空间曲线与曲面的绘制

空间曲线与曲面的绘制本实验的目的是:利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。

1.空间曲线的绘制绘制空间曲线时一般使用曲线的参数方程，利用命令“ParametricPlot3D ”。

如画出参数方程21 ,)()()(t t t t z z t y y t x x ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===所确定的空间曲线的命令格式为: ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmin,tmax},选项]例1 画出旋转抛物面22y x z +=与上半球面2211y x z --+=交线的图形。

解：它们的交线为平面1=z 上的圆122=+y x ，化为参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧∈===]2 ,0[ ,1sin cos πt z t y t x ，下面的mathematica 命令就是作出它们的交线并把它存在变量p 中：p ParametricPlot3D Cos t ,Sin t ,1,t,0,2Pi运行即得曲线如图1所示。

在这里说明一点，要作空间曲线的图形，必须先求出该曲线的参数方程。

如果曲线为一般式 ⎝⎛==0),,(0),,(z y x G z y x F ，其在xOy 面上的投影柱面的准线方程为0),(=y x H ，可先将0),(=y x H 化为参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==)()(t y y t x x ，再代入0),,(=z y x G 或0),,(=z y x F 解出 )(t z z =即可。

1、 空间曲面的绘制作一般式方程),(y x f z =所确定的曲面图形的Mathematica 命令为： Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},选项]作参数方程],[],,[,),(),(),(max min max min v v v u u v u z z v u y y v u x x ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧===所确定的曲面图形的Mathematica 命令为：ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax},{v,vmin,vmax},选项]1图例2 作出上半球面2211y x z --+=的图形。

解：首先我们选取绘图区间}11,11{<<-<<-y x 作图，输入下面语句：Plot3D 11x^2y ^2,x,1,1,y,1,1运行后得到了该曲面的图形（图2），但是在图形的前面出现了一些蓝色字体报错信息，而且图形不完整，这是因为函数z 在范围}11,11{<<-<<-y x 内的一些点处无定义。

为避免上述问题，可用下面两种方法：（1） 定义一个分区域函数)(x f ，将无定义的点赋予函数值1：⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+--+=1,11,11),(222222y x y x y x y x f ， 作出该函数的图形只要键入命令：f x_,y_:If x^2y^21,11x ^2y^2,1Plot3D f x,y ,x,1,1,y,1,1运行后得图3，可以看到该图形比上半球面多了一部分曲面的图形（即1=z 平面上的部分）。

但是图形比较粗糙，我们可以提高采样点数，例如取采样点数为30，即运行命令 Plot3D f x,y ,x,1,1,y,1,1,PlotPoints 30可得图形4，由此可见图形已经比较精细了。

图2 图3 图4 （2） 采用参数方程，选取参数的范围使得区域内的每一点都有定义。

对于题目中的球面有参数方程]2,0[],2 ,0[ ,cos 1sin sin sin cos ππ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧+===v u vz v u y v u x ，我们输入命令：ParametricPlot3DCos u Sin v ,Sin u Sin v ,1Cos v,u,0,2Pi ,v,0,Pi2,PlotPoints 30运行后得图形5。

我们还可以改变参数的范围画出上半球面的43部分（如图6）：ParametricPlot3D Cos u Sin v ,Sin u Sin v ,1Cos v ,u,0,3Pi 2,v,0,Pi 2,PlotPoints30图5 图6 2、 空间图形的叠加与平面图形类似，空间的立体图形同样可用“Show ”命令，把不同的图形（曲线或曲面）叠加并在一个坐标系中显示出来。

例3 画出由旋转抛物面22y x z +=与上半球面2211y x z --+=相交所围成的立体几何图形。

解：这是一个组合图形。

一般地，直接画出两者的图形再组合在一起。

但是，这里所要的图形仅仅是两个曲面图形的一部分，因此需要有选择地画出两曲面的相应部分再组合。

由于它们的交线为⎪⎩⎪⎨⎧==+1122z y x ，故相应的曲面部分的参数方程为： ]1,0[],2 ,0[ ,sin cos 2∈∈⎪⎩⎪⎨⎧===r t r z t r y t r x π 与 ]2,0[],2 ,0[ ,cos 1sin sin sin cos ππ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧+===v u vz v u y v u x 。

输入以下Mathematica 语句：t1ParametricPlot3D r Cos t ,r Sin t ,r ^2,t,0,2Pi ,r,0,1,PlotPoints30;t2ParametricPlot3DCos uSin v ,Sin uSin v ,1Cos v,u,0,2Pi ,v,0,Pi 2,PlotPoints30;Show t1,t2运行后即得旋转抛物面、上半球面及叠加曲面的图形（图7）。

-1-0.50.5100.250.50.751-1-0.50.51-1-0.50.5111.251.51.752-1-0.50.5100.511.52-1-0.50.51-1-0.50.51图7例4 绘制由曲面1222==+=x y x y x z 、、与0=z 所围成的立体区域。

解：输入命令：s1ParametricPlot3Du,v,u^2v ^2,u,1,1,v,1,2,PlotRange 0,2,AxesLabel "X","Y","Z",DisplayFunctionIdentity ;s2ParametricPlot3D u^2,u,v ,u,1,1,v,0,2,AxesLabel "X","Y","Z",DisplayFunctionIdentity ;s3ParametricPlot3D 1,u,v ,u,1,1,v,0,2,AxesLabel "X","Y","Z",DisplayFunctionIdentity ;s4ParametricPlot3D u,v,0,u,1,1,v,1,1,AxesLabel "X","Y","Z",DisplayFunctionIdentity ;Show s1,s2,s3,s4,DisplayFunction$DisplayFunction在上述语句中，选项“DisplayFunctionIdentity ”表示不显示图形，而“DisplayFunction $DisplayFunction ”则表示显示图形。

运行结果如图8。

4．用动画来演示产生旋转曲面的过程。

例5 用动画演示由曲线],0[,sin π∈=z z y 绕z 轴旋转产生旋转曲面的过程。

解：该曲线绕绕z 轴旋转产生的曲面方程为z y x 222sin =+，其参数方程为]2,0[],,0[ ,sin sin cos sin ππ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧===u z z z u z y u z x ，输入以下命令，就可得到连续变化的20幅图形： m20;For i1,im,i ,ParametricPlot3DSin zCos u ,Sin z Sin u ,z ,z,0,Pi ,u,0,2Pi i m ,AspectRatio 1,AxesLabel"X","Y","Z",PlotPoints30运行后得到20幅曲面的图形，图8中列举了其中的三幅。

大家还可以进行动画演示，观察到旋转-1-100.511.52Z -0.50.51X 012Y 8图曲面产生的过程。

图8实验习题1、 作出各种标准二次曲面的图形。

2、 利用参数方程作图，作出由下列曲面所围成的立体： （1） x y x y x z =+--=22221、及xOy 面（2） 01=-+=y x xy z 、及0=z3、观察二次曲面族kxy y x z ++=22的图形。

特别注意确定k 的这样一些值，当k 经过这些值时，曲面从一种类型变成了另一种类型。

（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

请预览后才下载，期待您的好评与关注！）。