初等数论复习

1253 17(22) = (125, 17) = 1
§1.3 质因数分解定理
正整数分类 1 质数(素数) 合数
定理1(算术基本定理)
1 2 k
任何大于1的整
数n可以唯一地表示成 n = p1 p2 pk ， (2) 其中p1, p2, , pk是素数，p1 < p2 < < pk，1, 2, , k是正整数。
费马数
也叫费马质数.当年费马发现
F1=2^(2^1)+1=5 F2=2^(2^2)+1=17 F3=2^(2^3)+1=257 F4=2^(2^4)+1=65537 F5=2^(2^5)+1=4294967297 前4个是质数,因为第5个数实在太大了,费马认 为是质数,并提出(费马没给出证明)
如果全是形如 4n+1 积也是形如 4n+1
所以，N必有形如 4n-1的质因数 p
且 p 不同于p1, p2, , pk
设: n=2k j (k为非负整数，j为正奇数) 若 j≠1，则 n+1=(22k)j+1j 2 2k+1)((22k)j-1-(22k)j-2+…+1j-1) =(2 2k+1是2n+1的真因数 2 所以2n+1是合数
哥德巴赫猜想
任何一个大于2的偶数都是两个素
数之和。 中国的陈景润证明了"1+2“
质因数个数较少的数称为殆质数
1.1 奇数与偶数
整数中能被2整除的整数称为偶数，
一般表示为 ２k 整数中不能被2整除的整数称为奇数。 一般表示为 ２k+1
偶数集：｛0, ±2, ± 4, ± 6｝ 奇数集： ｛±1, ±3, ± 5｝
第二章 同余
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 基本性质 同余的应用 费马小定理 中国剩余定理
定义: 给定正整数m，如果整数a与b之差被
m整除，(存在 q 使得 a-b=qm)则称a与b对于 模m同余，或称a与b同余，模m，记为 a b (mod m)， 此时也称b是a对模m的同余。 如果整数a与b之差不能被m整除，则称a与b 对于模m不同余，或称a与b不同余，模m， 记为a b (mod m)。 如 62 48 (mod 7) 12 60 (mod 8)
(3) 传递性 若 a b (mod m)， b c (mod m)， 则 a b (mod m) (4) 若a b (mod m)， c d (mod m)，则 a±c b±d (mod m)
(5) 若 a b (mod m), c d (mod m)，则
ac bd (mod m)
注 1：形如 2
2
n
1 （n = 0, 1, 2, ）的数称为
Fermat 数。Fermat 曾经猜测它们都是素数。 这是错误的，因为尽管 F0，F1，F2，F3，F4 都是素数，F5 = 2
2
5
1 641 6700417 却是合数。
梅森数
马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）
[ a, b] p1 p 2 p k ， i max{ i , i }， 1 i k。
例 写出51480的标准分解式。 解 我们有 51480 = 225740 = 2212870 = 236435 = 2351287 = 2353429 = 23532143 = 233251113
定义 使用定理1中的记号，称 n = p1 p2 pk 是n的标准分解式，其中pi（1 i k）是 素数，p1 < p2 < < pk， i（1 i k） 是正整数。
1 2 k
推论 1 (ⅰ)
d = p1
1
使用式(2)中的记号，有
n 的正因数 d 必有形式
定义
设m是正整数，从模m的每一个剩 余类中任取一个数xi（0 i m 1）， 称集合{x0, x1, ,xm 1}是模m的一个完全 剩余系（或简称为完系）。

至少有一个乘数是偶数的积是偶数
基本性质1.3
（1） 如果一个偶数能被奇数整除，那么商必
是偶数. （2） 两个连续整数的积 n(n+1)是偶数.
1.2.1 带余除法
(带余数除法) 设a与b是两个整数，b 0，
|
则存在唯一的两个整数q和r，使得 a = bq r，0 r < |b|。 (1) 定义1 称式(1)中的q是a被b除的商，r是a被b 除的余数
(6) 若 a b (mod m), 且 n∈N，则
an bn (mod m) (7) 若 ac bc (mod m) ，且c≠0，则 a b (mod m/(c,m)) (8) 若 a b (mod m), m=qn ，则 a b (mod n) (9)若 a b (mod mi),i=1,2,…,n ，则 a b (mod [m1,m2,…,mn]),
0 是偶数而且 0 是任何整数的倍数
基本性质1.1
（1） 偶数±偶数=偶数
（2） 奇数±奇数=偶数 （3） 偶数±奇数=奇数 奇数个奇数的和是奇数;


偶数个奇数的和是偶数； 任意正整数个偶数的和是偶数
基本性质1.2
（1） 奇数×奇数=奇数
（2） 奇数×偶数=偶数 （3） 偶数×偶数=偶数 任意多个奇数的积是奇数;
2.1.2 完全剩余系
定义 给定正整数m，对于每个整数i，0 i m 1，称集合 Ri(m) = { n；n i (mod m)，nZ }。 是模m的一个剩余类。
也可表示为
Mi={i+km|k Z}，i=0,1,2,…,m-1
m＝2时，Z可以分为2类，一类是奇数，一类 是偶数。 m=3时，Z可以分为3类，3k-1,3k,3k+1 m=4时，Z可以分为4类，4k,4k+1,4k+2,4k+3
例 求使 1989m为平方数的最小m
P24 练习1.3
3
4
§1.4 质数
1.4.1 质数的无限性 基本结论1.4 质数有无限多个。
例 形如4n – 1的素数有无限多个。
解 若不然，假设只有k个形如4n – 1的素数p1, p2, , pk。记 N = 4p1ppk – 1。
N 的质因数一定是奇数 形如 4n+1 或4n – 1
，b p1 p 2 p k ，
1
1
k
其中 p1, p2, , pk 是互不相同的素数，i， i（1 2 p k ， i min{ i , i }， 1 i k，
1 1 k
定理 下面的等式成立： (ⅰ) [a, 1] = |a|，[a, a] = |a|； (ⅱ) [a, b] = [b, a]； (ⅲ) [a1, a2, , ak] = [|a1|, |a2| , |ak|]； (ⅳ) 若ab，则[a, b] = |b|。
辗转相除法
定义1 下面的一组带余数除法，称为辗转相除法。 设a和b是整数，b 0，依次做带余数除法： a = bq1 r1， 0 < r1 < |b|， b = r1q2 r2， 0 < r2 < r1 ， rk 1 = rkqk + 1 rk + 1，0 < rk + 1 < rk ， (1) rn 2 = rn 1qn rn， 0 < rn < rn-1 ， r n 1 = r nq n + 1 由于b是固定的，而且 |b| > r1 > r2 > ， 所以式(1)中只包含有限个等式。
p22 pk k

，iZ，0 i i，1 i k；
(ⅱ) m = p1
1
n 的正倍数 m 必有形式

p2 2 pk k
M，MN， iN， i i，1 i k。
推论 2
1
设正整数 a 与 b 的标准分解式是
2 k
a p1 p 2 p k
1.2.3 裴蜀恒等式
(a,b)=ua+vb
其中 u,v是两个整数
rn 2 = rn 1qn rn (a,b)= rn =rn 2 rn 1qn rn-1 =rn 3 rn 2qn-1 代入上式得 (a,b)= u1rn 2 v1rn 3
………
可得: (a,b)=ua+vb
例 若n是奇数，则8n2 1。 解 设n = 2k 1，则 n2 1= (2k 1)2 1 = 4k(k 1)。 在k和k 1中有一个是偶数， 所以8n2 1。
1.2.2 最小公倍数与最大公约数
定义 整数a1, a2, , ak的公共倍数称为a1,
a2, , ak的公倍数。a1, a2, , ak的正公 倍数中的最小的一个叫做a1, a2, , ak的 最小公倍数，记为[a1, a2, , ak]。 定义 整数a1, a2, , ak的公共约数称为a1, a2, , ak的公约数。不全为零的整数a1, a2, , ak的公约数中最大的一个叫做a1, a2, , ak的 最大公约数（或最大公因数），记为(a1, a2, , ak)。
是17世纪法国著名的数学家和修道士
形如2p－1的正整数，其中p是素数，常记为



Mp 。若Mp是素数，则称为梅森素数。 p＝2，3，5，7时，Mp都是素数， 但M11＝2047＝23×89不是素数 。 已发现的最大梅森素数是p＝24036583的情形， 此时 Mp 是一个7235733位数。 是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的 难题之一。