2019届一轮复习人教A版(文科数学) 第14章 推理与证明 课件
高考数学一轮复习 11.3 推理与证明精品课件 理 新人教A版
AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=BC·DC.
∴
1 AD2
=
1 =
BD·DC
BC2 BD·BC·DC·BC
=
BC2 AB2 ·AC2
.
又BC2=AB2+AC2,
∴
1 AD 2
=
AB2 + AC2 AB2 ·AC2
11 = AB2 + AC2 .
∴
1 AD2
=
1 AB 2
+
1 AC2
.
猜想：类比AB⊥AC,AD⊥BC猜想四面体ABCD中，
≥(a + 1 + a
2)2 .
即
a2
+
1 a2
+4
a2
+
1 a2
+4
≥a 2
+2+
1 a2
+2
1 2(a + ) + 2
a
从而只要证 2
a2
+
1 a2
≥
1 2(a + )
a
只要证
4(a 2
+
1 a2
)
≥2(a 2
+2+
1 a2
)
即
a2
+
1 a2
≥2,而上述不等式显然成立,
故原不等式成立.
【评析】分析法是数学中常用到的一种直接证明 方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论 到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明 的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分 条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题 (定义、公理、 定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题 得证.
21高考数学文科全国一轮复习考点考法精练：第十四章 推理与证明 含解析
第十四章推理与证明1.[2020安徽省示范高中名校联考]某校高一年级组织五个班的学生参加学农活动,每班从“农耕”“采摘”“酿酒”“野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践,且各班的选择互不相同.已知1班既不选“农耕”,也不选“采摘”;2班既不选“农耕”,也不选“酿酒”;3班既不选“野炊”,也不选“农耕”;5班选择“采摘”或“酿酒”;如果1班不选“酿酒”,那么4班不选“农耕”.则选择“饲养”的班级是()A.2班B.3班C.4班D.5班2.[2019安徽安庆模拟]观察图14 - 1中各正方形图案,记第n个图案中圆点的总数为S n.图14 - 1按此规律推出S n与n的关系式为()A.S n=2nB.S n=4nC.S n=2nD.S n=4n - 43.[2019厦门一中高三模拟]用反证法证明命题“若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈Z)有有理根,那么当a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是()A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c至多有一个偶数D.假设a,b,c至多有两个偶数4.[2019重庆七校联考]某市为了缓解交通压力,实行机动车辆限行政策,每辆机动车每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日)不限行.某公司有A,B,C,D,E五辆车,每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E车周四限行,B车昨天限行,从今天算起,A,C两车连续四天都能上路行驶,E车明天可以上路,由此可知下列推测一定正确的是() A.今天是周四 B.今天是周六C.A车周三限行D.C车周五限行5.[2019安徽示范高中高三测试]两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位分布示意图如图14 - 2所示,则下列座位号码符合要求的可以是()窗口12过道345窗口678910 1112131415……………图14 - 2A.25,26B.33,34C.64,65D.72,736.[2019辽宁模拟]在平面几何中,与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有四个.类似地,在立体几何中,与正四面体的四个面所在平面的距离相等的点() A.有且只有一个 B.有且只有三个C.有且只有四个D.有且只有五个7.[2020陕西高三摸底]甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试,当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时,甲说:“丙或丁申请了.”乙说:“丙申请了.”丙说:“甲和丁都没有申请.”丁说:“乙申请了.”如果这四位同学中只有两人说的是对的,那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是.8.[2019惠州市一调]已知数列{a n}是公差不为0的等差数列,对任意大于2的正整数n,记集合{x|x=a i+a j,i∈N,j∈N,1≤i<j≤n}的元素个数为c n,把{c n}的各项摆成如图14 - 3所示的三角形数阵,则数阵中第17行由左向右数第10个数为.c3c4c5c6c7c8c9c10c11c12……图14 - 39.[2020江西省红色七校第一次联考]我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是一种寻找精确分数来表示天文数据或数学常数的内插法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba 和dc(a,b,c,d∈N*),则b+da+c是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道e=2.718 28…,若令135<e<145,则第一次用“调日法”后可得2710是e的更为精确的不足近似值,即27 10<e<145.若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得e的更为精确的近似值为()A.10940B.197C.6825D.1676010.[2020陕西省百校第一次联考]在一次考试后,为了分析成绩,从1,2,3班中抽取了三名同学(每班一人),记这三名同学分别为A,B,C,已知来自2班的同学比B的成绩低,A与来自2班的同学的成绩不同,C的成绩比来自3班的同学的成绩高.下列推断正确的为()A.A来自1班B.B来自1班C.C来自3班D.A来自2班11.[2020陕西省部分学校摸底检测]我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”通过圆内接正多边形割圆,并使正多边形的面积无限接近圆的面积,进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n边形逼近圆,算得圆周率的近似值记为πn,那么用圆的内接正2n边形逼近圆,算得圆周率的近似值π2n可表示成()A.πncos180°n B.πncos360°nC.πnsin360°nD.πncos90°n12.[2020南昌市测试]自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在,如开关的开和关、电路的通和断等,非常适合表示计算机中的数,所以现在使用的计算机设计为二进制计算机.二进制以2为基数,只用0和1两个数码表示数,逢2进1,二进制数同十进制数遵循一样的运算规则,它们可以相互转化,如521(10)=1×29+0×28+0×27+0×26+0×25+0×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1 000 001 001(2).我国数学史上,对数制的研究不乏其人,清代汪莱的《参两算经》系统论述了非十进制数,十进制数与八进制数的对应转化如下:49(10)=61(8),42(10)=52(8),35(10)=43(8),….类比二进制与十进制转化的运算,数1 010 011 100(2)对应的八进制数为 ( ) A .446(8) B .1 134(8) C .1 234(8) D .4 321(8)13.[2019江西红色七校第一次联考][数学文化题]意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,则a 2 017a 2 019 - a 2 0182等于( )A.1B. - 1C.2 017D. - 2 01714.[2019三湘名校联考][数学文化题]中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如下表:表示一个多位数时,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推,例如6 613用算筹表示就是,则5 288用算筹可表示为 .15.[2019湖南四校联考][数学文化题]我国古代十部著名的数学著作《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《海岛算经》《五经算术》《缀术》《缉古算经》,被称为《算经十书》.某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣.一天,他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话,甲:“乙阅读的本数比丁少.”乙:“甲阅读的本数比丙多.”丙:“我阅读的本数比丁多.”丁:“丙阅读的本数比乙多.”有趣的是,他们说的这些话中,只有一个人说的是真实的,而这个人正是他们四个人中阅读的本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读的本数各不相同).甲、乙、丙、丁按各人阅读的本数由少到多的排列是 .16.已知函数f (x )满足f (1)=12,且对任意的x ,y ∈R 恒有2f (x+y 2)f (x - y 2)=f (x )+f (y ),则f (2 018)+f (2019)= .17.设{a n }和{b n }是两个等差数列,记c n =max {b 1 - na 1,b 2 - na 2,…,b n - na n }(n =1,2,3,…),其中max {x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数.(1)若a n=n,b n=2n - 1,求c1,c2,c3的值,并证明{c n}是等差数列.>M;或者存在正整数m,使得(2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,c nnc m,c m+1,c m+2,…是等差数列.第十四章推理与证明1.B解法一由题意可知五个班级和五项活动一一对应,作出如下表格(不选的活动项目打“✕”,选择的活动项目打“√”),当5班选“采摘”时,4班选“农耕”,根据“如果1班不选’酿酒’,那么4班不选’农耕’”,得1班选“酿酒”,再根据五个班级和五项活动一一对应,易得选“饲养”的是3班.农耕采摘酿酒野炊饲养1班✕✕√2班✕✕√3班✕✕√4班√5班√当5班选“酿酒”时,4班选“农耕”,根据“如果1班不选’酿酒’,那么4班不选’农耕’”,得1班选“酿酒”,则1班和5班都选“酿酒”,与题意矛盾,舍去这种情况.综上可知,选B.解法二由题意知,1班、2班、3班、5班均不选“农耕”,所以4班选“农耕”,根据“如果1班不选’酿酒’,那么4班不选’农耕’”,得1班选“酿酒”,则5班选“采摘”,又3班不选“野炊”,所以2班选“野炊”,3班选“饲养”.故选B.2.B第一个图案中圆点的总数S1=4;第二个图案中圆点的总数S2=8;第三个图案中圆点的总数S3=12.4.A在限行政策下,要保证每天至少有四辆车可以上路行驶,周一到周五每天只能有一辆车限行.由周末不限行,B车昨天限行知,今天不是周一,也不是周日;由E车周四限行且明天可以上路可知,今天不是周三;由E车周四限行,B车昨天限行知,今天不是周五;从今天算起,A,C两车连续四天都能上路行驶,如果今天是周二,A,C两车连续行驶到周五,只能同时在周一限行,不符合题意;如果今天是周六,则B车周五限行,A,C两车连续行驶到周二,只能同时在周三限行,因此33号、34号、72号与73号都不是靠窗的座位号,所以选项B和D均不符合要求;25号与65号都是靠右窗的座位号码,但25号、26号是不相邻的,64号与65号是相邻的,故选C . 6.D 如图D 14 - 1所示,与△ABC 的三条边所在直线的距离相等的点为O 1,O 2,O 3,O 4,其中O 1是△ABC 的内切圆的圆心,O 2是与AC ,AB 的延长线和线段BC 都相切的圆的圆心,O 3是与CA ,CB 的延长线和线段AB 都相切的圆的圆心,O 4是与BC ,BA 的延长线和线段AC 都相切的圆的圆心.类似地,如图D 14 - 2所示,正四面体P - ABC 的内切球的球心到四个面所在平面的距离相等,将正四面体P - ABC 延拓为正四面体P - DEF ,在所得三棱台ABC - DEF 内存在一个球,其球心到平面ABC ,平面PDE ,平面PEF ,平面PDF 的距离相等.同理,分别将四面体A - PBC ,B - PAC ,C - PAB 进行延拓均可得到一个满足题意的点,因此满足题意的点有且只有五个,故选D .学是乙,则甲、乙两人说的是错的,丙、丁两人说的是对的,满足题意.(3)如果申请的同学是丙,则甲、乙、丙三人说的是对的,不满足题意.(4)如果申请的同学是丁,则只有甲说的是对的,不满足题意.小值1,当i =n - 1,j =n 时,i +j - 2取最大值2n - 3,易知i +j - 2可取遍1,2,3,…,2n - 3,即c n =2n - 3(n ≥3).数阵中前16行的数共有1+2+3+…+16=136(个),所以第17行由左向右数第10个数为c 148=2×148 - 3=293.9.B 第一次用“调日法”后得2710,即2710<e<145;第二次用“调日法”后得4115,即2710<e<4115;第三次用“调日法”后得6825,即2710<e<6825;第四次用“调日法”后得9535=197,故选B .10.B 依题意得知,B 不来自2班,A 不来自2班,因此C 来自2班.又B 的成绩比来自2班的同学的成绩高,C 的成绩比来自3班的同学的成绩高,所以B 不能来自3班,只能来自1班,所以A 来自3班,故选B.11.A 设圆的半径为R ,由题意得n 2R 2sin 360°n=πn R 2,所以n =2πnsin360°n,又2n ×12R 2sin 360°2n =π2n R 2, 所以π2n =2πnsin360°nsin180°n=πn cos180°n,故选A .12.C 1 010 011 100(2)=1×29+1×27+1×24+1×23+1×22=668(10),668(10)=1×83+2×82+3×81+4×80=1 234(8).故选C .13.A 因为a 1a 3 - a 22=1×2 - 12=1,a 2a 4 - a 32=1×3 - 22= - 1,a 3a 5 - a 42=2×5 - 32=1,a 4a 6 - a 52=3×8 - 52= - 1,…,由此可知a n a n +2 - a n+12=( - 1)n +1,所以a 2 017a 2 019 - a 2 0182=( - 1)2 017+1=1,故选A .14. 根据题意知,5 288用算筹表示,从左到右依次是横式的5,纵式的2,横式的8,纵式的8,即.15.甲丙乙丁 由题意可列表如下:甲 乙 丙 丁 甲 丁>乙说乙说 甲>丙 丙说 丙>丁 丁说丙>乙若甲说的是真实的,则甲阅读的本数最少,可得四人阅读的本数由少到多的排列是甲丙乙丁;若乙说的是真实的,则乙阅读的本数最少,与丁<乙,丙<乙矛盾,不符合题意;若丙说的是真实的,则丙阅读的本数最少,与丙>丁,甲<丙矛盾,不符合题意;若丁说的是真实的,则丁阅读的本数最少,与丙<丁矛盾,不符合题意.综上,甲说的是真实的,甲、乙、丙、丁按各人阅读的本数由少到多的排列是甲丙乙丁. 16. - 32 在2f (x+y 2)f (x - y 2)=f (x )+f (y )中,令x =y =1,得2f (1)f (0)=2f (1),即2f (1)[f (0) - 1]=0,将f (1)=12代入解得f (0)=1; 在2f (x+y 2)f (x - y 2)=f (x )+f (y )中,令x =2,y =0,得2f (1)f (1)=f (2)+f (0),代入解得f (2)= - 12;在2f (x+y 2)f (x - y 2)=f (x )+f (y )中,令x =3,y =1,得2f (2)f (1)=f (3)+f (1),代入解得f (3)= - 1; 在2f (x+y 2)f (x - y 2)=f (x )+f (y )中,令x =4,y =2,得2f (3)f (1)=f (4)+f (2),代入解得f (4)= - 12; 在2f (x+y 2)f (x - y 2)=f (x )+f (y )中,令x =5,y =1,得2f (3)f (2)=f (5)+f (1),代入解得f (5)=12; 在2f (x+y 2)f (x - y 2)=f (x )+f (y )中,令x =6,y =2,得2f (4)f (2)=f (6)+f (2),代入解得f (6)=1; 在2f (x+y 2)f (x - y 2)=f (x )+f (y )中,令x =7,y =1,得2f (4)f (3)=f (7)+f (1),代入解得f (7)=12; 在2f (x+y 2)f (x - y 2)=f (x )+f (y )中,令x =8,y =2,得2f (5)f (3)=f (8)+f (2),代入解得f (8)= - 12;……由此可知,函数f (x )是最小正周期为6的周期函数, 所以f (2 018)=f (6×336+2)=f (2)= - 12,f (2 019)=f (6×336+3)=f (3)= - 1, 所以f (2 018)+f (2 019)= - 32.17.(1)由题意得,c 1=b 1 - a 1=1 - 1=0,c 2=max {b 1 - 2a 1,b 2 - 2a 2}=max {1 - 2×1,3 - 2×2}= - 1,c 3=max {b 1 - 3a 1,b 2 - 3a 2,b 3 - 3a 3}=max {1 - 3×1,3 - 3×2,5 - 3×3}= - 2.当n ≥3时,(b k +1 - na k +1) - (b k - na k )=(b k +1 - b k ) - n (a k +1 - a k )=2 - n <0(k ∈N *且k ∈[1,n - 1]),所以c n =max {b 1 - na 1,b 2 - na 2,…,b n - na n }=b 1 - na 1=1 - n. 所以对任意的n ≥1,c n =1 - n ,于是c n +1 - c n = - 1, 所以{c n }是等差数列.(2)设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1,d 2,则 b t - na t =b 1+(t - 1)d 2 - [a 1+(t - 1)d 1]n=b 1 - na 1+(d 2 - nd 1)(t - 1)(t ∈N *且t ∈[1,n ]),所以c n ={b 1 - na 1+(n - 1)(d 2 - nd 1),d 2>nd 1,b 1 - na 1,d 2≤nd 1.①当d 1>0时,取正整数m >d2d 1,则当n ≥m 时,nd 1>d 2,因此c n =b 1 - na 1.此时,c m ,c m +1,c m +2,…是等差数列. ②当d 1=0时,对任意的n ≥1,c n =b 1 - na 1+(n - 1)max {d 2,0}=b 1 - a 1+(n - 1)(max {d 2,0} - a 1).此时,c1,c2,c3,…,c n是等差数列.③当d1<0时,当n>d2d1时,有nd1<d2,所以c nn =b1- na1+(n - 1)(d2- nd1)n= - nd1+d1 - a1+d2+b1- d2n≥ - nd1+d1 - a1+d2 - |b1 - d2|.对任意正数M,取正整数m>max{M+|b1- d2|+a1- d1- d2- d1,d2d1},则当n≥m时,c nn>M.综上,或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,c nn>m;或者存在正整数m,使得c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.。
【数学】2019届一轮复习人教A版（文）12.2推理与证明、算法、复数学案
12.2 直接证明与间接证明最新考纲考情考向分析1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．2.了解反证法的思考过程和特点. 本节主要内容是直接证明的方法——综合法和分析法，间接证明的方法——反证法，它常以立体几何中的证明及相关选修内容中平面几何，不等式的证明为载体加以考查，注意提高分析问题、解决问题的能力；在高考中主要以解答题的形式考查，难度中档.1．直接证明(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论)．③思维过程：执果索因．2．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( × ) (3)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”．( × ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( × )(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( √ )(6)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．( √ )题组二 教材改编2．[P89T2]若P ＝a ＋6＋a ＋7，Q ＝a ＋8＋a ＋5(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定答案 A解析 P 2＝2a ＋13＋2a 2＋13a ＋42，Q 2＝2a ＋13＋2a 2＋13a ＋40，∴P 2>Q 2，又∵P >0，Q >0，∴P >Q .3．[P91B 组T2]设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，则a x ＋cy 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 B解析 由题意，得x ＝a ＋b 2，y ＝b ＋c2，b 2＝ac ，∴xy ＝(a ＋b )(b ＋c )4，a x ＋c y ＝ay ＋cxxy ＝a ·b ＋c 2＋c ·a ＋b 2xy ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )2xy ＝ab ＋bc ＋2ac 2xy＝ab ＋bc ＋ac ＋b 22xy ＝(a ＋b )(b ＋c )2xy ＝(a ＋b )(b ＋c )2×(a ＋b )(b ＋c )4＝2.题组三 易错自纠4．若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2<bc 2 B ．a 2>ab >b 2 C.1a <1b D.b a >a b答案 B解析 a 2－ab ＝a (a －b )，∵a <b <0，∴a －b <0，∴a 2－ab >0， ∴a 2>ab .①又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，② 由①②得a 2>ab >b 2.5．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要作的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案 A解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故选A. 6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________三角形． 答案 等边解析 由题意得2B ＝A ＋C ，∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，又b 2＝ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3，∴△ABC 为等边三角形．题型一 综合法的应用1．已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定答案 B 解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m， b ＝m －m －1＝1m ＋m －1. 而m ＋1＋m >m ＋m －1>0(m >1)， ∴1m ＋1＋m <1m ＋m －1，即a <b . 2．(2018·大庆质检)如果a a ＋b b >a b ＋b a 成立，则a ，b 应满足的条件是__________________________． 答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b 解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a ) ＝a (a －b )＋b (b －a ) ＝(a －b )(a －b ) ＝(a －b )2(a ＋b )．∴当a ≥0，b ≥0且a ≠b 时，(a －b )2(a ＋b )>0. ∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b . 3．(2018·武汉月考)若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c . 证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0.由于a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴上述三个不等式中等号不能同时成立， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc >0成立．上式两边同时取常用对数，得 lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg abc ， ∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c .思维升华 (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．题型二 分析法的应用典例(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.证明 要证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22， 即证明12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22，只需证明12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>tan x 1＋x 22，只需证明sin (x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2).由于x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π)． 所以cos x 1cos x 2>0，sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0，故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2， 即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2， 即证cos(x 1－x 2)<1.由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 1≠x 2知上式显然成立， 因此12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 引申探究若本例中f (x )变为f (x )＝3x－2x ，试证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f (x 1)＋f (x 2)2≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 证明 要证明f (x 1)＋f (x 2)2≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22， 即证明121212122(32)(32)3222x x x x x x x x +-+-+-⋅，≥ 因此只要证明12122121233()3(),2x x x x x x x x ++-+-+≥即证明12122333,2x x x x ++≥因此只要证明12332x x +由于当x 1，x 2∈R 时，1230,30xx>>，由基本不等式知12332x x +显然成立，当且仅当x 1＝x 2时，等号成立．故原结论成立．思维升华 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证． 跟踪训练已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.证明 由a ⊥b 得，a·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤2，只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a·b ＋b 2)， 只需证|a |2＋2|a||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2， 只需证|a |2＋|b |2－2|a||b |≥0， 即(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．题型三 反证法的应用命题点1 证明否定性命题典例设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列． (1)解 设{a n }的前n 项和为S n ，则 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n)1－q ，q ≠1.(2)证明 假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n＋1}不是等比数列．命题点2 证明存在性命题典例已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明由已知得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴SA⊥平面ABCD.(2)解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．∴不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.命题点3 证明唯一性命题典例(2018·宜昌模拟)已知M是由满足下列条件的函数构成的集合：对任意f(x)∈M，①方程f (x )－x ＝0有实数根；②函数f (x )的导数f ′(x )满足0<f ′(x )<1.(1)判断函数f (x )＝x 2＋sin x4是不是集合M 中的元素，并说明理由；(2)集合M 中的元素f (x )具有下面的性质：若f (x )的定义域为D ，则对于任意[m ，n ]⊆D ，都存在x 0∈(m ，n )，使得等式f (n )－f (m )＝(n －m )f ′(x 0)成立．试用这一性质证明：方程f (x )－x ＝0有且只有一个实数根．(1)解 ①当x ＝0时，f (0)＝0，所以方程f (x )－x ＝0有实数根0； ②f ′(x )＝12＋cos x4，所以f ′(x )∈⎣⎡⎦⎤14，34，满足条件0<f ′(x )<1. 由①②可得，函数f (x )＝x 2＋sin x 4是集合M 中的元素．(2)证明 假设方程f (x )－x ＝0存在两个实数根α，β (α≠β)，则f (α)－α＝0，f (β)－β＝0. 不妨设α<β，根据题意存在c ∈(α，β)， 满足f (β)－f (α)＝(β－α)f ′(c )．因为f (α)＝α，f (β)＝β，且α≠β，所以f ′(c )＝1. 与已知0<f ′(x )<1矛盾． 又f (x )－x ＝0有实数根，所以方程f (x )－x ＝0有且只有一个实数根．思维升华应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤： 第一步：分清命题“p ⇒q ”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q 相反的假设綈q ；第三步：由p 和綈q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q 不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p ⇒q 为真．所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果．跟踪训练若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a <b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值；(2)是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ， 即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b >1，所以b ＝3.(2)假设存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数，因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有⎩⎪⎨⎪⎧h (a )＝b ，h (b )＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．反证法在证明题中的应用典例(12分)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．思想方法指导在证明否定性命题，存在性命题，唯一性命题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意：(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的．(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法．(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去．规范解答(1)解 因为四边形OABC 为菱形，则AC 与OB 相互垂直平分．由于O (0,0)，B (0,1)，所以设点A ⎝⎛⎭⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，则t ＝±3，故|AC |＝2 3.[4分](2)证明 假设四边形OABC 为菱形，因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.[6分]设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km1＋4k 2，m 1＋4k 2.[8分]因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k ，因为k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1，所以AC 与OB 不垂直．[10分]所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 在W 上且不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．[12分]1．(2017·绵阳周测)设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则下列关于t 和s 的大小关系中正确的是()A．t>s B．t≥s C．t<s D．t≤s答案D解析s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t，故选D.2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac<3 a”索的因应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案C解析由题意知b2－ac<3a⇐b2－ac<3a2⇐(a＋c)2－ac<3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇐－2a2＋ac＋c2<0⇐2a2－ac－c2>0⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.3．(2018·太原模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负答案A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.4．①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②若a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( ) A．①与②的假设都错误B．①的假设正确；②的假设错误C．①与②的假设都正确D．①的假设错误；②的假设正确答案 D解析 对于①，结论的否定是p ＋q >2，故①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D.5．(2017·上饶质检)设x ，y ， >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y( ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2答案 C解析 因为⎝⎛⎭⎫y x ＋y z ＋⎝⎛⎭⎫z x ＋z y ＋⎝⎛⎭⎫x z ＋x y＝⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ＋⎝⎛⎭⎫y z ＋z y ＋⎝⎛⎭⎫z x ＋x z ≥6，当且仅当x ＝y ＝ 时等号成立．所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.6．(2018·济宁模拟)设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．②③B ．①②③C ．③D ．③④⑤答案 C解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1， 但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，下面用反证法证明：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.7．(2018届湖南益阳桃江一中月考)用反证法证明“若x ＋y ≤0，则x ≤0或y ≤0”时，应假设______________．答案 x >0且y >08．(2018·邢台调研)6＋7与22＋5的大小关系为______________．答案 6＋7>22＋ 5解析 要比较6＋7与22＋5的大小，只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小，只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小， 只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴6＋7>22＋ 5.9．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系____________．答案 c n ＋1<c n解析 由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n， 则c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1<c n .10．(2017·武汉联考)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．答案 ①③解析 ① ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β， 又∵m ⊂β，∴l ⊥m ，①正确；② ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα⊥β⇒l ∥β或l ⊂β， ∴l ，m 平行、相交、异面都有可能，故②错误；③⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α， 又m ⊂β，∴β⊥α，故③正确；④ ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ⊥m ⇒m ⊂α或m ∥α. 又m ⊂β，∴α，β可能相交或平行，故④错误．11．(2017·东北三省三校模拟)已知a ，b ，c >0，a ＋b ＋c ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≤3；(2)13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝(a ＋b ＋c )＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤(a ＋b ＋c )＋(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )＝3， ∴a ＋b ＋c ≤3(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)．(2)∵a >0，∴3a ＋1>0，∴43a ＋1＋(3a ＋1)≥243a ＋1(3a ＋1)＝4， ∴43a ＋1≥3－3a ⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝13时，取等号， 同理得43b ＋1≥3－3b ，43c ＋1≥3－3c ， 以上三式相加得4⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥9－3(a ＋b ＋c )＝6， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)． 12．(2017·北京)设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }(n ＝1,2,3，…)，其中max{x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．(1)若a n ＝n ，b n ＝2n －1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，c n n>M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列．(1)解 c 1＝b 1－a 1＝1－1＝0，c 2＝max{b 1－2a 1，b 2－2a 2}＝max{1－2×1,3－2×2}＝－1，c 3＝max{b 1－3a 1，b 2－3a 2，b 3－3a 3}＝max{1－3×1,3－3×2,5－3×3}＝－2.当n ≥3时，(b k ＋1－na k ＋1)－(b k －na k )＝(b k ＋1－b k )－n (a k ＋1－a k )＝2－n ＜0，所以b k －na k 在k ∈N *上单调递减．所以c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }＝b 1－a 1n ＝1－n .所以对任意n ≥1，c n ＝1－n ，于是c n ＋1－c n ＝－1，所以{c n }是等差数列．(2)证明 设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1，d 2，则b k －na k ＝b 1＋(k －1)d 2－[a 1＋(k －1)d 1]n＝b 1－a 1n ＋(d 2－nd 1)(k －1)．所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)，d 2＞nd 1，b 1－a 1n ，d 2≤nd 1.①当d 1＞0时，取正整数m ＞d 2d 1，则当n ≥m 时，nd 1＞d 2， 因此，c n ＝b 1－a 1n ，此时，c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列．②当d 1＝0时，对任意n ≥1，c n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)max{d 2,0}＝b 1－a 1＋(n －1)(max{d 2,0}－a 1)．此时，c 1，c 2，c 3，…，c n ，…是等差数列．③当d 1＜0时，当n ＞d 2d 1时，有nd 1＜d 2， 所以c n n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)n＝n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2＋b 1－d 2n≥n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2－|b 1－d 2|.对任意正数M ，取正整数m ＞max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫M ＋|b 1－d 2|＋a 1－d 1－d 2－d 1，d 2d 1， 故当n ≥m 时，c n n＞M .13．(2018·长春模拟)若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析 若二次函数f (x )≤0在区间[－1,1]内恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝－2p 2＋p ＋1≤0，f (1)＝－2p 2－3p ＋9≤0， 解得p ≤－3或p ≥32， 故满足题干要求的p 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－3，32. 14．设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy . 证明 由于x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ， 只需证xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)．因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．15．(2018·海口调研)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明 (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0.∵a >1，∴211x x a >－且10x a >，21121(1)0.x x x x x a a a a ∴>－－＝－又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0. 于是f (x 2)－f (x 1)＝21x x a a －＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则0x a ＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<0xa <1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1， 即12<x 0<2，与假设x 0<0相矛盾， 故方程f (x )＝0没有负数根．16．(2017·江苏)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”．(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列． 证明 (1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而，当n ≥4时， a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1,2,3，所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ， 因此等差数列{a n }是“P (3)数列”．(2)数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，因此， 当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ，① 当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3 ＝6a n .②由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③ a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4， 所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d ′. 在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4， 所以a 2＝a 3－d ′，在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3， 所以a 1＝a 3－2d ′，所以数列{a n}是等差数列．。
2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：第十二章 推理与证明、算法、复数12.1
§12.1 合情推理与演绎推理最新考纲考情考向分析1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中、高档题.1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √ )(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × )(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．( × )(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( × )题组二 教材改编2．[P71例1]已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是( )A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1答案 C解析 a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a n＝n2.3．[P84A组T5]在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________________．答案 b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)解析 利用类比推理，借助等比数列的性质，29b＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．题组三 易错自纠4．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确 B ．大前提不正确C ．小前提不正确 D ．全不正确答案 C解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．5．(2017·济南调研)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．则正确的结论是________．(填序号)答案 ①④解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．6．(2017·河南三市联考)设n 为正整数，f (n )＝1＋＋＋…＋，计算得f (2)＝，f (4)>2，f (8)>12131n 32，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为____________．52答案 f (2n )≥(n ∈N *)n ＋22解析 ∵f (2)＝f (21)＝＝，f (4)＝f (22)>2＝＝，f (8)＝f (23)>＝，321＋22422＋22523＋22f (16)＝f (24)>3＝＝，624＋22∴归纳得f (2n )≥(n ∈N *).n ＋22题型一 归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理典例 观察下列等式：1－＝，12121－＋－＝＋，12131413141－＋－＋－＝＋＋，1213141516141516…，据此规律，第n 个等式可为___________________________________________．答案 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋12131412n －112n 1n ＋11n ＋212n 解析 等式左边为1－＋－＋…＋－；12131412n －112n 右边的每个式子的第一项为，共有n 项，1n ＋1故为＋＋…＋.1n ＋11n ＋21n ＋n 命题点2 与不等式有关的推理典例 (2017·济宁模拟)已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式：≥；a 1＋a 22a 1a 2≥；a 1＋a 2＋a 333a 1a 2a 3≥；a 1＋a 2＋a 3＋a 444a 1a 2a 3a 4…；照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，≥______.a 1＋a 2＋…＋ann答案 na 1a 2…an解析 根据题意得≥(n ∈N *，n ≥2)．a 1＋a 2＋…＋annna 1a 2…an 命题点3 与数列有关的推理典例 (2017·湖北七市教科研协作体联考)观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)；121＋3＋6＋…＋n (n ＋1)＝n (n ＋1)(n ＋2)；12161＋4＋10＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)；16124…；可以推测，1＋5＋15＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝____________________.124答案 n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *)1120解析 根据式子中的规律可知，等式右侧为n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)15×4×3×2×1＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) (n ∈N *)．1120命题点4 与图形变化有关的推理典例(2017·大连调研)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55答案 D解析 由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．跟踪训练 (1)将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是( )答案 A解析 从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2 017也是箭头垂直指下，之后2 017→2 018的箭头是水平向右，故选A.(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6·＝3n 2－3n ＋1，由题意，得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n (n －1)2n ＝8，故共有8层．题型二 类比推理典例 (1)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列为等差数列，公差为.类似{Sn n }d2地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{}的公nTn 比为( )A. B ．q 2q 2C. D.q n q答案 C解析 由题设，得T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b q 1＋2＋…＋(n －1)＝.n1(1)21n n nb q -∴＝，∴等比数列{}的公比为，故选C.nTn 121n b qnTn q (2)在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：＋＋＝1.把它类比到空间，则三棱锥Paha Pbhb Pchc 中的类似结论为______________________．答案 ＋＋＋＝1Paha Pbhb Pchc Pdhd 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：＋＋＋＝1.Paha Pbhb Pchc Pdhd 思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．跟踪训练 (2018·安庆模拟)如图(1)所示，点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1，则＋＋＝1，类比猜想：点O 是空间四面体V —OA 1AA 1OB 1BB 1OC 1CC 1BCD 内的任意一点，如图(2)所示，连接VO ，BO ，CO ，DO 并延长分别交面BCD ，VCD ，VBD ，VBC 于点V 1，B 1，C 1，D 1，则有____________________．答案 ＋＋＋＝1OV 1VV 1OB 1BB 1OC 1CC 1OD 1DD 1解析 利用类比推理，猜想应有＋＋＋＝1.OV 1VV 1OB 1BB 1OC 1CC 1OD 1DD 1用“体积法”证明如下：＋＋＋＝＋＋＋＝＝1.OV 1VV 1OB 1BB 1OC 1CC 1OD 1DD 1VO —BCDVV —BCD VO —VCDVB —VCD VO —VBDVC —VBD VO —VBCVD —VBC VV —BCDVV —BCD 题型三 演绎推理典例 (2018·保定模拟)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝S n (n ∈N *)．证n ＋2n 明：(1)数列是等比数列；{Snn }(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n ，n ＋2n ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)Sn ＋1n ＋1Snn S 11故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论){Snn }(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知＝4·(n ≥2)，Sn ＋1n ＋1Sn －1n －1∴S n ＋1＝4(n ＋1)·＝4··S n －1Sn －1n －1n －1＋2n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练 (1)某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误 D ．非以上错误答案 C解析 因为大前提的形式“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．(2)(2017·全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩答案 D解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.高考中的合情推理问题考点分析合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档．解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比推理问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：①b2 018是数列{a n}的第________项；②b2k－1＝________.(用k表示)(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(ⅰ)T＝{f(x) |x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________．①A ＝N *，B ＝N ；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}；③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R ；④A ＝Z ，B ＝Q .解析 (1)①a n ＝1＋2＋…＋n ＝，n (n ＋1)2b 1＝＝a 4，4×52b 2＝＝a 5，5×62b 3＝＝a 9，9×(2×5)2b 4＝＝a 10，(2×5)×112b 5＝＝a 14，14×(3×5)2b 6＝＝a 15，(3×5)×162…b 2 018＝＝a 5 045.(2 0182×5)(2 0182×5＋1)2②由①知b 2k －1＝(2k －1＋12×5－1)(2k －1＋12×5)2＝.5k (5k －1)2(2)对于①，取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”的，故排除①；对于②，取f (x )＝Error!所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，故排除②；对于③，取f (x )＝tan(0<x <1)，(πx －π2)所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的，故排除③.④不符合，故填④.答案 (1)①5 045 ② (2)④5k (5k －1)21．(2018·衡水模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数答案 B解析 A 中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A 错误；C ，D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以C ，D 都不正确，只有B 正确，故选B.2．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63等于( )A ．192 B ．202C ．212 D ．222答案 C解析 因为13＋23＝32,13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，等式的右端依次为(1＋2)2，(1＋2＋3)2，(1＋2＋3＋4)2，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212，故选C.3．(2017·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁答案 D解析 假设甲猜对，则乙也猜对了，所以假设不成立；假设乙猜对，则甲、丙中必有一人对，所以假设不成立；假设丙猜对，则乙也对，所以假设不成立；假设丁猜对，则甲、乙、丙都错，假设成立．故选D.4．(2017·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，2＋2＋2＋…这可以通过方程＝x 确定出来x ＝2，类似地不难得到1＋等于( )2＋x 11＋11＋…A. B.－5－125－12C.D.1＋521－52答案 C解析 设1＋＝x ，则1＋＝x ，11＋11＋ (1)x 即x 2－x －1＝0，解得x ＝.1＋52(x ＝1－52舍)故1＋＝，故选C.11＋11＋…1＋525．(2017·宜昌一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是( )A ．甲、丙 B ．乙、丁C ．丙、丁 D ．乙、丙答案 D解析 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确，故答案为D.6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b |＝|a|·|b |”；⑥“＝”类比得到“＝”．ac bc a b a·c b·c ab 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ①②正确；③④⑤⑥错误．7．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋≥2，x ＋＝＋＋≥3，x ＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x ＋≥n ＋1(n ∈N *)，1x 4x 2x 2x24x 227x 3x 3x 3x 327x 3axn 则a ＝________.答案 n n解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .8．(2017·重庆模拟)在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{b n }中类似的性质：______________________________.答案 在等比数列{b n }中，若公比为q ，且b 1＝q ，则b m ·b n ＝b m ＋n解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{b n }中，若公比为q ，且b 1＝q ，则b m ·b n ＝b m ＋n .”9．(2017·青岛模拟)若数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)1(n ＋1)2(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝______.答案 n ＋22n ＋2解析 f (1)＝1－a 1＝1－＝，1434f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝＝＝，34(1－19)2346f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝＝，23(1－116)58推测f (n )＝.n ＋22n ＋210．观察下列不等式：1＋<，122321＋＋<，122132531＋＋＋<，12213214274…照此规律，第五个不等式为________________________．答案 1＋＋＋＋＋<122132142152162116解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．故第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.12213214215216211611．(2018·太原模拟)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.求：(1)a 18的值；(2)该数列的前n 项和S n .解 (1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )2322222333nn =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+个＝n ；52当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝(n －1)＋2＝n －.525212综上所述，S n ＝Error!12．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：＝＋，那么在四面体A —1AD 21AB 21AC 2BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解 如图所示，由三角形相似得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC，∴＝1AD 21BD ·DC＝＝.BC 2BD ·BC ·DC ·BC BC 2AB 2·AC 2又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴＝＝＋.1AD 2AB 2＋AC 2AB 2·AC 21AB 21AC 2猜想，四面体A —BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则＝＋＋.1AE 21AB 21AC 21AD 2证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，AC ⊂平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴AB ⊥平面ACD .∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴＝＋.1AE 21AB 21AF 2在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴＝＋，1AF 21AC 21AD 2∴＝＋＋.1AE 21AB 21AC 21AD 213．(2017·佛山一模)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)，如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…，按此规律，8 128可表示为____________．答案 26＋27＋…＋212解析 由题意，如果2n －1是质数，则2n －1(2n －1)是完全数，n ≥2，n ∈N *，∴令n ＝7，可得一个四位完全数为64×(128－1)＝8 128，∴8 128＝26＋27＋ (212)14．(2017·厦门模拟)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明：(1)a >0且－2<<－1；ba (2)方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．证明 (1)因为f (0)>0，f (1)>0，所以c >0,3a ＋2b ＋c >0.由a ＋b ＋c ＝0，消去b 得a >c >0；再由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c 得a ＋b <0且2a ＋b >0，所以－2<<－1.ba (2)因为抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为，(－b 3a ，3ac －b 23a )又因为－2<<－1，ba 所以<－<.13b 3a 23因为f (0)>0，f (1)>0，而f＝＝－(－b 3a )3ac －b 23aa 2＋c 2－ac3a＝－<0，(a －c 2)2＋3c 243a所以方程f (x )＝0在区间与内分别有一个实根，故方程f (x )＝0在(0,1)内有(0，－b 3a )(－b 3a，1)两个实根．15．(2017·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆＋＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何y 2a 2x 2b 2体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积为________．答案 πb 2a43解析 椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积．V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2(π×b 2×a －13π×b 2a)＝πb 2a .4316．(2017·青岛模拟)对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝x 3－x 2＋3x －，请你根据这1312512一发现，(1)求函数f (x )的对称中心；(2)计算f ＋f ＋f ＋f ＋…＋f .(12 017)(22 017)(32 017)(42 017)(2 0162 017)解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝.12f ＝×3－×2＋3×－＝1.(12)13(12)12(12)12512由题中给出的结论，可知函数f (x )＝x 3－x 2＋3x －的对称中心为.1312512(12，1)(2)由(1)知函数f (x )＝x 3－x 2＋3x －的对称中心为，1312512(12，1)所以f ＋f ＝2，(12＋x)(12－x )即f (x )＋f (1－x )＝2.故f ＋f ＝2，(12 017)(2 0162 017)f ＋f ＝2，(22 017)(2 0152 017)f ＋f ＝2，(32 017)(2 0142 017)…，f ＋f ＝2.(2 0162 017)(12 017)所以f ＋f ＋f ＋f ＋…＋f ＝×2×2 016＝2 016.(12 017)(22 017)(32 017)(42 017)(2 0162 017)12。
2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：第十二章 推理与证明、算法、复数12-3 含答案 精品
§12.3算法与程序框图1．算法与程序框图(1)算法①算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．(2)程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．2．三种基本逻辑结构3.算法语句(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能(2)条件语句①程序框图中的条件结构与条件语句相对应．②条件语句的格式a．IF—THEN格式b．IF—THEN—ELSE格式(3)循环语句①程序框图中的循环结构与循环语句相对应．②循环语句的格式a ．UNTIL 语句b ．WHILE 语句题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．( × ) (2)程序框图中的图形符号可以由个人来确定．( × ) (3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．( × )(4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．( √ ) (5)5＝x 是赋值语句．( × )(6)输入语句可以同时给多个变量赋值．( √ )题组二 教材改编2．[P30例8]执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析 按照程序框图依次循环运算，当k ＝5时，停止循环，当k ＝5时，S ＝sin5π6＝12.3．[P25例5]如图为计算y＝|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填．答案x<0?解析输入x应判断x是否大于等于零，由图知判断框应填x<0？.题组三易错自纠4．(2016·全国Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s等于()A．7 B．12 C．17 D．34答案 C解析由框图可知，输入x＝2，n＝2，a＝2，s＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，s＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，s＝12＋5＝17，k＝3，满足条件，输出s＝17，故选C.5．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()A ．s ≤34？B ．s ≤56？C ．s ≤1112？D ．s ≤2524？答案 C解析 由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填“s ≤1112？”．6．运行如图所示的程序框图，若输出的y 值的范围是[0,10]，则输入的x 值的范围是 ．答案 [－7,9]解析 该程序的功能是计算分段函数的值， y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x <－1，x 2，－1≤x ≤1，x ＋1，x >1.当x <－1时，由0≤3－x ≤10可得－7≤x <－1； 当－1≤x ≤1时，0≤x 2≤10恒成立； 当x >1时，由0≤x ＋1≤10可得1<x ≤9. 综上，输入的x 值的范围是[－7,9]．题型一 算法的基本结构1．(2017·厦门质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出y 的值为( )A ．2B ．7C ．8D ．128 答案 C解析 由程序框图知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，9－x ，x <2.∵输入x 的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y 的值为8.2．(2017·全国Ⅲ)执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 假设N ＝2，程序执行过程如下： t ＝1，M ＝100，S ＝0，1≤2，S ＝0＋100＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝2，2≤2，S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝3，3＞2，输出S ＝90＜91.符合题意． ∴N ＝2成立．显然2是N 的最小值． 故选D.3．(2016·全国Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x答案 C解析 执行题中的程序框图，知 第一次进入循环体：x ＝0＋1－12＝0，y ＝1×1＝1， x 2＋y 2<36；第二次执行循环体：n ＝1＋1＝2，x ＝0＋2－12＝12，y ＝2×1＝2，x 2＋y 2<36；第三次执行循环体：n ＝2＋1＝3，x ＝12＋3－12＝32，y ＝3×2＝6，满足x 2＋y 2≥36，故退出循环，输出x ＝32，y ＝6，满足y ＝4x ，故选C.思维升华 (1)高考对算法初步的考查主要是对程序框图含义的理解与运用，重点应放在读懂框图上，尤其是条件结构、循环结构．特别要注意条件结构的条件，对于循环结构要搞清进入或退出循环的条件、循环的次数，是解题的关键． (2)解决程序框图问题要注意几个常用变量：①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1. ②累加变量：用来计算数据之和，如S ＝S ＋i . ③累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .题型二 程序框图的识别与完善命题点1 由程序框图求输出结果典例 (1)(2017·全国Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S 等于( )A．2 B．3 C．4 D．5答案 B解析当K＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝2；当K＝2时，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝3；当K＝3时，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝4；当K＝4时，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝5；当K＝5时，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝6；当K＝6时，S＝－3＋1×6＝3，执行K＝K＋1后，K＝7＞6，输出S＝3.结束循环．故选B.(2)(2017·山东)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为()A．0,0 B．1,1 C．0,1 D．1,0答案 D解析当x＝7时，∵b＝2，∴b2＝4＜7＝x.又7不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.此时b2＝9＞7＝x，∴退出循环，a＝1，∴输出a＝1.当x＝9时，∵b＝2，∴b2＝4＜9＝x.又9不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.此时b2＝9＝x，又9能被3整除，∴退出循环，a＝0.∴输出a＝0.故选D.命题点2完善程序框图典例(2017·全国Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入()A．A>1 000？和n＝n＋1B．A>1 000？和n＝n＋2C．A≤1 000？和n＝n＋1D．A≤1 000？和n＝n＋2答案 D解析因为题目要求的是“满足3n－2n>1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以▭内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当◇内的条件不满足时，输出n，所以◇内填入“A≤1 000？”．故选D.命题点3辨析程序框图的功能典例如果执行如图的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，a N，输出A，B，则()A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 答案 C解析 不妨令N ＝3，a 1<a 2<a 3， 则有k ＝1，x ＝a 1，A ＝a 1，B ＝a 1； k ＝2，x ＝a 2，A ＝a 2； k ＝3，x ＝a 3，A ＝a 3， 故输出A ＝a 3，B ＝a 1，故选C.思维升华 (1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果． (2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．跟踪训练 (2018·唐山模拟)根据下面的程序框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1答案 C解析 由程序框图可知，第一次运行：i ＝1，a 1＝2，S ＝2； 第二次运行：i ＝2，a 2＝4，S ＝4； 第三次运行：i ＝3，a 3＝8，S ＝8； 第四次运行：i ＝4，a 4＝16，S ＝16. 故选C.题型三 基本算法语句典例 (2017·宜春模拟)如图是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2＋4n (n ∈N *)的项，则所得y 值的最小值为( )A ．4B ．9C ．16D ．20答案 C解析 由条件语句，知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <5，5x ，x ≥5.又n 2＋4n ＝n ＋4n ≥4(当且仅当n ＝2时等号成立)，所以当x ＝4时，y 有最小值42＝16.思维升华 解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．跟踪训练 (2018·保定模拟)根据如图所示的语句，可知输出的结果S ＝ .答案 7解析 I ＝1，S ＝1；S ＝1＋2＝3，I ＝1＋3＝4＜8； S ＝3＋2＝5，I ＝4＋3＝7＜8； S ＝5＋2＝7，I ＝7＋3＝10＞8. 退出循环，故输出S ＝7.程序框图中变量的取值典例 执行如图所示的程序框图所表示的程序，则输出的A 等于( )A．2 047 B．2 049 C．1 023 D．1 025现场纠错解析本题计算的是递推数列a0＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝0,1,2，…)的第11项，{a n＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a10＋1＝211，故a10＝2 047.答案 A纠错心得程序框图对计数变量及求和变量取值时，要注意两个变量的先后顺序．1．(2016·全国Ⅲ)执行如图的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n等于()A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析第一次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝6，n＝1；第二次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝10，n＝2；第三次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝16，n＝3；第四次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝20，n＝4，满足题意，结束循环．2．(2016·四川)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v 的值为()A．9 B．18 C．20 D．35答案 B解析初始值n＝3，x＝2，程序运行过程如下：v＝1i＝2v＝1×2＋2＝4i＝1v＝4×2＋1＝9i＝0v＝9×2＋0＝18i＝－1跳出循环，输出v＝18，故选B.3．(2017·天津)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析 第一次循环执行条件语句，此时N ＝24,24能被3整除，则N ＝24÷3＝8. ∵8≤3不成立，∴进入第二次循环执行条件语句，此时N ＝8,8不能被3整除，则N ＝8－1＝7. ∵7≤3不成立，∴进入第三次循环执行条件语句，此时N ＝7,7不能被3整除，则N ＝7－1＝6. ∵6≤3不成立，∴进入第四次循环执行条件语句，此时N ＝6,6能被3整除，则N ＝6÷3＝2. ∵2≤3成立，∴此时输出N ＝2. 故选C.4．(2017·北京)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．2 B.32 C.53 D.85答案 C解析 开始：k ＝0，s ＝1； 第一次循环：k ＝1，s ＝2； 第二次循环：k ＝2，s ＝32；第三次循环：k ＝3，s ＝53，此时不满足循环条件，输出s ，故输出的s 值为53.故选C.5．(2018·南宁质检)已知实数x ∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于121的概率为( )A.34B.58C.78D.12 答案 B解析 由题意可知，当输入x ＝1时，进入循环体，输出x ＝40；当输入x ＝2时，进入循环体，输出x ＝67；当输入x ＝3时，进入循环体，输出x ＝94；当输入x ≥4时，输出的x 均不小于121，因此输出的x 不小于121的概率为58.6．(2018·佛山模拟)如图，若依次输入的x 分别为5π6，π6，相应输出的y 分别为y 1，y 2，则y 1，y 2的大小关系是( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．无法确定答案 C解析 由程序框图可知，当输入的x 为5π6时，sin 5π6>cos 5π6成立，所以输出的y 1＝sin 5π6＝12； 当输入的x 为π6时，sin π6>cos π6不成立，所以输出的y 2＝cos π6＝32，所以y 1<y 2.7．阅读程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11 答案 B解析 i ＝1，S ＝0，第一次循环：S ＝0＋lg 13＝－lg 3>－1；第二次循环：i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5>－1；第三次循环：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；第四次循环：i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；第五次循环：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111＝－lg 11<－1.故输出i ＝9.8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为 ．(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)答案 24解析 n ＝6，S ＝12×6×sin 60°＝332≈2.598<3.1，不满足条件，进入循环；n ＝12，S ＝12×12×sin 30°＝3<3.1，不满足条件，继续循环；n ＝24，S ＝12×24×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6>3.1，满足条件，退出循环，输出n 的值为24.9．(2017·江苏)如图是一个程序框图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是 ．答案 －2解析 输入x ＝116，116≥1不成立，执行y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2.故输出y 的值为－2.10．(2017·安徽江南名校联考)某程序框图如图所示，判断框内为“k ≥n ？”，n 为正整数，若输出的S ＝26，则判断框内的n ＝ .答案 4解析 依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k ＝1＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k ＝2＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k ＝3＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26.因此当输出的S ＝26时，判断框内的条件n ＝4.11．如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 ．答案 3解析 由x 2－4x ＋3≤0，解得1≤x ≤3.当x ＝1时，满足1≤x ≤3，所以x ＝1＋1＝2，n ＝0＋1＝1； 当x ＝2时，满足1≤x ≤3，所以x ＝2＋1＝3，n ＝1＋1＝2； 当x ＝3时，满足1≤x ≤3，所以x ＝3＋1＝4，n ＝2＋1＝3； 当x ＝4时，不满足1≤x ≤3，所以输出n ＝3.12．(2017·西安模拟)执行如图所示的程序框图，如果输出S ＝3，那么判断框内应填入的条件是 ．答案 k ≤7?解析 首次进入循环体，S ＝1×log 23，k ＝3；第二次进入循环体，S ＝lg 3lg 2×lg 4lg 3＝2，k ＝4；依次循环，第六次进入循环体，S ＝3，k ＝8， 此时结束循环，则判断框内填k ≤7？.13．(2018·泉州模拟)下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a 等于( )A ．0B ．2C ．4D ．14 答案 B解析 由题知，若输入a ＝14，b ＝18，则 第一次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝14，b ＝b －a ＝18－14＝4； 第二次执行循环结构时，由a ＞b 知， a ＝a －b ＝14－4＝10，b ＝4； 第三次执行循环结构时，由a ＞b 知， a ＝a －b ＝10－4＝6，b ＝4； 第四次执行循环结构时，由a ＞b 知， a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4；第五次执行循环结构时，由a ＜b 知， a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2；第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束． 故选B.14．阅读下面的程序，当分别输入实数x ＝3和x ＝0时，其输出的结果是 ．答案3－2和0解析 由程序可知，它解决的是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >1，2x ，x ≤1的函数值问题，显然，当x ＝3时，y ＝3－2；当x ＝0时，y ＝0.故输出的结果是3－2和0.15．(2016·山东)执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为 ．答案 3解析 第1次循环：i ＝1，a ＝1，b ＝8，a <b ；第2次循环：i ＝2，a ＝3，b ＝6，a <b ；第3次循环：i ＝3，a ＝6，b ＝3，a >b ，输出i 的值为3.16．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝ .答案 495解析 取a 1＝815，则b 1＝851－158＝693≠815，则a 2＝693；由a 2＝693知b 2＝963－369＝594≠693，则a 3＝594；由a 3＝594知b 3＝954－459＝495≠594，则a 4＝495；由a 4＝495知b 4＝954－459＝495＝a 4，则输出b ＝495.17．(2018·太原模拟)关于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，1<x ≤4，cos x ，－1≤x ≤1的程序框图如图所示，现输入区间[a ，b ]，则输出的区间是 ．答案 [0,1]解析 由程序框图的第一个判断条件为f (x )>0，当f (x )＝cos x ，x ∈[－1,1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f ′(x )＝－sin x ≤0，即0≤x ≤1.故输出区间为[0,1]．18．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为 ．答案 2解析 当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时输出S 的值为1；当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1成立时S ＝2x ＋y ，下面用线性规划的方法求此时S 的最大值．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)，由图可知当直线S ＝2x ＋y 经过点M (1,0)时S 最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S 的最大值为2.19．(2018·沈阳质检)以下给出了一个程序，根据该程序回答：(1)若输入4，则输出的结果是 ；(2)该程序的功能所表达的函数解析式为 ．答案 (1)15 (2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x <3，2，x ＝3，x 2－1，x >3解析 (1)x ＝4不满足x <3，∴y ＝x 2－1＝42－1＝15.输出15.(2)当x <3时，y ＝2x ，当x >3时，y ＝x 2－1；否则，即x ＝3，y ＝2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x <3，2，x ＝3，x 2－1，x >3.20．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f ′(x ).程序框图如图所示，若输出的结果S >2 0172 018，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是 ．(填序号)①n ≤2 017?②n ≤2 018? ③n >2 017?④n >2 018?答案 ②解析 由题意得f ′(x )＝3ax 2＋x ，由f ′(－1)＝0，得a ＝13，∴f ′(x )＝x 2＋x ， 即g (x )＝1x 2＋x ＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1. 由程序框图可知S ＝0＋g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝0＋1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 由1－1n ＋1>2 0172 018，得n >2 017. 故可填入②.。
高三数学一轮总复习 第十四章 推理与证明(文)(教师用书)
第十四章推理与证明高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解合情推理的含义.2.能利用归纳与类比等进行简单的推理.3.体会并认识合情推理在数学发现中的作用.4.了解演绎推理的重要性.5.掌握演绎推理的基本模式：“三段论”.6.能运用演绎推理进行简单的推理.7.了解演绎推理、合情推理的联系与区别.8.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.9.了解分析法与综合法的思维过程、特点.10.了解反证法是间接证明的一种基本方法及反证法的思维过程、特点.11.了解数学归纳法的原理.12.能用数学归纳法证明一些简单的与自然数有关的数学命题.本章重点：1.利用归纳与类比进行推理；2.利用“三段论”进行推理与证明；3.运用直接证明(分析法、综合法)与间接证明(反证法)的方法证明一些简单的命题；4.数学归纳法的基本思想与证明步骤；运用数学归纳法证明与自然数n(n∈N*)有关的数学命题.本章难点：1.利用归纳与类比的推理来发现结论并形成猜想命题；2.根据综合法、分析法及反证法的思维过程与特点选取适当的证明方法证明命题；3.理解数学归纳法的思维实质，特别是在第二个步骤要根据归纳假设进行推理与证明.“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.本章要求考生通过对已有知识的回顾与总结，进一步体会直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等数学思维过程以及合情推理、演绎推理之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法.本章是新课程考纲中新增的内容，考查的范围宽，内容多，涉及数学知识的方方面面，与旧考纲相比，增加了合情推理等知识点，这为创新性试题的命制提供了空间.知识网络14.1 合情推理与演绎推理典例精析题型一 运用归纳推理发现一般性结论【例1】 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假. sin215°＋sin275°＋sin2135°＝32；sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32；sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝32；sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝32.【解析】猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32.左边＝(sin αcos 60°－cos αsin 60°)2＋sin2α＋(sin αcos 60°＋cos αsin 60°)2＝32(sin2α＋cos2α)＝32＝右边. 【点拨】先猜后证是一种常见题型；归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”(周期性).【变式训练1】设直角三角形的两直角边的长分别为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有a ＋b ＜c ＋h 成立，某同学通过类比得到如下四个结论：①a2＋b2＞c2＋h2；②a3＋b3＜c3＋h3；③a4＋b4＜c4＋h4；④a5＋b5＞c5＋h5. 其中正确结论的序号是 ；进一步类比得到的一般结论是 . 【解析】②③；an ＋bn ＜cn ＋hn(n ∈N*). 题型二 运用类比推理拓展新知识 【例2】 请用类比推理完成下表： 平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上的高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一 三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象. 由以上分析可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一. 本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处从略.【点拨】类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：平面 空间 点 线 线 面 圆 球 三角形 三棱锥 角 二面角 面积 体积 周长 表面积 ……【变式训练2】面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为ai(i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离为hi(i ＝1,2,3,4)，(1)若a11＝a22＝a33＝a44＝k ，则∑=41i iih＝ ；(2)类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为Si(i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为Hi(i ＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝K ，则∑=41i iiH＝ . 【解析】2S k ；3VK.题型三 运用“三段论”进行演绎推理 【例3】已知函数f(x)＝ln ax －x －ax (a≠0).(1)求此函数的单调区间及最值；(2)求证：对于任意正整数n ，均有1＋12＋13＋…＋1n ≥ln enn ！.【解析】(1)由题意f′(x)＝x －ax2.当a ＞0时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，此时函数在(0，a)上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数， fmin(x)＝f(a)＝ln a2，无最大值.当a ＜0时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)，此时函数在(－∞，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数， fmin(x)＝f(a)＝ln a2，无最大值.(2)取a ＝1，由(1)知，f(x)＝ln x －x －1x ≥f(1)＝0，故1x ≥1－ln x ＝ln e x， 取x ＝1,2,3，…，n ，则1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e＋ln e 2＋…＋ln e n ＝ln en n ！.【点拨】演绎推理是推理证明的主要途径，而“三段论”是演绎推理的一种重要的推理形式，在高考中以证明题出现的频率较大.【变式训练3】已知函数f(x)＝eg(x)，g(x)＝kx －1x ＋1(e 是自然对数的底数)，(1)若对任意的x ＞0，都有f(x)＜x ＋1，求满足条件的最大整数k 的值； (2)求证：ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n ＋1)]＞2n －3(n ∈N*). 【解析】(1)由条件得到f(1)＜2⇒11-2e +x x ＜2⇒k ＜2ln 2＋1＜3，猜测最大整数k ＝2，现在证明11-2e +x x ＜x ＋1对任意x ＞0恒成立：11-2e +x x ＜x ＋1等价于2－3x ＋1＜ln(x ＋1)⇔ln(x ＋1)＋3x ＋1＞2， 设h(x)＝ln(x ＋1)＋3x ＋1，则h′(x)＝1x ＋1－3(x ＋1)2＝x －2(x ＋1)2.故x ∈(0,2)时，h′(x)＜0，当x ∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0. 所以对任意的x ＞0都有h(x)≥h(2)＝ln 3＋1＞2，即11-2e +x x ＜x ＋1对任意x ＞0恒成立，所以整数k 的最大值为2. (2)由(1)得到不等式2－3x ＋1＜ln(x ＋1)， 所以ln[1＋k(k ＋1)]＞2－3k(k ＋1)＋1＞2－3k(k ＋1)，ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n ＋1)]＞(2－31×2)＋(2－32×3)＋…＋[2－3n(n ＋1)]＝2n －3[11×2＋12×3＋…＋1n(n ＋1)]＝2n －3＋3n ＋1＞2n －3，所以原不等式成立.总结提高合情推理与演绎推理是两种基本的思维推理方式.尽管合情推理(归纳、类比)得到的结论未必正确，但归纳推理与类比推理具有猜想和发现新结论、探索和提供证明的新思路的重要作用，特别在数学学习中，我们可以由熟悉的、已知的知识领域运用归纳、类比思维获取发现和创造的灵感去探索陌生的、未知的知识领域.演绎推理是数学逻辑思维的主要形式，担负着判断命题真假的重要使命.如果说合情推理是以感性思维为主，只需有感而发；那么演绎推理则是以理性思维为主，要求言必有据.在近几年高考中一道合情推理的试题往往会成为一套高考试题的特色与亮点，以彰显数学思维的魅力.其中数列的通项公式、求和公式的归纳、等差数列与等比数列、平面与空间、圆锥曲线与圆、杨辉三角等的类比的考查频率较大.而演绎推理的考查则可以渗透到每一道试题中.14.2 直接证明与间接证明典例精析题型一 运用综合法证明【例1】设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.【证明】因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＋1ab ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＋a ＋b ab ＝1＋b a ＋1＋a b ＋a ＋b ab ≥2＋b a a b •＋a ＋b (a ＋b2)2＝2＋2＋4＝8，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.【点拨】在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从已知逐渐引出结论.【变式训练1】设a ，b ，c ＞0，求证：a2b ＋b2c ＋c2a ≥a＋b ＋c.【证明】因为a ，b ，c ＞0，根据基本不等式， 有a2b ＋b≥2a，b2c ＋c≥2b，c2a ＋a≥2c. 三式相加：a2b ＋b2c ＋c2a ＋a ＋b ＋c≥2(a＋b ＋c).即a2b ＋b2c ＋c2a≥a＋b ＋c. 题型二 运用分析法证明【例2】设a 、b 、c 为任意三角形三边长，I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca.求证：I2＜4S. 【证明】由I2＝(a ＋b ＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab ＋bc ＋ac)＝a2＋b2＋c2＋2S ， 故要证I2＜4S ，只需证a2＋b2＋c2＋2S ＜4S ，即a2＋b2＋c2＜2S. 欲证上式，只需证a2＋b2＋c2－2ab －2bc －2ca ＜0， 即证(a2－ab －ac)＋(b2－bc －ba)＋(c2－ca －cb)＜0， 只需证三括号中的式子均为负值即可，即证a2＜ab ＋ac ，b2＜bc ＋ba ，c2＜ca ＋cb ， 即a ＜b ＋c ，b ＜a ＋c ，c ＜a ＋b ，显然成立，因为三角形任意一边小于其他两边之和. 故I2＜4S.【点拨】(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件. 【变式训练2】已知a ＞0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.【证明】要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只要证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋ 2.因为a ＞0，故只要证(a2＋1a2＋2)2≥(a＋1a＋2)2，即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22(a ＋1a )＋2，从而只要证2a2＋1a2≥2(a ＋1a)，只要证4(a2＋1a2)≥2(a2＋2＋1a2)，即a2＋1a2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立.题型三 运用反证法证明【例3】 若x ，y 都是正实数，且x ＋y ＞2.求证：1＋x y ＜2或1＋yx ＜2中至少有一个成立.【证明】假设1＋x y ＜2和1＋y x ＜2都不成立.则1＋x y ≥2，1＋yx ≥2同时成立.因为x ＞0且y ＞0，所以1＋x≥2y 且1＋y≥2x，两式相加得2＋x ＋y≥2x＋2y ，所以x ＋y≤2，这与已知条件x ＋y ＞2相矛盾. 因此1＋x y ＜2与1＋y x＜2中至少有一个成立.【点拨】一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；②否定命题，唯一性命题，存在性命题，“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及到无限个元素，用直接证明形式比较困难因而往往采用反证法. 【变式训练3】已知下列三个方程：x2＋4ax －4a ＋3＝0；x2＋(a －1)x ＋a2＝0；x2＋2ax －2a ＝0，若至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围. 【解析】假设三个方程均无实根，则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----+--＜0.)2(4)(2＜0,4)1(＜0,)34(4)4(2222a a a a a a由(4a)2－4(－4a ＋3)＜0，得4a2＋4a －3＜0，即－32＜a ＜12；由(a －1)2－4a2＜0，得(a ＋1)(3a －1)＞0，即a ＜－1或a ＞13；由(2a)2－4(－2a)＜0，得a(a ＋2)＜0，即－2＜a ＜0.以上三部分取交集得M ＝{a|－32＜a ＜－1}，则三个方程至少有一个方程有实根的实数a 的取值范围为∁RM ，即{a|a ≤－32或a≥－1}.总结提高分析法与综合法各有其优缺点：分析法是执果索因，比较容易寻求解题思路，但叙述繁琐；综合法叙述简洁，但常常思路阻塞.因此在实际解题时，需将两者结合起来运用，先用分析法寻求解题思路，再用综合法简洁地叙述解题过程.从逻辑思维的角度看，原命题“p ⇒q”与逆否命题“⌝q ⇒⌝p”是等价的，而反证法是相当于由“⌝q”推出“⌝p”成立，从而证明了原命题正确.因此在运用反证法的证明过程中要特别注意条件“⌝q”的推理作用.综合法与分析法在新课标中第一次成为独立的显性的课题，预测可能有显性的相关考试命题.反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾或与定义、公理、公式事实矛盾等.14.3 数学归纳法典例精析题型一 用数学归纳法证明恒等式 【例1】是否存在常数a 、b 、c ，使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n ∈N*都成立？若存在，求出a 、b 、c 并证明；若不存在，试说明理由.【解析】 假设存在a 、b 、c 使12＋22＋32＋…＋n2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n ∈N*都成立.当n ＝1时，a(b ＋c)＝1； 当n ＝2时，2a(4b ＋c)＝6； 当n ＝3时，3a(9b ＋c)＝19. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,19)9(3,3)4(,1)(c b a c b b c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.1,2,31c b a证明如下：当n ＝1时，显然成立；假设n ＝k(k ∈N*，k≥1)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)；则当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k ＋1)2＋k2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)＋(k ＋1)2＋k2＝13k(2k2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2＝13k(2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13(k ＋1)(2k2＋4k ＋3)＝13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]. 因此存在a ＝13，b ＝2，c ＝1，使等式对一切n ∈N*都成立.【点拨】 用数学归纳法证明与正整数n 有关的恒等式时要弄清等式两边的项的构成规律：由n ＝k 到n ＝k ＋1时等式左右各如何增减，发生了怎样的变化. 【变式训练1】用数学归纳法证明：当n ∈N*时，11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n2n ＋1.【证明】(1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立.(2)假设当n ＝k(k ∈N*)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(2k ＋3)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝2k2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切n ∈N*等式都成立. 题型二 用数学归纳法证明整除性问题 【例2】 已知f(n)＝(2n ＋7)·3n ＋9，是否存在自然数m 使得任意的n ∈N*，都有m 整除f(n)？若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【解析】 由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，猜想：f(n)能被36整除，下面用数学归纳法证明.(1)当n ＝1时，结论显然成立；(2)假设当n ＝k(k≥1，k ∈N*)时结论成立，即f(k)＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除. 则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝(2k ＋9)·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)， 由假设知3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36 整除，又3k －1－1是偶数， 故18(3k －1－1)也能被36 整除.即n ＝k ＋1时结论也成立. 故由(1)(2)可知，对任意正整数n 都有f(n)能被36整除. 由f(1)＝36知36是整除f(n)的最大值.【点拨】 与正整数n 有关的整除性问题也可考虑用数学归纳法证明. 在证明n ＝k ＋1结论也成立时，要注意“凑形”，即凑出归纳假设的形式，以便于充分利用归纳假设的条件. 【变式训练2】求证：当n 为正整数时，f(n)＝32n ＋2－8n －9能被64整除. 【证明】方法一：①当n ＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立.②假设当n ＝k(k≥1，k ∈N*)时结论成立，即f(k)＝32k ＋2－8k －9能被64整除.由于32(k ＋1)＋2－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋9·8k ＋9·9－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1)，即f(k ＋1)＝9f(k)＋64(k ＋1)， 所以n ＝k ＋1时命题也成立.根据①②可知，对任意的n ∈N*，命题都成立.方法二：①当n ＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立.②假设当n ＝k(k≥1，k ∈N*)时，f(k)＝32k ＋2－8k －9能被64整除.由归纳假设，设32k ＋2－8k －9＝64m(m 为大于1的自然数)，将32k ＋2＝64m ＋8k ＋9代入到f(k ＋1)中得 f(k ＋1)＝9(64m ＋8k ＋9)－8(k ＋1)－9＝64(9m ＋k ＋1)，所以n ＝k ＋1时命题也成立. 根据①②可知，对任意的n ∈N*，命题都成立.题型三 数学归纳法在函数、数列、不等式证明中的运用【例3】(2009山东)等比数列{an}的前n 项和为Sn ，已知对任意的n ∈N*，点(n ，Sn)均在函数y ＝bx ＋r(b ＞0且b≠1，b ，r 均为常数)的图象上. (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记bn ＝2(log2an ＋1)(n ∈N*)，求证：对任意的n ∈N*，不等式b1＋1b1· b2＋1b2·…·bn ＋1bn＞n ＋1成立. 【解析】(1)因为点(n ，Sn)均在函数y ＝bx ＋r(b ＞0且b≠1，b ，r 均为常数)的图象上， 所以Sn ＝bn ＋r(b ＞0且b≠1，b ，r 均为常数).当n ＝1时，a1＝S1＝b ＋r ；当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝bn ＋r －bn －1－r ＝(b －1)bn －1. 又数列{an}为等比数列，故r ＝－1且公比为b. (2)当b ＝2时，an ＝2n －1，所以bn ＝2(log2an ＋1)＝2(log22n －1＋1)＝2n(n ∈N*)， 所以bn ＋1bn ＝2n ＋12n，于是要证明的不等式为32·54·…·2n ＋12n ＞n ＋1对任意的n ∈N*成立.下面用数学归纳法证明. 当n ＝1时，32＞2显然成立.假设当n ＝k 时不等式成立，即32·54·…·2k ＋12k ＞k ＋1.则当n ＝k ＋1时，32·54·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2＞k ＋1·2k ＋32k ＋2＝k ＋1·(2k ＋32k ＋2)2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝[2(k ＋1)＋1]24(k ＋1)＝4(k ＋1)2＋4(k ＋1)＋14(k ＋1)＝(k ＋1)＋1＋14(k ＋1)＞(k ＋1)＋1，即当n ＝k ＋1时不等式成立，所以原不等式对任意n ∈N*成立.【点拨】 运用归纳推理得到的结论不一定正确，需进行证明.用数学归纳法证明不等式时必须要利用归纳假设的条件，并且灵活运用放缩法、基本不等式等数学方法. 【变式训练3】设函数f(x)＝ex －1＋ax(a ∈R).(1)若函数f(x)在x ＝1处有极值，且函数g(x)＝f(x)＋b 在(0，＋∞)上有零点，求b 的最大值；(2)若f(x)在(1,2)上为单调函数，求实数a 的取值范围；(3)在(1)的条件下，数列{an}中a1＝1，an ＋1＝f(an)－f′(an)，求|an ＋1－an|的最小值. 【解析】(1)f′(x)＝ex －1－ax2，又函数f(x)在x ＝1处有极值，所以f′(1)＝0，即a ＝1，经检验符合题意.g′(x)＝ex －1－1x2，当x ∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，当x ＝1时，g′(x)＝0，当x ∈(1，＋∞)时g′(x)＞0，g(x)为增函数.所以g(x)在x ＝1时取得极小值g(1)＝2＋b ，依题意g(1)≤0，所以b≤－2， 所以b 的最大值为－2. (2)f′(x)＝ex －1－ax2，当f(x)在(1,2)上单调递增时，ex －1－ax2≥0在[1,2]上恒成立，所以a≤x2ex－1，令h(x)＝x21ex ，则h′(x)＝ex －1(x2＋2x)＞0在[1,2]上恒成立，即h(x)在[1,2]上单调递增，所以h(x)在[1,2]上的最小值为h(1)＝1，所以a≤1； 当f(x)在[1,2]上单调递减时，同理a≥x2ex－1，h(x)＝x2ex －1在[1,2]上的最大值为h(2)＝4e ，所以a≥4e. 综上实数a 的取值范围为a≤1或a≥4e.(3)由(1)得a ＝1，所以f(x)－f′(x)＝1x ＋1x2，因此an ＋1＝1an ＋1a2n ，a1＝1，所以a2＝2，可得0＜a2n ＋1＜1，a2n ＋2＞2.用数学归纳法证明如下： ①当n ＝1时，a3＝34，a4＝289，结论成立；②设n ＝k ，k ∈N*时结论成立，即0＜a2k ＋1＜1，a2k ＋2＞2， 则n ＝k ＋1时，a2k ＋3＝1a2k ＋2＋1a22k ＋2＜12＋12＝1， 所以0＜a2k ＋3＜1，a2k ＋4＝1a2k ＋3＋1a22k ＋3＞1＋1＝2.所以n ＝k ＋1时结论也成立，根据①②可得0＜a2n ＋1＜1，a2n ＋2＞2恒成立，所以|an ＋1－an|≥a2－a1＝2－1＝1，即|an ＋1－an|的最小值为1. 总结提高数学归纳法是证明与自然数有关的命题的常用方法，它是在归纳的基础上进行的演绎推理，其大前提是皮亚诺公理(即归纳公理)：设M 是正整数集合的子集，且具有如下性质： ①1∈M ；②若k ∈M ，则k ＋1∈M ，那么必有M ＝N*成立.数学归纳法证明的两个步骤体现了递推的数学思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，通过对两个命题的证明替代了无限多次的验证，实现了有限与无限的辩证统一.从近几年的高考试题来看，比较注重于对数学归纳法的思想本质的考查，如“归纳、猜想、证明”是一种常见的命题形式.而涉及的知识内容也是很广泛的，可覆盖代数命题、三角恒等式、不等式、数列、几何命题、整除性命题等.其难点往往在第二步，关键是“凑形”以便运用归纳假设的条件.。
(全国通用)高考数学一轮总复习 第十四章 推理与证明专用题组 理 新人教B版-新人教B版高三全册数学
第十四章推理与证明考点一合情推理与演绎推理8.(2012某某,16,5分)设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,…,x N依次放入编号为1,2,…,N 的N个位置,得到排列P0=x1x2…x N.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3…x N-1x2x4…x N,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到P2;当2≤i≤n-2时,将P i分成2i段,每段个数,并对每段作C变换,得到P i+1.例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.(1)当N=16时,x7位于P2中的第个位置;(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第个位置.答案(1)6 (2)3×2n-4+11解析(1)由已知可得P1=x1x3x5x7x9x11x13x15x2x4x6x8x10x12x14x16,P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16,所以x7位于P2中第6个位置.(2)根据题意可知P4将这2n个数分成16段,每段有2n-4个数,每段数下标分别构成公差为16的等差数列,第1段的首项为1,其通项公式为16n-15,当16n-15=173时,n=∉N*;第2段的首项为9,其通项公式为16n-7,当16n-7=173时,n=∉N*;第3段的首项为5,其通项公式为16n-11,当16n-11=173时,n=∉N*;第4段的首项为13,其通项公式为16n-3,当16n-3=173时,n=11∈N*,故x173位于P4中第3×2n-4+11个位置上.评析本题主要考查了等差数列及归纳推理的方法和思想,要求学生能从所给的信息中总结出规律,考查学生分析问题、解决问题的能力.解题过程体现了由特殊到一般的思想.9.(2014,20,13分)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(a n,b n),记T1(P)=a1+b1,T k(P)=b k+max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}(2≤k≤n),其中max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}表示T k-1(P)和a1+a2+…+a k两个数中最大的数.(1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P':(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)解析(1)T1(P)=2+5=7,T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P').当m=d时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2(P)≤T2(P').所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P')都成立.(3)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小,T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.评析本题考查了集合的表示、不等式、合情推理等知识;考查综合分析,归纳抽象,推理论证能力;熟练运用归纳的方法,通过特例分析理解抽象概念是解题的关键.10.(2012某某,17,13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解析解法一:(1)选择②式,计算如下:sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-=.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α) =sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α=sin2α+cos2α=.解法二:(1)同解法一.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=+-sin α·(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=-cos 2α++(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-·sin αcos α-sin2α=-cos 2α++cos 2α+·sin 2α-sin 2α-(1-cos 2α)=1-cos 2α-+cos 2α=.评析本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查特殊与一般思想、化归与转化思想.考点二直接证明与间接证明考点三数学归纳法5.(2014某某,21,14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf '(x),x≥0,其中f '(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)=g(x),g n+1(x)=g(g n(x)),n∈N+,求g n(x)的表达式;(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,某某数a的取值X围;(3)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.解析由题设得,g(x)=(x≥0).(1)由已知得,g1(x)=,g2(x)=g(g1(x))==,g3(x)=,……,可得g n(x)=.下面用数学归纳法证明.①当n=1时,g1(x)=,结论成立.②假设n=k时结论成立,即g k(x)=.那么,当n=k+1时,g k+1(x)=g(g k(x))===,即结论成立.由①②可知,结论对n∈N+成立.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥恒成立.设φ(x)=ln(1+x)-(x≥0),即φ'(x)=-=,当a≤1时,φ'(x)≥0(仅当x=0,a=1时等号成立),∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0,∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,∴a≤1时,ln(1+x)≥恒成立(仅当x=0时等号成立).当a>1时,对x∈(0,a-1]有φ'(x)<0,∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减,∴φ(a-1)<φ(0)=0.即a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,故知ln(1+x)≥不恒成立, 综上可知,a的取值X围是(-∞,1].(3)由题设知g(1)+g(2)+…+g(n)=++…+,n-f(n)=n-ln(n+1),比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1).证明如下:证法一:上述不等式等价于++…+<ln(n+1),在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>,x>0.令x=,n∈N+,则<ln.下面用数学归纳法证明.①当n=1时,<ln 2,结论成立.②假设当n=k时结论成立,即++…+<ln(k+1).那么,当n=k+1时,++…++<ln(k+1)+<ln(k+1)+ln=ln(k+2),即结论成立.由①②可知,结论对n∈N+成立.证法二:上述不等式等价于++…+<ln(n+1),在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>,x>0.令x=,n∈N+,则ln>.故有ln 2-ln 1>,ln 3-ln 2>,……ln(n+1)-ln n>,上述各式相加可得ln(n+1)>++…+.结论得证.证法三:如图,dx是由曲线y=,x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积,而++…+是图中所示各矩形的面积和,∴++…+>dx=dx=n-ln(n+1),结论得证.6.(2014某某,21,14分)随机将1,2,…,2n(n∈N*,n≥2)这2n个连续正整数分成A,B两组,每组n个数.A组最小数为a1,最大数为a2;B组最小数为b1,最大数为b2.记ξ=a2-a1,η=b2-b1.(1)当n=3时,求ξ的分布列和数学期望;(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”,求事件C发生的概率P(C);(3)对(2)中的事件C,表示C的对立事件,判断P(C)和P()的大小关系,并说明理由.解析(1)当n=3时,ξ的所有可能取值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组,不同的分组方法共有=20种,所以ξ的分布列为ξ 2 3 4 5PEξ=2×+3×+4×+5×=.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n-1,n,n+1,…,2n-2.又ξ和η恰好相等且等于n-1时,不同的分组方法有2种;ξ和η恰好相等且等于n时,不同的分组方法有2种;ξ和η恰好相等且等于n+k(k=1,2,…,n-2)(n≥3)时,不同的分组方法有2种,所以当n=2时,P(C)==,(3)由(2)知当n=2时,P()=,因此P(C)>P(),而当n≥3时,P(C)<P().理由如下:①用数学归纳法来证明:1°当n=3时,①式左边=4×(2+)=4×(2+2)=16,①式右边==20,所以①式成立.那么,当n=m+1时,即当n=m+1时①式也成立.综合1°,2°得,对于n≥3的所有正整数,都有P(C)<P()成立.评析本题主要考查随机变量的分布列、数学期望及概率和数学归纳法,同时考查学生的逻辑推理能力及分析、解决问题的能力.属难题.7.(2012某某,23,18分)对于数集X={-1,x1,x2,…,x n},其中0<x1<x2<…<x n,n≥2,定义向量集Y={a|a=(s,t),s∈X,t∈X}.若对任意a1∈Y,存在a2∈Y,使得a1·a2=0,则称X具有性质P.例如{-1,1,2}具有性质P.(1)若x>2,且{-1,1,2,x}具有性质P,求x的值;(2)若X具有性质P,求证:1∈X,且当x n>1时,x1=1;(3)若X具有性质P,且x1=1、x2=q(q为常数),求有穷数列x1,x2,…,x n的通项公式.解析(1)选取a1=(x,2),Y中与a1垂直的元素必有形式(-1,b).所以x=2b,从而x=4.(2)证明:取a1=(x1,x1)∈Y.设a2=(s,t)∈Y满足a1·a2=0.由(s+t)x1=0得s+t=0,所以s,t异号.因为-1是X中唯一的负数,所以s,t之中一为-1,另一为1,故1∈X.假设x k=1,其中1<k<n,则0<x1<1<x n.选取a1=(x1,x n)∈Y,并设a2=(s,t)∈Y满足a1·a2=0,即sx1+tx n=0,则s,t异号,从而s,t之中恰有一个为-1.若s=-1,则x1=tx n>t≥x1,矛盾;若t=-1,则x n=sx1<s≤x n,矛盾.所以x1=1.(3)解法一:猜测x i=q i-1,i=1,2,…,n.记A k={-1,1,x2,…,x k},k=2,3,…,n.先证明:若A k+1具有性质P,则A k也具有性质P.任取a1=(s,t),s,t∈A k.当s,t中出现-1时,显然有a2满足a1·a2=0;当s≠-1且t≠-1时,则s,t≥1.因为A k+1具有性质P,所以有a2=(s1,t1),s1,t1∈A k+1,使得a1·a2=0,从而s1和t1中有一个是-1,不妨设s1=-1.假设t1∈A k+1且t1∉A k,则t1=x k+1.由(s,t)·(-1,x k+1)=0,得s=tx k+1≥x k+1,与s∈A k矛盾.所以t1∈A k,从而A k也具有性质P.现用数学归纳法证明:x i=q i-1,i=1,2,…,n.当n=2时,结论显然成立;假设n=k时,A k={-1,1,x2,…,x k}有性质P,则x i=q i-1,i=1,2,…,k;当n=k+1时,若A k+1={-1,1,x2,…,x k,x k+1}有性质P,则A k={-1,1,x2,…,x k}也有性质P,所以A k+1={-1,1,q,…,q k-1,x k+1}.取a1=(x k+1,q),并设a2=(s,t)满足a1·a2=0.由此可得s=-1或t=-1.若t=-1,则x k+1=≤q,不可能;所以s=-1,x k+1=qt=q i≤q k且x k+1>q k-1,所以x k+1=q k.综上所述,x i=q i-1,i=1,2,…,n.解法二:设a1=(s1,t1),a2=(s2,t2),则a1·a2=0等价于=-.记B=,则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称.注意到-1是X中的唯一负数,B∩(-∞,0)={-x2,-x3,…,-x n}共有n-1个数,所以B∩(0,+∞)也只有n-1个数.由于<<…<<,已有n-1个数,对以下三角数阵<<…<<<<…<……注意到>>…>,所以==…=,从而数列的通项公式为x k=x1=q k-1,k=1,2,…,n.评析本题属于信息给予题,考查学生探究、发现及推理证明能力.理解题目中的信息是解题关键.。
2019版高考数学(文科 课标版)一轮复习题组训练：第十四章推理与证明
第十四章 推理与证明题组1 合情推理与演绎推理1.[2016北京,8,5分][文]某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位:米)1.961.921.821.81.781.761.741.721.681.630秒跳绳(单位:次)63a7560637270a-1b65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛2.[2017北京,14,5分][文]某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 .②该小组人数的最小值为 .3.[2016山东,12,5分][文]观察下列等式:(sin )-2+(sin )-2=×1×2;π32π343(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2=×2×3;π52π53π54π543(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2+…+(sin )-2=×3×4;π72π73π76π743(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2+…+(sin )-2=×4×5;π92π93π98π943……照此规律,(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2+…+(sin )-2= .π2n +12π2n +13π2n +12nπ2n +14.[2015陕西,16,5分][文]观察下列等式1-=12121-+-=+12131413141-+-+-=++1213141516141516……据此规律,第n 个等式可为 .5.[2014新课标全国Ⅰ,14,5分][文]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市;乙说:我没去过C 城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 .6.[2014福建,15,4分]若集合{a ,b ,c ,d }={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b ≠1;③c=2;④d ≠4有且只有一个是正确的, 则符合条件的有序数组(a ,b ,c ,d )的个数是 .7.[2014安徽,12,5分][文]如图14-1,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2.过点A 作BC 2的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;…,依此类推.设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,…,A 5A 6=a 7,则a 7= .图14-18.[2014陕西,14,5分][文]已知f (x )=,x ≥0,若f 1(x )=f (x ), f n+1(x )=f (f n (x )),n ∈N +,则f 2 014(x )的表x1+x 达式为 .9.[2013湖北,17,5分][文]在平面直角坐标系中,若点P (x ,y )的坐标x ,y 均为整数,则称点P 为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S ,其内部的格点数记为N ,边界上的格点数记为L.例如图14-2中△ABC 是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.图14-2(Ⅰ)图中格点四边形DEFG 对应的S ,N ,L 分别是 ;(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c ,其中a ,b ,c 为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S= (用数值作答). 题组2 直接证明与间接证明10.[2017北京,20,13分]设{a n }和{b n }是两个等差数列,记c n =max{b 1-a 1n ,b 2-a 2n ,…,b n -a n n }(n=1,2,3,…),其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数.(Ⅰ)若a n =n ,b n =2n-1,求c 1,c 2,c 3的值,并证明{c n }是等差数列;(Ⅱ)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n ≥m 时,>M ;或者存在正整数m ,使得c nn c m ,c m+1,c m+2,…是等差数列.11.[2016浙江,20,15分][文]设函数f (x )=x 3+,x ∈[0,1].证明:11+x (Ⅰ)f (x )≥1-x+x 2;(Ⅱ)<f (x )≤.343212.[2013北京,20,13分]已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列.该数列前n 项的最大值记为A n ,第n 项之后各项a n+1,a n+2,…的最小值记为B n ,d n =A n -B n .(Ⅰ)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,a n+4=a n ),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值;(Ⅱ)设d 是非负整数.证明:d n =-d (n=1,2,3,…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列;(Ⅲ)证明:若a 1=2,d n =1(n=1,2,3,…),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.A 组基础题1.[2018郑州一中高三入学测试,12]数学上称函数y=kx+b (k ,b ∈R,k ≠0)为线性函数.对于非线性可导函数f (x ),在点x 0附近一点x 的函数值f (x ),可以用如下方法求其近似代替值:f (x )≈f (x 0)+f '(x 0)(x-x 0).利用这一方法,m=的近似代替值( )4.001A.大于m B.小于m C.等于mD.与m 的大小关系无法确定2.[2018吉林百校联盟联考,5]甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是( )A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了3.[2017南昌市三模,4]已知13+23=()2,13+23+33=()2,13+23+33 +43=()2,…,若6212220213+23+33+43+…+n 3=3 025,则n=( )A.8B.9C.10D.114.[2017长春市高三第二次质量监测,14] 将1,2,3,4,…这样的正整数按如图14-3所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数为 .图14-35.[2017甘肃兰州高考实战模拟,14]观察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论:对于n∈N*,则1+2+…+n+…+2+1= .6.[2017郑州市高三第三次质量预测,13][数学文化题]中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如下表:表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推,例如6 613用算筹表示就是,则5 288用算筹可表示为 .B组提升题7.[2017长沙市五月模拟,7]某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步,每52秒跑完一圈,在学生A开始跑步时,在教室内有一个学生B,往操场看了一次,以后每50秒他都往操场看一次,则该学生B“感觉”到学生A的运动是( )A.逆时针方向匀速前跑B.顺时针方向匀速前跑C.顺时针方向匀速后退D.静止不动8.[2017沈阳市高三三模,9][数学文化题]“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是( )2 017 2 016 2 015 2 014……6 5 4 3 2 1 4 033 4 031 4 029……………11 9 7 5 3 8 064 8 060……………………20 16 12 8 16 124 …………………………36 28 20 …………………………A.2 017×22 016B.2 018×22 015C.2 017×22 015D.2 018×22 0169.[2018山东省东明一中模拟,15]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为,记第n 个k 边形数为N (n ,k )(k ≥3),以下列出了部分n 2+n2k 边形数中第n 个数的表达式:三角形数: N (n ,3)=n 2+n ;正方形数: N (n ,4)=n 2;五边形数: N (n ,5)=n 2-n ;六边形数: N (n ,6)12123212=2n 2-n ,…,由此推测N (8,8)= .10.[2017长春市高三第四次质量监测,16]有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师,期间他们做了一个游戏,张老师的生日是m 月n 日,张老师把m 告诉了甲,把n 告诉了乙,然后张老师列出来如下10个日期供选择:2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.看完日期后,甲说:“我不知道,但你一定也不知道.”乙听了甲的话后,说:“本来我不知道,但现在我知道了.”甲接着说:“哦,现在我也知道了.”请问,张老师的生日是 .答案1.B 由数据可知,进入立定跳远决赛的8人为1~8号,所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生.数据排序后可知3号,6号,7号必定进入30秒跳绳决赛,则得分为63,a ,60,63,a-1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛.若1号,5号学生未进入30秒跳绳决赛,则4号学生就会进入决赛,与事实矛盾,所以1号,5号学生必进入30秒跳绳决赛.故选B .2.6 12 令男学生、女学生、教师人数分别为x ,y ,z ,且x>y>z ,①若教师人数为4,则4<y<x<8,当x=7时,y 取得最大值6.②当z=1时,1=z<y<x<2,不满足条件;当z=2时,2=z<y<x<4,不满足条件;当z=3时,3=z<y<x<6,y=4,x=5,满足条件.所以该小组人数的最小值为3+4+5=12.3.n (n+1) 根据已知,归纳可得结果为n (n+1).43434.1-+-+…+-=++…+ 观察所给等式的左右两边可以归纳出1-+-+…+12131412n -112n 1n +11n +212n 121314-=++…+.12n -112n 1n +11n +212n 5.A 根据甲和丙的回答推测乙没去过B 城市,又知乙没去过C 城市,故乙去过A 城市.6.6 因为①正确,②也正确,所以只有①正确是不可能的;若只有②正确,①③④都不正确,则符合条件的有序数组为(2,3,1,4),(3,2,1,4);若只有③正确,①②④都不正确,则符合条件的有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,①②③都不正确,则符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上,符合条件的有序数组的个数是6.7. 解法一 直接递推归纳:等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2,所以142AB=AC=a 1=2,AA 1=a 2=,A 1A 2=a 3=1,…,A 5A 6=a 7=a 1×()6=.22214解法二 求通项:等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2,所以2AB=AC=a 1=2,AA 1=a 2=,…,A n-1A n =a n+1=sin ·a n =a n =2×()n ,故a 7=2×()6=.2π4222222148. 由f 1(x )=⇒f 2(x )=f ()==;又可得f 3(x )=f (f 2(x ))==,故可猜x1+2 014x x 1+x x 1+x x 1+x1+x 1+x x 1+2x x 1+2x1+x1+2x x1+3x 想f 2 014(x )=.x1+2 014x 9.(Ⅰ)3,1,6 由定义知,四边形DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成,其内部格点有1个,边界上格点有6个,S 四边形DEFG =3.(Ⅱ)79 由待定系数法可得⇒,{12=a ·0+b ·3+c ,1=a ·0+b ·4+c ,3=a ·1+b ·6+c {a =1,b =12c =-1,故当N=71,L=18时,S=1×71+×18-1=79.1210.(Ⅰ)c 1=b 1-a 1=1-1=0,c 2=max{b 1-2a 1,b 2-2a 2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,c 3=max{b 1-3a 1,b 2-3a 2,b 3-3a 3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2.当n ≥3时,(b k+1-na k+1)-(b k -na k )=(b k+1-b k )-n (a k+1-a k )=2-n<0,所以b k -na k 关于k ∈N *单调递减.所以c n =max{b 1-a 1n ,b 2-a 2n ,…,b n -a n n }=b 1-a 1n=1-n.所以对任意n ≥1,c n =1-n ,于是c n+1-c n =-1,所以{c n }是等差数列.(Ⅱ)设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1,d 2,则b k -na k =b 1+(k-1)d 2-[a 1+(k-1)d 1]n =b 1-a 1n+(d 2-nd 1)(k-1).所以c n ={b 1-a 1n +(n -1)(d 2-nd 1),当d 2>nd 1时,b 1-a 1n ,当d 2≤nd 1时.①当d 1>0时,取正整数m>,则当n ≥m 时,nd 1>d 2,因此c n =b 1-a 1n.d 2d 1此时,c m ,c m+1,c m+2,…是等差数列.②当d 1=0时,对任意n ≥1,c n =b 1-a 1n+(n-1)max{d 2,0}=b 1-a 1+(n-1)(max{d 2,0}-a 1).此时,c 1,c 2,c 3,…,c n ,…是等差数列.③当d 1<0时,当n>时,有nd 1<d 2.d 2d 1所以=c n n b 1-a 1n +(n -1)(d 2-nd 1)n=n (-d 1)+d 1-a 1+d 2+b 1-d 2n≥n (-d 1)+d 1-a 1+d 2-|b 1-d 2|.对任意正数M ,取正整数m>max{,},M +|b 1-d 2|+a 1-d 1-d 2-d 1d 2d 1故当n ≥m 时,>M.c nn 11.(Ⅰ)因为1-x+x 2-x 3==,x ∈[0,1],所以≤,即1-x+x 2-x 3≤,1-(-x )41-(-x )1-x 41+x 1-x 41+x 1x +11x +1所以f (x )≥1-x+x 2.(Ⅱ)由0≤x ≤1得x 3≤x ,故f (x )=x 3+≤x+=x+-+=+≤,1x +11x +11x +13232(x -1)(2x +1)2(x +1)3232所以f (x )≤.32由(Ⅰ)得f (x )≥1-x+x 2=(x-)2+≥.123434因为f ()=>,所以f (x )>.1219243434综上,<f (x )≤.343212.(Ⅰ)d 1=d 2=1,d 3=d 4=3.(Ⅱ)(充分性)因为{a n }是公差为d 的等差数列,且d ≥0,所以a 1≤a 2≤…≤a n ≤…,因此A n =a n ,B n =a n+1,d n =a n -a n+1=-d (n=1,2,3,…).(必要性)因为d n =-d ≤0(n=1,2,3,…),所以A n =B n +d n ≤B n ,又a n ≤A n ,a n+1≥B n ,所以a n ≤a n+1,于是,A n =a n ,B n =a n+1,因此a n+1-a n =B n -A n =-d n =d ,即{a n }是公差为d 的等差数列.(Ⅲ)因为a 1=2,d 1=1,所以A 1=a 1=2,B 1=A 1-d 1=1.故对任意n ≥1,a n ≥B 1=1.假设{a n }(n ≥2)中存在大于2的项.设m 为满足a m >2的最小正整数,则m ≥2,并且对任意1≤k<m ,a k ≤2.又a 1=2,所以A m-1=2,且A m =a m >2.于是,B m =A m -d m >2-1=1,B m-1=min{a m ,B m }≥2.故d m-1=A m-1-B m-1≤2-2=0,与d m-1=1矛盾.所以对于任意n ≥1,有a n ≤2,即非负整数列{a n }的各项只能为1或2.因为对任意n ≥1,a n ≤2=a 1,所以A n =2.故B n =A n -d n =2-1=1.因此对于任意正整数n ,存在m 满足m>n ,且a m =1,即数列{a n }有无穷多项为1.A 组基础题1.A 依题意,取f (x )=,则f '(x )=,则≈+(x-x 0).令x=4.001,x 0=4,则x 12x x x012x 0≈2+×0.001,注意到(2+×0.001)2=4+0.001+(×0.001)2>4.001,即m=的近似代4.0011414144.001替值大于m ,故选A .2.C 若乙的说法错误,则甲、丙的说法都正确,而两人的说法互相矛盾,据此可得,乙的说法是正确的,即甲被录用了.故选C .3.C 13+23=()2=()2,622×3213+23+33=()2=()2,1223×4213+23+33+43=()2=()2,2024×52…由此归纳可得13+23+33+43+…+n 3=[]2,n (n +1)2因为13+23+33+43+…+n 3=3 025,所以[]2=3 025,所以n 2(n+1)2=(2×55)2,所以n=10,故选n (n +1)2C .4.91 由三角形数组可推断出,第n 行共有2n-1个数,且最后一个数为n 2,所以第10行共19个数,最后一个数为100,左数第10个数是91.5.n 2 由1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,…,归纳猜想可得1+2+…+n+…+2+1=n 2.6. 根据题意知,5 288用算筹表示,从左到右依次是横式的5,纵式的2,横式的8,纵式的8,即.B 组提升题7.C 令操场的周长为C ,则学生B 每隔50秒看一次,学生A 都距上一次学生B 观察的位置(弧长),并在上一次位置的后面,故学生B “感觉”到学生A 的运动是顺时针方向匀速后退的.C 268.B 从给出的数表可以看出,该数表每行都是等差数列,其中第一行从右到左是公差为1的等差数列,第二行从右到左的公差为2,第三行从右到左的公差为4,…,即第n 行从右到左的公差为2n-1,而从右向左看,每行的第一个数分别为1=2×2-1,3=3×20,8=4×21,20=5×22,48=6×23,…,所以第n 行的第一个数为(n+1)×2n-2.显然第2 017行只有一个数,其值为(2 017+1)×22 017-2=2 018×22 015.故选B .9.176 由题意可得,三角形数:N=(n ,3)=n 2+n ;1212正方形数:N=(n ,4)=n 2+0n ;22五边形数:N=(n ,5)=n 2-n ;3212六边形数:N (n ,6)=n 2-n ;4222……由此归纳可得N (n ,k )=n 2+n ,k -224-k 2故N (8,8)=×82-×8=176.624210.8月4日 根据甲说的“我不知道,但你一定也不知道”,可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日;根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道,但现在我知道了”,可排除2月7日、8月7日;根据甲接着说的“哦,现在我也知道了”,可以得知张老师生日为8月4日.。
中学高三数学推理与证明课件复习课件新人教A版
归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质． ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性 命题(猜想)．
(2)类比推理 根据 两类不同 事物之间具 有的某些 类似 (或一致)性 推测其 中一类事物具有与 另一类事物类似 (或相同 )的性 质，这样的推理叫类比推理． 类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的 结论可能是真的．所以类比推理属于合情推理．
如图②，连接 BE 并延长交 CD 于 F，连接 AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF⊂平面 ACD， ∴AB⊥AF， 在 Rt△ABF 中，AE⊥BF， ∴A1E2＝A1B2＋A1F2.
在 Rt△ACD 中，AF⊥CD， ∴A1F2＝A1C2＋A1D2. ∴A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2，故猜想正确．
解析：设 AB＝a，AC＝b，AD＝c.
∵三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两垂直，
∴AB、AC、AD 两两垂直．
∴S△2 ABC＋S2△ACD＋S2△ADB＝14a2b2＋14a2c2＋14b2c2. 作 BE⊥DC 于 E，连接 AE，则 CD⊥AE.
在 Rt△CAD 中，AE＝
bc b2＋c2 .
3．进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征， ②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物 的相似性质等入手进行类比．
归纳推理
[例 1] 平面内有 n 条直线，其中任何两条都不平行， 任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数．
解析：n＝2 时，交点个数：f(2)＝1. n＝3 时，交点个数：f(3)＝3. n＝4 时，交点个数：f(4)＝6. n＝5 时，交点个数：f(5)＝10. 归纳猜想 f(n)＝12n(n－1)(n≥2)．
2019版文科数学一轮复习高考帮全国版课件第14章 推理与证明(2019高考帮·数文)精选ppt版本
此时丙所拿的卡片为A.故甲的卡片上的数字是1和3.
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考法4 直接证明 考法指导 1.综合法证题的思路 (1)分析条件,选择方向.分析题目的已知条件及已知条件与结论之间的联系, 选择相关的定理、公式等,确定恰当的解题方法.(2)转化条件,组织过程.把 已知条件转化成解题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之 间的转化.(3)适当调整,回顾反思.回顾解题过程,可对部分步骤进行调整,并 对一些语言进行适当的修饰,反思总结解题方法的选取. 2.分析法证题的思路 逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的
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文科数学 第十四章：推理与证 明
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文科数学 第十四章：推理与证 明
点评 综合法是不等式证明的常用方法之一,即充分利用已知条件经过推 理论证推导出正确结论,是由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理 方法,这就需保证前提正确,推理合乎规律,这样才能保证结论的正确.
文科数学 第十四章：推理与证 明
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文科数学 第十四章：推理与证 明
考情精解读
考纲解读 命题规律 命题分析预测
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考纲解读
1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推 理在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一 些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法 的思考过程、特点. 5.了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点.
2021高考文科数学一轮总复习课标通用版课件：第14章 推理与证明 14-2
所以p＋2 r2＝pr，即(p－r)2＝0. 所以 p＝r，这与 p≠r 矛盾， 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
【反思·升华】 对于从正面入手较困难的证明问题，一般优先考虑间接证明，即“正 难则反”．
(1)用反证法证明命题的一般步骤 ①分清命题的条件和结论； ②做出与命题结论相矛盾的假设； ③由假设出发，应用正确的推理方法，推出与已知条件，或与假设矛盾，或与定义、 公理、定理、事实等矛盾的结果； ④断定产生矛盾的原因是假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
(1)c1＝b1－a1＝1－1＝0， c2＝max{b1－2a1，b2－2a2}＝max{1－2×1，3－2×2}＝－1， c3＝max{b1－3a1，b2－3a2，b3－3a3}＝max{1－3×1，3－3×2，5－3×3}＝－2. 当 n≥3 时， (bk＋1－nak＋1)－(bk－nak)＝(bk＋1－bk)－n(ak＋1－ak)＝2－n<0， 所以 bk－nak 在 k∈N*时单调递减． 所以 cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}＝b1－a1n＝1－n. 所以对任意 n≥1，cn＝1－n，于是 cn＋1－cn＝－1， 所以{cn}是等差数列．
取正整数 m>dd21，则当 n≥m 时，nd1>d2，
因此 cn＝b1－a1n.
此时，cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列．
②当 d1＝0 时，对任意 n≥1， cn＝b1－a1n＋(n－1)max{d2，0}＝b1－a1＋(n－1)·(max{d2，0}－a1)． 此时，c1，c2，c3，…，cn，…是等差数列． ③当 d1<0 时， 若 n>dd21，则 nd1<d2. 所以cnn＝b1－a1n＋（n－n1）（d2－nd1） ＝n(－d1)＋d1－a1＋d2＋b1－n d2 ≥n(－d1)＋d1－a1＋d2－|b1－d2|.
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特点 由部分到整体,由个别到一般的推理. 由特殊到特殊的推理
文科数学 第十四章：推理与证明
（续表）
归纳推理
(1)通过观察个别对象发现某些相同
类比推理
(1)找出两类对象之间的相似性
一般 性质;
步骤 (2)从已知的相同性质中推出一个明
或一致性;
(2)用一类对象的性质去推测另 一类对象的性质,得出一个明确 的命题(猜想).
的表示
考点2 直接证明与间接证明（重点） 1.直接证明 内容 综合法 分析法
利用已知条件和某些数学
定义
从要证明的结论出发,逐步寻求使它成
定义、公理、定理等,经过 立的充分条件,直到最后,把要证明的结 一系列的推理论证,最后推 论归结为判定一个明显成立的条件(已 导出所要证明的结论成立. 知条件、定理、定义、公理等)为止.
思维
过程
由因导果(顺推证法)
执果索因
框图 P表示已知条件、已有的数学定义、公理、定理、性质等,Q表示所 表示 要证明的结论.
文科数学 第十四章：推理与证明
（续表）
内容
框图
综合法
Q⇐P1
分析法 P1⇐P2 成立的条件
…
表示 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 →…→ Qn⇒ Q
得到一个明显
文字 因为……,所以……,或 语言 由……得……,或“⇒”.
考法1 归纳推理
考法2 类比推理
B考法帮∙题型全突破 考法3 演绎推理
考法4 直接证明
考法5 间接证明
考法1 归纳推理 考法指导 归纳推理问题的常见类型及解题策略
(1)与等式或不等式相关问题.观察所给的几个等式或不等式的两边式子的特 点,注意从纵向看,发现隐含的规律. (2)与数列相关问题.先求出几个特殊现象,归纳所得的结论是上述未知的一 般现象,该结论超越了前提所包含的范围,从而由特殊的结论推广到一般结 论. (3)与图形变化相关问题.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检
要证(欲证)……,只需证……,即 证……
文科数学 第十四章：推理与证明
2.间接证明——反证法
(1)定义
假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最
后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫
作反证法.
(2)适用范围
①否定性命题;
②命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语; ③命题成立非常明显,直接证明所用的理论太少,且不容易证明,而其逆否命 题非常容易证明;
文科数学 第十四章：推理与证明
④要讨论的情况很复杂,而反面情况很简单.
注意 反设命题时常用词语的否定详见P012一些常见词语的否定总结. 名师提醒 应用反证法证题时,必须先否定结论,把结论的反面作为条件,且必须根据这 一条件进行推理,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反 证法.
文科数学 第十四章：推理与证明
考点1 合情推理与演绎推理 考点2 直接证明与间接证明
考点1 合情推理与演绎推理（重点） 1.合情推理
合情推理包括归纳推理和类比推理,二者区别如下:
归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特 类比推理 由两类对象具有某些类似特征
定义
征,推出该类事物的全部对象都具有 和其中一类对象的某些已知特 这些特征的推理,或者由个别事实概 征,推出另一类对象.也具有这 括出一般结论的推理. 些特征的推理.
确的一般性命题(猜想).
文科数学 第十四章：推理与证明
2.演绎推理
演绎推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理方法,
它是由一般到特殊的推理,演绎推理的一般模式是“三段论”,其结构和表示如
下:
“三段论” ①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情 的结构 “三段论” 况;③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断. ①大前提——M是P;②小前提——S是M;③结论——S是P.
反证法(考法5)
命题分析预测
1.分析预测
从近五年的考查情况来看,本章是高考的热点,一般以选择题和
填空题的形式考查合情推理和演绎推理, 分值5分;直接证明、间接证明一般 以函数、不等式、数列等为背景进行考查,题型以解答题为主,综合性较强. 2.学科素养 本章主要考查考生的逻辑推理能力.
文科数学 第十四章：推理与证明
第十四章 推理与证明
CONTENTS
目录
考情精解读 考纲解读 命题规律 命题趋势
考点1 合情推理与演绎推理 考点2 直接证明与间接证明
文科数学 第十四章：推理与证明
考法1 归纳推理
考法2 类比推理
考法3 演绎推理
考法4 直接证明
考法5 间接证明
文科数学 第十四章：推理与证明
考纲解读
考情精解读 命题规律
命题规律 核心考点 考题取样 2016山东,T12 考查内容（对应考法） 归纳推理(考法1)
1.合情推理与演
绎推理
2015陕西,T16 2017全国Ⅱ,T9 2016全国Ⅱ,T16 2014全国Ⅰ,T14
演绎推理(考法3) 直接证明(考法4)
2.直接证明与间 2016浙江,T20
接证明
2014山东,T4
论推广到一般结论型创新题的基本技巧.
文科数学 第十四章：推理与证明
文科数学 第十四章：推理与证明
考法2 类比推理 考法指导 定义. (2)类比性质:对于由一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质提出的类 比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的 转化过程. (3)类比方法:一些处理问题的方法类似,可以把这种方法类比应用到其他问 类比推理应用的题型及相应方法
命题分析预测
考纲解读
1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理
在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些 简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法 的思考过程、特点. 5.了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点.
验法验证其真伪.
文科数学 第十四章：推理与证明
文科数学 第十四章：推理与证明
文科数学 第十四章：推理与证明
突破攻略 运用归纳推理的思维步骤:①发现共性,通过观察特例发现某些相似性 (特例的共性或一般规律);②归纳推理,把这种相似性推广为一个明确表述的 一般命题(猜想).一般地,“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结