第二十三章逻辑

第二十三章
简单的逻辑推理
一、知识要点及基本方法
1．逻辑推理问题的认识
逻辑推理问题是根据题目的条件，进行分析、推理，作出正确的判断，从而得出问题的答案的题目。

这类问题，题目的条件往往不是数字、算式或图形，而且一般给出的已知条件也较多，有一定的隐蔽性和迷惑性。

解答这类问题，不是进行许多的计算、分析数量关系或图形的变换得出答案和结论，没有一定的解题模式。

但是，只要认真研究，细心推理，就能正确地解答这类逻辑推理问题。

2．解答逻辑推理问题的基本方法
解答逻辑推理问题的方法一般有两种，一种是直接推理，就是从已知的条件出发，运用一些简单的逻辑推理逐步推理出正确的答案。

一种是间接推理，就是先假设一个结果，然后利用已知的条件和客观规律推理出矛盾，从而否定假设。

在解答较复杂的逻辑推理问题时，也可以是以上两种方法交替使用。

（1）四条基本规律
同一律：指的是在同一论证过程中，每一个概念和判断
是应具有同一种意义。

矛盾律：指的是在同一论证过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断至少有一个错误的，即两个互相矛盾的判断不能同时成立。

排中律：指的是在同一论证过程中，对同一对象互相否定的两个判断中，有一个且只有一个是正确。

理由充足律：指的是在同一论证过程中，正确的判断必须有充足的理由。

（2）常用的方法有：假设法、排除法、枚举法、直接推理法、列表法、图示法等，较复杂的题往往多种方法交替使用。

二、例题精讲
例1 打靶选手小李和小张各打三次，成绩如下：1、2、4、5、7、9，如果小李的总环数比小张的总环数多6环，那么，哪几次是小李打的？
分析解题由条件可以求出小李和小张一共打的环数是1+2+4+5+7+9=28（环），又已知小李的总环数比小张的总环数多6环，可以运用“和差”问题的方法求得：小李的总环数为（28+6）÷2=17（环），由于小李打了三次，很容易看出题中只有1+7+9=17，所以成绩为1、7、9的三次是小李打的。

例2 王雨和丁一出生在同一年，生日相差一天，王雨出生那天的日数与前一天的日数之和是55，丁一出生那天的日数与后一天的日数之和是30。

问：他们的生日分别是几月几日？
分析解题由条件“王雨出生那天的日数与前一天的日数这和是55”，而出生那天的日数与前一天的日数之间只相差1，也就是说，两个相邻的自然数的和应是55，易知27+28=55，因此，王雨出生在28日。

根据条件“王雨和丁一出生在同一年，生日相差一天”和王雨出
生在28日，可以知道丁一出生在27日或29日。

如果丁一出生在27日，则他出生后一天为28日，而27+28=55，与题中已知条件“丁一出生那天的日数与后一天的日数这和是30”矛盾。

如果丁一出生在29日，由条件“丁一出生在那天的日数与后一天的日数之和是30”可知，他出生的后一天为1日，应是某个月的第一天，从而可知丁一出生那天应是前个月的最后一天，而只有闰年的2月最后一天是29日，所以丁一的生日是2月29日。

因为“王雨和丁一出生在同一年，生日相差一天”，所以王雨的生日是2月28日。

例3 甲乙丙丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都比赛一盘。

到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘，问小强已经赛了几盘？
解题分析可以画一个简单的图帮助思考，图中用5个点表示5个人，如果两个人已经赛过一盘，就在相应的两个点之间连一条线，否则就不连线。

解：甲已经赛了4盘，所以甲与其他4点都连线。

丁赛了1盘，只应连1条线，也就是图中甲、丁的连线。

丁不与其他点相连。

乙赛了3盘，应连3条线，但丁不与乙相连，所以乙与甲丙丁小强都相连。

丙赛了2盘，应连2条线，即图中甲丙的连线，乙、丙的连线，丙不与小强相连。

因此小强只连两条线，即赛了2盘。

例 4 某工厂为了表扬好人好事核实一件事。

厂方找了A、B、C 三人。

A说：“是B做了的。

”B说：“不是我做的。

”C说：“不是我做的。

”这三人中只有一人说了实话。

问这件好事是谁做的？
解题分析注意条件：“这三人中只有一人说了实话。

”可以假定其中一个说了实话，然后看是否产生矛盾。

如果产生矛盾，就说明这个人说了假话。

解：假定A说的是实话，那么好事是B做的。

这时，C说的也是实话。

与“只有一个人说了实话”矛盾。

所以A说的不是实话。

好事不是B做的。

好事不是B做的，所以B说的是实话。

这时C说的不是实话（因为只有一个人说实话）。

因而与C说的相反，好事是C做的。

例5 一天，六年级数学竞赛刚结束，甲乙丙三位同学就预测名次：甲说：“小明第一，小丽第三。

”
乙说：“小强第一，小红第四。

”
丙说：“小红第二，小明第三。

”
竞赛结果公布后，甲乙丙三人所说的四位同学分别获第一、第二、第三和第四名，但三位同学的预测，每人只说对了一半。

请你猜
一猜，这次竞赛的前四名的排列顺序如何？
解题分析这是一个排序问题，仍然可用假设的方法。

解：假设甲预测的“小明第一”是对的，则丙预测的“小明第三”是错的，而“小红第二”是对的，从而乙预测的“小红第四”就是错的，小强第一是对的。

这样出现了两个第一名，矛盾。

因此原来的假设不成立。

甲预测的“小丽第三”是对的，从而丙说的“小明第三”是错的，“小红第二”是对的，乙说的“小红第四”是错的，“小强第一”是对的，因此，小明只能是第四。

例6 在一次射击练习中，甲乙丙三位战士每人打了四发子弹，全部中靶，其命中情况如下：
（1）每人四发子弹所命中的环数各不相同；
（2）每人四发子弹所命中的环数均为17环；
（3）乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另两发命中的环数与丙其中两发一样；
（4）甲与丙只有一发环数相同；
（5）每人每发子弹的最好成绩不超过7环。

问：甲与丙命中的相同环数是几？
分析解题由条件每人打了四发子弹全部中靶及（1）（2）（5）得：17=7+6+3+1=7+5+4+1=7+5+3+2=6+5+4+2，所以中靶情况只有四种。

由条件（3）（4），我们可以得到下表：
从表中可以看出，有7种不同的命中环数，即1至7环都有人命中过，且没有一种环数三人同时命中。

而上述四种中靶情况中，7环和5环都出现过三次，所以7环和5环各应去掉一次，也就是说7+5+3+2这种情况不存在。

这样中靶情况只有三种，即（1）7+6+3+1、（2）7+5+4+1、（3）6+5+4+2，而其中（2）7+5+4+1中各有两个数分别与（1）（3）相同。

所以（2）7+5+4+1是乙命中环数的情况；（1）7+6+3+1、（3）6+5+4+2分别是甲、丙命中环数的情况，可以看出甲与丙命中的相同环数是在。

所以甲与丙命中的相同环数是6。

练习题
1．林红是1990年某月31日出生的，如果她出生的年数、月数、日数之和的个位数字是2，那么林红出生在哪个月？
2．打靶选手小李和小张各打三次，成绩如下：1、2、4、5、7、9环，如果小李的总环数是小张的总环数乘以3，那么，哪几次
是小张打的？
3．现有红、黄、绿三种颜色的气球若干个，李明每次打靶总不落空。

规定：打中红色气球得1分，打中黄色气球得4分，打中
绿色气球得13分。

如果李明行9分，那么，他打中了几个气球？
分别是什么颜色？
4．10个好朋友彼此住得很远，又没有电话，只能靠写信互通消息。

这10个人每人知道一条好消息（这10个人各自知道的好消息
不同），为让这10个人都知道所有好消息，他们至少让邮递员
送几封信？
5．小王、小张和小李在一起，一位是工人，一位是农民，一位是战士。

已知：（1）小李比战士年纪大；（2）小王和农民不同岁；
（3）农民比小张年纪小。

问：谁是工人，谁是农民，谁是战士？6．某楼住着4个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的
女孩比最小的男孩也大4岁，最大的男孩多少岁？
7．七名学生参加羽毛球比赛，每两个人都要赛一场，胜者得2分，负者得0分，比赛结果，第二名和第五名都是两人并列。

问：
第一名和第四名各得多少分？
8．某地质学院三名学生对一种矿石进行分析：
甲判断：不是铁，不是铜；
乙判断：不是铁，而是锡；
丙判断：不是锡，而是铁。

经化验证明，有一个判断完全正确，有一人只说对了一半，另
一个完全说错，谁说对了一半？
9．小东、小兰、小英读书的学校是一小、二小、三小，他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动，但谁爱哪项运动，
在哪个学校读书还不清楚，只知道：
（１）小东不在一小；（２）小兰不在二小；爱好排球的不在
三小；（４）爱好游泳的在一小；（５）爱好游泳的不是小兰。

你能帮助弄清楚他们各自读书的学校和爱好的运动项目吗？
10．有A、B、C三个盒子，一个盒子中装着糖，另外两个盒子中装着石子。

盒子上写着字。

A盒上：“这里装石子”。

B盒上：“这
里装着糖”。

C盒上：“B盒里装着石子”。

只有一个盒子上写的
字正确的。

糖装在什么盒中？
有趣的智力游戏
智力问题形形色色，大多各有各自的特点。

有时貌似复杂，无从下手，然而一旦“天机道破”，解决它便易如反掌。

各类智力问题的难，大多难在一个“巧”字。

本书的许多章节，正是致力于探求这类问题的推理技巧。

这一节我们将要讲述的是，怎样应用间接推理的方法，即通过否定肯定，反证归谬、命题变换、反向推理等手段，去解决许多类型的智力问题。

先看一个有趣的“猜帽色”的问题。

老师为了辨别他的三个得意门生中谁更聪明些，而采用了以下的方法：事先准备好5顶帽子，其中3顶是白的，2顶是黑的。

他先把这些帽子让三个人都看了看，然后要他们闭上眼睛，又替每人戴上一顶帽子。

实际上老师让每人戴的都是白帽，而将黑帽藏起来了。

最后再让他们张开眼睛，并判断自己头上戴的帽子是什么颜色。

三位学生互相看了看，都犹豫了一会，然后又几乎同时判定出自己头上戴着白色的帽。

那么，这三位学生是怎样推断出自己的帽色呢？原来他们用的是“分析否定信息”的方法。

谜底是这样的：
三个人为什么都犹豫了一会呢？这只能说明他们都没有人看到两顶黑帽，也就是说三人中至多只能有一人戴黑帽。

这一点在犹豫的一刹那，三个聪明的学生当然都意识到了。

此时某甲想：“我头上戴的如果是黑帽的话，那么某乙某丙应当猜出他们自己戴着白帽了，因为黑帽不可能有两人戴。

然而乙、丙都在犹豫，可见我是戴白帽的！”与此同时，某乙某丙也都这样想着，因此三人几乎同时脱口而出，猜着了自己的帽色。

这一“猜帽色”的游戏同样可以推广到多个人。

我想，此时此刻读者一定会想象得到，游戏中的白帽与黑帽的数量，必须加以哪些限制。

再看一则十分奇特的“撒谎者”的故事：
甲说：“乙撒了谎或丙撒了谎。

”
乙说：“甲撒了谎。

”’
丙说：“甲、乙都撒了谎。

”
问究竟谁撒了谎？谁说真话？
看起来这似乎是一个无头公案，因为三个人都无一例外地指责别人在撒谎。

然而仔细一看，各人指责的内容和形式都不相同。

乙指责“甲撒了谎”是一句关键的话。

因为如若乙说是真话那么甲便是撒谎者；如若乙是撒谎者，那么甲所说的便是真话。

可见甲与乙不可能同时撒谎。

然而丙却指责甲乙两人都撒了谎，这只能说明丙本身是撒谎者。

丙是撒谎者，说明甲说的没有错，从而乙的指责是莫须有的，因此乙也是撒谎者。

在整个故事中只有甲是唯一说真话的人！
类似“撒谎者”的智力难题，采用变换命题的方法是很有效的。

下面是又一则妙趣横生的“撒谎者”故事，留给读者作推理练习。

一个英国探险家到非洲某地探险。

在宿营地附近有两个土著部落，高个子部落和矮个子部落。

已知两个部落中有一个部落成员总是说真话，另一个部落成员则总是说假话。

有一次，探险家在路上遇到两个土人，一个高个子一个矮个子。

探险家问高个子土人：“你是说真话吗？”这个土人回答说：“古姆”，小个子土人会讲英语，就解释说：他说“‘是的’，但他是个骗子。

”
试问哪个部落成员说假话？（答：高个子）
反向推理可能是解决智力难题最常用的一种方法。

下面比试身高的趣题，是运用这种间接方法最为典型的例子。

甲、乙、丙、丁四人聚在一起，议论各自身体的高矮：甲说：“我肯定最高。

”
乙说：“我绝不至于最矮。

”
丙说：“我虽然比不上甲高，但我也不会落到最矮。

”
丁说：“那只有我是最矮的了！”
为了确定谁是谁非，他们进行了现场测定。

结果四个人中仅一人说错。

问四人的实际高矮如何？
如果采用直接推理，则必须分析甲乙丙丁四人说错话的可能。

例如甲说错话，那么甲不是最高，只能是第二、第三或最矮；与此同时，乙所说的则应为事实，即乙可能是最高、第二或第三；……。

这种推理过程，无疑能够继续下去。

但到达成功的彼岸，航程还相当漫长。

如果采用反向推理，情况将大为改观，整个逆推的过程简单而漂亮：丁不可能说错，否则便没有人会是最矮；既然丁说的是对的，那么乙也就同时是对的了；甲不可能说对，因为若甲说对，则丙同时也该对。

但四人都对与实测结果违背。

于是最高者非乙莫属。

由于甲说的是错话，那么丙所说的便是事实，他自从高不如甲，从而问题答案水落石出：
乙最高，甲第二，丙第三，丁最矮。