例谈点面距离的求法
史上最全的商务谈判案例分析6篇
史上最全的商务谈判案例分析6篇史上最全的商务谈判案例分析 (1) “站住!”老妈喊住了刚放下酱油瓶的我。
我疑惑中夹杂着恐惧的眼神迅速从老妈身上移开，难道……“妈，酱、酱油、买回来了，还有事吗?”我用着试探的语气问到。
“出门前怎么跟你说的，去黄阿姨那买酱油要快点回来，现在你看看，你看看，都几点了!”火药味从厨房迅速蔓延开来。
“我，我……”“你什么都别说了，晚饭别吃了，给我面壁思过去!这种状况都发生过多少遍了，你还让我骂你几遍你才改!”“不吃就不吃，面壁就面壁!不吃我还省了以后要减肥呢!”我强忍泪水，略带哭腔吼回去，不就是买酱油回来晚了吗?至于这么凶吗?我转过头，把老妈难看的脸甩在后面，跑回房间。
随之而来就是“砰”的关门声。
门隔开的是两处空间，心隔开的是两道鸿沟。
窗外的天空像在迎接一场久违的大雨，阴沉阴沉。
乌云把原本晴朗的天空遮得密不透风，是暴风雨的前兆吗?看着窗外的我，眼泪像泛滥的洪水，越过堤坝汹涌而出。
委屈堵在喉咙，想说，说不出。
“丫头!”唉，老妈肯定是问我经过一个晚上的思考悟出什么了。
又是这招，您不烦我都厌了。
刚想说：“妈，我没错。
”老妈说了一句，什么?是“对不起”?我、我没听错吧。
我瞟了老妈一眼，天呐，什么世道!强悍的老妈也会说“对不起”了!“昨天你怎么不告诉我是黄阿姨多找了钱你去还钱呀!如果今天不是她告诉我，你还真想我继续误会你呀，昨天是我不对，火气大了些，别生气呀。
你总是一声不吭我怎么知道你的想法呢?下次别这样了，有什么说出来大家一起解决，知道吗?”“嗯，我知道了，妈，昨天对你吼，对不起，不会有下次了。
”我说完不好意思地往房间溜。
“昨晚那面好吃吗?我还特意煎了两个蛋呢!”我惊讶地回过头，老妈得意地笑着。
“什么?您煮的?我还以为是老爸呢!”其实，生活就需要沟通，那是一座跨在鸿沟上的桥梁。
只要我们能换位思考，很多时候都可以化解不必要的误会。
在被怒气溢满大脑时，为什么不静下心来仔细想想呢。
请记住，母亲对子女的爱是最无私的。
七年级数学竞赛题：数形结合谈数轴
七年级数学竞赛题：数形结合谈数轴数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的．我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是－种重要的数学思想．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面：1．利用数轴能形象地表示有理数；2．利用数轴能直观地解释相反数；3．利用数轴比较有理数的大小；4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．例1 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为l ，点A 与原点0的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点0的距离之和等于 ． (北京市“迎春杯”竞赛题) 解题思路 确定A 、B 在数轴上的位置，求出A 、B 两点所表示的有理数．例2已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如下图：则1-c +c a -+b a -化简后的结果是( )．(湖北省初中数学竞赛选拔赛试题)(A)b －l (B)2a －6—1(C)l+2a －b －2c (D)1—2c+b解题思路 从数轴上获取关于a 、b 、c 的相关信息，判断代数式c —l ，a －c ，a －b 的正负性．例3 a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示：试判定b a b a +-，b a b a -+，cba cb a -+之间的大小关系． 解题思路 推断各分数分子、分母的正负性及大小关系。
……….例4(1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B两点之间的距离表示为|AB|．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|；当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|—|OA|=|b|—|a|=-b-(-a)=|a-b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(-b)=|a-b|．综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|．(2)回答下列问题：．①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示一2和一5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和一3的两点之间的距离是_______；②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是_____，如果∣AB∣=2，那么x为______；③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是______；④求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-1997∣的最小值．．(2002年南京市中考题)解题思路通过观察图形，阅读理解代数∣a-b∣所表示的意义，来回答所提出的具体问题．例5某城镇沿环形路有五所小学，依次为－小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、1l、3、14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：－小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给－小，若甲小给乙小－3台，即为乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应作怎样安排?(湖北省荆州市竞赛题) 解题思路通过设未知数，把调动的电脑总台数用相关代数式表示，解题的关键是，如何将实际问题转化为类似“例4”的问题加以解决．．1．已知数轴上表示负有理数Ⅲ的点是点M，那么在数轴上与点M相距∣m∣个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是_______．(第十五届江苏省竞赛题)2．如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点的距离为______．3．在数轴上表示数a的点到原点的距离为3，则以a－3=______．4．已知a>0，b<O且以a+b<O，那么有理数a，b，-a，∣b∣的大小关系是_____________.(用“<”号连接)(北京市“迎春杯”竞赛题)5．已知有理数以在数轴上原点的右方，有理数b在原点的左方，那么( )．(A)ab<b (B)ab>b (C)a+b>0 (D)a－b>O6．如图，a、b为数轴上的两点表示的有理数，在a+b，b—2a，∣a-b∣,∣b∣-∣a∣中，负数的个数有( )．(“祖冲之杯”邀请赛试题)(A)1 (B)2 (C)3 (D))47．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，式子|a|+|b|+|a+b||b-c|化简结果为( )．(A)2a+3b －c (B)3b －c (C)b+c (D)c －b8．如图所示，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF ，则与点C 所表示的数最接近的整数是( )．(A)－l (B)0 (C)1 (D)2(第十二届“希望杯”邀请赛试题)9．已知a 、b 、c 、d 为有理数，在数轴上的位置如图所示：且6∣a ∣=6∣b ∣=3∣c ∣=4∣d ∣=6，求∣3a －2d ∣—∣3b —2a ∣+∣2b －c ∣的值．10．电子跳蚤落在数轴上的某点K 0，第－步从K 。
空间距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的 公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个 平行平面间的距离。
2.求距离的步骤 （1）找出或作出有关距离的图形 （2）证明它们符合定义 （3）在平面图形内进行计算
二、例
例1：在600二面角M-α-N内有一点P，P到平面M、平面N 的距离分别为1和2，求P到直线a距离。
距离。
（4）两条异面直线间的距离
和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线 的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两 异面直线的距离。
（5）直线与平面的距离
如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个 平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做 这条直线和平面的距离。
空间距离求法
一、知识概念
1.距离定义 （1）点到直线距离
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间 的距离叫这点到这条直线的距离。
（2）点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的
距离叫这点到这个平面的距离。
（3）两平行直线间的距离 两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的
解：设PA，PB分别垂直平面M， 平面N与A、B，PA，PB所确定 的平面为α,且平面α交直线a与Q，
M A
设PQ=x
a
在直角△PAQ中sin∠AQP=1/x
Q
在RT △PBQ中sin ∠AQP=2/x
P
B N
cos600=cos(∠AQP +∠AQP)，由此可得关于x的方程
最后可解得 x 2 21 3
解：连AC，BD，设交于O,设
P
AC交EF于H
连PH
例谈空间距离——点到平面的距离求法
出或作 出有 关距离 的图形 ； 证 明它符 ②
合 定 义 ； 在 同一 平 面 内计 算 。 ③ 点 到 平 面 的 距 离 求 法 有 下 列 三 种 【 路 方 法 一 Ｉ 接 法 ： 解 的关 键 思 直 求 是 正确 作 出 图形 ， 确定 垂 足位 置 最 重 要 。 充 分 利 用 面 面 垂 直 要
【 路 方 法 二 】 体 积 法 ： 所 求 距 离 转 化 为 求 锥 体 的高 。 思 等 把 （ｉ 当０ａ２ ，（）０ｆ ） （ ，）（， ） ｉ） ＜＜ 时 ｆ ｘ＞ ，ｘ在 一 １ ，１＋ 为增 函数 。 ， （
（当２０ｄ１ ＝ 得一／ ， ｉ ａ ， ，（０ ｘ、Ｏｘ ｉ ＞ ＜ 令ｘ， ’ ｉ 时 导＜ ）解 ＝ ） 譬 －
解 析 ： １ ｆ ｘ ＝ ｘ＋ ａ ＋ 由题 意 知Ｐ（ ，） （ ） ，．＋ ＋ （ ） （ ） ３ ＇２ ｘ ｂ， ， １４ 在ｆｘ 上 ．１ ａ ‘
ｃ ， 孚 ，一 — 一 √ ｔ
ｆ（ ） ｘ
．
（
， ：４ ） ｂ－且 Ｉ Ｉ－ ＋４ ｛ ） ，ｏ ｏ ｃ ，
ｆ Ｘ （）
ｘ 化 时ｆ（）ｆｘ 的变 化 情 况 如 下 表 变 ｘ ，（）
ｆ） （ ，／ ２ ，／兰，，， ）增 数 （在一 一 ａ一 （！ １（＋ 为 函 ， ｘ ， － ）、 ￣ ）１
Ｔ ａ Ｖ ａ
一
３ ～ ，２ 一 （ ２亍） ３ （ １ ｌ （ ３一 ） ２ 一 ， ÷， ）
的 性 质 。 （ 图 １ 如 ）
图１
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下 面 通 过 几 个 实 例 来 说 明点 到 平 面 的 距 离 求 法 。以 及 线 面 距 离 或 面 面
例谈两动点间距离的最值问题的几种解题途径
例谈两动点间距离的最值问题的几种解题途径(中学教研2017／3)杨伟达（广州市花都区第二中学 510800）众所周知，距离问题本是一个古老的话题．但在每一年的高考中，它常常成为专家命题的第一视觉，也常常是许多学生解题的绊脚石．因此，在解题中若能处理好距离的最值问题，对快速解题起到事半功倍的效果．下面是笔者对两动点间距离的最值问题从不同角度进行析疑解惑，突显“动”的魅力，焕发出新的活力．一、借助特殊曲线，寻求等价替换有这样的一类题，它们的两动点分别在常见的特殊曲线上，且这特殊曲线具有特殊的性质．此时可以通过观察图形，利用图形的特殊性质即可求得最值.例1 已知圆C ：034222=+-++y x y x（1）略；（2）从圆C 外一点),(y x P 向圆引一条切线，M 为切点，O 为坐标原点，且有PO PM =，求使PM 最小的P 点的坐标．分析：此题的一个动点在圆外，另一个在圆上，且这两个动点的连线是圆的切线（特殊）．解决此题关键在于利用圆的特殊性质，找出切线长等价替换，问题即可解决．解：已知圆C 方程：034222=+-++y x y x所以圆心坐标为)2,1(-，半径为2，又因为PO PM =，设),(11y x P ， 且PM 是圆C 的切线，所以)(222为圆的半径R PC R PM =+ 所以212121212)2()1(y x y x +=--++化简为：034211=+-y x 这是点P 满足的轨迹方程. 因为PO PM =，所以PM 的最小值就是PO 的最小值.PO 的最小值转化为点O 到直线034211=+-y x 的距离.即1053203min ==PO联立方程组有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0342209112121y x y x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=5310311y x 因此，点P 的坐标为)53,103(-.例2 分别在椭圆19422=+y x 与抛物线222m y x -=上的两动点M 、N 间的距离最小值是5，则m 的值是（ ）（A ）1± （B ）2± （C ）2±（D ）22±分析：如图1，通过草图，不难发现两曲线相离，且位置比较特殊．观察可知，曲线上两动点的最短距离转化为两顶点（定点）间的距离．此时问题就变得简单了.解：因为M 、N 间的距离最小值是5 所以椭圆与抛物线不相交如图1，观察，此时抛物线的顶点N 与椭圆上顶点M 的距离 就是两动点M 、N 间的距离最小值抛物线的顶点)2,0(2m 与椭圆上顶点)3,0(的距离最小值为5 所以5322=-m 解得：2±=m 故选B.二、借助三角函数，寻求合二为一有这样的一类题，它们的两动点分别在常见的特殊曲线上，且动点也可以用含参坐标表示．此时可以直接运用距离公式，把它转化为三角函数的形式即可求得最值．比如：圆222R y x =+上一动点可表示为))(sin ,cos (为参数θθθR R ；椭圆12222=+by a x 上一动点可表示为))(sin ,cos (为参数θθθb a .例3 （2016·广州二测理数23）选修4－4坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数).以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin(ρθ+)4π=(1) 略；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值.分析：此类型题每年在全国卷选做题中常常出现．比较快捷的解决方法是利用参数方程表示曲线上的某一动点坐标，再根据条件转化为求三角函数的最值问题即可将问题解决.解：(1)略.所求曲线C 的直角坐标方程为2213x y +=；直线l 的直角坐标方程为2x y +=.(2)因为点Q 是曲线C 上的点，所以可设点Q的坐标为),sin θθ所以点Q 到直线l的距离为d==. 当cos 16πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，max d ==所以点Q 到直线l的距离的最大值为三、借助数形结合，突显形象直观有这样的一类题，它们的一个动点在某区域内，另一个动点在某特殊曲线上．此时两动点间距离问题可转化为某一定点到区域内的距离最值即可将问题解决.例4 设D 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03200y x y x x 表示的平面区域，圆C:1)5(22=+-y x 上的点与区域D 上的点之间的距离的取值范围是 A.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+-134,1225 B.[)134,117+- C.[)34,17 D.[)134,117--分析：此题涉及线性规划问题.先将不等式组表示出平面区域，再根据圆的特殊性质通过数形结合可将问题解决.解：如图2，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03200y x y x x 表示的平面区域如下图中三角形ABO 内（含边缘）的阴影部分。
两点间的距离（精选8篇）
两点间的距离（精选8篇）以下是网友分享的关于两点间的距离的资料8篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
篇一：两点间的距离信息窗二：两点间的距离点到直线的距离【教学内容】义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学四年级上册第60-63页【教材简析】本课时是在教学了线段、射线和直线、垂线、平行线之后，进行的“两点间的距离”与“点到直线距离”的教学，是进一步学习空间与图形知识的基础。
教材创设现实情境，产生认知冲突，通过学生提出问题，以问题解决为载体，在解决问题的过程中理解知识。
教材强调学生动手操作，给学生提供了充分的探索空间，让学生经历操作、观察、测量、思考、交流的过程，在直观体验中解决问题，理解和掌握知识。
【教学目标】1．结合具体内容，理解“两点间所有连线中线段最短”，知道两点间的距离与点到直线的距离。
2．初步学会交流解决问题和结果，体验数学与生活的密切联系。
3．在对两点间的距离与点到直线距离的探究过程中，培养学生观察、想象、动手操作的能力，发展空间观念。
【教学过程】一、情境引入，提出问题1．谈话：同学们，青岛铁路局和湖北铁路局决定在青岛和神农架之间修建一条旅游专列铁路（课件：中国地图，连线青岛—神农架）。
从地图上来看，在这两地之间有山、有水，这就给修建铁路带来了麻烦，如果我们同学是设计师，遇到这样的问题，你会怎么处理呢？学生讨论、猜想、分析，观察地图，发表自己的意见：遇到水时：（1）绕路（2）架桥（3）海底隧道等；遇到山时：（1）绕路（2）火车爬山（3）修建隧道等。
2．谈话：老师很佩服咱同学能想出这么多的方法，对于这些方法，咱同学有没有什么意见呢？学生再讨论、猜想、分析，得出：（1）绕路需要多费时间、费能源。
（2）火车爬山也不太现实。
（3）直接通过隧道或者架桥的方法好像更好一些。
【设计意图】通过情境的创设，让学生参与设计。
提出情境中应解决的现实问题，引导学生大胆想象，畅所欲言。
激发学生的思维，培养学生的创新意识。
谈谈点面距离的求解策略
维普资讯
２０ ０ ２年 第 ４期
数 学 教 学 研 究 点 ． 异 面 直 线 Ｄ Ｅ 与 Ｃ 的 距 离 ． 求 Ｃ
２ ３
诚 谈 求 点 面距 离 的几 种策 略．
１ 先 作 后 求
解 由 Ｃ ∥ Ｄ 知 ， ｃ 到面 Ｄ。 Ｃ Ｄ． ｃ ． ＤＥ的距 离就
面 Ｐ ＢＣ 的距 离 解 如 图 １ 过 Ｐ ，
是 异 面 直 线 Ｄ Ｅ 与 Ｃ ，的 距 离 Ｃ 设 Ｃ 副 平 面 Ｄ ＤＥ 的 距 离 为 ｈ ． ．
先 作后 求 的 思路 是 ： 过点 作 平 面 的垂 线 段 ， 先 再 利 用 解 三 角 形 的 方 法 求 出 垂 线 段 的 长 度 ． 这 种 解 但 法 一 般 要 确 定 垂 足 的 位 置 ， 常 是 利 用 面 面 垂 直 的 通 性质 来 确定 垂 足 的位 置． 例 ｌ 已知 正三 棱锥 Ｐ Ａ — ｃ底 面 边 长 为 ４， 二 面 角 Ｐ ｃ 且 为 ６ 。 求 Ｐ 在 底 面 内 的射 影 ０到 平 一 一 Ｏ，
而 得 ） 再 将 向 量 、 ．
由 于对 集合 ｃ中所 古有 的 集合 Ａ中 的元 素 ， 并无 需 考 虑它 是 否属 于 ＾ ｎ Ｂ． 此 例 还 有 另 一 等 价 说 故
法 ：
ａ １一ａ ２转 化 为 １０ 一 口． 结 论 ８。 则
（ ．一 ａ铲
ａｇ ＝）转 化 为 ｃ ｓ １ ０ ｃ （ ８ 。一ｎ） ＝一ｃ ｓ ， 。 ａ有 无 最 大 值 的
ｃ ｓ ａ ｇ 一十ａ 。（ ｒ ￣ ）
”因 故… ‘寺 此也 很有 用 ， 必 须 在 做题 过 程 中 做 必要 的修 正 ． 其 但 使
等 价．
即 大 为 最 值 ｛
例谈生活中的坐标定位方法
（2）对教学楼来说，车棚在什么位置？艺体楼在什么位置？
解：（1）要想确定实验楼的位置，还需要知道实验楼在教学楼
的哪个方位角上，以及它和教学楼的距离
（2）对教学楼来说，车棚在南偏东35 ，图上距离约为0.8cm；
艺体楼在正东方向，图上距离约为1.5cm．
例5．晚上10时，一艘船从海港A出发执行任务，以每小时30海里的速度向东行驶，12时到达B地，然后再向北行驶，由于天气突变，船速降至每小时20海里，凌晨3时到达C地，这时船在海港A的什么位置？从C看A在什么位置？
分析：如图3，由题意知：AB=30×2=60（海里），
BC=20×3=60（海里），所以△ABC为等腰直角三角形，
答案应为：地面上的工作人员一般靠经纬线和飞船所处高度来确定位置．
四、区域定位法
它是生活中常用的方法之一，需要有两个数据才能确定物体的位置，用这种仿佛确定物体的位置具有简单明了的特点，但有时往往不精确，所以要视情况而定．
例4．如图2是新时代学校平面简图的一部分，其中 代表仓库， 代表办公楼， 代表实验楼，试说出办公楼、实验楼所在的区域．
分析：要求办公楼、实验楼所在区域，先竖着找
出其 所在的字母区域，再横着找出所处的数字区域，
两者合在一起便使问题得解．
答案为：办公楼在 区，实验楼在 区．
五、船只定位法
就是人们有时用两个角度取得海上的位置．如图3，对于在大海中航行的船只，海岸线上的两个观测点只要同时观测出船只相对于每个观测点的方位角，即能确定这艘船只的准确位置．
（2）由于电影院中的座位分单号座和双号座，因此李娜和王欣的座位不挨在一起．
（3）（11，7）表示11排7座，（12，7）表示12排7座．
三角形中位线定理的运用例谈(Word版-含解析、点评和练习设计)
2017-2018下学期八数专题复习 二：三角形中位线定理的运用例谈 第 1页（共 8页） 第 2页 （共 8页）2017—2018下学期八年级数学专题复习 二:三角形中位线定理的运用例谈赵化中学 郑宗平三角形的中位线定理在平面几何中比较特殊，它既反映三角形的中位线与三角形边的位置关系，又有与三角形边的数量关系的规律性结论；在一些所谓的几何难题中常见它的身影，而三角形的中位线往往能起牵线搭桥甚至是关键性的作用;下面我精选一部分“含"三角形的中位线的几何解答题，让我们共同来探究、解析、训练.知识要点:三角形的中位线平行于三角形第三边,并且等于第三边的一半.1。
三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系⑴.周长关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的周长 ⊿ABC 的周长的关系？分析: 点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、,,,111EF BC DE AB DF AC 222=== ∴()12EF DE DF BC AC AB ++=++所以三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半。
追踪练习：以上面的图为例，若⊿DEF 的周长为23cm ，则⊿ABC 的周长为 . ⑵。
面积关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的面积与⊿ABC 的面积关系？ 略析：根据三角形中位线定理可以得出,,,,111EF BC DF AC DE AB EF BC DF AC DE AB 222===；,再利用线段中点的定义、平行线性质、平行四边形的性质等可以进一步推出DEF 、AFE 、FBD 、DEC是全等的，故它们的面积是相等的,则S ⊿ABC =4S ⊿DEF .所以三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的14. 说明：今后我们学习了相似三角形的性质后，这个结论的推导就简单多了。
曲折复杂的经典谈判案例
经典谈判案例由先开始的犹豫，到后来接受，再到后来真正的学以致用。
对于罗杰道森先生的感情也随着越来越多掌握了《优势谈判》课程中的方法而深厚。
在这里，我要感谢主办单位给我这个机会，对道森先生说声非常感谢。
3天的《优势谈判》课程，给我印象最深的是案例练习。
当你发现，把十分钟之前学到的招数用在案例练习的谈判中时，真的会产生利于己方的效果。
虽然对面同学学得也很认真，虽然也是现学现卖，但他们采用的谈判策略也让我觉得难以招架。
这个时候，我忽然发现了谈判的力量！讲一个我在实际生意中通过谈判获得成交的案例吧，希望能给大家一些参考。
上个月，我们公司准备发行一套印刷品，已经签了几家大企业的团购单。
这个时候，有一家做商务卡的公司找上我们，希望能通过我们的发行渠道，贴上他们的卡。
这送上门的好事我自然是偷着乐，心里想，反正不增加成本，收个2~3万块钱也挺好。
但我一直记得优势谈判里关于谈判的开篇就是要大胆报价，于是我报了8万元。
对方负责人显得很惊讶（我偷笑，看来他也学过道森的优势谈判），在一翻“假装”的表情之后，他说“不好意思王总，这让我很为难，我很想跟您合作，不过这个价格太高，我不太好跟老板交待。
”（我又偷笑，这家伙还知道用“虚拟高层”的招数，我给他来个反制，激发他的自我意识）“张总，我知道贵公司这部分事务一直是您全权负责，您拍板同意的话，我们的合作一定没问题。
”他果然笑了笑说“不瞒您说，我的权限只有4万元，您的报价太高了”。
呵，胜利一半了！我心里说，比我预想的2~3万已经高了不少。
这笔生意最后以6万元成交！高出了我预期的2~3倍。
签合同的那一瞬间，我想起道森先生讲的一句话“世界上赚钱速度最快的，是谈判！”[讲师介绍] 1991年的一个夜晚，美国一名谈判大师在家中接到一个电话，对方称自己在科威特石油公司的兄弟被伊拉克大独裁者萨达姆扣为人质，他想聘请他为谈判顾问，说花多少钱都愿意赎回他的兄弟。
这位谈判大师告诉对方，他不用花一分钱赎金就能救回他的兄弟。
著名的谈判案例6篇
著名的谈判案例6篇著名的谈判案例 (1) 一谈判的定义谈判是有关方面就共同关心的问题互相磋商，交换意见，寻求解决的途径和达成协议的过程。
二概要：12月16日上午，我专业进行一了一次模拟谈判。
主要内容是，我方S公司(日方)向T公司(中方)出售一批FP-148货车，由于货车使用时发生严重质量问题，致使T公司蒙受巨大经济损失，T公司向我公司要求索赔，就索赔问题双发展开了一次长达40分钟的索赔谈判。
三谈判的阶段此次的谈判过程分为六个阶段：1.导入阶段：主要是让谈判参与者通过介绍相互认识，彼此熟悉，以创造一个有利于谈判的良好气氛。
2.概说阶段：谈判各方简要亮出自己的基本想法、意图和目的，以求为对方所了解。
3.明示阶段：根据前一阶段谈判各方表述的意见，尤其是相互存异或有疑问处，谈判各方此时会进一步明确各自的利益、立场和观点。
4.交锋阶段：谈判各方的目的都是为了获得自己的所需的利益，自然就会有矛盾，而矛盾的激化就会导致对立的状态的出现，这时候，谈判各方互相交锋，彼此争论，紧张交涉，讨价还价，逐渐确定妥协的范围。
5.妥协阶段：交锋的结束，便是寻求妥协途径的时刻。
妥协阶段就是各方相互让步，寻求一致，达成妥协。
6.协议阶段：在这一阶段，谈判各方经过交锋和妥协，求同存异或求同去异，基本或一定程度达到自己的目的，于是便拍板同意，各自在协议书上签字，握手言欢，谈判宣告结束。
四谈判过程中应用的谈判技巧1宽松的环境正如被仑所说：如果能把敌人变成朋友，就等于我们胜利了。
因此谈判一开始，我方为避免劣势首先采取了拉近感情，缓解气氛的策略。
“我对中国的文化有着深厚的兴趣，我国和日方历来及有相同的文化渊源，希望我们在谈判桌上合作愉快，在谈判桌下，我们能成为朋友，不知贵方是否赞同我方的意见?”中方对我方的观点并无异议。
既然是谈判，那么双方就需要交流，谁都喜欢一个宽松的交流环境，因为人在轻松和谐的气氛中，更容易听取不同意见。
高明的谈判者往往都是从中心议题之外开始，逐步引入正题。
商务谈判方案及案例分析
商务谈判方案及案例分析例一江苏某工厂、贵州某工厂、东北某工厂、北京某工厂要引进环形灯生产技术，各家的产量不尽相同，北京某进出口公司是其中某一工厂的代理。
知道其它三家的计划后，主动联合这三家，在北京开会，建议联合对外，统—谈判，这三家觉得有意义，同意联合。
该公司代表将四家召在一起做谈判准备。
根据市场调查，日本有两家环形灯生产厂，欧洲有—家，有的曾来过中国．有的还与其中工厂做过技术交流。
进出口公司组织与外商谈了第一轮后，谈判就中止了。
外商主动找具熟悉的工厂直接谈判，工厂感到高兴，更直接，而且，外商对工厂谈判的条件比公司谈时灵活，更优惠。
有的工厂一看联合在起，自己好处不多，于是提出退伙，有的外商故意不报统一的价格，也与自己欲成交的工厂直接联系，请工厂代表吃饭，单独安排见面等，工厂认为这对自己有好处．来者不拒。
进出口公司的代表知道后劝说工厂，工厂不听。
于是最终这四家各自为阵，联合对外谈判也宣告失败. 问题：1 这种联合算不算联合?为什么? 2．外商的主持谈判成功在哪儿? 3，北京进出口公司的主持失败在哪儿？4，有否可能将这不同省市的工厂联合起来呢?怎么做才能实现联合目标? @分析；1．这不算联合对外的谈判．因为它设满足联合谈判的基本条件。
2．外商主持谈判的成功在于利用了中力松散的组织；利用了厂家的差异(交易条什)；利用了感情，从而实现了分解中方的联合。
3．北京进出口公司主持失败的关健在于没有按统—联合谈判的规范做。
4．有可能。
首先应建立跨省市的具有权威的领导班子，然后才是其它的技术性的“统—‘”条件的实现。
@案例六意大利与中国某公司谈判出售某项技术．由于谈判已进行了一周．但仍进展不快，于是意方代表罗尼先生在前一天做了一次发问后告诉中方代表李先生：“他还有两天时间可谈判，希望中方配合在次日拿出新的力案来。
”次日上午中方李先生在分析的基础上拿了一方案比中方原要求(意力降价40%) 改善5％(要求意方降价35％)。
点到面的距离公式。
点到面的距离公式。
点到面的距离公式可以用来计算一个点到一个平面的最短距离。
假设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)，则点到平面的距离可以用以下公式计算：
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)。
其中d表示点到平面的距离。
这个公式可以通过向量的投影和
点的距离公式推导得出。
这个公式在几何学和工程学中经常被使用，例如在计算点到平
面的垂直距离时非常有用。
通过这个公式，我们可以快速准确地计
算出点到平面的最短距离，从而在实际问题中得出精确的解决方案。
在工程学和建筑学中，点到平面的距离公式可以用来设计建筑
物的结构，确定物体的位置和方向，以及进行地图测绘和导航等方
面的应用。
这个公式的应用领域非常广泛，对于解决实际问题具有
重要意义。
求异面直线之间距离的四个技巧
异面直线是既不平行也不相交的两条直线.这组直线的空间位置关系较为特殊，我们往往很难直接求得异面直线之间的距离，需采用一些方法和技巧，如平移法、向量法、等体积法、构造函数法等，才能使问题获解.下面结合实例，谈一谈求异面直线之间距离的四个技巧.一、平移法求异面直线之间的距离，要首先把握异面直线之间距离的定义和两直线之间的位置关系.异面直线之间的距离是指这两直线之间的公垂线的长，而公垂线必须同时垂直于两条异面直线.可采用平移法，通过平移其中的一条直线a ，使其与另一条直线b 相交，这样便构造出一个平面，过直线a 上的一点作这个平面的垂线，该线即为两条异面直线的公垂线，求得公垂线的长即可求得两条异面直线之间的距离.例1.如图1所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求异面直线A 1D 和AC 之间的距离.解：连接BD 1、BD 、AD 1，设BD 与AC 的交点为M ，AN 与A 1D 的交点为F ，根据三垂线定理可知：BD 1⊥A 1D ，BD 1⊥AC ，因为N 为DD 1的中点，由三角形中位线的性质可知BD 1∥MN ,MN ∥EF ,即BD 1∥EF ，可知EF 即为异面直线A 1D 和AC 的公垂线，因为BD 1=3a ，所以MN.又因为N 为DD 1的中点，且AA 1∥DN ，则△AA 1F ∽△NDF ，所以AF NF =AA 1ND=2，AF NF =23.因为EF ∥MN ，则EF MN =AF AN =23，可知EF =23MN=，因此异面直线A 1D 和AC之间的距离为.采用平移法解题，需仔细观察立体几何图形中的点、线、面之间的位置关系，尤其要关注线和面之间的垂直、平行关系，通过平移直线将原本看起来毫无联系的两条异面直线关联起来，再利用平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式、三角形中位线的性质等来求公垂线的长.图1图2二、向量法对于易于建立空间直角坐标系的立体几何问题，可采用向量法来求解.在求异面直线之间的距离时，可分别求得两条直线的方向向量a 、b ，并设出两条异面的公垂线，然后根据向量之间的垂直关系建立方程组，通过解方程求得公垂线的方向向量，最后求其模长，即可求得异面直线之间的距离.例2.如图2所示，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，其对角线为AC ′，点M 、N 分别为棱BB ′和B ′C ′的中点，MN 的中点为P ，求异面直线DP 与AC ′之间的距离.解：如图2所示，以D ′为原点，D ′C ′为x 轴、D ′A ′为y 轴、D ′D 为z 轴建立空间直角坐标系，设DP 与AC ′的公垂线为QR ，分别与DP 、AC ′相交于点Q 、R ，根据定比分点公式可得 OR =sOA +(1-s ) OC ′， OQ =t OP +(1-s ) OD ，0<s <1，0<t <1，则A (0,1,1)，C ′(1,0,0)，P (1,34,14)，D (0,0,1)，则R (1-s ,s ,s )，Q (t ,34t ,1-34t ).因为 RQ ⊥AC ′且 RQ ⊥ DP ，所以ìíîïï3s +t -2=0,178t +s -74=0,解得ìíîïïs =4086,s =5286,可得R (4686,4086,4086)，Q (5286,3986,4786)，则RQ 的模长为，即异面直线DP 与AC ′之间的距离为.相较于常规方法，向量法更加简单.在运用向量法解题时，同学们需熟记一些向量的运算法则，如向量的加法、减法，向量的数量积公式、模的公式.探索探索与与研研究究49三、等体积法等体积法一般适用于求解三棱锥问题，是指转换三棱锥的底面和高，根据同一个三棱锥或两个三棱锥的体积相等建立关系式，求得问题的答案.在求异面直线之间的距离时，可将异面直线置于三棱锥中，采用等体积法求三棱锥的高，进而求得两条异面的公垂线的长.在解题时，同学们要善于寻找体积相等的三棱锥，或易于计算体积的三棱锥的底面和高，建立等价关系式.例3.如图3所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为BC 的中点，求直线ED 1与直线CC1之间的距离.图3图4解：如图4所示，过点E 作EE 1∥CC 1，连接D 1E 1.已知点E 为BC 的中点，则点E 1为B 1C 1的中点，所以B 1E 1=E 1C 1.因为EE 1⊂平面D 1EE 1，EE 1∥CC 1，则CC 1∥平面D 1EE 1，则异面直线ED 1与CC 1之间的距离即为直线CC 1到平面D 1EE 1的距离，也就是点C 1到平面D 1EE 1的距离.设点C 1到平面D 1EE 1的距离为a ，由V C 1-D 1EE 1=V E -C 1D 1E 1可得：13S △D 1EE 1·a =13S △C 1D 1E1·EE 1.因为CC 1⊥A 1B 1C 1D 1，EE 1⊥A 1B 1C 1D 1，且D 1E 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，则EE 1⊥D 1E 1，S △D 1EE 1=12×EE 1×D 1E 1=5.因为正方体的棱长为2，则S △C 1D 1E 1=1，EE 1=2，故C 1到平面D 1EE 1的距离a =S △C 1D 1E 1·EE 1S △D 1EE1=1×25=则直线ED 1与直线CC1之间的距离为.运用该等体积法求异面直线之间的距离，可省去找公垂线的麻烦，且简化了运算的过程.四、函数构造法我们知道，公垂线是两条异面直线之间的最小距离.若很容易找到异面之间的公垂线，但无法快速求得公垂线的长，或无法找到公垂线，可根据勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式等求得公垂线的表达式，或两异面直线上任意两点之间的距离的表达式，然后将其构造成函数模型，通过研究函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得异面直线之间的距离.例4.如图5所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，A 1B 和D 1B 1为正方形ABA 1B 1和正方形A 1B 1C 1D 1的对角线，求异面直线A 1B 和D 1B 1之间的距离.解：在A 1B 上任取一点M ，作MP ⊥A 1B 1于点P ，作NP ⊥A 1B 1于点P ，与D 1B 1交于点N .根据三垂线定理可知MN ⊥D 1B 1.设A 1M =x ，在等腰△A 1PM 中，MP =A 1P ，因为A 1B 1=a ，PB 1=a -，PN =(a )sin 45°=12(2a -x )，由于平面ABA 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以PN ⊥PM ，在Rt△PMN 中，MN =PM 2+PN 2=函数y =为复合函数，与二次函数y =3(x -)2+43a 2的单调性一致，由二次函数的性质可知当x 时，函数的最小值为，所以异面直线A 1B 和D 1B 1之间的距离为.通过添加辅助线，构造出垂直于D 1B 1的平面PNM ，只要在平面PNM 中找到一条直线垂直于A 1B ，那么该直线即是异面直线A 1B 和D 1B 1的公垂线.在Rt△PMN 中，根据勾股定理建立关于x 的关系式，求得公垂线的表达式，然后将其看作关于x 的函数式，通过分析函数的单调性求得函数的最小值，即可解题.可见，求异面直线之间的距离，关键是根据几何图形的特点和性质，以及点、线、面的位置关系找到异面直线的公垂线，并求得其长度.同学们可根据题目的条件，灵活选用上述四种方法.（作者单位：江苏省昆山文峰高级中学）图5探索探索与与研研究究50。
绩效面谈案例
绩效面谈案例细节决定成败。
作为一项让管理者颇感劳心费神的工作，绩效反馈面谈的任何一个细节都不可忽视。
与每一位员工面对面地探讨其一段时期内的绩效考核结果，并分析原因，找到提升业绩的解决方案，本身就不是件易事；若还要让员工心悦诚服，则更是难上加难。
忽视其中的任何一个细节，都会“失之毫厘，谬以千里”——成与败，似乎不仅仅在一线间。
绩效考核实质上是组织的管理者与员工之间的一项管理沟通活动，而绩效反馈面谈则为管理者和员工提供了一个更为正式的、面对面的平等沟通机会。
通过这种沟通，使管理者可以进一步了解员工的实际工作情况，协助员工提升业绩；员工也可以了解到管理者的管理思路和计划，有利于促进管理者与员工之间相互了解和信任，提高管理的渗透力和工作效率。
同样都是在做绩效反馈面谈，但不同的做法，其结果却大相径庭。
“有比较，才有鉴别”，我们不妨来看一组对比鲜明的绩效反馈面谈案例。
失败篇（差五分钟下班，客服经理王明正收拾整理一天的文件，准备下班后去幼儿园接孩子，吴总走了进来）吴总：王明，你现在不忙吧？考核结果你也知道了，我想就这件事与你谈一谈。
王明：吴总，我下班后还有点事……吴总：没关系，我今晚上也有个应酬，咱们抓点儿紧。
王明（无奈地）：那我就来。
（总经理办公室，办公桌上文件堆积如山。
王明心神不宁地在吴总对面坐下）吴总：王明，绩效考核结果你也看到了……（电话铃响，吴总拿起了电话，“喂，谁？啊，李总呀，几点开始？好，一定！……”）吴总：（通话用了五分钟。
放下电话，笑容满面的脸重新变得严肃起来）刚才我们谈到哪里了？王明：谈到我的绩效考核结果。
吴总：喔，你上一年的工作嘛，总的来说还过得去，有些成绩还是可以肯定的。
不过成绩只能说明过去，我就不多说了。
我们今天主要来谈谈不足。
王明，这可要引起你的充分重视呀，尽管你也完成了全年指标，但你在与同事共处、沟通和保持客源方面还有些欠缺，以后得改进呀。
王明：您说的“与同事共处、沟通和保持客源方面还有些欠缺”具体指什么？（电话铃再次响起，吴总接起电话，“啊，李总呀，改成六点了？好好，没事，就这样。
例谈点面距离的求法
龙源期刊网
例谈点面距离的求法
作者：张彩霞
来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2008年第08期
求点到平面的距离是高考中的一类常考题型，也是立体几何学习中的一个难点内容之一．现举例说明求点面距离的一些常用方法：
1 定义法
由定义点到平面的距离是指点到平面的垂线段的长，因此找或作平面的垂线就成了关键． 1.1 记住特殊图形里特殊点的射影位置找平面的垂线
四面体P-ABC中，若PA=PB=PC，则点P在△ABC内的射影为△ABC的外心；若侧棱与底面所成的角相等，则点P在△ABC内的射影为△ABC的外心；若P到△ABC的三边的距离相等，则点P在△ABC内的射影为△ABC的内心或旁心；若每个侧面与底面所成的二面角相等，则点P在△ABC内的射影为△ABC的内心；若对棱相互垂直，则点P在△ABC内的射影为△ABC的垂心；若三条侧棱两两互相垂直，则点P在△ABC内的射影为△ABC的垂心；由正三棱锥的定义知：正三棱锥的顶点在底面内的射影是底面的中心等等，利用这些结论，准确地定位垂足，从而找到平面的垂线．
注：用向量法求点到平面α的距离是过平面α内的任一点与该点所构造的向量在法向量n 方向上投影的绝对值，而非过该点的任一向量在法向量n方向上投影的绝对值．
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
谈判案例及分析(精选7篇)
谈判案例及分析（精选7篇）谈判案例及分析篇1意大利与中国某公司谈判出售某项技术.由于谈判已进行了一周.但仍进展不快，于是意方代表罗尼先生在前一天做了一次发问后告诉中方代表李先生：他“还有两天时间可谈判，希望中方配合在次日拿出新的力案来。
”次日上午中方李先生在分析的基础上拿了一方案比中方原要求(意力降价40%) 改善5% (要求意方降价35%)。
意方罗尼先生讲：“李先生，我已降了两次价，计15%，还要再降35%,，实在困难;”双方相互评沦，解释一阵后.建议休会下午2 ：00 再谈。
下午复会后，意方先要中方报新的条件，李先生将其定价的甚础和理由向意方做了解释并再次要求意方考虑其要求。
罗尼先生又讲了一遍其努力，讲中方要求太高。
谈判到4：00 时，罗尼先生说：“我为表示诚意向中方拿出最后的价格，请中方考虑，最迟明天12：00 以前告诉我是否接受。
若不接受我就乘下午2：30 的飞机回国。
”说着把机票从包里抽出在李先生面前显了一下。
中方把意方的条件理清后，(意方再降5%)表示仍有困难，但可以研究。
谈判即结束。
中方研究意方价格后认为还差15%，但能不能再压价呢?明天怎么答?李先生一方面与领导汇报，与助手、项目单位商量对策，一方面派人调查明天下午2：30 的航班是否有。
结果该曰下午2：30 没有去欧洲的飞机，李先生认为意方的最后还价、机票是演戏.判定意方可能还有条件。
于是在次日10 点给意方去了电话，表示：“意力的努力，中方很赞赏，但双方距离仍存在，需要双方进一步努力。
作为响应，中方可以在意方改善的基础上，再降5%，即从30%，降到25%。
”意方听到中方有改进的意见后，没有走。
只是认为中方要求仍太高。
问题：1.意方的戏做的如何?效果如何?它还有别的方式做戏吗? 2.中方破戏的戏做怎么评价? 3.意方和中方在谈判的进取性上各表现如何?分析：1.贵方的戏做的不好，效果也没达到。
2.若仍以机票为道具，则应把时机改成确有回意大利航班的时间.至少有顺路航班的时间。
例谈点面距离的求法
的 垂 线
求点 Ｐ到平 面 ＡＢ 的距离 ． Ｃ 解 ： 为 Ａ — ｃ，Ｂ 一 √ ， Ｃ ＝ ２ ， 因 Ｃ ￡Ａ ３￡ ｃＢ ａ 即 ＡＣ ＋Ａ ＝ Ｐ ，， 以 △Ｂ Ｂ Ｃ 所 ＡＣ是 直角 三角形 ， 过
例 ７ 已知 ｃ ｂ， ￡ ｃ∈ Ｉ ， ｃ＋ ｂ＋ ｃ一 １ 求 且 ￡ ，
证：
＋ 而
＋ 而
＜ ＇． ５ －
√ ２ 一 一３６ ② √ ＋ 一 ２ ・ ２ …， １ ） 、 一 ２
又 ① ＋② 得 ：
例 ６ 已知 ｃ ｂ ｃ∈ Ｒ ， ｃ ｂ ￡， ， ＋ 且 ￡ ＋ｃ一 ２ 求 ＋ ，
： ＋１ ，
＿ ≤ 干 害 ： ｃ １ ＿＋． ３
一
．
≤
．
莩 ， ①
， ② ． ③
当且仅当ｌ 干Ｔ时， 一０ 一 ｎ 时等号取得 ， 又 因为 ｎ∈ Ｒ ， 等号 不 成立 ， ③ 式 同理 等号 ＋故 ②
不 成立．
：
、
．
≤
．
故
１ ・
维普资讯
露 研 解 究 题
例 谈 点 面距 离 的求 法
（ 肃省 高 台县 第一 中学 ７ ４ ０ ） 张彩 霞 甘 ３ ３ ０ 求点 到平 面 的距 离 是 高 考 中 的一 类 常 考 题 型 ， 是立体 几何 学 习 中的一个 难点 内容之 一． 也 现 定 义知 ： 正三棱 锥 的顶 点 在底 面 内的 射 影 是底 面 的 中心 等等 ， 用 这些 结 论 ， 确 地 定位 垂 足 ， 利 准 从 而找 到平 面的垂 线．
一
丽
＜
例谈立体几何最值问题的几种解法
思路探寻立体几何最值问题侧重于考查同学们的空间想象、逻辑推理和数学运算等能力.常见的立体几何最值问题是求立体几何图形中某条线段、某个角、体积、表面积的最值，那么如何求解呢？一、利用函数思想在大多数情况下，我们可以把与动点有关的立体几何问题看作函数问题来求解.以其中某一个量，如动点的坐标、线段的长、角的大小为变量，建立关于该变量的关系式，并将其视为函数式，即可利用一次函数、二次函数、三角函数的性质和图象求得最值.例1.如图1，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为AA1的中点，M在侧面AA1B1B上，若D1M⊥CP，则ΔBCM）.C.5D.2图1图2解：过M作MG⊥平面ABCD，垂足为G，作GH⊥BC于点H，连接MH，以D为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，可得D()0,0,0，C()0,1,0，A()1,0,0，P()1,0,12，D1(0,0,1)，B()1,1,0.设M()1,a,b，则D1M=()1,a,b-1，CP=()1,-1,12，∵D1M⊥CP，∴ D1M⋅ CP=12b-a+12=0，∴b=2a-1，∴CH=1-a，MG=2a-1，∴MH=()1-a2+()2a-12=5a2-6a+2，∴SΔBCM=12BC⋅MH=1=可知当a=35时，ΔBCM面积取最小值，为SΔBCM=12×=故选B.在建立空间直角坐标系后，设出点M的坐标，以a、b为变量，构建关于a的函数式SΔBCM=然后将5a2-6a+2看作二次函数式，对其配方，根据二次函数的性质即可知函数在a=35时取最小值.二、运用基本不等式在解答立体几何最值问题时，我们往往可以先根据立体几何中的性质、定义、定理求得目标式；然后将其进行合理的变形，采用拆项、凑系数、补一次项，去掉常数项等方式，配凑出两式的和或积，就可以直接运用基本不等式来求得最值.在运用基本不等式求最值时，要把握三个条件：一正、二定、三相等.例2.已知三棱锥P-ABC的4个顶点均在球心为O、直径为23的球面上，PA=2，且PA,PB,PC两两垂直.当PC+AB取最大值时，三棱锥O-PAB的体积为（）.A. C.6解：∵PA,PB,PC两两互相垂直，∴三棱锥P-ABC可补全为如图3所示的长方体.则长方体的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球，∴PA2+PB2+PC2=()232=12，又PA=2，∴PB2+PC2=10，∵AB2=PA2+PB2=2+PB2，∴PC2+AB2=2+PB2+PC2=12，∴()PC+AB2-2PC⋅AB=12，又PC⋅AB≤()PC+AB22，∴12=()PC+AB2-2PC⋅AB≥()PC+AB2-2()PC+AB22=12()PC+AB2，当且仅当PC=AB时取等号，∴()PC+AB max=26，此时PC=AB=6，PB=图347思路探寻AB 2-PA 2=2，∴V O -PAB =12V C -PAB =16S △PAB ⋅PC =112PA ⋅PB⋅PC =112×2×2×6故选B.根据长方体的性质得到()PC +AB 2-2PC ⋅AB =10后，可发现该式中含有PC 、AB 的和与积，根据基本不等式a +b ≥2ab 求解，即可得到三棱锥O -PAB 的体积.三、转化法运用转化法求解立体几何最值问题有两种思路.一是将问题转化为平面几何问题.先将几何体的表面展开，或将几何体内部满足条件的某些面展开成平面；再在平面内利用平面几何知识，如正余弦定理、两点间的距离最短、三角形的两边之和大于第三边等求解，这样问题就变得十分直观，容易求解了.另一种思路是根据题意和几何图形中的点、线、面的位置关系，明确其中改变的量和不变的量及其关系，根据简单几何体的性质、表面积公式、体积公式，将问题转化为求某些线段或角的最值.再结合简单几何体的性质，几何图形中点、线、面的位置关系求得最值例3.如图4，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=AB =2，D 在A 1C 上，E 是A 1B 的中点，则()AD +DE 2的最小值是（）.A.6-7 B.27 C.3+7 D.5+7图4图5解：将平面A 1BC 与平面A 1AC 翻折到同一平面上，连接AE ，如图5所示，设AE ⋂A 1C =F ．由题意可知A 1A =AC =BC =2，A 1C =A 1B =22，所以AA 21+AC 2=A 1C 2，所以AA 1⊥AC ，则∠AA 1C =45°，由余弦定理可得cos∠BA 1C =A 1B 2+A 1C 2-BC 22A 1B ⋅A 1C=8+8-42×22×22=34，则sin∠BA 1C =1-cos 2∠BA 1C =故cos∠AA 1B =cos ()∠AA 1C +∠BA 1C =cos ∠AA 1C cos ∠BA 1C -sin ∠AA 1C sin ∠BA 1C =32-148．因为E 是A 1B 的中点，所以A 1E =2，由余弦定理可得AE 2=AA 21+A 1E 2-2AA 1⋅A 1E cos∠BA 1A=4+2-2×2×2×32-148=3+7．因为D 在A 1C 上，所以AD +DE ≥AE ，当A 、E 、D 三点共线时，等号成立，则()AD +DE 2≥3+7.故选C .将平面A 1BC 与平面A 1AC 翻折到同一平面上，就可以把立体几何问题转化为平面几何问题，即可根据勾股定理和余弦定理求得A 1E 以及AE 的值.分析图形可知当A 、E 、D 三点共线时，AD +DE 取得最大值，再结合余弦定理求解即可.例4.已知球O 的表面积为60π，四面体P -ABC 内接于球O ，ΔABC 是边长为6的正三角形，平面PBC ⊥平面ABC ，则四面体P -ABC 体积的最大值为（）.A.18B.27C.32D.81解：因为球O 的表面积为60π，所以球的半径R ==15，由题意知四面体P -ABC 底面三角形的面积为定值，要使四面体的体积最大，只须使顶点P 到底面的距离最大，又因为平面PBC ⊥平面ABC ，所以当PB =PC 时，点P 到底面的距离最大，而ΔABC 外接圆的半径r =62sin60°=23，则O 到面ABC 的距离为d =R 2-r 2=3，且O 到面PBC 的距离为h =12r =3，设点P 到平面ABC 的距离为H ，则R 2=()H -d 2+h 2，解得H =33，此时体积最大值为V max =13×12×6×6×sin60°×33=27.故选B.解答本题，首先根据球的表面积求得球的半径；再根据题意和几何体的特征明确当PB =PC 时，点P 到底面的距离最大；最后根据外接圆的性质、勾股定理求出点P 到底面的距离，即可求出最大值.除了上述三种方法外，有时还可采用定义法、构造法来求立体几何最值问题的答案.总之，同学们在解题时，要先根据题意和几何体的结构特征寻找取得最值的情形，求得目标式；然后根据目标式的特征，选用合适的方法求最值.（作者单位：贵州省江口中学）48。
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例谈点面距离的求法
求点到平面的距离是高考中的一类常考题型，也是立体几何学习中的一个难点内容之一．现举例说明求点面距离的一些常用方法：
1 定义法
由定义点到平面的距离是指点到平面的垂线段的长，因此找或作平面的垂线就成了关键．
1.1 记住特殊图形里特殊点的射影位置找平面的垂线
四面体P-ABC中，若PA=PB=PC，则点P在厶ABC内的射影ABC 的外心；若侧棱与底面所成的角相等，则点P在厶ABC内的射影为△ ABC的外心；若P到厶ABC的三边的距离相等，则点P在厶ABC内的射影为△ ABC的内心或旁心；若每个侧面与底面所成的二面角相等，则点P在厶ABC内的射影为△ ABC的内心；若对棱相互垂直，则点P 在厶ABC内的射影为△ ABC的垂心；若三条侧棱两两互相垂直，则点P在厶ABC内的射影为△ ABC的垂心；由正三棱锥的定义知：正三棱锥的顶点在底面内的射影是底面的中心等等，利用这些结论，准确地定位垂足，从而找到平面的
垂线．
注：用向量法求点到平面a的距离是过平面a内的任一
点与该点所构造的向量在法向量n 方向上投影的绝对值，而非过该点的任一向量在法向量n 方向上投影的绝对值．
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