2011届高考文科数学新课标江苏版专题2三角变换与解三角形)

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【下雨啦】2011年高考数学总复习精品课件三角函数与三角恒等变换.

β ( β ) ,2 ( β ) ( β )、是的2倍角等 . 2 2 4
例题剖析 [例1]
不查表求值 cos40(1 3 tan10) 原式=cos40°(1+
[解析]
3 sin 10 ) cos10 cos 40( 3 sin 10 cos10) cos10 3 1 2 cos 40( sin 10 cos10) 2 2 cos10 2 cos 40 sin(10 30) cos10 2 cos 40 sin 40 sin 80 cos10 1 cos10 cos10 cos10
cos 2 cos2 sin 2 2 cos2 1 1 2 sin 2 2 tan tan 2 1 tan2
3.
1 cos 2 sin 2
2
知识要点
1 cos 2 cos 2
2
4. a sin x b cos x a 2 b 2 (
知识要点
4. 同角三角函数关系是由三角函数的定义推导得到的，所以各“恒等” 的含义是使各三角函数及各式有意义. 5. ①平方关系:sin2α+cos2α=1 sin ②商数关系:tanα= cos 6. ①2kπ+α(k∈Z),-α,π ±α，2π -α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α“看成”锐角时原函数值的符号，即“函数名不变，符号看象限”.
sin 3 cos3 的值.
1 [解析] (sin cos ) , 25 24
2
25 又 (0, )时, sin 0, cos 0, ( , ) 2 sin cos (sin cos) 2 24 7 1 2 sin cos 1 . 25 5

高考数学二轮复习专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质理-

专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。

【步步高】江苏专用高考数学二轮复习专题二第2讲三角变换与解三角形课件理苏教

∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π， ∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－34π.
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/152022/1/152022/1/151/15/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/152022/1/15January 15, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/152022/1/152022/1/152022/1/15
已知
α∈(π2，π)，且
sinα2＋cosα2＝
6 2.
(1)求 cos α 的值；
(2)若 sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求 cos β 的值．
解 (1)∵sinα2＋cosα2＝ 26，
两边平方得 1＋2sinα2·cosα2＝23，
∴sin α＝12.
∵α∈(π2，π)，∴α＝56π.∴cos
探究提高 (1)注意角的变换，(α－β2)－(α2－β)＝α＋2 β； (2)先由 tan α＝tan[(α－β)＋β]，求出 tan α 的值，再求 tan 2α 的值，这样能缩小角 2α 的取值范围； (3)善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值可使问题简化．

2011年高考数学二轮复习 22三角变换与解三角形精品学案

专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第二讲三角变换与解三角形【最新考纲透析】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。

2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。

3．能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

4．能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。

5．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

6．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。

【核心要点突破】要点考向1：三角变换及求值考情聚焦：1．利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。

2．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。

[来源:] 3．该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。

考向链接： 1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形（1）21sin (sincos )22ααα±=±；（2）角的变换()βααβ=--；[来源:学科网ZXXK]（3）sin cos )a b θθθϕ+=+。

2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。

例1：已知向量)2,1(),cos ,(sin -==n A A m ,且0=⋅n m(Ⅰ)求tanA 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域解析：（Ⅰ）由题意得m ·n=sinA-2cosA=0, 因为cosA ≠0,所以tanA=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x x x =+=-+=--+因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-.当1sin 2x =时，f(x)有最大值32，当sinx=-1时，f(x)有最小值-3所以所求函数f(x)的值域是33,.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 要点考向2：正、余弦定理的应用考情聚焦：1．利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近3年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。

2011年高考真题二：三角函数、解三角形、平面向量

专题二三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1．(2011年高考湖北卷)已知函数f ()x ＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f ()x ≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z 2．(2011年高考重庆卷)已知向量a ＝()1，k ，b ＝()2，2，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．(2011年高考四川卷)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量α＝()a ，b .从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则mn＝( )A.215B.15C.415D.134．(2011年高考山东卷)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32 C ．2 D ．35．(2011年高考浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．16．(2011年高考辽宁卷)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．127．(2011年高考陕西卷)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x i ＜1，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1) D ．[0,1]8．(2011年高考大纲全国卷)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )A. 2B. 3C. 5D.79．(2011年高考大纲全国卷)设函数f ()x ＝cos ωx ()ω>0，将y ＝f ()x 的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 10．(2011年高考湖北卷)若向量a ＝()1，2，b ＝()1，－1，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6C.π4D.3π4 11．(2011年高考重庆卷)若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( )A.154B.34C.31516D.111612．(2011年高考课标全国卷)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称二、填空题13．(2011年高考大纲全国卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝__________. 14．(2011年高考课标全国卷)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.15．(2011年高考江苏卷)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x的值为________． 16．(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．17．(2011年高考安徽卷)设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交．以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．18．(2011年高考江西卷)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.19．(2011年高考上海卷)在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.20．(2011年高考重庆卷)若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝__________. 21．(2011年高考福建卷)若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a ·b 等于________． 22．(2011年高考安徽卷)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．23．(2011年高考北京卷)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.三、解答题24．(2011年高考四川卷)已知函数f ()x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . ()1求f ()x 的最小正周期和最小值；()2已知cos ()β－α＝45，cos ()β＋α＝－45，0<a <β≤π2，求证：[]f ()β2－2＝0.25．(2011年高考山东卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos Ccos B＝2c －a b .(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．26．(2011年高考湖南卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为，a ，b ，c 满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．27．(2011年高考湖北卷)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b＝2，cos C ＝14.()1求△ABC 的周长； ()2求cos ()A －C 的值．28．(2011年高考重庆卷)设函数f ()x ＝sin x cos x －3cos ()π＋x cos x ()x ∈R . ()1求f ()x 的最小正周期；()2若函数y ＝f ()x 的图象按b ＝⎝⎛⎭⎫π4，32平移后得到函数y ＝g ()x 的图象，求y ＝g ()x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．29．(2011年高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值．专题二三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1．【解析】选B.∵f ()x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴f ()x ≥1，即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥12， ∴π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z . 解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .2．【解析】选D.a ＋b ＝()1，k ＋()2，2＝()3，k ＋2. ∵a ＋b 与a 共线，∴k ＋2－3k ＝0，解得k ＝1.∴a ·b ＝()1，1·()2，2＝4. 3．【解析】选B.向量α的坐标有()2，1，()2，3，()2，5，()4，1，()4，3，()4，5，共6种情况，以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形共有C 26＝15个．以a ，b 为邻边所作平行四边形的面积为 S ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝|a ||b |1－cos 2〈a ，b 〉＝|a ||b | 1－()a ·b 2|a |2|b |2＝|a |2|b |2－()a ·b 2. 分别以a ＝()2，1，b ＝()4，1；a ＝()2，1，b ＝()4，3；a ＝()4，5，b ＝()2，3为邻边的平行四边形面积为2，故m ＝3，所以m n ＝315＝15.4．【解析】选B.∵y ＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由y ＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 5．【解析】选D.∵a cos A ＝b sin B ， ∴sin A cos A ＝sin B sin B ，即sin A cos A －sin 2B ＝0，∴sin A cos A －(1－cos 2B )＝0， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1. 6．【解析】选D.由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.7．【解析】选C.M ＝{y |y ＝|cos 2x |，x ∈R }＝{y |0≤y ≤1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x i ＜1＝{x ||－x i|＜1}＝{x |－1＜x ＜1}，则M ∩N ＝[0,1)．8．【解析】选B.∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，∴|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝1＋4＋4×⎝⎛⎭⎫－12＝5－2＝3. ∴|a ＋2b |＝ 3.9．【解析】选C.由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6. 10．【解析】选C.2a ＋b ＝2()1，2＋()1，－1＝()3，3， a －b ＝()1，2－()1，－1＝()0，3， ()2a ＋b ·()a －b ＝9.|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3. 设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∴α＝π4.11．【解析】选D.由6sin A ＝4sin B ＝3 sin C 得sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4.设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由正弦定理知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，不妨设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ()k >0，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝()22＋42－32k 22×2k ×4k＝1116.12．【解析】选D.∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2cos 2x ，当0<x <π2时，0<2x <π，故f (x )＝2cos 2x 在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减．又当x ＝π2时，2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2＝－2，因此x ＝π2是y ＝f (x )的一条对称轴．二、填空题13．【解析】∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴()2cos α2＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 【答案】－5514．【解析】∵a 与b 是不共线的单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又k a －b 与a ＋b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0. ∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0.(θ为a 与b 的夹角) ∴(k －1)(1＋cos θ)＝0.又a 与b 不共线， ∴cos θ≠－1，∴k ＝1. 【答案】115．【解析】由tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2得tan x ＝13，tan x tan 2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝12(1－tan 2x )＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫132＝49. 【答案】4916．【解】法一：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.法二：设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →， P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 【答案】517．【解析】由f (x )≤⎪⎪⎪⎪f (π6)对一切x ∈R 恒成立知，直线x ＝π6是f (x )的对称轴．又f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba 的周期为π， ∴f ⎝⎛⎭⎫11π12＝f ⎝⎛⎭⎫π6＋3π4可看作x ＝π6的值加了34个周期， ∴f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0.故①正确． ∵7π10－2π3＝π30，π5－π6＝π30， ∴7π10和π5与对称轴的距离相等． ∴⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②不正确． ∵x ＝π6是对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±1， ∴π3＋φ＝±π2＋2kx ，k ∈Z . ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π，k ∈Z ，tan φ＝b a ＝13，∴a ＝3b .∴f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6或f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．由以上知f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z . 由于f (x )的解析式不确定，∴单调递增区间不确定，故④不正确． ∵f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a ，∴－a 2＋b 2≤f (x )≤a 2＋b 2.又∵ab ≠0，∴a ≠0，b ≠0. ∴－a 2＋b 2<b <a 2＋b 2，∴过点(a ，b )的直线必与函数f (x )的图象相交．故⑤不正确．【答案】①③ 18．【解析】b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.又因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.【答案】－6 19．【解析】法一：如图，在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，∴AD ＝7，cos ∠BAD ＝32＋(7)2－122×3×7＝5714，∴AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|·cos ∠BAD ＝3×7×5714＝152.法二：∵AD →＝AB →＋BD →，∴AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋AB →·BD →＝|AB →|2＋|AB →||BD →|·cos 120°＝9＋3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝152. 【答案】15220．【解析】∵cos α＝－35且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin α＝－45，∴tan α＝43.【答案】4321．【解析】a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，a ·b ＝1×(－1)＋1×2＝－1＋2＝1. 【答案】1 22．【解析】由(a ＋2b )·(a －b )＝－6得a 2－2b 2＋a ·b ＝－6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴12－2×22＋1×2×cos 〈a ，b 〉＝－6，∴cos 〈a ，b 〉＝12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.【答案】π323．【解析】根据正弦定理应有a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin Asin B ＝5×1322＝523.【答案】523三、解答题24．【解】(1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.()2证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[]f ()β2－2＝4sin 2π4－2＝0.25．【解】(1)由正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B＝2sin C －sin A sin B，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ．因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A＝2，得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2. 26．【解】(1)由正弦定理，得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0.从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，故C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12，所以当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2.综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12. 27．【解】()1∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.()2∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝ 1－⎝⎛⎭⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A＝ 1－⎝⎛⎭⎫1582＝78，∴cos ()A －C ＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.28．【解】()1f ()x ＝12sin 2x ＋3cos 2x＝12sin 2x ＋32()1＋cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 故f ()x 的最小正周期为T ＝2π2＝π.()2依题意g ()x ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋ 3. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，g ()x 为增函数，所以g ()x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫π4＝332.29．【解】(1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.(2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－79.故sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos ⎝⎛⎫2A ＋π4＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝⎝⎛⎭⎫－79×22－429×22＝－8＋7218.。

2011年高考新课标数学文二轮复习作业：专题2单元卷

综合测评(二) 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若cos α＝13，α∈[－π2，0]，则tan α＝( )A ．－24 B.24C ．－2 2D ．2 22．(2010年高考安徽卷)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b 3．已知|a |＝5，|b |＝3，且a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于( ) A ．－4 B ．4C ．－125 D.1254．(2010年高考上海卷)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若函数f (x )＝sin ax ＋3cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A ．(－13，0)B ．(－π3，0)C ．(13，0) D ．(0,0)6．函数f (x )＝lgsin(π4－2x )的一个增区间为( )A ．(3π8，7π8)B ．(7π8，9π8)C ．(5π8，7π8)D ．(－7π8，－3π8)7．(2010年陕西高三质检)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 所对的边，设向量m ＝(b －c ，c －a )，n ＝(b ，c ＋a )，若向量m ⊥n ，则角A 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π38．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度9．(2010年湖北八校调研)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝( )A ．－23B ．－12C.23D.1210．给定性质：(1)最小正周期为π，(2)图象关于直线x ＝π3对称，(3)图象关于点(π12，0)对称，则下列四个函数中，同时具有性质(1)，(2)，(3)的是( )A ．y ＝sin(x 2＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π6)C ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin(2x －π6)11．如图，在边长为1的菱形ABCD 中，AC →2＋BD →2＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 12．(2010年高考课标全国卷)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)．若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.14．已知△ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．15．(2010年高考江苏卷)设定义在区间(0，π2)上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．16．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的最大值为4，f (x )的图象在y 轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2010)＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋3(2cos 2x －1)．(1)将函数f (x )化为A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的形式，填写下表，并画出函数f (x )在区间[－16π，56π]上的图象；(2)求函数f (x )的单调减区间．18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，若a ·b ＝85，且π4<x <π2.(1)求cos(x －π4)和tan(x －π4)的值；(2)求sin2x (1＋tan x )1－tan x的值．19．(本小题满分12分)(2010年高考湖北卷)已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 2，g (x )＝12sin2x －14.(1)函数f (x )的图象可由函数g (x )的图象经过怎样的变化得出？(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最小值，并求使h (x )取得最小值的x 的集合．20.(本小题满分12分)设集合M ＝{a |a ＝(2t ＋1，－2－2t )，t ∈R }，N ＝{b |b ＝(3t －2,6t ＋1)，t ∈R }，c ∈(M ∩N )，函数f (x )＝c ·(sin x2，cos x )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求f (x )的最大值与最小值．21．(本小题满分12分)如图，现在要在一块半径为1 m，圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，MNPQ的面积为S.(1)求S关于θ的函数关系式；(2)求S的最大值及相应θ的值．22．(本小题满分12分)已知在关于x的方程ax2－2bx＋c＝0中，a、b、c分别是钝角三角形ABC的三内角A、B、C所对的边，且b是最大边．(1)求证：该方程有两个不相等的正根；(2)设方程有两个不相等的正根α、β，若三角形ABC是等腰三角形，求α－β的取值范围．综合测评(二)1．C2．【解析】选C.a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，∴|a |＝1，|b |＝14＋14＝22，∴A 错误；∵a ·b ＝1×12＋0×12＝12，∴B 错误；∵a －b ＝(12，－12)，∴(a －b )·b ＝12×12－12×12＝0，∴C 正确；∵1×12－0×12＝12≠0，∴D 错误．3．【解析】选A.设向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在向量b 上的投影等于|a |·cos θ＝|a |·a ·b|a |·|b |＝－123＝－4.4．【解析】选A.tan(2k π＋π4)＝tan π4＝1；反之tan x ＝1，则x ＝k π＋π4(k ∈Z )．所以“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”的充分不必要条件． 5．【解析】选C.f (x )＝2sin(ax ＋π3)(a >0)，∵T ＝2πa ＝1，∴a ＝2π.∴f (x )＝2sin(2πx ＋π3)，由2πx＋π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k 2－16，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝13，故(13，0)是此函数图象的一个对称中心，故选C.6．【解析】选C.由sin(π4－2x )>0，得sin(2x －π4)<0，∴π＋2k π<2x －π4<2π＋2k π，k ∈Z ；又f (x )＝lgsin(π4－2x )的增区间即sin(π4－2x )在定义域内的增区间，即sin(2x －π4)在定义域内的减区间，故π＋2k π<2x －π4<3π2＋2k π，k ∈Z .化简得5π8＋k π<x <7π8＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，5π8<x <7π8，故选C.7．【解析】选B.∵m ＝(b －c ，c －a )， n ＝(b ，c ＋a )且m ⊥n ， ∴m ·n ＝(b －c ，c －a )·(b ，c ＋a )＝b (b －c )＋c 2－a 2＝0，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，0＜A ＜π，∴A ＝π3.8．【解析】选A.因为T ＝π，则ω＝2πT ＝2，f (x )＝sin(2x ＋π4)，g (x )＝cos2x .将＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度时，y ＝sin[2(x ＋π8)＋π4]＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ，故选A.9．【解析】选C.由题意可知，此函数的周期T ＝2(1112π－712π)＝2π3，故2πω＝2π3，∴ω＝3，f (x )＝A cos(3x ＋φ)．f (π2)＝A cos(3π2＋φ)＝A sin φ＝－23.又由题图可知f (7π12)＝A cos(3×7π12＋φ)＝0，即sin φ＝－cos φ，∴f (0)＝A cos φ＝23.10．【解析】选D.由(1)排除A ，由(2)(3)排除B 、C ，故同时满足(1)(2)(3)的只有D.11．【解析】选C.设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，且|a |＝|b |＝1，∴AC →2＋BD →2＝(a ＋b )2＋(b －a )2＝2(|a |2＋|b |2)＝4.12．【解析】选C.∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针运动时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4.此时P 点纵坐标为2sin(t －π4)，∴d ＝2|sin(t －π4)|.当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.13．【解析】由a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)， ∴a ·b ＝－2＋8＝6，∴c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8) ∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 【答案】8 2 14．【解析】由已知得(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，且(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，即x ≤1，且y ≥2，所以OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋4＝3.【答案】315．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6cos xy ＝5tan x ，消去y 得6cos x ＝5tan x .整理得6cos 2x ＝5sin x,6sin 2x ＋5sin x －6＝0，(3sin x －2)·(2sin x ＋3)＝0，所以sin x ＝23或sin x＝－32(舍去)．点P 2的纵坐标y 2＝23，所以|P 1P 2|＝23.【答案】2316．【解析】由题意A ＝4,4cos 2φ＝2，∴cos φ＝±22，∵0<φ<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝A cos 2(ωx＋φ)＝A ×1＋cos (2ωx ＋2φ)2＝A ×1＋cos (2ωx ＋π2)2，所以其最小正周期为T ＝2π2ω，而相邻两对称轴间的距离为1，即最小正周期为2，∴2π2ω＝2，∴ω＝π2，∴f (x )＝4cos 2(π2x ＋π4)，f (1)＝4cos 23π4＝2，f (2)＝4cos 25π4＝2，因为周期为2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2010)＝1005×[f (1)＋f (2)]＝4020.【答案】4020 17．【解】(1)f (x )＝2sin x cos x ＋3(2cos 2x －1)＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π).图象略．(2)由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，故函数f (x )的单调减区间为[k π＋π12，k π＋7π12](k ∈Z )．18．【解】(1)∵a ·b ＝85，∴2cos x ＋2sin x ＝85，即cos(x －π4)＝45，∵π4<x <π2，∴0<x －π4<π4，∴sin(x －π4)＝35，∴tan(x －π4)＝34.(2)sin2x ＝cos(2x －π2)＝2cos 2(x －π4)－1＝725.又∵tan(x ＋π4)＝－1tan (x －π4)＝－43，∴sin2x (1＋tan x )1－tan x＝sin2x ·tan(x ＋π4)＝725×(－43)＝－2875.19．【解】(1)因为f (x )＝12cos2x ＝12sin(2x ＋π2)＝12·sin2(x ＋π4)，所以要得到f (x )的图象只需要把g (x )的图象向左平移π4个单位长度，再将所得的图象向上平移14个单位长度即可．(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －12sin2x ＋14＝22cos(2x ＋π4)＋14，当2x ＋π4＝2k π＋π(k ∈Z )时，h (x )取得最小值－22＋14＝1－224.h (x )取得最小值时，对应的x 的集合为{x |x ＝k π＋3π8，k ∈Z }．20．【解】(1)由c ∈(M ∩N )，可设c ＝(2t 1＋1，－2－2t 1)＝(3t 2－2,6t 2＋1)，解得t 2＝0， ∴c ＝(－2,1)．f (x )＝c ·(sin x 2，cos x )＝(－2,1)·(sin x2，cos x )＝－sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋3π4)．∴f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)∵x ∈[0，π2]，∴t ＝x ＋3π4∈[3π4，5π4]，y ＝2sin t 在[3π4，5π4]上单调递减，∴y max ＝2sin 3π4＝1，y min ＝2sin 5π4＝－1.即当x ＝0时，f (x )有最大值1；当x ＝π2时，f (x )有最小值－1.21．【解】(1)分别过点P 、Q 作PD ⊥OB ，QE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，则四边形QEDP 是矩形． PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt △OEQ 中，∠AOB ＝π3，则OE ＝33QE ＝33PD .所以MN ＝PQ ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－33sin θ.则S ＝MN ×PD ＝(cos θ－33sin θ)×sin θ＝sin θcos θ－33sin 2θ，θ∈(0，π3)．(2)S ＝12sin2θ－36(1－cos2θ)＝12sin2θ＋36cos2θ－36＝33sin(2θ＋π6)－36.因为0<θ<π3，所以π6<2θ＋π6<5π6，所以12<sin(2θ＋π6)≤1.所以当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，S 的值最大为36m 2.即S 的最大值是36 m 2，相应θ的值是π6.22．【解】(1)证明：因为△ABC 是钝角三角形，且b 是最大边，故－1<cos B <0，且b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故关于x 的方程的根的判别式Δ＝(－2b )2－4ac ＝2b 2－4ac ＝2(a 2＋c 2－2ac cos B )－4ac ＝2(a －c )2－4ac cos B >0.所以，方程有两个不相等的实根(设两实根分别为α，β)．由根与系数的关系可得⎩⎨⎧α＋β＝2b a>0αβ＝ca >0，所以该方程有两个不相等的正根．(2)若三角形ABC 是等腰三角形，则有a ＝c ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2ba αβ＝1，所以(α－β)2＝α2＋β2－2αβ＝(α＋β)2－4αβ＝2b 2a2－4＝2(a 2＋c 2－2ac cos B )－4a 2a 2＝2(2a 2－2a 2cos B )－4a 2a 2＝－4cos B .因为－1<cos B<0，所以0<－4cos B<4，即(α－β)2∈(0,4)，所以α－β∈(－2,0)∪(0,2)．第- 10 -页版权所有@中国高考志愿填报门。

江苏省高考文科数学二轮专题复习练习：专题二第2讲三角变换、解三角形 (2)

1．(2019·南通市高三模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫x －5π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x 的值为________． [解析] sin ⎝⎛⎭⎫x －5π6＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－13， sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin 2⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝89，则sin ⎝⎛⎭⎫x －5π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝－13＋89＝59． [答案] 592．(2019·扬州模拟)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC 的形状为________．[解析] 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，可设a ＝5x ，b ＝11x ，c ＝13x (x >0)．则cos C ＝（5x ）2＋（11x ）2－（13x ）22·5x ·11x ＝－23x 2110x 2<0，所以C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形． [答案] 钝角三角形3．(2019·江苏省高考名校联考(二))若cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，则sin 2α＝________． [解析] cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α ·⎝⎛⎭⎫12cos α＋32sin α＝－14，则34cos 2α＋14sin 2α＝－14，可得⎩⎨⎧3cos 2α＋sin 2α＝－1，cos 22α＋sin 22α＝1，又α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，解得cos 2α＝－32，sin 2α＝12． [答案] 124．(2019·无锡模拟)计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为________．[解析]sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12．[答案] 125．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是________．[解析] 由tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A ·tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22．[答案]226．(2019·南京市四校第一学期联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ＝a ＋c ，若sin B ＝45，cos B ＝9ac，则b 的值为________．[解析] 因为2b ＝a ＋c ，sin B ＝45，cos B ＝9ac ，sin 2B ＋cos 2B ＝1，所以ac ＝15，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－48＝4b 2－48，得b ＝4．[答案] 4 7．已知cos θ＝－725，θ∈(－π，0)，则sinθ2＋cos θ2＝________________________________________________________________________．[解析] 因为θ∈(－π，0)，所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－2425，因为sin θ<cos θ<0，所以θ∈⎝⎛⎭⎫－3π4，－π2，θ2∈⎝⎛⎭⎫－3π8，－π4，所以－1<sin θ2<－22，0<cos θ2<22，故sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2＋cos θ2＝－⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22＝－1＋sin θ＝－15． [答案] －158．(2019·苏州第一次调研)已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．[解析] 由4sin A ＝c sin C ，得4sin A ＝csin 2A，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16－b 2＝64cos 2A －16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝16－b 264－16b ＝（4－b ）（4＋b ）16（4－b ）＝4＋b16，所以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b16＝16＋4b ．因为b ∈(4，6)，所以32<c 2<40，所以42<c <210．[答案] (42，210)9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B＝2cb，则C ＝________． [解析] 由1＋tan A tan B ＝2cb 和正弦定理得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sin C cos A ，因为在三角形中sin C ≠0，所以cos A ＝12，则A ＝60°．由正弦定理得23sin A ＝22sin C ，则sin C ＝22，又c <a ，则C <60°，故C ＝45°． [答案] 45°10．(2019·扬州市第一学期期末检测)设a ，b 是非零实数，且满足a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sinπ7＝tan 10π21，则ba＝______． [解析] 因为a sin π7＋b cos π7a cos π7－b sin π7＝tan 10π21，所以a sin π7＋b cos π7a cos π7－b sin π7＝sin10π21cos10π21，所以a cos 10π21sin π7＋b cos10π21cos π7＝a sin 10π21cos π7－b sin 10π21sin π7，所以a (sin 10π21cos π7－cos 10π21·sin π7)＝b (cos 10π21cos π7＋sin 10π21sin π7)，即a sin(10π21－π7)＝b cos(10π21－π7)，a sin π3＝b cos π3，所以b a ＝tan π3＝3． [答案] 311．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°． (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．[解] (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC＝7．(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217．因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277．因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437． 12．(2019·南通市高三模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2a cos B ，b ＝2，求△ABC 的面积．[解] (1)在△ABC 中，由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，即cos C ＝－12．因为0<C <π，所以C ＝2π3．(2)法一：因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得 sin C ＝2sin A cos B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，又－π3<A －B <π3，所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2．所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝3．法二：由c ＝2a cos B 及余弦定理，得c ＝2a ×a 2＋c 2－b 22ac ，化简得a ＝b ，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝3．13．(2019·南京市高三年级第三次模拟考试)已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个角A ，B ，C 所对的边，且满足a cos B ＋b cos A ＝c cos Acos C．(1)求证：A ＝C ；(2)若b ＝2，BA →·BC →＝1，求sin B 的值．[解] (1)由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C cos Acos C ，即(sin A cos B ＋sin B cos A )cosC ＝sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A ．因为A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos C ＝sin C cos A ．因为C 是△ABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A ．又A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝C ．(2)由(1)知，A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a 2．因为BA →·BC →＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3．所以cos B ＝13．又B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223．14．(2019·江苏省高考名校联考(四))已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a cos A ＋b cos B ＝c cos C．(1)证明：cos A cos B ＝cos C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝23bc ，求tan C 的值．[解] (1)证明：因为a cos A ＋b cos B ＝ccos C ，所以由正弦定理可知sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin Ccos C ，即sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin （A ＋B ）cos A cos B ＝sin Ccos C．因为在△ABC 中，sin(A ＋B )＝sin C ≠0，所以cos A cos B ＝cos C ． (2)因为b 2＋c 2－a 2＝23bc ，根据余弦定理可知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝13，因为A 为三角形的内角，所以sin A ＝223，tan A ＝22．由cos A cos B ＝cos C 和A ＋B ＋C ＝π得，cos A cos B ＝cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ，所以2cos A cos B ＝sin A sin B ，所以tan A tan B ＝2，由tan A ＝22得，tan B ＝22，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝522．。

(含详解)2011年-2017年新课标高考数学三角函数与解三角分类汇编(理)附答案

2011-2017新课标三角函数分类汇编一、选择题【2011新课标】5. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ B ）（A ）45-（B ）35-（C ）35 （D ）45【2011新课标】11. 设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( A )（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减（B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增【2011新课标】12. 函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于( D )（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8【2012新课标】9. 已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

则ω的取值范围是（ A ）()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1(0,]2 ()D (0,2]【解析】592()[,]444x πππωω=⇒+∈ 不合题意排除()D351()[,]444x πππωω=⇒+∈合题意排除()()B C【2013新课标1】12、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝cn ＋an 2，c n ＋1＝bn ＋an2，则( B ) A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列【答案】1111111111202b a c c a c c a c =->>∴->∴>且b 111111111120b a a c a a c b a c ∴-=--=->∴>>11111111111222a b c a a c c a c a c -<∴--<∴>∴>又111111112(2)22n n n n n n n n b c c a b c a b c a ++++++=+∴+-=+-由题意，b1120222n n n n n n n n b c a b c a a b c a ∴+-=∴+==∴+=11111112(2)22n n n n n n n n n c b a b bb c b a b a b ++++----=∴--==-又由题意，111111111()()()22n n n n b a a b b a b a -+∴-=-∴-=--11111111111()(),2()()22n n n n n b a b a c a b a b a --∴=+--=-=---21111111111111333311()()()()()222222n n n a a aa S a ab a a b a --⎡⎤⎡⎤∴=------+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 222122*********()()()0)4444n a a a b a b a -⎡⎤⎡⎤=---->⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦单调递增（可证当n=1时【2014新课标1】8．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ C ） A. 3α﹣β=B. 3α+β=C. 2α﹣β=D. 2α+β=【答案】由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα， sin （α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A ，B 后验证C ，当时，sin （α﹣β）=sin （）=cosα成立。

2011高考二轮复习文科数学专题二2第二讲三角变换与解三角形

c在oRst∠△CHAADO＝中A，C22＋A·AAHCD·＝A2－D＝3CD520. (米1114)，cos∠HAO1114＝，
∴OA＝cos∠AHHAO＝≈449110405(米)．即该扇形的半径OA的长约为445米．
跟踪训练
高考·二轮·数学（文科）
3．如图所示，要计算西湖岸边两景点B与C 之间的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD，AD＝10 km，AB＝ 14 km，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离(精确到0.1 km)．参考数据： 2≈1.414, 3≈1.732, 5≈2.236.
高考·二轮·数学（文科）
∴tan(α＋2β)＝1t－antαan＋αttaann22ββ＝1－7＋7×43 34＝－1. 又∵α、β 为锐角，∴0＜α＋2β＜32π，∴α＋2β＝34π.
高考·二轮·数学（文科）
跟踪训练
1．(2009年四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C
所对的边分别为a、b、c，且 sin A＝ 55，sin B＝ 1100. (1)求A＋B的值；
即B和C两景点间的距离约为11.3 km.
祝
高考·二轮·数学（文科）
您
正弦定理、余弦定理的应用
考纲点击 1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
基础梳理
高考·二轮·数学（文科）
三、正、余弦定理
1．正弦定理及其变形
a sin
A
＝________＝________＝2R(其中R为△ABC外接圆的
解析：在△ABD中，设BD＝x，

【步步高】(江苏专用)高考数学二轮专题突破专题二第2讲三角变换与解三角形文

第2讲三角变换与解三角形【高考考情解读】 1.从近几年的考情来看，对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点；解三角形与其他知识以及生活中的实际问题联系紧密，有利于考查考生的各种能力，因而成了高考命题的一大热点.2.分析近年考情可知，命题一般为1～2题，其中，填空题多为低档题，解答题则一般为与其他知识(尤其是三角函数、向量)交汇的综合题或实际应用题，难度中等．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶si n B ∶sin C .5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .6．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解．考点一三角变换例1 (2013·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ，又cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴sin θ＝－45，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725＋2425＝1725.当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．化简常用技巧：①常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；②项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； ④弦、切互化：一般是切化弦．(1)(2013·四川)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．(2)(2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．答案 (1) 3 (2)17250解析 (1)∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.(2)∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. 考点二正、余弦定理例2 (2013·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由已知及正弦定理得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．②由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．几种常见变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径； (3)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且(2b －3c )cos A＝3a cos C . (1)求角A 的大小；(2)若角B ＝π6，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．解 (1)∵(2b －3c )cos A ＝3a cos C ， ∴(2sin B －3sin C )cos A ＝3sin A cos C . 即2sin B cos A ＝3sin A cos C ＋3sin C cos A .∴2sin B cos A ＝3sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝32， ∵0<A <π，∴A ＝π6.(2)由(1)知A ＝B ＝π6，所以AC ＝BC ，C ＝2π3，设AC ＝x ，则MC ＝12x .又AM ＝7，在△AMC 中，由余弦定理得AC 2＋MC 2－2AC ·MC cos C ＝AM 2，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－2x ·x2·cos 120°＝(7)2，解得x ＝2，故S △ABC ＝12x 2sin 2π3＝ 3.考点三正、余弦定理的实际应用例3 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝ACsin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537 min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．在南沙某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？解由题意，得轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟．又船始终匀速前进，所以BC ＝4EB . 设EB ＝x ，则BC ＝4x .由已知，得∠BAE ＝30°，∠EAC ＝150°. 在△AEC 中，由正弦定理，得EC sin∠EAC ＝AEsin C，所以sin C ＝AE ·sin∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin 120°＝ABsin C，∴AB ＝BC ·sin Csin 120°＝4x ·12x 32＝433.在△ABE 中，由余弦定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos 30°＝163＋25－2×433×5×32＝313，故BE ＝313. 所以船速v ＝BE t＝31313＝93(km/h)．所以该船的速度为93 km/h.1．求解恒等变换的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”． (3)再次观察代数式的结构特点． 2．解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a ＝2R sinA ，sin A ＝a2R(其中2R 为三角形外接圆的直径)，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等.1．在△ABC 中，已知tanA ＋B2＝sin C ，给出以下四个结论：①tan Atan B＝1； ②1<sin A ＋sin B ≤2； ③sin 2A ＋cos 2B ＝1； ④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C . 其中正确的序号为________．答案 ②④解析依题意，tan A ＋B2＝sinA ＋B 2cosA ＋B2＝2sin A ＋B2cos A ＋B22cos2A ＋B2＝A ＋B1＋A ＋B＝sin C1＋A ＋B＝sin C .∵sin C ≠0，∴1＋cos(A ＋B )＝1，cos(A ＋B )＝0. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2，即△ABC 是以角C 为直角的直角三角形．对于①，由tan Atan B ＝1，得tan A ＝tan B ，即A ＝B ，不一定成立，故①不正确；对于②，∵A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)，∴1<sin A ＋sin B ≤2，故②正确；对于③，∵A ＋B ＝π2，∴sin 2A ＋cos 2B ＝sin 2A ＋sin 2A ＝2sin 2A ，其值不确定，故③不正确；对于④，∵A ＋B ＝π2，∴cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故④正确． 2．已知函数f (x )＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4.(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. 由f (x )＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝cos[π－(π3＋x )]＝－cos(π3＋x )＝2sin 2(x 2＋π6)－1＝－12. (2)由a cos C ＋12c ＝b ，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3，所以0<B <2π3，所以π6<B 2＋π6<π2，所以f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＋π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(推荐时间：60分钟)一、填空题1．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于________．答案2525解析根据α、β都是锐角，且cos α＝55，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝255⇒π4<α<π2，又∵sin(α＋β)＝35，∴cos(α＋β)＝－45.又cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝2525. 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________．答案－45解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝453，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45.3． (2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sinB cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于________．答案π6解析由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.4．锐角三角形ABC 中，若C ＝2B ，则AB AC的范围是________．答案 (2，3)解析设△ABC 三内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，则有AB AC ＝c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B .又∵C ＝2B <π2，∴B <π4.又A ＝π－(B ＋C )＝π－3B <π2，∴B >π6，即π6<B <π4，∴22<cos B <32，2<2cos B < 3. 5．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于________．答案 2－ 3解析由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B ＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒a 2＋c 2－b 2＝1，所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－ 3.6． (2013·重庆改编)计算：4cos 50°－tan 40°＝________.答案3解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝＋3－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.7． (2013·福建)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为______．答案3解析 sin∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos∠BAD ，∴cos∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.8．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案－255解析由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αα＋cos α22α＋cos α＝22sin α＝－255.9．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC ＝________.答案11解析依题意，利用三角形面积相等有： 12AB ×h ＝12AC ·BCsin 60°， ∴12×3×43＝12ACBC ·sin 60°，∴AC ·BC ＝83.利用余弦定理可知cos 60°＝AC 2＋BC 2－AB 22ACBC，∴cos 60°＝AC 2＋BC 2－32×83，解得：AC 2＋BC 2＝173.又因(AC ＋BC )2＝AC 2＋BC 2＋2AC ·BC ＝173＋163＝11， ∴AC ＋BC ＝11. 二、解答题10．已知函数f (x )＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，2a ＝b ＋c ，bc＝18，求a 的值．解 (1)f (x )＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)由f (A )＝12，得sin(2A ＋π6)＝12.∵π6<2A ＋π6<2π＋π6，∴2A ＋π6＝5π6. ∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc .又2a ＝b ＋c ，bc ＝18，∴a 2＝4a 2－3×18，即a 2＝18，a ＝3 2.11．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos2A －B2cos B －sin(A－B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得 [cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题意知a >b ，则A >B ，故B ＝π4，根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.12．(2013·福建)如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上，(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解 (1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2×OP ×MP ×cos 45°，得MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin∠OPM ＝OPsin∠OMP，所以OM ＝OP sin 45°＋α，同理ON ＝OP sin 45°＋α.故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin∠MON＝14×OP 2sin 245°＋α＋α＝1＋α＋α＋＝1＋α32＋α＋12＋α＝132sin 2＋α＋12＋α＋α＝134[1－＋2α＋14＋2α＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝134＋12α＋.因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)取最大值1，此时△OMN 的面积取到最小值，即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.。

2 三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形学案理

第2讲三角恒等变换与解三角形[考情考向分析] 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一三角恒等变换1．三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α等于( ) A.2325B ．－2325C.725D ．－725解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－725.答案 D(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6解析因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22.所以β＝π4.答案 C跟踪演练1 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6，则tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝________. 解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6，∴－sin α＝－3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，∴sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos αsin π6＝332sin α＋32cos α，∴tan α＝32－33，又tan π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3tanπ4＝3－11＋3＝2－3， ∴tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝tanπ12＋tan α1－tan π12tan α＝()2－3＋32－331－()2－3×32－33＝23－4. 答案 23－4 (2)若2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3sin 2θ，则sin 2θ等于( ) A.13B ．－23C.23D ．－13解析由题意得2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝2(cos 2θ－sin 2θ)22(cos θ－sin θ)＝2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ，将上式两边分别平方，得4＋4sin 2θ＝3sin 22θ，即3sin 22θ－4sin 2θ－4＝0，解得sin 2θ＝－23或sin 2θ＝2(舍去)，所以sin 2θ＝－23.答案 B热点二正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例2 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．解 (1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即28＝4＋c 2－4c ·cos2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4. 所以c ＝4. (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.跟踪演练2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，c ＝8. (1)若点M ，N 是线段BC 的两个三等分点，BM ＝13BC ，ANBM ＝23，求AM 的值；(2)若b ＝12，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得M ，N 是线段BC 的两个三等分点，设BM ＝x ，则BN ＝2x ，AN ＝23x ，又B ＝60°，AB ＝8，在△ABN 中，由余弦定理得12x 2＝64＋4x 2－2×8×2x cos 60°，解得x ＝2(负值舍去)，则BM ＝2.在△ABM 中，由余弦定理，得AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos B ＝AM 2，AM ＝82＋22－2×8×2×12＝52＝213.(2)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin C ＝c sin B b ＝8×3212＝33.又b >c ，所以B >C ，则C 为锐角，所以cos C ＝63. 则sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×63＋12×33＝32＋36，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝48×32＋36＝242＋8 3.热点三解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 (2018·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B . 又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，所以tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝217 .因为a <c ，所以cos A ＝277 .因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.跟踪演练3 已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，若b ＋c ＝2a ，且AB →·AC →＝6，求a的值．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12，可得2A ＋π6＝π6＋2k π或2A ＋π6＝5π6＋2k π(k ∈Z )． ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∵AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝6，∴bc ＝12，又∵2a ＝b ＋c ，∴cos A ＝12＝(b ＋c )2－a 22bc －1＝4a 2－a 224－1＝a 28－1，∴a ＝2 3.真题体验1．(2017·山东改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是______．(填序号) ①a ＝2b; ②b ＝2a; ③A ＝2B; ④B ＝2A .解析 ∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ，等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ，∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B . 由cos C >0，得sin A ＝2sin B . 根据正弦定理，得a ＝2b . 答案 ①2．(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 解析 ∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12. 答案－123．(2018·全国Ⅲ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C＝________.解析 ∵S ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24＝2ab cos C 4＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.答案 π44．(2018·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．解析 ∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C >0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc >0，∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.答案 233押题预测1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC的面积为________．解析因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53.又由5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C 知，cos C >0，并结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝ 3. 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52.答案 522．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1)＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－12，因为函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2ω＝2π3，所以ω＝32.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6－12，易得f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sin B sin C ，所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)．因为0<A <π，所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6，所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6≤1，所以－1<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12≤12，所以f (A )的值域为⎝⎛⎦⎤－1，12.A 组专题通关1．(2018·全国Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α等于( )A.89B.79C ．－79D ．－89解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.答案 B 2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值为( ) A. 3B.33C ．－33D ．－ 3解析因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.答案 D3．(2018·凯里市第一中学《黄金卷》模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A ＝bc ，则该三角形为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．直角三角形解析由cos A ＝bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，化简得c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形．答案 D4．(2018·衡水金卷调研卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为( )A ．1＋7B ．2＋7C ．4＋7D ．5＋7解析在△ABC 中，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，即sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，∵sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，由余弦定理可得，a 2＋b 2－c 2＝ab ，即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6，∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.答案 D5．已知α为锐角，则2tan α＋3tan 2α的最小值为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析方法一由tan 2α有意义，α为锐角可得α≠45°，∵α为锐角，∴tan α>0，∴2tan α＋3tan 2α＝2tan α＋3(1－tan 2α)2tan α＝12⎝⎛⎭⎫tan α＋3tan α≥12×2tan α·3tan α＝3，当且仅当tan α＝3tan α，即tan α＝3，α＝π3时等号成立．故选D.方法二 ∵α为锐角，∴sin α>0，cos α>0，∴2tan α＋3tan 2α＝2sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＝4sin 2α＋3cos 2α2sin αcos α＝sin 2α＋3cos 2α2sin αcos α＝12⎝⎛⎭⎫sin αcos α＋3cos αsin α≥12×2sin αcos α·3cos αsin α＝3，当且仅当sin αcos α＝3cos αsin α，即α＝π3时等号成立．故选D.6．(2017·全国Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(cos α＋sin α)．又由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2知，sin α＝255，cos α＝55，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝22×⎝⎛⎭⎫55＋255＝31010.答案 310107．设△ABC 内切圆与外接圆的半径分别为r 与R .且sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________；当BC ＝1时，△ABC 的面积等于________．解析 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，∴a ∶b ∶c ＝2∶3∶4.令a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，则cos C ＝4t 2＋9t 2－16t 212t 2＝－14，∴sin C ＝154.当BC ＝1时，AC ＝32， ∴S △ABC ＝12×1×32×154＝31516.答案－14 315168．(2018·绵阳诊断)如图，在△ABC 中，BC ＝2，∠ABC ＝π3，AC 的垂直平分线DE 与AB ，AC 分别交于D ，E 两点，且DE ＝62，则BE 2＝________. 答案 52＋ 3解析如图，连接CD ，由题设，有∠BDC ＝2A ，所以CD sin 60°＝BC sin 2A ＝2sin 2A，故CD ＝3sin 2A .又DE ＝CD sin A ＝32cos A ＝62，所以cos A ＝22，而A ∈(0，π)，故A＝π4，因此△ADE 为等腰直角三角形，所以AE ＝DE ＝62. 在△ABC 中，∠ACB ＝75°，所以AB sin 75°＝2sin 45°，故AB ＝3＋1，在△ABE 中，BE 2＝(3＋1)2＋⎝⎛⎭⎫622－2×(3＋1)×62×22＝52＋ 3.9．(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4，所以b ＝2.10．(2018·荆州质检)已知向量a ＝(2sin 2x ，2cos 2x )，b ＝(cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎫|θ|<π2，若f (x )＝a ·b ，且函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称．(1)求函数f (x )的解析式，并求f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，且b ＝5，c ＝23，求△ABC 外接圆的面积．解 (1)f (x )＝a ·b ＝2sin 2x cos θ＋2cos 2x sin θ＝2sin(2x ＋θ)，∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2×π6＋θ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴θ＝k π＋π6，k ∈Z ，又|θ|<π2，∴θ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . (2)∵f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝1.∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝π2， ∴A ＝π6.在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋12－2×5×23cos π6＝7，∴a ＝7.设△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理得a sin A ＝2R ＝712＝27，∴R ＝7，∴△ABC 外接圆的面积S ＝πR 2＝7π.B 组能力提高11．已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( ) A ．－43或0B.43或0C ．－43D.43解析因为2sin θ＝1－cos θ，所以4sin θ2cos θ2＝1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝2sin 2θ2，解得sin θ2＝0或2cos θ2＝sin θ2，即tan θ2＝0或2，又tan θ＝2tanθ21－tan2θ2，当tan θ2＝0时，tan θ＝0；当tan θ2＝2时，tan θ＝－43.答案 A12．在锐角△ABC 中，角A 所对的边为a ，△ABC 的面积S ＝a 24，给出以下结论：①sin A ＝2sin B sin C ；②tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ；③tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ；④tan A tan B tan C 有最小值8. 其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析由S ＝a 24＝12ab sin C ，得a ＝2b sin C ，又a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝2sin B sin C ，故①正确；由sin A ＝2sin B sin C ，得sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同时除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，故②正确；由tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ，且tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ，所以tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－tan C ，整理移项得tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，故③正确；由tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，tan A ＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1，且tan A ，tan B ，tan C 都是正数，得tan A tan B tan C ＝tan B ＋tan C tan B tan C －1·tan B tan C ＝2tan B tan C tan B tan C －1·tan B tan C ＝2(tan B tan C )2tan B tan C －1，设m ＝tan B tan C －1，则m >0，tan A tan B tan C ＝2(m ＋1)2m＝2⎝⎛⎭⎫m ＋1m ＋4≥4＋4m ·1m＝8，当且仅当m ＝tan B tan C －1＝1，即tan B tan C ＝2时取“＝”，此时tan B tan C ＝2，tan B ＋tan C ＝4，tan A ＝4，所以tan A tan B tan C 的最小值是8，故④正确，故选D.13．(2018·百校联盟TOP20联考)如图，在△ABC 中，D ，F 分别为BC ，AC 的中点，AD ⊥BF ，若sin 2C ＝716sin ∠BAC ·sin ∠ABC ，则cos C ＝________.解析设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，由sin 2C ＝716sin ∠BAC ·sin ∠ABC 可得，c 2＝716ab ，由AD ⊥BF 可得，AD →·BF →＝AB →＋AC →2·⎝⎛⎭⎫12AC →－AB →＝0，整理可得，14AC →2－12AB →2－14AB →·AC →＝0，即14b 2－12c 2－14bc cos ∠BAC ＝0，即2b 2－4c 2－2bc cos ∠BAC ＝0， 2b 2－4c 2－(b 2＋c 2－a 2)＝0，即a 2＋b 2－c 2＝4c 2＝74ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝78.答案 7814．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2. (1)如图1，若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)如图2，若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．解 (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β.因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13，所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1.又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4.(2)设∠BAD ＝α.在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3.由正弦定理得AD sin π4＝BD sin α，解得sin α＝24.因为AD >BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144.因此sin ∠ADC ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22⎝⎛⎭⎫24＋144＝1＋74. 所以△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC ＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)．。

江苏专版高考数学复习三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课件理

考点整合
1.三角函数公式 sin α (1)同角关系：sin α＋cos α＝1，＝tan α. cos α
2 2
kπ (2)诱导公式：对于“ 2 ±α， k∈Z 的三角函数值”与“α 角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.
(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α± β)＝sin αcos β± cos αsin β； cos(α± β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan α± tan β tan(α± β)＝ . 1∓tan αtan β (4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α －sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
2.正、余弦定理、三角形面积公式 a＋b＋c a b c (1)sin A＝sin B＝sin C＝＝2R(R 为 sin A＋sin B＋sin C △ABC 外接圆的半径). 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；sin A a b c ＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R；a∶b∶c＝sin A∶sin B∶ sin C.
【例 2－1】 (1)(2016· 全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对 4 5 边分别为 a，b，c，若 cos A＝，cos C＝，a＝1，则 b＝ 5 13 ________. 4 5 解析在△ABC 中由 cos A＝，cos C＝， 5 13 3 12 可得 sin A＝5，sin C＝13，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C 63 asin B 21 ＋cos A·sin C＝65，由正弦定理得 b＝ sin A ＝13. 21 答案 13
热点一三角恒等变换及应用

2011年江苏省高考数学选粹解答题---三角函数与向量

2011年江苏省高考数学选粹解答题---三角函数与向量1.（本小题满分12分）已知△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，当222c b a +>且1032tan2cotcos =-A A A 时，求sin2A 的值.解：2cos2sin 2sin2cos cos 2tan2cotcos A A A A A A A A-=-103sin 212sin2cos2cos2sin cos 22==-⋅A A A AA A .53sin =⇒A …………………………6分02cos 222222<-+=⇒+>bcac b A c b a.54cos -=⇒A ……………………10分2524)54(532cos sin 22sin -=-⨯⨯==⇒a A A ……………………12分2.设函数(),(2cos ,1),(cos ,3sin )f x m n m x n x x ===其中向量,(1)求f(x)的周期与单调区间.(2)△ABC 中,f(A)=2,b=1,△ABC 的面积为3,.2sin sin b c B C++求的值3.已知点G 是A B C 的重心,(0,1),(0,1),A B -在x 轴上有一点M ,满足,()M A M C G M AB R λλ==∈(1) 求点C 的轨迹方程(2) 若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点,P Q ,且满足AP AQ =,试求k 的取值范围4.已知向量(2,2),a = 向量b 与向量a 的夹角为34π,且2a b =-(1). 求向量b(2). 若(1,0)t =,且2,(cos ,2cos ),2cb tc A ⊥= 其中,,A B C 是A B C 的内角,若三角形的三内角,,A B C 依次成等差数列.试求b c +的取值范围5.已知:过A(0,1)且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k C x y =-++=的直线 l 与相交于M 、N 两点,(1)求实数k 的取值范围.(2)求证：AM AN为定值.(3)若O 为坐标原点,且12OM ON =,求K 的值6.设函数0)R,(x )4x sin((x) f >∈+=ωπω的部分图象如右图所示。

高考综合题专题精讲：三角变换与解三角形

解
由余弦定理得 a2－c2＝b2－2bccos A， ①
又 a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccos A＋2. 又 sin Acos C＝3cos Asin C， ∴sin Acos C＋cos Asin C＝4cos Asin C， ∴sin(A＋C)＝4cos Asin C，即 sin B＝4sin Ccos A. b 由正弦定理得 sin B＝ sin C．故 b＝4ccos A． c 由①②解得 b＝4.
4．(2011·浙江在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. ．浙江)在浙江，，，，若 acos A＝bsin B，则 sin Acos A＋cos2B＝________. ＝，＋＝ 1
解析
∵acos A＝bsin B，
∴sin Acos A＝sin Bsin B，即 sin Acos A－sin2B＝0， ∴sin Acos A－(1－cos2B)＝0， ∴sin Acos A＋cos2B＝1.
π π 13 (2)由 0＜β＜α＜，得 0＜α－β＜ .又∵ cos(α－β)＝，由＜＜＜＜－＜又－＝ 2 2 14 13 3 3 2 1－ 2＝ . ∴ sin(α－β)＝ 1－cos (α－β)＝－＝－－＝－ 14 14 由 β＝α－(α－β)，得＝－－， cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－－＝－＋－ 1 13 4 3 3 3 1 π π ＝ × ＋ × ＝，又 0<β< ，所以 β＝ . ＝ 7 14 7 14 2 2 3
7 π 1 － 3．(2011·辽宁改编设 sin( ＋ θ)＝，则 sin 2θ＝________. 辽宁改编)设．辽宁改编＝＝ 9 4 3

文科高考数学重难点02 三角函数与解三角形(解析版)

重难点02 三角函数与解三角形【高考考试趋势】新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出,三角试题每年都考,而且文理有别,或"一大一小",或"三小",或"二小"("小"指选择题或填空题,"大"指解答题),解答题以简单题或中档题为主,选择题或填空题比较灵活,有简单题,有中档题,也有对学生能力和素养要求较高的题.三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内.备考时要熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化鉴于新课标核心素养的要求，三角函数与解三角形在实际背景下的应用也将是一个考试试点.考点主要集中在三角函数图像及其性质的应用，三角函数恒等变换，以及正弦余弦定理的应用.本专题在以往高考常见的题型上，根据新课标的要求，精选了部分预测题型，并对相应的题型的解法做了相应的题目分析以及解题指导，希望你在学习完本专题以后能够对三角函数以及解三角形的题型以及解答技巧有一定的提升.【知识点分析以及满分技巧】三角函数与解三角形：从返几年高考情况来看，高考对本部分内容的考查主要有，1.三解恒等变换与三角函数的图象、性质相结合；2.三角恒等变换与解三角形相结合；3.平面向量、不等式、数列与三角函数和解三角形相结合，难度一般不大，属中档题型.三角函数图形的性质以及应用：对于选择题类型特别是对称中心，对称轴等问题选项中特殊点的带入简单方便，正确率比较高.总额和性的问题一般采用换元法转化成最基本的函数问题去解答.对于三角函数有关恒等变换的题目应注重公式的变形.解三角形类型的大题中，重点是角边转化，但是要注意两边必须同时转化，对于对应的面积的最大值问题以及周长的最值问题一般转化成基本不等式去求，但是在用基本不等式的时候应注意不等式等号成立的条件.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2020·贵溪市实验中学高三月考（文））在中，角，，所对的边分别ABC :A B C 为，，，且，则的最大值是（）a b c BC c bb c +A ．8B ．6C ．D ．4【答案】D【分析】由已知可得：，11sin 22bc A a =所以，2sin a A =因为，所以222cos 2b c a A bc +-=2222cos sin 2cos b c a bc AA bc A +=+=+所以，222cos 4sin 46c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+≤ ⎪⎝⎭所以的最大值是4c bb c +故选：D2．（2020·南昌市新建一中（文））在中，内角，，所对应的边分别为ABC :A B C a ，，，且，若，则边的最小值为（）b c sin 2sin 0a B b A +=2a c +=b AB ．C ．2D【答案】D【分析】根据由正弦定理可得，sin2sin 0a B b A +=sin sin2sin sin 0A B B A +=即，，2sin sin cos sin sin 0A B B B A +=sin 0,sin 0A B ≠≠ ，，∴1cos 2B =-23B π∴=由余弦定理可得．()2222222cos 4b a c ac B a c ac a c ac ac=+-=++=+-=- ．2a c +=≥ 1ac ∴≤ 即．，243bac ∴=-≥，b ≥故边.b 故选：D ．3．（2020·吉林高三其他模拟（文））在中，内角，，所对的边分别为，ABC :A B C a ，，且，，在边上，且，则b c 3a =b =c =M AB BM CM =AMAB=（）A ．B ．C ．D ．14133423【答案】C【分析】因为，BM CM =所以为等腰三角形，MBC △因为，，．3a =b =c =由条件可得，222cos2a c b B ac +-==所以，解得3·cos 22BC BM B ==BM =所以AM AB BM =-=可得．34AM AB =故选：．C 4．（2020·河南郑州市·高三月考（文））已知的三个内角，，对应的边分ABC :A B C 别为，，，且，，成等差数列，则a b c sin 2a C π⎛⎫- ⎪⎝⎭()cos 4b B π-()cos 3c A π-的形状是（）ABC :A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形【答案】C【分析】，，sin cos 2a C a Cπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()cos 4cos b B b B π-=，()cos 3cos c A c Aπ-=-依题意得，2cos cos cos b B a C c A =--根据正弦定理可得，()2sin cos sin cos cos sin B B A C A C =-+即，()2sin cos sin sin B B A C B=-+=-又，则，sin 0B ≠1cos 2B =-又，所以，()0,B π∈23B π=故的形状是钝角三角形．ABC :故选：C ．5．（2020·安徽六安市·六安一中高三月考（文））已知的三个内角，，所ABC :A B C 对的边分别为，，，满足，且a b c 222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则的形状为（）sin sin 1A C +=ABC :A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为的非等腰三角形D ．顶角为的等腰三角形120120【答案】D【分析】因为，222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+所以，2221sin (1sin )1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+所以，222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-根据正弦定理可得，即，222a cb ac +-=-222122a c b ac +-=-所以，因为，所以，所以，1cos 2B =-0B π<<120B = 60A C += 由得，sin sin 1A C +=sin sin(60)1A A +-=得，sin sin 60cos cos 60sin 1AA A +-=得，1sin sin 12A A A +-=得，1sin 12A A +=得，因为为三角形的内角，所以，，sin(60)1A +=A 30A = 30C =所以为顶角为的等腰三角形.ABC :120故选：D6．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·高三月考（文））将函数的图象向右平2sin 2y x =移个单位得到函数的图象．若，则的值为（02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭()f x 50412f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ϕ）A ．B ．C ．D ．12π8π6π3π【答案】A依题意，函数，由得()()2sin 22)i (2s n 2f x x x ϕϕ-=-=50412f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故5124f f ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52sin 222sin 22124ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⨯-=--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，5sin 262sin 2ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22cos 22ϕϕϕ+=2cos 2ϕϕ=故，又，则，故，即.tan 2ϕ=02πϕ<<02ϕπ<<26πϕ=12πϕ=故选：A.7．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与αβ，轴的非负半轴重合，若角的终边过点，，且，则x α()21，()4cos 5αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（）sin β=ABCD【答案】C【分析】因为角的终边过点，所以是第一象限角，α()21，α所以sin α==cos α==因为，，所以为第一象限角，，0,2πβ⎛⎫∈⎪⎝⎭()4cos 5αβ+=αβ+所以，()sin 35αβ+==所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦3455==故选：C.8．（2020·罗山县楠杆高级中学高三月考（文））函数的()()cosln 2xx f x x e e π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】因为，()()()πcos ln sin ln 2x x x x f x x e e x e e --⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭所以，()()()()()sin ln sin ln x x x x f x x x e e x e e f x ---=-+=-+=-即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D ，()f x又因为，当且仅当时取等号，2xxy e e-=+≥=0x =所以，()ln ln 2ln10x x e e -+≥>=当时，，当时，，[)0,πx ∈sin 0x ≥[)π,2πx ∈sin 0x ≤所以，当时，，当时，，故排除A 、B ，[)0,πx ∈()0f x >[)π,2πx ∈()0f x ≤故选：C ．二、填空题9．（2020·新疆实验高三月考（文））在中，ABC :BC =，则外接圆的面积为______.222cos cos sin sin C A B B C --=ABC :【答案】π【分析】，222cos cos sin sin C A B B C --=，()()2221sin 1sin sin sin C A B B C∴----=即.222sin sin sin sin A C B B C --=由正弦定理得，222222a cb ac b --=⇒-=+由余弦定理得，所以，2222cos a c b bc A =+-cos A =，则，0A π<< 4A π=设的外接圆半径为，则，则,ABC :R 2sin BCRA =1R =则外接圆的面积为：，ABC :2R ππ=故答案为：.π10．（2020·山西高三期中（文））中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC :函数有极值点，则的取值范围是()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭______.【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】由题意，函数，()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+可得，()2222()f x x bx a c ac '=+++-因为函数有极值点，所以有两个不同的实数根，()f x 2222()0x bx a c ac +++-=可得，整理得，222(2)4()0b a c ac ∆=-+->222ac a c b >+-又由，2221cos 222a c b ac B ac ac +-=<=因为，所以，可得，(0,)B π∈3B ππ<<52333B πππ<-<当时，即时，取得最小值，最小值为；23B ππ-=23B π=cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 1π=-当时，即时，此时，233B ππ-=3B π=1cos 2cos 332B ππ⎛⎫-<= ⎪⎝⎭所以的取值范围是.cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭三、解答题11．（2020·山东济南市·高三开学考试）在四边形中，，是上的ABCD A C ∠=∠E AD 点且满足与相似，，，.BED ∆ABD ∆34AEB π∠=6DBE π∠=6DE =（1）求的长度；BD （2）求三角形面积的最大值.BCD【答案】（1）2）36+【分析】（1），4BED AEB ππ∠=-∠=在三角形中，，BDE sin sin DE BD DBE BED =∠∠即，6sinsin 64BD ππ=所以612=BD =（2）因为，所以，BED ABD ∆∆:C A ∠=∠=6DBE π∠=在三角形中，，BDC 2222cos 6BD DC BC DC BCπ=+-::所以，2272DCBC BC =+:所以，722DCBC BC ≥::所以，(72DCBC ≤:所以，((11sin 7218264BCD S DC BC π∆=≤⨯=::所以三角形面积的最大值为BCD 36+12．（2020·北京海淀区·人大附中高三月考）已知，(2sin ,sin cos )mx x x =-，记函数．,sin cos )n x x x =+ ()f x m n =⋅ （1）求函数取最大值时的取值集合；()f x x （2）设函数在区间是减函数，求实数的最大值．()f x ,2m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m【答案】（1）；（2）.,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭56π【分析】（1）由题意，得，()2cos 22sin(26f x m n x x x π=⋅=-=- 当取最大值时，即，此时()f x sin(2)16x π-=22()62x k k Z πππ-=+∈所以的取值集合为．x ,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）由得3222262k x k πππππ+≤-≤+，41022266k x k ππππ+≤≤+536k x k ππππ+≤≤+所以的减区间，()f x 5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当，得是一个减区间，且1k =5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦52,36πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，5,,236m πππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以， 5(,]26m ππ∈所以的最大值为.m 56π13．（2020·宁夏固原市·固原一中高三月考（文））已知函数．()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭x ∈R（1）求的最小正周期；()f x （2）求在闭区间上的值域．()f x ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1）；（2）.π11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由已知，有21()cos sin 2f x x x x x ⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 2x x x =⋅-1sin 2cos 2)4x x =-+，11sin 22sin 2423x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的最小正周期；∴()f x 22T ππ==（2）∵，，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,366x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦当，即时，取得最大值为，236x ππ-=4x π=()f x 14当，即时，取得最小值为，232x ππ-=-12x π=-()f x 12-的值域为.()f x ∴11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））在的中，角，，的对边分ABC :A B C别为，且a b c ，，sin (sin sin )sin 0a A b A B c C ++-=（1）求角；C （2）若，求的取值范围.2c =+a b 【答案】（1）；（2）.23C π=2⎛ ⎝【分析】：（1）由，及正弦定理得sin (sin sinB)sin 0a A b A c C ++-=，2220a ab b c ++-=由余弦定理得，又，所以；2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-0C π<<23C π=（2）由及，得，即，2220a ab b c ++-=2c =224a ab b ++=2()4a b ab +-=所以，所以，当且仅当221()4()4ab a b a b =+-≤+a b +≤a b ==成立，又，所以，2a b c +>=2a b <+≤所以的取值范围为.+a b 2⎛ ⎝15．（2020·黑龙江高三月考（文））在中，角，，所对的边分别为，ABC :A B C a b，，，．c sin 3sin b A B =222b c a bc +-=（1）求外接圆的面积；ABC :（2）若的周长．BC ABC :【答案】（1）；（2）9.3π【分析】解：（1）因为，又，即，所以，sin 3sin b A B =sin sin a b A B =sin sin b A a B =3a =由，得，设外接圆的半径为2221cos 22b c a A bc --==3A π=ABC :R 则，所以外接圆的面积为．12sin a R A=⋅==ABC :3π（2）设的中点为，则．因为，BC D AD =()12AD AB AC =+ 所以，()()222221127||2444AD AB AC AB AC c b bc =++⋅=++= 即，又，，则，2227c b bc ++=222b c a bc +-=3a =22918bc b c =⎧⎨+=⎩整理得，解得或（舍去），则．所以的周长为9．()2290b -=3b =3-3c =ABC :。

【步步高】江苏专用高考数学二轮复习专题二第2讲三角变换与解三角形课件文苏教

故选 C.
3．在△ABC 中，A＝60°，b＝1，其面积为 3，则
sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
等于 C
(B)
A．3 3
2 39 B. 3
26 3
29
C. 3 解析
S＝12bcsin A＝12×1×cD×. s2in 60°＝
3，
∴c＝4.
∴a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝1＋16－2×1×4×12＝13，
第 2 讲三角变换与解三角形
感悟高考明确考向
(2010·陕西)如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3＋ 3)海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/时，该救援船到达 D 点需要多长时间？
2．若 f(sin x)＝3－cos 2x，则 f(cos x)等于( C )
A．3－cos 2x
B．3－sin 2x
C．3＋cos 2x
D．3＋sin 2x
解析 f(sin x) ＝ 3 － cos 2x ＝ 3 － (1 － 2sin2x) ＝ 2 ＋
2sin2x， ∴f(x)＝2＋2x2，∴f(cos x)＝2＋2cos2x＝3＋cos 2x，
题型三正、余弦定理的实际应用例 3 (2009·福建)如图，某市拟在长为
8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 OSM，该曲线段为函数 y＝Asin ωx(A>0，ω>0)， x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为 S(3,2 3)；赛道的后一部分为折线段 MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°. (1)求 A，ω 的值和 M，P 两点间的距离； (2)应如何设计，、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/162022/1/16

2011江苏高考数学全部解析

2011江苏高考数学试卷全部解析-------------------------- 李海林一、填空题1.已知集合{}4,2,1,1-=A ，{}2,0,1-=B ,则=⋂B A 。

解析：答案为{}2,1-。

本题考查了集合的概念和运算，是B 级要求，容易题。

由集合的交集意义得{}2,1-=⋂B A 。

集合复习时要围绕概念及运算加强理解，适当把集合和方程、不等式等结合。

2.函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是。

解析：答案为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21。

本题考查了函数的单调性、对数函数的定义和性质，是B 级要求，容易题。

由012>+x ，得21->x ，所以函数的单调增区间是⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21。

要熟知各类函数的定义、性质，尤其是一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数和幂函数。

3.设复数z 满足i z i 23)1(+-=+，(i 为虚数单位)，则z 的实部是。

解析：答案为1。

本题考查了复数的运算和复数的概念，是B 级要求，容易题。

由i z i 23)1(+-=+得i z i z 31,321+=+=+，所以z 的实部是1。

要熟练掌握复数的概念和运算，复数的几何意义也要了解。

4.根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值为。

解析：答案为3。

本题考查了算法的有关概念和算法中的基本算法语句，是A 级要求，容易题。

08、09和10年都考查了算法流程图，今年考查的基本算法语句与算法流程图都是算法中的基本内容。

算法常与函数、方程、不等式和数列结Read a,b If a>b Then a m ← Else b m ← End If Print m合考查，要熟知基本的算法语句和流程图。

5.从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是。

解析：答案为31。

本题考查了概率的概念和古典概型的概率计算，是B 级要求，容易题。

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第４讲 │ 要点热点探究
要点热点探究
► 探究点一三角函数的最值与变换
例 1 某工人要从一块圆心角为 45°的扇形木板中割出一块一的扇形木板中割出一块一作为桌面，边在半径上的内接矩形 ABCD(如图 2－4－1 所示作为桌面，如图－－所示)作为桌面若扇形的半径为 1 m．求割出的长方形桌面的最大面积及相应的∠ ．求割出的长方形桌面的最大面积及相应的∠ DOA 的值．的值．
第４讲 │ 课本挖掘提升
课本挖掘提升
苏教版必修 4P117 第 14 题如图 2－4－2 所示，某园林单位准备绿化一块直径为－－所示， BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方的半圆形空地，外的地方种草，为一水池，其余的地方种花．形 PQRS 为一水池，其余的地方种花．若 BC＝a，∠ABC＝θ，＝，＝，设△ABC 的面积为 S1，正方形的面积为 S2. (1)用 a，θ 表示 S1 和 S2；用， S1 (2)当 a 固定，θ 变化时，求取最小值时的角 θ. 当固定，变化时， S2
第４讲 │ 三角变换与解三角形
第４讲
三角变换与解三角形
第４讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．关注公式的变形运用． sin2α＋cos2α＝ 1 的变形：＝ sin2α＋cos2α； 2α＝1－cos2α； 2α 1＝ sin ＝－ cos ＋＝的变形：＋；；＝ 1－sin2α；sinα＝± 1－ cos2α；cosα＝± 1－sin2α. －；＝－；＝－ sinα sinα tanα＝的变形： . ＝的变形： sinα＝cosαtanα；cosα＝＝；＝ cosα tanα 升 (降)幂公式：sin2α＝降幂公式：＝幂公式 sin2α；；辅助角公式：辅助角公式：asinα＋bcosα＝ a2＋ b2sin(α＋φ)(φ 由 a，b 具体的＋＝＋，值确定)；值确定；正切公式的变形：正切公式的变形： tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanα·tanβ)．＋＝＋－． 1－ cos2α － 1＋ cos2α ＋ 1 ，cos2α＝＝，sinαcosα＝＝ 2 2 2
第４讲 │ 主干知识整合
3．余弦定理．形式一： a2 ＝ b2 ＋ c2 － 2bc·cosA ， b2 ＝ a2 ＋ c2 － 2ac·cosB，c2＝ a2＋ b2－ 2ab·cosC；，； b 2 ＋ c2 － a 2 a2＋ c2－ b2 形式二：形式二： cosA＝＝， cosB＝＝， 2bc 2ac a 2 ＋ b 2 － c2 cosC＝ .(角到边的转换角到边的转换) ＝角到边的转换 2ab 主要解决以下两类问题：一是已知三边，主要解决以下两类问题：一是已知三边，求三个唯一解)；角 (唯一解；二是已知两边和它们的夹角，求第三边和唯一解二是已知两边和它们的夹角，其他两个角．唯一解唯一解) 其他两个角． (唯一解
第４讲 │ 要点热点探究
► 探究点二三角形中的三角函数
已知△ 例 2 已知△ABC 中，a、b、c 是三个内角 A、B、C 的、、、、对边，的解集是空集．对边，关于 x 的不等式 x2cosC＋4xsinC＋6<0 的解集是空集．＋＋ (1)求角 C 的最大值；求角的最大值； 7 3 (2)若 c＝，△ABC 的面积 S＝ 3，求当角 C 取最大若＝＝， 2 2 值时 a＋b 的值．＋的值．
2π －x. 4sin 3
因为 y＝AB＋BC＋AC，＝＋＋，所以 2
2π 30<x< ， 3
2π y＝4sinx＋4sin －x＋＝＋ 3
第４讲 │ 要点热点探究
(2) 因为 y ＝ 4
π ＋ sinx＋6＋2
图 2－ 4－ 2 －－
第４讲 │ 课本挖掘提升
解答】【解答】 (1)∵ AC＝ asinθ， AB＝acosθ， ∵ ＝，＝， 1 2 1 2 ∴ S1＝ a sinθcosθ＝ a sin2θ. ＝ 2 4 设正方形的边长为设正方形的边长为 x. 则 BQ＝ xcotθ， RC＝ xtanθ，＝，＝， xcotθ＋ x＋ xtanθ＝ a， ∴ xcotθ＋ x＋ xtanθ＝ a， asinθcosθ asin2θ a . ∴ x＝＝＝＝ cotθ＋ tanθ＋ 1 1＋ sinθcosθ 2＋ sin2θ ＋＋＋＋
第４讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)△ABC 的内角和 A＋B＋C＝π， △ ＋＋＝， 2π π 由 A＝，B>0，C>0 得 0<B< . ＝， 3 3 应用正弦定理，应用正弦定理，知 BC 2 3 BC AC ＝ sinB ＝ π sinx＝ 4sinx， AB ＝ sinC＝＝，＝ sinA sinA sin 3
π α π 的倍角；的半角等．当然变换形式不唯一，视为 2 的倍角； 4 ±α 可视为2±2α 的半角等．当然变换形式不唯一，
应因题而异．应因题而异．
第４讲 │ 规律技巧提炼
3．解题前要善于分析题目中所给式子的结构，掌握．解题前要善于分析题目中所给式子的结构的结构，结构的特点，通过降幂、升幂、常数代换等手段，结构的特点，通过降幂、升幂、常数代换等手段，为使用公式创造条件，这是三角变换的重要策略．用公式创造条件，这是三角变换的重要策略． 4．．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角” 这时应结合 “ 三角形中大边对大角 ” 定理及几何作图来帮助理解．帮助理解． 5．用正(余 )弦定理解三角形问题可适当应用向量的．用正余弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形的内角，应用向量的模求三角形的边长．数量积求三角形的内角，应用向量的模求三角形的边长．
第４讲 │ 要点热点探究
1 3 3 (2)当 C＝60°时， S△ ABC＝ absinC＝ ab＝ 3，当＝时＝＝， 2 4 2 ∴ ab＝6，＝，由余弦定理得 c2 ＝ a2 ＋ b2 － 2abcosC＝ (a＋ b)2 －＝＋ 2ab－2abcosC，－， 121 11 2 2 ∴ (a＋b) ＝ c ＋ 3ab＝＋＝， ∴ a＋b＝ . ＋＝ 4 2
第４讲 │ 主干知识整合
主要解决以下两类问题：主要解决以下两类问题：一是已知两角和任一边，求其他两边和一角(唯一一是已知两角和任一边，求其他两边和一角唯一解 )；二是已知两边和其中一边的对角，求另一边的对；二是已知两边和其中一边的对角，从而进一步求出其他的边和角)．角(从而进一步求出其他的边和角．若给出 a，b，A，从而进一步求出其他的边和角，，，那么解的个数为：无解那么解的个数为：无解(a<bsinA)；一解＝bsinA 或者；一解(a＝ a≥b)；两解 ≥ ；两解(bsinA<a<b)；；
第４讲 │ 主干知识整合
2．正弦定理：．正弦定理： a b c 形式一：形式一：＝＝＝ 2R；； sinA sinB sinC a b c 形式二：形式二：sinA＝，sinB＝，sinC＝；(角到＝＝＝角到 2R 2R 2R 边的转换) 边的转换形式三：＝形式三： a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，c＝2R·sinC；，＝，＝； (边到角的转换边到角的转换) 边到角的转换 1 1 1 形式四：＝形式四： S＝ absinC＝ bcsinA＝ acsinB.(求三角＝＝求三角 2 2 2 形的面积) 形的面积
第４讲 │ 要点热点探究
【点评】本题先设出恰当的角度，构造函数解析点评】本题先设出恰当的角度，式，运用三角变换求得结果．三角变换是解决化简、求运用三角变换求得结果．三角变换是解决化简、值、证明等问题的重要手段，而实施三角变换的切入点证明等问题的重要手段，主要有三个，即角度、名称、结构．主要有三个，即角度、名称、结构．解题时注意角度的范围，即函数的定义域．范围，即函数的定义域．
1．应用诱导公式时，重点是函数名称和正负号的判断，如果．应用诱导公式时，重点是函数名称和正负号的判断，的形式时，进行分类讨论，出现 kπ±α 的形式时，需要对 k 进行分类讨论，以确定三角函数值的符号．的符号． 2．三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角．因．三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角．此看准角与角的关系十分重要．哪些角消失了，哪些角变化了，结此看准角与角的关系十分重要．哪些角消失了，哪些角变化了，论中是哪个角，条件中有没有这些角，论中是哪个角，条件中有没有这些角，在审题中必须认真观察和分常见的变角方式有：析．常见的变角方式有： α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；2α－β＝(α－β)＋α；α 可＝＋－；＝＋＋－；－＝－＋；
＋ sinx＋
3 1 cosx＋ sinx ＋ 2 3 ＝ 4 3 ＋ 2 2
3，，
π π 5π π π π 所以，又 <x＋ < ，所以，当 x＋＝，即 x＝时，y 取得＋＋＝ 6 6 6 6 2 3 最大值 6 3.
第４讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
asin2θ a2sin22θ . ∴ S2＝ 2＋ sin2θ2＝＋ 4＋ sin22θ＋ 4sin2θ ＋＋
图 2－ 4－ 1 －－
第４讲 │ 要点热点探究