《估计》典型例题
参数估计习题参考答案
参数估计习题参考答案班级：姓名：学号：得分一、单项选择题：1、关于样本平均数和总体平均数的说法，下列正确的是 ( B )（A）前者是一个确定值，后者是随机变量（B）前者是随机变量，后者是一个确定值（C）两者都是随机变量（D）两者都是确定值2、通常所说的大样本是指样本容量（ A ）（A）大于等于30 （B）小于30 （C）大于等于10 （D）小于103、从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4，16，36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差将（ B ）（A）增加（B）减小（C）不变（D）无法确定4、某班级学生的年龄是右偏的，均值为20岁，标准差为4.45.如果采用重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本，那么样本均值的分布为（ A ）（A）均值为20，标准差为0.445的正态分布（B）均值为20，标准差为4.45的正态分布（C）均值为20，标准差为0.445的右偏分布（D）均值为20，标准差为4.45的右偏分布 5. 区间估计表明的是一个( B )（A）绝对可靠的范围（B）可能的范围（C）绝对不可靠的范围（D）不可能的范围 6. 在其他条件不变的情形下，未知参数的1-α置信区间，（ A ）A. α越大长度越小B. α越大长度越大C. α越小长度越小D. α与长度没有关系7. 甲乙是两个无偏估计量，如果甲估计量的方差小于乙估计量的方差，则称（ D ）（A）甲是充分估计量（B）甲乙一样有效（C）乙比甲有效（D）甲比乙有效8. 设总体服从正态分布，方差未知，在样本容量和置信度保持不变的情形下，根据不同的样本值得到总体均值的置信区间长度将（ D ）（A）增加（B）不变（C）减少（D）以上都对9．在其他条件不变的前提下，若要求误差范围缩小1／3，则样本容量（ C ）（A）增加9倍（B）增加8倍（C）为原来的2.25倍（D）增加2.25倍 10设容量为16人的简单随机样本，平均完成工作时间13分钟，总体服从正态分布且标准差为3分钟。
《参数估计习题》word版
参数估计习题一、填空题1、设总体2(,)X Nμσ，若2σ已知，总体均值μ的置信度为1α-的置信区间为：x x⎛-+⎝，则λ=；2、设由来自正态总体2(,0.9)X N μ的样本容量为9的简单随机样本，得样本均值5x=，则未知参数μ的置信度0.95的置信区间为；3、设12,X X为来自总体2(,)X Nμσ的样本，若1211999CX X+为μ的一个无偏估计，则C=；4、设12,,,nX X X为来自正态总体2(,)Nμσ的样本，,a b为常数，且0a b<<，则随机区间2211()(),n ni ii iX Xb aμμ==⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑∑的长度L的数学期望为；5、设ˆθ是未知参数θ的估计量，若称ˆθ为θ的无偏估计量，则ˆ()Eθ=；6、设12ˆˆ,θθ为总体未知参数θ的两个无偏估计量，若称1ˆθ比2ˆθ更有效，则1ˆ()Dθ1ˆ()Dθ；7、设θ为总体的未知参数，若由样本确定的两个统计量1ˆθ和2ˆθ，且12ˆˆθθ<，对于预先给定的α值（01α<<），满足12ˆˆ{}1Pθθθα<<=-，则称随机区间12ˆˆ(,)θθ为θ的1α-或100(1)%α-置信区间，其中为置信上限，为置信下限，称为置信度；8、设12,,,nX X X为来自正态总体2(,)Nμσ的一个样本，样本均值11niiX Xn==∑是的无偏估计量；9、设12,,,nX X X是取自总体X的一个样本，2()D Xσ=，则2211()1niiS X Xn==--∑为的无偏估计量；10、设12,,,n x x x 是取自总体2(,)XN μσ的一组样本值，则2σ的置信度为(1)α-的置信区间是 。
二、 选择题 1、 设总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，则总体均值μ的置信区间长度l 与置信度1α-的关系是（ ）.1-.1-.1-.A l B l C l D ααα当缩小时，缩短 当缩小时，增大当缩小时，不变 以上说法均错2、 设总体2(,)XN μσ，2σ已知，若样本容量n 和置信度1α-均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度（ ）....A B C D 变长 变短 不变 不能确定3、 设随机变量12,,,n X X X 相互独立且同分布2(,)XN μσ，11ni i X X n ==∑，2211()1ni i S X X n ==--∑，2()i D X σ=，则2S （ ） 2....A B C D σσμ是的有效估计 是的无偏估计是的无偏估计 不能确定4、设ˆθ是未知参数θ的估计量，如果ˆ()E θθ=，则称ˆθ为θ的（ ） ....A B C D 有偏估计量 无偏估计量一致估计量有效估计量5、设总体X 的分布中，未知参数θ的置信度为1α-的置信区间是[]12,T T ，即12()1P T T θα≤≤=-，则下列说法正确的是（ ）1212121212.[,].[,]..[,]A T T t t ,t t B T T C D T T θθααθθθ∈对，的观测值，必有 以的概率落入区间区间以1-的概率包含 的数学期望E()必属于6、α越小，则1α-就越大，θ落在区间12ˆˆ,θθ⎡⎤⎣⎦内的概率就越大。
参数估计考试试题及答案解析
模考吧网提供最优质的模拟试题，最全的历年真题，最精准的预测押题！参数估计考试试题及答案解析一、单选题（本大题6小题．每题1.0分，共6.0分。
请从以下每一道考题下面备选答案中选择一个最佳答案，并在答题卡上将相应题号的相应字母所属的方框涂黑。
）第1题从全部学生中抽样测定100名学生，戴眼镜者占50%，抽样平均误差为1%，用( )概率可确信全部学生中戴眼镜者在48%到52%之间。
A 68.27%B 95%C 95.45%D 99.73%【正确答案】：C 【本题分数】：1.0分【答案解析】[解析] 已知p=50%，μp =1%，则样本成数p 的区间估计是[p-t μp ，p+t μp ]，由48%=50%-t ×1%或者52%=50%+t ×1%，得t=2，即概率保证程度为95.45%。
第2题设总体X ～N(μ，σ2)，σ2已知，若样本容量和置信度均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度( )。
A 变长B 变短C 不变D 不能确定【正确答案】：C【本题分数】：1.0分【答案解析】[解析] 对于σ2已知的总体正态分布，因为=1-α，所以模考吧网提供最优质的模拟试题，最全的历年真题，最精准的预测押题！总体均值μ的置信区间的长度为。
在样本容量和置信度均不变的条件下，与样本观测值无关。
所以对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度不变。
第3题一家调查公司进行一项调查，其目的是为了了解某市电信营业厅大客户对该电信服务的满意情况。
调查人员随机访问了30名去该电信营业厅办理业务的大客户，发现受访的大客户中有9名认为营业厅现在的服务质量较两年前好。
在95%的置信水平下，大客户中认为营业厅现在的服务质量较两年前好的比例的置信区间为( )。
A [13.60%，46.40%]B [13.40%，48.60%]C [14.62%，46.83%]D [14.75%，48.65%]【正确答案】：A【本题分数】：1.0分【答案解析】[解析] 已知α=1-95%=0.05，Z α/2=1.96，=30%，n=30，n =30×0.3=9＞5，n(1-)=30×0.7=21＞5，所以本题可以看作是大样本情形。
《用样本估计总体》典型例题
《用样本估计总体》典型例题【考情分析】用样本的频率分布估计总体分布的有关问题在高考中的常考题型有两个:(1)根据频率分布表和频率分布直方图进行频数或频率的计算,这种考查形式出现的频率很高;(2)频率分布直方图的绘制,这种考查形式常出现在解答题中,用样本的数字特征估计总体的数字特征也是高考中的常考题型,从近几年高考命题的趋势可以看出,对本节概念的考查开始逐步朝着对数据分析能力考查的方向发展,题目往往需结合相关数字特征的统计意义进行求解.题型1统计图表的信息读取(逻辑推理)典例1、[推测解释能力](2018·全国卷I)某地区经过1年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下列结论中不正确的是( )A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半思路本题以实际生活为背景考查了统计图表信息提取的知识,图表命题涉及广泛,解决本题时要注意题目条件中的“农村的经济收入增加了一倍,实现翻番”,否则计算出错,导致判断失误.解析方法一(通解)设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a,则由图可得建设前种植收入为0.6a,其他收入为0.04a,养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a,其他收入为0.1a,养殖收入为0.6a,养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a,所以只有A是错误的.方法二(优解)因为0.6<0.37×2,所以新农村建设后,种植收入增加,而不是减少,所以A是错误的.答案A题型2与统计图表有关的计算(数据分析)典例2、[分析计算能力(2020-天津卷)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),⋯,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )A.10B.18C.20D.36×组距,进行求解思路本题通过分析、读取频率分布直方图中数据的信息,利用公式频率=频率组距运算.解析根据题意,在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的频率为(6.25+5.00)×0.02= 0.225,则个数为80×0.225=18.答案 B题型3数字特征的含义与计算(数据分析)典例3-1[概括理解能力](全国II卷)为了评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n 块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,x3,⋯,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A.x1,x2,x3,⋯,x n的平均数B.x1,x2,x3,⋯,x n的标准差C.x1,x2,x3,⋯,x n的最大值D.x1,x2,x3,⋯,x n的中位数思路 本题依据数据的数字特征的意义,分析判断数据运用数字特征进行评价时,应从平均数、众数、中位数、方差、极差等多个角度对这组数据进行分析,全面考虑各数字特征的优缺点. 解析 平均数和中位数都能反映一组数据的集中趋势,而且平均数能反映一组数据的平均水平;标准差和方差都能反映一组数据的稳定程度.答案 B典例3-2、(2019-江苏卷)已知一组数据6,7,8,9,10,则该组数据的方差是_________.思路 本题考查了平均数和方差的计算公式,解决本题的关键是熟记平均数和方差的计算公式,本题考查了学生的分析计算能力和数学运算核心素养.解析 由平均数公式可得这组数据的平均数为8,则方差为(−2)2+(−1)2+0+0+12+226=53. 答案 53题型4用样本数字特征估计总体数字特征的简单计算典例4、[简单问题解决能力]某学校高一年级共有三个班,按优秀率进行评选.1班30人,优秀率30%,2班35人,优秀率60%,三班35人,优秀率40%,则全年级优秀率为_________.解析 本题通过优秀率、加权平均数来考查样本估计总体的数字特征,分析题意,根据班级优秀率求解全年级优秀率.由于某学校高一年级共有三个班,按优秀率进行评选:1班30人,优秀率30%,2班35人,优秀率60%,三班35人,优秀率40%,则全年级优秀率为:30×30%+35×60%+35×40%30+35+35=44%.答案 44%题型5用样本数字特征估计总体数字特征的综合计算(数学建模)典例5、[综合问题解决能力](2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B 两组,每组100只,其中A 组小鼠给服甲离子溶液,B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲,乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).思路本题属于样本平均值估计总体的综合应用,根据频率分布直方图的特征,通过数据分析,在频率分布直方距计算a的值.解析(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1−0.05−0.15−0.70=0.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.。
七下数学【估算】4大常考重难题型
七下数学| 月测必考专练【估算】4大常考重难题型题型1 估算无理数的范围【例1】估计√11.6的值在（C）A．3.2和3.3之间B．3.3和3.4之间C．3.4和3.5之间D．3.5和3.6 之间【解题思路】估算11.6的算术平方根，即可得出答案．【解答过程】解：∵3.52＝12.25，3.42＝11.56，而12.25＞11.6＞11.56∴3.4＜√11.6＜3.5【例2】已知m=√8+√9，则以下对m的估算正确的是（C）A．3＜m＜4 B．4＜m＜5 C．5＜m＜6 D．6＜m＜7【解题思路】估算确定出√8的范围，计算√9=3，进而确定出m的范围即可．【解答过程】解：∵2＜√8＜3，√9=3，∴5＜√8+3＜6，∵m=√8+√9=3+√8，∴m的范围为5＜m＜6．题型2 已知无理数的范围求值【例1】若两个连续整数x，y满足x＜√5+2＜y，则x+y的值是（C）A．5 B．7 C．9 D．11【解题思路】先利用“夹逼法”√5的整数部分，再利用不等式的性质可得√5+2在哪两个整数之间，进而求解．【解答过程】解：∵4＜5＜9，∴2＜√5＜3，∴4＜√5+2＜5，∵两个连续整数x、y满足x＜√5+2＜y，∴x＝4，y＝5，∴x+y＝4+5＝9．【例2】若a＜√28-√7＜a+1，其中a为整数，则a的值是（B）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】先把√28-√7化简，再估算√7的范围即可．【解答过程】解：√28-√7=2√7-√7=√7，∵22＜7＜32，∴2＜√7＜3，∵a＜√28-√7＜a+1，其中a为整数，∴a＝2．题型3 估算无理数最接近的值【例1】下列整数中，与10-√30最接近的是（C）A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】先估算出√30的范围，再估算10-√30的范围即可．【解答过程】解：∵25＜30＜36，30离25更近，∴5＜√30＜6，且更接近5，∴-6＜-√30＜-5，且更接近﹣5，∴4＜10-√30＜5，且更接近5．【例2】若m＝5n（m、n是正整数），且10＜√m＜12，则与实数√n的最大值最接近的数是（B）A．4 B．5 C．6 D．7【解题思路】根据m的取值范围确定n的取值，再根据m、n为整数，确定n 的最大值，再估算即可．【解答过程】解：∵10＜√m＜12，∴100＜m＜144，∴20＜m/5＜28.8，即20＜n＜28.8，又∵m、n是正整数，∴n的最大值为28，∵25比36更接近28，∴√n的值比较接近√25，即比较接近5，题型4 无理数整数、小数部分问题【例1】我们知道√2是一个无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部写出来．因为√2的整数部分为1，所以√2减去其整数部分，差就是√2的小数部分，所以用√2-1来表示√2的小数部分．根据这个方法完成下列问题：（1）√43的整数部分为，小数部分为；（2）已知√17的整数部分a，6-√3的整数部分为b，求a+b的立方根．【解题思路】（1）根据6＜√43＜7求√43的整数部分和小数部分；（2）求√17的整数部分4，6-√3的整数部分为4，得a+b的立方根．【解答过程】解：（1）∵6＜√43＜7，∴整数部分为6，小数部分为√43-6．（2）∵4＜√17＜5，∴a＝4．∵4＜6-√3＜5，∴b＝4．∴³√a+b=2．。
应用统计学：参数估计习题及答案
简答题1、矩估计的推断思路如何？有何优劣？2、极大似然估计的推断思路如何？有何优劣？3、什么是抽样误差？抽样误差的大小受哪些因素影响？4、简述点估计和区间估计的区别和特点。
5、确定重复抽样必要样本单位数应考虑哪些因素？计算题1、对于未知参数的泊松分布和正态分布分别使用矩法和极大似然法进行点估计，并考量估计结果符合什么标准2、某学校用不重复随机抽样方法选取100名高中学生，占学生总数的10%，学生平均体重为50公斤，标准差为48.36公斤。
要求在可靠程度为95%（t=1.96）的条件下，推断该校全部高中学生平均体重的范围是多少？3、某县拟对该县20000小麦进行简单随机抽样调查，推断平均亩产量。
根据过去抽样调查经验，平均亩产量的标准差为100公斤，抽样平均误差为40公斤。
现在要求可靠程度为95.45%（t=2）的条件下，这次抽样的亩数应至少为多少？4、某地区对小麦的单位面积产量进行抽样调查，随机抽选25公顷，计算得平均每公顷产量9000公斤，每公顷产量的标准差为1200公斤。
试估计每公顷产量在8520-9480公斤的概率是多少？（P(t=1)=0.6827, P(t=2)=0.9545, P(t=3)=0.9973）5、某厂有甲、乙两车间都生产同种电器产品，为调查该厂电器产品的电流强度情况，按产量等比例类型抽样方法抽取样本，资料如下：样本容量（个）平均电流强度（安培）电流强度标准差（安培）合格率（%）甲车间20 1.5 0.8 90乙车间40 1.6 0.6 95试推断：（1）在95.45%（t=2）的概率保证下推断该厂生产的全部该种电器产品的平均电流强度的可能范围（2）以同样条件推断其合格率的可能范围（3）比较两车间产品质量6、采用简单随机重复和不重复抽样的方法在2000件产品中抽查200件，其中合格品190件，要求：（1）计算样本合格品率及其抽样平均误差（2）以95.45%的概率保证程度对该批产品合格品率和合格品数量进行区间估计。
概率论与数理统计 第7章参数估计习题及答案
第7章参数估计----点估计一、填空题1、设总体X服从二项分布B(N,p)，，是其一个样本，那么矩估计量pN其中未知参数是X的样本，B(1,p)，2、设总体X~则p的矩估计为，样本的似然函数为。
3、设是来自总体的样本，则有关于及的似然函数。
二、计算题1、设总体X具有分布密度，其中是未知参数，为一个样本，试求参数的矩估计和极大似然估计.解：因令为的矩估计因似然函数L(x1,x，由得，的极大似量估计量为αn、设总体X服从指数分布，是来自X的样本，（1）0,其他求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.56解：（1）由于，令1，故的矩估计为（2）似然函数dlnLnn故的极大似然估计仍为。
223、设总体，为取自X的一组简单随机样本，求的极大似然估计；[解] (1)似然函数于是，，得的极大似然估计：令4、设总体X服从泊松分布为取自X的一组简单随机样本, （1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.，此为的矩估计。
解：（1）令（2）似然函数nn故的极大似然估计仍为。
第七章参数估计----点估计的评价标准一、填空题1、设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，则下面三个均值估计量都是总体5ˆ2. 均值的无偏估计，则2、设是取自总体的样本，则可以作为的无偏估计量是( A ).1n2A、、、、二、计算题1n1、设为从一总体中抽出的一组样本，总体均值已知，用去估计总体方差，它是否是的无偏估计，应如何修改，才能成为无偏估计. 22解：因不是的无偏估计1n22但是的无偏估计2、设是来自总体的一个样本，若使偏估计，求常数C的值。
解：为的无58第七章参数估计----区间估计一、选择题1、设总体，未知，设总体均值的置信度的置信区间长度l，那么l与a的关系为( A ).A、a增大，l减小C、a增大，l不变B、a增大，l增大D、a与l关系不确定222、设总体，且已知，现在以置信度估计总体均值，下列做法中一定能使估计更精确的是( C ).A、提高置信度，增加样本容量C、降低置信度，增加样本容量B、提高置信度，减少样本容量D、降低置信度，减少样本容量二、计算题1、设总体，当样本容量时，测得，求未知参数的置信度为0.95的置信区间.解：的置信区间为222的置信区间为(4.412,5.588)。
(完整word版)参数估计习题参考答案
参数估计习题参考答案班级：姓名：学号：得分一、单项选择题：1、关于样本平均数和总体平均数的说法，下列正确的是( B )（A）前者是一个确定值，后者是随机变量（B）前者是随机变量，后者是一个确定值（C）两者都是随机变量（D）两者都是确定值2、通常所说的大样本是指样本容量（ A ）（A）大于等于30 （B）小于30 （C）大于等于10 （D）小于103、从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4，16，36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差将（ B ）（A）增加（B）减小（C）不变（D）无法确定4、某班级学生的年龄是右偏的，均值为20岁，标准差为4.45.如果采用重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本，那么样本均值的分布为（A ）（A）均值为20，标准差为0.445的正态分布（B）均值为20，标准差为4.45的正态分布（C）均值为20，标准差为0.445的右偏分布（D）均值为20，标准差为4.45的右偏分布5. 区间估计表明的是一个( B )（A）绝对可靠的范围（B）可能的范围（C）绝对不可靠的范围（D）不可能的范围6. 在其他条件不变的情形下，未知参数的1-α置信区间，（A ）A. α越大长度越小B. α越大长度越大C. α越小长度越小D. α与长度没有关系7. 甲乙是两个无偏估计量，如果甲估计量的方差小于乙估计量的方差，则称（ D ）（A）甲是充分估计量（B）甲乙一样有效（C）乙比甲有效（D）甲比乙有效8. 设总体服从正态分布，方差未知，在样本容量和置信度保持不变的情形下，根据不同的样本值得到总体均值的置信区间长度将（ D ）（A）增加（B）不变（C）减少（D）以上都对9．在其他条件不变的前提下，若要求误差范围缩小1／3，则样本容量（ C ）（A）增加9倍（B）增加8倍（C）为原来的2.25倍（D）增加2.25倍10设容量为16人的简单随机样本，平均完成工作时间13分钟，总体服从正态分布且标准差为3分钟。
第七章参数估计习题
第七章参数估计习题第七章参数估计习题1.从各总体中随机地抽取若干样本单元，测得其值为：（1）2781 2836 2807 2763 2858；（2）221 191 202 205 236；（3）11.05 10.95 11.00 11.02 10.99 10.00 10.99 10.97 11.02 10.98（4）1061 1065 1092 1017 1021 1138 1143 1094 1270 1028 试用顺序统计量法估计各总体的均值和均方差。
2．已知某种木材的横纹抗压力服从正态分布，今从一批这种木材中，随机地抽取10根样品，测得它们的抗压值（单位：公斤／厘米2）为：482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 试求这批木材均值和均方差的估计值。
3．已知某校一年级学生期末的数学成绩服从正态分布，今从该年级中任意抽取40名学生，他们的数学成绩（单位：分）为：90.8 83.6 72.2 87.1 64.8 74.7 85.0 88.371.2 66.0 88.2 95.8 78.6 67.4 85.6 73.294.2 84.8 74.8 86.8 77.7 87.6 66.7 76.485.9 71.1 54.7 87.0 97.8 76.8 68.4 83.387.4 61.9 64.8 78.6 84.6 65.8 75.6 50.6试求该年级学生数学成绩的均值和均方差的估计值。
4．设某厂生产一批钉子长度服从正态分布。
今从这批钉子中，任意抽取16只，测得它们的长度（单位：厘米）为：2.14 2.10 2.13 1.25 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11试用矩估计法求这批钉子的均值和方差的估计值5．已知总体X 在〔a ，b 〕上服从均匀分布≤≤-=其它01),,(b x a a b b a x P其中a ＜b ，试用矩估计法求a 与b 的估计量。
专题：估算(解析版)
七年级下册数学《第六章实数》专题估算【例题1】（2022秋•A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【分析】先找离14最近的两个平方数，即9＜14＜16【解答】解：∵9＜14＜16，∴34；故选：C．【点评】本题考查的是无理数的估值，解题关键找到离14最近的两个平方数．【变式1-2】（2022秋•A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．【解答】解：∵25＜27＜36，∴56，5和6之间，故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．【变式1-3】（2011秋•A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间∴45，4和5之间．故选：C．【变式1-4】（2022秋•+1的值在（ ）A．4到5之间B．5到6之间C．6到7之间D．7到8之间56，可得．【解答】解：∵56，∴6+1＜7，故选：C．【点评】本题考查的是无理数大小的估算，解题的关键是会用夹逼法进行估算．【变式1-5】（2023•南岸区校级开学）估计3+A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间3+【解答】解：∵34，∴6＜37．故估计3+6和7之间．故选：B．【点评】本题考查了无理数的估算，估算无理数大小要用逼近法．用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．【变式1-6】（2022秋•3的值在（ ）A．3到4 之间B．4到5之间C．1到2 之间D．2到3 之间【分析】首先得出45，进而求出结论．∴45，3的值在1到2之间．故选：C．【变式1-7】（2022秋•5的值（ ）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【分析】根据完全平方数，进行计算即可解答．【解答】解：∵49＜56＜64，∴78，∴2―5＜3，―5的值在2和3之间，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．【变式1-8】（2022秋•雁塔区校级期末）2A．0和1之间B．1和2之间C．0和﹣1之间D．﹣1和﹣2之间【解答】解：∵23，∴﹣1＜2―0，∴2―1和0之间．故选：C．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．【变式1-9】（2022•庐阳区校级三模）若无理数x=x的范围正确的是（ ）A．1＜x＜2B．2＜x＜3C．3＜x＜4D．4＜x＜5【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，其算术平方根越大）解决此题．【解答】解：∵4＜5＜9，∴23．+2，∴4＜25．∵x=∴4＜x＜5．故选：D．【点评】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握被开方数越大，其算术平方根越大是解决本题的关键．【变式1-10】（2022秋•双牌县期末）满足xA．4个B．3个C．2个D．1个【分析】先估算出―【解答】解：∵12，∴﹣2＜―1，∵12，∴满足x1，0，1，共3个，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出―【变式1-11】（2022秋•萧山区期中）设面积为31的正方形的边长为x，则x的取值范围是（ ）A．5.0＜x＜5.2B．5.2＜x＜5.5C．5.5＜x＜5.7D．5.7＜x＜6.0【分析】利用正方形的面积＝边长×边长可得正方形边长x=【解答】解：正方形边长x∵5.52＝30.25，5.62＝31.36，∵5.55.6．故选：C．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，思维方法：用有理数逼近无理数．【变式1-12】（2022秋•江北区校级期末）如果m＝1，那么m的取值范围是（ ）A．4＜m＜5B．4＜m＜6C．5＜m＜6D．5＜m＜73与4之间，再根据m＝―1，即可得出m的取值范围．【解答】解：∵34，∴2×3﹣1＜―1＜2×4﹣1，即5＜―1＜7，∴m的取值范围是5＜m＜7．故选：D．【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握题意确定无理数的整数部分是关键．【例题2】（2022秋•鄞州区期末）若整数aaa是（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】先计算2=7，2=15，然后看哪个平方数在7和15之间即可．【解答】解：∵7＜9＜15，3∴如果整数a a a的值是：3．故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．【变式2-1】（2022秋•衡山县期末）已知n n n等于（ ）A．5B．6C．7D．8【解答】解：∵36＜40＜49，∴67，∵49＜50＜64，∴78，∵n n∴n＝7，故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．【变式2-2】（2022秋•aa的值不可能为（ ）A．2B．3C．4D．56，23a a的整数．=6aa＜6，∵23，∴整数a的值可为3或4或5，∴整数a的值不可能为2．故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握根式的运算是解本题的关键，综合性较强，难度适中．【变式2-3】（2022秋•南关区校级期末）若n为整数，n n+1，则n的值为（ ）A．1B．0C．2D．3【分析】利用完全平方数，进行计算即可解答．【解答】解：∵9＜13＜16，∴34，∵n为整数，n n+1，∴n＝3，故选：D．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．【变式2-4】（2022秋•九龙坡区期末）若自然数n满足n＜―2＜n+1，则n的值为（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】根据算术平方根的定义估算无理数2的大小即可．【解答】解：=78，∴5―2＜6，即5＜―2＜6，∵n＜―2＜n+1，而n是自然数，∴n＝5，故选：B．【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确估算的前提．【变式2-5】（2022秋•福田区期末）若m，n是两个连续的整数且m n，则m+n＝（ ）A．5B．6C．7D．8m，n的值，然后代入式子中，进行计算即可解答．【解答】解：∵9＜14＜16，∴34，∵m，n是两个连续的整数且m n，∴m＝3，n＝4，∴m+n＝3+4＝7，故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．【变式2-6】（2022春•新罗区校级月考）在― ．【分析】根据估算――【解答】解：∵22＞3＞12，32＜10＜42，∴―2＜――1，34，∴―1、0、1、2，3；﹣1+0+1+2+3＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了无理数的近似值，正确估计出无理数的近似值是解题关键．【变式2-7】（2022秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且m n，则（m﹣n）2023的值是（ ）A．2023B．﹣2023C．1D．﹣1m、n的值，再代入计算即可．【解答】解：∵34，而m n，其中m，n为两个连续的整数，∴m＝3，n＝4，∴（m﹣n）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．【变式2-8】（2022秋•通川区校级期末）已知整数x2≤x―1，则x＝ ．―2―1的值的范围，即可解答．【解答】解：∵4＜5＜9，∴23，∴02＜1，∵4＜7＜9，∴23，∴11＜2，∵整数x2≤x―1，∴x＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．【变式2-9】（2022秋•辉县市校级期末）若a b，且a，b是（ ）A．9B．5C．4D．3a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵a b，且a，b为两个连续的正整数，∴a＝4，b＝5，==3．故选：D．【变式2-10】（2022秋•莱阳市期末）若a b，且a、b为两个连续的正整数，则a+b的平方根是 ．∴45，∴a＝4，b＝5，∴a+b＝4+5＝9，∴a+b的平方根是±3．【点评】本题考查了平方根，求出a、b的值是解题的关键．【变式2-11】（2022春•蓬江区校级月考）已知a，b为两个相连的整数，满足a+11＜b，则a+b的立方根为 ．【分析】11的值的范围，然后求出a，b的值，最后代入式子中，进行计算即可解答．【解答】解：∵4＜6＜9，∴23，∴13+11＜14，∵a，b为两个相连的整数，满足a+11＜b，∴a＝13，b＝14，∴a+b＝27，∴a+b的立方根为3，故答案为：3．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．【变式2-12】（2022秋•古田县期中）已知a，b为两个连续的整数，且a＜―b，则2a﹣3b＝ ．【分析】首先估算―5和﹣6之间，然后可得a、b的值，进而可得答案．【解答】解：∵――∴﹣6＜―5，∴a＝﹣6，b＝﹣5，∴2a﹣3b＝﹣12+15＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了估算无理数，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．【变式2-13】（2022秋•海曙区期中）若整数x满足3+x2，则x的值是 ．3+2+小即可．【解答】解：∵43＝64，，53＝125，而64＜65＜125，∴45，∴7＜3+8，又：∵82＝64，，92＝81，而64＜65＜81，∴89，∴10+2＜11，又∵整数x满足3+≤x≤+2，∴x＝8或x＝9或x＝10，故答案为：8或9或10．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根、立方根的定义是正确估算的前提．【例题3】（2022秋•A．5B．6C．7D．86．故选：B．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出最接近的有理数是解题关键．【变式3-1】（2022春• ．【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．【解答】解：∵4＜5＜6.25，∴22.5，2．故答案为：2．【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．【变式3-2】（2021春•A．5B．6C．7D．851距离哪个整数的平方接近即可确定答案．【解答】解：∵49＜51＜64，即78，∵7.52＝56.25，51＜56.25，7．故选：C．【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．【变式3-3】（2022•三门峡二模）数轴上与最接近的整数是．1.7，由此可得出本题的答案．【解答】解：﹣1.7，∴最接近的整数为-2．故答案为：-2．【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．【变式3-4】（2022秋•A．﹣1B．0C．1D．2【分析】由π﹣4＜0=4―π1．【解答】解：∵π﹣4＜0，4―π．∵4﹣π最接近1，1．故选：C．a(a≥0)―a(a＜0)是解题关键．【变式3-5】（2022秋•南岸区期末）与2A．5B．6C．7D．8【分析】根据完全平方数，进行计算即可解答．【解答】解：∵9＜10＜16，∴34，∵3.52＝12.25，∴3 3.5，∴5＜2 5.5，∴与25，故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．【变式3-6】（2022春•1最接近的整数是（ ）A．5B．6C．7D．8【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．【解答】解：∵36＜40＜42.25，∴6 6.5，∴5―1＜5.5，∴最接近的整数是5，故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．【变式3-7】3最接近的是（ ）A．5B．6C．7D．8的取值范围即可．【解答】解：∵3.62＜13＜3.72，∴3.6 3.7，∴3.6+33＜3.7+3，即6.63＜6.7，+3最接近的是7．故选：C．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．A．1B．2C．3D．4【变式3-9】（2022秋•宁德期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，=1，[4.1]＝4，则满足=5，则n的最大整数为 ．【分析】由题意得：56，然后利用平方运算，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：∵5≤6，∴25≤n＜36，∴n的最大整数为35．故答案为：35．【点评】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．【变式3-10】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，∴大正方形的面积为：9+9=18，∴4 4.5，∴大正方形的边长最接近的整数是4．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键．【例题4】（2022•惠水县模拟）下列各数中比―A．﹣2B．﹣1C．―12D．0【分析】根据实数比较大小的方法分析得出答案．【解答】解：A、∵|﹣2|＝2，|=由2∴﹣2＜B、∵|﹣1|＝1，|―=由1∴﹣1＞C、∵|―12|=12，|―=由1 2＜∴―12＞―D、0＞―故选：A．【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握比较方法是解题关键．【变式4-1】（2021秋•乳山市期末）通过估算比较大小，下列结论不正确的是（ ）AB．―C ＜12D【分析】根据算术平方根的定义和立方根的定义估算各根式的大小，然后再比较大小即可．【解答】解：A、因为64＜69，所以44A正确，与要求不符；B―3，―=―3，故―B错误，与要求相符；C32＜1＜12，则C正确，与要求不符；D、=D正确，与要求不符．故选：B．【点评】本题主要考查的是实数大小比较，掌握无理数的大小的方法是解题的关键．【变式4-2】（2022春•铁东区校级月考）若将被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）A．B．C D【分析】先估算出各数，再根据实数与数轴的关系即可得出结论．【解答】解：―=3，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；23，符合题意；，3，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查无理数的大小比较；熟练掌握数轴上点的特点，能够准确判断无理数的范围是解题的关键．【变式4-3】（2021秋•灌云县月考）已知：a=―1，b=2a、b的大小关系为：a b（填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】先判断a、b的正负，再比较它们的大小．【解答】解：∵12，∴a=―1＞0，∵23，∴b＝20，∴a＞b，故答案为：＞．【点评】本题考查实数大小比较，解答本题的关键是明确实数的意义，会比较实数的大小．【变式4-4】 13； 1 89．（填“＜”或“＞”）【分析】先估算出各个数的范围，再比较大小．【解答】解：∵23，∴02＜1，＜13；∵12，∴21＜3，1；∵34，∴2―1＜3，1，∵89＜1，＞89，故答案为：＜，＞，＞．【点评】本题考查了实数大小比较的方法，估算出无理数的大小是解决本题的关键．【变式4-5】通过估算，比较下面各组数的大小：（1，12； （2 3.85．【分析】（1（2）首先求出3.852，进而比较即可．【解答】解：（1 1.73，1＜1，＜12；（2）∵3.852≈14.8，3.85．【变式4-6】通过估算比较大小：（1与85（2与13．【分析】（1＜32，再比较32与85的大小，即可得出与85的大小，（2＞13．【解答】解：（1＜32，∵32=1510，85=1610，∴32＜1610，＜85，（2＞13．【点评】此题主要考查了的是实数的大小比较，解题的关键是选择合适的被开方数．【例题5】（2022春•鼓楼区校级期中）已知=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，则xy ＝ ．x的值，再根据已知条件得出y的值，然后代入要求的式子进行计算即可．【解答】解：∵12，x是整数，∴x＝1，x+y，∴xy=1．1．【变式5-1】（2022秋•+2的小数部分是 ．22减去它的整数部分，即可求出小数部分．【解答】解：∵23，∴42＜5，2的整数部分是4，22﹣4=2；2．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，掌握估算的能力是解题的关键，经常用逼近法确定无理数的整数部分．【变式5-2】（2022秋•a b，则a+b―= ．a、b的值，再代入求出即可．【解答】解：∵12，34，∴a=―1，b＝3，∴a+b―=1+3＝2．故答案为：2．【变式5-3】（2022秋•金牛区校级期末）已知：2+m，小数部分为n，则2m﹣n＝ ．2+m、n的值，再代【解答】解：∵12，∴3＜24，∴2+m＝3，小数部分n＝2―3=―1，∴2m﹣n＝6+1＝7故答案为：7―【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定m、n的值是正确计算的关键．【变式5-4】（2022秋•双峰县期末）若x y表示它的小数部分，则+x)y的值为 ．x、y的值，再代入计算即可．【解答】解：∵23，x＝2，小数部分y=2，∴+x)y22）＝5﹣4＝1，故答案为：1．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．【变式5-5】（2022秋•东港市期末）若55a，b，则a+b＝ ．a，b，然后代入计算即可．【解答】解：∵34，∴8＜5+9，1＜5―2，∴a=5+8=―3，b=5―1=4―∴a+b=―3+4―1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了估算无理数的大小、代数式求值以及二次根式的加减运算，求得a，b的值是解题的关键．【变式5-6】（2022秋•商水县期末）已知a的立方根是2，b c是9的平方根，则a+b+c的算术平方根是 ．【分析】根据平方根、立方根、估算无理数的大小确定a、b、c的值，再代入计算即可．【解答】解：∵a的立方根是2，b c是9的平方根，∴a＝8，b＝3，c＝±3，当a＝8，b＝3，c＝3时，a+b+c＝14，∴a+b+c的算术平方根是当a＝8，b＝3，c＝﹣3，a+b+c＝8，∴a+b+c的算术平方根是=【点评】本题考查平方根、立方根、估算无理数的大小，理解平方根、立方根的定义、掌握估算无理数的大小的方法是正确解答的前提．【变式5-7】（2022•南谯区校级模拟）已知﹣2m是64的负的平方根，3n mn的立方根为 ．【分析】根据平方根的意义可得﹣2m＝﹣8，从而可得：m＝43n＝6，进而求出n的值，然后代入式子中进行计算即可解答．【解答】解：∵﹣2m是64的负的平方根，∴﹣2m＝﹣8，解得：m＝4，∵36＜37＜49，∴67，6，∴3n＝6，解得：n＝2，∴mn＝4×2＝8，∴mn的立方根为2，故答案为：2．【点评】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．【变式5-8】（2022春•玉州区期中）阅读下面文字，然后回答问题．的整数部分是11表示．由x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y=1．请解答下列问题：（1a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，求a，b的值；（2）如果―c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，求c，d的值；（3）已知3+m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣n|的值．【分析】（1）估算出23，依此即可确定出a，b的值；（2）估算出23，可得﹣3＜――2，依此即可确定出c，d的值；（3）根据题意确定出m与n的值，代入求出|m﹣n|即可．【解答】解：（1a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，23，∴a＝2，b=2；（2）∵c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，23，﹣3＜―2，∴c＝﹣3，d＝3（3）∵2+m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，∴m＝4，n―2，则|m﹣n|＝|4―2|＝6―【点评】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．【变式5-9】（2022春•乐昌市校级期中）阅读下面的文字，解答问题：11，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．23，2―2；请解答：（1 ，小数部分是 ；（2a b，求|a﹣b|+的值；（3）已知：9+x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．【分析】（1（2）分别确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值；（3）根据题意确定出等式左边的整数部分得到y的值，进而求出y的值，即可求出所求．【解答】解：（1）∵78，77．故答案为：77．（2）∵34，∴a3，∵23，∴b＝2，∴|a﹣b|=―3―2|+=5―＝5．（3）∵23，∴11＜9+12，∵9=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝11，y=9+11=2，∴x﹣y=11―2)=13―∴x﹣y13．【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式5-10】（2022秋•沧州期末）已知一个正数a的平方根分别是2a﹣5和2a+1，另一个实数b的立方根是2，c（1）a，b，c的值；（2）求2a+4b﹣c2的平方根．【分析】（1）由平方根的性质知2a﹣5和2a+1互为相反数，可列式，解之可求得a的值；根据立方根定义可得b的值；根据34可得c的值；（2）分别将a，b，c的值代入2a+4b﹣c2中，即可求得它的值及平方根．【解答】解：（1）∵一个正数的平方根分别是2a﹣5和2a+1，另一个实数b的立方根是2，∴2a﹣5+2a+1＝0，b＝8，解得：a＝1，则a的值是1，b的值是8；∵9＜15＜16，∴34，3，∴c＝3，综上所述，a＝1，b＝8，c＝3；（2）∵a＝1，b＝8，c＝3，∴2a+4b﹣c2＝2+32﹣9＝25，∵25的平方根±5，∴2a+4b﹣c2的平方根±5．【点评】本题主要考查了立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．【变式5-11】（2022秋•兴化市校级期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，而12，1，1材料2：若10―a+a，b要满足a＝10，b=―1．2根据以上材料，完成下列问题：（1 ，小数部分是 ；（2）3a＜3+b，求a+b的算术平方根．【分析】（1）根据完全平方数，进行计算即可解答；（23+a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵16＜17＜25，∴45，4―4，故答案为：4―4；（2）∵1＜3＜4，∴12，∴4＜35，∵3+a＜3+b，∴a＝4，b＝5，∴a+b＝4+5＝9，∴a+b的算术平方根是3．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．【变式5-12】（2022秋•232―2．请解答下列各题：（1的整数部分是 ，小数部分是 ．（2）已知9―m，9+n，且x2＝m+n，请求出满足条件的x的值．【分析】（1）类比题目中方法进行估算；（2）先通过估算确定出m，n的值，再求解x．【解答】解：（1即45，4―4，故答案为：4―4；（24，∴9―m＝9――4＝5―9+n＝913=4，∴x2＝m+n＝5―4＝1，∴x＝±1，即满足条件的x的值是±1．【点评】此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用该方法．。
参数估计的例题
总体均值的区间估计一、一个总体1．样本取自总体方差己知的正态分布总体（这是重复抽样，若不重复需修 正加修正系数，公式略。
下均同）例如， 某制造厂质量管理部门的负责人希望估计移交给接收部门的5 500包原材料的平均重量。
一个由250包原材料组成的随机样本所给出的平均值65=x 千克。
总体标准差15=σ千克。
试构造总体未知的平均值μ的置信区间，假定95％的置信区间已能令人满意，并假定总体为正态分布。
查标准正态分布表，与置信水平95％相对应的z总体平均数的置信区间为：86.165±= 即在63.14～66.86千克之间。
于是，我们有95％的把握说总体平均值μ介于63．14和66.86克之间。
2．样本取自总体方差已知的非正态分布总体（大样本）例，某职业介绍所的职员从申请某一职业的1 000名申请者中采用不重复抽样方式随机抽取了200名申请者，借此来估计1 000名申请者考试的平均成绩。
已知由200名申请者构分，由已往经验已知总体方差为90，但该职员不知总体服从何种分布，试求μ的90％的置信区间。
当要求可靠程度为9090.0)60.0645.17860.0645.178(=⨯+≤≤⨯-μP≤≤μP(=77.0)7990从而我们可以有90％的把握说，总体平均值处在77～79分之间。
3．总体方差未知的小样本(正态总体）例如，为了估计1分钟1次广告的平均费用，抽出了15个电视台的随机样本。
样本的s1000元。
假定所有被抽样的这类电视台近似服从正态分元，其标准差=布，试构造总体平均值为95％的置信区间。
％相应的t值为：自由度n-1=14的t分布表，与置信水平95故置信区间为：2 000±2.14 ×258.2，即 (1 447.5，2 552.5)显然我们有95％的把握说明，总体平均数处在1 447.5～2 552.5元之间。
4．总体方差末知的大样本例如，某百货店通过100位顾客的随机样本研究购买额。
估计有关的习题及详解
§估计基本题型Ⅰ 矩估计法【例7.1】总体X 的概率密度函数为1,01(;)00,x x f x θθθθ-⎧<<=>⎨⎩（）其他，求未知参数θ的 矩估计.【分析】先由题设所给含有未知参数θ的随机变量概率密度求出数学期望，解出未知参数θ与数学期望的关系，再由样本一阶原点矩替换总体期望，即得参数θ的矩估计. 【解】为求未知参数θ用总体原点矩表示的式子，先求出EX 110(;)1EX xf x dx x x dx θθθθθ+∞--∞==⋅=+⎰⎰因而 [1]EX EX θ=-在上式中用样本一阶原点矩替换总体一阶原点矩，即得未知参数θ的估计ˆ(1)X X θ=-. 【例7.2】设总体X 服从均匀分布[,]U a b ，12(,,)n X X X 为来自此总体的样本，求,a b的矩估计.【分析】由于总体的分布中含有两个未知参数,a b ，故需要求出总体的两个矩，为简单起见，一般先求其一阶矩（即总体的期望）和二阶矩（也可以取总体的方差），然后按矩估计法相应的样本矩替换它们，得矩法方程，最后求解便可得到,a b 的矩估计. 【解】由于总体X 服从均匀分布[,]U a b ，故总体的期望和方差分别为12();212a b b a EX DX +-== 由矩估计法，用X 替换EX ，用2S 替换2σ，便得矩法方程组1222()12a bX b a S +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，即22a b Xa b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 于是解出,a b 的矩估计分别为ˆaX =，ˆb X =+. 【例7.3】设总体X 的概率密度函数为||1(;),(0,)2x f x e x θθθθ-=>-∞<<+∞，求θ的矩估计.【分析】由于总体的分布中只含有一个未知参数θ，但总体的一阶矩为常量，需要求总体的二阶矩，从而确定矩方程，最后求解θ的矩估计量. 【解】虽然总体X 只含有一个参数，但 ||102x EX x e dx θθ-+∞-∞=⋅=⎰不含θ，不能求解θ 故需求二阶原点矩||2212x EX x e dx θθ-+∞-∞=⋅⎰2220021()()22x xx x x e dx e d θθθθθθθ--+∞+∞=⋅=⎰⎰22(3)2θθ=Γ=.令2211n i i X EX n ==∑，则有θ的矩估计量为ˆθ=基本题型Ⅱ 极大似然估计法【例7.4】设总体X 具有概率密度函数1,01(;)00,x x f x θθθθ-⎧<<=>⎨⎩（）其他，θ的极大似然估计量是 . 【分析】设12,,n x x x 为总体X 的观测值，则其极大似然函数为11()()n n L x x θθθ-=，对数似然函数为1ln ()ln (1)ln ni i L n x θθθ==+-∑，解似然方程1ln ()ln 0ni i d L n x d θθθ==+=∑ 得参数θ的极大似然估计值为1ˆln nii nxθ==-∑，从而得参数θ的极大似然估计量为1ˆln nii nXθ==-∑.【例7.5】设总体X 的分布律为X 1a 2a 3a P2θ2(1)θθ-2(1)θ-又设12,,n X X X 为来自此总体的样本，记j n 表示12,,n X X X 中取值为,1,2,3j a j =，的个数，求θ的极大似然估计.【分析】求极大似然估计量时，关键是求似然函数，它是样本观测值的函数. 【解】设12,,n x x x 是样本12,,n X X X 的观测值，则参数θ的似然函数为1()(;)nii L P x θθ==∏312123[()][()][()]n n n P x a P x a P x a ====323122122222[2(1)](1)2(1)n n n n n n n n θθθθθθ++=--=-对数似然函数为21223ln ()ln 2(2)ln (2)ln(1)L n n n n n θθθ=++++- 从而似然方程为231222ln ()01n n n n d L d θθθθ++=-=-. 得θ的极大似然估计量122ˆ2n n nθ+=. 【例7.6】设12,,n X X X 为总体的一个样本，求下列总体概率密度中的未知参数的极大似然估计()1,(;)0,x u ex u f x θθθ--⎧≥⎪=⎨⎪⎩其他,其中0θ>，,u θ为常数.【解】设12,,n x x x 是样本12,,n X X X 的观测值，则参数θ的似然函数为1(())1,(,)0,ni i x u i n e x u L u θθθ=--⎧∑⎪≥=⎨⎪⎩其他. 取对数 1ln (,)ln ()nii L u n x u θθθ==---∑.对参数,u θ求偏导，令其为0，则21ln (,)()0ln (,)0n i i L u n x u L u n u θθθθθθ=∂⎧=-+-=⎪⎪∂⎨∂⎪==⎪∂⎩∑110n i i u x x n n θθ=⎧+==⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩∑. 显然，上式第二式不能求出参数,u θ的关系，但由定义，当θ固定时，要使(,)L u θ最大，只需u 最大，因12,,n u x x x ≤，则参数u 的似然估计值为(1)ˆux =，从而得参数θ的极大似然值为(1)ˆx x θ=-，故,u θ的极大似然估计量为(1)ˆu X =，(1)ˆX X θ=-.基本题型Ⅲ 评价估计量的标准（无偏性与有效性）【例7.7】 样本12,,n X X X 取自总体X ，2,EX u DX σ==，则可以作为2σ的无偏估计的是 【 】()A 当u 已知时，统计量21()ni i X u n =-∑. ()B 当u 已知时，统计量21()(1)ni i X u n =--∑.()C 当u 未知时，统计量21()ni i X u n =-∑. ()D 当u 未知时，统计量21()(1)ni i X u n =--∑.【分析】当u 已知时，21()nii Xu n =-∑为统计量，利用定义有22()i i DX E X u DX σ=-==.从而 222111[()]()nn nii i i i i E Xu E X u DX n σ===-=-==∑∑∑，故 222211[()][()]nnii i i E Xu n E X u n n n σσ==-=-==∑∑.而 222211[()(1)][()](1)1)nnii i i E Xu n E X u n n n σσ==--=--=-≠∑∑所以当u 已知时，()A 入选，()B 不能入选.当u 未知时，样本函数21()nii Xu n =-∑，21()(1)ni i X u n =--∑均不是统计量，因而不能作为2σ的估计量，更不能作为无偏估计量. 选()A .【例7.8】设12,,n X X X 是总体X 的简单随机样本，则下列不是总体期望u 的无偏估计 【 】()A 11ni i X n =å. ()B 120.20.50.3n X X X ++.()C 12X X + . ()D 123X X X -+. 【分析】要验证统计量是否为无偏估计，即验证ˆE θθ=.1111[]n ni i i i E X EX u n n====邋；1212[0.20.50.3]0.20.50.30.20.50.3n n E X X X EX EX EX u u u u ++=++=++=； 1212[]2E X X EX EX u u +=+=?；123123[]E X X X EX EX EX u u u u -+=-+=-+=；选()C .【例7.9】试证明均匀分布1,0(;)0,x f x θθθ⎧<≤⎪=⎨⎪⎩其他中未知参数θ的极大似然估计量不是无偏的.【分析】 涉及总体分布时，先求估计量的概率密度（或分布律）.【解】设12,,n x x x 是样本12,,n X X X 的观测值，则参数θ似然函数为1(),0,1,i nL x i n θθθ=<≤=.是θ的一个单值递减函数.由于每一个i x θ≤，最大次序统计量的观测值()1max n i i nx x θ≤≤=≤ 在0,1,,i x i n θ<≤=中要使1()nL θθ=达到极大，就要使θ达到最小.但θ不能小于()n x ，否则样本观测值12,,n x x x 就不是来自这一总母体，所以()ˆn x θ=是θ的极大似然估计值.故最大次序统计量()ˆn X θ=是参数θ的极大似然估计量. 为要证明估计量()ˆn X θ=不是θ的无偏估计量，需求出()[]n E X ，为此先求()n X 的概率密度.因统计量()ˆn X θ=为随机样本12,,n X X X 的最大值，而12,,n X X X 独立同分布，故()n X 的概率分布函数为()ˆ()()[()]n n X F x F x F x θ==，其中()F x 为总体X 的分布函数. 由X 的概率密度可知0,0(),01,xF x x x x θθθ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩.因此()111ˆˆ,0()()[()]{[()]}()()0,n n n n n X nx x f x f x F x F x nFx f x 其他θθθθ---⎧<≤''====⋅=⎨⎩从而 1ˆ()1n nnx n E xf x dx dx n θθθθθ-+∞-∞===≠+⎰⎰. 即极大似然估计量ˆθ不为参数θ的无偏估计. 【例7.10】若未知参数θ的估计量是θ，若θθ=)ˆ(E 称θ是θ的无偏估计量.设12,θθ是未知参数θ的两个无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <则称1θ较2θ有效.【分析】由无偏估计量和有效性的定义可得.【评注】估计量的有效性是在无偏估计类的基础上定义的，这一点也特别明确. 【例7.11】设总体2(,2)XN u ，123,,X X X 为总体的一个样本，试证明11231ˆ(2)4uX X X =++和21231ˆ()3u X X X =++均为总体期望的无偏估计，并比较哪一个更有效.【证明】由于112311ˆ()(2)(4)44E uEX EX EX EX u =++== 21231ˆ()()3E uEX EX EX u =++= 故统计量12ˆˆ,uu 均为期望u 的无偏估计，又 2211231333ˆ()(4)216882D uDX DX DX σ=++==⨯=. 2221231314ˆ()()29933D uDX DX DX σ=++==⨯=. 由于12ˆˆ()()D uD u >，故2ˆu 是比1ˆu 更有效的估计量. 【例7.12】从总体X 中抽取样本12,,n X X X ，设12,,n C C C 为常数，且11ni i C ==∑，证明：（1）1ˆni ii uC X==∑为总体均值u 的无偏估计；（2）在所有这些无偏估计量1ˆni i i uC X ==∑中，样本均值11ni i X X n ==∑的方差最小. 【分析】注意到样本12,,n X X X 相互独立，且与总体X 同分布，易得ˆu的无偏性及其方差ˆ()D u，利用拉格朗日乘数法则，不难证明，当ˆu X =时方差最小. 【证明】因为样本,(1,,)i X i n =与总体X 服从相同分布，故,1,2,,i EX EX u i n ===又11nii C==∑，则11ˆ()()n ni i i i i i EuE C X C EX u =====∑∑ 从而1ˆni ii uC X==∑为总体均值u 的无偏估计.设总体方差2DX σ=，则2,1,2,i DX DX i n σ===.又样本12,,n X X X 相互独立，故222111ˆ()()n nniiii i i i i DuD C X CDX C σ======∑∑∑为确定u 的无偏估计量ˆu的方差ˆ()D u 在什么情况下最小，应当求ˆ()D u 满足条件11nii C==∑的条件极值.为此考虑函数 22111(,)()(1)n nn ii i i G C C C C σλ===+-∑∑，其中λ为常数.求偏导数(1,2,)iGi n C ∂=∂，并令它们等于零，得220,1,2,i C i n σλ+== （*）即 2,1,2,2i C i n λσ=-=.代入11ni i C ==∑,得212n λσ-=，即22n σλ-= 代入方程（*）中，即得1,1,2,i C i n n==由此可知，当11ˆni i uX X n ===∑时，方差最小. 【例7.13】设分别来自总体21(,)N u σ和22(,)N u σ中抽取容量为12,n n 的两个独立样本，其样本方差分别为21S ，22S ，试证：对于任意常数,,(1)a b a b +=，2212Z aS bS =+都是2σ得无偏估计，并确定常数,a b ，使DZ 最小.【证明】由题意，222212()EZ aES bES a b σσ=+=+=.故对任意常数,,(1)a b a b +=，2212Z aS bS =+都为2σ得无偏估计.由于222(1)(1)n S n χσ--，则22(1)()2(1)n S D n σ-=-，即224(1)2(1)n DS n σ-=-，故4221DS n σ=-，则 44222222121222(1)11DZ a DS b DS a a n n σσ=+=+--- 对a 求导，并令其为零，有 44122222(1)011dDZ a a da n n σσ=--=--解得 12121211,22n n a b n n n n --==+-+-.又 24421244011d DZ da n n σσ=+>--，故当12121211,22n n a b n n n n --==+-+-时，DZ 达到最小值. 11、设12,,n X X X 为来自正态总体2(,)N u σ的简单随机样本，u 已知，22*11ˆS σ=，222ˆS σ=，22311ˆ()1n i i X X n σ==-+∑，22411ˆ()n i i X u n σ==-∑.问在21ˆσ，22ˆσ，23ˆσ，24ˆσ中（1）那个是2σ的无偏估计量；（2）那个比较有效；（3）那个方差最小；（4）那个是2σ的相合估计量.【分析】因为2222312222ˆˆˆ(1)(1)(1)n n n n σσσχσσσ+-==-，又(0,1)i X uN σ-，故22221()()(1)i i X uX u χσσ-=-，由2χ分布性质知2242ˆ()n n σχσ.从而可求诸估计量的数学期望与方差，并回答上述问题.【解】由分析知221ˆE σσ=，2222(1)ˆ()n E n nσσσ-=→→∞， 22231ˆ()1n E n n σσσ-=→→∞+，224ˆE σσ=. 且 4212ˆ0()1D n n σσ=→→∞-，24222(1)ˆ0()n D n n σσ-=→→∞，24322(1)ˆ0()(1)n D n n σσ-=→→∞+，4242ˆ0()D n nσσ=→→∞ 从而（1）21ˆσ与24ˆσ为2σ的无偏估计量； （2）24ˆσ比21ˆσ有效；（因为2241ˆˆD D σσ<）；（3）22223241ˆˆˆˆD D D D σσσσ<<<， 即估计量23ˆσ方差最小. （4）21ˆσ，22ˆσ，23ˆσ与24ˆσ均为2σ的相合估计.基本题型Ⅳ 评价估计量的标准（一致性）【例7.14】 设总体的期望u 和方差2σ均存在，求证：（1）样本均值11ni i X X n ==∑是u 的一致估计.（2）如总体服从正态分布，则样本修正方差2211()1ni i S X X n ==--∑为2σ的一致估计. 【分析】要证明参数θ的估计量ˆθ的一致性，关键是要证明：对任意0ε>,有{}ˆlim 1n n P θθε→∞-<=.从事件对应概率{}ˆnP θθε-<的极限求解上，可以使用切比雪夫不等式，即{}2ˆ()ˆD Pθθθεε-≥≤或{}2ˆ()ˆ||1D Pθθθεε-<≥-.【证明】（1）由切比雪夫不等式有，对0ε∀>2111()11(||)111()ni ni i i D X n P X u n n nσεεε==≥-<≥-=-→→∞⋅∑∑.由夹逼定理可得，{}lim 1n P X u ε→∞-<=，即11ni i X X n ==∑为参数u 的一致估计量.（2）因为2221111[()]()11n n i i i i ES E X X E X X n n ===-=---∑∑. 22221111[][]11nn i i i i E X nX EX nEX n n ===-=---∑∑ 2222211[()()]1n i u n u n nσσσ==+-+=-∑，即2S 为2σ的无偏估计. 又样本来自正态总体，由抽样分布定律知222(1)(1)n S n χσ--，有22(1)()2(1)n S D n σ-=-从而22424422222(1)(1)2()()()2(1)(1)(1)(1)1n S n S D S D D n n n n n σσσσσσ--===-=----.由切比雪夫不等式有，0ε∀>2422()21(||)111()(1)D S P S n n σσεεε≥-<≥-=-→→∞-从而有22lim (||)1n P S σε→∞-<=，即2S 为2σ的一致估计量.【例7.15】设ˆnθ为θ的估计量（用容量为n 的样本），如果ˆlim n n E θθ→∞=，ˆlim 0n n D θ→∞=，则ˆnθ为θ的一致估计量. 【证明一】为证ˆnθ为θ的一致估计量，下证{}ˆlim 0n n P θθε→∞-≥=. 而 {}22ˆˆ22ˆˆˆ()()ˆ()()nnn nnnE Pf x dx f x dx θθθθεθθθθθθεεε+∞-∞-≥---≥=≤=⎰⎰又 22222ˆˆˆˆˆ()(2)2n n n n n E E E E θθθθθθθθθθ-=-+=-+ 22ˆˆˆ()2n n nD E E θθθθθ=+-+ 故{}22ˆ()ˆlim lim[]0nnn n E P θθθθεε→∞→∞--≥≤=，即ˆnθ为θ的一致估计量. 【证明二】由切比雪夫不等式有{}2ˆˆ(||)n nP D θθεθθε-≥≤-. 而 222ˆˆˆˆ(||)()(||)()n n n nD E E E θθθθθθθθ-=---≤-. 由证明一知，2ˆlim (||)0nn E θθ→∞-=，或者用下列方法直接证明 22ˆˆˆˆ()()n n n nE E E E θθθθθθ-=-+- 22ˆˆˆˆˆˆ()2[()()]()n n n n n n E E E E E E E θθθθθθθθ=-+--+- 222ˆˆˆˆˆ0()()2n n n n nD E D E E θθθθθθθθ=++-=+-+ 22222ˆˆˆˆ()220()n n n nD DE E n θθθθθθθθθ=++-+→-+=→∞ 故{}ˆlim 0n n P θθε→∞-≥=，即ˆnθ为θ的一致估计量. 【评注】用定义验证估计量是一致估计量，一般都不太容易，可利用上例中的结论证明之，从而将统计量的一致性的证明转化为统计量的期望与方差的极限性质的论述，这是一个比较实用的证法.【例7.16】设随机变量X 在[0,]θ上服从均匀分布，由此总体中抽取一随机样本1X ，试证明：1121ˆˆ2,X X θθ==都不为θ的一致估计.【分析】由上例（例7.16）可知，只需论证估计量的期望和方差的极限性质.【证明】因111ˆ(2)222E E X E X θθθ===⋅=，故1ˆθ为θ的无偏估计，且21ˆ2E EX θθθ==≠，故2ˆθ不为θ的无偏估计.为证1ˆθ不为θ的一致估计，只需证明1ˆlim 0n D θ→∞= 22111ˆlim lim (2)lim 4lim 4lim 0123n n n n n D D X DX θθθ→∞→∞→∞→∞→∞===⋅=≠. 故1ˆθ不为θ的一致估计. 【例7.17】设总体X 服从均匀分布[0,]U θ，试证明：θ的极大似然估计()1max n ii nX X ≤≤=为θ的一致估计.【证明】 设总体X 的密度函数为()f x ，则1,0()0,x f x θθ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，故最大次序统计量()n X 的概率密度函数为1,0()0,n n n nx x f x θθ-⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，从而1()0()0()1n n nnx nE X xdx n n θθθ-==→→∞+⎰ 且 1222()()2n n nnx nE Xxdx n θθθ-==+⎰ 故222()()()()()()2n n n n D X E X EX EX θθθ=-=-+ 2222220()21(1)(2)n n n n n n n θθθθ=-+=→→∞++++ 由前例可知，θ的极大似然估计()1max n i i nX X ≤≤=为θ的一致估计.基本题型Ⅴ 求置信区间相关题型【例7.18】设θ是总体X 中的参数，称),(θθ为θ的置信度a -1的置信区间，即【 】()A ),(θθ以概率a -1包含θ . ()B θ 以概率a -1落入),(θθ.()C θ以概率a 落在),(θθ之外 . ()D 以),(θθ估计θ的范围，不正确的概率是a -1.【分析】由置信区间的定义可知， 区间(),θθ为随机区间. 选()A .【例7.19】设),(~2σμN X 且2σ未知，若样本容量为n ，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则μ的95%的置信区间为 【 】()A )(025.0u n X σ±.()B ))1((05.0-±n t n S X .()C ))((025.0n t nS X ±. ()D ))1((025.0-±n t nSX .【分析】由题意，总体),(~2σμN X ，且2σ未知，故应构造统计量(1)X T t n =-，则参数μ的置信水平为195%α-=的置信区间为))1((025.0-±n t nS X .选()D .【例7.20】假设00.2,80.0,25.1,50.0是总体X 的简单随机样本值，已知X Y ln =服从正态分布)1,(μN .（1）求X 的数学期望EX （记EX 为b ）； （2）求μ的置信度为95.0的置信区间；（3）利用上述结果求b 的置信度为95.0的置信区间. 【解】（1）Y 的概率密度为： +∞<<-∞=--y y f ey ,21)(22)(μπ，于是，（令μ-=y t ）dy Ee EX b ee y y Y⎰+∞∞---===2)(221μπ22111222(1)2t t t dt dt e e eem m m +??+-+--+??===蝌（2）当置信度95.01=-α时，05.0=α.标准正态分布的水平为05.0=α的分位数为96.105.0=μ.故由)41,(~μN Y ，可得95.096.12196.12196.121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯+<<⨯-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-Y Y P Y P μμ其中01ln 41)2ln 125.0ln 8.0ln 5.0(ln 41==+++=Y . 于是 {}95.098.098.0=<<-μP 从而)98.0,98.0(-就是μ的置信度为95.0的置信区间. （3）由函数xe 的严格递增性，有{}e e eP P 48.148.02148.12148.095.0<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<-=+-μμ 因此b 的置信度为95.0的置信区间为),(48.148.0e e-.【例7.21】某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径（单位：毫米）如下14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8 设滚珠直径服从正态分布，若（1） 已知滚珠直径的标准差为0.15σ=毫米； （2） 未知标准差σ；求直径均值u 的置信度0.95的置信区间.【分析】对于正态分布总体，若已知标准差σ时，均值u 的置信度1α-的置信区间为/2/2X u X u αα⎛-+ ⎝；未知标准差σ时，均值μ的置信度1α-的置信区间为/2/2((X t n X t n αα⎛--+- ⎝，其中S 时样本的标准差.【解】（1）0.025 1.96u =，9n =.经计算14.91x =.故已知滚珠直径的标准差0.15σ=毫米时，直径u 的置信度0.95的置信区间为：()14.91 1.96 1.9614.81,15.01⎛-+= ⎝.（2）经计算：样本标准差0.2028S =，查表可知0.025(8) 2.306t =，于是直径u 的置信度0.95的置信区间为：()14.91 2.306 2.30614.75,15.07⎛-+= ⎝.【例7.22】设某糖厂用自动包装机装箱外运糖果，由以往经验知标准差为1.15kg ，某日开工后在生产线上抽测9箱，测得数据如下（单位：kg ）99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5（1）试估计生产线上包装机装箱糖果的期望重量的区间估计（0.05α=）； （2）试求总体标准差σ的置信度为0.95的置信区间，并判断以前经验数据标准差为1.15kg 是否仍然合理可用？【解】（1）由题设可知，总体方差 1.15σ=为已知，根据经验数据有911899.899.9899i i x x ====∑，当0.05α=时，查表可得0.02521.96U U α==，故参数u 的置信度为0.95的置信区间为0.0250.025((99.23,100.73)x U x U -+=.（2）由题设可知总体均值未知，故根据经验数据有2211() 1.4694n i i S x x n ==-=∑，当0.05α=时，查表可得220.9750.025(8) 2.180,(8)17.35χχ==，从而参数2σ的置信度为0.95的置信区间为22220.0250.975(1)(1),(0.6704,5.3923)(8)(8)n S n S χχ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故参数σ的置信度为0.95的置信区间为(0.8188,2.3221).而以往经验数据标准差为 1.15S =，仍然在(0.8188,2.3221)内，故认为仍然合理可用.【例7.23】设总体X 服从正态分布2(,)N u σ，已知220σσ=，要使总体均值u 对应于置信水平1α-的置信区间的长度不大于l ，问应抽取多大容量的样本？ 【解】由于2(,)X N u σ，且220σσ=为已知，因此当置信水平1α-时，均值u 的置信区间为22(,)X X αα，其区间长度为2α，于是有2l α≤，即可得220224n U l ασ≥. 【例7.24】设总体X 服从正态分布2(,)N u σ，20,u σ均为未知参数，12,,n X X X 为来自总体X 的一个随机样本，求关于u 的置信水平为1α-的置信区间的长度l 的平方的数学期望.【解】因20σ未知，选用统计量(1)X T t n =-.得参数u 的置信水平为1α-的置信区间为/2/2((X t n X t n αα⎛--+- ⎝，其区间长度为/22(l t n α=-，于是2222222/2/2/244[4(1)](1)()(1)S El E t n t n E S t n n n n nααασ=-=-=-.【例7.25】在甲乙两城市进行家庭消费调查，在甲市抽取500户，平均每户每年消费支出3000元，标准差为1400S =元；在乙市抽取100户，平均每户每年支出4200元，标准差为2500S =元，设两城市家庭消费支出均服从正态分布211(,)N u σ和222(,)N u σ，试求： （1）甲乙两城市家庭平均每户年消费支出间差异的置信区间（置信度为0.95）；（2）甲乙两城市家庭平均每户消费支出方差比的置信区间（置信度为0.90）.【解】（1）在本题中虽211,u σ和222,u σ均未知，但由于抽取样本500,1000n m ==都很大（在使用中只要大于50即可），故可用U 统计量，即参数12u u -的置信度为1α-的置信区间为X Y uX Y u ⎛---+ ⎝，故由3000X =，4200Y =，1400S =，2500S =以及10.95α-=即0.05α=，查表可得0.025 1.96u =，因此30004000 1.96120046.79X Y u ⎛-±=-±-± ⎝ 即甲乙两城市家庭平均每户年消费支出间差异的置信度为0.95的置信区间为(1246.79,1153.21)--，由于此置信区间的上限小于零，在实际问题中可认为乙市家庭平均每户年消费支出要比甲市大. （2）由500,1000n m ==，1400S =，2500S =，10.90α-=即0.1α=，查表可得：0.052(1,1)(499,999) 1.13F n m F α--==，0.9510.05211(1,1)(499,999)(999,499) 1.11F n m F F α---=== ，且2212224000.64500S S == 于是所求的置信区间为22112220.0520.95110.64,(,0.64 1.11)(0.566,0.710)(499,999)(499,999) 1.13S S S F S F ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭ 由于置信区间上限小于1，故可认为乙市家庭平均每户年消费支出的方差要比甲市大. 【例7.26】某商店销售的一种商品来自甲乙两个厂家，为考察商品性能上的差异，现从甲乙两个厂家生产产品中分别抽取了8见和9件产品，测其性能指标X 得到两组样本观测值，经计算得 2.190X =， 2.238Y =，210.006S =，220.008S =假设性能指标X 均服从正态分布2(,)(1,2)i iN u i σ=，试求方差比2122σσ及均值差12u u -的90%的置信区间.【解】（1）先求方差比2122σσ置信度为90%的置信区间.由10.90α-=即0.1α=，查F 分布表可得0.052(1,1)(7,8) 3.5F n m F α--==，0.9510.05211(1,1)(7,8)(8,7) 3.73Fn m F F α---===故所求置信区间为22112220.0520.95110.00610.006,(, 3.73)(0.214,2.798)(7,8)(7,8)0.0083.500.008S S S F S F ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 由于此区间包含1，故可认为2212σσ=.（3）由（1）可知，2212,σσ未知，但22212σσσ==，因此12u u -的置信区间为()/220.048 1.75310.0840.4860.0480.0716X Y t n m S α-±+-=-±⨯⨯=± 即(0.1196,0.0236)-，其中0.05(15) 1.7531t =，()()22122110.00712wn S m S S n m -+-==+-，即两个厂家生产的产品性能上无显著性差异.§历年考研真题评析1、【02.3.3】 设总体X 的概率密度为(),,(;)0,.x e x f x x q q q q --ìï³ï=íï<ïî，而12,,,nX X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数q 的矩估计量为_________.【分析】由于()()1x E X xe dx q qq +?--==+ò，因此，()1E X q =-，q 的矩估计量为11ˆ11ni i X X n q ==-=-å. 2、【04.3.4】设总体X 服从正态分布21(,)N m s ，总体Y 服从正态分布22(,)N m s ，112,,,n X X X 和 212,,,n Y Y Y 分别是来自总体X 和 Y 的简单随机样本，则12221112()()2n n i i i j X X Y Y E n n ==轾犏-+-犏犏=犏+-犏犏臌邋__________. 【分析】由于11222211111(),()(1)1n n i i i i E X X EX X n n s s ==骣骣鼢珑鼢-=-=-珑鼢珑鼢-桫桫邋；22221()(1)n i j E Y Y n s =骣÷ç÷-=-ç÷ç÷ç桫å. 因此， 原式1212n n =+-1222211()()n n ii i j E X X Y Y s ==骣÷ç÷-+-=ç÷ç÷ç桫邋. 3、【97.1.5】设总体X 的概率密度为(1),01()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其他其中1θ>-是未知参数，12,,n x x x 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计值.【解】总体X 的数学期望为1101()(1)2EX xf x dx x dx θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰ 令12X θθ+=+，得参数θ的矩估计量为21ˆ1X X θ-=-. 设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为1(1),01(1,2,)0,n ni i i x x i n L θθ=⎧⎛⎫+<<=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩∏其他当01(1,2,)i x i n <<=时，0L >且1ln ln(1)ln nii L n xθθ==++∑令1ln ln 01ni i d L n x d θθ==+=+∑，得θ的极大似然估计值为 1ˆ1ln nii nxθ==--∑.从而θ的极大似然估计量为1ˆ1ln nii nXθ==--∑.4、【99.1.6】设总体X 的概率密度函数为36(),0()0,xx x f x θθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，12,,nX X X 是取自总体X 的简单随机样本.（1）求θ的矩估计量ˆθ； （2）求ˆθ的方差ˆ()D θ. 【解】（1）236()()2x EX xf x dx x dx θθθθ+∞-∞==-=⎰⎰记11n i i X X n ==∑，令2X θ=，得θ的矩估计量ˆ2X θ=. （2）由于32223066()()20x EX x f x dx x dx θθθθ+∞-∞==-=⎰⎰222226()()20220DX EX EX θθθ=-=-=因此ˆ2X θ=的方差为 24ˆ(2)4()5D D X D X DX n nθθ====. 5、【00.1.6】设某种元件的使用寿命X 的概率密度函数为2()2,(,)0,x e x f x x θθθθ--⎧>=⎨≤⎩，其中0θ>为未知参数，又设12,,n x x x 是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值.【解】似然函数为 12()122,(1,2,)()(,,;)0,ni i x ni n e x i n L L x x x θθθθ=--⎧∑⎪≥===⎨⎪⎩其他当(1,2,)i x i n θ≥=时，()0L θ>，取对数，得1ln ()ln 22()nii L n x θθ==--∑因为ln ()20d L n d θθ=>，所以()L θ单调增加.由于θ必须满足(1,2,)i x i n θ≥=，因此当θ取12,,n x x x 中的最小值时，()L θ取最大值，所以θ的最大似然估计值为12ˆmin(,,)n x x x θ=，最大似然估计量为12ˆmin(,,)n X X X θ=.6、【04.1.9】 设总体X 的分布函数为11,1(,)0,1x F x xx ββ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩，其中未知参数1β>，12,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，求（1）β的矩估计量； （2）β的极大似然估计量.【解】X 的概率密度函数为1,1(,)0,1x f x x x βββ+⎧>⎪=⎨⎪≤⎩（1）由于11(;)1EX xf x dx xdx xβββββ+∞+∞+-∞===-⎰⎰令1X ββ=-，解得ˆ1X X β=-，故参数β的矩估计量为ˆ1X X β=-. （2）似然函数为1121,1(1,2,)()(,)()0,1nni i n i x i n L f x x x x x ββββ+=⎧>=⎪==⎨⎪≤⎩∏当1(1,2,)i x i n >=时，()0L β>，取对数得1ln ()ln (1)ln ni i L n x βββ==-+∑，两边对β求导，得1ln ()ln ni i d L n x d βββ==-∑， 令ln ()0d L d ββ=，可得1ˆln nii nxβ==∑，故β的极大似然估计量为1ˆln nii nXβ==∑.7、【06.1.9】设总体X 的概率密度为,01(,)1,120,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他，其中(01)θθ<<是未知参数，12,,n X X X 为来自总体的简单随机样本，记N 为样本值12,,n x x x 中小于1的个数，求θ的最大似然估计. 【解】 由题意，设样本12,,n x x x 按照从小到大为序（即顺序统计量的观测值）有如下关系：(1)(2)()(1)()1N N n x x x x x +≤≤≤≤≤≤≤似然函数为(1)(2)()(1)()(1),1()0,N n N N N n x x x x x L θθθ-+⎧-≤≤≤≤≤≤≤=⎨⎩其他对似然函数非零部分取对数得到 ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--ln ()01d L N n N d θθθθ-=-=-，从而ˆN n θ=，即θ的最大似然估计值为N n. 【评注】本题着重考察了最大似然估计的概念和求似然估计的基本方法，本题的难点是“N 为样本值12,,n x x x 中小于1的个数”的理解.8、【09.1.11】设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他，其中参数λλ>（0）未知，12,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本（1）求参数λ的矩估计量；（2）求参数λ的最大似然估计量. 【解】（1）由题意，2202x EX x e dx X λλλ+∞-===⎰，从而2ˆXλ=为总体的矩估计量. （2）构造似然函数121211(,,;)(;)nii nnx nn i i i i L x x x f x x eλλλλ=-==∑==⋅∏∏.取对数11ln 2ln ln nniii i L n x x λλ===+-∑∑.令ln 0d L d λ=，有120n i i n x λ=-=∑，故λ的最大似然估计值为1122ˆ1nn i i i i n x x n λ====∑∑ 故其最大似然估计量为122ˆ1ni i XX n λ===∑. 9、【04.3.13】设随机变量X 的分布函数为1(),(,,)0,x F x xx βαααβα⎧->⎪=⎨⎪≤⎩，其中参数0,1αβ>>，设12,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（1）当1α=时，求未知参数β的矩估计量； （2）当1α=时，求未知参数β的最大似然估计量； （3）当2β=时，求未知参数α的最大似然估计量.【解】当1α=时，X 的概率密度为1,1(,)0,1x f x x x βββ+⎧>⎪=⎨⎪≤⎩（1）由于11(,)1EX xf x dx x dx xβββββ+∞+∞+-∞==⋅=-⎰⎰令1X ββ=-，解得1XX β=- 从而得未知参数β的矩估计量为ˆ1XX β=-. （2）对于总体X 的样本值12,,n x x x ，似然函数为1121,1(1,2,)()(;)()0,nni i n i x i n L f x x x x ββββ+=⎧>=⎪==⎨⎪⎩∏其他当1(1,2,)i x i n >=时，()0L β>，取对数得1ln ()ln (1)ln ni i L n x βββ==-+∑对β求导数，得似然方程1[ln ()]ln 0ni i d L n x d βββ==-=∑ 解得 1ln nii nxβ==∑，于是β的最大似然估计量为1ˆln nii nXβ==∑.（3）当2β=时，X 的概率密度为232,(,)0,x f x x x ααβα⎧>⎪=⎨⎪≤⎩对于总体X 的样本值12,,n x x x ，似然函数为231212,(1,2,)()(;)()0,n nni i n i x i n L f x x x x ααββ=⎧>=⎪==⎨⎪⎩∏其他当(1,2,)i x i n α>=时，α越大，()L α越大，即α的最大似然估计值为 12ˆmin{,,}n x x x α=.于是α的最大似然估计量为12ˆmin{,,}n X X X α=.10、【03.1.8】设总体X 的概率密度函数为2()2,(,)0,x e x f x x θθθθ--⎧>=⎨≤⎩，其中0θ>为未知参数.从总体X 中抽取简单随机样本12,,n X X X ，记12ˆmin(,,)n X X X θ=.（1）求总体X 的分布函数()F x ；（2）求统计量ˆθ的分布函数ˆ()F x θ； （3）如果用ˆθ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性. 【解】（1）2()1,()()0,x xe x F xf t dt x θθθ---∞⎧->==⎨≤⎩⎰（2）ˆ12ˆ(){}{min(,,)}n F x P x P X X X x θθ=≤=≤12121{min(,,)}1{,,}n n P X X X x P X x X x X x =->=->>>2()1,1[1()]0,n x ne x F x x θθθ--⎧->=--=⎨≤⎩（3）ˆθ概率密度为 2()ˆˆ()2,()0,n x dF x ne x f x dx x θθθθθ--⎧>==⎨≤⎩因为 2()ˆ01ˆ()22n x E xf x dx nxe dx nθθθθθ+∞+∞---∞===+≠⎰⎰ 所以ˆθ作为θ的估计量不具有无偏性. 11、【07.1.11】设总体X 的概率密度为1,021(,),12(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤≤⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中(01)θθ<<是未知参数，12,,n X X X 为来自总体的简单随机样本，X 是样本均值.（1）求参数θ的矩估计量ˆθ； （2）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【解】（1）10(,)22(1)x xEX xf x dx dx dx θθθθθ+∞-∞==+-⎰⎰⎰11(1)4424θθθ=++=+. 令124X θ+=，其中11n i i X X n ==∑，解方程得θ的矩估计量为:1ˆ22X θ=-. (2) 2222(4)4()4[()]4[()]DXE X E X DX E X E X n==+=+ 而22122(,)22(1)x x EX x f x dx dx dx θθθθθ+∞-∞==+-⎰⎰⎰22221111()()()36624DX E X E X θθθ=-=++-+211366θθ=++2115121248θθ=-+. 故2222313135(4)4[()]312DX n n n E X E X n n n nθθθ+-+=+=++≠所以24X 不是2θ的无偏估计量.12、【08.1（3）.11】设12,,n X X X 是总体2(,)N u σ的简单随机样本，记11n i i X X n ==∑，2211()1n ii S X X n ==--∑,221T X S n=- (1) 证T 是2u 的无偏估计量； (2) 当0,1u σ==时，求DT .【分析】（1）要证2ET u =；（2）求DT 时，利用2X 与2S 独立性.【解】（1）222211()()()ET E X S E X E S n n=-=- 222222111()()()D X E X E S u u n n nσσ=+-=+-=所以T 是2u 的无偏估计量.（2）当0,1u σ==时，(0,1)X N ，1(0,),0XN ET n=2222211()()()DT D X S D X D S n n=-=+22222111[(1)](1)D D n S n n n =+-- 22221122(1)(1)(1)n n n n n n =+⋅-=--. 【评注】若2(,)XN u σ，则22222222111,,,()2(1),((1))n n EX u DX ES D S n S n n σσχσσ--====--.13、【03.1.4】已知一批零件的长度X （单位cm ）服从正态分布(,1)N m ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40（cm ），则m 的置信度为0.95的置信区间是_____.（注：标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645)0.95F =F =）.【分析】这是一个正态分布方差已知求期望值m 的置信区间问题，该类型置信区间公式为(,)I x x=-+ 其中l 由{||}0.95P U l <=确定（(0,1)U N ），即 1.96l =，将40,1,16x n s ===及1.96l =代入得到m 的置信度为0.95的置信区间为（39.51,40.49）.14、【05.3.13】设12,,(2)n X X X n >为来自总体2(0,)N σ的简单随机样本，X 为样本均值，记,1,2,i i Y X X i n =-=，求（1）i Y 的方差,1,2,i DY i n =；（2）1Y 与n Y 的协方差1(,)n Cov Y Y ；（3）若21()n c Y Y +是2σ的无偏估计量，求常数c . 【解】由题设12,,(2)n X X X n >是简单随机样本，因此12,,(2)n X X X n >相互独立，且与总体同分布，即 22(0,),0,(1,2,)ii i X N EX DX i n σσ===.（1）111(1)n i i j i j j iY X X X X n n=≠=-=-+-∑.111()[(1)]n i i j i j j iDY D X X D X X n n=≠=-=-+-∑22222211111(1)1()(1)n n j i j j j ij in n DX DX DX DX n n n n nσ==≠≠--=-+-=+=∑∑. （2）12,,(2)n X X X n >相互独立，所以,(,),1,2,,0,i i j DX i jCov X X i j n i j =⎧==⎨≠⎩11(,)(,)n n Cov Y Y Cov X X X X =--11(,)(,)(,)(,)n n Cov X X Cov X X Cov X X Cov X X =--+；2111111111(,)(,)(,)n n i i i i Cov X X Cov X X Cov X X DX n n n nσ======∑∑；类似地， 21(,)n n Cov X X DX n nσ==又因为2DX nσ=，故22221(,)0n Cov Y Y nnnnσσσσ=--+=-.（3）首先计算21()n E Y Y +.由于11()0n n E Y Y EY EY +=+=所以 21111()()2cov(,)n n n n E Y Y D Y Y DY Y Y DY +=+=++22221122(2)n n n n n n nσσσσ---=+-= 若21()n c Y Y +是2σ的无偏估计量，c 应满足下面等式2222112(2)[()][()]n n c n E c Y Y cE Y Y nσσ-=+=+=故 2(2)nc n =-.§习题全解( A )1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量.【解】由题意，X 的分布律为： ()(1),0k N kN P X k p p k N k -⎛⎫==-≤≤ ⎪⎝⎭. 总体X 的数学期望为(1)(1)011(1)(1)1NNk N k k N k k k N N EX k p p Np p p k k ----==-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑ 1((1))N Np p p Np -=+-=则EXp N=.用X 替换EX 即得未知参数p 的矩估计量为ˆX pN =. 设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数为111211(,,;)()(1)nniii i nnx nN x n i i i i N L x x x p P X x p p x ==-==∑∑⎛⎫===⋅- ⎪⎝⎭∏∏取对数111ln ln ln ()ln(1)nnni i i i i i N L x p nN x p x ===⎛⎫=+⋅+-⋅- ⎪⎝⎭∑∑∑，11ln (1)nni i i i x nN x d L dp p p ==-=--∑∑.令ln 0d L dp =，解得p 的极大似然估计值为 11ˆni i x n p N==∑. 从而得p 的极大似然估计量为 11ˆni i X X n pN N===∑. 2、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为22,0(;)0,xx f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它.其中参数0θ>，求θ的矩估计. 【解】取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则2022()3xEX xf x dx x dx θθθ+∞-∞==⋅=⎰⎰32EX θ⇒=用X 替换EX 即得未知参数θ的矩估计量为3ˆ2X θ=. 3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--0,0,0,);(1x x e x x f x αλαλαλ其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计.【解】设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为1()1121(),0(,,,;)0,ni i n x n n i i n i x e x L x x x αλαλαλ=--=⎧∑⎪⋅≥=⎨⎪⎩∏其他取对数 11ln ln ln (1)(ln )()n niii i L n n x x αλααλ===++--∑∑.解极大似然方程1ln 0n i i d L n x d αλλ==-=∑，得λ的极大似然估计值为1ˆni i nx αλ==∑.4、设总体X 服从几何分布 ,10,,2,1,)1()(1<<=-==-p k p p k X P k 试利用样本值n x x x ,,,21 ,求参数p 的矩估计和最大似然估计.【解】因11111(1)(1)k k k k EX k p p p k p p∞∞--===⋅-=⋅-=∑∑, 用X 替换EX 即得未知参数p 的矩估计量为1ˆpX=.在一次取样下，样本值12(,,,)n x x x ，即事件1122{},{},,{}n n X x X x X x ===同时发生，由于12,,,nX X X 相互独立，得联合分布律为121122(,,,;)()(),,()n n n L x x x p P X x P X x P X x ==== 12111(1)(1)(1)n x x x p p p p p p ---=-⋅--,即得极大似然函数为1()(1)ni i x nnL p p p =-∑=-取对数 1ln ()ln ()ln(1)ni i L p n p x n p ==+--∑解极大似然方程1ln ()01nii x nd L p n dp p p=-=-=-∑。
区间估计习题
区间估计习题计算题1、在稳定⽣产的情况下，某⼯⼚⽣产的电灯泡使⽤时数可认为是服从正态分布，观察20个灯泡的使⽤时数，测得其平均寿命为1832⼩时，标准差为497⼩时。
试构造灯泡使⽤寿命的总体平均值95%的置信区间。
（1599.4，2064.6）2、某商场营业员的劳动效率进⾏纯随机不重复抽样，共抽查60⼈，查得每⼈每⽇平均销售额为300元，其标准差为24.50元。
该商场共有营业员600⼈，在概率保证程度为95%时，要求：（1）计算抽样平均误差；（2）推断该商场营业员每天平均销售额的置信区间。
3；（294.12，305.88）3、某灯泡⼚对⽣产的10000只⽇光灯进⾏质量检验，随机抽取100只，测得灯管的平均发光时间为2000⼩时，发光时间的标准差为50⼩时。
在95.45%的概率保证下，试估计这批灯管平均发光时间的范围。
如果要求最⼤允许误差不超过15⼩时，试问这批灯管的平均发光时间范围⼜是多少？其估计的概率保证程度是多⼤？（1990，2010）；（1985，2015）；99.73%4、包糖机某⽇开⼯包了16包糖。
假设重量服从正态分布。
称重后得样本平均重量1千克，样本标准差0.08千克，试求该⽇重量平均数的95%的置信区间。
（0.957，1.043）5、由36名⾼年级学⽣组成⼀个随机样本，要求他们分别记下每周观看电视的时间，根据以往的调查，它服从标准差为6的正态分布，从记录结果算出样本平均数为15个⼩时，试求总体平均数99%的置信区间。
（12.44，17.56）6、某⽆线电⼚想测定某型号收录机的功率，随即抽取121台该型号的收录机进⾏测试，获得其平均功率为1.98⽡，由以往的经验得知总体标准差为0.3⽡。
试以95%的置信度确定该型号收录机功率的区间。
（1.927，2.033）7、为防⽌出⼚产品缺⽄少两，某⼚质检⼈员从当天产品中随机抽取12包过称，称得重量（以g为单位）分别为：9.9，10.1，10.3，10.4，9.7，9.8，10.1，10.0，9.8，10.3。
参数估计习题-缩小版
1 假定观测z 0，z 1，…，z N-1是独立同分布的，且在（0，θ）上服从均匀分布，求θ的最大似然估计。
似然估计。
2 给定一独立观测序列z 0，z 1，…，z N-1，其均值为m,方差为σ2,试问：试问：（1） 样本均值样本均值z̅=1N�z iN −1i =0是否是m 的无偏估计？并求的方差。
的无偏估计？并求的方差。
（2） 若方差的估计是若方差的估计是σ�2=1N �(z i N −1i =0−z̅)2σ�2是否是σ2的无偏估计？的无偏估计？ 3 设有N 次独立观测zi =A +w i ,i =0,1,…,N −1其中w i ~N (0,σ2),A 在(−A 0,A 0)上服从均匀分布，证明A 的最大后验概率估计为的最大后验概率估计为 Amap �−A 0 z̅<−A 0 z̅ −A 0≤z̅ ≤A 0A 0 z̅>A 0式中，z̅=1N ∑z iN −1i =0. 4 设随机参量θ的后验概率密度为的后验概率密度为P (θ|z )=ε√2πexp �−12(θ−z )2�+1−ε√2πexp [−12(θ+z)2] 式中，ε是任意常数，0<ϵ<1，求θ的最小均方估计和最大后验概率估计。
的最小均方估计和最大后验概率估计。
5 设有N 次观测次观测z i =Ar i +w i ，i =0,1,…,N −1其中，w i是零均值高斯白噪声，方差为σ2，r >0是已知的，求估计A 的CRLB 。
证明有效估计量存在，并求它的方差。
对不同的 r 值，当N →∞时估计的方差会怎样？时估计的方差会怎样？6 设观测的概率密度为p(z|θ),θ为未知常量，待估计量为α=g(g(θθ)证明：估计α的CRLB 为V ar(α�)≥�ðg (θ)ðθ�2−E �ð2lnp (z |θ)ðθ2�7 考虑一个正弦参数的估计问题，假定观测为考虑一个正弦参数的估计问题，假定观测为z [n ]=Acos Acos((2πf 0n +∅)+w [n ]，n =0,1,…,N −1 其中，w [n ]为零均值高斯白噪声，方差为σ2，A ，f 0，∅为未知参量，且A >0，0<f 0<1/2，设θ=[A f 0 ∅]T ，证明θ的费希尔信息矩阵为的费希尔信息矩阵为I (θ)=1σ2⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡12N 0002A 2π2�n 2N−1n=0A 2π�n N−1n=00A 2π�nN−1n=012NA 2⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤=1σ2⎣⎢⎢⎡12N00013N (N −1)(2N −1)A 2π213N (N −1)(2N −1)A 2π212N (N −1)A 2π12NA 2⎦⎥⎥⎤8设观测模型为设观测模型为z i =a +w i ，i =0,1,…,N −1 式中，随机变量a 为信号幅值，E [a ]=0，E [a2]=A(A 为已知常数)，w i是零均值白噪声，E �w i w j �=σ2δij，E [wi a ]=0，求a 的线性最小均方估计。