) m＝0
例6 已知两直线 l1：(m＋3n－1)x＋(m－1)y－2m＋2＝0 l2：(m－3n＋2)x＋(m＋1)y－m＋1＝0 （1）若l1⊥l2，且直线l1在y轴上的截距 为－1，求m，n的值； （2）若l1∥l2，且坐标原点到这两条直 线的距离相等，求m，n的值. （1）m＝1，n＝1或m＝1，n＝0.