2018届高考数学二轮复习特值压缩法求解参数取值范围学案含答案(全国通用)

特值压缩法求解参数取值范围
例题：已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和()y g x =曲线都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+． （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值
（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围． 解：（Ⅰ）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====， 而()f x '=2x b +，()g x '=()x e cx d c ++，∴a =4，b =2，c =2，d =2；……4分
（Ⅱ）解法一：按部就班分类讨论
由（Ⅰ）知，2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+，
设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），
()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-，
有题设可得(0)F ≥0，即1k ≥，
令()F x '=0得，1x =ln k -，2x =－2，
（1）若21k e ≤<，则－2＜1x ≤0，
∴当1(2,)x x ∈-时，()F x ＜0，当1(,)x x ∈+∞时，()F x ＞0， 即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，
故()F x 在x =1x 取最小值1()F x ，
而1()F x =2
1112242x x x +---=11(2)x x -+≥0，
∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立，
(2)若2k e =，则()F x '=222(2)()x e x e e +-，
∴当x ≥－2时，()F x '≥0，
∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0，
∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立，
(3)若2k e >，则(2)F -=222ke --+=222()e k e ---＜0，
∴当x ≥－2时，()f x ≤()kg x 不可能恒成立，
综上所述，k 的取值范围为[1,2e ].
解法二：特值压缩法
特值压缩法就是先把自变量的某个特殊值代入不等式，求得参数的取值范围，这个范围一般比对任意自变量值成立的参数范围要大一些，但是对于某些特殊题目，这两个范围是一致的．
特值法先压缩参数范围，可以大大减少讨论参数的步骤，但它毕竟是一个特殊方法，不被重视．当然也不具备一般性，但对于一些题目可以减少讨论步骤．
设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），
由2202(2)2(21)(2)4(2)20(0)2(01)04020F ke F ke -⎧-=-+---⨯--≥⎨=+--⨯-≥⎩
得 2220220
ke k -⎧-+≥⎨-≥⎩得21k e ≤≤， ()2[(1)]242(2)(1)x x x F x k e x e x x ke '=++--=+-，
当21k e ≤≤时，由()2(2)(1)0x F x x ke '=+-= 得211[,1]ln [2,0]x e e x k k
-=∈⇒=∈-，
当2k e =时，显然当2x ≥-时，()0F x '≥，()f x 为增函数，
从而()(2)0F x f ≥-=，
当21k e ≤<时，则1ln (2,0]k ∈-，所以 当1(2,ln )x k ∈-时，()0F x '<，()F x 为减函数， 当1(ln ,)x k
∈+∞时，()0F x '<，()F x 为增函数，
所以()F x 的最小值为1ln 21111(ln )2(ln 1)(ln )4(ln )2k F ke k k k k =+--- 22111112(ln 1)(ln )4(ln )2(ln )2ln k k k k k
=+---=-- 2211(ln )2ln (ln )2ln (2ln )(ln )0k k k k k k
=--=-+=-≥， 所以求k 的取值范围是21k e ≤≤.
必须注意，用特值法得到参数的取值范围即使恰好为问题的答案，也必须证明在这个范围内对题设所要求的任意自变量成立。