2020届四川省遂宁市第二中学校高三高考适应(二)考试数学(文)试题(解析版)

2020届四川省遂宁市第二中学校高三高考适应（二）考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,0,3,5,7A =-，4{}1|B x x =-≤，则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,3C ．{}3,5D ．{}3,5,7【答案】C【解析】计算{}35B x x =≤≤，再计算交集得到答案. 【详解】{}{|41}35B x x x x =-≤=≤≤，{}1,0,3,5,7A =-，故{}3,5A B =.故选：C. 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，交集运算，属于简单题.2．已知复数()()()1z i a i a R =+-∈，则“1a <-”是“复数z 在复平面内对应的点位于第一象限或第三象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据复平面内点的坐标表示，结合充分必要条件的性质即可判断. 【详解】解：()()11z a a i =++-，得1a >或1a <-.若复数z 在复平面内对应的点位于第一象限或第三象限， 可得()()110a a +->，由1a <-能推出()()110a a +->， 但由()()110a a +->不一定能推出1a <-.则“1a <-”是“复数z 在复平面内对应的点位于第一象限或第三象限”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了复数的几何意义，充分必要条件的判断，属于较易题.3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且936S S =，则{}n a 的公差d =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由等差数列性质知()()1319329353939,?654922a a a a S a S S a ++=======，则56a =.所以5213a a d -==. 故选A.4．在直角坐标系xOy 中，动点A 在抛物线y 2＝x 上，点P 满足OP =2OA ，则点P 的轨迹方程是（ ） A ．y 2＝x B ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x【答案】B【解析】设11(,)A x y ，(,)P x y ，用,x y 表示出11,x y ，并把11(,)x y 代入抛物线方程可得． 【详解】设11(,)A x y ，(,)P x y ，∵2OP OA =，∴11(,)2(,)x y x y =，即1122x x y y =⎧⎨=⎩，解得1122x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，而A 在已知抛物线上，∴211y x =，即2()22y x =，整理得22y x =． 故选：B. 【点睛】本题考查求轨迹方程，解题方法是动点转移法（或叫代入法）．5．意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作一《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷，某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据: 6.9,7.1,12.6AB cm BC cm AC cm ===，根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（ ）A ．(,)64ππB ．(,)43ππC ．5(,)312ππD ．5(,)122ππ 【答案】B【解析】取7AB BC =≈，设2ABC θ∠=，可得3(,)38ππθ∈，进而得出结论．【详解】解：取7AB BC =≈，设2ABC θ∠=， 则12.63622sin 0.9(7θ+≈=∈，3(,)38ππθ∴∈，232(,)34ππθ∈，设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α， 则2αθπ+=， (,)43ππα∴∈， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查直角三角形的边角关系、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知2a e =，2b e = ，1123e⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，（e 为自然对数的底）则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】A【解析】根据条件即可得出，a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 23，容易得出log 23＞log 2e ＞1，ln 2＜1，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】∵1122()23a bce e ===，，； ∴21221233a log eb lnc log log ====，，； ∵log 23＞log 2e ＞log 22＝1，ln 2＜lne ＝1； ∴c ＞a ＞b ． 故选：A ． 【点睛】本题考查指数式和对数式的互化，对数的换底公式，考查了利用对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题． 7．函数22cos 221x xx y =- 的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】222cos 22cos 2()()2112x x xxx x f x f x ---===-∴-- 去掉B,D;12cos1()0221f =>∴- 舍C ，选A.8．执行如图所示的程序框图，若输入4t =，则输出的i =（ ）A ．16B ．13C ．10D ．7【答案】A 【解析】【详解】4,1,0t i S ===，S i <，（1）1i =不是质数，则011S =-=-，134i =+=，又14-<， （2）4i =不是质数，则145S =--=-，437i =+=，又54-<， （3）7i =是质数，则572S =-+=，7310i =+=，又24<， （4）10i =不是质数，则2108S =-=-，10313i =+=，又84-<， （5）13i =是质数，则8135S =-+=，13316i =+=，则54>， 所以输出16i =，故选A ．9．已知双曲线221259x y -=上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，则点M 到左焦点2F 的距离是（ ） A ．8 B ．28C ．12D ．8或28【答案】D【解析】根据双曲线的定义求解2MF ，并验证是否成立. 【详解】双曲线221259x y -=的5a =，3b =，c ==由双曲线的定义得12||||||210MF MF a -==， 即为21810MF -=，解得28MF =或28.检验若M在左支上，可得15MF c a ≥-=，成立； 若M在右支上，可得15MF c a ≥+=，成立. 故选：D 【点睛】本题考查根据双曲线的定义求点到焦点的距离，属于基础题型，这类题型的易错点是根据定义求解点到焦点的距离时，有时候是2个解，需验证是否都成立，左支上的点到左焦点的距离d c a ≥-，左支上的点到右焦点的距离d c a ≥+.10．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>，若()f x 在[]0,2π恰有3个最值点，则ω的取值范围为（ ） A ．91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,B ．913,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．911,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．711,88⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【解析】化简得到()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,2π44ϕω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，根据最值点得到π5π2π42π7π2π42ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得答案. 【详解】()πsin cos 4f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令π4x ϕω=+，则ππ,2π44ϕω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦， 要使()sin cos f x x x ωω=+在[]0,2π恰有3个最值点，则π5π2π42π7π2π42ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，∴91388ω≤<. 故选：A. 【点睛】本题考查了根据三角函数的最值点求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11．在三棱锥S ABC -中，24AC AB ==，25,BC AS SC =⊥，平面ABC ⊥平面SAC ，则当CBS ∆的面积最大时，三棱锥S ABC -内切球的半径为( ) 参考数据：150.259615≈++A ．0.125B ．0.25C ．0.5D ．0.75【答案】C【解析】先由已知推出SC SB ⊥,再设AS x =,根据勾股定理求出2BS 和2SC ,再用面积公式计算出三角形SBC 的面积,然后用基本不等式求得最大值以及取得最大值的条件,在此条件下求出四个三角形的面积,,再利用体积关系列等式可求得内球球的半径即可. 【详解】 如图所示，4,2,25AC AB BC ===AB AC ⊥，平面ABC ⊥平面SAC ，故AB ⊥平面SAC ，故AB SC ⊥，而AS SC ⊥，故SC ⊥平面ABS ，则SC SB ⊥；设AS x =，则22224BS AB AS x =+=+， 而222216SC AC AS x =-=-， 则()()22221641116422CBSx x SSB SC x x -+=⋅=-+=221644x x -++≤5= ，当且仅当26x =，即26x =时，CBS ∆ 的面积最大为5，此时4,6,15,5ABCABSsACSBCSSSS====，设三棱锥S ABC -内切球的半径为r ，故()13S ABC ABCSACABSSBCV S SSSr -=+++⋅，即11514(45615)323r ⨯⨯=+++⋅，即2150.59615r =≈++ 故选C .【点睛】本题考查了线面垂直的判定和性质,用基本不等式求最值,三棱锥的内切球问题,属中档题.12．已知函数()3,00,0133,1x x f x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，若函数()()3g x x f x λ=+恰有3个零点，则λ的取值范围为 A ．()9,04⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭B ．9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()9,0,4⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数()()3g x x f x λ=+恰有3个零点，由题意可知0λ=显然不满足，当0λ≠时，题意等价于()3x f x λ=-，即函数()y f x =和函数3x y λ=-的图象有3个交点，当0λ<时，最多有2个交点，不合题意；当0λ>时，如图所示，原点为其一个交点，当1x >，直线33y x =-与3x y λ=-相切时，设切点坐标为3,x xλ⎛⎫-⎪⎝⎭，由23xyλ'-=及导数的几何意义可得233333xxxλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3294xλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由幂函数类型函数中系数对图象的影响可得要使得有三个交点应满足94λ>，综上可得λ的取值范围为9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭，故选B.点睛：本题主要考查方程根的个数的应用，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键；在该题中最大的难点为临界位置的确定，即直线与曲线相切的时对应的参数的范围，同时必须熟练掌握系数对幂函数图象的影响.二、填空题13．已知向量a，b满足a b a b+=-，且3a=，1b=，则向量b与a b-的夹角为__________.【答案】23π【解析】方法一：由条件可知0a b⋅=，根据夹角公式计算向量b与a b-的夹角；方法二：由条件可知a b⊥，那么根据向量减法的三角形法则以及夹角定义求解. 【详解】方法一：设向量b与a b-的夹角θ，a b a b+=-，两边平方后可得0a b⋅=，∴()221b a b b a b b ⋅-=⋅-=-=-.()22222a b a b a b a b -=-=+-⋅=， ()1cos ,02b a b b a bθθπ⋅-==-<<-，2π3θ∴=，即向量b 与a b -的夹角为2π3. 方法二：∵a b a b +=-，∴a b ⊥，3a =，1b =，∴a 与b 构成矩形，由图易得向量b 与a b -的夹角为2π3.故答案为：23π 【点睛】本题考查向量数量积，夹角公式，重点考查公式和计算能力，属于基础题型，14．已知点M 的坐标(,)x y 满足不等式组240{2030x y x y y +-≥--≤-≤，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是___________ 【答案】25【解析】由约束条件240{2030x y x y y +-≥--≤-≤作出可行域如图：由图可知，可行域内的动点到直线22y x =-+的最短距离为()2,0A 到直线220x y +-=的距离，等于. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为__________． 【答案】14【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有4416⨯=种情况，其中两次看不到的数字都大于2的情况有(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为41164P ==． 答案：14三、双空题16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n a +是4和n S 的等比中项，数列()11nn n n nb a a +=-，其前n 项的和为n T ，则3a =__________，2n T =__________. 【答案】5 41nn -+ 【解析】根据已知条件，利用一般数列的和与项的关系可以得到数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，进而得到21n a n =-，将数列{}n b 的相邻的奇偶项结合，可得()()21214341i i b b i i -+=--+，()1,2,,,i n =⋯然后裂项相消求和即的.【详解】()214n n a S +=,取n=1得11a =，当n ≥2时，()()22n 114a 4411n n n n S S a a --=-=+-+,化简得：()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+，∵数列{}n a 各项都是正数， ∴12n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， ∴21n a n =-，∴35a =；()()111(21)(21)nnn n n n n b a a n n +=-=--+，()()()()()()212212111143414141434144341i i i i b b i i i i i i i i --⎛⎫+=-+=-=--⎪---+-+-+⎝⎭，()1,2,,,i n =⋯ ∴2n T =11144141n n n ⎛⎫--=- ⎪++⎝⎭. 故答案为：5；41nn -+. 【点睛】本题考查求递推数列的通项公式，涉及等比数列的性质，数列的递推关系，数列的和与项的关系，等差数列的判断和通项公式，裂项相消求和法，关键难点在于裂项求和，属较难试题.四、解答题17．已知函数()()ππsin 03,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<-<< ⎪⎝⎭的一系列对应值如表：（1）求()f x 的解析式；（2）如果ABC 的三边a ，b ，c 满足2b ac =，且边b 所对的角为x ，求角x 的取值范围及此时函数()f x 的值域. 【答案】（1）()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，值域为4⎤⎥⎣⎦【解析】（1）根据题意得到21T k π=+，根据03ω<<得到周期，再代入数据得到4πϕ=，得到解析式.（2）利用余弦定理结合均值不等式得到0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故112,4412x πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，得到函数值域. 【详解】 （1）518822k T πππ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭，故21T k π=+，k ∈N ，03ω<<，223T ππω=>， 故0k =时满足条件，T π=，2ω=，()()sin 2f x x ϕ=+，()20sin f ϕ==，ππ22ϕ-<<，故4πϕ=，故()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）22221cos 222a cb ac ac x ac ac +--=≥=，当a c =时等号成立，故0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，112,4412x πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦， 112321262sinsin 123422224πππ-⎛⎫=+=⨯-⨯=⎪⎝⎭， 故函数()f x 的值域为62,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数解析式，均值不等式，余弦定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18．在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=，//EF 平面ABCD ，22EA ED AB EF ====，M 为BC 中点.（1）求证：//FM 平面BDE ；（2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（215【解析】（1）由线面平行的性质可证得//EF CD ，由三角形中位线性质知1//2MO CD ，结合长度关系可证得//MO EF ，从而证得//FM EO ，根据线面平行判定定理证得结论； （2）根据（1）中平行关系可知所求距离即为点M 到平面BDE 的距离；根据面面垂直的性质可证得EH ⊥平面ABCD ，即为三棱锥E BDM -的高，利用体积相等的可构造方程求得M 到平面BDE 的距离，进而得到结果. 【详解】（1）连接AC ，交BD 于O ，连接,MO EO ，四边形ABCD 为菱形，O ∴为BD 中点，又M 为BC 中点，1//2MO CD ∴， //EF 平面ABCD ，EF ⊂平面EFCD ，平面EFCD 平面ABCD CD =，//EF CD ∴，又2AB CD EF ==，1//2EF CD ∴， //MO EF ∴，∴四边形MOEF 为平行四边形，//FM EO ∴，EO ⊂平面BDE ，FM ⊄平面BDE ，//FM ∴平面BDE .（2）由（1）知：//FM 平面BDE ，F ∴到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离，取AD 的中点H ，连接,EH BH ，EA ED =，H 为AD 中点，EH AD ∴⊥，平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，EH ⊂平面ADE ，EH ∴⊥平面ABCD ，又BH ⊂平面ABCD ，EH BH ∴⊥，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=，2AB =，2AD BD ∴==，又BE==2DE=，12222BDES∴===△，设M到平面BDE的距离为d，又1112222222BDM BCDS S==⨯⨯⨯⨯=△△1133M BDE E BDMV V--∴===，解得：d=即点F到平面BDE.【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、点到面的距离的求解问题；涉及到线面平行的判定定理、线面垂直和面面垂直的性质定理等知识；求解点到面的距离的常用方法是将问题转化为三棱锥的高的求解问题，利用体积桥构造方程求得结果.19．某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(1)通过散点图可以看出，z与x有很强的线性相关关系，请求出z与x的线性回归方程(回归系数ˆˆ,b a精确到0.01)；(2)求y关于x的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少.参考公式：()()()1122211ˆ,ˆˆn ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxyb a y bxx x x nx====---===---∑∑∑∑，参考数据：6662111187.4,47.64,139,ln1.030.03,ln1.020.02i i i i ii i ix y x z x======≈≈∑∑∑【答案】(I)z与x的线性回归方程是0.36 3.63z x=-+(II)当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【解析】(I)利用最小二乘法求出z 与x 的线性回归方程. (II)先求出y 关于x 的回归方程是0.36 3.63x y e-+=, 令x ＝10，预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价.【详解】 (I)由题意，知()1234567 4.56x =+++++=， ()13 2.48 2.08 1.86 1.48 1.1026z =+++++=， 又6147.64i ii x z==∑,621139i i x ==∑所以247.646 4.52 6.360.3631396 4.517.5b -⨯⨯==-≈--⨯，所以20.363 4.5 3.63a z b x =-⋅=+⨯=， 所以z 与x 的线性回归方程是0.36 3.63z x =-+； (II)因为ln z y =,所以y 关于x 的回归方程是0.36 3.63x y e -+=,令x ＝10， 得0.3610 3.63y e-⨯+==0.03e ,因为ln 1.03≈0.03，所以 1.03y =，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元． 【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20．如图所示，椭圆E 的中心为坐标原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，点P 是椭圆E 上的一个动点，12PF F △的周长为6，1PF 的最小值为1.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过焦点1F ，2F 作两条平行直线分别交椭圆E 于A ，B ，C ，D 四个点. ①试判断四边形ABCD 能否是菱形，并说明理由； ②求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）①不能，理由见详解；②6. 【解析】（1）先设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，根据题中条件，列出方程组2261a c a c +=⎧⎨-=⎩求解，得出21a c =⎧⎨=⎩，求出2b ，即可得出椭圆方程； （2）先由（1）得()11,0F -，()21,0F ，根据题意，得到直线AB 不平行于x 轴，设直线AB 的方程为：1x my =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，根据根与系数关系，得到122634m y y m +=+，122934y y m =-+，连结OA ，OB ，若四边形ABCD 是菱形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，由此列出方程求解，即可判断结果； ②根据椭圆的对称性，得到4ABCDAOB SS =△，由题意得到11212AOBSOF y y =-=.【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，因为12PF F △的周长为6，1PF 的最小值为1，根据椭圆的特征，可得12PF F △的周长为22a c +，当点P 为椭圆左顶点时，1PF 最小，所以2261a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，因此2223b ac =-=，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）得()11,0F -，()21,0F ， ①当直线AB 平行于x 轴时，AB 与CD 重合，显然不满足题意；当直线AB 不平行于x 轴时，设直线AB 的方程为：1x my =- 设()11,A x y ，()22,B x y ，由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()2234690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m =-+， 连结OA ，OB ，若四边形ABCD 是菱形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=， 所以12120x x y y +=，即()()1212110my my y y --+=， 即()()21212110m y y m y y +-++=，所以()2222916103434m m m m -+-+=++， 即22125034m m --=+，显然无解， 所以四边形ABCD 不能是菱形；②根据椭圆的对称性，可知四边形ABCD 是平行四边形，所以4ABCDAOB SS =△，而11212AOBSOF y y =-====令21tm =+，则1t ≥，所以424ABCDAOBSS===== 令19y t t=+，则2190y t '=->在[)1,+∞上恒成立， 所以19y t t =+在[)1,t∈+∞上单调递增，因此199110t t+≥+=，所以46ABCDAOBSS==≤=，即四边形ABCD 面积的最大值为6.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，以及椭圆中四边形面积的最值问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型，计算量较大. 21．已知函数()22(1)(2)2(2)xf x x x e x x =-++++ .（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）证明：()(0,1),(2)k f x x kx k ∀∈>++对x ∈R 恒成立. 【答案】(1) 在点(0,(0))f 处的切线方程为22y x =+;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）函数求导得()02f '=，即得切线斜率，进而可得切线方程； （2）要证()()2f x x kx k >++只需()()()()22212221xx x e x k x -+++>+，即证()221122xx x e k x +-+>⋅+，设()()12x h x x e =-+可得()1h x ≥，又()2210,1,12x k k x +∀∈⋅<+，从而得证.试题解析：（1）因为()()()221242xxf x x x e x x e x =-++++'，所以()02f '=，因为()02f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为22y x =+.（2）证明：要证()()2f x x kx k >++只需()()()()22212221xx x e x k x -+++>+，即证()221122xx x e k x +-+>⋅+，设()()()12xxh x x e h x xe =-+⇒='，令()0h x '>得0x >，令()0h x '<得0x <，所以()()()min 011h x h h x ==⇒≥，因为22211122x x x +--=++，所以22112x x +<+，所以()2210,1,12x k k x +∀∈⋅<+.所以()2212x h x k x +>⋅+，即()221122xx x e k x +-+>⋅+，从而()()2f x x kx k >++.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1121m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（m为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）过点()10P -，作倾斜角为α的直线1l 交2C 于A B ，两点，过O 作与1l 平行的直线2l 交1C 于Q 点，若4PA PB OQ +=，求α．【答案】（1）1C 的普通方程为()101x y x +-=≠-；2C 的直角方程为()2211x y +-=；（2）4πα=【解析】（1）根据加减消元得曲线1C 的普通方程，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程；（2）先写出直线1l ，2l 参数方程，代入2C ，1C ，再根据参数几何意义化简条件解得结果. 【详解】（1）①：∵1121m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（m为参数），∴12121111m m m m x y m m m --++=+==+++， 又∵()121211111m m x m m m-++-===-+≠-+++，∴曲线1C 的普通方程为()101x y x +-=≠-；②∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=，又∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴222x y y +=，即()2211x y +-=，∴曲线2C 的直角方程为()2211x y +-=；（2）由题意，设11cos :sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）， 依题意，02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 1l 与2C 联立得()22sin cos 10t t αα-++=，2l 与1C 联立得()sin cos 1t αα+=，设点AB Q ，，对应的参数分别为A B Q t t t ，，，则 ()12sin cos A B A Bt t t t αα⋅=⎧⎨+=+⎩，1sin cos Q t αα=+， 由4PA PB OQ +=且0A B Q t t t >，，，得()12sin cos 4sin cos αααα+=⋅+． ∴()2sin cos 2αα+=，即1sin 22α+=，故sin21α=，又∵02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴4πα=． 【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等基础知识：考查运算求解能力：考查数形结合、函数与方程思想.23．已知()=|+2|f x ax .（1）当2a =时，求不等式()>3f x x 的解集；（2）若(1)f M ，(2)f M ，证明：23M. 【答案】(1) (,2)-∞ (2)见证明【解析】（1） 利用零点分段法讨论去掉绝对值求解；（2） 利用绝对值不等式的性质进行证明.【详解】（1）解：当2a =时，不等式()f x x <可化为223x x +>.当1x ≤-时，223x x -->，25x <-，所以1x ≤-； 当1x >-时，223x x +>，12x -<<.所以不等式()3f x x >的解集是(),2-∞.（2）证明：由()1f M ≤，()2f M ≤，得2M a ≥+，22M a ≥+， 322222M M M a a =+≥+++， 又2222422a a +++≥-=，所以32M ≥，即23M ≥. 【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解，含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.。