高中数学破题致胜微方法函数的周期性：周期数列 答案不全
高中数学解题方法系列：三角函数周期问题的3种方法
=（sin2 x+ cos2 x）（sin4 x-sin2 x·cos2 x+ cos4 x） =( sin2 x+ cos2 x)2-3 sin2 x·cos2 x =1-3 sin2 x·cos2 x =1- 3 sin22 x
cos x cos 3x
2．公式法： （1）如果所求周期函数可化为 y=Asin（x ）、y=Acos（x ）、
ｙ＝tg（x ）形成（其中 A、 、 为常数，且 A 0、 ＞0、 R）， 则可知道它们的周期分别是： 2 、 2 、 。
例 4：求函数 y=1-sinx+ 3 cosx 的周期
2
例 12：求函数 y=sin2x+sin3x 的周期
解：∵sin2x
的周期为
T1=
，sin3x
的周期为
T2=
2 3
而 T1
T2
=
3 2
，即是
T=2T1=3T2，
∴y=sin2x+sin3x 的周期为 T=2T1=2
例 13：求函数 y=cos x +sin x 的周期
3
4
解：∵cos x 的周期为 T1=6 ，sin x 的周期为 T2=8
的周期为 T=P2T1=P1T2，其中 P1、P2N，且（P1、P2）=1
事实上，由 T1
T2
P1 （既约分数），得 T=
P2
P2T1=P1T2
∵f（x+ P1T2）=f1（x+ P1T2）+f2（x+ P1T2） =f1（x+ P2T1）+ f2（x+ P1T2） = f1（x）+ f2（x） =f（x）
高中数学函数的周期性
高中数学函数的周期性一、函数周期性的认识周期性是函数的一个重要性质，指的是函数在一定的时间间隔内重复出现的规律性。
在函数图像上，这种周期性表现为函数图像的重复形状或模式。
函数周期性的理解对于解决与函数相关的数学问题有着重要的意义。
二、函数周期性的判断判断函数是否具有周期性，可以通过以下步骤进行：1、观察函数的图像，看是否存在重复的模式或形状；2、计算函数值之间的差值，看是否存在固定的差值；3、确定函数的定义域，看是否具有周期性；4、根据函数的性质，确定函数的周期。
三、函数周期性的应用函数周期性在数学中有着广泛的应用。
例如，在三角函数中，正弦函数和余弦函数都是具有周期性的函数，它们的周期与角度有关。
函数周期性在信号处理、图像处理等领域也有着广泛的应用。
四、函数周期性的意义函数周期性是数学中一个重要的概念，它反映了函数变化的规律性。
通过对函数周期性的理解和应用，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，为解决与函数相关的数学问题提供帮助。
函数周期性的概念也渗透到了自然科学和社会科学的各个领域，对于这些领域的研究和发展也有着重要的意义。
高中数学函数的周期性是一个非常重要的概念，对于我们理解函数的性质和解决与函数相关的数学问题都有着重要的作用。
在未来的学习和研究中，我们还需要进一步深入理解和应用函数周期性的概念。
原函数与导函数周期性和奇偶性联系的探究标题：原函数与导函数周期性和奇偶性的探究一、引言在数学分析中，函数的周期性和奇偶性是两个非常重要的性质。
对于一个函数来说，如果其值在每隔一定的区间内重复出现，那么这个函数就被称为具有周期性。
而如果一个函数在与其原点的对称点处的值相等，那么这个函数就被称为具有奇偶性。
这两个性质在很多领域都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
对于周期函数和奇偶函数，其原函数和导函数之间存在一些有趣的和相互影响。
本文将对此进行深入的探究和分析。
二、原函数与导函数的周期性首先，我们观察一个函数与其导函数之间的周期性关系。
函数的周期性(基础+复习+习题+练习).docx
基本知识方法1.周期函数的定义：对于 f (X)定义域内的每一个X ,都存在非零常数T ,使得f(x TH f (X)恒成立，则称函数f (X)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT( k∙ Z,k=O)也是f (X)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (X)的最小正周期2. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y = f X满足对定义域内任一实数X (其中a为常数)，①fx=fχ∙a ,贝U y=fx是以T = a为周期的周期函数；②f X ∙ a = -f X ,则f X是以T ≡2a为周期的周期函数；1③f X ∙ a,贝U f X是以T =2a为周期的周期函数；f(X)④f X a = f X -a ,则f X是以T =2a为周期的周期函数;⑤f (X a) J - f (X),贝U f X是以T =2a为周期的周期函数1+ f(x)⑥f(Xa^-Fff，则fx是以T s为周期的周期函数⑦f(X ∙ a) = 1 f (X),贝y f X是以T =4a为周期的周期函数.1-f(χ)1 .已知定义在R上的奇函数f (X)满足f(X • 2) = -f (X),贝U f⑹的值为A. -1B. 0C. 1D. 2 22(1)设f(x)的最小正周期T =2且f (X)为偶函数，它在区间1.0, 1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间∣1,2 ］上,f (X)=-----------函数的周期性2已知函数f(χ)是周期为2的函数，当-1：：：x：：：1时，f(x) = χ2∙1 , 当19 ：：：X ：：： 21时，f (X)的解析式是___________________3 f X是定义在R上的以2为周期的函数，对k∙ Z ,用I k表示区间2k-1,2k∙11, 已知当X I0时，f X = X2,求f X在I k上的解析式。
3. 1定义在R上的函数f X满足f X A f X 2 ,当X 3,5】时，fπλ(πλf (x )= 2 - X -4 ,贝U A. f sin —JC f cos—; B- f (Sin1 )> f (COSI)；I 6丿V 6 JC2兀、f2兀、C. f . cos一< f . Sin 一: D- f (COS2)A f (sιn2 )I 3 丿I 3 J2 设f (X)是定义在R上以6为周期的函数，f (X)在(0,3)内单调递减，且y = f (X)的图像关于直线X = 3对称，则下面正确的结论是A. f (1.5) ：：f(3.5) ：：f (6.5)B. f (3.5) ：：f(1.5) ：：f(6.5)C. f (6.5) ：： f(3.5) ：：： f (1.5)D. f(3.5) ：：： f (6.5) ：： f (1.5)4.已知函数f(x)是定义在(-∞,+ ∞)上的奇函数，若对于任意的实数X≥0,都有f(x+2)=f(x), 且当x∈［0,2)时，•'；•二’‘工,'— 1 ',贝U f(-2013)+f(2014) 的值为5. 已知是'上最小正周期为2的周期函数，且当' -时，' ,则函数的图象在区间［0,6］上与轴的交点的个数为________________则"沁=6. 已知f(X)为偶函数，且f(2+X)=f(2-X) ,当-2≤X≤ 0 时，一 -；若•「，… 一,7. 已知定义在R 上的奇函数f 迥，满足/(j →) = -ΛJ ),且在区间上是增函数，则()o A: B ： C ：' ■D ：；：廷:密:Y 曲氏A. B.2 + M C. 2 - 2√2D. 29定义在R 上的函数f X ，对任意χ. R ，有f χ . y . f x _y =2f χ f y ，且fOF ,1求证：fO=1 ；2判断f X 的奇偶性；3若存在非零常数c ,使 2,①证明对任意x∙ R 都有f χ ∙ c = -f χ成立;②函数f X 是不是周期函数，为什么？8.已知函数定义在R 上，对任意实数X 有f{τ) I 2v2,若函数 "=1'的图象关于直线对称,,则」(则"沁=8.已知f (X)是定义在R 上的奇函数，满足f (X • 2) = - f (X),且χ∙ [0, 2时， f(x)= 2x- X . 1求证：f (X)是周期函数；2当χ∙ [2, 4]时，求f(x)的表达式；3 计算 f (1) +f (2) +f ( 3) +……+f (2013)9. ( 05朝阳模拟)已知函数f (X)的图象关于点-3,0对称，且满足f(x)--f(χP), I 4丿2课后作业：1. ( 2013榆林质检)若已知f(x)是R 上的奇函数，且满足f(χ∙4)=f(x),当X 0时，f(x)=2χ2 ,贝U f(7)等于 A -2B. 2C.-98D. 982. 设函数f X ( X ∙ R )是以3为周期的奇函数，且 f 11, f 2 = a ,则A. a 2B. a —2C. a 1D. a -13.函数f(x)既是定义域为 R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f (X)在∣-1,0 1上是减函数，那么 f (X)在∣2,3 1上是A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数,记 f n (X )= f{ f [ f f (X )]},则 f 2007 (X) X 1 n 个 fI 3 I5.已知定义在R 上的函数f (X)满足f(X ^-f x - ,且 f -2=3，则 f (2014)=6.设偶函数 f (x)对任意X R , 1,且当X t 3,-2]时, f(x)f (X )=2x , A.--7则 f (113.5)= B. - C.-7D.- 57.设函数 f (X)是定义在R 上的奇函数，对于任意的1 - f(X ) χ∙ R ,都有 f(x T)= 1 f(X),当 O ：： X ≤ 1 时，f (X) =2x ,则 f(11∙5A.1 -1B. 1C.-2又f (-1) =1 , f(0) 一2 ,求f (1) f(2) f (3)…f (2006)的值高考真题：1. f (x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且 f(2)=0在区间0,6内解的个数的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 52.定义在R 上的函数f(x)满足f (x ∙6) = f(x),当-3 ≤ X ” T 时，2f(x) =p x 2 ,当-1 ≤ X ：：3时，f (X) =X ,则 f(1) f(2) f(3) —f (2012)=A. 335B. 338C. 1678D. 20123•已知函数f (x)为R 上的奇函数，且满足 f(χ∙2)=-f(x)， 当 0 ≤ X <1 时，f(x) X ,贝U f (7.5)等于 A 0.5B. -0.5C. 1.5D. -1.514.函数f X 对于任意实数X 满足条件f X • 2,若f 1 - -5 ,f(X )则 f f 5= ___________7.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且 目=f (X)的图象关于直线对称，则 f (1) f (2)f(3) f(4) f(5)=8.设函数 f (x)在上满足 f (2 -x) = f (2 ∙ x), f (7 -x) = f (7 ∙ x),且在闭区 间 0,7 1 上，只有 f(1)= f(3) =0 .(I )试判断函数 y = f (X)的奇偶性；(∏)试求方程f(X) =0在闭区间∣-2005,20051上的根的个数，并证明你的结论.5.已知 f (x)是周期为2的奇函数，当0：：：x”：1时，f(x) 3 5=f( ), c= f(),则2 2 设 a = f (6),b5 A. a ：：： ：：：C. C ：：： b ：：： a =Ig X.D. c ：： a b 6.定义在R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若f (X)的最小正周期是二，且当 χ∙ [0, 2] ^, f (X H SinX ,则 f5T 的值为A. -12B.丄2C. 一 3D. 23。
高一数学周期函数知识点汇总
高一数学周期函数知识点汇总周期函数是数学中的一种特殊函数类型，其具有重复出现的特点。
在高一数学学习中，周期函数是一个重要的知识点。
本文将对高一数学周期函数的相关知识进行汇总，以帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
一、周期函数的定义和性质周期函数指的是具有周期性质的函数。
周期函数的定义如下：若对于任意实数x，都有f(x+T)=f(x)，其中T>0为周期，那么函数f(x)就是周期函数。
周期函数具有以下几个性质：1. 周期函数在一个周期内的取值是相等的。
2. 周期函数的图像在每个周期内是对称的。
3. 周期函数的最小正周期是所有周期中最小的一个。
4. 若f(x)是周期函数，则对于任意的整数n，f(x+nT)=f(x)，其中T为最小正周期。
二、常见的周期函数类型在高中数学中，有几类常见的周期函数，分别是：1. 常函数：f(x)=c，其中c为常数。
常函数是一种特殊的周期函数，其任意实数都是它的周期。
2. 正弦函数：f(x)=sin(x)。
正弦函数的最小正周期是2π。
3. 余弦函数：f(x)=cos(x)。
余弦函数的最小正周期也是2π。
4. 正切函数：f(x)=tan(x)。
正切函数的最小正周期是π。
5. 指数函数：f(x)=a^x，其中a>0且a≠1。
指数函数以a为底的指数函数的最小正周期是lna。
6. 对数函数：f(x)=loga(x)，其中a>0且a≠1。
对数函数以a为底的对数函数的最小正周期是1。
三、周期函数的图像特点周期函数的图像具有一些特点，对于学生来说，通过观察并了解这些特点，可以更好地理解周期函数的性质。
1. 常函数的图像是一条水平直线，与x轴平行。
2. 正弦函数的图像是一条上下波动的曲线，称为正弦曲线。
在一个周期内，正弦曲线的最大值为1，最小值为-1。
3. 余弦函数的图像也是一条上下波动的曲线，称为余弦曲线。
与正弦曲线相比，余弦曲线的最大值和最小值的位置有所不同。
4. 正切函数的图像在每个周期内都会出现无穷多个间断点，这些点的位置由tan(x)=0确定。
高中数学-函数的周期性及题型
高中数学-函数的周期性及题型x ，使f(x T) f(x)恒成立则f (x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二•基本结论:1、设函数y=f(x)的定义域为D ，x € D,存在非0常数T ,有f(x+T)=f(x) f f(x)为周期函数，T 为f(x)的一个周期;若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。
1y=f(x)满足f(x+a)= f x (a>0),则f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。
1X (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
T= n /| w|周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法;周期不变(如：y=|cos2x| 的周期是n /2 ，y=|cotx| 的周期是n.【经典例题赏析】例1、设f(x)是(-X ，+ X )上周期为 2的奇函数，当 0 < x < 1时,［解析］:由题意可知，f(2+x) = f(x) f(7.5) = f(8-0.5)= f(-0.5) =- f(0.5) =-0 .5当x 10时，f (x) x 2.求f (x)在I k 上的解析式例2.设f (x)是定义在区间()上且以2为周期的函数，对 k Z ，用l k 表示区间(2k 1,2k 1),已知•定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任 若函数f x a f x a，则f x是以T 2a 为周期的周期函数若函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x a)』1 f(x)，则 f(x a)Lfx!1 f(x)，则f x是以T 2a 为周期的周期函数. f x是以T4a为周期的周期函数.正弦、余弦函数的最小正周期为2 n ， 函数y=Asin( w x+ $)和y=Acos( w x+ $)的最小正周期是 T = 2 n | w|正切、余切函数的最小正周期为n,函数y=Atan( w x+ $)和 y=Acot( cdx+ ◎的周期是10、 11、 一般地，sin w x 和cos w x 类函数加绝对值或平方后周期减半,tan w x 和cot w x 类函数加绝对值或平方后f(x)=x,求 f(7.5)解：设x (2k 1,2k 1), 2k 1 x 2k 1 1 x 2k 1x2I 0 时，有f (x) x ,由 1 x 2k 1得f(x2k)2(x 2k)2f (x) 是以2 为周期的函数， f (x 2k) f(x),f(x)2(x 2k).例3 ．设f (x) 是定义在( ,) 上以 2 为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间2,3上，f(x)2(x 3)2 4.求x1,2时，f (x)的解析式.解：当x 3, 2 ，即x2,3 ，f(x) f( x)2( x3)2 4 2(x 3)24又f (x) 是以 2 为周期的周期函数，于是当x 1,2 ，即3 x 4 2时，有f(x) f(x 4)22f(x) 2(x 4) 3 24 2(x 1)24(1 x 2).f (x) 2(x 1)2 4(1 x 2).例4.已知f (x)的周期为4，且等式f(2 x) f (2 x)对任意x R均成立，判断函数f (x)的奇偶性解：由f (x)的周期为4，得f (x) f (4 x)，由f (2 x) f (2 x)得f( x) f (4 x)，f( x) f (x),故f (x)为偶函数.[3,4]上是增函数针对性课堂练习1、在 R 上定义的函数 f(x) 是偶函数，且 f(x)f (2 x) . 若 f (x) 在区间 [1,2] 上是减函数，则上是减函数，在区间A. 在区间 [ 2, 1]上是增函数，在区间 [3,4] 上是减函数B. 在区间 [ 2, 1]上是增函数，在区间[3,4] 上是减函数f (x) ( )C. 在区间 [ 2, 1]D. 在区间[ 2, 1] 上是减函数，在区间[3,4] 上是增函数2、f x f 398 x f 2158 x f 3214 x ，则f 0f2 f 999f 999中最多有（）个不同的值.A.165B.177C.183D.1993、函数f （x）在R上有定义，且满足f（x）是偶函数，且f 0 2005gx是奇函数，则f 2005的值为（。
高中数学周期性常用结论
高中数学周期性常用结论
1. 三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数的周期均为2π；
2. 函数的周期性：函数f(x)的周期T是满足f(x+T)=f(x)的最小正数；
3. 周期性的性质：函数的最大周期是其定义域的周期；
4. 周期性的极限：当x趋近于某一极限时，函数的周期性也会趋近于某一极限；
5. 周期性的对称性：函数f(x)的周期T是满足f(x+T/2)=f(-x+T/2)的最小正数；
6. 周期性的积分：函数f(x)的周期T是满足∫f(x)dx=0的最小正数；
7. 周期性的微分：函数f(x)的周期T是满足f'(x+T)=f'(x)的最小正数；
8. 周期性的变换：函数f(x)的周期T是满足f(ax+b)=f(x)的最小正数。
高一数学必修一函数周期性和奇偶性经典题型
高一数学必修一函数周期性和奇偶性经典题型函数的奇偶性与周期性提高精讲定义：奇函数与偶函数是指函数f(x)在定义域内的任意一个x（定义域关于原点对称），都满足f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的函数。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
常用结论：对于两个奇函数或两个偶函数，它们的和是偶函数，差是奇函数。
而对于一个偶函数和一个奇函数，它们的和是奇函数，差是偶函数。
周期函数是指存在一个非零常数T，使得函数y=f(x)在定义域内的任何值x，都满足f(x+T)=f(x)的函数。
T被称为这个函数的周期。
常见结论：1）若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a。
2）若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为2a。
3）若f(x+a)=f(x)，且a>0，则函数的周期为2a。
4）若f(x+a)=-f(x)，且a>0，则函数的周期为2a。
对称函数是指函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)的函数，其中a和b为常数。
这种函数的图像关于直线x=(a+b)/2对称。
练题：1.若函数f(x)=(2x+1)/x是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(-∞,-1)。
2.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=e^x，则g(x)=(e^x-e^-x)/2.3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x^2-4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为(4,∞)。
4.设偶函数f(x)=x^3-8(x≥0)，则{x|f(x-2)>0}={x|x4}。
给定函数 $y=f(x)$，定义在区间 $[-1,1]$ 上，是一个减函数且是奇函数。
如果 $f(a^2-a-1)+f(4a-5)>0$，求实数 $a$ 的取值范围。
假设函数 $y=f(x)$ 定义在区间 $[-1,1]$ 上，且为减函数和奇函数。
现在，如果 $f(a^2-a-1)+f(4a-5)>0$，那么需要找出实数 $a$ 的取值范围。
高考数学复习点拨 理解三角函数的周期性 试题
智才艺州攀枝花市创界学校理解三角函数的周期性问题的提出：等式sin(2π)sin ()x k x k +=∈Z ，及cos(2π)cos ()x k x k +=∈Z 成立，sin y x x =∈R ，和cos y x x =∈R ，的图象每隔2π重复．函数周期性定义：对于函数()f x ，假设存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． 1． 理解定义时，要抓住定义域内任一个x 都满足()()f x T f x +=成立才行 如：πππsin sin 424⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5ππ5πsin sin 424⎛⎫+= ⎪⎝⎭，但πππsin sin 626⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭， π2∴不是sin y x =的周期． 周期并不惟一，假设T 是()y f x =的周期，那么2T 也是()y f x =的周期． 这是因为(2)[()]()()f T x f T T x f T x f x +=++=+=；假设T 是()y f x =的周期，k ∈Z 且0k ≠，那么kT 也是()f x 的周期． 2π是函数sin y x =和cos y x =的周期，那么2π(0)k k k ∈≠Z 且也是sin y x =和cos y x =的周期．2． 最小正周期的概念假设在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．例如：函数sin y x =的周期2π2π4π4π--，，，，…中，存在最小正数2π，那么2π就是sin y x =的最小正周期．函数cos y x =的最小正周期也是2π．例1 求以下函数的最小正周期T ．〔1〕()3sin f x x =；〔2〕()sin 2f x x =；〔3〕1π()2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 解：〔1〕()3sin 3sin(2π)(2π)f x x x f x ==+=+，最小正周期2πT =． 〔2〕()sin 2sin(22π)sin 2(π)(π)f x x x x f x ==+=+=+，最小正周期πT =；〔3〕1π1π()2sin 2sin 2π2424f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1π2sin (4π)(4π)24x f x ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦， 最小正周期4πT =．总结一般规律：sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期是2πω；tan()y A x ωϕ=+的最小正周期是πω．例2求证：1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2π． 证明：1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2π4π12=， 根据函数的图象特征，可知函数的周期减半，故其周期为2π． 注：遇到求形式较复杂的函数的周期时要结合函数图象处理．。
高中数学函数基础解题的关键
高中数学函数基础解题的关键：12个抽象函数的周期性重要总结
高中数学函数中抽象函数的周期没有具体公式，它需要掌握一定的规律，记住一些抽象函数的格式。
往往这部分是函数基础解题的一些关键点！
所以下面小编把12个抽象函数的周期性重要总结给大家罗列出来！大家一定稍有用心的去记一下！
另外，清北学霸高考必备资料库中关于数学函数基础完全突破有专门的一个系列，将高考中，函数常考的五种类型进行解题技巧提高的攻关，而针对函数的周期性也有12个细分精讲。
函数是高中数学的基础根本，所以大家一定要掌握好这部分！
小编想说成绩取决于每个人的学习能力，而学习能力取决于，能否构建健全的知识体系，衡中的学霸，都有属于自己的学习体系！所以，无论是贪玩的学生，还是苦学的学生，成绩上不来，本质就是知识体系不健全或有漏洞。
希望同学们能够从自己薄弱的科目入手！
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试想一下：如果学生高一就掌握某种正确满分模板，每一次考试都对模板进行熟悉，经过三年的熟悉，最后会达到一个什么样的状况？
好了。
下面是本文的主题：12个抽象函数的周期性重要总结！！。
高中数学破题致胜微方法(函数的周期性)：周期数列
1在研究函数时，我们学习过周期函数，类比数列，有一些数列也有周期性。
今天我们就来研究周期数列及其相关性质。
先看例题例：已知数列{a n }满足：11+=2,1n n a a a +=-且，则2016a =根据已知，可以求得：23a =，31a =-，43a =51a =-，63a =由此可知，数列{a n }是摆动数列，-1,3,-1,3,-1,3……所以该数列为：奇数项为-1偶数项为3，则20163a =周期数列对于数列{a n }，如果存在一个常数T ，使得对任意的正整数i 恒有i i T a a +=成立，则称数列{a n }是周期为T 的周期数列先写出数列{a n }的前几项，观察发现规律，找到周期T.再看一个题目，加深印象。
2练：数列{a n }满足：*1112,()1n n na a a n N a ++==∈-则2017a = 根据已知，可以先写出几项的值，找到规律： 如23,a =-31,2a =-413a =52,a = 于是发现，21n n a a +=-类比周期函数的性质，可知：422211()1n n n na a a a a +++==-=-=- 所以可知，数列是以4为周期的周期数列，4n n a a += 注意：我们也可以通过计算3111111n n n n n a a a a a +--==++，再计算a 4的值， 但这种计算比较复杂，不建议使用。
又因为20172016145041=+=⨯+所以201712a a ==总结：1.明确周期数列的概念，以及通项形式2.当没有思路时，通过观察几项的值，找到数列规律3练习：1.数列{a n }的通项公式cos 12n n a π=+,前n 项和为S n ,则S2012=________.2.数列{a n }满足：*11513(),2,37n n n a a n N a a +-=∈=-则2017a =。
函数的周期性练习题兼答案(供参考)
函数周期性分类解析一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。
10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；12、 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
高中求函数周期练习题
高中求函数周期练习题高中求函数周期练习题在高中数学学习中，函数是一个重要的概念。
而函数的周期性质是我们在解题过程中经常会遇到的一个问题。
周期函数是指在一定的区间内，函数的值呈现出重复的规律。
在解题过程中，我们需要找到函数的周期，并且根据周期性质进行相应的计算和分析。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一个函数f(x)，它的周期为T。
那么对于任意一个实数x，如果x+T也是该函数的定义域内的实数，那么f(x+T)=f(x)。
这就是函数周期性的基本定义。
在实际的应用中，我们经常需要求解函数的周期。
下面，我们来通过一些练习题来加深对函数周期性质的理解。
练习一：求解函数的周期已知函数f(x)=sin(2x)，我们需要求解它的周期。
解答：首先，我们知道正弦函数的周期是2π。
但是，这里的函数f(x)=sin(2x)中，x的变化速度是原来的两倍，所以周期会相应地缩短一半。
因此，函数f(x)=sin(2x)的周期为π。
练习二：周期函数的性质已知函数f(x)=cos(3x)。
我们需要判断它是否为周期函数，并求出它的周期。
解答：对于函数f(x)=cos(3x)，我们可以通过比较它与标准正弦函数的周期性质来判断。
标准正弦函数的周期是2π，而函数f(x)=cos(3x)中，x的变化速度是原来的三倍，所以周期会相应地缩短为原来的1/3。
因此，函数f(x)=cos(3x)是一个周期为2π/3的函数。
练习三：周期函数的计算已知函数f(x)=sin(x)+cos(2x)。
我们需要求解它的周期。
解答：对于函数f(x)=sin(x)+cos(2x)，我们可以通过求解sin(x)和cos(2x)的周期，然后取两者的最小公倍数来确定函数f(x)的周期。
首先，sin(x)的周期是2π。
而cos(2x)的周期是π，因为x的变化速度是原来的两倍。
所以，sin(x)和cos(2x)的最小公倍数是2π。
因此，函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的周期是2π。
高中数学：快速搞定三角函数周期问题的解题技巧，快得不要不要的
高中数学：快速搞定三角函数周期问题的解题技巧，快得不要
不要的
Hi，我是洪老师。
我们的高中数学复习完整微课课程中的解题技巧大全体系的第二讲微课出来了！
教您快速搞定三角函数周期问题的解题技巧，快准狠哦！快得不要不要的
三角函数周期问题经常有很多学生会出现解题错误?
1)因忽略定义域而导致错误;
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大家先来看下这个例题：
就简单的一个公式！特别快的求出了答案C! 全程大家记住一个公式！
其中系数就是前面的数字，例如
次数就是三角函数的次数和项！
遇到一些例外的话，先要进行转化一下！
比如这种题目非常对称的题！
转化出来后，也是非常容易计算出周期的！
当然，这个技巧是快速做选择题的和验证答案的！
做大题的时候，需要大家按正规的模板进行解答！那么怎么正规的解题，大家应该对周期很熟悉了吧！。
专题05 函数的周期性和对称性-备战2021高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(解析版)
【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。
在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。
因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。
【方法点评】一、函数的周期性求法使用情景：几类特殊函数类型第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．51- 【答案】D 【解析】(2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2，则()=2016f （ ）A 、-12B 、-16C 、-20D 、0 【答案】A 【解析】考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性．【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】【变式演练2】定义在R 上的函数()f x 满足()()[)20,0,2f x f x x ++=∈时，()31xf x =-，则()2015f 的值为（ ）A.-2B.0C.2D.8 【答案】A 【解析】试题分析： 由已知可得⇒=+-=+)()2()4(x f x f x f ()f x 的周期⇒=4T ()2015f ==)3(f2)1(-=-f ，故选A.考点：函数的周期性.【变式演练3】定义在R 上的偶函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，且在[2,0]x ∈-上为增函数，3()2a f =，7()2b f =，12(log 8)c f =，则下列不等式成立的是（ ）【答案】B 【解析】试题分析：因为定义在R 上的偶函数()y f x =在[2,0]x ∈-上为增函数，所以在[0,2]x ∈上单调递减，又(4)()f x f x +=，所以()()1271(),(log 8)3122b f f c f f f ⎛⎫====-= ⎪⎝⎭，又13122<<，所以b c a >>．考点：1．偶函数的性质；2．函数的周期性．二、函数的对称性问题使用情景：几类特殊函数类型解题模板：记住常见的几种对称结论：第一类 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时，函数()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称；第二类 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时，函数()y f x =的图像关于点(,)22a b c+对称；第三类 函数()y f x a =+的图像与函数()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=对称. 例2 ．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ) A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】例 3 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称, 且满足()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,又()()11,02f f -==-,则()()()()123...2008f f f f ++++=（ ）A ．669B ．670C ．2008D ．1 【答案】D 【解析】试题分析：由()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得()()3f x f x =+，又()()11,02f f -==-， (1)(13)(2)f f f ∴-=-+=，(0)(3)f f =，()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()1131()()(1),(1)(2)(3)0222f f f f f f f -=--=-+=∴++=，由()()3f x f x =+可得()()()()()()()123...2008669(123)(1)(1)(1)1f f f f f f f f f f ++++=⨯+++==-=，故选D.考点：函数的周期性；函数的对称性． 例4 已知函数21()(,g x a xx e e e=-≤≤为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21[1,2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e +-D ．2[2,)e -+∞ 【答案】B考点：利用导数研究函数的极值；方程的有解问题.【变式演练4】定义在R 上的奇函数)(x f ，对于R x ∈∀，都有)43()43(x f x f -=+，且满足2)4(->f ，mm f 3)2(-=，则实数m 的取值范围是 . 【答案】1-<m 或30<<m 【解析】试题分析：由33()()44f x f x +=-，因此函数()f x 图象关于直线34x =对称，又()f x 是奇函数，因此它也是周期函数，且3434T =⨯=，∵(4)2f >-，∴(4)(4)2f f -=-<，∴(2)(232)(4)f f f =-⨯=-，即32m m-<，解得103x x <-<<或. 考点：函数的奇偶性、周期性.【高考再现】1. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C 【解析】试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C.考点： 函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.2. 【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.3. 【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+= . 【答案】-2 【解析】考点：函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5()2f -和(1)f ，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可．4. 【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'C 关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 【答案】②③ 【解析】考点：对新定义的理解、函数的对称性.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．5. 【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 ▲ . 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255ff f f a a -=-==⇒-+=-⇒=， 因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 【反馈练习】1. 【2016届云南昆明一中高三仿真模拟七数学，理4】设函数()y f x =定义在实数集R 上，则函数()y f a x =-与()y f x a =-的图象（ ）A ．关于直线0y =对称B ．关于直线0x =对称C ．关于直线y a =对称D ．关于直线x a =对称 【答案】D 【解析】2．【 2017届河南夏邑县第一高级中学高三文一轮复习周测二数学试卷】已知函数()f x 是定义在R 内的奇函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()2015f =（ ）A ．-2B ．2C ．-98D ．98 【答案】A 【解析】试题分析：由()()4f x f x +=得()f x 的周期⇒=4T ()2015(3)(1)(1)2f f f f ==-=-=-，故选A. 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性.3. 【2017届河南新乡一中高三9月月考数学，文8】定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（ ）A ．(49)(64)(81)f f f <<B ．(49)(81)(64)f f f <<C ．(64)(49)(81)f f f <<D ．(64)(81)(49)f f f << 【答案】A 【解析】试题分析：因为(3)()f x f x -=-，所以()(6)(3)f x f x f x -=--=，及()f x 是周期为6的函数，结合()f x 是偶函数可得，()()()()()(49)1,(64)22,(81)33f f f f f f f f ==-==-=，再由12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，1212()()0f x f x x x ->-得()f x 在[0,3]上递增，因此(1)(2)(3)f f f <<，即(49)(64)(81)f f f <<，故选A ．考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．4. 【2017届安徽合肥一中高三上学期月考一数学试卷，文12】已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，且当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+，当[0,2)x ∈时，()1x f x e =-，则(2016)(2015)f f +-=（ ）A ．1e -B ．1e -C ．1e --D ．1e + 【答案】A 【解析】考点：函数的单调性、周期性与奇偶性，分段函数．5. 【2016-2017学年贵州遵义四中高一上月考一数学试卷，理11】已知函数2()(12)f x a x x =-≤≤与()2g x x =+的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9[,)4-+∞B ．9[,0]4-C ．[2,0]-D ．[2,4]【答案】C 【解析】考点：构造函数法求方程的解及参数范围.6. 【2017届河北武邑中学高三上周考8.14数学试卷，理9】若对正常数m 和任意实数x ，等式1()()1()f x f x m f x ++=-成立，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是周期函数，最小正周期为2mB ．函数()f x 是奇函数，但不是周期函数C ．函数()f x 是周期函数，最小正周期为4mD ．函数()f x 是偶函数，但不是周期函数 【答案】C 【解析】考点：函数的周期性．7. 【2017届四川成都七中高三10月段测数学试卷，文10】 函数()f x 的定义域为R ，以下命题正确的是（ ）①同一坐标系中，函数(1)y f x =-与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称；②函数()f x 的图象既关于点3(,0)4-成中心对称，对于任意x ，又有3()()2f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线32x =对称； ③函数()f x 对于任意x ，满足关系式(2)(4)f x f x +=--+，则函数(3)y f x =+是奇函数. A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 【答案】D 【解析】试题分析：①正确，因为函数()x f y =与()x f y -=关于y 轴对称，而()1-=x f y 和()x f y -=1都是()x f y =与()x f y -=向右平移1个单位得到的，所以关于直线1=x 对称；②正确，因为函数关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛043-，成中心对称，所以()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛--23，而3()()2f x f x +=-，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x f x f 2323，即()()x f x f =-，又根据3()()2f x f x +=-，可得函数的周期3=T ,又有()()x f x f =-，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+232323x f x f x f ，所以函数关于直线23-=x 对称；③正确，因为()()3242=+-++x x ，所以函数()x f 关于点()0,3对称，而函数()3+=x f y 是函数()x f y =向左平移3个单位得到，所以函数()3+=x f y 是奇函数.故3个命题都正确，故选D. 考点：抽象函数的性质8. 【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学，文12】函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<++=)0(e2 )0(142)(x 2x x x x x f 的图像上关于原点对称的点有（ ）对A. 0B. 2C. 3D. 无数个【解析】考点：函数的图象与性质及应用．9. 【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学，文7】定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是（ ）A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③【答案】D【解析】考点：函数周期性、对称性和奇偶性．。
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在研究函数时，我们学习过周期函数，类比数列，有一些数列也有周期性。
今天我们就来研究周期数列及其相关性质。
先看例题
例：已知数列{a n }满足：11+=2,1n n a a a +=-且，则2016a =
根据已知，可以求得：23a =，31a =-，43a =
51a =-，63a =
由此可知，数列{a n }是摆动数列，-1,3,-1,3,-1,3……
所以该数列为：
奇数项为-1
偶数项为3，则20163a =
周期数列
对于数列{a n }，如果存在一个常数T ，使得对任意的正整数i 恒有i i T a a +=成立，
则称数列{a n }是周期为T 的周期数列
先写出数列{a n }的前几项，观察发现规律，找到周期T.
再看一个题目，加深印象。
练：数列{a n }满足：*1112,()1n n n
a a a n N a ++==∈-则2017a = 根据已知，可以先写出几项的值，找到规律：
如23,a =-31,2a =-413
a =52,a =
于是发现，21n n a a +=-
类比周期函数的性质，可知：
42221
1()1n n n n
a a a a a +++==-=-=- 所以可知，数列是以4为周期的周期数列，4n n a a += 注意：我们也可以通过计算3111111n n n n n a a a a a +-
-==++，再计算a 4的值， 但这种计算比较复杂，不建议使用。
又因为20172016145041=+=⨯+
所以201712a a ==
总结：
1.明确周期数列的概念，以及通项形式
2.当没有思路时，通过观察几项的值，找到数列规律
练习：
1.数列{a n }的通项公式cos 12
n n a π=+,前n 项和为S n ,则S2012=________.
http://shitibao./weikan/t3100003610?weikanid=gs1055
2.数列{a n }满足：*115
13(),2,37
n n n a a n N a a +-=∈=-则2017a =
答案：1. 3018
2. 无。