高三数学月考试题及答案-天津市武清区杨村第一中学2015届高三第一次阶段性检测试题(理)
【解析】天津市武清区杨村一中2015届高三上学期第一次段考数学(文)试卷 Word版含解析[ 高考]
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2014-2015学年天津市武清区杨村一中高三（上）第一次段考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设全集U=R，若集合A={x|﹣1≤x≤5}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则∁U（A∩B）为( ) A．{1＜x≤5} B．{x≤﹣1或x＞5} C．{x≤1或x＞5} D．{1≤x＜5}2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是( )A．y=B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|3．设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ=( ) A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣0.54．已知函数f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点所在的区间是( ) A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a6．要得到一个奇函数，只需将函数的图象( )A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位7．已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）8．如图，在等腰直角△ABO中，设为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线L，设P为垂线上任一点，，则=( )A． B．C． D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．设集合A={﹣3，0，1}，B={t2﹣t+1}．若A∪B=A，则t=__________．10．已知平面向量=（2，4），，若，则||=__________．11．已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则cosα的值为__________．12．奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若f（x）在[0，2]上单调递减，且f（1+m）+f（m）＜0，则实数m的取值范围是__________．13．在边长为1的等边△ABC中，D为BC边上一动点，则的取值范围是__________．14．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+1）=﹣f（x），当﹣1≤x＜1 时，f（x）=x3，若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是__________．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，向量，=（a﹣b，c），=（a﹣c，a+b），且与共线．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设y=2sin2C+cos，求y的最大值及此时角C的大小．17．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R）（Ⅰ）若x=1为f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0，求f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值．18．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin=，bsinA=asinC，c=1．（Ⅰ）求a的值和△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．19．（14分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax．（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（II）当a=3时，求出f（x）的极值：（III）在（I）的条件下，若在x∈（0，1]内恒成立，试确定a的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2．问：是否存在常数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年天津市武清区杨村一中高三（上）第一次段考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设全集U=R，若集合A={x|﹣1≤x≤5}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则∁U（A∩B）为( ) A．{1＜x≤5} B．{x≤﹣1或x＞5} C．{x≤1或x＞5} D．{1≤x＜5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】利用交集与补角运算性质即可得出．【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤5}，B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x≤5}．则∁U（A∩B）={x|x≤1，或x＞5}．【点评】本题考查了交集与补角运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是( )A．y=B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．【解答】解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．3．设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ=( )A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣0.5【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】把、可以作为平面向量的一组基底，求得向量和向量的坐标，再利用两个向量共线的性质，求得λ的值．【解答】解：方法1：因为向量与共线，所以存在实数x有=x[]=2x，则，解得．方法2：由于与是两个不共线的向量，故、可以作为平面向量的一组基底，故向量的坐标为（1，λ），向量的坐标为（2，﹣1）是且向量与共线，可得1×（﹣1）﹣2λ=0，解得λ=﹣，故选D．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．4．已知函数f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点所在的区间是( ) A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】导数的运算；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数f（x）的导函数，把f（x）及其导函数代入函数g（x）中，对函数g（x）求导可知函数g（x）是单调函数，且g（1）＜0，g（2）＞0，则函数g（x）的零点所在的区间可求．【解答】解：由f（x）=lnx，则，则g（x）=f（x）﹣f′（x）=lnx﹣．函数g（x）的定义域为（0，+∞），＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，所以函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，而g（1）=ln1﹣1=﹣1＜0，g（2）=ln2﹣=ln2﹣ln＞0．所以函数g（x）在区间（1，2）上有唯一零点．故选B．【点评】本题考查了导数的运算，考查了函数零点的存在性定理，在区间（a，b）上，如果函数f（x）满足f（a）•f（b）＜0，则函数f（x）在（a，b）上一定存在零点，此题是基础题．5．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．【专题】压轴题．【分析】根据f（x）=f（2﹣x）求出（x）的图象关于x=1对称，又当x∈（﹣∞，1）时，（x ﹣1）f′（x）＜0，x﹣1＜0，得到f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，根据增函数性质得到即可．【解答】解：由f（x）=f（2﹣x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，根据题意又知x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，所以f（3）=f（﹣1）＜f（0）＜f（），即c＜a＜b，故选B．【点评】考查学生利用函数单调性来解决数学问题的能力．6．要得到一个奇函数，只需将函数的图象( )A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】函数即f（x）=2sin（x﹣），向左平移个单位可得y=2sinx 的图象，而函数y=2sinx 是奇函数，由此得出结论．【解答】解：函数=2sin（x﹣），向左平移个单位可得函数y=2sin[（x﹣）+]=2sinx 的图象，而函数y=2sinx 是奇函数，故选D．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．7．已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．【解答】解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零∴函数的图象是一条连续的曲线∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数∴函数f（x）是定义在R上的增函数因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，故选D【点评】本题给出含有对数函数的分段函数，求不等式的解集．着重考查了对数函数、幂函数的单调性和函数的图象与性质等知识，属于基础题．8．如图，在等腰直角△ABO中，设为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线L，设P为垂线上任一点，，则=( )A． B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】P在线段AB的垂直平分线上，通过向量的加减运算，向量的数量积的运算即可得到结果．【解答】解：设AB中点为D，则，，⇒，∴===+=•=﹣=﹣故选A．【点评】本题考查线段垂直平方线的性质、向量的运算法则、向量模的平方等于向量的平方，考查转化计算能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．设集合A={﹣3，0，1}，B={t2﹣t+1}．若A∪B=A，则t=0或1．【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题．【分析】A∪B=A等价于B⊆A，转化为t2﹣t+1∈A解决．【解答】解：由A∪B=A知B⊆A，∴t2﹣t+1=﹣3①t2﹣t+4=0，①无解或t2﹣t+1=0②，②无解或t2﹣t+1=1，t2﹣t=0，解得t=0或t=1．故答案为0或1．【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．10．已知平面向量=（2，4），，若，则||=8．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知求出的坐标，然后进行模的计算．【解答】解：，∴，∴，∴故答案为：8．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算以及向量模的求法；属于基础题．11．已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则cosα的值为．【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】先利用α的范围确定30°+α的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得cos （30°+α）的值，最后利用两角和的余弦函数求得答案．【解答】解：∵60°＜α＜150°，∴90°＜30°+α＜180°．∵sin（30°+α）=，∴cos（30°+α）=﹣．∴cosα=cos[（30°+α）﹣30°]=cos（30°+α）•cos30°+sin（30°+α）•sin30°=﹣×+×=．故答案为：【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的运用和两角和与差的余弦函数．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．12．奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若f（x）在[0，2]上单调递减，且f（1+m）+f（m）＜0，则实数m的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（1+m）+f（m）＜0，结合已知条件可得﹣2＜3﹣2a＜2﹣a＜2，解不等式可求a的范围．【解答】解：∵函数函数f（x）定义域在[﹣2，2]上的奇函数，则由f（1+m）+f（m）＜0，可得f（1+m）＜﹣f（m）=f（﹣m）又根据条件知函数f（x）在定义域上单调递减，∴﹣2≤﹣m＜1+m≤2解可得，﹣＜m≤1．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性在抽象函数中的应用，及不等式的求解，属于基础试题．13．在边长为1的等边△ABC中，D为BC边上一动点，则的取值范围是[，1]．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得与的夹角等于120°，利用两个向量的数量积的定义计算等于1﹣•|BD|，结合0≤|BD|≤1 求得的取值范围．【解答】解：由题意可得与的夹角等于120°，∴==+=1+1×|BD|cos120°=1﹣•|BD|．由于D为BC边上一动点，故0≤|BD|≤1，∴≤1﹣•|BD|≤1，即的取值范围是[，1]，故答案为[，1]．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．14．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+1）=﹣f（x），当﹣1≤x＜1 时，f（x）=x3，若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（0，]∪（5，+∞）．【考点】函数零点的判定定理；函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数g（x）=f（x）﹣log a|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log5|x|的交点的个数，由函数图象的变换，分别做出y=f（x）与y=log a|x|的图象，结合图象可得log a5＜1 或log a5≥﹣1，由此求得a的取值范围．【解答】解：根据题意，函数g（x）=f（x）﹣log a|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log a|x|的交点的个数；f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，又由当﹣1＜x≤1时，f（x）=x3，据此可以做出f（x）的图象，y=log a|x|是偶函数，当x＞0时，y=log a x，则当x＜0时，y=log a（﹣x），做出y=log a|x|的图象，结合图象分析可得：要使函数y=f（x）与y=log a|x|至少有6个交点，则log a5＜1 或log a5≥﹣1，解得a≥5，或0＜a≤，故（0，]∪（5，+∞），故答案为：（0，]∪（5，+∞）【点评】本题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x﹣），利用周期公式即可得解．（2）由2kπ≤2x﹣，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递减区间．（3）由x∈[﹣，]，可求2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴函数f（x）的最小正周期T=．（2）由2kπ≤2x﹣，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递减区间为：[k，k]k∈Z．（3）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴f（x）=2sin（2x﹣）在区间[﹣，]上的最大值为，最小值为﹣2．【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．16．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，向量，=（a﹣b，c），=（a﹣c，a+b），且与共线．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设y=2sin2C+cos，求y的最大值及此时角C的大小．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由条件利用两个向量共线的性质求出cosB的值，可得B的值．（Ⅱ）利用三角形内角和公式、辅助角公式化简函数的解析式为y=sin（2C﹣）+1，利用正弦函数的值域求得它的最大值，及此时角C的大小．【解答】解：（Ⅰ）因与共线，所以（a﹣b）（a+b）﹣c（a﹣c）=0，即b2=a2+c2﹣ac，故．而0＜B＜π，所以．（Ⅱ）∵，∴，故y max=2，此时，因，所以．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，三角形内角和公式，辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题．17．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R）（Ⅰ）若x=1为f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0，求f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，由题意可得f′（1）=0，解方程可得a；（Ⅱ）求出导数，求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，再由极值和区间[﹣1，4]的端点处的函数值，即可得到所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=x2﹣2ax+a2﹣1，∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=0，即a2﹣2a=0．解a=0，或2．经检验合题意．故a=0或a=2；（Ⅱ）∵（1，f（1））是切点，∴由切线方程x+y﹣3=0可得1+f（1）﹣3=0，即f（1）=2，即．∵切线x+y﹣3=0的斜率为﹣1，∴f′（1）=﹣1，即a2﹣2a+1=0，即a=1．代入解得．∴．∴f′（x）=x2﹣2x，∴x=0和x=2是y=f（x）的两个极值点．∵，∴y=f（x）在[﹣1，4]上的最大值为8．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．18．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin=，bsinA=asinC，c=1．（Ⅰ）求a的值和△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sinB、cosB 的值，再利用正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，可得sinA=sin（B+C）的值，再利用正弦定理求得a的值．（Ⅱ）求得cosA=﹣cos（B+C）的值，可得sinA的值，求得sin2A、cos2A的值，再利用两角和的正弦公式求得sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，sin=，∴cos==，∴sinB=2sin cos=，cosB=1﹣2=，∴B为锐角．∵bsinA=asinC，利用正弦定理可得sinBsinA=sinAsinC，∴sinC==＜sinB，故C为锐角，cosC==，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=．再根据c=1，利用正弦定理=，可得=，求得a=3，故△ABC的面积为S=ac•sinB=×3×1×=．（Ⅱ）∵cosA=﹣cos（B+C）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣=﹣，∴sinA==，cos2A=1﹣2sin2A=1﹣2×=﹣，∴sin（2A+）=sin2Acos+cos2Asin=×﹣×=．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．19．（14分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax．（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（II）当a=3时，求出f（x）的极值：（III）在（I）的条件下，若在x∈（0，1]内恒成立，试确定a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出f′（x），因为函数在定义域上为增函数，所以f′（x）大于等于0恒成立，再利用基本不等式求出左边的最小值即可得到a的取值范围；（Ⅱ）先求导数，确定函数的单调区间．减区间与增区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数为正，右侧导数为负时，为极大值，当极值点左侧导数为负，右侧导数为正时，为极小值；（III）设=，求出函数的最大值，即可确定a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+x2﹣ax（x＞0），则f′（x）=+2x﹣a（x＞0）．∵函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即+2x﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立．∴+2x≥a．∵当x＞0时，+2x≥2，当且仅当=2x，即x=时等号成立．∴a的取值范围是（﹣∞，2]；（Ⅱ）当a=3时，当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＞0，当＜x＜1时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，）和（1，+∞）上是增函数，在（，1）上是减函数，∴f（x）极大值=f（）=﹣﹣ln2，f（x）极小值=f（1）=﹣2（III）设=∴g′（x）=∵a∈（﹣∞，2]，且x∈（0，1]∴g′（x）＞0∴g（x）在（0，1）内为增函数∴g（x）max=g（1）=2﹣a∵在x∈（0，1]内恒成立，∴2﹣a≤0，解得a≥2．【点评】本题考查学生会利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2．问：是否存在常数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则存在唯一的实数根x0，即b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数λ，依据曲线C在点A处的切线l1与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l2，得到关于λ的方程，有解则存在，无解则不存在．【解答】解：（1）当a=﹣2时，函数f（x）=x3+x2﹣2x+b则f′（x）=3x2+5x﹣2=（3x﹣1）（x+2）令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜，所以f（x）的单调递减区间为（﹣2，）；（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则即x3+x2+（﹣3x2﹣5x﹣1）x+b=0存在唯一的实数根x0，故b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，令y=2x3+x2+x，则y′=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=﹣或x=﹣，则函数y=2x3+x2+x在（﹣∞，），（﹣，+∞）上是增函数，在（，﹣）上是减函数，由于x=﹣时，y=﹣；x=﹣时，y=﹣；故实数b的取值范围为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）；（3）设点A（x0，f（x0）），则在点A处的切线l1的切线方程为y﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），与曲线C联立得到f（x）﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），即（x3+x2+ax+b）﹣（x03+x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（x﹣x0），整理得到（x﹣x0）2[x+（2x0+）]=0，故点B的横坐标为x B=﹣（2x0+）由题意知，切线l1的斜率为k1=f′（x0）=3x02+5x0+a，l2的斜率为k2=f′（﹣（2x0+））=12x02+20x0++a，若存在常数λ，使得k2=λk1，则12x02+20x0++a=λ（3x02+5x0+a），即存在常数λ，使得（4﹣λ）（3x02+5x0）=（λ﹣1）a﹣，故，解得λ=4，a=，故a=时，存在常数λ=4，使得k2=4k1；a≠时，不存在常数，使得k2=4k1．【点评】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．。
天津市武清区杨村第一中学2023-2024学年高三上学期第一次学业质量检测数学试题
天津市武清区杨村第一中学2023-2024学年高三上学期第一次学业质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．B．C．D．．已知()e x f x x=在区间()2,6m m -上有极小值，则实数A ．(),5-∞B ．()2,5-C ．2,5⎡-⎣．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，规则，新插入的第3个数应为（）A ．142B ．132C ．3132．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(),0∞-上单调递减，则（A ．3414412log 6log 5f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．3441412log log 65f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．341441log 62log 5f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．341441log 6log 25f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封A ．AC AE BF-=①()f x 的图象关于点②()f x 的图象关于直线③()f x 的图象可由④若方程()(g x f tx =以上四个说法中，正确的个数为（A ．1二、填空题10．已知()tan πα+11．已知向量,a b 满足12．已知函数()f x =13．如图，在长方体则点1B 到平面1D EC(1)求证：AF ∥平面CDE ；(2)求平面ADE 与平面BCEF 夹角的大小；(3)求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值18．已知{}n a 是等比数列，{n b (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求211n k k b -=∑；。
天津市武清区杨村第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷
天津市武清区杨村第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{Z |2}A x x =∈<，则U C A =（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}2,2,3-C ．{}2,1,2--D ．{}2,0,3-2．已知,a b ∈R ，则“22a b --<”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()11.51.5 1.5xx f x -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知825,log 3a b ==，则34a b -=（ ） A ．25B ．5C ．259 D ．535．若1为函数()()()21f x x x a =--的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()()0,11,+∞U6．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(l o g 5.1)a g =-，0.5(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（ ）升粟. A ．1009B ．507C ．1007D ．20078．已知函数()2e e 122x x x f x -+=+-，若对任意[]1,2x ∈，有()()21f x f mx ≤+成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．[]2,0-C ．53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．已知函数()()sin (0,)f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足7π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π4f ⎛⎫- ⎪⎝⎭．给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ） ①20π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若()56πf x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π；③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有3个不相等的实数解； ④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为810,33⎛⎤ ⎥⎝⎦．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题10．已知z 是复数，若()1i 2z -=，则z =.11．已知平面向量()()()5,1,1,1,1,a b c k ==-=r r r，若()a b c -⊥r r r ，则k =．12．已知α为锐角，且π2sin 63αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．13．已知0,0x y >>且111211x y +=++，则x y +的最小值为. 14．在ABC V 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.设,AB a AC b ==u u u r u u u r r r ，试用,a b rr 表示AN u u u r 为；若,6A ABC π∠=V BC =u u u r 时，AM AN ⋅u u u u r u u u r 取得最小值. 15．设a ∈R ，函数()22,054,0x a x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数()y f x ax =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为．三、解答题16．已知数()2π24cos 24f x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的最小正周期和对称轴方程； (2)求()f x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1cos sin a B A +=． (1)求角B 的大小；(2)设b =2a c -=． （ⅰ）求a 的值；（ⅱ）求()sin 2A B +的值．18．已知函数()()()2122e xf x x ax ax a =--+∈R .(1)当0a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； (2)当0a >时，求函数()f x 的单调区间；(3)若对于任意的[)2,x ∞∈+，有()0f x ≥，求a 的取值范围. 19．设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列．且*1132231,7,22,a b a b a b n ==+=-=∈N ．(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若()213,1122n nn n n a n b c n b b +⎧+⎪⎪=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n S ．20．已知函数()()e sin cos xf x a x b x =-+，,a b ∈R ．(1)若a b =，讨论()f x 在3π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性．(2)设n x 为方程()0f x =的实数根，其中ππ,π2n x n n ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，n ∈N ．（ⅰ）证明：2,n n ∀≥∈N ，有22213sin4πni i x =<∑； （ⅱ）若0a =，1b =-，证明：0cos πe nn x x x n ->．。
2023—2024学年天津市武清区高三上学期第一次月考数学模拟试题(含答案)
2023-2024学年天津市武清区高三上册第一次月考数学
模拟试题
．．
．．
．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－1．6
B ．5
4
D ．3
．函数()sin()0,f x A x A ωϕω⎛
=+>> ⎝
的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平
3
π
个单位长度后得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 为奇函数
B ．函数()g x 的最小正周期为
C ．函数()g x 的图象的对称轴为直线
D ．函数()g x 的单调递增区间为8．若定义在R 上的函数自然对数的底数)的解集为（A ．(,0)(0,)-∞+∞ C ．(0,)
+∞9．已知函数()log a f x x ⎧=⎨+⎩
若1a >时，()log a f x x =与函数当4x =时，|43|1
y =--+=-若01a <<时，要使()log a f x x =则要满足(4)1f <-，即log 4a <1
故增；9. 16．(1)3
tan
4
α=±.
(2)5
4或
1
4-.
【分析】（1）根据三角函数定义可列式计算求得。
天津市武清区杨村第一中学2023届高三下学期第一次热身练数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 甲、乙两名射击运动员各射击6次的成绩如下甲 7 8 9 5 4 9乙 7 8 a 8 7 7则下列说法正确的是（ ）A ．若，则甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数B ．若，则甲射击成绩的极差小于乙射击成绩的极差C ．若，则乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定D ．若，则乙比甲的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定2. 已知函数，若函数图象的相邻两对称轴之间的距离至少为，且在区间上存在最大值，则的取值个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13. 长方体中，，,设点关于直线的对称点为，则与两点之间的距离为A．B．C．D．4.已知实数满足，则的最小值为( )A ．2B ．1C ．4D ．55.双曲线的焦点到渐近线的距离为 A ．1B．C ．2D ．36. 已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（ ）A．B．C．D．7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，则．其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．①②C ．③④D ．②③8. 已知函数的大致图像如图所示，则函数的解析式应为( )A．B．C．D．9. 已知某养老院75岁及以上的老人占60%．75岁以下的老人中，需要有人全天候陪同的占10%；75岁及以上的老人中，需要有人全天候陪同天津市武清区杨村第一中学2023届高三下学期第一次热身练数学试题(1)天津市武清区杨村第一中学2023届高三下学期第一次热身练数学试题(1)三、填空题四、解答题的占30%．如果从该养老院随机抽取一位老人，则以下结论中，正确的是（ ）A ．抽到的老人年龄在75岁以下的概率为35%B ．抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22%C ．抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%D ．抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为40%10.如图，菱形边长为2，，E 为边AB 的中点.将沿DE 折起，使A到，且平面平面，连接，.则下列结论中正确的是（）A．B ．四面体的外接球表面积为C ．BC与所成角的余弦值为D ．直线与平面所成角的正弦值为11.如图，在正方体中，，点在棱上运动（不与端点重合），则（）A．B．的面积等于与的面积之和C ．三棱锥的体积有最大值D．三棱锥的体积等于三棱锥与的体积之和12. 已知函数，则（ ）A．函数的最小正周期为B ．点是函数图象的一个对称中心C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称D ．函数在区间上单调递减13. 已知直线与单位圆交于，两点，且圆心到的距离为，则的取值范围是______．14. 在公比不等于1的等比数列中，已知且成等差数列，则数列的前10项的和的值为_______________.15. 为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为__________．16. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且点（n，S n）在函数y＝2x+1﹣2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足：b1＝0，b n+1+b n＝a n，求数列{b n}的前n项和公式；（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的n∈N*不等式b n＜λb n+1恒成立，求实数λ的取值范围．17. 设函数，其中．(1)讨论函数在上的极值；(2)若，设为的导函数，当时，有，求正实数的取值范围．18. 如图，在三棱柱中，已知平面，，，.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.19. 心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，按分层抽样的方法从数学兴趣小组中抽取50名同学（男30女20），给这些同学每人一道几何题和一道代数题，让每名同学自由选择一道题进行解答，则选题情况如表所示.几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050(1)能否据此判断有的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关？(2)现从选择做几何题的8名女同学（包含甲､乙）中任意抽取2名，对这2名女同学的答题情况进行研究，记甲､乙2名女同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828.20. 已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)设函数，求的单调区间；(3)判断极值点的个数，并说明理由．21. 四棱锥中，底面为平行四边形，已知，，，.（1）设平面与平面的交线为l，求证：；（2）求证：.。
天津市第一中学高三数学上学期月考试卷理(含解析)
天津一中2015届高三上学期月考数学试卷（理科）一、选择题：1．（3分）i是虚数单位，的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．（3分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．103．（3分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．（3分）若曲线处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，4．则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣5．（3分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（3分）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．7．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定8．（3分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}二、填空题：9．（5分）以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=3，AB=4，则OE=．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．（5分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于．12．（5分）某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2014-2015学年高二年级抽取名学生．13．（5分）若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则•的最大值为．14．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是．三、解答题：15．（15分）已知锐角三角形△ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c．．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范围．16．（15分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．18．（15分）数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意的n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设数列{b n}的前n项和为T n，且b n=，求证：对任意正整n，总有T n＜2．19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．20．设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．天津一中2015届高三上学期月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（3分）i是虚数单位，的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：=．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（3分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．10考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．解答：解：（1+x）6展开式中通项T r+1=C6r x r，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．故选：C．点评：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．3．（3分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值∵S=++=．故选D．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．4．（3分）若曲线处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：两函数f（x）、g（x）在x=1处的导数即为它们在点P处切线的斜率，再根据切线垂直即可列一方程，从而可求a值．解答：解：f′（x）=，g′（x）=ax a﹣1，则f′（1）=，g′（1）=a，又曲线处的切线相互垂直，所以f′（1）•g′（1）=﹣1，即a=﹣1，所以a=﹣2．故选A．点评：本题考查了导数的几何意义及简单应用，难度不大．该类问题中要注意区分某点处的切线与过某点的切线的区别，某点处意为改点为切点，过某点则未必然．5．（3分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a n}”不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}”为递增数列的既不充分也不必要条件，故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．6．（3分）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．解答：解：甲要获得冠军共分为两个情况一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×=则甲获得冠军的概率为故选D点评：本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．7．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定考点：正弦定理；三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：直接利用正弦定理以及两角和的正弦函数，化简已知表达式，即可求出A的正弦函数值，然后求出角A，即可判断三角形的形状．解答：解：因为bcosC+ccosB=asinA，由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，所以sin（B+C）=sin2A，即sinA=sin2A，A为三角形内角，所以sinA=1，A=．三角形是直角三角形．故选A．点评：本题考查正弦定理以及两角和的正弦函数的应用，三角形形状的判断方法，考查计算能力．8．（3分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}考点：函数单调性的性质；导数的运算．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=e x•f（x）﹣e x，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g （0）=1，可得不等式e x•f（x）＞e x+1的解集．解答：解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选A点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g（x）=e x•f （x）﹣e x，是解答的关键．二、填空题：9．（5分）以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=3，AB=4，则OE=．考点：平行线分线段成比例定理．专题：计算题．分析：利用条件，可以证明EB=ED=EC，再利用三角形的中位线，即可求得OE的长．解答：解：由题意，连接OD，BD，则OD⊥ED，BD⊥AD∵OB=OD，OE=OE∴Rt△EBO≌Rt△EDO∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB又∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠EDC=90°∴∠C=∠EDC，∴ED=EC∴EB=EC∵O是AB的中点，∴∵直角边BC=3，AB=4，∴AC=5∴OE=故答案为：点评：本题考查圆的切线的性质，考查圆的性质，考查三角形中位线的性质，属于基础题．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为200．考点：由三视图求面积、体积．专题：规律型．分析：由三视图可知该几何体为四棱柱，然后根据棱柱体积公式计算体积即可．解答：解：由三视图可知该几何体为平放的四棱柱，其中以侧视图为底．底面为等腰梯形，梯形的上底长为2，下底长为8，梯形的高为4，棱柱的高为10．∴梯形的面积为，∴棱柱的体积为20×10=200．故答案为：200．点评：本题主要考查三视图的识别和判断，以及棱柱的体积公式，利用三视图确定几何体的直观图是解决此类问题的关键．11．（5分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于．考点：椭圆的参数方程；直线的参数方程．专题：计算题．分析：化参数方程为普通方程，利用两曲线有一个公共点在x轴上，可得方程，即可求得结论．解答：解：曲线C1：（t为参数）化为普通方程：2x+y﹣3=0，令y=0，可得x=曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）化为普通方程：∵两曲线有一个公共点在x轴上，∴∴a=故答案为：点评：本题考查参数方程化为普通方程，考查曲线的交点，属于基础题．12．（5分）某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2014-2015学年高二年级抽取15名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比，做出2014-2015学年高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以2014-2015学年高二所占的比例，得到要抽取的2014-2015学年高二的人数．解答：解：∵2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴2014-2015学年高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从2014-2015学年高二抽取，故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．13．（5分）若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则•的最大值为6．考点：平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x，y），由数量积运算及点P在椭圆上可把•表示为x的二次函数，根据二次函数性质可求其最大值．解答：解：设P（x，y），则•=（x，y）•（x+1，y）=x2+x+y2，又点P在椭圆上，故+=1，所以x2+x+（3﹣）=+x+3=+2，又﹣2≤x≤2，所以当x=2时，+2取得最大值为6，即•的最大值为6，故答案为：6．点评：本题考查平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质，属中档题．14．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意x02+ [f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，继而可得关于m的不等式，解得即可．解答：解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即 x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．解得 m＞2，或m＜﹣2，故m的取值范围是（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）故答案为：（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）点评：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题三、解答题：15．（15分）已知锐角三角形△ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c．．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范围．考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；正弦函数的定义域和值域．分析：（Ⅰ）由余弦定理表示出b2+c2﹣a2=2bccosA，代入即可得到sinA的值，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的大小；（Ⅱ）由三角形为锐角三角形且由（Ⅰ）得到A的度数可知B+C的度数，利用C表示出B并求出B的范围，代入所求的式子中，利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数为sin（B+），然后根据求出的B的范围求出B+的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可求出sin（B+）的范围即为cosB+cosC的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由余弦定理知，b2+c2﹣a2=2bccosA，∴，∵，∴；（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，且，∴，∴===，∵，∴，即cosB+cosC的取值范围是．点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值，是一道综合题．16．（15分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．解答：解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X 2 3 4P故X数学期望E（X）=．点评：本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．解答：解：（I）如图，连接BD交AC于点O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=点评：本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．18．（15分）数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意的n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设数列{b n}的前n项和为T n，且b n=，求证：对任意正整n，总有T n＜2．考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）（2）由题意可得，利用和等差数列的通项公式即可得出．（3）由（2）可得．当n≥2时，，利用裂项求和即可证明．解答：解：（1）∵对于任意的n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．∴，令n=1，得，解得a1=1．（2）当n≥2时，由，，得，∴（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}是公差为1的等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．（3）由（2）可得．当n≥2时，，∴=2﹣．当n=1时，T1=b n=1＜2．∴对任意正整n，总有T n＜2．点评：熟练掌握利用求a n和等差数列的通项公式、放缩法、裂项求和等是解题的关键．19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设k AC=k，由k AC•k BD=﹣=﹣，可得．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入计算即可证明．解答：解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．设k AC=k，∵k AC•k BD=﹣=﹣，∴．可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．联立，．解得，．∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．∴=4=4=4=4==128，∴四边形ABCD的面积=为定值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．20．设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：转化思想．分析：（Ⅰ）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；（Ⅱ）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论．解答：解：（Ⅰ）根据题意知：f′（x）=在[1，+∞）上恒成立．即a≥﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上恒成立．∵﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上的最大值为﹣4，∴a≥﹣4；经检验：当a=﹣4时，，x∈[1，+∞）．∴a的取值范围是[﹣4，+∞）．（Ⅱ）在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，即方程2x2+2x+a=0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根．记g（x）=2x2+2x+a，则有，解得．∴，．∴令．，记．∴，．在使得p′（x0）=0．当，p′（x）＜0；当x∈（x0，0）时，p′（x）＞0．而k′（x）在单调递减，在（x0，0）单调递增，∵，∴当，∴k（x）在单调递减，即．点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值，难点是多次连续求导，即二次求导，本题还用到消元的方法，难度较大．。
天津市武清区杨村一中2015届高三数学下学期第一次热身练试卷文(含解析)
天津市武清区杨村一中2015届高三下学期第一次热身练数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填涂在答题卡上1．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i2．（5分）函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（，1）上有零点，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣B．a＜﹣C．﹣＜a＜﹣D．a＜﹣3．（5分）该试题已被管理员删除4．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则y=f （x+）取得最小值时x的集合为（）A．{x|x=kπ﹣，k∈z} B．{x|x=kπ﹣，k∈z}C．{x|x=2kπ﹣，k∈z} D．{x|x=2kπ﹣，k∈z}5．（5分）已知点A（0，1），B（﹣2，3）C（﹣1，2），D（1，5），则向量在方向上的投影为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8 B．9 C．10 D．117．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e358．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案答在答题纸上．9．（5分）设集合 A={y|y=lnx，x＞1}，集合B=，则A∩∁R B=．10．（5分）如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，若∠B=30°，AC=3，则OD的长为．11．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=．12．（5分）若函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象经过定点 P（m，n），且过点Q（m﹣1，n）的直线l被圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣7=0截得的弦长为3，则直线l的斜率为．13．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为．14．（5分）已知实数X，Y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.请把答题过程写在答题纸上）15．（13分）某学校就一问题进行内部问卷调查，已知该学校有男学生90人，女学生108人，教师36人．用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查．问卷调查的问题设置为“同意”，“不同意”两种，且每人都做一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．同意不同意合计教师1女生 4男生 2（Ⅰ）请完成此统计表；（Ⅱ）根据此次调查，估计全校对这一问题持“同意”意见的人数；（Ⅲ）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．16．（13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A的大小；（2）若a=7，求△ABC的周长的取值范围．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC中点．AB=BC，AC=2，AA1=．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BM；（Ⅱ）求证：AC1⊥平面A1BM；（Ⅲ）在棱BB1的上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由．18．（13分）设数列{a n}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3﹣a2=12，数列{b n}满足：b n=log3+log3a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）数列{c n}满足：c n=，求证：c1+c2+…+c n＜．19．（14分）已知函数f（x）=alnx+（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果函数g（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，讨论函数y=f（x）零点的个数．20．（14分）已知椭圆C：=1，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（1）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（2）求△OMN面积的最大值．天津市武清区杨村一中2015届高三下学期第一次热身练数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填涂在答题卡上1．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数==i，故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（，1）上有零点，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣B．a＜﹣C．﹣＜a＜﹣D．a＜﹣考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数和对数函数的性质判断函数f（x）的单调性，然后根据零点存在的定价条件解不等式f（）f（1）＜0即可得到结论．解答：解：若a=0，则f（x）=3，没有零点，∴a=0不成立，若a＜0，则函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（，1）上单调递减，若a＞0，则函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（，1）上单调递增，即函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（，1）上是单调函数，若在区间（，1）上有零点，则f（）f（1）＜0，即（2alog2+2a+3）（4a+3）＜0，即3（4a+3）＜0，则a＜﹣，故选：D点评：本题主要考查函数零点的应用，根据函数的性质，判断函数的单调性是解决本题的关键．3．（5分）该试题已被管理员删除4．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则y=f（x+）取得最小值时x的集合为（）A．{x|x=kπ﹣，k∈z} B．{x|x=kπ﹣，k∈z}C．{x|x=2kπ﹣，k∈z} D．{x|x=2kπ﹣，k∈z}考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图象求出四分之一周期，进一步得到周期，再由求得ω，由五点作图的第二点求得φ，则函数解析式可求，由x+的终边落在y轴负半轴上求得x，得到y=f（x+）取得最小值时x的集合．解答：解：由图可知，，则T=π．∴．由五点作图的第二点知，φ=，∴φ=﹣．∴f（x）=sin（2x﹣）．则y=f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．由，得：．∴y=f（x+）取得最小值时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈z}．故选：B．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点求φ，是中档题．5．（5分）已知点A（0，1），B（﹣2，3）C（﹣1，2），D（1，5），则向量在方向上的投影为（）A．B．﹣C．D．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出，，根据投影的定义，在方向的投影为，所以根据两向量夹角的余弦公式表示出，然后根据向量的坐标求向量长度及数量积即可．解答：解：∵；∴在方向上的投影为==．故选D．点评：考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．6．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin，k∈Z的值，观察规律可得sin的值以6为周期，且sin+sin+…+sin=0，依次验证选项即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin，k∈Z的值，∵sin的值以6为周期，且sin+sin+…+sin=0，∴当t=8时，S=sin+sin+…+sin=sin+sin+sin=＞1，故A符合要求；当t=9时，S=sin+sin+…+sin+sin=sin+sin+sin+sin=＜1，故B不符合要求；当t=10时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin=sin+sin+sin+sin+sin=0＜1，故C不符合要求；当t=11时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin=0＜1，故D不符合要求；故选：A．点评：本题主要考察了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，模拟执行程序框图正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．7．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e35考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用已知条件，得到通项公式，然后求解a10．解答：解：数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），可知•••…•=，两式作商可得：==，可得lna n=3n+2．a10=e32．故选：C．点评：本题考查数列递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案答在答题纸上．9．（5分）设集合 A={y|y=lnx，x＞1}，集合B=，则A∩∁R B=（2，+∞）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：确定出A，B，根据全集U=R求出B的补集，找出B补集与A的交集即可．解答：解：集合 A={y|y=lnx，x＞1}=（0，+∞），集合B=，则4﹣x2≥0，解得﹣2≤x≤2，∴B=[﹣2，2]，∵全集U=R，∴∁R B=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∴A∩∁R B=（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．（5分）如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，若∠B=30°，AC=3，则OD的长为6．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：由已知条件推导出△AOC是一个等边三角形，且OA=OC=3，由此在直角△AOD中，能求出OD=2AO=6．解答：解：连结OA，∵AD是圆O的切线，∠B=30°，∴∠DAC=30°，∴∠OAC=60°，∴△AOC是一个等边三角形，∴OA=OC=3，在直角△AOD中，∵∠DOA=60°，∴∠D=30°，∴OD=2AO=6．故答案为：6．点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．11．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=﹣16．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．运用对称和三角形的中位线定理，结合双曲线的定义，即可得到结论．解答：解：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．由点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，则F为PA的中点，F'为PB的中点，由点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则Q为PP1的中点，由中位线定理可得，|P1A|=2|QF|，|P1B|=2|QF'|，由双曲线的定义可得|QF'|﹣|QF|=2a=8，则|P1A|﹣|P1B|=2（|QF|﹣|QF'|）=﹣2×8=﹣16．故答案为：﹣16．点评：本题考查双曲线的定义，考查三角形的中位线定理的运用，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）若函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象经过定点 P（m，n），且过点Q（m﹣1，n）的直线l被圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣7=0截得的弦长为3，则直线l的斜率为﹣1或﹣7．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意，P（2，2），Q（1，2），设l：y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，由弦长及半径，利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离d，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即为直线l的斜率．解答：解：由题意，P（2，2），Q（1，2），设l：y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣7=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=9，圆心C（﹣1，1）到l的距离d==，∴k2+8k+7=0，k=﹣1或﹣7．故答案为：﹣1或﹣7．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造至直角三角形，利用勾股定理来解决问题．13．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为1209．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：取AB中点D，根据已知条件便容易得到，所以三点D，P，C共线，并可以画出图形，根据图形即可得到，所以便可得到．解答：解：取AB中点D，则：=；∴；∴D，P，C三点共线，如图所示：∴；∴=1209．故答案为：1209．点评：向量加法的平行四边形法则，以及共线向量基本定理，数形结合的方法及三角形面积公式．14．（5分）已知实数X，Y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是[0，5）．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出可行域，再把目标函数变形为直线的斜截式，根据其在y轴上的截距即可求之．解答：解：画出可行域，如图所示解得A（，），C（2，﹣1）把设z=|t|，则t=2x﹣2y﹣1t=2x﹣2y﹣1变形为y=x﹣t，则直线经过点A时t取得最小值；则直线经过点C时t取得最大，所以t min=2×﹣2×﹣1=﹣，t max=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5∴z的取值范围为[0，5）故答案为：[0，5）．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.请把答题过程写在答题纸上）15．（13分）某学校就一问题进行内部问卷调查，已知该学校有男学生90人，女学生108人，教师36人．用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查．问卷调查的问题设置为“同意”，“不同意”两种，且每人都做一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．同意不同意合计教师 1女生 4男生 2（Ⅰ）请完成此统计表；（Ⅱ）根据此次调查，估计全校对这一问题持“同意”意见的人数；（Ⅲ）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（I）根据所给的男生90人，女生106人，教师36人，用分层抽样的方法从中抽取13人，得到女生男生和教师共需抽取的人数，根据表中所填写的人数，得到空着的部分．（II）根据由表格可以看出由表格可以看出教师同意的概率为，女生同意的概率是，男生同意的概率是，分别乘以相应的人数，得到同意的结果数．（III）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，可以通过列举得到结果，然后根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：（Ⅰ）统计表如下：同意不同意合计教师 1 1 2女学生 2 4 6男学生 3 2 5（Ⅱ）∵由表格可以看出教师同意的概率为，女生同意的概率是，男生同意的概率是，∴估计全校对这一问题持“同意”意见的人数为×36+×108+×90=108人（Ⅲ）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为点评：本题主要考查古典概型、分层抽样、列举法等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力．考查运算求解能力，数据处理能力，应用意识函数与方程思想，分类与整合思想．16．（13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A的大小；（2）若a=7，求△ABC的周长的取值范围．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：（1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求△ABC的周长的取值范围．解答：解：（1）∵，∴由正弦定理可得，∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，∴sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣30°）=，∴A﹣30°=30°，∴A=60°；（2）由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a=7，∴由余弦定理49==（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2（当且仅当b=c时取等号），∴b+c≤14，∵b+c＞7，∴7＜b+c≤14，∴△ABC的周长的取值范围为（14，21]．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC中点．AB=BC，AC=2，AA1=．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BM；（Ⅱ）求证：AC1⊥平面A1BM；（Ⅲ）在棱BB1的上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连结AB1交A1B于O，连结OM，可证OM∥B1C，又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，即可证明B1C∥平面A1BM．（Ⅱ）易证AA 1⊥BM，又可证BM⊥AC1，由AC=2，AM=1，，可求∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°，从而可证A1M⊥AC1，从而证明AC1⊥平面A1BM．（Ⅲ）当点N为BB1中点时，可证平面AC1N⊥平面AA1C1C，设AC1中点为D，连结DM，DN，可证BM∥DN，由BM⊥平面ACC1A1，可证DN⊥平面ACC1A1，即可证明平面AC1N⊥平面ACC1A1．解答：（本小题共14分）解：（Ⅰ）连结AB1交A1B于O，连结OM．在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1中点，所以OM∥B1C．又因为OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM．…（4分）（Ⅱ）因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM．又因为M为棱AC中点，AB=BC，所以BM⊥AC．因为AA1∩AC=A，所以BM⊥平面ACC1A1．所以BM⊥AC1．因为M为棱AC中点，AC=2，所以AM=1．又因为，所以在Rt△ACC 1和Rt△A1AM中，．所以∠AC1C=∠A1MA，即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°．所以A1M⊥AC1．因为BM∩A1M=M，所以AC1⊥平面A1BM．…（10分）（Ⅲ）当点N为BB1中点时，即，平面AC1N⊥平面AA1C1C．设AC1中点为D，连结DM，DN．因为D，M分别为AC1，AC中点，所以DM∥CC1，且．又因为N为BB1中点，所以DM∥BN，且DM=BN．所以BM∥DN，因为BM⊥平面ACC1A1，所以DN⊥平面ACC1A1．又因为DN⊂平面AC1N，所以平面AC1N⊥平面ACC1A1．…（14分）点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．18．（13分）设数列{a n}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3﹣a2=12，数列{b n}满足：b n=log3+log3a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）数列{c n}满足：c n=，求证：c1+c2+…+c n＜．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出数列{a n}的公比为q，由已知列式求出公比，则数列{a n}的通项公式可求；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入，化简后可得数列{b n}是等差数列，利用等差数列的前n项和求得答案；（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）有，放缩得到，利用等比数列求和后证得答案．解答：（Ⅰ）解：设数列{a n}的公比为q，由a1=2，a3﹣a1=12，得2q2﹣2q﹣12=0，即q2﹣q﹣6=0．解得q=3或q=﹣2，∵q＞0，∴q=﹣2不合舍去，∴；（Ⅱ）解：由，得=，∴数列{b n}是首项b1=1，公差d=2的等差数列，∴；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）（Ⅱ）有，∵n≥1时，3n﹣1≥1，∴3n﹣1≥2×3n﹣1，∴，则=．∴原不等式成立．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．19．（14分）已知函数f（x）=alnx+（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果函数g（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，讨论函数y=f（x）零点的个数．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：分类讨论；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出当a=2时的f（x）解析式，求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）上单调递减，等价于在（0，+∞）恒成立，变形得（x＞0）恒成立，运用基本不等式求得右边的最小值，即可得到a的范围；（Ⅲ）求出f（x）的导数，求得单调区间和极小值，也为最小值，讨论最小值的符号，对a 讨论，当0＜a＜e时，当a=e时，当a＞e时，讨论函数的单调性，即可判断零点的个数．解答：解：（Ⅰ）当a=2时，，f（1）=1，即有，f'（1）=1．则切线方程为y﹣1=x﹣1，即为x﹣y=0；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）上单调递减，等价于在（0，+∞）恒成立，变形得（x＞0）恒成立，而，（当且仅当，即时，等号成立）．则有．（Ⅲ）．令f'（x）=0，得．xf'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗即有=．（ⅰ）当0＜a＜e时，f（x）min＞0，即有f（x）在定义域内无零点；（ⅱ）当a=e时，f（x）min=0，则f（x）在定义域内有唯一的零点；（ⅲ）当a＞e时，f（x）min＜0，①由f（1）=1＞0，所以f（x）在增区间内有唯一零点；②，设h（a）=a﹣2lna，则，因为a＞e，所以h'（a）＞0，即h（a）在（e，+∞）上单调递增，即有h（a）＞h（e）＞0，即，所以f（x）在减区间内有唯一的零点．则a＞e时f（x）在定义域内有两个零点．综上所述：当0＜a＜e时，f（x）在定义域内无零点；当a=e时，f（x）在定义域内有唯一的零点；当a＞e时，f（x）在定义域内有两个零点．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值，同时考查单调性的运用和函数的零点的判断，运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．20．（14分）已知椭圆C：=1，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（1）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（2）求△OMN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），将k1、k2用此两点坐标表示，寻求这两点坐标间的关系即可；（2）利用S△OMN=•3|x1|•|y1|=|x1|•|y1|，及基本不等式计算即得结论．解答：解：（1）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∵k AB=，AD⊥AB，∴直线AD的斜率k=﹣，设直线AD的方程为y=kx+m（k、m≠0），代入椭圆方程，消去y整理得：（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4=0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由题可知：x1≠﹣x2，∴k1==，所以直线BD的方程为：y+y1=（x+x1），令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0），∴k2=﹣，∴k1=﹣k2，即存在常数λ=﹣使得k1=λk2结论成立．（ii）直线BD的方程y+y1=（x+x1），令x=0可得：y=﹣y1，即N（0，﹣y1），由（i）知M（3x1，0），∴S△OMN=•3|x1|•|y1|=|x1|•|y1|，∵|x1|•|y1|≤+=1，当且仅当=|y1|=时等号成立，此时S△OMN取得最大值，∴△OMN面积的最大值为．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
天津市武清区杨村第一中学2015届高三数学下学期第一次热身练试题 理
杨村一中2015届高三年级第一次热身练数学（理）学科试卷第Ⅰ卷 选择题 (共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分 ）1. 已知i 是虚数单位,则21ii -等于A. 1i -+B. 1i -C. 22i -+D. 1i +2.条件:p 2450x x --<是条件2:650q x x ++>的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分又非必要条件3.执行如图所示的程序框图，若输出15=S ，则框图中①处可以填入 A. 4>n B. 8>n C. 16>n D. 16<n y x z +=2，其中实数4.⎩≥≤+≥a x y xy 2，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是y x ,满足A ．112 B. 41C. 4D. 2115．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 A.233 B ．236 C ．113 D ．103 6.已知nS 是等差数列}{n a 的前n 项和， 11=a ，255=S ，设n T 为数列})1{(1n n a +-的前n 项和，则=2015TA ．2014B ．2014-C ．2015D ．-20157．已知点(,0)(0)F c c ->是双曲线12222=-b y a x 的左焦点，离心率为e ，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222c y x =+交于点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则=2e A ．352+B ．5C ．512-D ．152+8．如图，已知圆22:(4)(4)4M x y -+-=，四边形ABCD 为圆M 的内接正方形，E,F 分别为边AB,AD 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅的取值范围是F EA CB oMxyDA.[82,82]- B. [8,8]- C. [4,4]- D. [42,42]-第Ⅱ卷 (共110分)二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分．）9. 某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品,三种产品数量之比依次为4:3:2,现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为n 的样本,样本中A 型号的产品有16件,那么此样本容量=n .10. 在()61x x +的展开式中，含3x 项的系数是 .11．如图,在O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF BC ⊥,垂足为F,若AB ＝6,5CF CB =,则AE ＝ .12．曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=,设直线l 的参数方程是32545x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,直线l 与x 轴的交点是M, 而N 为曲线C 上一动点,则||MN 的最大值是 .13.已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+，则=-)32sin(πθ .14.若函数()f x m =在区间[],a b 上的值域为(),122a b b a ⎡⎤>≥⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围为 .三、解答题：（共6道大题，共80分） 15. (本小题满分13分)已知函数xx x f 2cos )62sin()(++=π（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知23)(=A f ,2=a 3π=B ，求ABC ∆的面积.16．(本小题满分13分)为培养高中生综合实践能力和团队合作意识，某市教育部门主办了全市高中生综合实践知识与技能竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的团队按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，共选拔出甲、乙等六个优秀团队参加决赛.（Ⅰ）求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在第六位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的团队数记为X ，求X 的分布列和数学期望.17．(本小题满分13分)如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．（Ⅰ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；（Ⅱ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．18．(本小题满分13分)已知椭圆C 中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点()26,2A 、()3,3B .(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ)椭圆C 上的任一点00(,)M x y ，过原点O 向半径为r 的圆M 作两条切线，是否存在r 使得两条切线的斜率之积s 为定值，若是，求出s r ,值；若不是，请说明理由.19. (本小题满分13分)设函数()()1,2,1ln *>≥∈--=a n N n x ax x f n （Ⅰ）若2,2==n a ，求函数()x f 的极值； （Ⅱ）若函数()x f 存在两个零点21,x x , ⑴求a 的取值范围； ⑵求证：2221->nex x (e 为自然对数的底数)20．(本小题满分13分) 数列}{n a 的首项为a （0≠a ），前n 项和为nS ，且a S t S n n +⋅=+1（0≠t ）．设1+=n n S b ，nn b b b k c ++++= 21（+∈R k ）．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）当1=t 时，若对任意*N ∈n ，||||3b b n ≥恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）当1≠t 时，试求三个正数a ，t ，k 的一组值，使得}{n c 为等比数列，且a ，t ，k 成等差数列．杨村一中2014-2015学年度第二学期月考高三数学答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 1 A 2A 3B 4B 5D 6C 7D 8B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 72 10 15 11 1 121 13 10334- 14]21,0(三、解答题：（共6小题，共80分） 15、(本小题满分13分)（1）解：()sin(2)cos 26f x x xπ=++=sin 2coscos 2sincos 266x x xππ++=32cos 22x x +1sin 22)2x x +)3x π+ …………………………3分 令222232k x k πππππ-+≤+≤+⇒512312k x k πππππ-+≤+≤+，k∈()f x 的单调递增区间为：5[,],1212k k k ππππ-++∈…………………………6分（2）由1(),sin(2)232f A A π=+=，又20,3A π<<52,333A πππ<+<因此5236A ππ+=，解得：4A π=…………………………8分由正弦定理sin sin a B A B =，得b =又由,43A B ππ==可得：62sin 4C +=…………………………10分故133sin 22ABC S ab C ∆+== …………………………13分16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A ，则1072)(66445566=+-=A A A A A P ，所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为107．…………………4分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为4,3,2,1,031)0(665522===A A A X P ， 154)1(66442214===A A A C X P ，51)2(6633222224===A A A A C X P , 152)3(6633222234===A A A A C X P ，151)4(664422===A A A X P ， 随机变量X 的分布列为：X0 1 2 3 4 P31 154 51 152 151因为34151415235121541310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX ， 所以随机变量X 的数学期望为34． ……………………13分17(本小题满分13分)。
天津市武清区杨村第一中学2015届高三上学期第一次阶段
2014——2015学年度第一学期第一次阶段性检测数 学 试 题 （理）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知全集R U =，函数x x x f 52)(-=的定义域为M ，则=M C U （ ）A ．]0,(-∞B ．),0(+∞C ．)0,(-∞D ．),0[+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：由题意知，250xx-≥，即25xx≥，所以0x ≤，即{0}M x x =≤，由补集的定义知，=M C U ),0(+∞，故应选B .考点：1、集合间的相互关系；2、函数的定义域；2.已知幂函数)(x f 的图象过点)21,4(，则()8f 的值为 （ ）A.42 B.64 C. 22 D. 641 【答案】A 【解析】试题分析：因为函数)(x f 为幂函数，所以设()x f x α=，因为其图象过点)21,4(，所以142α=，解得12α=-，所以12()x f x -=，所以12(8)84f -==，故应选A .考点：1.幂函数的定义；3.已知命题,p q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：因为“p ⌝为真”，所以p 是假命题，此时不管命题q 是真是假，命题“p q ∧”均为假，即“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的充分条件；反过来，若“p q ∧为假”，则命题,p q中至少有一个为假，并不能判断命题p 的真假性，所以不能判断出p ⌝的真假性，即“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的不必要条件，故应选A . 考点：1、命题及其关系；2、必要条件与充分条件；4.当210≤<x 时，x a x log 4<，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．)2,1( B ．),2(+∞ C ．)22,0( D ．)1,22(【答案】D 【解析】试题分析：因为当210≤<x 时，142x<≤，所以1log a x <，即01a <<；1log 22a >，即2a >，所以实数a 的取值范围是)1,22(，故应选D .考点：1.指数函数；2、对数函数；5.已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式5)32(≤+x f 的解集为 （ ） A ．]5,5[- B ．]2,8[- C ．]1,4[- D ．]4,1[ 【答案】C 【解析】试题分析：因为当0≥x 时，x x x f 4)(2-=，所以(5)5f =，且在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上为单调递增，所以5)32(≤+x f 即(23)(5)f x f +≤，又因为函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，所以235x +≤，解之得：41x -≤≤，故应选C . 考点：1.函数的奇偶性；2、函数的图像及其性质；6.已知奇函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 为偶函数，且1)1(=f ，则=+)2015()2014(f f （ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1 【答案】D 【解析】试题分析:因为)1(+x f 为偶函数，所以函数)(x f 关于直线1x =对称，即()(2)f x f x =-，又因为函数)(x f 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x =--，所以()(2)(2)f x f x f x =-=--，所以(2)(4)f x f x -=--，所以()(4)f x f x =-，即函数)(x f 的周期为4.所以(2014)(45032)(2)(0)0f f f f =⨯+===；(2015)(45033)(3)(1)1f f f f =⨯+===，所以(2014)(2015)1f f +=，故应选D .考点：1、函数的性质及其应用；7.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=0,20,2)(22x x x x x x x f ，且关于x 的方程)(,)(R m m x f ∈=恰有3个不同的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是 （ ） A ．)0,1(- B ．),21(+∞- C ．)1,0( D ．)0,21(- 【答案】D 【解析】试题分析：首先画出函数()f x 的图像，如下图所示.由图可知，满足方程)(,)(R m m x f ∈=恰有3个不同的实数根321,,x x x ，且1230,01,1x x x <<<>，其m 的取值范围为(0,1).由题意知，23,x x 是22y my x x=⎧⎨=-+⎩的根，即220x x m -+=，所以232x x +=，23x x m =，且11(,0)2x ∈-，所以12311(,0)2x x x mx =∈-，故应选D.考点：1、分段函数；2、函数与方程；8.已知函数x x f x 2log 2)(+=，1log 2)(2+=x x g x ，1log 2)(2-=x x h x 的零点分别为,,a b c ，则 ,,a b c 的大小关系为 ( )A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<【答案】A 【解析】试题分析：对于函数x x f x 2log 2)(+=，令22log 0x x +=，得2log 2x x =-，因为0x >，所以21x >，所以21x-<-，所以2log 1x <-，即102x <<，即102a <<；对于函数1log 2)(2+=x x g x ，令22log 10x x +=，即21log 2x x =-，所以21log 0x -<<，即112x <<，即112b <<；对于函数1log 2)(2-=x x h x ，令22l o g 10x x -=，即21l o g 2x x =，所以2log 0x >，即1x >，即1c >.所以a b c <<.故应选A . 考点：1.函数与方程；2、对数函数；3、指数函数；第Ⅱ卷（共90分）（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.若对任意R x ∈，a a x x 4|3||2|2-≥++-恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】15a -≤≤. 【解析】试题分析：因为对任意R x ∈，a a x x 4|3||2|2-≥++-恒成立，所以|2||3|2(3)5x x x x -++≥--+=，所以254a a ≥-，解之得15a -≤≤，故应填15a -≤≤.考点：1、含绝对值不等式；2、三角不等式； 10.已知直线l 的参数方程为：2,14x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆C 的圆心到直线l 的距离为 .【答案】5.考点：1、参数方程；2、极坐标方程； 11.函数)2(log log )(24x x x f ⋅=的值域用区间表示为________．【答案】),81[+∞-. 【解析】试题分析：因为242221()log )[(log )log ]2f x x x x ===+22111(log )228x =+-，所以1()8f x ≥-，故应填),81[+∞-. 考点：1、换底公式；2、对数运算；3、二次函数的值域求法；12.函数⎩⎨⎧>≤+=)0(,log )0(,1)(2x x x x x f ，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数是 .【答案】7. 【解析】试题分析：根据已知函数画出函数的图像如下图所示，由图可知，(x)1f =的根的个数有3个，即10t =，201t <<，31t >，于是当1()t f x =时，有2个实数根；当2()t f x =时，有3个实数根；当3()t f x =时，有2个实数根；综上所示，方程[()]1f f x =有7个实数根，即函数1)]([-=x f f y 的零点个数有7个，故应填7.考点：1、分段函数的图像；2、函数与方程；13.如图，ABC ∆内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于点E ，交⊙O 于G 、F ，交⊙O 在点A 切线于点P ，若3,2,3===EF ED PE ，则PA 的长为 ．【答案】6. 【解析】试题分析：因为D 点是BC 中点，DE AC ，所以AE BE =，BDE C ∠=∠.又因为PA 切⊙O 于点A ，所以PAE C ∠=∠，可得BDE PAE ∠=∠.因为BDE PEA ∠=∠，所以BDE ∆∽PEA ∆，可得ED BE AE PE=，即26AE BE AE PE ED ===，所以AE =.因为2AE GE EF =，所以2GE =，所以1PG =，所以26PA PG PF ==，所以PA =故应填6.考点：1、圆的切线的判定定理的证明；2、与圆有关的比例线段；14.设R b a ∈,，已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数， 当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2l o g 20,21)(16x x x x f x．若关于x 的方程0)()]([2=++b x af x f 有且只有7个不同实数根，则ab的取值范围是 ． 【答案】)81,54(--.【解析】试题分析： 由题意知，函数)(x f y =在(,2]-∞-和[0,2]上是减函数，在[2,0]-和[2,]+∞上是增函数.所以当0x =时，函数)(x f y =取得极大值1，在2x =±时，函数)(x f y =取得极小值14，当16x ≥时，()1f x ≥，所以关于x 的方程0)()]([2=++b x af x f 有且只有7个不同实数根，设()t f x =，则20t at b ++=必有两个根12,t t ，其中1211,(,1)4t t =∈， 125(,2)4t t a +=-∈，121(,1)4t t b =∈所以5(2,)4a ∈--，1(,1)4b ∈，所以41(,)58b a ∈--，故应填)81,54(--.考点：1、函数与方程；2、分段函数；三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切R x ∈均成立。
天津市武清区杨村第一中学2015届高三上学期第一次阶段性检测数学(理)试题
天津市武清区杨村第一中学2015届高三上学期第一次阶段性检测数学（理）试题一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分）1．已知全集R U =，函数x x x f 52)(-=的定义域为M ，则=M C U （ ） A ．]0,(-∞ B ．),0(+∞ C ．)0,(-∞ D ．),0[+∞2. 已知幂函数)(x f 的图象过点)21,4(，则()8f 的值为 （ ）A.42 B.64 C. 22 D. 641 3．已知命题p 、q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．当210≤<x 时，x a x log 4<，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)2,1(B ．),2(+∞C ．)22,0( D ．)1,22( 5．已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式5)32(≤+x f 的解集为 （ ）A ．]5,5[-B ．]2,8[-C ．]1,4[-D ．]4,1[6．已知奇函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 为偶函数，且1)1(=f ，则=+)2015()2014(f f （ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．17．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=0,20,2)(22x x x x x x x f ，且关于x 的方程)(,)(R m m x f ∈=恰有3个不同的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是 （ ）A ．)0,1(-B ．),21(+∞-C ．)1,0(D ．)0,21(-8. 已知函数x x f x 2log 2)(+=，1log 2)(2+=x x g x ，1log 2)(2-=x x h x 的零点分别为,,a b c ，则 ,,a b c 的大小关系为 ( )A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．若对任意R x ∈，a a x x 4|3||2|2-≥++-恒成立，则实数a 的取值范 围是 .10．已知直线l 的参数方程为：2,14x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆C 的圆心到直线l 的距离为 . 11．函数)2(log log )(24x x x f ⋅=的值域用区间表示为________．12．函数⎩⎨⎧>≤+=)0(,log )0(,1)(2x x x x x f ，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数是 .13．如图，ABC ∆内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于点E ，交⊙O 于G 、F ，交⊙O 在点A 切线于点P ，若3,2,3===EF ED PE ， 则PA 的长为 ． 14．设R b a ∈,，已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2log 20,21)(16x x x x f x．若关于x 的方程0)()]([2=++b x af x f 有且只有7个不同实数根，则ab的取 值范围是 ．三、解答题（本题共6题，满分80分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤．）15．设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ； 命题q ：不等式39x x a -<对一切R x ∈均成立。
武清区2015届高三数学上学期模拟试题附答案
武清区2015届高三数学上学期模拟试题（附答案）一．选择题（本大题共20 小题，共45分，第1至第15小题，每题2分，第16至20小题，每题3分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若i 为虚数单位，则复数31i +等于（ ）A ．iB ．i -C ．i +1D ．i -1 2．已知全集{}6,5,4,3,2,1=U ,集合{}4,3,2,1=P ,{}5,4,3=Q ,则)(Q C P U ⋂等于( )A ．{}6,4,3,2,1B ．{}5,4,3,2,1C ．{}5,2,1D ．{}2,1 3．函数3)32sin(2)(+-=πx x f 的最小值为( )A ．5B ．1C ．3D ．44．椭圆1162522=+y x 的离心率是（ ） A ．54 B ．43 C ．53 D ．34 5．直线0133=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π6．在正方体1111D C B A ABCD -中，B A 1与1AD 所在的两条直线所成的角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 7．若向量)2,4(),1,1(),1,1(=-==c b a ，则c 等于（ ）A ．+3B ．-3C ．3+-D ．3+8．一个容量为40的样本数据，分组后各组中数据的频数如下：［25，25.3），6；［25.3，25.6），4；［25.6，25.9），10；［25.9，26.2），8；［26.2，26.5），8；［26.5，26.8），4；则数据在［25，25.9）上的频率为（ ）A ．320B ．110C ．12D ．149．已知R y x ∈,，则""y x =是""y x =的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．函数22)(3-+=x x f x 在区间)1,0(内的 零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．如果执行图1的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）A ．54 B.45 C. 65 D.5612．过原点且倾斜角为60的直线被 圆0422=-+y y x 所截得的弦长为( )A ．3B ．2C ．6D ． 3213．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于（ ） A ．41 B ．31C ．21 D ．3214．设变量x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-241y y x y x ，则目标函数24z x y =+的最大值为（ ）Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．1415．已知m 、l 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若,,α⊂⊥m m l 则α⊥lB ．若m l l //,α⊥，则α⊥mC ．若,,//αα⊂m l 则m l //D ．若,//,//ααm l 则m l //16．在ABC ∆中，M 为边BC 的中点，1=,点P 在AM 上且满足2PM =则)(+⋅等于（ ）A ．94 B ．34 C ．34- D ．94-17．为了得到函数)62cos(π+=x y 的图象，只需把函数)62sin(π+=x y 的函数（ ）A ．向左平移4π 个单位长度 B ．向右平移4π 个单位长度 C ．向左平移2π 个单位长度 D ．向右平移2π个单位长度18．已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x ，则yx 311+的最小值是（ ） A ．2 B ．22 C ．4 D ．32 19．已知P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛217,6，则PM PA +的最小值是( )A ．8B ．219 C ．10 D ．221 20．已知函数23)1(3)(2++-=x x k x f ,当R x ∈时，)(x f 恒为正值，则实数k 的取值范围是（ ）A ．()1,-∞-B ．()122,-∞- C ．()122,1-- D ．()122,122---二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
天津市第一中学高三数学上学期月考试卷 文(含解析)
天津一中2015届高三上学期月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设i为虚数单位，则=（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i2．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．233．（5分）设函数f（x）=sin（﹣2x），x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数4．（5分）阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．555．（5分）已知f （x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（3），c=f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＞a＞b D．a＜b＜c6．（5分）设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率e=（）A．5 B．C．D．7．（5分）函数的图象和函数g（x）=log2x的图象的交点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1] D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）9．（5分）如图所示，是某校2015届高三年级文科60名同学参加某科考试所得成绩（分数均为整数）整理后得出的频率分布直方图，根据该图可得出这次考试文科60分以上的同学的人数为．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则•=．12．（5分）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x﹣3y﹣2=0与圆C相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为．13．（5分）如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E．已知⊙O的半径为3，PA=2，则CD=．14．（5分）函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为．二、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：教师教龄5年以下5至10年10至20年20年以上教师人数8 10 30 18经常使用信息技术实施教学的人数 2 4 10 4（Ⅰ）求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率；（Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）的值．17．（13分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，PA=PD=AD=2BC=2CD，E，F分别是AD，PC的中点．（Ⅰ）求证AD⊥平面PBE；（Ⅱ）求证PA∥平面BEF；（Ⅲ）若PB=AD，求二面角F﹣BE﹣C的大小．18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率等于．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若，求证λ1+λ2为定值．20．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣bx2+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程为3x+y﹣6=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若对任意的x∈[，2]都有f（x）≥t2﹣2t﹣1成立，求函数g（t）=t2+t﹣2的最值．天津一中2015届高三上学期月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设i为虚数单位，则=（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：复数的分子、分母、同乘分母的共轭复数化简即可．解答：解：∵故选C．点评：本题主要考查了复数代数形式的四则运算，属容易题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．解答：解：画出不等式．表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以z min=4+3=7，故选B．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．3．（5分）设函数f（x）=sin（﹣2x），x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据﹣α的诱导公式，化简得函数f（x）=sin（﹣2x）=cos2x，由此结合余弦函数的奇偶性和三角函数的周期公式进行计算，即可得到本题答案．解答：解：∵sin（﹣α）=cosα，∴函数f（x）=sin（﹣2x），即f（x）=cos2x可得f（x）是偶函数，最小正周期T==π故选：B点评：本题给出三角函数式，求函数的周期与奇偶性，着重考查了三角函数的图象与性质和三角函数的周期公式等知识，属于基础题．4．（5分）阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．55考点：程序框图．专题：计算题．分析：经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可输出s 的值．解答：解：∵S1=0，i1=1；S2=1，i2=2；S3=5，i3=3；S4=14，i4=4；S5=30，i=5＞4退出循环，故答案为C．点评：本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．5．（5分）已知f （x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（3），c=f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＞a＞b D．a＜b＜c考点：函数单调性的性质．分析：对于偶函数，有f（x）=f（|x|），在[0，+∞）上是减函数，所以，只需比较自变量的绝对值的大小即可，即比较3个正数|log23|、|log47|、|0.20.6|的大小，这3个正数中越大的，对应的函数值越小．解答：解：由题意f（x）=f（|x|）．∵log47=log2＞1，3=﹣log23＜﹣log2＜﹣1，0＜0.20.6＜1，∴|log23|＞|log47|＞|0.20.6|．又∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且为偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．∴c＞a＞b．故选C．点评：本题考查偶函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．6．（5分）设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率e=（）A．5 B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据题意可求得a和b的关系式，进而利用c=求得c和b的关系，最后求得a和c的关系即双曲线的离心率．解答：解：依题意可知=，求得a=2b∴c== b∴e==故选C．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的时候注意看双曲线的焦点所在的坐标轴，根据坐标轴的不同推断渐近线不同的形式．7．（5分）函数的图象和函数g（x）=log2x的图象的交点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：函数的图象与图象变化．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：根据分段函数图象分段画的原则，结合一次函数、二次函数、对数函数图象的画出，我们在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象，数形结合即可得到答案．解答：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象如下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有3个交点故选B点评：本题考查的知识函数的图象与图象的变化，其中在同一坐标系中画出两个函数的图象是解答的关键．8．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1] D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：由x∈[﹣4，﹣2]时，恒成立，则不大于x∈[﹣4，﹣2]时f（x）的最小值，根据f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，，求出x∈[﹣4，﹣2]时f（x）的最小值，构造分式不等式，解不等式可得答案．解答：解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2﹣x∈[﹣，0]当x∈[1，2）时，f（x）=﹣（0.5）|x﹣1.5|∈[﹣1，]∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为﹣1又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为﹣当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为﹣若x∈[﹣4，﹣2）时，恒成立，∴即即4t（t+2）（t﹣1）≤0且t≠0解得：t∈（﹣∞，﹣2]∪（0，l]故选D点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，分式不等式的解法，高次不等式的解法，是函数、不等式的综合应用，难度较大．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）9．（5分）如图所示，是某校2015届高三年级文科60名同学参加某科考试所得成绩（分数均为整数）整理后得出的频率分布直方图，根据该图可得出这次考试文科60分以上的同学的人数为45．考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图的意义分析可知：该班60分以上的同学的频率，又有该班60分以上的同学的人数；根据频率与频数的关系计算可得答案．解答：解：由题意可知：该班60分以上的同学的频率为0.015×10+0.03×10+0.025×10+0.005×10=0.75，则该班60分以上的同学的人数为60×0.75=45人．故答案为：45．点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时还考查了频数及频率的计算．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为192+3π．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知，该几何体是两个四棱柱和一个圆柱的组合体，代入圆柱和棱柱的体积公式，进而可得答案．解答：解：由三视图可知，该几何体是两个四棱柱和一个圆柱的组合体，两个四棱柱的体积均为：（2+2+2）×（2+2+2）×1.5=96，圆柱的体积为：π××3=3π，故组合体的体积V=96×2+3π=192+3π，故答案为：192+3π点评：本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．11．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则•=．考点：向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由△ABC中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，我们易将中两个向量变形为：，，然后再利用向量数量积的计算公式，代入即可得到答案．解答：解：根据向量的加减法法则有：，，此时===故答案为：．点评：如果两个非量平面向量平行（共线），则它们的方向相同或相反，此时他们的夹角为0或π．当它们同向时，夹角为0，此时向量的数量积，等于他们模的积；当它们反向时，夹角为π，此时向量的数量积，等于他们模的积的相反数．如果两个向量垂直，则它们的夹角为，此时向量的数量积，等于0．12．（5分）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x﹣3y﹣2=0与圆C相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为x2+（y﹣1）2=10．考点：抛物线的应用；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用．专题：计算题．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而求得圆心，进而求得圆心到直线4x﹣3y﹣2=0的距离，根据勾股定理求得圆的半径．则圆的方程可得．解答：解：依题意可知抛物线的焦点为（1，0），∵圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．所以圆心坐标为（0，1），∴，圆C的方程为x2+（y﹣1）2=10故答案为x2+（y﹣1）2=10点评：本题主要考查了抛物线的应用．涉及了圆的基本性质，对称性问题，点到直线的距离，数形结合思想等问题．13．（5分）如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E．已知⊙O的半径为3，PA=2，则CD=．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PA=2，PB=8，故PC2=PA•PB，解得PC=4，圆的半径r=3，连接OC．得到sin∠P=，由此能求出CE，从而求出CD．解答：解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PA=2，PB=8，∴PC2=PA•PB=16，∴PC=4，∴圆的半径r=3，连接OC．∵OC=3，OP=5，∴sin∠P=，∴CE=×4=，∴CD=2CE=．故答案为：．点评：本题考查圆的切割线定理的合理运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地连接辅助线．14．（5分）函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为4．考点：基本不等式；指数函数的图像与性质．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：最值问题长利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，知A（1，1），点A在直线mx+ny﹣1=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．解答：解：由已知定点A坐标为（1，1），由点A在直线mx+ny﹣1=0上，∴m+n=1，又mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴=（）（m+n）==2++≥2+2•=4，当且仅当两数相等时取等号．故答案为4．．点评：均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛．在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值．也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立．有时也可利用柯西不等式以确保等号成立，取得最值．二、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：教师教龄5年以下5至10年10至20年20年以上教师人数8 10 30 18经常使用信息技术实施教学的人数 2 4 10 4（Ⅰ）求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率；（Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？考点：古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：计算题；应用题．分析：（Ⅰ）先根据表格算出该校教师人数及该校经常使用信息技术实施教学的教师人数，从而利用概率公式得出“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”的概率，最后利用对立事件得出该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率；（Ⅱ）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为a i（i=1，2），教龄在5至10年的教师为b i（j=1，2，3，4），利用列举法得到任选2人的基本事件及“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”事件，最后利用古典概型及其概率计算公式即可得到恰有一人教龄在5年以下的概率．解答：解：（Ⅰ）该校教师人数为8+10+30+18=66，该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为2+4+10+4=20．…（2分）设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件A，…（3分）则，…（5分）．…（6分）所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是．（Ⅱ）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为a i（i=1，2），教龄在5至10年的教师为b i（j=1，2，3，4），那么任选2人的基本事件为（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共15个．…（9分）设“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”为事件 B，…（10分）包括的基本事件为（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4）共8个，…（11分）则．…（13分）所以恰有一人教龄在5年以下的概率是．点评：本小题主要考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）的值．考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（I）利用三角形中的等边对等角得到三角形三边的关系；利用三角形的余弦定理求出角A的余弦．（II）利用三角函数的平方关系求出角A的正弦，利用二倍角公式求出角2A的正弦，余弦；利用两个角的和的余弦公式求出的值．解答：解：（I）由B=C，可得所以cosA==（II）因为所以=点评：本题考查三角形的余弦定理、考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式．17．（13分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，PA=PD=AD=2BC=2CD，E，F分别是AD，PC的中点．（Ⅰ）求证AD⊥平面PBE；（Ⅱ）求证PA∥平面BEF；（Ⅲ）若PB=AD，求二面角F﹣BE﹣C的大小．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明AD⊥平面PBE，只需证明BE⊥AD，PE⊥AD；（Ⅱ）证明PA∥平面BEF，只需证明FG∥PA；（Ⅲ）取CD中点H，连接FH，GH，可知∠FGH为二面角F﹣BE﹣C的平面角，即可求二面角F ﹣BE﹣C的大小．解答：（Ⅰ）证明：由已知得ED∥BC，ED=BC，故BCDE是平行四边形，所以BE∥CD，BE=CD，因为AD⊥CD，所以BE⊥AD，由PA=PD及E是AD的中点，得PE⊥AD，又因为BE∩PE=E，所以AD⊥平面PBE．（Ⅱ）证明：连接AC交EB于G，再连接FG，由E是AD的中点及BE∥CD，知G是BF的中点，又F是PC的中点，故FG∥PA，又因为FG⊂平面BEF，PA⊄平面BEF，所以PA∥平面BEF．（Ⅲ）解：设PA=PD=AD=2BC=2CD=2a，则，又PB=AD=2a，EB=CD=a，故PB2=PE2+BE2即PE⊥BE，又因为BE⊥AD，AD∩PE=E，所以BE⊥平面PAD，得BE⊥PA，故BE⊥FG，取CD中点H，连接FH，GH，可知GH∥AD，因此GH⊥BE，综上可知∠FGH为二面角F﹣BE﹣C的平面角．可知，故∠FGH=60°，所以二面角F﹣BE﹣C等于60°．点评：本题考查线面垂直、线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定方法，正确找出面面角．18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式．专题：计算题；综合题．分析：（I）由已知利用递推公式可得a n，代入分别可求数列b n的首项b1，公比q，从而可求b n（II）由（I）可得c n=（2n﹣1）•4n﹣1，利用乘“公比”错位相减求和．解答：解：（1）：当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣2（n﹣1）2=4n﹣2，故{a n}的通项公式为a n=4n﹣2，即{a n}是a1=2，公差d=4的等差数列．设{b n}的公比为q，则b1qd=b1，d=4，∴q=．故b n=b1q n﹣1=2×，即{b n}的通项公式为b n=．（II）∵c n===（2n﹣1）4n﹣1，T n=c1+c2+…+c nT n=1+3×41+5×42+…+（2n﹣1）4n﹣14T n=1×4+3×42+5×43+…+（2n﹣3）4n﹣1+（2n﹣1）4n两式相减得，3T n=﹣1﹣2（41+42+43+…+4n﹣1）+（2n﹣1）4n=[（6n﹣5）4n+5]∴T n=[（6n﹣5）4n+5]点评：（I）当已知条件中含有s n时，一般会用结论来求通项，一般有两种类型：①所给的s n=f（n），则利用此结论可直接求得n＞1时数列{a n}的通项，但要注意检验n=1是否适合②所给的s n是含有a n的关系式时，则利用此结论得到的是一个关于a n的递推关系，再用求通项的方法进行求解．（II）求和的方法的选择主要是通项，本题所要求和的数列适合乘“公比”错位相减的方法，此法是求和中的重点，也是难点．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率等于．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若，求证λ1+λ2为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设椭圆方程为，根据题意得：，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）椭圆C的右焦点F（2，0），根据题意可设l：y=k（x﹣2），则M（0，﹣2k），由得：（5k2+1）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，由此利用根的判别式、韦达定理结合已知条件能证明λ1+λ2为定值．解答：（Ⅰ）解：∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率等于，∴设椭圆方程为，根据题意得：，解得a2=5，b2=1，所以椭圆C的方程为：．（Ⅱ）证明：椭圆C的右焦点F（2，0），根据题意可设l：y=k（x﹣2），则M（0，﹣2k），令A（x1，y1），B（x2，y2），由得：（5k2+1）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，所以，且△＞0，由，得（x1，y1+2k）=λ1（2﹣x1，﹣y1），（x2，y2+2k）=λ2（2﹣x2，﹣y2），所以，所以．故λ1+λ2为定值．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．20．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣bx2+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程为3x+y﹣6=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若对任意的x∈[，2]都有f（x）≥t2﹣2t﹣1成立，求函数g（t）=t2+t﹣2的最值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（I）欲求实数a、b的值，利用f（x）在x=1处的切线方程为3x+y﹣6=0，结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决；（II）求导数，确定f（x）在[，2]上的最小值为2，由f（x）≥t2﹣2t﹣1对x∈[，2]恒成立，则t2﹣2t﹣1≤2，求出t的范围，从而可求函数g（t）=t2+t﹣2的最值．解答：解：（Ⅰ）由已知，得切点为（1，3），且f′（x）=3ax2﹣2bx+9，由题意可得，解得，故f（x）=4x3﹣12x2+9x+2；（II）f′（x）=12x2﹣24x+9，由f′（x）=0，得x=或，由f′（x）＞0，得x＞或x＜；由f′（x）＜0，得＜x＜；∴f（x）的单调增区间为（，+∞），（﹣∞，）；f（x）的单调减区间为（，）；∴f（x）的极小值为f（）=2，又f（）=，f（2）=4，∴f（x）在[，2]上的最小值为2，由f（x）≥t2﹣2t﹣1对x∈[，2]恒成立，则t2﹣2t﹣1≤2，则t2﹣2t﹣3≤0，解得﹣1≤t≤3，而g（t）=t2+t﹣2=，故当t=﹣时，g（t）最小值为﹣；当t=3时，g（t）最大值为10．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调性并根据函数的增减性得到函数的极值，是一道中档题．。
天津市杨村一中-度高三数学上学期月考试题(文)
天津市杨村一中2007-2008学年度高三数学上学期月考试题（文）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
）1．满足条件}3,2,1{}1{=⋃M 的集合的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数)0(12>+=-x y x 的反函数是（ ）A ．)2,1(11log 2∈-=x x yB ．)2,1(11log 2∈--=x x yC ．(]2,111log 2∈-=x x y D ．(]2,111log 2∈--=x x y 3．945cot 300tan +的值为（ ）A ．31-B ．31+C ．31--D ．31+-4．已知二次函数1)1(22=++=x x a ax y 在处的导数值为1，则该函数的最大值是（ ）A ．1625 B ．825 C ．425 D ．225 5．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所 用时间的数据，结果用右侧的条形图表示。
根 据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课 外阅读时间为 （ ） A ．0.6小时 B ．0.9小时 C ．1.0小时 D ．1.5小时6．已知ββαααtan ,1)tan(,,53sin 则且为第二象限角=+=的值是 （ ）A ．－7B ．7C ．43- D ．437．定义运算x x f b a b b a a b a 21)(,)()(⊗=⎩⎨⎧>≤=⊗则函数的图象大致为（ ）8．已知数列n nnn n a n a a a a a 项则这个数列的第中,21,1,}{11+==+为（ ）A ．12-nB ．12+nC ．1n 21- D ．121+n 9．如果定义域为R 的偶函数[)0)(log ,0)21(,,0)(4>=+∞x f f x f 则不等式且是增函数在的解集是（ ）A ．}2|{>x xB ．}210|{<<x xC ．}2210|{><<x x x 或 D ．}2121|{><<x x x 或 10．若)1()2)(1(:,,*-+++=∈∈n x x x x H N n R x nx 规定，例如：6)1()2()3(33-=-⋅-⋅-=-H ， 则函数73)(-⋅=x H x x f（ ）A ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．已知等差数列1185212,21,}{a a a a S S n a n n +++=则若项和为的前=12．已知向量||,2),,1(),,1(a b b a n b n a 则垂直与若--===13．已知)21(lg ,0)2(lg ),(2)(f f R k x k x f 则若=∈+== 14．函数)(cos sin 2sin cos 22R x x x x x y ∈⋅+-=的最小正周期为 ，此函数的值域为 。
天津市武清区杨村第一中学2023-2024学年高三上学期开学质量检测数学试题
等于（ ）
A．2
B． 1
C． 2
D．1
8．5G 技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城
统计了最近 5 个月手机的实际销量，如下表所示：
时间 x
12345
销售量 y（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若 y 与 x 线性相关，且线性回归方程为 yˆ 0.24x aˆ ，则下列说法不正确的是（ ） A．由题中数据可知，变量 y 与 x 正相关 B．线性回归方程 yˆ 0.24x aˆ 中 aˆ 0.26 C． x 5时，残差为 0.02 D．可以预测 x 6 时该商场 5G 手机销量约为 1.72（千只）
（3）对（2）中的 dk ，求集合x | dk x dk1, x Z 的元素个数.
试卷第 4 页，共 4 页
x
2 x
6
展开式的常数项为
.
12．已知点 A 在函数 f x ex 2x 的图象上，点 B 在直线 l : x y 3 0 上，则 A，B 两
点之间距离的最小值是．
三、双空题 13．某校高三年级有男生 360 人，女生 240 人，对高三学生进行问卷调查，采用分层抽 样的方法，从这 600 名学生中抽取 5 人进行问卷调查，再从这 5 名学生中随机抽取 3 人 进行数据分析，则这 3 人中既有男生又有女生的概率是，记抽取的男生人数为 X ，则随 机变量 X 的数学期望为．
是（ ）
①函数 g(x) 是奇函数
② g(x) 的图象关于直线 x 对称 6
③
g
(
x)
在
3
,
3
上是增函数
④当
x
6
,
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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天津市武清区杨村第一中学2015届高三第一次阶段性检测试题（理）一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分） 1．已知全集R U =，函数x x x f 52)(-=的定义域为M ，则=M C U （ ）A ．]0,(-∞B ．),0(+∞C ．)0,(-∞D ．),0[+∞2. 已知幂函数)(x f 的图象过点)21,4(，则()8f 的值为 （ ）A.42B.64C. 22D. 641 3．已知命题p 、q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．当210≤<x 时，x a x log 4<，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．)2,1( B ．),2(+∞ C ．)22,0( D ．)1,22( 5．已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，x x x f 4)(2-=， 则不等式5)32(≤+x f 的解集为 （ ）A ．]5,5[-B ．]2,8[-C ．]1,4[-D ．]4,1[6．已知奇函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 为偶函数，且1)1(=f ，则=+)2015()2014(f f （ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．17．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=0,20,2)(22x x x x x x x f ，且关于x 的方程)(,)(R m m x f ∈=恰有3个不同的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是 （ ）A ．)0,1(-B ．),21(+∞-C ．)1,0(D ．)0,21(- 8. 已知函数x x f x 2log 2)(+=，1log 2)(2+=x x g x ，1log 2)(2-=x x h x 的零点分别为,,a b c ，则 ,,a b c 的大小关系为 ( )A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．若对任意R x ∈，a a x x 4|3||2|2-≥++-恒成立，则实数a 的取值范围是 . 10．已知直线l 的参数方程为：2,14x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆C 的圆心到直线l 的距离为 . 11．函数)2(log log )(24x x x f ⋅=的值域用区间表示为________．12．函数⎩⎨⎧>≤+=)0(,log )0(,1)(2x x x x x f ，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数是 .13．如图，ABC ∆内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于点E ，交⊙O 于G 、F ，交⊙O 在点A 切线于点P ，若3,2,3===EF ED PE ， 则PA 的长为 ． 14．设R b a ∈,，已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫⎝⎛=2log 20,21)(16x x x x f x．若关于x 的方程0)()]([2=++b x af x f 有且只有7个不同实数根，则ab的取值范围是 ．三、解答题（本题共6题，满分80分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤．）15．设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ； 命题q ：不等式39x xa -<对一切R x ∈均成立。
（Ⅰ）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．16．已知函数x x x f -=3)(.（Ⅰ）求)(x f 在区间]0,2[-上的最大值；（Ⅱ）若过点),2(t P 存在3条直线与曲线)(x f y =相切，求t 的取值范围．17．设,0>a 且1≠a ，已知函数11log )(--=x bxx f a 是奇函数 （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）当)2,1(-∈a x 时，函数)(x f 的值域为),1(+∞，求实数a 的值．18． 设函数())ln 2(2x x k xe xf x +-=（k 为常数，其中e 是自然对数的底数）（Ⅰ）当0≤k 时，求函数)(x f 的极值点；（Ⅱ）若函数)(x f 在)2,0(内存在两个极值点，求k 的取值范围．19．已知函数x x e e x f -+=)(，其中e 是自然对数的底数． （Ⅰ）证明：)(x f 是R 上的偶函数；（Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-+≤-m e x mf x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立，试比较1-a e 与1-e a 的大小，并证明你的结论．20．已知函数1)(2---=bx ax e x f x ，其中R b a ∈,，e 是自然对数的底数 若0)1(=f ，且函数)(x f 在区间)1,0(内有零点，求实数a 的取值范围．参考答案一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分）1．B 2. A 3．A 3．D 4．C 5．B 6．D 7. A 8．B 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．15a -≤≤ 10．11．),81[+∞- 12．7 13．6 14．)81,54(--三、解答题（本题共6题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．解：（Ⅰ）若命题p 为真命题，则20,16aax x x R -+>∈恒成立02a a >⎧⇒⇒>⎨⎩△<0 …………4分（Ⅱ）若命题q 为真命题，则1394x xa a -<⇒>； …………8分 “p 或q ”为真命题且“p 且q ”为假命题，即p ，q 一真一假 故1(,2]4a ∈ …………13分所以，当33-=x 时，)(x f 有最大值932)33(=-f ……5分 （Ⅱ）设切点为),(0300x x x -，切线斜率1320-=x k从而切线方程为))(13()(020030x x x x x y --=-- …………7分 又过点),2(t P ，所以)2)(13()(020030x x x x t --=-- 整理得02622030=++-t x x令262)(23++-=t x x x g ，则x x x g 126)(2/-= 由0)(/=x g 得0=x 或2=x当x 变化时，)(x g 与)(/x g 的变化如下表：…………11分于是，⎩⎨⎧<-=>+=06)2(02)0(t g t g ，所以62<<-t …………13分17． 解：（Ⅰ）因为)(x f 是奇函数，所以)()(x f x f -=- …………1分从而0)()(=+-x f x f ，即011log 11log =--+--+x bxx bx a a于是，0)1(22=-x b ，由x 的任意性知012=-b 解得1-=b 或1=b （舍）所以1-=b …………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得11log )(-+=x x x f a，（1-<x 或1>x ） ax x f ln )1(2)(2/--=…………5分当10<<a 时，0)(/>x f ，即)(x f 的增区间为)1,(--∞，),1(+∞ 当1>a 时，0)(/<x f ，即)(x f 的减区间为)1,(--∞，),1(+∞…………9分（Ⅲ）由12>-a 得3>a …………11分 所以)(x f 在)2,1(-a 上单调递减从而1)2(=-a f ，即131log =--a a a， 又3>a ，得32+=a …………13分 18． 解：（Ⅰ）…………2分…………6分（Ⅱ）…………13分19． （Ⅰ）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=， ∴()f x 是R 上的偶函数 …………3分（Ⅱ）由题意，(e e )e 1x x xm m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10xx-+->，即e 1e e 1x x xm ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立 令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立 ∵221111111t t t --=-=---++≥， 当且仅当2t =时等号成立 ∴13m -≤ …………9分（Ⅲ）'()e e x x f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增 2)(;)(),2()()2,0(2,0)(0e 0,kx 0k )0())(2()12(2)('x 3242'=+∞∈∈==>-∴≤≤>--=+---⋅=x x f x f x x f x x x f kx x xkx e x x xk x xe x e x f x x x 的极小值点为从而单调递增时，当单调递减；时，当则令时，当()()()）的取值范围为（综上则令2,:1ln 0ln ln 2022,0)2(01)0(,01)0(ln ,)(2ln 222'''e e k e k k k k e k g e k k e g k e g g k g k x k e k e x g kx e x g k x x x >∴>∴<-=<∴>-=>-=>=<-===∴-=-=令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减 ∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+， ∴1(1)e 2f a =+<，即()11e 2ea >+ …………11分 ∵e-1e 111lnln ln e (e 1)ln 1e a a a a a a ---=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()e 1e 111'()1e 2e a m a a a a ---=-=>+，当()11e e 12e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减 因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<；当()11e e 2ea +<<时，0)(>a m ，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=． …………14分20．由(1)0f =⇒10e a b ---=⇒1b e a =--，又(0)0f =…………2分 若函数()f x 在区间(0,1)内有零点，则函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间因为2()1x f x e ax bx =--- 所以()()2x g x f x e ax b '==-- …………4分又()2x g x e a '=-因为[0,1]x ∈，1x e e ≤≤ 所以： ①若12a ≤，则21a ≤，()20x g x e a '=-≥， 所以函数()g x 在区间[0,1]上单增，②若2e a ≥，则2a e ≥，()20xg x e a '=-≤ 所以函数()g x 在区间[0,1]上单减， …………6分 于是，当12a ≤或2ea ≥时，函数()g x 即()f x '在区间[0,1]上单调，不可能满足“函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求。