线性系统原理

d11(s) d21(s) d22 (s) DH (s) = M M O d p1(s) d p2 (s) L d pp (s)
d L11(s) d L12 (s) L d L1q (s) d L22 (s) L d L2q (s) DLH (s) = O M d Lqq (s)
−1
为G(s)的任意两个不可简
约右MFD 必存在：D1(s) = D2(s)U(s)， N1(s) = N2(s)U(s) 所以D1(s)和D2(s)具有相同的列埃尔米特形 D 导出
−1 −1 −1
H
(s)
。
−1
N 1(s) D1 (s) = N 1H (s) D H (s), N 2(s) D 2 (s) = N 2 H (s) D H (s)
9.1 史密斯-麦克米伦形
实质：有理分式矩阵的一种重要的规范型， 是在多项式矩阵的史密斯型基础上提出的。 作用：为定义和分析多输入多输出线性时不 变系统传递函数矩阵的极点和零点提供重 要概念性和理论性工具。
9.1 史密斯-麦克米伦形
史密斯-麦克米伦形及其构造原理
结论9.1 G(s)为q×p有理分式矩阵， rankG(s)=r≤min{q，p}，则必存在q×q和p×p单 模矩阵U(s)和V(s)，使
C.将上式等式两边乘以1/d(s)，可以导出
s 2 2 (s +1) (s + 2) Λ( s) M (s) = = U ( s)G ( s)V ( s) = d ( s) 0 2 2 ( s + 2) s (s +1) 2 2 (s +1) (s + 2) 0
导出任一不可简约MFD： ( s) = N ( s) D −1 ( s ) G
D (s ) 列既约？ Y D(s) = D(s), N(s) = N (s)
N
D(s) = D (s)V (s)为列既约 , N (s) = N (s)V (s)
化多项式矩阵为波波夫形，确定DE(s) 计算NE(s) = G(s)DE(s)，则所要求波波夫形 即为NE(s)DE-1(s)
ε i ( s) det G ( s ) = α ∏ ψ i (s)
令M(s)=U(s)G(s)V(s)为史密斯-麦克米伦形，则M(s) 的一个右MFD可表为
M ( s ) = E ( s )Ψ −1 ( s )
ε1(s) ψ1(s) O 0 O 0 , Ψ(s) = E(s) = ε r (s) ψ r (s) 0 0(q−r)×( p−r) 0 I p−r
B.取单模阵对｛U(S),V(S)｝
2 1 0 1 − (s +1) ,V ( s) = U ( s) = 2 (s +1) 1 0 1
化N(s)为史密斯形
Λ ( s ) = U ( s ) N ( s )V ( s )
2 1 0 s s(s +1) 1 −(s +1) 2 = 2 2 2 (s +1) 1 − s 1 (s +1) − s(s +1) 0 0 s = 2 0 s 2(s +1) ( s + 2)
谢谢
(s ε1 (s ) ψ ( s ) 1 0 O U ( s )G ( s )V ( s )∆M ( s ) = ε r (s) ψ r (s) 0 0
其中，{εi(s)，ψi(s)}为互质，且满足整除性ψi+1(s)|ψi(s)和 εi(s)|εi+1(s)。M(s)为传递函数矩阵G(s)的史密斯-麦克米 伦形。 史密斯-麦克米伦形的基本特性 对于给定的G(s)，其史密斯-麦克米伦形M(s)是唯一的。 但是单模阵对{U(s)，V(s)}则不是唯一的； 即使G(s)是严格真的，其史密斯-麦克米伦形M(s)也可 能不是真的。即单模阵对{U(s)，V(s)}的引入，会可能 附加引入乘子sk； 如果G(s)为方的且非奇异，α为非零常数，则必成立
N 1H (s) = N 1(s) D1 (s) D H (s) = N 2(s) D 2 (s) D H (s) = N 2 H (s)
−1 −1 −1
得到 基于 N 1H ( s) = N 2 H ( s) = N H (s)
−1
−1
N 1(s) D1 (s) = N 2(s) D 2 (s) = N H (s) D H (s)
其中
当取 N(s) = U-1(s)E(s)，D(s) = V(s)Ψ(s) 时，N(s)D-1(s)为G(s)的一个不可简约右MFD。
例题分析
导出2×2严真有理分式矩阵G(s)的史密斯-麦克米伦型： s s G(S)= (s +1) (s + 2) (s + 2)
2 2 2
线性系统理论
8.6 规范矩阵分式描述 9.1 史密斯-麦克米伦型
埃尔米特形MFD
给定q×p传递函数矩阵G(s)，则称NH(s)DH-1(s)为 它的列埃尔米特形MFD，如果DH(s)具有列埃 尔米特形。而称DLH-1(s)NLH(s)为G(s)的行埃尔 米特形MFD，如果DLH(s)具有行埃尔米特形。

结论8.31：给定传递函数矩阵G(s)的所有不 −1 ( s ) D H ( s ) ，均具有相同的 可简约右MFD N H 列埃尔米特形MFD，G(s)的所有不可简约 左MFD，均具有相同的行埃尔米特形MFD
D
−1 LH
( s ) N LH ( s )
证明：N 1(s) D1 ( s)
−1
和
N 2( s ) D 2 ( s )
D.消去上式中各对角元有理分式的公因子，就即得到G(s)的 史密斯-麦克米伦形M(s):
s 2 2 (s +1) (s + 2) M ( s ) = U ( s )G ( s )V ( s ) = 0
0
s (s + 2)
2

结论： 由上式可以看出，得出的史密斯-麦克米伦形M(s) 不再保持为严重。

−
s
(s + 2)
2
− 2 (s + 2) s
解：A.定出G(S)各元有理分式最小公分母d(s)和相应分子 多项式矩阵N(S)，有： d(s)= (s +1) ，+ 2) (s
2 2
N(s)=
2 s s(s +1) 2 2 − s(s +1) − s(s +1)
证明完成
波波夫形MFD
给定q×p传递函数矩阵G(s)，称NE(s)DE-1(s) 为它的波波夫形右MFD，如果DE(s)具有波 波夫形。而称DLE-1(s)NLE(s)为波波夫形左 MFD，如果DLE(s)具有波波夫形。
结论8.32：给定传函矩阵G(s)的所有不可简约右MFD， 均具有相同的波波夫形右MFD NE(s)DE-1(s)；G(s)的 所有不可简约左MFD，均具有相同的波波夫形左 MFD DLE-1(s)NLE(s) 。