可靠度计算方法

三、可靠度计算方法
可靠度分析的主要方法：
一次二阶矩方法、二次二阶矩方法、蒙特卡罗模拟法和概率有限法等。

一次二阶矩方法是目前最常用的方法之一，国际标准《结构可靠性总原则》以及我国第一层次和第二层次的结构可靠度设计统一标准如《工程结构可靠性设计统一标准》和《建筑结构可靠度设计统一标准》等，也都推荐采用一次二阶矩方法。

一次二阶矩方法（First-Order Reliability Method ，简称FORM ）最初是根据线性功能函数和独立正态随机变量二阶矩所提出的计算方法。

这一方法的基本原理是：
假定功能函数(n 21,,,X X X g Z L )=是基本变量X i （i ＝1，2，…，n )的线性函数，基本变量均服从正态分布或对数正态分布，且各基本变量之间相互统计独立，则可以由基本随机变量X i （i ＝1，2，…，n )的一阶矩、二阶矩计算功能函数Z 的统计均值Z μ和标准差Z σ，进而确定状态方程的可靠性指标β值。

对于非线性功能函数，可将功能函数展开成Taylor 级数，保留线性项，将Z 近似简化成基本变量X (n 21,,,X X X g Z L =)i （i ＝1，2，…，n )的线性函数，计算Z 的统计均值Z μ和标准差Z σ，再计算可靠性指标β值。

如果基本变量为非独立和非正态变量，则需要先对基本变量进行相应的处理，然后计算可靠性指标β值。

根据功能函数线性化点的取法不同以及是否考虑基本随机变量的分布类型，又分为均值一次二阶矩法（中心点法）、改进的一次二阶矩法（验算点法）和JC 法等。

3.1均值一次二阶矩法（中心点法）
设基本变量X i （i ＝1，2，…，n )均服从正态分布或对数正态分布，且各基本变量之间相互统计独立，功能函数为()n 21,,,X X X g Z L =，相应的极限状态方程为
()0,,,n 21==X X X g Z L
线性功能函数情况：当功能函数()n 21,,,X X X g Z L =是基本变量X i （i ＝1，2，…，n )的线性函数时，即
n n 2211X a X a X a Z +++=L
这里，a 1、a 2、…、a n 为常数。

而Z 的统计均值Z μ和标准差Z σ为
1
[]i
n
Z i X i E Z a μμ===∑
Z σ==
i
X μ、i
X σ分别为变量X i 的均值和标准差。

而可靠性指标β值为
i
n
i X Z Z
a μ
μ
βσ==
∑其破坏概率P f 为
()f 1P β=−Φ
()Φ⋅为标准正态分布函数。

若功能函数可以表示为荷载效应S 与抗力R 的线性关系，即状态方程
0Z R S =−=
当荷载效应S 与抗力R 均服从正态分布时，可靠性指标β值为
R δ、S δ分别为荷载效应S 与抗力R 的变异系数。

非线性功能函数情况：可先进行线性化处理。

中心点法选取在随机变量的均值点（即中心点）i
X μ（i ＝1，2，…，n ）
，展开成Taylor 级数，并取其线性项（一次项）作为功能函数Z 的简化表达式。

将功能函数的基本变量X i （i ＝1，2,…，n ）在其均值点i
X μ（i ＝1，2，…，
n ）处展开成Taylor 级数，保留线性项，则有
11(,,)()n i x i
n
x x i i i
g Z g X X μx μμμ=∂≈+∂∑
L −
极限状态方程为
11(,,)()0n i x i
n
x x i x i i
g Z g X X μμμμ=∂≈+−∂∑
L =
式中，
X
i
i
g X μ∂∂表示功能函数g 对随机变量X i 求导后，用平均值i
X μ（i ＝1，2，…，
n ）代入后的计算值，因此为常数。

通过式（2.3.1-9）计算功能函数Z 的均值Z μ和标准差Z σ为
11221(,,)
(
)n i x i z x x n z x i i g g X μμμμσσ==⎧⎪⎪
⎡⎤⎨
∂⎢⎥=⎪∂⎢⎥⎪⎣⎦⎩
∑L
可靠指标β可表示为
当功能函数Z为线性函数，且随机变量X i（i＝1，2,…，n)为相互独立的正态随机变量时，上式给出的可靠指标β是精确的。

而对于非线性功能函数，且随机变量为非独立和非正态分布，其计算结果一般会产生较大的误差。

在此情况下，需要对随机变量作正态化和独立性预处理，再利用此方法进行计算。

【算例2-1】 中心点法计算地基承载力的可靠性指标与失效概率计算 已知基础宽度3=B m ，埋置深度2=D m ，计算承载力的各基本随机变量特征如表所示，试求失效概率。

f P 基本变量名称 符号 平均值 标准差 概率分布类型
基底压力（kPa ） p
360.0 90.0 正态分布 土的重度（kN/m 3） B D γγ=
21.5 0.1 正态分布 内摩擦角（rad ） ϕ
0.33 0.024 正态分布 黏聚力（kPa ） c
31.68 3.73 正态分布
【解】 设地基极限承载力为q ，采用普朗特尔（Prandtl，1920；Reissner，1924；Taylor，1948）公式计算，承载力计算公式为
B B D D c q N B N D N c γγ=++
承载力系数为
tg D N N e πϕϕ= (1)c D N N ctg ϕ=−
B N =
其中 2N tg ϕϕ
=o
（45+2
功能函数 Z q p =− 承载力系数平均值计算：
2(45) 1.962
N tg ϕϕ
=+
=o
5.74tg D N N e πϕϕ==
(1)13.84c D N N ctg ϕ=−=
3.32= 承载力对随机变量的一阶偏导数在均值点处的计算值：
13.84c q
N c
∂==∂ 11.48D D
q
DN γ∂==∂ 9.96B B
q
BN γ∂==∂ 2
2(45)
232.28cos cos (45)2
tg D D tg N N e πϕϕ
πϕϕ
ϕ+
∂=+=∂+o o 21
4.91sin c D D N N N ctg ϕϕϕϕ
∂∂−=−=∂∂
229.6cos (45)2
+o = 4848.8c B D B D N N N q
B D c γγϕϕϕϕ
∂∂∂∂=++=∂∂∂∂ 极限承载力q 的平均值
33.221.53 5.7421.5213.8431.68899.4q k =××+××+×=Pa
极限承载力q 的标准差
ˆ127.3 kPa q σ
== 899.4360.0539.4 kPa z q p μ=−=−=
156.0 kPa Z σ=== 可靠性指标
539.4
3.45156.0
Z Z μβσ=
== 失效概率
4( 3.45) 2.810f P −=Φ−=×
【例2-2】中心点法计算地基承载力的可靠性指标与失效概率计算
已知条件同［例2-1］，功能函数的极限状态方程改取为
求地基承载力可靠性指标β值。

【解】
31
2.7810x
Z q p
μ−∂=
=×∂ 322899.4 6.9410360
x
Z q p
p μ−∂=−
=−=−×∂ 899.41 1.0 1.5360.0
z q p μ=
−=−=
0.72
Z σ===
可靠性指标
1.5
2.080.72
Z Z μβσ=
==
这一例题说明，当采用不同的功能函数时，按中心点法计算可能会得到不同的可靠指标β值，这是中心点法存在的重大缺陷。

中心点法的优点：计算简便，不需进行过多的数值计算，当基本变量确定为正态或对数正态分布时可导出解析表达式，直接给出可靠指标β与随机变量统计参数分布的关系。

当可靠指标β较小，即失效概率P f较大时，例如，P f≥10-3 ( 3.09
β≤)，按中心点法计算P f值对功能函数中的随机变量的概率分布类型并不十分敏感，即由各种合理分布算出的P f值大多在同一数量级，其精度满足工程要求。

中心点法的缺点：①不能考虑随机变量的分布概型，只能直接取用随机变量的一阶矩和二阶矩；②极限功能函数高度非线性情况下会导致误差过大；③在选择不同极限状态方程后可能得到不同的可靠性指标值。

一次二阶矩中心点法的计算结果相对较粗糙，一般常用于可靠度要求不高的情况，对于1~2
β=的正常使用极限状态可靠度的分析，较为适用。