基于重心法的模糊风险分析

第31卷第2期辽宁工程技术大学学报（自然科学版）2012年4月V ol.31No.2Journal of Liaoning Technical University（Natural Science）Apr.2012文章编号：1008-0562(2012)02-0240-04基于重心法的模糊风险分析张成，李婷，刘晓真(大连大学信息工程学院，辽宁大连116622)摘要：为了使模糊风险分析理论在实际中的应用更有效，需要建立更合理的模糊数间的相似性测度公式.以往基于重心法所建立的模糊数间的相似性测度依据的都是近似的重心公式，缺乏理论根据.针对广义梯形模糊数，采用SCGM建立准确的COG公式，说明了基于此表达式计算广义梯形模糊数相似度的优势，从而克服了用近似重心公式得到的相似性测度公式的缺陷.结果表明：基于准确COG表达式所给出的相似性测度进行模糊风险分析，得到的结果可靠性更高,便于决策者作出更加准确的决策.关键词：模糊数；广义梯形模糊数；相似性测度；COG公式；SCGM；风险分析结构；语言指标集；模糊风险分析中图分类号：O159文献标志码：AFuzzy risk analysis based on COG methodZHANG Cheng,LI Ting,LIU Xiaozhen(College of Infor mation Engineer ing,Dalian Univer sity,Da lian116622,China)Abstra ct:In order to make the fuzzy risk analysis theory more effective in practice,a more rational method for calculating the degree of similarity between fuzzy numbers is required.The methods based on the Center of Gravity Method actually are approximate and lack of theoretical basis.In terms of generalized trapezoidal fuzzy numbers,an accurate expression of COG based on SCGM is presented in this paper.The proposed COG expressions have an advantage in calculating similarity measure of fuzzy numbers.It overcomes the disadvantage of similarity measure method based on the approximate expressions of COG.The study shows that the results from the proposed method are more reliable and beneficial for decision-makers to make a more accurate decision. Keywords:fuzzy numbers;generalized trapezoidal fuzzy numbers;similarity measures;COG method;SCGM; structure of risk analysis;linguistic term set;fuzzy risk analysis0引言自1965年Zadeh[1]提出模糊集理论以来，模糊风险分析理论在实际中有着许多应用，如文献[2]基于该理论对重力坝坝基失稳问题进行风险分析评估，文献[3]将该理论应用到土石坝坝基失稳问题的研究中.而在模糊风险分析中，模糊数的相似性测度一直是研究的热点之一，在模糊决策和模糊风险分析中起着重要作用.Chen[4]等在2003年提出了一种COG方法—简单重心法(SCGM),给出了文献[5-6]定义的广义梯形模糊数之间的相似性测度公式，并将其应用于模糊风险分析.之后许多学者对基于广义梯形模糊数的模糊风险问题展开了讨论.文献[7]在2010年重新定义了广义梯形模糊数之间的代数运算，基于这些运算和文献[4]提出的SCGM构造了处理模糊风险分析问题的另一种相似性测度方法,该方法可以有效地度量广义梯形模糊数之间的相似度.通过研究发现，文献[4]给出的只是COG的近似表达式COG**(,)x y=，文献[4,7]的研究都是基于此表达式展开的，因此，从逻辑上来讲，其得到的广义梯形模糊数之间的相似度值误差相对较大，从而处理模糊风险分析问题时就会存在偏差，也存在一定的弊端.本文在文献[1]的基础上,推导出了COG的准确表达式COG**(,)x y=%%,举例说明了基于COG**(,)x y=%%计算模糊数的相似度的优势，并将其应用到模糊风险分析中，从而得到可靠性更高的结果，因此更加便于决策者作出准确的决定.1预备知识1.1广义梯形模糊数、COG计算公式和SC G M文献[5-6]给出了广义梯形模糊数的定义.所谓收稿日期：2011-10-20基金项目：国家自然科学基金资助项目（90818025）作者简介：张成(1965-),男,辽宁阜新人，教授，主要从事模糊系统理论面的研究.本文编校：曾繁慧241第2期张成，等；基于重心法的模糊风险分析广义梯形模糊数是指非正规的梯形模糊数，即隶属函数取值属于[0,]ω，其中01ω<≤.传统的COG 方法[8-9]在处理模糊排序和解模糊化问题中是非常有用的.模糊数A 的COG 计算公式中的为*Ay *()d ()d A AA y y y y y μμ=∫∫y ，(1)式中,()A y μ表示隶属函数,()[0,1]A y μ∈.由文献[10]可知，A 的中心曲线方程为：212111()/()()/(y y x x y y x x =)，(2)式中，121()/2,()/2,,x c b x d a y ω=+=+=20;01y ω=<≤.文献[4]指出广义梯形模糊数A 的COG 点在中心曲线上，使用COG 的计算公式(1)和中心曲线方程(2)可以得到COG 的*A y *A x值.将此COG 的计算方法称为SCGM ，具体如下设1234(,,,;)A A a a a a ω=是广义梯形模糊数，则A 的COG 点的值为*A y 3214*4114(2)/6,,0/2,,0 1.A A AA 1,a a a a a a y a a ωω×+≠<==<≤≤A ωω(3)基于式(2)可得A 的COG 点的*A x值为**21211221(())/()A A x y x x x y x y y y =+,(4)式中，132()2x a ，a =+241()a 2x a =+20，y =，1A y ω=，并且01A ω<≤.所以，式(4)可写为***3241[()()()]/(2)A A A A Ax y a a a a y ωω=+++.(5)基于式(3)和(5)，得到广义梯形模糊数A 的COG 点为COG **()(,)A A A x y =.1.2广义梯形模糊数之间的相似性测度设广义梯形模糊数1234(,,,;)A A a a a a ω=和1234(,,,;)B B b b b b ω=,0，且,12341a a a a ≤≤≤≤≤1123401b b b b ≤≤≤≤≤0,A B ωω<≤.在文献[1]中，广义梯形模糊数A 和B 之间的相似度定义为(,)S A B (,)**(,)(1||)A BB SS A B S A B x x =--**4**1min(,)[1(||)/4]max(,)A B ii i A By y a b y y =×∑,(6)式中，B S 1,0(,)0,A B A BA B S S S S S +>=+=41B S b b =-，,.41A S a a =-在文献[7]中，广义梯形模糊数A 和B 之间的相似度被定义为(,)ωS A B 41(,)1(||)/4(1)(,)ωi i i S A B ωa b ωd A B ==∑,(7)式中，**2**2(,)()()/1.25.A B A B d A B x x y y =-+-1.3模糊风险分析模糊风险分析最早是由Schmucker 提出来的[11],其结构如图1.事件A 失效概率:R图1风险分析结构Fig.1structure of risk analysis设事件A 由子事件1A ,2A ,…,n A 组成，且每个子事件i A 有两个评价指标即i R 和W ,其中i i R 表示子事件i A 的失效概率,表示子事件i W i A 的损失严重度,且.所有的评价指标用语言(即“高”,“中等”,“低”等)描述.1i n ≤≤文献[4]中的i R ，W 和i R 都用广义梯形模糊数表示,模糊风险分析的运算步骤如下：步骤1利用模糊权均化方法和广义梯形模糊数的代数运算,综合事件i A 的评价指标i R 和W ,得到事件i iA 的整个风险R 为11()/nnii i i R W R ===i W ∑∑.(8)步骤2计算模糊数R 和表1中每个语言描述的相似性,然后将模糊数R 转换成与其相似度最大的语言描述,记为.1234(,,,;)R R r r r r w =步骤3如果转换成的R 中的有大于1的数，将其记为，转换(1,2,3,4)i r i =k R 为标准梯形模糊数3124(,,,;).R r r r rR k k k kw =2广义梯形模糊数的COG 公式文献[4]指出，SCGM 中值是根据公式(1)得到，但通过研究发现，公式(3)并不是公式(1)的计算*A y 子事件:n A失效概率:n R损失严重度:nW子事件:2A失效概率:2R 损失严重度:2W 子事件:1A 失效概率:1R 损失严重度:1W242辽宁工程技术大学学报（自然科学版）第31卷结果，只是一个近似的COG 表达式.本章给出了COG 的准确表达式.为了便于说明,将COG 的准确表达式记为：COG **()(,)A A A x y =%%,并将基于此表达式得到的两个广义梯形模糊数A 和B 相似度记为:.(,)S A B %事实上,对于01A ω<≤,当时,1a a ≠4()344321*323241d d d d ()[()()]1/3.aaAAaaAy a Ay a DA yy x y y y x a a a a a a ωωωω++===×++∫∫∫∫%因此,可得*A y %的准确表达式为3214*324114[1]/3,()()/2,.A AA a a a a a a a a y a a ωω×++==%,≠(9)由此不难看出式(9)和式(3)的差别，由式(9)和中心曲线(2)方程可得***3241[()()()]/(2).A A A A Ax y a a a a y ωω=+++%%%(10)本文得到准确的COG 公式为COG **()(,)A A A x y =%%.由于文献[4]给出的只是近似的COG 公式，因此，在同文献[4,7-10]相同的计算条件下,本文得到的相似度值与真实情况更接近,在解决要求误差较低的实际问题时更有利于作出决策.下面举例说明基于COG **()(,)A A A x y =%%计算模糊数相似性测度公式的优势.对于广义梯形模糊数A ,B 和C ,当B 和C 的相似度接近于1时,基于文献[1]中近似的COG(,)S B C **(,)x y =公式计算(记为),基于本文的COG |(,)(,S A B S A C)|1S **(,)x y =%%公式计算|((记为)，得到的值越小，方法越好.,)(,)|S A B S A C %%2S 例1设三个广义梯形模糊数为(0.1,0.15,0.25,0.3;1.0)A=,(1.0,1.0,1.0,1.0;0.0)B =,(0.99,0.99,0.99,0.99;0.0)C =.下面分别计算和，并比较其大小.1S 2S 下面以文献[7]的方法，即式(7)，计算广义梯形模糊数之间的相似度，其中0.5ω=.步骤1计算广义梯形模糊数B 和的相似度.易得，，C **0B B y y ==%** 1.0B B x x ==%**0C C y y ==%，，**0.99C C x x ==%从而由此可见,(,)(,)0.9905.S B C S B C %==B 和的相似程度很大.C 步骤2计算和，比较两者的大小.1S 2S 由文献[1]中*A y 式(3)和*A x 式(5)分别得*0.4167,A y =*0.2.A x =从而所以,(,)0.1966,S A B =(,)0.2056.S A C =1|(,)(,)|0.009.S S A B S A C ==利用本文的*A y %式(9)和*A x %式(10)可得:*0.4444A y =%,*0.25.A x =%从而所以，(,)0.1907,S A B %=(,)0.1996.S A C %=2|(,)(,)|0.0089.S S A B S A C ==%%因为,所以用本文的COG 1S S >2**()(,)A A A x y =计算广义梯形模糊数之间的相似性测度能得到更可靠、更接近于实际的结果.3基于准确COG 公式的模糊风险分析本章根据COG **()(,)A A A x y =%%利用与文献[4]中相同的相似性测度方法对文献[11]提出的模糊风险分析问题的一个例子进行计算.例2在模糊风险结构中，设事件A 由三个子事件1A ,2A ,3A 组成，且每个子事件i A 由两个评价指标即i R 和，其中i W i R 表示子事件i A 的失效概率，表示子事件i W i A 的损失严重度，1.所有的评价指标用语言描述(即“高”,“中等”,“低”等)3i ≤≤i R 和的值.在文献[12]中，Wei 和Chen 采用一个9个元素组成的语言指标集(广义梯形模糊数)表示语言指标，见表1.i W 表1由9个元素组成的语言指标集Tab.1A nine-member linguistic term set语言描述广义梯形模糊数极低(0.0,0.0,0.0,0.0;1.0)很低(0.0,0.0,0.02,0.07;1.0)低(0.04,0.1,0.18,0.23;1.0)较低(0.17,0.22,0.36,0.42;1.0)中等(0.32,0.41,0.58,0.65;1.0)较高(0.58,0.63,0.80,0.65;1.0)高(0.72,0.78,0.92,0.97;1.0)很高(0.93,0.98,1.0,1.0;1.0)极高(1.0,1.0,1.0,1.0;1.0)下面基于本文的COG 公式估计事件A 失效的概率R 为多大.由式(8)可知事件A 失效的概率可以被估计为如下的广义梯形模糊数1234(,,,;)R R r r r r w ==[低低中等较高⊕⊕高很低][低⊕较高⊕很低]=243第2期张成，等；基于重心法的模糊风险分析(0.1614,0.2683,0.7052,1.095;1.0).因1，将.0951>R 被转换为标准模糊数3124(,,,;)(0.1474,0.2450,0.6440,1.0;1.0)R r r r rR k k k kw ==,1.095k =.采用式(9)和式(10)可得九个单元语言集的COG 点分别为：COG(极低)(0,0.5),=COG(很低),(0.0248,0.4074)=COG(低)(0.1372,=0.4321),COG(较低)(0.2927,0.4530),=COG(中等)(0.4895,0.4467),=COG(较高)(0.7177,0.4593),=COG(高)(0.8473,=0.4530),COG(很高)(0.9752,0.4074),=COG(极高)(1.0,0.5)=.同理,可得广义梯形模糊数R 的COG 点为COG ()(0.4396,0.5169)R =且.0.8526R S =再由相似度公式(6)可得到广义梯形模糊数R 和表1中语言值的相似性测度分别为：(,S R %极低),很低)0,0.2072=(,S R %.2417=(,S R %低,较低),)0.3831=(,S R %0.5813=(,S R %中等),较高),0.7773=(,S R %0.5520=(,S R %高,很高),)0.4202=(,S R %0.2669=(,S R %极高).0.2314=可以看出中等(,S R %)0.7773=是这九组中值最大的，所以广义梯形模糊数R 转化为语言“中等”即事件A 失效的概率为中等.尽管此结果与文献[4]中运用近似的COG 公式所得的结果一致，但本文得到的中等)比文献[4]得到的中等大，且是根据(,S R %0.7773=(,S R )0.7282=COG 的准确表达式得到的，能够为决策者提供更接近于实际的信息，可信度大，便于决策者更加准确地作出决定.4结论在文献[4]的基础上，本文给出了COG 的准确表达式，并与文献[4]给出的近似COG 公式进行了比较；基于文[4]提出的广义梯形模糊数的相似性测度方法将其应用在模糊风险分析中.通过对比发现，以准确COG 公式给出的广义梯形模糊数间的相似性测度更加合理，从而使模糊分析方法更为有效.不难知道，凡是基于文[4]所提出的COG 公式的理论与方法都可用本文给出的方法重新讨论，使之更加合理.此外，本文的工作不仅可以应用到管道运输和重力坝坝基的风险分析中，也可以在煤矿安全、水资源短缺中展开风险分析，对此将进一步探讨.参考文献:[1]Zadeh L A.Fuzzy Sets,Inform and Control[J].1965(8):338-353.[2]魏东吼,郑贤斌.基于SCGM 的管道模糊风险分析方法[J].油气储运,2009,28(12):31-34.[3]彭慧慧.重力坝坝基失稳模糊风险分析方法研究[D].大连:大连理工大学硕士学位论文,2011.[4]Chen S J ,Chen S M.Fuzzy risk analysis based on s i mil arit y measuresof generalized fuzzy numbers[J].IEEE Trans actions on Fuzzy Systems,2003,11(1):45-55.[5]Chen S H.Operations on fuzzy numbers with function pri ncipal[J].Tamkang J.Manag.Sci.,1985,6(1):13-25.[6]Lee C C.Ranking generalized fuzzy number with graded meanint egrati on[J].Fuzzy Syst.Assoc,1999(20):899-902.[7]Zhangyan Xu,Shichao Shang,W enbin Qi an,W enhao Shu.A methodfor fuzzy risk anal ysis based on the new similarity of trapezoidal fuzzy numbers[J].Expert Systems with Applications,2010(37):1920-1927.[8]Bojadziev G,B ojadziev M.Fuzzy logic for business,finance andmanagement[M].Si ngapore:World Scient 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