2017-2018年江苏省镇江市高一上学期期末数学试卷与答案Word版

2017-2018学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷规定的横线上）1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|﹣3≤x≤2}，则A∩B=．2．（5分）若函数y=cos（ωx﹣）（ω＞0）最小正周期为，则ω=．3．（5分）函数y=+lg（3﹣x）的定义域为．4．（5分）已知幂函数f（x）满足f（2）=8，则f（﹣2）=．5．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为．6．（5分）函数f（x）=2sin（2x+）在[0，π]上的减区间为．7．（5分）将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，所得函数图象关于原点对称，则φ=．8．（5分）方程（）x=|lnx|的解的个数为．9．（5分）直径为20cm的轮子以45rad/s（弧度/秒）的速度旋转，则轮周上一点5s内所经过的路程为cm．10．（5分）点P（sin）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为．11．（5分）函数f（x）=|tanx|﹣cosx的定义域为[]，则其值域为．12．（5分）已知α为锐角，且sinαtanα=，则的值为．13．（5分）计算=．14．（5分）已知m∈R，函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣m 有3个不同的零点，则实数m的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知角α终边在第四象限，与单位圆的交点A的坐标为（，y0），且终边上有一点P到原点的距离为．（1）求y0的值和P点的坐标；（2）求tan（α﹣3π）cos（π﹣2α）+cos（+2α）的值．16．（14分）已知α，β为锐角，cos，sin（α﹣β）=．（1）求tan2α；（2）求β．17．（14分）已知函数f（x）=4x﹣a•2x﹣6，a∈R，且为常数．（1）当a=5时，求函数y=f（x）的零点；（2）当x∈[0，2]，恒有f（x）＞0，求实数a的取值范围．18．（16分）已知函数f（x）=x3﹣2x．（1）求函数y=f（x）的奇偶性；（2）证明y=f（x）在（0，1）上为单调减函数，在（1，+∞）为单调增函数；（3）判断方程f（x）=﹣的解的个数，并求其最小正数解的近似值x0（精确到0.1）．19．（16分）如图，政府有一个边长为400米的正方形公园ABCD，在以四个角的顶点为圆心，以150米为半径的四分之一圆内都种植了花卉．现放在中间修建一块长方形的活动广场PQMN，其中P、Q、M、N四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记∠QBC=α，长方形活动广场的面积为S．（1）请把S表示成关于α的函数关系式；（2）求S的最小值．20．（16分）已知b∈R，b为常数，函数f（x）=x2﹣bx+b﹣1．（1）求关于x的不等式f（x）≥0的解集；（2）若函数F（x）=|f（x）|﹣（x）﹣有两个不同的零点，求实数b的取值范围；（3）对于给定的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），证明：关于x的方程f （x）=[f（x1）+2f（x2）]在区间（x1，x2）内有且仅有一个实根．2017-2018学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷规定的横线上）1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|﹣3≤x≤2}，则A∩B=（1，2] ．【解答】解：∵集合A={x|x＞1}，B={x|﹣3≤x≤2}，∴A∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故答案为：（1，2]．2．（5分）若函数y=cos（ωx﹣）（ω＞0）最小正周期为，则ω=6．【解答】解：∵f（x）=cos（ωx﹣）的最小正周期为，∴函数的周期T==，∴解得ω=6．故答案为：6．3．（5分）函数y=+lg（3﹣x）的定义域为[﹣2，3）．【解答】解：由，解得﹣2≤x＜3．∴函数y=+lg（3﹣x）的定义域为：[﹣2，3）．故答案为：[﹣2，3）．4．（5分）已知幂函数f（x）满足f（2）=8，则f（﹣2）=﹣8．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，α∈R，由f（2）=8，∴2α=8，解得α=3，∴f（x）=x3；∴f（﹣2）=（﹣2）3=﹣8．故答案为：﹣8．5．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3} ．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3=0的实数根是x1=﹣1，x2=3；∴不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，故答案为：{x|﹣1＜x＜3}，6．（5分）函数f（x）=2sin（2x+）在[0，π]上的减区间为[，] ．【解答】解：对于函数f（x）=2sin（2x+），令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．再根据x∈[0，π]，可得函数的减区间为[，]，故答案为：[，]．7．（5分）将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，所得函数图象关于原点对称，则φ=．【解答】解：函数y=3sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到函数解析式为y=3sin[2（x+φ）+]=3sin（2x+2φ+），∵新函数的图形关于原点对称，∴y=3sin（2x+2φ+）是奇函数，∴2φ+=π+2kπ，解得φ=，k∈Z．∵0＜φ＜，∴φ=．故答案为：．8．（5分）方程（）x=|lnx|的解的个数为2．【解答】解：方程（）x=|lnx|的解的个数即为函数y=（）x与y=|lnx|的图象交点的个数在同一坐标系中画出函数y=（）x与y=|lnx|的图象如下图所示由图可得函数y=（）x与y=|lnx|的图象有2个交点．故方程（）x=|lnx|的解有2个．故答案为：2，9．（5分）直径为20cm的轮子以45rad/s（弧度/秒）的速度旋转，则轮周上一点5s内所经过的路程为2250cm．【解答】解：轮周上一点5s内所经过的路程=45×5×10=2250cm，故答案为：2250．10．（5分）点P（sin）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为．【解答】解：∵点P（sin）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则cosθ=sin=，sinθ=﹣cos=﹣，∴θ=2π﹣=，故答案为：．11．（5分）函数f（x）=|tanx|﹣cosx的定义域为[]，则其值域为[﹣1，1﹣] ．【解答】解：当x∈[﹣，0]时，f（x）=|tanx|﹣cosx=﹣tanx﹣cosx，该函数在[﹣，0]上为减函数，则f（x）∈[﹣1，1﹣]；由f（﹣x）=|tan（﹣x）|﹣cos（﹣x）=|tanx|﹣cosx=f（x），可知f（x）为偶函数，∴当x∈[0，]时，f（x）∈[﹣1，1﹣]．∴函数f（x）=|tanx|﹣cosx（x∈[]）的值域为[﹣1，1﹣]．故答案为：[﹣1，1﹣]．12．（5分）已知α为锐角，且sinαtanα=，则的值为﹣7．【解答】解：α为锐角，且sinαtanα=，则：，整理得：20cos2α+9cosα﹣20=0，解得：或（负值舍去），故：．则：==﹣7，故答案为：﹣713．（5分）计算=．【解答】解：===．故答案为：14．（5分）已知m∈R，函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣m 有3个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，3] ．【解答】解：画出函数y=f（x）=，与y=m的图象，如图所示：∵函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有3个交点，由图象可得m的取值范围为（0，3]，故答案为：（0，3]．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知角α终边在第四象限，与单位圆的交点A的坐标为（，y0），且终边上有一点P到原点的距离为．（1）求y0的值和P点的坐标；（2）求tan（α﹣3π）cos（π﹣2α）+cos（+2α）的值．【解答】解：（1）∵角α终边在第四象限，与单位圆的交点A的坐标为（，y0），且终边上有一点P到原点的距离为，∴=1，∴y0=﹣，或y0=（不合题意，舍去），故有y0=﹣．设点P（a，b），a＞0，b＜0，则根据tanα==﹣2=，=，求得a=1，b=﹣2，故有点P的坐标为（1，﹣2）．（2）求tan（α﹣3π）cos（π﹣2α）+cos（+2α）=tanα•（﹣cos2α）+sin2α=﹣tanα•+=﹣tanα•+=﹣2×+=2．16．（14分）已知α，β为锐角，cos，sin（α﹣β）=．（1）求tan2α；（2）求β．【解答】解：（1）∵α为锐角，cos，∴sinα=，则tanα=．∴tan2α=；（2）∵α，β为锐角，∴＜α﹣β＜，又sin（α﹣β）=，∴cos（α﹣β）==．∴sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=，∴β=．17．（14分）已知函数f（x）=4x﹣a•2x﹣6，a∈R，且为常数．（1）当a=5时，求函数y=f（x）的零点；（2）当x∈[0，2]，恒有f（x）＞0，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=5时，f（x）=4x﹣5×2x﹣6，设t=2x，t＞0，∴g（t）=t2﹣5t﹣6，令g（t）=t2﹣5t﹣6=0，解得t=6或t=﹣1，∴2x=6，∴x=log26；（2）由（1）可得g（t）=t2﹣at﹣6，且t∈[1，4]，其对称轴为t=，当t≤1时，g（t）在[1，4]上单调递增，f（x）min=g（t）min=f（1）=1﹣a﹣6＞0，解得a＜﹣5，当t≥4时，g（t）在[1，4]上单调递减，f（x）min=g（t）min=f（4）=16﹣4a﹣6＞0，解得a＜﹣，当1＜t＜4时，f（x）min=g（t）=g（）=﹣﹣6＜0，即a2+24＞0恒成立，综上所述a的取值范围a＜﹣518．（16分）已知函数f（x）=x3﹣2x．（1）求函数y=f（x）的奇偶性；（2）证明y=f（x）在（0，1）上为单调减函数，在（1，+∞）为单调增函数；（3）判断方程f（x）=﹣的解的个数，并求其最小正数解的近似值x0（精确到0.1）．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=x3﹣2x，则f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）=﹣（x3﹣2x）=﹣f（x），则函数为奇函数；（2）根据题意，设0＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=（x13﹣2x1）﹣（x23﹣2x2）=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22﹣3），又由0＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）＞0，则在（0，1）上为单调减函数；再设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x13﹣2x1）﹣（x23﹣2x2）=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22﹣3），又由1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＜0，则在（1，+∞）上为单调增函数；（3）根据题意，方程f（x）=﹣，即x3﹣2x=﹣，设g（x）=x3﹣2x+，g（﹣2）=﹣＜0，g（﹣1）=＞0，则函数在区间（﹣2，﹣1）上有零点，g（0）=＞0，g（1）=﹣＜0，则函数在区间（0，1）上有零点，g（2）=＞0，则函数在区间（1，2）上有零点，则函数g（x）有三个零点，其最小正数解在（0，1）中，g（）=﹣＜0，其最小正数解在（0，）中，g（）=﹣＜0，其最小正数解在（0，）中，g（）=＞0，其最小正数解在（，）中，g（）＜0，其最小正数解在（，）中，此时﹣=＜0.1，符合题意，即g（x）的最小正数解的近似值约为0.15；则方程f（x）=﹣的最小正数解的近似值x0=0.15．19．（16分）如图，政府有一个边长为400米的正方形公园ABCD，在以四个角的顶点为圆心，以150米为半径的四分之一圆内都种植了花卉．现放在中间修建一块长方形的活动广场PQMN，其中P、Q、M、N四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记∠QBC=α，长方形活动广场的面积为S．（1）请把S表示成关于α的函数关系式；（2）求S的最小值．【解答】解：（1）∠QBC=α，如图所示，在直角三角形BQE中，BE=150cosα，QE=150sinα，0≤α≤，可得矩形PQMN的PQ=400﹣300sinα，QM=400﹣300cosα，则S=PQ•QM=（400﹣300sinα）（400﹣300cosα）=10000（4﹣3sinα）（4﹣3cosα），α∈[0，]；（2）由（1）知，S=10000[16﹣12（sinα+cosα）+9sinαcosα]，设t=sinα+cosα=sin（α+），则≤α+≤，可得1＜t≤，sinαcosα=，可得S=10000[16﹣12t+（t2﹣1）]=5000[9（t﹣）2+7]，当t=∈[1，]，S取得最小值5000×7=35000m2．20．（16分）已知b∈R，b为常数，函数f（x）=x2﹣bx+b﹣1．（1）求关于x的不等式f（x）≥0的解集；（2）若函数F（x）=|f（x）|﹣（x）﹣有两个不同的零点，求实数b的取值范围；（3）对于给定的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），证明：关于x的方程f （x）=[f（x1）+2f（x2）]在区间（x1，x2）内有且仅有一个实根．【解答】解：（1）x2﹣bx+b﹣1≥0，即（x﹣1）（x﹣b+1）≥0，当b=2时，x∈R；当b＞2时，x∈（﹣∞，1]∪[b﹣1，+∞）；当b＜2时，x∈（﹣∞，b﹣1]∪[1，+∞）；（2）函数F（x）=|f（x）|﹣f（x）﹣有两个不同的零点，f（x）≥0，即﹣≥0不满足题意；f（x）≤0可得y=2f（x）（f（x）≤0）与有两个交点，可得2•＜﹣，解得b＜1或b＞3；（3）证明：对于给定的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），关于x的方程f（x）=[f（x1）+2f（x2）]，可设，H（x1）H（x2）=（f（x1）﹣f（x2））•（f（x2）﹣f（x1））=﹣（f （x 1）﹣f （x 2））2＜0， 且H （x ）在（x 1，x 2）单调，可得关于x 的方程f （x ）=[f （x 1）+2f （x 2）]在区间（x 1，x 2）内有且仅有一个赠送—高中数学知识点【 1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．yxo（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．实根．。