06年经管高数下试卷B

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06年专升本高数真题答案

共 7 页，第 1 页2006年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学答案及解析一、单项选择题（每小题2分，共计60分）1.答案：B【解析】：.B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤1121102.答案：A【解析】： .01ln )1ln()1ln()()(22==+++-+=-+x x x x x f x f A ⇒3. 答案：C【解析】： .1sin lim20-=-→xxx x C ⇒4.答案：B 【解析】：.B nnn n n n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim 5.答案：B【解析】：.B a a a ae xe xf ax x ax x x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 202006. 答案：C 【解析】：x x f f f x f x x f x f x x )1()1()1()21(lim)1()21(lim00--+-+=--+→→ C f xf x f x f x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim 2)1()21(lim2007. 答案：A【解析】： .A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,24220008.答案：D【解析】： .D t tt t dx dy ⇒-=-=2sin sin 2229.答案：B 【解析】：.B xy x y x x yn n n ⇒=⇒+=⇒=--1ln 1ln )()1()2( 10.答案：A【解析】：.A y y y x x x x x x x x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→±∞→2122lim ,4lim ,1lim )2)(1()3)(1(233211.答案：C【解析】：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等.C ⇒12.答案：C 【解析】：.C e y e y x x⇒>=''<-='--0,013.答案：D 【解析】：.D C e F e d e f dx e f e x x x x x⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(14.答案：B共 7 页，第 2 页【解析】：.B C ex f e x f e x f x x x⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(15.答案：B【解析】：是常数，所以.⎰ba xdx arcsin B xdx dx d ba⇒=⎰0arcsin 16.答案：C 【解析】：.C x dx x ⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan 4141112π17.答案：D【解析】：由定积分的几何意义可得D 的面积为.⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒18.答案：B【解析】：.B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{19.答案：B【解析】： .B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(20.答案：A【解析】：令xy e F yz F xyz ez y x F z z x z-='-='⇒-=222,),,(.A z x z xy xyz yz xy e yz x z z ⇒-=-=-=∂∂⇒)12(22221.答案：A【解析】：222x ydx xdy dy x xydx dz -++= .A dy dx dx dy dy dx dzy x ⇒+=-++=⇒==221122.答案：A【解析】：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂x zy x y x y z x y x z 是极大值.⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222y x zy z A ⇒23.答案：A【解析】：有二重积分的几何意义知：区域D 的面积为.=⎰⎰Ddxdy πA ⇒24.答案：B【解析】：积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=.B ⇒25.答案：D【解析】：在极坐标下积分区域可表示为：，在直角坐标系下边界方程为}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，积分区域为右半圆域y y x 222=+D⇒26.答案：D【解析】：：从1变到0，.L ,1⎩⎨⎧-==x y xx x ⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L 27.答案：C共 7 页，第 3 页【解析】：收敛.⇒<22sin n n ππ∑∞=π12sinn n C ⇒28. 答案：A 【解析】：在收敛，则在绝对收敛，即级数绝对收敛.∑∞=0n nnx a2-=x 1-=x ∑∞=-0)1(n n n a A ⇒29. 答案：C【解析】：dx xxdy y y ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+ .C C y x C x y xxd y y d ⇒=⇒=+⇒-=⇒sin sin ln sin ln sin ln sin sin sin sin 30.答案：C【解析】：-1不是微分方程的特征根，为一次多项式，可设 .x xe b ax y -+=*)(C ⇒二、填空题（每小题2分，共30分）31.答案：1【解析】：.1)(sin 1|sin |=⇒≤x f x 32.答案：123【解析】：=++=++--=--+→→→)31(1lim )31)(2()2(lim 231lim2222x x x x x x x x x x x x .123341==33.答案：dx x 2412+【解析】： .dx x dy 2412+=34.答案：5,4==b a 【解析】：.b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(25,4==⇒b a 35.答案：)1,1(-【解析】： .)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y 36.答案：2【解析】：.2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f 37.答案：323π【解析】：.3202sin )sin (3023232π=+=+=+⎰⎰⎰⎰πππ-ππ-ππ-dx x xdx dx x dx x x 38.答案：32-e 【解析】： .⎰⎰⎰⎰--=--=+=====-201110012132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f xt x共 7 页，第 4 页39.答案：3π【解析】： .3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a 40.答案：x y z 222=+【解析】：把中的换成，即得所求曲面方程.x y 22=2y 22y z +x y z 222=+41.答案：y x cos 21+【解析】：.⇒+=∂∂y x y xzsin 2y x y x z cos 212+=∂∂∂42.答案：32-【解析】： .⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--Ddx x dy x y dx dxdy x y 102101122322)()(43.答案：∑∞=+∞-∞∈-02),(,!1)1(n nnx x n 【解析】： .∑∞=⇒=0!n n xn x e ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==0022),(,!1)1(!)()(2n n n n n xx x n n x e x f 44.答案：21ln(x+)22(≤<-x 【解析】：,∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-0111011)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n n n n n n n n n x n x n x n x .)22(≤<-x 45.答案：032=-'-''y y y 【解析】：x xe C eC y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ .032=-'-''⇒y y y 三、计算题（每小题5分，共40分）46．计算 .xx e x xx 2sin 1lim 3202-→--【解析】： 20300420320161lim 3222lim 81lim 2sin 1lim2222xe x xe x x e x xx e x x x x x x x x x -=+-=--=---→-→-→-→ .161lim 161322lim 220000-=-=-=-→-→x x x x e x xe 47.求函数的导数.xx x y 2sin 2)3(+=dxdy 【解析】：取对数得：，)3ln(2sin ln 2x x x y +=两边对求导得：x x xx x x x x y y 2sin 332)3ln(2cos 2122++++='共 7 页，第 5 页所以]2sin 332)3ln(2cos 2[)3(222sin 2x xx x x x x x x y x+++++='.x x x x x x x x x x x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-48.求不定积分.⎰-dx xx 224【解析】：⎰⎰⎰====⎰-==-=π<<π-dt t tdt tdt t tdx x x tx t )2cos 1(2sin 4cos 2cos 2sin 4422sin 22222.C x x x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin 2cos sin 22arcsin 22sin 2249.计算定积分.⎰--+102)2()1ln(dx x x 【解析】：⎰⎰⎰+---+=-+=-+101010102)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x x x x d x dx x x .⎰=-=+-+=++--=10102ln 312ln 322ln 12ln 312ln )1121(312ln x x dx x x 50.设，其中皆可微，求.),()2(xy x g y x f z ++=),(),(v u g t f yz x z ∂∂∂∂,【解析】：xv v g x u u g x y x y x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2(),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u'+'++'=.=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂yvv g y u u g y y x y x f y z )2()2(),()2(xy x g x y x f v '++'51．计算二重积分，⎰⎰=Dydxdy xI 2其中由所围成.D 12,===x x y x y 及【解析】：积分区域如图06-1所示，可表示为：.x y x x 2,10≤≤≤≤所以 ⎰⎰⎰⎰==10222xxDydyx dx ydxdy xI .10310323)2(1051042122====⎰⎰x dx x y dx x xx 52．求幂级数的收敛区间（不考虑区间端点的情况）.nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1【解析】：令，级数化为，这是不缺项的标准的幂级数.t x =-1nn nt n ∑∞=-+0)3(1xx因为，313)3(11)3(1lim 1)3(1)3(1limlim 11=--+-=+⋅-+-+==∞→+∞→+∞→nn n n nn nn n n n a a ρ故级数的收敛半径，即级数收敛区间为（-3，3）.nn nt n ∑∞=-+0)3(131==ρR 对级数有，即.nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1313<-<-x 42<<-x 故所求级数的收敛区间为.），（42-53．求微分方程通解.0)12(2=+-+dy x xy dy x 【解析】：微分方程可化为，这是一阶线性微分方程，它对应的齐0)12(2=+-+dx x xy dy x 212xx y x y -=+'次线性微分方程通解为.02=+'y x y 2xCy =设非齐次线性微分方程的通解为，则，代入方程得2)(x x C y =3)(2)(x x C x C x y -'='.C x x x C x x C +-=⇒-='2)(1)(2故所求方程的通解为.2211xCx y +-=四、应用题（每小题7分，共计14分）54.某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为千件；甲厂月生产成本是（千y x ,5221+-=x x C 元），乙厂月生产成本是（千元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、3222++=y y C 乙两厂最优产量和相应最小成本.【解析】：由题意可知：总成本，8222221++-+=+=y x y x C C C 约束条件为.8=+y x 问题转化为在条件下求总成本的最小值 .8=+y x C 把代入目标函数得的整数）.8=+y x 0(882022>+-=x x x C 则，令得唯一驻点为，此时有.204-='x C 0='C 5=x 04>=''C 故是唯一极值点且为极小值，即最小值点.此时有.5=x 38,3==C y 所以甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元.55.由曲线和轴所围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.)2)(1(--=x x y x y 【解析】：平面图形如图06-2所示,此立体可看作X 型区域绕轴旋转一周而得到。

2006年金融联考真题试卷(题后含答案及解析)

2006年金融联考真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 5. 简述题 6. 计算题7. 论述题单项选择题1．假设有两种商品x1和x2，商品的价格分别为p1和p2，消费者的效用函数为U(x1，x2)=，收入为y0，则消费者为了实现效用最大化，其收入中花费在第一种商品上的比重为( )。

A．aB．a/(a+b)C．bD．b/(a+b)正确答案：B解析：根据消费者行为理论，在消费者均衡时，任意两种商品消费的边际替代率应该等于该两种商品的价格之比。

就本题而言，消费者仅消费两种商品，若要实现效用的极大，其消费的结构和数量应该满足的必要条件为：其中，P1x1、P2x2分别是该消费者花费在第一、二种商品上的金额，而P1x1+P2x2即是该消费者的支出总额。

所以，当该消费者实现消费均衡的时候，其关于第一种商品的消费额应占总消费的比重为a/(a+b)。

可见，本题应选择B。

2．对于收入效应和替代效应，( )。

A．前者总是正的，后者总是负的B．前者总是正的，后者可能是正的或者负的C．后者总是负的，前者可能是正的或者负的D．前者可能是负的，但是绝对不会压倒后者正确答案：C解析：某商品价格变动对相关商品需求的影响可以被剖解为替代效应和收入效应两个层面。

首先，由于商品价格的变动打乱了商品之间既有的相对比价关系，使得消费者的偏好结构发生了改变，所以，即使保持原有的效用水平不变，消费者也要调整对相关商品的需求量。

替代效应指的就是在保持既有均衡效用水平不变的前提下，由于商品之间相对比价关系的改变使得消费者的偏好结构发生了变化，从而对相关商品的需求量进行的调整。

相关商品需求的这个调整数量就叫做商品价格变动对于相关商品需求的替代效应。

其次，商品价格的变化会改变消费者的实际收入水平，使得消费者在既有的偏好结构下，对所有商品的需求数量均做出相同程度的调整。

相关商品需求量的这种调整，就叫做商品价格变动对于相关商品需求的收入效应。

经管高数下期末试卷B

一、填空题(每小题3分,共15分)1、设()z x y f y x =++-，且当0x =时，2z y =，则=z .2、计算广义积分=⎰∞+ 1 2x dx.3、设)1ln(22y x z ++=，则(1,2)dz = .4、微分方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有形式的特解.5、级数∑∞=+1913n n n 的和为 .二、选择题(每小题3分,共15分) 6、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为( ).(A) 0 (B) 3 (C) 2 (D)不存在7、),(y x f x 和),(y x f y 在),(00y x 存在且连续是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的( ).(A) 必要非充分的条件 (B) 充分非必要的条件 (C) 充分且必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件8224x y +=所围的体积是( (A) 2400dr πθ⎰⎰ (B) 2204dr πθ⎰⎰(C)20dr πθ⎰⎰(D) 204d r πθ⎰⎰9、设二阶常系数非齐次微分方程()y py qy f x '''++=有三个特解21y x =，x e y =2，x e y 23=，则其通解为( ).(A) 22212()()x x x C e e C e x -+- (B) 22123x x C x C e C e ++ (C) 2212x x x C e C e ++ (D) )()(22212x x x e x C e e C x -+-+10、无穷级数121(1)n p n n -∞=-∑(p 为任意实数) ( ).(A) 无法判断 (B) 绝对收敛 (C) 收敛 (D) 发散三、计算题(每小题6分,共60分)11、求极限00x y →→.12、求由在区间]2,0[π上,曲线x y sin =与直线2π=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.13、求由xy xyz z =-e 所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y∂∂∂∂.14、求函数33812),(y xy x y x f +-=的极值.15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=.若提供的广告费用为5.1万元,求相应的最优广告策略.16、计算二重积分⎰⎰+Dd y x σ)2(,其中D 是由x y =,xy 1=及2=y 所围成的闭区域.17、已知连续函数)(x f 满足0)(2)(0=++⎰xx x f dt t f ，求)(x f .18、求微分方程02)1(2='-''+y xyx的通解.19、求级数∑∞=-1)3 (nnnx的收敛区间.20、判定级数1cos()!n n x n ∞=⋅∑是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛.四、证明题(每小题5分,共10分) 21、设级数21n n a ∞=∑收敛，证明1(0)nn n a a n∞=>∑也收敛.22、设)2(cos 22tx z -=,证明:02222=∂∂∂+∂∂t x z t z .一、填空题(每小题3分,共15分)1、设()z x y f y x =++-，且当0x =时，2z y =，则=z 。

高等数学B-下册-历年考试题目及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2004学年第2学期考试科目高等数学（经济类）考试类型：（闭卷）考试时间： 120分钟学号姓名专业年级一、填空题（每空2分）1．设函数()f x 可微，若()()01,11,1lim2x f x f x x →+--=，则11x y fx==∂∂= 。

2．设(){}22,4D x y xy y =+≤，则(),Df x y dxdy ⎰⎰在极坐标系下的二次积分为。

3．()200sin limx y xy x→→= 。

4．级数1025n n +∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑= 。

5．设2x xy z y e =+，则()1,2z y∂∂= 。

6．320y y y '''-+=的通解为。

7．设收益函数()260R x x x =-（元），当产量10x =时，其边际收益是。

8. 差分方程12n n n y y n +-=⋅的通解为。

9. 函数()sin 2x z e x y -=+在点04π⎛⎫⎪⎝⎭，处的全微分为。

10. 若级数211p n n∞+=∑发散，则p ≤ 。

二、选择题（每题3分）1. 若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（）A 条件收敛B 发散C 不能确定D 收敛2. 设22D 14x y ≤+≤：，则二重积分Ddxdy ⎰⎰=（） A π B 4π C 3π D 15π3. 微分方程3xy y '+=满足条件()10y =的特解是（）()11313111A B x C D x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（） A 必有极大值 B 可能有极值，也可能无极值 C 必有极小值 D 必无极值5. 若级数1n n u ∞=∑及1n n v ∞=∑都发散，则（）A()1nn n uv ∞=+∑必发散 B ()1n n n u v ∞=∑必发散C()1nn n uv ∞=+∑必发散 D ()221n n n u v ∞=+∑必发散三、计算题（每题8分） 1. ()arctan z xy =，求dz2. 设()22,z f x y xy =-，f 可微，求zx∂∂ 3. 求级数13nnn x n ∞=⋅∑的收敛域 4. 将函数()14f x x=-展开成()2x -的幂级数，并确定收敛区间 5. 求由抛物面225z x y =--与平面1z =所围成的立体的体积。

高等数学下考试题库(附答案)

《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）..4 C2.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x【4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（）. B.2- D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为（）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-）9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分⨯6）.1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省 .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD | 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-."4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）.!A.12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）. .4 C5.函数22232y x xy z --=的极大值为（）. B.1 C.1- D.21】6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （）..7 C 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.￥2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,yz x z ∂∂∂∂3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.%试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.!2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ .3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂.4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.￥《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k 3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、z yz R x ,-- D 、zyz R x ,- 》6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（）A 、2B 、21C 、1D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

《高等数学2》经管类期末考试B卷

)。 B.

d f (r )rdr
0
1

2 0
d f (r 2 )rdr
0
1
C.
2 0
d f (r )rdr D.
0
1
d f (r 2 )rdr
0
1
9. 设 a 为常数，则级数 (1) n 1 cos （
n 1

a n
）。 C. 条件收敛 D. 收敛性与 a 有关
4
上海商学院
试卷 B 解答及评分标准一、填空题
1. | x y | 1 2. 2 x( x 2 y 1)e x 3. 1 4.
2
y
2n x n n! n 0

,
5. y C1e x C 2 e 4 x 二、 6. D 7. B 8. A 9. B 10. A 三、计算题选择题
y x dx C x x C
四、应用题

20. 解：利润函数为 L x, y R x, y C x, y 100 x 80 y 2 x 2 2 xy y 2 800
6
上海商学院
约束条件 x y 30 构造拉格朗日函数： F x, y 100 x 80 y 2 x 2 2 xy y 2 800 x y 30
1 n 1 则 S ( x) x ， x 1, 1 (1 x) 2 n0 1 x

18. 解：把方程写为
x y dx dy ，两边求不定积分，得 2 1 x 1 y2
1 1 1 x 2 1 y 2 C1 2 2

06高数下(含答案)2022

2006（2）华南农业大学工科高数期末考试试卷（A ）卷一.填空题（每题3分，共15分）1.设),34,2(),1,2,3(k b a ==→→，若→→b a //，则=k _____2.设2),(y xy y x y x f -=-+，则=),(y x f _____3.将三重积分⎰⎰⎰------++RR x R xR y x R dz z y x dy dx 22222220222化为球面坐标的累次积分为_____4.微分方程054///=+-y y y 的通解为_____5.幂级数∑∞=--112)1(n nn nx 的收敛半径=R _____ 二.选择题（每题3分，共15分）1.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是（） A. 141332+=--=--z y x B. 241332-=--=-z y x C. 141332--=-=-z y x D. 141332-=-=--z y x 2.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ，则=⎰⎰Dxydxdy xe （） A. 0 B. e C. e 1 D. e11+3.微分方程ydy x dx y dy x 222-=是（）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程4.设L 是区域32,21:≤≤≤≤y x D 的正向边界，则=-⎰Lydx xdy 2（）A.1B.2C.3D.4 5.下列级数中为条件收敛的级数是（）A.∑∞=+-11)1(n n n n B.∑∞=-1)1(n n n C.∑∞=-11)1(n n n D.∑∞=-121)1(n n n 三.计算题（每题7分，共49分）1.判别级数∑∞=+1231n n 的敛散性 2.设z e z y x =-+2，求y z x z ∂∂∂∂, 3.计算二次积分⎰⎰-+=1010222)sin(y dx y x dy I4.求二重积分⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++D y x dxdy xey )(21221的值，其中D 是由直线1,1,=-==x y x y 围成的平面区域5.求微分方程01122=--+dy yx dx 的通解6.试将函数x 3展开成x 的幂级数，并求其收敛域7.计算曲面积分⎰⎰∑+dxdz x 2)1(，:∑半球面2222R z y x =++)0(≥y 的外侧四.解答题（每题7分，共21分）1.设⎪⎭⎫⎝⎛=23x y f x z ，其中f 为可微函数，证明z y z yx z x 32=∂∂+∂∂ 2.在所有对角线为d 的长方体中，求最大体积的长方体的各边之长 3.设函数)(x ϕ连续可微，且21)0(=ϕ，试求)(x ϕ，使曲线积分[]⎰-+Lxdy x ydx x e)()(ϕϕ与路径无关华南农业大学期末考试试卷（A ）卷2006学年第2学期高等数学（工科）考试时间：120分钟一.填空题（每题3分，共15分）1.设),34,2(),1,2,3(k b a ==→→，若→→b a //，则=k _____解答：32123432//=⇔==⇔k k b a2.设2),(y xy y x y x f -=-+，则=),(y x f _____解答：令v y x u y x =-=+,，则2,2vu y v u x -=+=，从而 2)(),(v u v y y x v u f -=-=，即2),(2y xy y x f -=3.将三重积分⎰⎰⎰------++RR x R xR y x R dz z y x dy dx 22222220222化为球面坐标的累次积分为_____解答：积分区域为以原点为球心，半径为R 的上半球面与xOy 面所围区域，在球面坐标下，区域可表示为R r ≤≤≤≤≤≤0,20,20πθπϕ，所以化为累次积分⎰⎰⎰2203sin ππϕθϕRdr r d d4.微分方程054///=+-y y y 的通解为_____解答：特征方程为0542=+-r r 解得i r ±=22,1 因此通解为)sin cos (212x C x C e y x+=5.幂级数∑∞=--112)1(n nn nx 的收敛半径=R _____解答：121)1()1(21)1(lim 1=-+--∞→nn n nn ，因此收敛半径1=R二.选择题（每题3分，共15分）1.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是（）A. 141332+=--=--z y x B. 241332-=--=-z y x C. 141332--=-=-z y x D. 141332-=-=--z y x 解答：直线的方向向量为)1,1,3(-，因此点向式方程为141332-+=-=-z y x 选A2.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ，则=⎰⎰Dxydxdy xe （）A.0B. eC. e 1D. e11+解答：从被积函数角度考虑，将D 看作X 型区域⎰⎰⎰=-=--101011)1(e dx e dy xe dx xxy选C3.微分方程ydy x dx y dy x 222-=是（）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程解答：选A4.设L 是区域32,21:≤≤≤≤y x D 的正向边界，则=-⎰Lydx xdy 2（）A.1B.2C.3D.4解答：由格林公式332==-⎰⎰⎰DLdxdy ydx xdy选C5.下列级数中为条件收敛的级数是（）A. ∑∞=+-11)1(n nn n B. ∑∞=-1)1(n nn C. ∑∞=-11)1(n nn D. ∑∞=-121)1(n n n解答：选项A 一般项不趋于0，因此不收敛；选项B 一般项不趋于0，也不收敛；选项D 绝对收敛选C三.计算题（每题7分，共49分） 1.判别级数∑∞=+1231n n 的敛散性解答：11231lim 232lim 21231lim =+=+=+∞→∞→∞→nn n n n n n n ，因此该级数与等比∑∞=121n n 同敛散性，而级数∑∞=121n n收敛，因此原级数收敛.2.设ze z y x =-+2，求yzx z ∂∂∂∂,解答：两边微分得dz e dz ydy dx z=-+2 整理得dy eydx e dz zz +++=1211 因此zz e y y z e x z +=∂∂+=∂∂12,11 3.计算二次积分⎰⎰-+=110222)sin(y dx y x dy I解答：积分区域为以原点为圆心半径为1的圆在第一象限的部分。

06-07答案高数B (下) B卷标准答案

（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题：（每小题3分，共15分）1. 2()x y +；2. dz z ydy dx 2322+-；3.4. 1；5. 212x x c e c e -+ 二、选择题：（每小题3分，共15分）1. D ；2. A ；3. C ；4. D ；5. B 三、计算题：（共24分）1. 解：123u yf f f x∂'''=++∂ ………………………………………………4分 12u xf f y∂''=+∂ ……………………………………………8分 2. 解：22()D x y x dxdy +-⎰⎰ 22202()y y dy x y x dx =+-⎰⎰ ………………………………………………3分 322202[]32yy x x y x dy =+-⎰ ………………………………………………5分 2320193()248y y dy =-⎰ ………………………………………………6分 4320191113[]24486y y =⨯-= …………………………………………………8分 3. 解：由高斯公式原式()P Q R dv x y z Ω∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰2223()x y z dv Ω=++⎰⎰⎰ ………………………3分 240003sin ad d r dr ππθϕϕ=⎰⎰⎰ ………………………6分 551232255a a ππ=⨯⨯⨯= ………………………………………8分四、计算题：（共38分）1. 解： 24,536P x y Q y x =-+=+-3(1)4Q P x y∂∂-=--=∂∂ ………………………………2分故由格林公式得原式()D Q P dxdy x y∂∂=-∂∂⎰⎰ ………………………………4分 144432122Ddxdy D ===⨯⨯⨯=⎰⎰ ………………………………8分 2. 解： 22(4)xdx xdx y e xe dx C -⎰⎰=+⎰………………………………4分 22(4)x x e xe dx C -=+⎰ ………………………………6分22(2)x x e e C -=+ ………………………………8分22x Ce -=+ ………………………………10分3. 解： 113n na =+ 111313lim lim (13)lim 311313n n n n n n n n na R a +→∞→∞→∞++==+==++ ……………………5分当3x =±时，级数11(3)13n n n ∞=±+∑的一般项为1(3)13n n ±+当n →∞时不为零，故发散. 所以，级数1113n n n x ∞=+∑的收敛域为(3,3)-. …………………………………10分 4. 解：令222(,,)2336F x y z x y z =++- ………………………2分法向量 (2,4,6)n x y z =(1,2,3)(2,8,18)n = ………………………4分所以曲面在点(1,2,3)处有切平面方程 2(1)8(2)18(3)0x y z -+-+-=即 49360x y z ++-= …………………………………7分法线方程123149x y z ---== ……………………………10分五、证明题：（共8分）证明：'00(,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆ 类似地 '(0,0)0y f =故(,)f x y 在点(0,0)处的偏导数存在. …………………………………4分因''(,)[(0,0)(0,0)]lim x y z f x f y ∆∆→∆-∆+∆ 2230(,)(0,0)lim[]lim x y x y x y x y ρρρ→∆∆→∆⋅∆∆⋅∆==∆+∆ 显然，当x y ∆=∆时，上述极限不存在，因此(,)f x y 在点(0,0处不可微. ………………………………………8分。

06年《高等数学》试题及答案

2006年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷题号一二三四五六总分核分人分数一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为（） A. ]1,21[B. ]1,1[-C. ]1,0[D. ]2,1[-解：B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤112110.2.函数)1ln(2x x y -+=)(+∞<<-∞x 是（） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数解：01ln )1ln()1ln()()(22==+++-+=-+x xx xx f x f A ⇒.3. 当0→x 时，x x sin 2-是x 的（） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小解： 1sin lim2-=-→xx xx C ⇒.4.极限=+∞→nnn n sin 32lim（）A. ∞B. 2C. 3D. 5 解：B nn nnn n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim.5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-=0,10,1)(2x a x xe xf ax，在0=x 处连续，则常数=a （） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：B a a a aexex f axx axx x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 2020.6. 设函数)(x f 在点1=x 处可导，则=--+→xx f x f x )1()21(lim（）A. )1(f 'B. )1(2f 'C. )1(3f 'D. -)1(f ' 解：xx f f f x f xx f x f x x )1()1()1()21(lim)1()21(lim--+-+=--+→→C f xf x f xf x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim2)1()21(lim207. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则点M 的坐标（） A. （2，5） B. （-2，5） C. （1，2） D.（-1，2）得分评卷人解： A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,2422000.8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰202cos sin ty du u x t，则=dx dy （） A. 2t B. t 2 C.-2t D. t 2- 解： D t tt t dxdy ⇒-=-=2sin sin 222.9.设2(ln )2(>=-n x x yn ，为正整数),则=)(n y （）A.x n x ln )(+B. x1 C.1)!2()1(---n nxn D. 0解：B xy x y x x yn n n ⇒=⇒+=⇒=--1ln 1ln )()1()2(.10.曲线233222++--=x xx x y （）A. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近线B. 有一条水平渐近线，两条垂直渐近线C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线，D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线解：A y y y x x x x x xx x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→±∞→2122lim,4lim ,1lim)2)(1()3)(1(2332.11.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是（） A.]2,0[|,1|-=x y B. ]2,0[,)1(132-=x yC.]2,1[,232+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y = 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等C ⇒.12. 函数xe y -=在区间),(+∞-∞内（）A. 单调递增且图像是凹的曲线B. 单调递增且图像是凸的曲线C. 单调递减且图像是凹的曲线D. 单调递减且图像是凸的曲线解： C ey ey xx ⇒>=''<-='--0,0.13.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=--dx e f e x x )( （） A.C eF exx++--)( B. C eF x+-)( C. C eF exx+---)( D. C eF x+--)(解：D C eF ed ef dx e f e xxxx x ⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(.14. 设)(x f 为可导函数，且xe xf =-')12( ，则 =)(x f （）A.C ex +-1221 B. C ex ++)1(212C.C ex ++1221 D. C ex +-)1(212解：B C ex f e x f e x f x x x⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(.15. 导数=⎰batdt dxd arcsin （）A.x arcsinB. 0C. a b arcsin arcsin -D.211x-解：⎰baxdx arcsin 是常数，所以B xdx dxd ba⇒=⎰0arcsin .16.下列广义积分收敛的是（） A. ⎰+∞1dx e xB. ⎰+∞11dx xC. ⎰+∞+1241dx xD. ⎰+∞1cos xdx解：C x dx x⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan4141112π. 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积为（）A. ⎰-ba dx x g x f )]()([ B.⎰-badx x g x f )]()([C. ⎰-b adx x f x g )]()([ D. ⎰-badx x g x f |)()(|解：由定积分的几何意义可得D 的面积为 ⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒.18. 若直线32311-=+=-z ny x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n（）A. 2B. 3C. 4D. 5解： B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{. 19.设yx y x y x f arcsin)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为（）A.2B.1C.-1D.-2 解： B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(. 20. 设方程02=-xyz e z确定了函数),(y x f z = ，则xz ∂∂ = （）A. )12(-z x z B.)12(+z x z C.)12(-z x y D. )12(+z x y解：令xy e F yz F xyz e z y x F zz x z -='-='⇒-=222,),,(A z x z xyxyz yz xyeyz xz z⇒-=-=-=∂∂⇒)12(222.21.设函数xy y x z +=2，则===11y x dz （）A. dy dx 2+B. dy dx 2-C. dy dx +2D. dy dx -2 解：222xydxxdy dy x xydx dz -++=A dy dx dx dy dy dx dzy x ⇒+=-++=⇒==2211.22.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上内（） A.有极大值，无极小值 B. 无极大值，有极小值 C.有极大值，有极小值 D. 无极大值，无极小值解：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂xz y x y x yz x y xz⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222yx z yz 是极大值A ⇒.23设D 为圆周由012222=+--+y x y x 围成的闭区域，则=⎰⎰Ddxdy （）A. πB. 2πC.4πD. 16π 解：有二重积分的几何意义知：=⎰⎰Ddxdy 区域D 的面积为π.24.交换二次积分⎰⎰>a xa dy y x f dx0(),(，常数）的积分次序后可化为（）A. ⎰⎰a ydx y x f dy0),( B.⎰⎰aay dx y x f dy),( C. ⎰⎰aa dx y x f dy00),( D. ⎰⎰ayadx y x f dy),(解：积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=B ⇒.25.若二重积分⎰⎰⎰⎰=20sin 20)sin ,cos (),(πθθθθrdr r r f d dxdy y x f D，则积分区域D 为（）A. x yx 222≤+ B. 222≤+yxC. y yx 222≤+ D. 220yy x -≤≤解：在极坐标下积分区域可表示为：}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，在直角坐标系下边界方程为y yx 222=+，积分区域为右半圆域D ⇒26.设L 为直线1=+y x 上从点)0,1(A 到)1,0(B 的直线段,则=-+⎰Ldy dx y x )(（）A. 2B.1C. -1D. -2 解：L ：,1⎩⎨⎧-==xy x x x 从1变到0，⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L.27.下列级数中，绝对收敛的是（）A ．∑∞=1sinn nπB ．∑∞=-1sin)1(n nnπC ．∑∞=-12sin)1(n nnπD ．∑∞=1cos n n π解： ⇒<22sinnnππ∑∞=π12sinn n收敛C ⇒.28. 设幂级数n n nn a x a (0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ），在点2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n na（） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定解：∑∞=0n nn x a 在2-=x 收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞=-0)1(n n na 绝对收敛A ⇒.29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为（） A. C y x =cos sin B. C y x =sin cos得分C. C y x =sin sinD. C y x =cos cos 解：dx xx dy yy ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+C C y x C x y xx d yy d ⇒=⇒=+⇒-=⇒sin sin ln sin ln sin ln sin sin sin sin .30.微分方程xxe y y y -=-'+''2的特解用特定系数法可设为（）A. x e b ax x y -+=*)(B. xeb ax x y -+=*)(2C. xeb ax y -+=*)( D. xaxe y -=*解：-1不是微分方程的特征根，x 为一次多项式，可设xe b ax y -+=*)( C ⇒.二、填空题（每小题2分，共30分）31.设函数,1||,01||,1)(⎩⎨⎧>≤=x x x f 则=)(sin x f _________.解：1)(sin 1|sin |=⇒≤x f x .32.=--+→xxx x 231lim22=_____________.解：=++=++--=--+→→→)31(1lim)31)(2()2(lim231lim2222x x x x x x xxx x x x123341==.33.设函数x y 2arctan =，则=dy __________.解：dx xdy 2412+=.34.设函数bx axx x f ++=23)(在1-=x 处取得极小值-2，则常数b a 和分别为___________.解：b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(25,4==⇒b a .35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________.解：)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y .36.设函数)(),(x g x f 均可微，且同为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________.解：2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f . 37.⎰-=+ππdx x x )sin(32 _________.解：3202sin)sin(323232π=+=+=+⎰⎰⎰⎰πππ-ππ-ππ-dx x xdx dx x dx x x .38.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x e x f x，则 ⎰=-20)1(dx x f __________.解：⎰⎰⎰⎰--=--=+=====-211112132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f xtx .39. 向量}1,1,2{}2,1,1{-==b a与向量的夹角为__________.解：3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a. 40.曲线⎩⎨⎧==022z xy L ：绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _________. 解：把x y22=中的2y 换成22y z+，即得所求曲面方程x yz222=+.41.设函数y x xy z sin 2+= ，则 =∂∂∂yx z 2_________.解：⇒+=∂∂y x y xz sin 2y x yx z cos 212+=∂∂∂.42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则________)(2⎰⎰=-Ddxdy x y .解：⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--Ddx x dy x y dxdxdy x y 12101122322)()( .43. 函数2)(xex f -=在00=x 处展开的幂级数是________________.解： ∑∞=⇒=0!n n xn xe ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==022),(,!1)1(!)()(2n n nnn xx xn n x ex f .44.幂级数∑∞=+++-0112)1()1(n n n nn x的和函数为 _________.解：∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-011111)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n nn n nn n n nx nx n x n x,)22(≤<-x .45.通解为xxeC eC y 321+=-（21C C 、为任意常数）的二阶线性常系数齐次微分方程为_________.解：xxe C eC y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ032=-'-''⇒y y y .三、计算题（每小题5分，共40分）46．计算 xx exxx 2sin1lim322-→--.解：23042320161lim3222lim81lim2sin 1lim2222xexxex xexxx ex xx xx xx xx -=+-=--=---→-→-→-→161lim 161322lim220-=-=-=-→-→xx xx exxe.47.求函数xx x y 2sin 2)3(+=的导数dxdy .解：取对数得：)3ln(2sin ln 2x x x y +=，得分评卷人两边对x 求导得：x xxx x xx y y2sin 332)3ln(2cos 2122++++='所以]2sin 332)3ln(2cos 2[)3(222sin 2x xxx x x x x x y x+++++='x x x x x xx x xx x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-.48.求不定积分 ⎰-dx xx224.解：⎰⎰⎰====⎰-==-=π<<π-dt t tdt tdt t tdxxxtx t )2cos 1(2sin4cos 2cos 2sin4422sin 22222C x x x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin2cos sin 22arcsin 22sin 22.49.计算定积分⎰--+12)2()1ln(dx x x .解：⎰⎰⎰+---+=-+=-+11112)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x xx xdx dx x x⎰=-=+-+=++--=112ln 312ln 322ln 12ln312ln )1121(312ln xx dx xx.50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 皆可微，求 yz xz ∂∂∂∂,.解：xv v g xu u g xy x y x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2(),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u'+'++'= =∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂yv v g yu u g yy x y x f yz )2()2(),()2(xy x g x y x f v'++'. 51．计算二重积分⎰⎰=Dydxdy x I 2，其中D 由12,===x x y x y 及所围成.解：积分区域如图06-1所示，可表示为：x y x x 2,10≤≤≤≤. 所以 ⎰⎰⎰⎰==10222xxDydy x dxydxdyx I10310323)2(105142122====⎰⎰xdx x ydx x xx.52．求幂级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1的收敛区间（不考虑区间端点的情况）.解：令t x =-1，级数化为 nn nt n ∑∞=-+0)3(1，这是不缺项的标准的幂级数.xy x y =o12x y 2=图06-1因为 313)3(11)3(1lim1)3(1)3(1limlim11=--+-=+⋅-+-+==∞→+∞→+∞→nnn n nn nn n nn a a ρ，故级数nn nt n ∑∞=-+0)3(1的收敛半径31==ρR ，即级数收敛区间为（-3，3）.对级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1有313<-<-x ，即42<<-x .故所求级数的收敛区间为），（42-. 53．求微分方程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解. 解：微分方程0)12(2=+-+dx x xy dy x 可化为 212xx y xy -=+'，这是一阶线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程02=+'y xy 通解为2xC y =.设非齐次线性微分方程的通解为2)(xx C y =，则3)(2)(xx C x C x y -'='，代入方程得C xx x C x x C +-=⇒-='2)(1)(2.故所求方程的通解为2211xC xy +-=.四、应用题（每小题7分，共计14分）54. 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为y x ,千件；甲厂月生产成本是5221+-=x xC （千元），乙厂月生产成本是3222++=y yC （千元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本.解：由题意可知：总成本8222221++-+=+=y x y x C C C ，约束条件为8=+y x .问题转化为在8=+y x 条件下求总成本C 的最小值 .把8=+y x 代入目标函数得 0(882022>+-=x x x C 的整数）.则204-='x C ，令0='C 得唯一驻点为5=x ，此时有04>=''C . 故 5=x 是唯一极值点且为极小值，即最小值点.此时有38,3==C y . 所以甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元.55.由曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.解：平面图形如图06-2所示,此立体可看作X 型区域绕y 轴旋转一周而得到。

05微积分期末下B-B5-DG

中南民族大学试卷学院: 班级:姓名: 学号: 成绩: 试卷名称： 2005-2006学年度下学期期末考试《高等数学B (二)》试卷试卷类型： B 卷共4页适用范围：经济、管理学院(系) 2005 级各专业本科B －1 共 4 页B、填空题(每小题3分,共15分)1、函数ln(23)z y =+的定义域为.2、设⎰⎰-++=y xy y t t t ty x f 1 3d e d 11),(2,则=∂∂x f .3、微分方程230y x y '-=的通解为 .4、若级数211(n n ∞=+∑收敛,则常数a 的取值为__________.5、交换二次积分次序2 1 0 d (,)d xx x f x y y =⎰⎰ .二、选择题(每小题3分,共15分)6、下列广义积分中( )是收敛的。

( A) 1211d x x -⎰ (B) x x d 11 1 ⎰- (C) 10⎰ (D) 0e d x x +∞⎰注意事项：1. 务必用碳素墨水抄写试卷，且不得超出黑线界定的范围；2. 详细填写本页左边第一根黑线与第二根黑线之间的内容；3. 对不合要求或不按时送交的试卷，教学秘书应予退回并限时重抄或拒收。

B －2 共 4 页B7、二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=).0,0(),(,0),0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f ,在点)0,0(处( ).(A) 连续且偏导数存在 (B) 连续但偏导数不存在(C) 不连续但偏导数存在 (D) 不连续且偏导数不存在8、设{}22(,)1D x y x y =+≤, 1D I σ=⎰⎰,222sin()d D I x y σ=+⎰⎰, 2223sin()d DI x y σ=+⎰⎰,则下列不等式成立的是( ).(A) 123I I I ≤≤ (B) 213I I I ≤≤(C) 312I I I ≤≤ (D) 321I I I ≤≤9、下列命题正确的是( ).(A)⎰∞-=0 1d e x x (B) ⎰⎰-<0 2 2 0 cos cos ππxdx xdx (C)2d 11 1 2=⎰-x x (D) ⎰⎰-=πππ0 d sin 2d sin x x x x10、下列级数发散的是( )(A ) 11(1)n n n -∞=-∑ (B ) ∑∞=-113n n n (C ) 113n n ∞=∑ (D ) 121(1)n n n -∞=-∑中南民族大学试卷学院: 班级: 姓名: 学号: 成绩:B －3 共 4 页B 三、计算题(每小题6分,共60分)11、 1211tan d 1x x x -++⎰.12、若x x f x xx f d )(11)(1 0 32⎰++=, 求 10()d f x x ⎰ 13、已知：0e sin 2=-+xy y x , 求xy d d .14、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式: 222121211028321415x x x x x x R ---++=, 若提供的广告费用为5.1万元,求相应的最优广告策略.15、设}|),{(22x y x y x D ≤+=,求⎰⎰Dy x x d d .16、求微分方程3=+'y y x 满足条件0|1==x y 的特解.17、求函数00x y →→.18、设函数)(x y y =满足条件690,(0)3,(0)9.y y y y y '''++=⎧⎨'==-⎩ 求广义积分⎰∞+ 0 d )(x x y .注意事项：1. 务必用碳素墨水抄写试卷，且不得超出黑线界定的范围；2. 详细填写本页左边第一根黑线与第二根黑线之间的内容；3. 对不合要求或不按时送交的试卷，教学秘书应予退回并限时重抄或拒收。

高等数学下考试题库(附答案)

《高等数学》试卷1（下）一。

选择题（3分10)1。

点到点的距离（）。

A。

3 B。

4 C.5 D。

62。

向量，则有( ）.A。

∥ B.⊥C。

D.3。

函数的定义域是（）。

A。

B。

C. D4.两个向量与垂直的充要条件是（）。

A. B。

C. D.5.函数的极小值是( ).A。

2 B。

C.1 D.6.设,则＝（）.A. B. C。

D。

7。

若级数收敛，则（）。

A。

B。

C。

D.8。

幂级数的收敛域为（）。

A。

B C. D.9.幂级数在收敛域内的和函数是( ）。

A。

B。

C。

D。

10.微分方程的通解为（）。

A. B。

C. D.二。

填空题（4分5)1.一平面过点且垂直于直线，其中点,则此平面方程为______________________。

2。

函数的全微分是______________________________.3。

设，则_____________________________.4。

的麦克劳林级数是___________________________。

三。

计算题(5分6)1。

设，而,求2。

已知隐函数由方程确定，求3。

计算,其中.4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(为半径）。

四。

应用题（10分2）1。

要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省？。

试卷1参考答案一.选择题CBCAD ACCBD二.填空题1。

2. 。

3. .4。

5。

三。

计算题1。

，。

2。

.3。

.4。

5。

四。

应用题1。

长、宽、高均为时,用料最省.2.《高数》试卷2（下）一。

选择题（3分10）1.点，的距离（）.A. B。

C. D.2。

设两平面方程分别为和，则两平面的夹角为（)。

A。

B. C。

D。

3。

函数的定义域为（）。

A。

B。

C. D。

4。

点到平面的距离为( ）。

A.3 B。

4 C。

5 D.65。

函数的极大值为（）.A。

0 B。

1 C。

D。

6。

设，则（）.A。

6 B。

7 C。

06级高数(下)试题及答案-8页word资料

一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设()()a b y 1,3,2,2,,4r r==，则当y =时, rr a b ⊥;当y = 时, //rr a b .2. 函数 (,,)u x y z z x y=--221的间断点是.3. 设函数z x y y =+22, 则 dz =.4. 设G 是一个单连通域,(,)P x y 与(,)Q x y 在G 内即有一阶连续偏导数, 则曲线积分LPdx Qdy +⎰ 在G 内与路径无关的充要条件是.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 设直线方程为 L :x x y y z z m n p---==000, 平面方程为 :Ax By Cz D ∏+++=0, 若直线与平面平行,则 ( ).(A) 充要条件是:0Am Bn Cp ++=.(B) 充要条件是:A B C m n p==. (C) 充分但不必要条件是:0Am Bn Cp ++=(D) 充分但不必要条件是:A B C m n p==. 2．设(,)z z x y =是由方程 zx y z e ++= 所确定的隐函数, 则zx∂=∂( ). (A) z e -11. (B) ze -21.(C) z e -11. (D) ze -1.3．函数33(,)3f x y x y xy =+- 的极小值为 ( ).(A)1 . (B) 1-. (C) 0. (D) 3-.4．下列说法正确的是 ( ).(A) 若lim 0n n u →+∞=, 则级数 1n n u ∞=∑ 必收敛.(B) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则必有 lim 0n n u →+∞≠. (C) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则 lim n n s →+∞=∞. (D) 若lim 0n n u →+∞≠, 则级数 1n n u ∞=∑ 必发散.5．微分方程 0ydx xdy += 的通解是 ( ).(A) 0x y +=. (B) y x =. (C)y C =. (D) xy C =.三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分) 1．设一平面经过原点及点(,,),-632M 且与平面x y z -+=428 垂直, 求此平面方程.2．设(,),z f u v =而,u y v xy ==,且f具有二阶连续偏导数,求zx y∂∂∂2.四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、计算二重积分x y Ded σ+⎰⎰22,其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域. 2、计算曲线积分2(22)(4)ÑLxy y dx x x dy -+-⎰, 其中 L 是取圆周229x y += 的正向闭曲线.五、计算题 (共2小题, 每小题8分,共16分): 1、利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰Ò,其中∑是长方体：{}(,,)|,,x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤000整个表面的外侧.2、判别正项级数 122nn n ∞=+∑ 的敛散性.六、解下列各题（共2小题. 每小题8分, 共16分）: 1、设幂级数11n n nx ∞-=∑. (1). 求收敛半径及收敛区间 . (2). 求和函数. 2、求微分方程'''x y y y e ++=222 的通解.七、(6分) 求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于x y +2.南昌大学 2019～2019学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设()()a b y 1,3,2,2,,4r r ==，则当y =-103时, rr a b ⊥;当y = 6时, //rr a b .2. 函数(,,)u x y z z x y=--221的间断点是{}(,,)|x y z z x y =+22.3. 设函数z x y y =+22, 则 dz =()xydx x y dy++222.4. 设G 是一个单连通域,(,)P x y 与(,)Q x y 在G 内即有一阶连续偏导数, 则曲线积分LPdx Qdy +⎰ 在G 内与路径无关的充要条件是P Q y x∂∂=∂∂.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 设直线方程为 L :x x y y z z m n p---==000, 平面方程为 :Ax By Cz D ∏+++=0, 若直线与平面平行,则 ( A ).(A) 充要条件是:0Am Bn Cp ++=.(B) 充要条件是:A B C m n p==. (C) 充分但不必要条件是:0Am Bn Cp ++=(D) 充分但不必要条件是:A B C m n p==. 2．设(,)z z x y =是由方程 zx y z e ++= 所确定的隐函数, 则zx∂=∂( C ). (A) z e -11. (B) ze -21.(C) z e -11. (D) ze -1.3．函数33(,)3f x y x y xy =+- 的极小值为 ( B ).(A)1 . (B) 1-. (C) 0. (D) 3-.4．下列说法正确的是 ( D ).(A) 若lim 0n n u →+∞=, 则级数 1n n u ∞=∑ 必收敛.(B) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则必有 lim 0n n u →+∞≠. (C) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则 lim n n s →+∞=∞. (D) 若lim 0n n u →+∞≠, 则级数 1n n u ∞=∑ 必发散.5．微分方程 0ydx xdy += 的通解是 ( D ).(A) 0x y +=. (B) y x =. (C)y C =. (D) xy C =.三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分) 1．设一平面经过原点及点(,,),-632M 且与平面x y z -+=428 垂直, 求此平面方程.解法一: 所求平面的法向量(,,),(,,)n n OM ⊥-⊥=-412632u u u ur r r .则(,,)(,,)(,,)-⨯-=-412632446. 取 (,,)n =-223r.故所求平面方程为:x y z +-=2230. 解法二: 设所求平面法向量(,,),n A B C =r则,(,,)n OM n ⊥⊥-412u u u ur r r .于是有 ,.A B C A B C -+=⎧⎨-+=⎩6320420解得: ,A B C B ==-32. 由平面的点法式方程可知,所求平面方程为Ax By Cz ++=0.将,A B C B ==-32代入上式,并约去()B B ≠0,便得：x y z +-=2230. 即为所求平面方程.2．设(,),z f u v =而,u y v xy ==,且f具有二阶连续偏导数,求zx y∂∂∂2.解:'.zy f x∂=⋅∂2 ()'''''z f y f f x x y∂=++⋅∂∂222122'''''.f yf xyf =++22122四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、计算二重积分x y Ded σ+⎰⎰22,其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域. 解:x y Ded d ed πρσθρρ+=⋅⎰⎰⎰⎰2222200().e d e e ρρπρππ⎡⎤===-⎣⎦⎰2222240012122、计算曲线积分2(22)(4)ÑLxy y dx x x dy -+-⎰, 其中 L 是取圆周229x y += 的正向闭曲线.解:,,Q P x x x y ∂∂=-=-∂∂2422 .Q P x y∂∂-=-∂∂2 由格林公式,有原式().Dd σππ=-=-⋅⋅=-⎰⎰222318五、计算题 (共2小题, 每小题8分,共16分): 1、利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰Ò,其中∑是长方体：{}(,,)|,,x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤000整个表面的外侧. 解:,,.P x Q y R z ===,,PQRxy z∂∂∂===∂∂∂111 则由高斯公式有原式().dv abc Ω=++=⎰⎰⎰11132、判别正项级数 122nn n ∞=+∑ 的敛散性.解:lim lim n n n n n n u n u n ++→∞→∞⎛⎫+=⋅ ⎪+⎝⎭113222Qlim .()n n n →∞+==<+311222所以原级数收敛.六、解下列各题（共2小题. 每小题8分, 共16分）:1、设幂级数11n n nx ∞-=∑.(1). 求收敛半径及收敛区间 . (2). 求和函数.解: (1). limlim .n n n na n a n ρ+→∞→∞+===111 所以收敛半径.R =1当x =1时,n n ∞=∑1发散;当x =-1时,()n n n ∞-=-∑111 发散.所以收敛区间为:(,)-11.(2). 设和函数为:()n n S x nx ∞-==∑11. ()xx xn n n n S x dx nx dx nx dx ∞∞--==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰110011 .x n nn n x x x x ∞∞==⎡⎤===⎣⎦-∑∑1101故 '().().()x S x x x x ⎛⎫==-<< ⎪--⎝⎭2111112、求微分方程'''x y y y e ++=222 的通解.解:..r r r r ++===-2122101()x Y C C x e -∴=+12.λ=2Q 不是特征根,所以设特解为: *x y Ae =2.则(*)',(*)''x x y Ae y Ae ==2224,代入原方程得A =29. *xy e ∴=229.故通解为:().x x y C C x e e -=++21229七、(6分) 求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于x y +2.解: 依题意: ',().y x y y =+⎧⎨=⎩200则： x y x Ce =--+22.把()y =00 代入上式, 得C =2.故().x y e x =--21。

2006高等数学(下)试卷(C)答案

湘司警院2006年（上）《高等数学下》期末试卷（C ）适用区队：05信管301 命题人：张建贵时量：100min 区队：姓名：学号：一、单项选择题（每小题3分，共30分）1. 直线11231-=-=-z y x 与平面3x +4y -z =2的位置关系是( C ). (A )平行； (B )垂直； (C )直线在平面内； (D )相交但不垂直.2. 曲线⎩⎨⎧+==222y x z x y 在点(1, 1, 2)处的切线方程为( C ). (A )822111-=-=-z y x ； (B )622111-=--=-z y x ；(C )64211+=+=z y x ； (D )822111-=--=-z y x .3. 设平面区域D ： 1≤x 2+y 2≤4，则⎰⎰+Ddxdy y x f )(22=( C ).(A )⎰2)(2dr r rf π； (B )⎰2)(dr r f π； (C )⎰21)(2dr r rf π； (D )⎰21)(dr r f π.4. 根据二重积分的几何意义，下列不等式中正确的是( B )； (A )D x D,0d )1(⎰⎰>-σ：x ≤1，y ≤1； (B )D x D,0d )1(⎰⎰>+σ：x ≤1，y ≤1；(C )D y x D ,0d )(22⎰⎰>--σ：22y x +≤1； (D )D y x D,0d )ln(22⎰⎰>-σ：x +y ≤1．5. 22ecos xy y y x -'''++=的特解形式可设为（ A ）；(A )(cos sin )e xx A x B x -+； (B )e cos x Ax x -； (C )e sin x Ax x -； (D )(cos sin )exAx x x -+．6. 已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f∂∂=∂∂+yf （ C ）；)A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +． 7. 函数122+-=y x z 的极值点为（ D ）．)A ()0,0(； )B ()1,0(； )C ()0,1(；)D (不存在．8. 正项级数∑∞=1n na若满足条件（ D ）必收敛；（Ａ）0lim =∞→n n a ；（Ｂ）1lim1<+∞→n n n a a ；（Ｃ）1lim 1n n naa +→∞≤；（Ｄ）1lim 1>=+∞→λn n n a a ．9. 设级数∑∑∑∞=∞=∞=111,,n nn nn ncb a ，且n n nc b a <<),2,1( =n ，则（ B ）正确．（A ）若∑∞=1n nb收敛，则∑∞=1n na必收敛；（B ）若∑∞=1n na，∑∞=1n nc都收敛，则∑∞=1n nb必收敛；（C ）若∑∞=1n na，∑∞=1n nc都发散，则∑∞=1n nb必发散；（D ）若∑∞=1n nb发散，则∑∞=1n nc必发散.10. 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+.(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)⋅=a b a b ．二、填空题（每小题3分，共30分）1. 以曲线⎩⎨⎧==+x z z y x 222为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是 x 2+y 2-2x =0；2．曲线⎩⎨⎧==-+00422y z z x 绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程是x 2+y 2+z 2-4z =0；3. 设z =x sin(2x +3y ), 则yx z ∂∂∂2= )y x sin(x )y x cos(326323+-+；4. 设)ln(22y x z +=，则11d x y z===d d x y +；5. 设D ：x ≤π，y ≤1，则(sin )d d Dx y x y -=⎰⎰ ０；6. 改变二次积分⎰⎰21),(xdy y x f dx 的积分次序得⎰⎰110),(y dx y x f dy ；7. 写出麦克劳林展开式，并注明收敛域：=+)1ln(x 1,1](-∈+-+-+-+x nx )1(3x 2x x n1n 32 . 8. (2)''+'+=y py qy 0的特征方程为 02=++q pr r ； 9. ''=y x 2sin 的通解为 122sin x C x C -++ ；10. 设∑∞=1n nnx a的收敛半径为R ，则∑∞=12n n n x a 的收敛半径为R .三、判断题（正确的打“√”，错误的打“X ”,每小题2分，共20分）1. '=y y 的通解为e xy C =（C 为任意常数）．（ √ ） 2. a b b a ⨯-=⨯; ( √ ) 3. ()()()000000,,,x x x y y x x x x y x f y x f y x f =====表达式成立；（ √ ）4. 若),(y x f z =在()00,y x 处偏导数存在，则),(y x f z =在()00,y x 处一定可微；（ ⨯ ）5. 二重积分),(,d d ),(y x f y x y x f D⎰⎰≥0的几何意义是以),(y x f z =为曲顶，D 为底的曲顶柱体的体积； ( √ )6. 交错级数(),11∑∞=-n n na 若,0lim =∞→n n a 则∑∞=-1)1(n n n a 收敛; （ ⨯ ）7. 函数的幂级数展开式一定是此函数的泰勒级数. （ √ ）8. '''+''-=y y x 0的特征方程为3210r r +-=；（ ⨯ ）9. 若c b b a ⨯=⨯且≠0b ，则c a =； ( ⨯ ) 10. 交错级数(),11∑∞=-n n na 若,0lim =∞→n n a 则∑∞=-1)1(n n n a 收敛．（ ⨯ ）四、（7分）解微分方程 ''=-'y x y 2.解：设)(x p y ='，则)(x p y '=''，原方程变形为 p x p 2-='，对应的齐次方程为 02=+'p p ，用分离变量法，得d 2d px p=-，两边积分，得 ln 2ln p x c =-+，即2e xp c -=，根据常数变易法，设2()exp c x -=，代入p x p 2-='，有2()e x c x x -'=， 2()e ,xc x x '= 积分得 2()ed x c x x x=⎰=21de 2xx ⎰=2211e e d 22x x x x -⎰=22111e e 24x x x C -+，变形后所得一阶微分方程的通解为 p =211e 24x x C --+，所以，原方程的通解为 y =()d p x x ⎰=211(e )d 24xx C x --+⎰=212e x C C -++442x x -．五、（7分）在曲线⎪⎩⎪⎨⎧===32,,t z t y t x 上求一点，使其在该点的切线平行与平面42=++z y x ，并写出切线方程.解设所求点为（0t ，20t ，30t ），d d t t xt==1，d d t t y t==20t ，d d t t z t==320t ，故切线方程为 230200321t t z t t y t x -=-=-，由于切线与平面平行，切线的方向向量s ={1，20t ，320t }与平面的法向量n ={1，2，1}垂直，有={1，20t ，320t }·{1，2，1}=1+40t +320t =0，解方程，得 0t =1-或31-，当0t =1-时，切点为（1-，1，1-），切线方程为 31211+=--=+z y x ；当0t =31-时，切点为（31-，91，127-），切线方程为31271239131+=--=+z y x ，即 271291331+=--=+z y x ．六、（6分）求522++=y x z 在约束条件x y -=1下的极值．解作辅助函数 )1(5),,(22y x y x y x F --+++=λλ，则有λλ-='-='y F x F y x 2,2，解方程组 20,20,10,x y x y λλ-=⎧⎪-=⎨--=⎪⎩得 1,12x y λ===．现在判断11(,)22P 是否为条件极值点：由于问题的实质是求旋转抛物面522++=y x z 与平面x y -=1的交线，即开口向上的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点11(,)22P 处取得极小值112z =．。

珠海 06-07经管内招生高数试卷B答案

暨南大学考试试卷2006-2007学年度第一学期：《高等数学一段内招(经管用)》试题B 答案及评分标准一、填空题（16分）1、25；23、(()(),,,,-∞+∞；4、12；5、()()xF x x -Φ；6、等价；7、1x =-；8、[]14,二、单选题（16分）1.d;2.b;3.d;4.c;5.d;6.a;7.a;8.b三、应用题（2道题，共12分）1. 设某商行能以5%的年利率借到钱款，然后又将此款贷给顾客。

若它能贷出的款额数量与它贷出的年利率的平方成反比，问贷出的款额的年利率是多少时该商行获利最大？（5分）解：设贷出的款额的年利率是x ，则贷出的款额为()2k,k 0x>，此时商行获利为：()()22k k 0.05kf x x 0.05x x x =-=- ……….3分由()f x 0'=得：23k 0.1k0x x-+=，解得：x 0.1=而()()f 0.1k 200030000''=-<，故x 0.1=为唯一极大值点，也是最大值点。

即x 0.1=时商行获利最大。

………..5分2.求正弦曲线y sin x =在[]0,2π上与x 轴所围成的平面图形的面积S .(7分) 解：0S=2sinxdx π⎰ ……….4分[]0=2-cosx 4π= ………7分四、求极限题（15分）1．0arcsin lim 4x xx→解：00arcsin arcsin limlim44sin(arcsin )x x x xx x →→= ………3分 14=………5分 2．3sec 2lim(1cos )xx x π→+解：13sec 3cos 22lim(1cos )lim[(1cos )]xx x x x x ππ→→+=+ ………3分3e = ………5分3.x →∞解：x x →∞-= ………3分0= ………5分五、讨论题（共2道题, 每题5分, 共10分）1.设,0,()sin 2,0,ax e x f x x b x ⎧≤=⎨+>⎩ 问b a ,为何值时,)(x f 可导.并写其导函数。

06高数B(2)B卷一

= …….… (计算过程无误,结果正确3分)
4．求幂级数：的收敛域及和函数。
4．解： ………Biblioteka .( 2分)而级数：，均发散，所以收敛域为： ………….( 3分)
………….( 6分)
又： …………( 8分)
………. (10分)
：_____________________________________________________________________________________________________________
五、（10分）某工厂生产甲、乙两种产品，其利润是两种产品产量、的函数，且利润函数：
。如果现有原料（不要求用完），生产两种产品每千只都要消耗原料，求使利润最大的产量、，以及最大利润。
一、选择题：（每小题4分，共20分）
1
2
3
4
5
A
B
C
C
B
二、填空题：（每小题4分，共20分）
。
。
。
。
。
三、计算下列各题（每小题10分，共40分）
所以： ……….. ( 10分)
3．计算二重积分：，其中是由抛物线：和直线
所围成的区域。
3．（解一）： ……… (积分限各2分,共4分)
= ……….. (算出原函数1分,代入结果2分,共3分)
= …… (计算过程无误,结果正确3分)
（解二）： ………. (积分限各2分,共4分)
= ……….. (算出原函数1分,代入结果2分,共3分)
四．（10分）求微分方程：一条积分曲线，使其在原点处与直线：相切。
解：方程：的特征方程为： …………. (2分)
特征根分别为： …………. (4分)

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中南民族大学试卷试卷名称： 2006-2007学年度第二学期期末考试《高等数学B (二)》试卷试卷类型： B 卷共 8 页适用范围：经济、管理学院(系) 2006 级各专业本科B 卷第1页共 8 页学院专业级学号姓名………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………………………………………装………………………………订………………………………线………………………………………B一、填空题(每小题3分,共15分)1、设22(,)yf x y x y x-=-，则=),(y x f _____________.2、已知1()2Γ=5(2Γ＝___________.3、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值，则常数________a =.4、已知)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则=')0,1(x f ________.5、以x x e C e C y 321+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是__________________.注意事项：1. 必须在答题纸注明的试题号处答题，否则不予计算答题得分；1. 严禁使用草稿纸,草稿可在答题纸背面书写，试卷不得拆开、撕角；2. 将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借；3. 认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。

B 卷第2页共 8 页B二、选择题(每小题3分,共15分)6、已知dx e px⎰∞+- 0与⎰e p x x dx 1 ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 0>p (B) 0<p (C) 1<p (D) 10<<p7、对于函数22(,)f x y x y =-,点(0,0)( ).(A) 不是驻点 (B) 是驻点而非极值点 (C) 是极大值点 (D) 是极小值点8、已知21()DI x y d σ=+⎰⎰,32()DI x y d σ=+⎰⎰,其中D 为22(2)(1)1x y -+-≤,则( ).(A) 12I I = (B) 12I I > (C) 12I I < (D) 2212I I =9、方程x xe y y y 265=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 2)(+= (C) x e bx ax y 22)(+= (D) x e bx ax y 223)(+=10、级数∑∞=-12)1(n n nna 收敛，则级数∑∞=1n n a ( ).(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定中南民族大学试卷B 卷第3页共 8 页………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………B学院专业级学号姓名………………………………装………………………………订………………………………线………………………………………三、计算题(每小题6分,共60分)11、求3x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限)1sin 1sin(lim 00xy y x y x +→→.注意事项：1. 必须在答题纸注明的试题号处答题，否则不予计算答题得分；1. 严禁使用草稿纸,草稿可在答题纸背面书写，试卷不得拆开、撕角；2. 将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借；3. 认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。

B 卷第4页共 8 页B13、设xyyx z -+=1arctan ,求22x z ∂∂.14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y x y =在满足条件1x y +=下的极值.中南民族大学试卷B 卷第5页共 8 页………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………B学院专业级学号姓名………………………………装………………………………订………………………………线………………………………………15、计算⎰⎰1010d e d y x x xy.16、计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域.注意事项：1. 必须在答题纸注明的试题号处答题，否则不予计算答题得分；1. 严禁使用草稿纸,草稿可在答题纸背面书写，试卷不得拆开、撕角；2. 将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借；3. 认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。

B 卷第6页共 8 页B17、解微分方程0='+''y y x .18、判别级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛12!n nn n 的敛散性.中南民族大学试卷B 卷第7页共 8 页………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………B学院专业级学号姓名………………………………装………………………………订………………………………线………………………………………19、将函数xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数.20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产品,生产y 单位乙产品的总费用为2220300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.注意事项：1. 必须在答题纸注明的试题号处答题，否则不予计算答题得分；1. 严禁使用草稿纸,草稿可在答题纸背面书写，试卷不得拆开、撕角；2. 将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借；3. 认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。

B 卷第8页共 8 页B四、证明题(每小题5分,共10分)21、设222ln z y x u ++=,证明222222z uy ux u ∂∂+∂∂+∂∂=2221x y z ++.22、若∑∞=12n na 与∑∞=12n nb 都收敛,则∑∞=1n n n b a 收敛.试卷名称: 高等数学B(一) (B 卷共 1 页)B 卷第1页一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y+-. 2. 3、5-. 4、1. 5、034=+'-''y y y . 二、选择题(每小题3分,共15分)6、(D ).7、 (B).8、(C ) .9、(C). 10、(C).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求3x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积. 解：⎰=20 2dx y V x π (3分)712872726πππ===⎰x dx x , (6分)12、求二重极限)1sin 1sin(lim 00xy y x y x +→→. 解：由于|||||1sin 1sin|0y x xy y x +≤+≤, (3分) 而0|)||(|lim 0=+→→y x y x , 所以01sin 1sin(lim 00=+→→xy y x y x (6分)试卷名称: 高等数学B(二) (B 卷共 1 页)B 卷第2页13、设xyyx z -+=1arctan ,求22x z ∂∂.解:22211)1())(()1(1111xxy y y x xy xy y x xz+=--+--⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=∂∂ (3分) 2222)1(2x xx z +-=∂∂ (6分)14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值. 解：2(,)(1)z f x y x x x x ==-=-令'120z x =-=,得12x =, "20z =-<,所以11(,22为极大值点. (3分) 故(,)f x y xy =在条件1x y +=下的极大值点为11(,)22,极大值为14. (6分)15、计算⎰⎰101d e d y x x xy .解:⎰⎰⎰=1101010d )e (d e d x y x x xy xy (3分)2e )e (d )1e (101-=-=-=⎰x x x x . (6分)试卷名称: 高等数学B(一) (B 卷共 1 页)B 卷第3页16、计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域.解：2sin 2200169D d r dr πθθ==⎰⎰ (6分)17、解微分方程0='+''y y x .解：令y p '=,p y '='',方程化为0=+'p p x ⇒xp p 1-='⇒⎰⎰-=x dx p dp ⇒1ln ||ln ||ln C x p '+-=⇒x C p 1= (3分) ⇒211||ln C x C dx xC dx p y +===⎰⎰ (6分)18、判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛12!n nn n 的敛散性. 解：12()(1)!1121(!222lim lim lim lim 1(1)(1n n n n n n n n n n n n n n n n a n a n e ++++→∞→∞→∞→∞====<++ 所以级数12!nn n n ∞=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑收敛。

(6分)试卷名称: 高等数学B(二) (B 卷共 1 页)B 卷第4页19、将函数xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数. 解：由于⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==331311)(x x x f ,已知 ∑∞==-011n n x x ,11<<-x , (3分) 那么 ∑∑∞=∞=+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=001)3(31)1(3331)(n n n n n nx x x f ,60<<x . (6分)20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产品,生产y 单位乙产品的总费用为2220300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.解：总利润为224060[20300.1(223)100]z x y x y x xy y =+-++-++＝2220300.20.20.3100x y x xy y +-+--60<<x 令⎩⎨⎧=-+==+-=06.02.03002.04.020y x z y z yx 解得80,90==y x , (3分) 而2.0,6.0,04.0==-==<-==xy yy xx z C z B z A ,02.02>=-=B AC D 于是)80,90(为极大值点,因极值点唯一,故它就是最大值点,所以甲、乙两种产品各生产90和80单位时该工厂取得最大利润. (6分)试卷名称: 高等数学B(一) (B 卷共 1 页)B 卷第5页四、证明题(每小题5分,共10分)21、设222ln z y x u ++=,证明222222z u y u x u ∂∂+∂∂+∂∂=2221x y z++. 证：222222221zy x x z y x x x u ++=++=∂∂ (3分) 2222222222222222)()(2z y x z y x z y x x x z y x x u ++++-=++⋅-++=∂∂ 由对称性 222222222)(z y x z y x y u +++-=∂∂，222222222)(z y x z y x z u ++-+=∂∂ 故 2222222221z y x z u y u x u ++=∂∂+∂∂+∂∂ (6分)22、若∑∞=12n n a 与∑∞=12n nb 都收敛,则∑∞=1n n n b a 收敛. 证: 因为)(2122n n n n b a b a +≤,而级数∑∞=12n n a 与∑∞=12n n b 均收敛, (3分) 所以)(21212n n n b a ∑∞=+收敛, 由比较判别法知∑∞=1n n n ba 收敛,于是∑∞=1n n nb a 收敛。