广东省汕头市金山中学2018-2019学年高一(上)期中数学二模试卷
2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{|12,}M x x x R =-<∈，集合{}1,0,1,2,3N =-，则M N ⋂=（ ） A ．{}0,1,2 B ．{}1,0,1,2- C ．{}1,0,2,3- D ．{}0,1,2,3【答案】A【解析】试题分析：由题意得，{|23}M x x =-<<，所以{}0,1,2M N ⋂=，故选A ． 【考点】集合的运算． 2．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53πB ．23πC ．52πD ．2π【答案】C【解析】直接利用扇形弧长公式求解即可得到结果. 【详解】由扇形弧长公式得：55362L r ππα==⨯=本题正确选项：C 【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用，属于基础题.3．若01a <<，则函数log (5)a y x =+的图象（ ） A ．不经过第一象限，但过点()4,0- B ．不经过第二象限，但过点()4,0- C ．不经过第三象限，但过点()0,1 D ．不经过第四象限，但过点()4,1a -【答案】A【解析】根据函数log a y x =，01a <<的图象过一、四象限，过定点(1,0)，由平移变换得出答案. 【详解】 函数log ay x =，01a <<的图象过一、四象限，过定点(1,0)函数log (5)a y x =+的图象可看成log ay x =向左平移5个单位得到，则不经过第一象限当4x =-时，log 10a y ==，即过点()4,-0 故选：A 【点睛】本题主要考查了对数函数过定点以及函数图象的平移的应用，属于基础题. 4．对于,a b 是任意非零实数，且a b >，又R c ∈，则有（ ） A ．lg()0a b -> B ．22ac bc >C ．11a b<D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】取特殊值排除ABC 选项；利用指数函数的单调性判断D 选项. 【详解】当2,1a b ==时，lg()0a b -=，故A 错误； 当0c =时，22ac bc =，故B 错误； 当1,1a b ==-时，11a b>，故C 错误； 因为函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，a b >，所以1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确 故选:D 【点睛】本题主要考查了根据所给条件判断不等式是否正确，属于基础题. 5．函数()21xf x x =+，则函数()y f x =的最大值是（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】证明该函数的奇偶性以及单调性，画出图象，即可判断其最大值. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，2()()1xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数 设120x x <<，()()()()()()211212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ 当1201x x <<…时，21120,10x x x x ->-<()()()()12120,f x f x f x f x \-<<，即()f x 在区间(0,1]上单调递增当121x x <…时，21120,10x x x x ->->()()()()12120,f x f x f x f x ∴->>，即()f x 在区间[1,)+∞上单调递减由于函数()f x 为奇函数，并且当0x ≤时，()0f x ≤；当0x >时，()0f x > 则其函数图象如下图所示由图可知，函数()y f x =的最大值是max 1()(1)2f x f == 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性，单调性求函数的最值，属于中档题.6．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败）.已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出海后时间t （分）满足的函数关系式为()th t m a =⋅.若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知lg 20.3≈，结果取整数）（ ） A ．33分钟 B ．40分钟C ．43分钟D ．50分钟【答案】C【解析】由1020(10)0.1(20)0.2h ma h ma ⎧==⎨==⎩得出()h t 的解析式，再利用对数的运算性质解方程110220t⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可得出答案. 【详解】由题意得1020(10)0.1(20)0.2h ma h ma ⎧==⎨==⎩，解得1102,0.05a m == 故110()0.052th t ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭令110()0.0521th t ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，得110220t⎛⎫= ⎪⎝⎭故110lg 201lg 210(10.3)4310.3lg 2lg 210t ++==≈≈分钟 故选：C 【点睛】本题主要考查了指数型模型的实际应用，属于中档题.7．已知0,0a b >>，且1ab =，则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】依题意，由于,a b 为正数，且1ab =，故()()1,log bf xg x x =单调性相同，所以选B .8．如果tan 2θ=，那么()171sin sin 2πθπθ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．54B ．53 C ．73D ．75【答案】D【解析】利用诱导公式化简得出1sin cos θθ+，再变形为2222sin cos sin cos sin cos θθθθθθ+++，弦化切即可得出答案. 【详解】sin()sin[()]sin()sin θππθπθθ-=--=--=-17sin sin 42sin cos 222πππθπθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222217sin cos sin cos tan 1tan 1sin()sin 1sin cos 2sin cos tan 1πθθθθθθθπθθθθθθ++++⎛⎫--⋅-=+== ⎪++⎝⎭4127415++==+故选：D 【点睛】本题主要考查了利用诱导公式，同角三角函数的基本关系化简求值，属于中档题. 9．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( ) A ．cos 2y x =，x ∈R B ．2log y x =，x ∈R 且x≠0C ．2x x e e y --=,x ∈RD ．3+1y x =，x ∈R 【答案】B 【解析】【详解】首先判断奇偶性：A,B 为偶函数，C 为奇函数，D 既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C 、D ， 对于先减后增，排除A ，故选B.【考点】函数的奇偶性、单调性.10．今有过点()1,1M -的函数)24()4log 3f x x a x =+-，则函数()y f x =的奇偶性是（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 【答案】A【解析】由()11f -=求出a 的值，利用定义证明其奇偶性即可. 【详解】4(1)4log 1)31f -=-=，整理得4log 1)1=，即8a =4()4log )3f x x ∴=-||x x x >-当0,||0x x x x x -=-=…；当0,20x x x x x x <-=--=->0x >对一切实数都成立，即函数()f x 的定义域为R44()4log )34log 3f x x ⎛⎫-=-=-324444log 44log )34log )3()x x f x =--=-+=-即函数()f x 为奇函数 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的奇偶性，属于中档题.11．已知函数()(1)()f x =x - a x+b 为偶函数且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f -x <的解集为（ ） A ．(2,4) B ．(,2)(4,)-∞⋃+∞ C ．(-1,1)D ．(,1)(1,)-∞-+∞U【答案】B【解析】根据函数奇偶性的定义，求出a ，b 的关系，结合函数的单调性判断a 的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可． 【详解】∵f （x ）=（x-1）（ax+b ）=ax 2+（b-a ）x-b 为偶函数， ∴f （-x ）=f （x ），则ax 2-（b-a ）x-b=ax 2+（b-a ）x-b ， 即-（b-a ）=b-a ， 得b-a=0，得b=a ，则f （x ）=ax 2-a=a （x 2-1）， 若f （x ）在（0，+∞）单调递减， 则a ＜0，由f （3-x ）＜0得a[（3-x ）2-1）]＜0，即（3-x ）2-1＞0， 得x ＞4或x ＜2，即不等式的解集为（-∞，2）∪（4，+∞）， 故选B ． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a ，b 的关系是解决本题的关键．12．若函数()()sin ωϕ=+f x x (0,)2πωϕ><满足()()2f x f x π=-+，且()102f =，则()2cos()g x x ωϕ=+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A 2B ．2CD【答案】D 【解析】由1(0)2f =得出6π=ϕ，根据()2f x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭得出()f x 的周期，进而得出2ω=，得出()2cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据余弦函数的性质得出最值.【详解】11(0),sin ,226f πϕϕ=∴=∴=Q(),(),()()22f x f x f x f x f x f x ππππ⎛⎫⎛⎫=-++=-+∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q即周期T π=2,2ππωω∴==()2cos 26g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q∴当266x ππ+=时，()g x 取最大值max ()2cos6g x π==故选：D 【点睛】本题主要考查了求正弦函数的解析式以及余弦型函数的最值，属于中档题.二、填空题 13．式子4sincos(60)3π+-︒的值是_____________.【解析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】411sincos(60)sin cos60sin 33322ππππ︒︒⎛⎫+-=++=-+= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了利用诱导公式化简求值，属于基础题.14．函数()00.5(3)log (2)f x x x =-+-的定义域是_____________.【答案】()()2,33,+∞U【解析】解不等式组3020x x -≠⎧⎨->⎩，即可得出定义域.【详解】3020x x -≠⎧⎨->⎩，解得2x >且3x ≠ 故答案为：()()2,33,+∞U 【点睛】本题主要考查了求具体函数的定义域，属于基础题. 15．把函数sin y x =图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）得到函数，再向左平移6π个单位得到函数解析式是____.【答案】sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】根据正弦函数的平移变换和伸缩变换求解即可. 【详解】把函数sin y x =图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）得到函数sin 2y x =的图象，再向左平移6π个单位得到函数解析式sin 2sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了求图像变化后的解析式，属于基础题. 16．设函数()23axf x x =+，若()()f f x x =恒成立，则实数a 的值为_____. 【答案】3-【解析】因为()()f f x x =恒成立，所以()(1)1f f =，解得5a =或3a =-，验证5a =和3a =-，即可得出a 的值. 【详解】因为()()f f x x =恒成立，所以()25(1)1253a f f a ==+即22150a a --=，解得：5a =或3a =- 当5a =时，5()23x f x x =+，()25()169xf f x x x =≠+，则5a =不满足条件 当3a =-时，3()23xf x x -=+，()()f f x x =，则3a =-满足条件 故答案为：3- 【点睛】本题主要考查了求解析式中参数的值，属于基础题.17．已知函数2()()f x x ax b a b R =++∈，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ．【答案】9．【解析】∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b－24a＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋14a2＝12x a⎛⎫+⎪⎝⎭2.又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，∴m，m＋6是方程x2＋ax＋24a－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得()226{64m aam m c+=-+=-解得c＝9.18．用[]x表示不超过x的最大整数，如[][]1.81, 1.82=-=-．下面关于函数()[]f x x x=-说法正确的序号是_______________．①当[)0,1x∈时，()f x x=；②函数()y f x=的值域是[)0,1；③函数()y f x=与函数14y x=的图像有4个交点；④方程()40f x x-=根的个数为7个．【答案】①②④【解析】由符号[]x表示不超过x的最大整数，可以画出函数()[]f x x x=-的图像比较容易判断问题中的四个结论，其中③和方程()40f x x-=根的个数可转化为()14f x x=的图像交点个数。
金山中学2018-2019学年第一学期高一期中考试数学试题卷
金山中学2018-2019学年第一学期高一期中考试数学试题卷一、填空题1.设全集U=R,集合{}，＞1|x x A =则=A C U ________. 2.不等式11-＜x 的解集为________.3.函数31-+=x x y 的定义域为________. 4.“若，＞，＞00b a 则0＞ab ”的一个等价命题是:“若，0≤ab 则___________”.5.不等式2231＞x x +的解集是_________. 6.函数()12++=mx x x f 的图像关于直线1=x 对称的充要条件是__________.7.设，，：，R m m x m x ∈42≤≤1β3≤≤1:α++若α是β的充分非必要条件,则实数m 的取值范围是____________.8.函数()0＞x xax y +=的最小值为2，则正数a 的值是________. 9.给出下列4个命题:①-2不是偶数；②不等式2≤1不成立；③21x y =可以是函数的解析式；④函数0x y =的定义域为R 。
其中,所有假命题的代号是___________.10.设函数()()，＞02x x xx f +=观察:()()()()()()()()()()()……+==+==+==+==1615874323423121x xx f f x f x xx f f x f x x x f f x f x x x f x f 根据以上事实,又归纳推理可得,当，*∈N n 且2≥n 时,()()()==x f f x f nn 1________.11.当0＞x 时,不等式1≥4xa x +恒成立,则实数a 的取值范围是__________. 12.若规定{}201821a a a E ，，，…=的子集{}n k k k a a a 21为E 的第k 个子集,其中，11122221n k k k k +…++=则E 的第2018个子集是____________.二、选择题13、已知全集U=R,集合{}2≤≤2|x x M =和{}*∈12|N k k x x N ，==关系的韦恩(enn V )图如图所示,则影部分所示的集合的元素共有A.1个B.2个C.3个D.无穷多个 14.已知R c b a ∈，，,那么下列命题正确的是A.若b a ＞，则22bc ac ＞B.若033＞，＞ab b a ，则ba 11＜C.若022＞，＞ab b a ，则b a 11＞D.若cb c a ＞，则b a ＞15.已知R c b a ∈，，，“042＜ac b ”是“函数()c bx ax x f ++=2的图像恒在x 轴上方”的A.充分不必要条件B.不要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件16.若直角坐标平面内不同的两点P 、Q 满足条件:①P 、Q 都在函数()x f y =的图像上；②P 、Q 关于原点对称,则称点[]Q P ，是函数()x f y =的一对“友好点对”(注:点对[]Q P ，与[]P Q ，看作同一对“友好点对”).若函数()，，＞，=≤4012x x x x x x f 则此函数的“友好点对”的个数有A.0个B.1个C.2个D.3无数 三、解答题17.已知集合{}{}，，＜0≤|01572|22b ax x x B x x x A ++=+=若 {}，＜，20≤5|x x B A B A == 求实数b a 、的值。
广东省汕头市金山中学高一上学期期中数学试题(含答案)
广东省汕头市金山中学高一上学期期中数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合{|12,}M x x x R =-<∈，集合{}1,0,1,2,3N =-，则M N ⋂= A ．{}0,1,2B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,2,3-D ．{}0,1,2,32．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为 A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 3．若01a <<，则函数log (5)a y x =+的图象（ ） A ．不经过第一象限，但过点()4,0- B ．不经过第二象限，但过点()4,0- C ．不经过第三象限，但过点()0,1D ．不经过第四象限，但过点()4,1a -4．对于,a b 是任意非零实数，且a b >，又R c ∈，则有（ ） A ．lg()0a b -> B ．22ac bc >C ．11a b<D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．函数()21xf x x =+，则函数()y f x =的最大值是（ ） A ．14B ．12C ．1D ．26．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败）.已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出海后时间t （分）满足的函数关系式为()t h t m a =⋅.若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知lg 20.3≈，结果取整数）（ ） A ．33分钟B ．40分钟C ．43分钟D ．50分钟7．已知0,0a b >>，且1ab =，则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如果tan 2θ=，那么()171sin sin 2πθπθ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．54B ．53C ．73D ．759．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为 A ．cos 2y x =，x ∈R B ．2log y x =，x ∈R 且x≠0 C ．2x xe e y --=,x ∈RD ．3+1y x =，x ∈R10．今有过点()1,1M -的函数)4()4log 3f x x =-，则函数()y f x =的奇偶性是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数11．已知函数()()()1f x x ax b =-+为定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞单调递减，则()30af x -<的解集为（ ）A ．()2,4B ．()(),24,-∞+∞C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-+∞12．若函数()()sin ωϕ=+f x x(0,)2πωϕ><满足()()2f x f x π=-+，且()102f =，则()2cos()g x x ωϕ=+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A2 B ．2 C D第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．式子4sincos(60)3π+-︒的值是_____________. 14．函数()00.5(3)log (2)f x x x =-+-的定义域是_____________.15．把函数sin y x =图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）得到函数，再向左平移6π个单位得到函数解析式是____. 16．设函数()23axf x x =+，若()()f f x x =恒成立，则实数a 的值为_____. 17．已知函数的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c<的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为__________． 18．用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.81, 1.82=-=-．下面关于函数()[]f x x x =-说法正确的序号是_______________．．当[)0,1x ∈时，()f x x =． ．函数()y f x =的值域是[)0,1． ．函数()y f x =与函数14y x =的图像有4个交点； ．方程()40f x x -=根的个数为7个．三、解答题19．函数f(x)=Asin(wx+j)(A ＞0，w ＞0，-2π＜j ＜2π，x．R)的部分图象如图所示：，(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)当x．[,]6ππ--时，求f(x)的取值范围.20．已知二次函数()f x 对x ∈R 都有()1()22f x f x x +-=+成立，且()13f =. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()()(12)1()g x f x m x m R =-++∈在[]2,3x ∈-上的最小值. 21．已知函数()5log 5ax f x x -=+（0a >且1a ≠）. （1）求函数()f x 的定义域，并求出当2524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，常数a 的值；（2）在（1）的条件下，判断函数()f x 在()5,+∞的单调性，并用单调性定义证明； （3）设()log (3)a g x x =-，若方程()()1f x g x -=有实根，求a 的取值范围. 22．设函数()1 ,01(1),11x x a af x x a x a ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩，其中a 为常数且()0,1a ∈.新定义：若0x 满足()()00f f x x =，但()00f x x ≠，则称0x 为()f x 的回旋点.（1）当12a =时，分别求13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和45f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）当(],1x a ∈时，求函数(())y f f x =的解析式，并求出()f x 回旋点； （3）证明函数()f x 在[]0,1x ∈有且仅有两个回旋点，并求出回旋点12,x x .参考答案1．A 【详解】试题分析：由题意得，{|23}M x x =-<<，所以{}0,1,2M N ⋂=，故选A ． 考点：集合的运算． 2．C 【分析】直接利用扇形弧长公式求解即可得到结果. 【详解】由扇形弧长公式得：55362L r ππα==⨯= 本题正确选项：C 【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用，属于基础题. 3．A 【分析】根据函数log a y x =，01a <<的图象过一、四象限，过定点(1,0)，由平移变换得出答案. 【详解】函数log a y x =，01a <<的图象过一、四象限，过定点(1,0)函数log (5)a y x =+的图象可看成log a y x =向左平移5个单位得到，则不经过第一象限 当4x =-时，log 10a y ==，即过点()4,-0 故选：A 【点睛】本题主要考查了对数函数过定点以及函数图象的平移的应用，属于基础题. 4．D 【分析】取特殊值排除ABC 选项；利用指数函数的单调性判断D 选项. 【详解】当2,1a b ==时，lg()0a b -=，故A 错误；当0c 时，22ac bc =，故B 错误； 当1,1a b ==-时，11a b>，故C 错误； 因为函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，a b >，所以1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确故选:D 【点睛】本题主要考查了根据所给条件判断不等式是否正确，属于基础题. 5．B 【分析】证明该函数的奇偶性以及单调性，画出图象，即可判断其最大值. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，2()()1xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数 设120x x <<，()()()()()()211212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++当1201x x <<时，21120,10x x x x ->-<12120,f x f x f x f x ，即()f x 在区间(0,1]上单调递增当121x x <时，21120,10x x x x ->->()()()()12120,f x f x f x f x ∴->>，即()f x 在区间[1,)+∞上单调递减 由于函数()f x 为奇函数，并且当0x ≤时，()0f x ≤；当0x >时，()0f x > 则其函数图象如下图所示由图可知，函数()y f x =的最大值是max 1()(1)2f x f ==故选：B 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性，单调性求函数的最值，属于中档题. 6．C 【分析】由1020(10)0.1(20)0.2h ma h ma ⎧==⎨==⎩得出()h t 的解析式，再利用对数的运算性质解方程110220t⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可得出答案. 【详解】由题意得1020(10)0.1(20)0.2h ma h ma ⎧==⎨==⎩，解得1102,0.05a m == 故110()0.052th t ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭令110()0.0521t h t ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，得110220t⎛⎫= ⎪⎝⎭故110lg 201lg 210(10.3)4310.3lg 2lg 210t ++==≈≈分钟 故选：C 【点睛】本题主要考查了指数型模型的实际应用，属于中档题. 7．B 【详解】依题意，由于,a b 为正数，且1ab =，故()()1,log bf xg x x =单调性相同，所以选B .8．D 【分析】利用诱导公式化简得出1sin cos θθ+，再变形为2222sin cos sin cos sin cos θθθθθθ+++，弦化切即可得出答案. 【详解】sin()sin[()]sin()sin θππθπθθ-=--=--=-17sin sin 42sin cos 222πππθπθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222217sin cos sin cos tan 1tan 1sin()sin 1sin cos 2sin cos tan 1πθθθθθθθπθθθθθθ++++⎛⎫--⋅-=+== ⎪++⎝⎭4127415++==+ 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用诱导公式，同角三角函数的基本关系化简求值，属于中档题. 9．B 【详解】首先判断奇偶性：A,B 为偶函数，C 为奇函数，D 既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C 、D ， 对于先减后增，排除A ，故选B.考点：函数的奇偶性、单调性. 10．A 【分析】由()11f -=求出a 的值，利用定义证明其奇偶性即可. 【详解】4(1)4log 1)31f -=-=，整理得4log 1)1=，即8a =4()4log )3f x x ∴=-||x x x >-当0,||0x x x x x -=-=；当0,20x x x x x x <-=--=->0x >对一切实数都成立，即函数()f x 的定义域为R44()4log )34log 3f x x ⎛⎫-=-=- 324444log 44log )34log )3()x x f x =--=-+=-即函数()f x 为奇函数故选：A 【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的奇偶性，属于中档题. 11．A 【分析】利用函数的奇偶性的性质求出a 、b 关系，结合函数的单调性，判断a 的符号，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】()()()()21f x x ax b ax b a x b =-+=+--，若()f x 是偶函数，则0b a -=，即a b =，此时()()221f x ax a a x =-=-，()f x 在[)0,+∞单调递减，0a ∴<，则()30af x -<等价为()22310a x ⎡⎤--<⎣⎦， 即()231x -<，得131x -<-<，得24x <<， 即不等式的解集为()2,4. 故选：A 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数值、一元二次不等式的解法，属于基础题. 12．D 【分析】 由1(0)2f =得出6π=ϕ，根据()2f x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭得出()f x 的周期，进而得出2ω=，得出()2cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据余弦函数的性质得出最值.【详解】11(0),sin ,226f πϕϕ=∴=∴=(),(),()()22f x f x f x f x f x f x ππππ⎛⎫⎛⎫=-++=-+∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即周期T π=2,2ππωω∴==()2cos 26g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴当266x ππ+=时，()g x 取最大值max ()2cos6g x π==故选：D 【点睛】本题主要考查了求正弦函数的解析式以及余弦型函数的最值，属于中档题.13 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】41sincos(60)sin cos60sin 3332ππππ︒︒⎛⎫+-=++=-+=⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了利用诱导公式化简求值，属于基础题. 14．()()2,33,+∞【分析】解不等式组3020x x -≠⎧⎨->⎩，即可得出定义域.【详解】3020x x -≠⎧⎨->⎩，解得2x >且3x ≠ 故答案为：()()2,33,+∞【点睛】本题主要考查了求具体函数的定义域，属于基础题.15．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】根据正弦函数的平移变换和伸缩变换求解即可. 【详解】把函数sin y x =图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）得到函数sin 2y x =的图象，再向左平移6π个单位得到函数解析式sin 2sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了求图像变化后的解析式，属于基础题. 16．3- 【分析】因为()()f f x x =恒成立，所以()(1)1f f =，解得5a =或3a =-，验证5a =和3a =-，即可得出a 的值. 【详解】因为()()f f x x =恒成立，所以()25(1)1253a f f a ==+即22150a a --=，解得：5a =或3a =- 当5a =时，5()23x f x x =+，()25()169xf f x x x =≠+，则5a =不满足条件 当3a =-时，3()23xf x x -=+，()()f f x x =，则3a =-满足条件 故答案为：3- 【点睛】本题主要考查了求解析式中参数的值，属于基础题. 17．9． 【解析】．f(x)＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，．Δ＝0，．b －24a ＝0，．f(x)＝x 2＋ax ＋14a 2＝12x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2.又．f(x)＜c 的解集为(m ，m ＋6)，．m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋24a －c ＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得()226{64m a a m m c+=-+=-解得c ＝9.18．． ． ． 【分析】由符号[]x 表示不超过x 的最大整数，可以画出函数()[]f x x x =-的图像比较容易判断问题中的四个结论，其中．和方程()40f x x -=根的个数可转化为()14f x x =的图像交点个数． 【详解】作出函数()[]f x x x =-的图像如图所示，显然结论．．均正确；在同一坐标系内作函数14y x =的图像(坐标系内第一象限的射线部分)，作出()14f x x =的图像（图像中的折线部分），可以得到．错误．．正确．故答案为． ． ．． 【点睛】本题考查的是分段函数知识和函数值域，函数零点等函数性质的综合类问题，在解答的过程中充分体现了分类讨论的思想，特值思想以及问题的转化思想，是对研究一个函数的全过程的考查，应当给予重视． 19．（1）f(x)=sin(x+3π)；（2）[-1,12].【解析】试题分析：（1）图像离平衡位置最高值为1可知A=1,又从图可看出周期的四分之一为2362πππ-=，根据2=T πω可求得w 的值，对于j 可通过代入(6π，1)点求得，但要注意j 的范围；（2）本小题考查三角函数求值域问题，由x 的范围可先求出x+3π的范围，结合正弦函数图像可求出sin(x+3π)的取值范围. 试题解析：(1)由图象得A=1，T 24362πππ=-=，所以T=2p ，则w="1." 将点(6π，1)代入得sin(6π+j)=1，而-2π＜j ＜2π，所以j=3π，因此函数f(x)=sin(x+3π). (2)由于x．[,]6ππ--，-23π≤x+3π≤6π，所以-1≤sin(x+3π)≤12，所以f(x)的取值范围[-1,12]. 考点：由三角函数的图像求函数的解析式，2=T πω，三角函数的值域问题.20．（1）()21f x x x =++（2）见解析【分析】（1）设二次函数()2f x ax bx c =++，0a ≠，由()1()2x 2f x f x +-=+结合待定系数法得出1a b ==，再由()13f =，得出1c =，即可得出函数()f x 的解析式；（2）由（1）得出()g x 的解析式，讨论对称轴x m =的位置，确定函数()g x 在区间[]2,3-的单调性，即可得出该函数的最小值. 【详解】解：（1）设二次函数()2f x ax bx c =++，0a ≠则()()()221112f x a x b x c ax ax a bx b c +=++++=+++++()()1222f x f x ax a b x +-=++=+，解得1a b ==即()2f x x x c =++ ，()123f c =+=，得1c = 所以()21f x x x =++.（2）()22222()2g x x mx x m m =-+=-+-，对称轴x m =，开口向上分三种情况：①当2m <-时，函数()y g x =在区间[]2,3-单调递增，()min (2)64g x g m =-=+.②当23m -≤≤时，函数()y g x =在区间[]2,3-为()2min ()2g x g m m ==-③当3m >时，函数()y g x =在区间[]2,3-单调递减，()min (3)116g x g m ==-综上，()2min64,22,23116,3m m g x m m m m +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩【点睛】本题主要考查了已知函数的类型求解析式以及由函数的单调性求最值，属于中档题. 21．（1）定义域为{5x x <-或}5x >，3a =（2）()f x 在()5,+∞的单调递增，见解析（3）0a <≤【分析】 （1）解不等式505x x ->+得出该函数的定义域，由2524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭结合对数的运算性质得出3a =； （2）利用定义以及不等式的性质证明单调性即可；（3）将方程转化为二次函数，通过讨论对称轴的位置，求出a 的取值范围. 【详解】解：（1）由()5log 5a x f x x -=+ (0a >且1)a ≠ 知()()505505x x x x ->⇔-+>+ ∴5x >或5x <-∴定义域为{5x x <-或}5x > 由2524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得2551log log 24459a a f⎛⎫===- ⎪⎝⎭∴221,99a a -==∵0,1a a >≠ ∴3a =（2）由（1）()35log ?5x f x x -=+310log 15x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，判断()f x 在()5,+∞的单调递增 证明：设125x x <<，则121210101055,155x x x x <+<+∴>>++ ∴12101001155x x <-<-++，即33121010log 1log 155x x ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴()()12f x f x <∴()f x 在()5,+∞的单调递增.（3）函数()y f x =的定义域为(,5)(5,)-∞-+∞，函数()y g x =的定义域为(3,)+∞， ∵()()1f x g x -=有实根，5log 15a x x -∴-=+log (3)a x -在(5,)+∞有实根 5log (5)ax x a-∴=+log (3)a x -在(5,)+∞有实根化简整理得，方程2152150x x a a ⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭在()5,+∞上有解设()215215,h x x x a a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭ 对称轴112x a =-+. ①1152a-+≤即112a ≥且1a ≠∵()50h >且()h x 在(5,)+∞为增函数，所以方程()0h x =在(5,)+∞无解. ②1152a -+>，即1012a << 则215241500a a ⎛⎫⎛⎫---+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∆≥⇒，即2642410a a -+≥，解得0a <综上0a < 【点睛】本题主要考查了求具体函数的定义域，利用定义证明单调性以及由方程有解求参数范围，属于较难题.22．（1）12(())33f f =，4455f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()()2221(),1(1)1(1),11(1)x a a x a a a f f x x a a x a a ⎧-<<-+⎪-⎪=⎨⎪--+≤≤⎪-⎩；211x a a =-++是()f x 的回旋点（3）见解析，121a x a a =-++，2211x a a =-++. 【分析】（1）利用函数解析式即可求出13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭和45f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）由1a x <≤得出()()111f x x a=--，讨论21a x a a <<-+和211a a x -+≤≤时，()()f f x的解析式，即可得出当(],1x a ∈时，函数(())y f f x =的解析式；再根据题设中回旋点的定义，分段讨论，得出()f x 回旋点；（3）将0x a ≤≤分成20x a ≤≤和2a x a <≤两种情况进行讨论，得出[]0,x a ∈内()f x 的回旋点，结合（2）中得出的(],1x a ∈内()f x 的回旋点，即可证明函数()f x 在[]0,1x ∈有且仅有两个回旋点. 【详解】解：（1）当12a =时，()()1 2,02121,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩∴121222(),(())()2(1)333333f f f f ==-=＝44221555f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴422425555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）f x 中[]0,1x ∈时，值域也是0,1又1a x <≤，()0,1a ∈ ()()111f x x a∴=-- 由()1111a x a<-≤-，得21a x a a <<-+ ∴当21a x a a <<-+时，()()21111(1)()11(1)f f x x x a a a a ⎡⎤=--=-⎢⎥---⎣⎦ 同理，当211a a x -+≤≤时，()10()11f x x a a≤=-≤- ()()f f x ∴=()()111111(1)x x a a a a ⎡⎤⨯-=-⎢⎥--⎣⎦∴当(],1x a ∈时，()()2221(),1(1)1(1),11(1)x a a x a a a f f x x a a x a a ⎧-<<-+⎪-⎪=⎨⎪--+≤≤⎪-⎩当21a x a a <<-+，由21()(1)x a x a -=-得12x a=∈-2(,1)a a a -+ 1111(1)2122f a aa a ⎛⎫∴=-= ⎪----⎝⎭，故12x a =-不是()f x 的回旋点.当211a a x -+≤≤时， 由()11(1)x x a a -=-得211x a a =∈-++]2(1,1a a -+22111()(1)111f a a a a a =-=-++--++21a a a -++211a a ≠-++ 211x a a ∴=-++是()f x 的回旋点（3）当20x a ≤≤时，由()()f f x =21x x a =解得0x = 由于(0)0f =，故0x =不是()f x 的回旋点； 当2a x a <≤时由()()f f x =1()(1)a x x a a -=-解得21ax a a =-++2(,)a a ∈因222211()1111a a af a a a a a a a a a =⋅=≠-++-++-++-++故21ax a a =-++是()f x 的回旋点；因此，函数()f x 有且仅有两个回旋点，121a x a a =-++，2211x a a =-++. 【点睛】本题主要考查了分段函数已知自变量求函数值以及求分段函数的解析式，属于较难题.。
广东省汕头金山中学2018-2019学年高一10月份月考数学试题(解析版)
广东省汕头金山中学2018-2019学年高一10月份月考数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知函数的定义域为A，集合，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，；．故选：C．可解出集合A，然后进行交集的运算即可．考查函数定义域的概念及求法，描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．2.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，或，；；．故选：A．可解出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法、区间的定义，分式不等式的解法，以及补集、交集的运算．3.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由得或，故选：D．为使得式子有意义，则偶次方根的被开方数一定非负且分母不为0．注意偶次开方一定非负且分母不为04.函数在内递减，在内递增，则a的值是A. 1B. 3C. 5D.【答案】C【解析】解：依题义可得函数对称轴，．故选：C．由题义为二次函数单调性及图象问题，有二次函数在内递减，且在内递增的对称轴方程即可解出a此题重点考查了二次函数的图象及单调性，要求学生熟记二次函数并准确理解二次函数性质．5.函数的定义域为，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：的定义域为；不等式恒成立，或恒成立；时，恒成立，满足题意；时，；解得；综上得，实数a的取值范围为故选：B．根据题意可知，不等式恒成立，或恒成立，可讨论a：时，可得出恒成立；时，需满足，解出a的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集与判别式的关系．6.下列函数中，满足“对定义域内任意的x，均有”的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：满足“对定义域内任意的x，均有”，则为奇函数，对于A选项：为偶函数，故不合题意，对于B选项：为非奇非偶函数，故不合题意，对于C选项：为非奇非偶函数，故不合题意，对于D选项：为奇函数，故符合题意，故选：D．本题结合函数的性质得为奇函数，再逐一检验即可得解．本题考查了函数的奇偶性，属简单题．7.下列函数中，满足“对任意的，，当时，都有”的是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，若函数满足“对任意的，，当时，都有”，则函数在上为减函数，据此分析选项：对于A，，在上为减函数，符合题意；对于B，，在上为增函数，不符合题意；对于C，，其定义域为，不符合题意；对于D，，其定义域为，不符合题意；故选：A．根据题意，分析可得满足题意的在上为减函数，据此分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的定义以及判定，关键是掌握函数单调性的定义．8.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则当在R上的解析式为A. B.C. D.【答案】C【解析】解：函数是定义在R上的奇函数，则，设，则，则，又由函数为奇函数，则，则，综合可得；故选：C．根据题意，由奇函数的性质可得，再设，则，结合函数的奇偶性可得在时的解析式，综合可得在R上解析式，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数的解析式的求法，属于基础题．9.若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：因为函数为奇函数，且在内是增函数，，所以或时，；或时，；，即，可知或．故选：A．根据函数为奇函数，且在内是增函数，又，判断函数在R上的符号，根据奇函数把转化为，根据积商符号法则及函数的单调性即可求得的解集．考查函数的单调性和奇偶性，以及根据积商符号法则转化不等式，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，体现了数形结合和转化的思想，属中档题．10.已知定义在R上的偶函数，且在上单调递减，则下列选项正确的是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，在上单调递减；是偶函数；；又；；．故选：D．由在上单调递减即可得出在上单调递减，根据是偶函数，即可得出，从而得出，从而得出．考查偶函数的定义，图象的平移，以及减函数的定义．11.函数，如果不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：因为，在上为增函数，不等式对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为在上为增函数，所以，所以，故选：D．根据在上为增函数，则不等式对任意的恒成立转化为对任意的恒成立，根据函数的单调性，求出函数的最值即可．本题主要考查了恒成立问题的基本解法，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解，属于中档题．12.函数，如果方程有4个不同的实数解，则实数m的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：函数，函数的图象如右，设，，则关于x的方程有4个不同的实数解，等价于方程有2个不同的实数解，设，可知t的根都小于0，或一个根大于1，一个根小于0，或两个根都大于1，可得或或，解得，或．故选：A．题中原方程有4个不同的实数解，即要求对应于某个常数K，有2个不同的K，先根据题意作出的简图，设，等价于方程有2个不同的实数解，再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，属于难题，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.不等式的解集是______．【答案】或【解析】解：根据题意，，且解可得：或，即不等式的解集为或；故答案为：或根据题意，不等式变形可得，解可得不等式的解集，即可得答案．本题考查分式不等式的解法，注意将分式不等式变形为整式不等式，属于基础题．14.已知定义在R上的奇函数满足：对任意的，都有，且当时，，则______．【答案】【解析】解：是奇函数，，且时，；．故答案为：．根据是奇函数，，以及时，，即可得出．考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法．15.已知定义在R上的奇函数满足：当时，，若，则正数a的最小值是______．【答案】8【解析】解：设，则，为定义在R上的奇函数，，且，，画出的图象，如图所示：由图象，可知在，为增函数，在上为减函数，由，可得，解得，故正数a的最小值是8，故答案为：8先求出函数的解析式，再画出函数的图象，结合图象即可求出．本题考查了绝对值函数图象，以及函数的奇偶性和单调性，考查了数形结合的能力，属于中档题16.已知函数在时有最大值1，，并且时，的取值范围为，则______．【答案】【解析】解：根据题意，函数在时有最大值1，则有，即，且，解可得，则，又有时，的取值范围为，则，解可得，在上单调递减，则有，，即有m、n是方程的两个根，，其根为1、、，又有，则，，则；故答案为：．根据题意，结合二次函数的性质分析可得b、c的值，即可得，进而可得，解可得，分析可得在上单调递减，据此可得，，即有m、n是方程的两个根，又有，求出方程的根，分析可得m、n的值，相加即可得答案．本题考查二次函数的性质以及应用，关键是求出m、n的值，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.判断下列两个函数在其定义域内的奇偶性，并证明．；．【答案】解：函数是R上的偶函数，证明如下：函数的定义域为R，且，故函数是R上的偶函数；函数是上的奇函数，证明：函数的定义域是且，故函数是上的奇函数．【解析】根据题意，先分析函数的定义域，结合函数的解析式分析可得，即可得结论；根据题意，先分析函数的定义域，结合函数的解析式分析可得，即可得结论．本题考查函数奇偶性的判定，注意分析函数的定义域．18.集合，集合．当时，求；如果，求实数m的取值范围．【答案】解：；当时，；；或；由，得；当时，有，解得：；当时，则：，解得：；综上得：实数m的取值范围是．【解析】可解出，时，得出，然后进行交集、补集的运算即可；根据即可得出，从而可讨论B是否为空集：时，；时，，解出m的范围即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、补集的运算，空集的定义，以及子集的定义．19.某地要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成的角为，考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为平方米，且高度不低于米，记防洪堤横断面的腰长为米，外周长梯形的上底BC与两腰长的和为米求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；当防洪堤的腰长x为多少米时，断面的外周长y最小？求此时外周长的值．【答案】解：由梯形面积，其中，则，由，得，．由，而在单调递减，在单调递增，当且仅当时函数取得最小值．故有在单调递减，在单调递增，当且仅当时函数取得最小值．外周长的最小值为米，此时腰长为米【解析】根据梯形的面积公式以及梯形高度关系，即可建立函数关系根据对勾函数的单调性的性质进行求解即可本题主要考查函数的应用问题，根据梯形的面积公式以及对勾函数单调性是解决本题的关键．20.已知函数．当时，试判断函数在区间上的单调性，并证明；若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：当时，，此时在上单调递增，证明如下：对任意的，，若分分由，故有：，，因此：，，分故有在上单调递增；分方法一：不等式在上恒成立----------------分取对称轴当时，对称轴在上单调递增，，故满足题意----------------分当时，对称轴又在上恒成立，故解得：，----------------分故----------------分综上所述，实数的取值范围为----------------分方法二：不等式在上恒成立----------------分取由结论：定义在上的函数，当且仅当时取得最小值．故----------------分当且仅当，即时函数取得最小值----------------分故，即实数的取值范围为----------------分【解析】当时，，此时在上单调递增，对任意的，，若，利用函数的单调性的定义证明即可．方法一：不等式在上恒成立，取利用二次函数的性质求解即可．方法二：不等式在上恒成立，取利用基本不等式求解函数的最值即可．本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及二次函数的性质，基本不等式的应用，考查计算能力．21.已知函数满足下列三个条件：当时，都有；；对任意的x、，都有．请你作答以下问题：求和的值；试判断函数在R上的单调性，并证明；解不等式．【答案】解：对任意的x、，都有故，又，则，；而，即，同时：，即因此：，；函数在R上单调递增，证明如下：对任意的x、，都有即：即：，先证对任意的，均有：当时，都有，因此，当时，，因此，当时，，由上知：因此：，结论得证；对任意的，，若则一方面：由结论知另一方面由，，由条件知，故有：，则有因此，函数在R上单调递增；由知：对任意的x、，都有故：即，由知函数在R上单调递增，则故不等式的解集为：．【解析】根据题意，用特殊值法分析，令，可得的值，在令，，变形可得答案；根据题意，分析可得，分类讨论可得，进而设，结合函数关系式由作差法分析可得结论；根据题意，分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数单调性的证明，注意利用特殊值法分析、的值，属于综合题．。
高三★广东省汕头市金山中学2019届高三数学上学期期中试题文含答案
广东省汕头市金山中学2019届高三数学上学期期中试题 文一．选择题（共12小题，每题5分。
答案涂在答题卡相应位置上）1. 已知全集U=R ，集合A={x|-2≤x ≤3}，B={x|x 2-3x-4＞0}，那么 A ∩(∁U B)=( ) A.{x|-2≤x ＜4}B.{x|x ≤3或x ≥4}C.{x|-2≤x ＜-1}D.{x|-1≤x ≤3}2. 设复数z 满足z=i(1-z)-1 ，则|z|=( )3．已知命题:p R x ∃∈，2lg x x ->，命题:q R x ∀∈，1xe >，则（ ）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题4．若()f x 是奇函数，且0x 是()x y f x e =+的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ）A ．()1x y f x e =--B ．()1x y f x e -=+C ．()1xy e f x =- D ．()1xy e f x =+5．函数)sin()(ϕ+=x x f 在区间)32, 3(ππ上单调递增，常数ϕ的值可能是（ ） A ．0 B ．2πC ．πD ．23π6．某地一企创电商最近两年的“双十一”当天的销售额连续增加，其中2016年的增长率为，2017年的增长率为，则该电商这两年的“双十一”当天销售额的平均增长率为（ ）A ．B ．C ．D ．7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 8．．设函数与在区间上均为增函数，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=e x﹣mx+1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y=ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ）A ． （﹣∞，）B ． （，+∞）C ． （，e ）D ． （e ，+∞） 10．一艘游轮航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东，距离为海里，灯塔C 在A 的北偏西，距离为海里，该游轮由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东方向，则此时灯塔C 位于游轮的( )A ．正西方向B ．南偏西方向 C ．南偏西方向 D ．南偏西方向11．已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 的坐标分别为())()0,1,,0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足1CP =，则OA OB OP ++的最小值是（ ）．A ．4-B 1C 1D 12．已知都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①为奇函数，为偶函数； ②；③当时，总有，则的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．二. 填空题（共4小题，每题5分。
汕头市金山中学2018届高三上学期期中考试(理数)
汕头市金山中学2018届高三上学期期中考试数学（理科）一、选择题（12小题，每题5分，共60分）1、已知集合{}1,0,1,2,3A =-，2{|17,}B x x x N =<∈，则A B 等于（ ）A. {}1,0,1,2,3-B. {}0,1,2,3,4C. {}1,2,3D. {}0,1,2,32、已知函数2()12sin 3f x x =-，则()y f x =的图象相邻两条对称轴之间的距离是（ ）A.12π B. 6π C. 3π D. 23π3、已知当0x <≤12时，不等式log 2a x <-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 2)B. (1,C. 1)D. (0, 4、已知p ：0a <，q ：2a a >；则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5、已知函数()()221f x x a x b =+-+是偶函数，那么函数()g x =的定义域为（ ）A. 1(,]2-∞B. 1(0,]2 C. (]0,2 D. [)2,+∞ 63）7、已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=>，若存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有0()f x ≤()f x ≤0(2016)f x π+恒成立，则ω的最小值为（ ）A. 12016B. 14032C. 12016πD. 14032π8、已知定义在R 上的函数()f x 满足()22f =，且对任意的实数x ，都有()(5)15f x f x ⋅+=恒成立，则(2017)f 的值为（ ） A. B. C. D.A. 2B. 12C. 215D. 1529、在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）A. -B. -C.D.10、已知函数()cos 4cos(4)3f x x x π=+-，将()f x 的图象所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图像，则()y g x =的一个单调递增区间是（ ）A. 3[,]44ππB. 2[,]63ππC. [,]44ππ-D. [,]36ππ- 11、定义在()0,+∞内的连续可导函数()f x 满足()0f x >，且2()()3()f xx f x f x '<<对(0,)x ∀∈+∞恒成立，则（ ） A. 1(1)14(2)3f f << B. 1(1)13(2)2f f << C. 1(1)116(2)8f f << D. 1(1)18(2)4f f <<12、已知函数()22,12ln(1),1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，且函数()()()32F x f f x af x ⎡⎤=--⎣⎦恰有4个零点，下列选项中哪个集合内的a 值均符合题意（ ）A. 1ln23425a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，， B. 1ln21422a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，， C. 113425a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，， D. ln213225a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，，二、填空题（4小题，每题5分，共20分） 1314cos 25αα+=，则67sin()πα+的值是__________． 14、已知点(1,0)A ，(0,1)B -，P (cos ,sin )θθ，且[0,]θπ∈，则BP BA ⋅的取值范围是 .15、定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x -+=+，当(0,2)x ∈时，2()ln(232)f x x x =-+则()f x 在区间[0,6]上的零点个数是 .16、已知函数()3xf x xe a =+，如果存在唯一的0x Z ∈，使得()00f x ax <成立，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题17、(本题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b C ++=.（1）求B ；（2）若3a =，点D 在AC 边上且BD AC ⊥，BD =c .18、(本题满分12分) 设函数()()1ln 0f x ax x a x=+>．（1）当1a =时，求()f x 的极值； （2）如果()f x ≥ax 在()0,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．19、(本题满分12分)数列{}n a 满足22n n a a +=+，且2a 、1a 、3a 、7a 成等比数列. 设1n n n b a a +=+.（1）求数列{}n b 的通项公式；（亲，题目没有让亲求数列{}n a 的通项公式） （2）设2+112n n n n n b c b b ++=，求数列{}n c 的前n 项和.20、(本题满分12分) 在平面直角坐标系xoy 中，设点F (1，0)，直线l :1x =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点, 异于点R 的点Q 满足：RQ （1）求动点Q 的轨迹的方程；（2） 记Q 的轨迹的方程为E ，过点F 作两条互相垂直的曲线E的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为N M ，． 问直线MN 是否经过某个定点？如果是，求出该定点， 如果不是，说明理由．21、(本题满分12分)已知函数()()21ln f x x x x =-+，()2ln 1g x x x ax =--.（1）求证: ()1,x ∀∈+∞，()2f x <；（2）若方程()0g x=有两个根，设两根分别为12,x x ,求证:21ln 12ln x x >+22、(本题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ： 1x cos y sin αα==+⎧⎨⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθθ=+，直线l 的极坐标方程为3πθ=．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ， M 两点，交曲线2C 于O ， N 两点，求线段MN 的长．23、(本题满分10分)已知函数()6f x x x =+-.（1）求不等式()10f x ≤的解集；（2）记()f x 的最小值为m ，若正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，m ≤.数学（理科）参考答案1-12：DBBAB BBDBC DA13、54-； 14、[0,1]； 15、10； 16、322239[,)(6,]22e e e e 17、解：（Ⅰ）由()2cos cos 0a c B b C ++=及正弦定理， 可得2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，即()2sin cos sin 0A B B C ++=，由A B C π++=可得()sin sin B C A +=， 所以()sin 2cos 10A B +=，因为0,sin 0A A π<<≠，所以1cos 2B =-，因为()0,B π∈，所以23B π=. （Ⅱ）因为BD AC ⊥，所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B b BD ==⋅，把23,,3a B BD π===75b c =， 由23B π=得222239b a c ac c c =++=++，所以227395c c c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解得5c =. 18、解：（1）由已知，当1a =时， ()1ln f x x x x=+，∴()21ln 1f x x x +-'=，()3120f x x x''=+>∴()f x '在()0,+∞上单调递增，且()10f '=，（2分）()f x '，(f x 随x 变化如下表：∴()f x 有极小值11f =，没有极大值．（5分）（2）（方法一）由题可得21(1ln )a x x -≤恒成立，当x e ≥时，上式恒成立； 当0x e <<时，21(1ln )a x x ≤-，又0a >，故21(1ln )x x a ≥-（8分）令()2(1ln )h x x x =-，则()(12ln )h x x x =-'， 令()0h x '=，x =∴当0x <<()0h x '>x e <<时， ()0h x '<，∴()max (1l 2h x h e e==-=，∴12e a ≥，解得： 20a e <≤，∴a 的取值范围是20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦．（12分）（方法二）由题可得， 设()()1ln ,0g x ax x ax x x =+->，则()21ln g x a x x='-，∵0a >，∴()g x '在()0,+∞上单调递增，()110g '=-<， 12110aa g e e ⎛⎫=-> ⎪'⎝⎭，∴101,ax e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()00g x '=，则2001ln a x x =，（8分） 由0a >知01x >，且00x x <<时， ()0g x '<，0x x >时， ()0g x '>，∴()()00min 002ln 10ln x g x g x xx -==≥，∴01ln 2x ≥，∴0x ≥2a e ≤，∴a 的取值范围是20,e ⎛⎤⎥⎝⎦．（12分）（方法三）由题可得()21ln 0f x a a x a xx -=+-≥恒成立， 令()21ln h x a xa x=+-，则()3a x x h x x⎛⎝⎭⎝⎭'=，（8分）∴0x<<时， ()0h x '<，x> ()0h x '>，∴()min 20h x a a==≥， ∴2ln 1a ≥，解得： 2a e ≤，∴a 的取值范围是20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦．（12分）19、解：（Ⅰ）由22n n a a +=+及2a ， 1a ， 3a ， 7a 成等比数列得22312173{a a a a a a ⋅=⋅=， 即()()()22112111262a a a a a a ⎧+=⎪⎨+=+⎪⎩，解得12a =， 21a =，所以1123b a a =+=， 1n n b b +-= ()()211n n n n a a a a ++++-+ 22n n a a +=-=，所以数列{}n b 是首项为3，公差为2的等差数列，所以()321n b n =+- 21n =+. （Ⅱ）因为2+112n n n n n b c b b ++== ()()+12521232n n n n +++ ()()()()+12232121232n n n n n +-+=++ ()()+111212232n n n n =-++. 12n c c c +++=111132545478-+-+⨯⨯⨯⨯ ()()+111212232n n n n +-++()+1116232n n =-+.20、解：(Ⅰ)依题意知，直线l 的方程为：1x =-．点R 是线段FP 且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．∴PQ 是点Q 到直线l 的距离．∵点Q 在线段FP 的垂直平分线，∴PQ QF =．…………2分 故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为：24(0)y x x =>．…………………………………….4分 (Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,，()()N N M M y x N y x M ,,，，由AB ⊥CD ，且AB 、CD 与抛物线均有两个不同的交点，故直线AB 、CD 斜率均存在，…………….5分设直线AB 的方程为)1(-=x k y则⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422BB AA x y x y（1）—（2）得k y y B A 4=+，即ky M 2=，……………………………………7分代入方程)1(-=x k y ，解得122+=kx M ．所以点Ｍ的坐标为222(1,)k k +．……………8分同理可得：N 的坐标为2(21,2)k k +-．………………………9分 直线MN 的斜率为21kkx x y y k N M N M MN -=--=，方程为 )12(1222---=+k x kk k y ，整理得)3()1(2-=-x k k y ，..................11分 显然，不论k 为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN 恒过定点R (3,0)． (12)21、解：(1) ()()()1,,21ln 22x f x x x x ∀∈+∞<⇔+>-()()21211ln 2ln ln 0111x x x x x x x x x --+⇔>⇔>⇔->-++.下面证明：对()()211,,ln 01x x x x -∀∈+∞->+，令()()21ln (1)1x h x x x x -=->+， 则()()()221'01x h x x x -=>+，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10h x h >=，即()21ln 01x x x -->+，即证得：()()1,,2x f x ∀∈+∞<.(2)由()2ln 10g x x x ax =--=，得1ln x ax x -=，于是有1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得()12121212ln x x x x a x x x x +-=+， ① 两式相减得()21221112ln x x x a x x x x x --=-，即可得212112ln1x x a x x x x +=-，②将②代入①可得()21211212121122ln1ln ()x x x x x x x x x x x x x x +-=++-，即()1212212122112ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，不妨设2121,(1)x o x x t t x <<=>，则1222111ln ln (1)1x x x t t t x x x t ++=>--，由（1）可知()12121221ln 2,ln 21x x t t x x t x x ++>∴->-，又因为()1212121212122ln ln ln x x x x x x x x x x +-<-=-=，2,1∴>∴>，即12ln ln 12x x +>+.22、解：（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为()2211x y +-=，即2220x y y +-=，曲线1C 的极坐标方程为22sin 0ρρθ-=，即2sin ρθ=．因为曲线2C的极坐标方程为2cos ρθθ=+，即22cos sin ρρθθ=+， 故曲线2C的直角坐标方程为222x y x +=+，即()(2214x y -+=．（Ⅱ）直线l 的极坐标方程为3πθ=，化为直角坐标方程得y =，由22,{20,y x y y =+-=得0,{0,x y ==或32x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩.则OM ==由22,{2,y x y x =+=+得0,{0,x y ==或2,{x y ==则4ON ==．故4MN ON OM =-=23、解：（Ⅰ） ()26,0,6,06,26, 6.x x f x x x x -+≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩当0x ≤时，由2610x -+≤，解得20x -≤≤； 当06x <≤时，因为610<，所以06x <≤； 当6x >时，由2610x -≤，解得68x <≤ 综上可知，不等式()10f x ≤的解集为[]2,8-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()f x 的最小值为6，即6m =.（或者6x x +-≥ ()66x x --=），所以6a b c ++=，由柯西不等式可得()()123a b c ++++=222⎛⎫++ ⎪⎝⎭222⎛⎫++ ⎪⎝⎭2≥6m ≤=.。
2023-2024学年广东省汕头市金山中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省汕头市金山中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知集合A ={x|y =√2x −1}，B ={x|x+1x−2≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0≤x ＜2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |0＜x ＜2}2．化简：√(π−4)2+√(π−3)33=（ ） A ．1B ．﹣1C ．7﹣2πD ．2π﹣73．已知f(x)=ax 3+bx +3，f （4）＝5，则f （﹣4）＝（ ） A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣54．“a ＝﹣4”是“函数y ＝ax 2+4x ﹣1的图象与x 轴只有一个公共点”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知a ＝0.40.2，b ＝0.40.6，c ＝2.10.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a6．已知函数f(x)={(4−a)x +7，x ＜2a x ，x ≥2是R 上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（1，3]C ．（1，4）D ．[3，4）7．已知实数a ＞0，b ＞0，1a+1+1b+1=1，则a +2b 的最小值是（ ）A ．3√2B ．2√2C ．3D ．28．已知函数f （x ）是R 上的奇函数，对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0），x 2f(x 1)−x 1f(x 2)x 1−x 2＞0，（x 1≠x 2），设a ＝3f （13），b =−52f （−25），c ＝f （1），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求） 9．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的为（ ） A ．f （x ）＝|x |﹣1 B ．f(x)=x +3xC ．f （x ）＝2x +2﹣xD ．f(x)=1x 210．函数f （x ）=xx 2+a的图象可能是（ ）A．B．C．D．11．已知函数f（x）的定义域为A，若对任意x∈A，存在正数M，使得|f（x）|≤M成立，则称函数f（x）是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（）A．f(x)=√4+x2B．f(x)=52x2−4x+3C．f(x)=2x−12x+1D．f(x)=x+√4−x12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足如下条件：①f（xy）＝xf（y）+yf（x），②当x＞1时，f（x）＞0；则下列结论中正确的是（）A．f（1）＝0B．f（xy）＝f（x）f（y）C．f（x）在（1，+∞）上单调递减D．不等式xf(x−32)≥(32−x)f(x)的解集为[2，+∞）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅x n2−2n在（0，+∞）上单调递减，则n＝．14．函数f（x）=(13)−x2+2x+3的单调增区间为．15．∀x∈[1，3]，不等式x2﹣ax﹣3≤0恒成立，则实数a的取值范围为．16．设函数f(x)={−ax+4，x＜a(x−2)2，x≥a存在最小值，则a的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）若x +x ﹣1＝3，（0＜x ＜1），求下列各式的值：（1）x 2+x ﹣2；（2）x 32−x −32．18．（12分）（1）已知实数x ，y 满足﹣1≤x ≤2，0≤y ≤1，求x ﹣2y 的取值范围； （2）已知﹣1＜a +b ＜3，2＜a ﹣b ＜4，求2a +3b 的取值范围．19．（12分）设函数f （x ）＝ax 2+5x ﹣2，已知不等式f （x ）＞0的解集为{x|12＜x ＜2}． （1）求不等式ax 2+5x +a 2﹣1＜0的解集；（2）若定义在区间D 上的函数y ＝f （x ）对于区间D 上任意x 1，x 2都有不等式f(x 1)+f(x 2)2≤f(x 1+x 22)成立，则称函数y ＝f （x ）在区间D 上为凸函数．请你根据凸函数的定义证明：f （x ）＝ax 2+5x ﹣2在R 上是凸函数．20．（12分）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x 万件电子芯片需要投入的流动成本为f （x ）（单位：万元），当年产量不超过14万件时，f(x)=23x 2+4x ；当年产量超过14万件时，f(x)=17x +400x−80．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．（1）写出年利润g （x ）（万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？21．（12分）已知定义域为R 的函数f(x)=a⋅2x+12x +1是奇函数．（1）求a 的值，判断f （x ）的单调性并用定义证明；（2）若存在t ∈[1，2]，使得f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＞0成立，求实数k 的取值范围．22．（12分）定义：对于函数y ＝g （x ），当x ∈[a ，b ]时，y 的取值集合为[1b ，1a ]，则称区间[a ，b ]为函数g （x ）的一个“倒值映射区间”．已知一个定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），当x ∈（0，3]时，f(x)=1−12|x −1|． （1）求f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在[1，3]内的“倒值映射区间”； （3）求函数f （x ）在定义域内的所有“倒值映射区间”．2023-2024学年广东省汕头市金山中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知集合A ={x|y =√2x −1}，B ={x|x+1x−2≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0≤x ＜2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |0＜x ＜2}解：对于集合A ，由2x ﹣1≥0得x ≥0，所以A ={x|y =√2x −1}={x|x ≥0}， 对于集合B ，因为x+1x−2≤0，所以{(x +1)(x −2)≤0x −2≠0，解得﹣1≤x ＜2，所以B ={x|x+1x−2≤0}={x|−1≤x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |0≤x ＜2}． 故选：B ．2．化简：√(π−4)2+√(π−3)33=（ ） A ．1B ．﹣1C ．7﹣2πD ．2π﹣7解：√(π−4)2+√(π−3)33=|π−4|+π−3=4−π+π−3=1． 故选：A ．3．已知f(x)=ax 3+bx +3，f （4）＝5，则f （﹣4）＝（ ） A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣5解：设g(x)=f(x)−3=ax 3+bx ，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 则g(−x)=a(−x)3+b−x =−ax 3−bx =−g(x)，故g （x ）为奇函数， 又g （4）＝f （4）﹣3＝5﹣3＝2，则g （﹣4）＝﹣2， 所以f （﹣4）＝g （﹣4）+3＝﹣2+3＝1． 故选：B ．4．“a ＝﹣4”是“函数y ＝ax 2+4x ﹣1的图象与x 轴只有一个公共点”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：当a ＝0时，函数y ＝ax 2+4x ﹣1的图象与x 轴只有一个公共点，满足题意，当a ≠0时，函数y ＝ax 2+4x ﹣1的图象与x 轴只有一个公共点，则Δ＝16+4a ＝0，解得a ＝﹣4， 综上所述：a ＝0或a ＝﹣4． 故选：B ．5．已知a ＝0.40.2，b ＝0.40.6，c ＝2.10.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解：因为y ＝0.4x 在R 上单调递减，0＜0.2＜0.6， 所以0.40＞0.40.2＞0.40.6，故1＞a ＞b ． 再根据c ＝2.10.2＞2.10＝1，故c ＞a ＞b ． 故选：C ．6．已知函数f(x)={(4−a)x +7，x ＜2a x ，x ≥2是R 上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（1，3]C ．（1，4）D ．[3，4）解：因为f(x)={(4−a)x +7，x ＜2a x，x ≥2是R 上的增函数，所以{4−a ＞0a ＞12(4−a)+7≤a 2，解得3≤a ＜4．故选：D ．7．已知实数a ＞0，b ＞0，1a+1+1b+1=1，则a +2b 的最小值是（ ）A ．3√2B ．2√2C ．3D ．2解：∵实数a ＞0，b ＞0，1a+1+1b+1=1，则a +2b ＝[（a +1）+2（b +1）](1a+1+1b+1)−3=2(b+1)a+1+a+1b+1≥2√2(b+1)a+1⋅a+1b+1=2√2， 当且仅当a +1=√2（b +1）=√2+1时取等号． ∴a +2b 的最小值是2√2． 故选：B ．8．已知函数f （x ）是R 上的奇函数，对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0），x 2f(x 1)−x 1f(x 2)x 1−x 2＞0，（x 1≠x 2），设a ＝3f （13），b =−52f （−25），c ＝f （1），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a解：函数f （x ）是R 上的奇函数，对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0），x 2f(x 1)−x 1f(x 2)x 1−x 2＞0，（x 1≠x 2），即f(x 1)x 1−f(x 2)x 2x 1−x 2＞0，设g （x ）=f(x)x ，可得g （x ）为偶函数，且g （x ）在（﹣∞，0）递增，在（0，+∞）递减． a ＝g （13）＝3f （13），b ＝g （−25）=−52f （−25）＝g （25），c ＝g （1）＝f （1），可得a ＞b ＞c ， 故选：A ．二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）9．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的为（）A．f（x）＝|x|﹣1B．f(x)=x+3xC．f（x）＝2x+2﹣x D．f(x)=1x2解：f（x）＝|x|﹣1为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，故A正确；因为f(−x)=−x+3−x=−(x+3x)=−f(x)，所以f（x）为奇函数，故B错误；因为f（﹣x）＝2﹣x+2x＝f（x），所以f（x）为偶函数，令0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=(2x1+12x1)−(2x2+12x2)=(2x1−2x2)+2x2−2x12x1⋅2x2=(2x1−2x2)(1−12x1⋅2x2)，因为0＜x1＜x2，则2x1−2x2＜0，12x1⋅2x2＜1，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，故C正确；因为f(−x)=1(−x)2=f(x)，所以f（x）为偶函数，由反比例函数的单调性可知f（x）在（0，+∞）上单调递减，故D错误．故选：AC．10．函数f（x）=xx2+a的图象可能是（）A．B．C．D．解：当a＝0时，f（x）=1x，则选项C符合；当a＞0，f（0）＝0，故排除D；当x＞0时，f（x）=1x+ax≤12√a，当且仅当x=√a时取等号，则函数f（x）在（﹣∞，√a）上为减函数，在（√a，+∞）为增函数，故选项B符合；当a＜0时，函数的定义域为{x|x≠±√−a}，当x＞0，f（x）=1x+ax，由于y＝x+ax在（0，√−a），（√−a，+∞）为增函数，则f（x）=1x+ax在（0，√−a），（√−a，+∞）为减函数，故A符合，故选：ABC．11．已知函数f（x）的定义域为A，若对任意x∈A，存在正数M，使得|f（x）|≤M成立，则称函数f（x）是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（）A．f(x)=√4+x2B．f(x)=52x2−4x+3C．f(x)=2x−12x+1D．f(x)=x+√4−x解：对于A，因为x2≥0，所以4+x2≥4，所以f(x)=√4+x2∈[2，+∞)，不存在正数M，使得|f（x）|≤M成立，故函数f(x)=√4+x2不是“有界函数”，A错误；对于B，f(x)=52x2−4x+3=52(x−1)2+1，因为2（x﹣1）2+1≥1，所以f(x)=52(x−1)2+1∈(0，5]，存在正数M≥5，使得|f（x）|≤M成立，故函数f(x)=52x2−4x+3是“有界函数”，B正确；对于C，f(x)=2x−12x+1=2x+1−22x+1=1−22x+1，因为2x＞0，所以0＜12x+1＜1，所以−2＜−22x+1＜0，所以−1＜1−22x+1＜1，所以f(x)=2x−12x+1∈(−1，1)，即|f（x）|＜1，存在正数M≥1，使得|f（x）|≤M成立，故函数f（x）=2x−12x+1是“有界函数”，C正确；对于D，f（x）＝x+√4−x在[4，+∞）上单调递增，所以f（x）∈[4，+∞），|f（x）|∈[4，+∞），不存在正数M，使得|f（x）|≤M成立，f（x）不是“有界函数”，D错误．故选：BC．12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足如下条件：①f（xy）＝xf（y）+yf（x），②当x＞1时，f（x）＞0；则下列结论中正确的是（）A．f（1）＝0B．f（xy）＝f（x）f（y）C ．f （x ）在（1，+∞）上单调递减D ．不等式xf(x −32)≥(32−x)f(x)的解集为[2，+∞）解：A 选项：由f （xy ）＝xf （y ）+yf （x ）， 令x ＝y ＝1，则f （1）＝f （1）+f （1）， 解得f （1）＝0，A 选项正确；B 选项：对于x ∈（0，+∞），f （xy ）＝xf （y ）+yf （x ）， 令y ＝x ，则f （x 2）＝xf （x ）+xf （x ）＝2xf （x ），假设f （xy ）＝f （x ）f （y ）成立，则f （x 2）＝f （x ）f （x ）， 所以f （x ）f （x ）＝2xf （x ），又当x ＞1时，f （x ）＞0，即f （x ）不恒为0， 则f （x ）＝2x ，与f （1）＝0矛盾， 所以假设不成立，B 选项错误；C 选项：设x 1，x 2∈（1，+∞），且x 1＜x 2，x 2x 1＞1，则f(x 2)=x 1f(x2x 1)+x2x 1f(x 1)，f(x 2)−x2x 1f(x 1)=x 1f(x2x 1)＞0，又f(x 2)−x2x 1f(x 1)＜f(x 2)−f(x 1)，所以f(x 2)−f(x 1)＞f(x 2)−x2x 1f(x 1)＞0，所以函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增，C 选项错误；D 选项：xf(x −32)≥(32−x)f(x)，即xf(x −32)+(x −32)f(x)≥0， 所以f[x(x −32)]=xf(x −32)+(x −32)f(x)≥0=f(1)，由函数的定义域可知x ∈[32，+∞)，又函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增， 所以x(x −32)≥1，解得x ≥2或x ≤−12（舍），D 选项正确． 故选：AD ．三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13．若幂函数f(x)=(n 2−3n +3)⋅x n2−2n在（0，+∞）上单调递减，则n ＝ 1 ．解：因为幂函数f(x)=(n 2−3n +3)⋅x n 2−2n在（0，+∞）上单调递减，所以{n 2−3n +3=1n 2−2n ＜0，解得n ＝1或n ＝2（舍），故答案为：1．14．函数f（x）=(13)−x2+2x+3的单调增区间为[1，+∞）．解：令t＝﹣x2+2x+3，则函数f（x）=(13)t，本题即求二次函数t的减区间．由于t的图象开口向下，对称轴为x＝1，故二次函数t的减区间为[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．15．∀x∈[1，3]，不等式x2﹣ax﹣3≤0恒成立，则实数a的取值范围为[2，+∞）．解：∀x∈[1，3]，不等式x2﹣ax﹣3≤0恒成立，即a≥x−3x在x∈[1，3]上恒成立，所以a≥(x−3x)max，因为y＝x在[1，3]上单调递增，y=−3x在[1，3]上单调递增，所以y=x−3x在[1，3]上单调递增，所以当x＝3时，y=x−3x有最大值3−33=2，所以a≥2．即实数a的取值范围为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）16．设函数f(x)={−ax+4，x＜a(x−2)2，x≥a存在最小值，则a的取值范围是[0，2]．解：①当a＜0时，﹣a＞0，故函数f（x）在（﹣∞，a）上单调递增，因此f（x）不存在最小值；②当a＝0时，f(x)={4，x＜0(x−2)2，x≥0，当x≥0时，f（x）min＝f（2）＝0＜4，故函数f（x）存在最小值；③当0＜a≤2时，﹣a＜0，故函数f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，当x＜a时，f（x）＞f（a）＝﹣a2+4；当x≥a时，f（x）＝（x﹣2）2≥f（2）＝0．若﹣a2+4＜0，则f（x）不存在最小值，故﹣a2+4≥0，解得﹣2≤a≤2．此时0＜a≤2满足题设；④当a＞2时，﹣a＜0，故函数f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，当x＜a时，f（x）＞f（a）＝﹣a2+4；当x≥a时，f（x）＝（x﹣2）2≥f（a）＝（a﹣2）2．∵（a﹣2）2﹣（﹣a2+4）＝2a2﹣4a＝2a（a﹣2）＞0，∴（a﹣2）2＞﹣a2+4，因此f（x）不存在最小值．综上，a的取值范围是0≤a≤2．故答案为：[0，2]．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）若x+x﹣1＝3，（0＜x＜1），求下列各式的值：（1）x 2+x ﹣2；（2）x 32−x−32．解：（1）因为x +x ﹣1＝3，所以（x +x ﹣1）2＝x 2+2+x ﹣2＝9，解得x 2+x ﹣2＝7； （2）因为(x 12−x −12)2=x 1+x −1−2=1，所以x 12−x −12=±1， 因为0＜x ＜1，所以x 12−x −12=−1．所以(x 32−x−32)=(x 12−x−12)(x 1+1+x −1)=−4．18．（12分）（1）已知实数x ，y 满足﹣1≤x ≤2，0≤y ≤1，求x ﹣2y 的取值范围； （2）已知﹣1＜a +b ＜3，2＜a ﹣b ＜4，求2a +3b 的取值范围． 解：（1）因为﹣1≤x ≤2，﹣2≤﹣2y ≤0，所以﹣3≤x ﹣2y ≤2， 所以x ﹣2y 的取值范围是[﹣3，2]． （2）设2a +3b ＝m （a +b ）+n （a ﹣b ）， 则{m +n =2m −n =3， ∴m =52，n =−12，∴2a +3b =52(a +b)−12(a −b)， ∵﹣1＜a +b ＜3，2＜a ﹣b ＜4，∴−52＜52(a +b)＜152，−2＜−12(a −b)＜−1， ∴−92＜52(a +b)−12(a −b)＜132． 即−92＜2a +3b ＜132． 即（−92，132）．19．（12分）设函数f （x ）＝ax 2+5x ﹣2，已知不等式f （x ）＞0的解集为{x|12＜x ＜2}． （1）求不等式ax 2+5x +a 2﹣1＜0的解集；（2）若定义在区间D 上的函数y ＝f （x ）对于区间D 上任意x 1，x 2都有不等式f(x 1)+f(x 2)2≤f(x 1+x 22)成立，则称函数y ＝f （x ）在区间D 上为凸函数．请你根据凸函数的定义证明：f （x ）＝ax 2+5x ﹣2在R 上是凸函数．解：（1）由题意知，12和2是方程ax 2+5x ﹣2＝0的根．由韦达定理知{12+2=−5a 12×2=−2a，解得a ＝﹣2． 所以不等式ax 2+5x +a 2﹣1＜0可化为2x 2﹣5x ﹣3＞0． 解得x ＞3或x ＜−12．所以不等式的解集为{x |x ＞3或x ＜−12}．（2）由（1）知a ＝﹣2，代入f （x ）＝﹣2x 2+5x ﹣2， 根据凸函数的定义，我们有f(x 1)+f(x 2)2−f(x 1+x 22)=−2x 12+5x 1−2−2x 22+5x 2−22+2(x 1+x 22)2−5⋅x 1+x 22+2=−x 12−x 22+2x 1x 22=−(x 1−x 2)22≤0；∴f(x 1)+f(x 2)2≤f(x 1+x 22)，∴f （x ）＝﹣2x 2+5x ﹣2在R 上是凸函数．20．（12分）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x 万件电子芯片需要投入的流动成本为f （x ）（单位：万元），当年产量不超过14万件时，f(x)=23x 2+4x ；当年产量超过14万件时，f(x)=17x +400x −80．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．（1）写出年利润g （x ）（万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 解：（1）根据题意得，当0≤x ≤14时，g(x)=16x −f(x)−30=−23x 2+12x −30， 当14＜x ≤35时，g(x)=16x −f(x)−30=50−x −400x， 故g(x)={−23x 2+12x −30，0≤x ≤14，50−x −400x ，14＜x ≤35. （2）当0≤x ≤14时，g(x)=−23x 2+12x −30，且当0≤x ≤9时，g （x ）单调递增，当9＜x ≤14时，g （x ）单调递减， 此时g(x)max =g(9)=−23×81+12×9−30=24．当14＜x≤35时，g(x)=50−x−400x≤50−2√x⋅400x=10，当且仅当x＝20时，等号成立．因为24＞10，故当x＝9时，g（x）取得最大值24，即为使公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片．21．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=a⋅2x+12x+1是奇函数．（1）求a的值，判断f（x）的单调性并用定义证明；（2）若存在t∈[1，2]，使得f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0成立，求实数k的取值范围．解：（1）由题意，得f(0)=a+12=0，所以a＝﹣1，当a＝﹣1时，f(x)=1−2x1+2x=2−(1+2x)1+2x=21+2x−1，则f(−x)=1−2−x1+2−x=(1−2−x)2x(1+2−x)2x=2x−12x+1=−f(x)，则f（x）为奇函数，合乎题意，故a＝﹣1，函数f(x)=1−2x1+2x在定义域R上单调递减，证明如下：任取x1、x2∈R且x1＜x2，则2x2−2x1＞0，所以，f(x1)−f(x2)=(21+2x1−1)−(21+2x2−1)=2(2x2−2x1)(1+2x1)(1+2x2)＞0，所以，f（x1）＞f（x2），故函数f(x)=1−2x1+2x在定义域R上单调递减．（2）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0，得f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k），因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＞f（k﹣2t2），由（1）知f（x）在R上为减函数，所以t2﹣2t＜k﹣2t2，即存在t∈[1，2]，k＞3t2﹣2t成立，令g（t）＝3t2﹣2t，其图象对称轴为t=13，开口向上，所以g（t）在[1，2]上单调递增，故k＞g（t）min＝g（1）＝3﹣2＝1，即k∈（1，+∞）．22．（12分）定义：对于函数y＝g（x），当x∈[a，b]时，y的取值集合为[1b ，1a]，则称区间[a，b]为函数g（x）的一个“倒值映射区间”．已知一个定义在[﹣3，3]上的奇函数f（x），当x∈（0，3]时，f(x)=1−12|x−1|．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[1，3]内的“倒值映射区间”；（3）求函数f（x）在定义域内的所有“倒值映射区间”．解：（1）∵f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，则f（0）＝0，当x ∈[﹣3，0）时，则﹣x ∈（0，3]，f （﹣x ）＝1−12|﹣x ﹣1|＝1−12|x +1|， 又f （x ）为奇函数，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣1+12|x +1|． ∴f （x ）={−1+12|x +1|，−3≤x ＜00，x =01−12|x −1|，0＜x ≤3；（2）设1≤a ＜b ≤3，函数f （x ）=32−12x ，f （x ）在[1，3]上单调递减， 且f （x ）在[a ，b ]上的值域为[1b，1a ]，∴{f(b)=32−12b =1b f(a)=32−12a =1a 1≤a ＜b ≤3，解得{a =1b =2，∴函数f （x ）在[1，3]内的“倒值映射区间”为[1，2]；（3）∵x ∈[a ，b ]时，y 的取值集合为[1b，1a]，其中a ≠b ，且a ≠0，b ≠0， ∴{a ＜b1b＜1a，则{a ＜bab ＞0． 只考虑0＜a ＜b ≤3或﹣3≤a ＜b ＜0时，①当0＜a ＜b ≤3时，∵函数f （x ）在（0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减， 故当x ∈（0，3]时，f （x ）max ＝f （1）＝1，则1a ≤1，∴1≤a ＜3，则1≤a ＜b ≤3，由（2）知，f （x ）的“倒值映射区间”为[1，2]；②当﹣3≤a ＜b ＜0时，同理可得f （x ）的“倒值映射区间”为[﹣2，﹣1]． 综上所述，函数f （x ）在定义域内的“倒值映射区间”为[1，2]和[﹣2，﹣1]．。
广东省汕头市2018-2019学年度普通高中教学质量监测(期末)高一数学(扫描版无答案)
试卷类型：A汕头市2018~2019学年度普通高中教学质量监测高 一 数 学本试卷共4页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合}{0,1,2,3,4M =，{}|(2)(5)0N x x x =--<，则=MNA ．{}34，B ．{}2345，，，C ．{}234，， D ．{}345，，2．已知平行四边形ABCD 对角线AC 与BD 交于点O ，设AB a =，BC b =，则1()2a b -= A ．OA B ．OB C ．OC D ．OD3．同时掷两个骰子，向上的点数之和是6的概率是A ．118B ．19C ．536D ．12 4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A.y =B. 2(1)y x =-C. 2x y -=D. 0.5log (1)y x =+5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4867a a a +=+，则11S =A ．77B ．88C ．154D ．1766．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(1,P -，则cos sin()2+-=πααA ．B C D ．7．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度(单位：mm)，将样本数据作成如下的频率分布直方图：下列关于这批棉花质量状况的分析，不合理．．．的是( ) A ．这批棉花的纤维长度不是特别均匀B ．有一部分棉花的纤维长度比较短C ．有超过一半的棉花纤维长度能达到300mm 以上D ．这批棉花有可能混进了一些次品 8．若22log log 1x y +=，则2x y +的最小值为 A ．1B ．2C．D ．49．设(0,)2πθ∈，且tan()24πθ+=-，则cos()12πθ-=ABCD．10．已知向量(1,1),(1,)a b m =-=. 若向量a -与b a -的夹角为4π，则实数m = AB ．1C ．1-D．11．将函数2()2cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移4π个单位长度后得到函数的图象，若当0[,)4x x π∈时，的图象与直线(12)y a a =≤<恰有两个公共点，则0x 的取值范围为A ．75[,)124ππ B ．7[,]412ππ C ．75(,]124ππD ．5(,]34ππ 12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，1()()12=-x f x .若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=> 恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 A.(1,2)B. (2,)+∞C.D.)(x g )(x g第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知2()()g x f x x =+是奇函数，且(1)1f =，则(1)f -= ▲ ． 14．抽样调查某地区120名教师的年龄和学历状况，情况如下饼图：则估计该地区35岁以下具有研究生学历的教师百分比为____▲____．15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，111n n n S S a --++=(2n ≥，*n N ∈)且844S S =，则11a = ▲ ．16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =且ABC ∆面积为222)S b a c =--， 则面积S 的最大值为 ▲ ．三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．(本小题满分11分)已知函数()2sin()f x x ωφ=+(其中0ω>，||2πφ<)的最小正周期为π，且图象经过点(,2)6π． (1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的单调递增区间．18．(本题满分11分) 已知数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若2log n n b a =*()n N ∈，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．(本题满分为12分)某厂家生产一种产品的固定成本为4万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.8万元.已知销售收入()R x (万元)满足20.610.4(010)()44(10)x x x R x x ⎧-+≤≤⎪=⎨>⎪⎩，其中x 是该产品的月产量(单位：百台). 假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：(1)将利润表示为月产量x 的函数()y f x =；(2)当月产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？20．(本题满分12分)在凸四边形ABCD 中，22CD AD ==.(1)若32AB =，75C ∠=︒，60D ∠=︒，求sin B 的大小.(2)若2AB =，3BC =且2A C π∠-∠=，求四边形ABCD 的面积.21．(本题满分为12分)为了解人们对某种食材营养价值的认识程度，某档健康养生电视节目组织8名营养专家和8名现场观众各组成一个评分小组，给食材的营养价值打分（十分制）．下面是两个小组的打分数据：第一小组 8.2 7.5 6.4 9.5 8.3 8.0 1.5 6.6 第二小组8.88.59.58.69.28.28.98.7(1)求第一小组数据的中位数与平均数，用这两个数字特征中的哪一种来描述第一小组打分的情况更合适？说明你的理由．(2)你能否判断第一小组与第二小组哪一个更像是由营养专家组成的吗？请比较数字特征并说明理由．(3)节目组收集了烹饪该食材的加热时间t (单位：min)与其营养成分保留百分比y 的有关数据：在答题卡上画出散点图，求y 关于t 的线性回归方程（系数精确到0.01），并说明回归方程中斜率b 的含义．附注：参考数据：611817i ii t y==∑，6211235i i t ==∑．参考公式：回归方程y a b t =+⋅中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221,ni ii nii t y n t yb tn t==-=-∑∑=a y b t -⋅．22．(本题满分为12分)设a R ∈，已知函数()||f x x x a a =--，()(2)()xF x e f x =-⋅.(1)若0x =是()F x 的零点，求不等式()0F x >的解集； (2)当[2,3]x ∈时，()0F x ≥，求a 的取值范围.。
【考试必备】2018-2019年最新汕头金山中学初升高自主招生考试数学模拟精品试卷【含解析】【5套试卷】
2018-2019年最新汕头金山中学自主招生考试数学模拟精品试卷（第一套）一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请你把正确选项前的字母填涂在答题卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．下列事件中，必然事件是( )A．掷一枚硬币，正面朝上B．a是实数，|a|≥0C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品2、如图是奥迪汽车的标志，则标志图中所包含的图形变换没有的是（）A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变换3．如果□×3ab＝3a2b，则□内应填的代数式( )A．ab B．3ab C．a D．3a4．一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5、割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又O割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。
试用这个方法解决问题：如图，⊙的内接多边形周长为3 ，⊙O 的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ ） A．10D6、今年5月，我校举行“庆五g 四”歌咏比赛，有17位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前8名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道17位同学分数的（ ） A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差7．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0 B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，3－x >0C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －3>0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，3－x >08．已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最小值0，有最大值3B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3D．有最小值－1，无最大值9．如图，矩形OABC的边OA长为2 ，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A．2.5 B．2 2 C. 3 D. 510．广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A．4米 B．3米 C．2米 D．1米11、两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（）（A）两个外离的圆（B）两个外切的圆（C）两个相交的圆（D）两个内切的圆主视方向12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2－4ac>0；②abc>0；③8a＋c>0；④9a＋3b＋c<0.其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本小题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案13．当x______时，分式13－x有意义．14．在实数范围内分解因式：2a3－16a＝________.15．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为________．16．如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB＝________.17．若一次函数y＝(2m－1)x＋3－2m的图象经过一、二、四象限，则m的取值范围是________．18．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有________个小圆. (用含n的代数式表示)三、解答题（本大题7个小题，共90分）19．（本题共2个小题，每题8分，共16分） （1）.计算：(2011－1)0＋18sin45°－2－1（2）．先化简，再计算： x 2－1x 2＋x ÷⎝⎛⎭⎪⎫x －2x －1x ，其中x 是一元二次方程x 2－2x －2＝0的正数根．20．（本题共2个小题，每题6分，共12分） （1）.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2＋17) cm ，正六边形的边长为(x2＋2x) cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．（2）．描述证明海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：将上图横线处补充完整，并加以证明．21．（本题12分）某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数最多的甲、乙、丙三人．票数结果统计如图一：其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试．各项成绩如下表所示：图二是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图．请你根据以上信息解答下列问题：(1)补全图一和图二；(2)请计算每名候选人的得票数；(3)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2∶5∶3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？22．（本题12分）如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线y＝kx交于A(3，203)、B(－5，a)两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E.(1)求点B的坐标及直线AB的解析式；(2)判断四边形CBED的形状，并说明理由．23、（本题12分）如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB=AC ，点D 在⊙O 上，AD ⊥AB 于点A ， AD 与BC 交于点E ，F 在DA 的延长线上，且AF=AE ． （1）试判断BF 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2）若⊙O 的半径为2．∠F=60，求弓形AB 的面积24．（本题12分）已知双曲线y ＝kx与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A (2,3)、B (m,2)、c (－3，n )三点．(1)求双曲线与抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C ，并求出△ABC 的面积．25．（本题共2个小题，每题7分，共14分）（1）观察下列算式：① 1 × 3－22＝3－4＝－1② 2 × 4－32＝8－9＝－1③ 3 × 5－42＝15－16＝－1④ __________________________……(1)请你按以上规律写出第4个算式；(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．（2）如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点. 已知反比例函数y ＝k x(k >0)的图象经过点A (2，m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为12.(1)求k 和m 的值；(2)点C (x ，y )在反比例函数y ＝kx的图象上，求当1≤x ≤3时函数值y 的取值范围；(3)过原点O 的直线l 与反比例函数y ＝kx的图象交于P 、Q 两点，试根据图象直接写出线段PQ 长度的最小值.2018-2019年最新汕头金山中学自主招生考试数学模拟精品试卷答案（第一套）1.答案 B解析 据绝对值的意义，一个数的绝对值是一个非负数，|a |≥0.2.C3.答案 C解析 □＝3a 2b ÷3ab ＝a . 4.答案 A解析 x (x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，x 1＝0，x 2＝2，方程有两个不相等的实数根．5.C6.A7.答案 B 解析 观察数轴，可知－1<x <3，只有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，3－x >0的解集为－1<x <3.8.答案 C解析 当0≤x ≤3时，观察图象，可得图象上最低点(1，－1)，最高点(3,3)，函数有最小值－1，最大值3.9.答案 D解析 在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，所以OB ＝12＋22＝ 5 10.答案 A解析 y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，抛物线开口向下，函数有最大值4.11.D 12.答案 D解析 由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△＝b 2－4ac >0，故①正确．抛物线开口向上，得a >0；又对称轴为直线x ＝－b2a＝1，b ＝－2a <0.抛物线交y 轴于负半轴，得 c <0，所以abc >0，②正确．根据图象，可知当x ＝－2时，y >0，即4a －2b ＋c >0，把b ＝－2a 代入，得4a －2(－2a )＋c ＝8a ＋c >0，故③正确．当x ＝－1时，y <0，所以x ＝3时，也有y <0，即9a ＋3b ＋c <0，故④正确．二．填空题 13.答案 ≠3解析 因为分式有意义，所以3－x ≠0，即x ≠3. 14.答案 2a (a ＋2 2)(a －2 2) 15.答案 9.63×10－5解析 0.0000963＝9.63×10－5. 16.答案 105°解析 如图，∵(60°＋∠CAB )＋(45°＋∠ABC )＝180°，∴∠CAB ＋∠ABC ＝75°，在△ABC 中，得∠C ＝105°.17.答案 m <12解析 因为直线经过第一、二、四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m －1<0，3－2m >0，解之，得m <12.18.答案 n (n ＋1)＋4或n 2＋n ＋4解析 第1个图形有2＋4＝(1×2＋4)个小圆，第2个图形6＋4＝(2×3＋4)个小圆，第3个图形有12＋4＝(3×4＋4)个小圆，……第n 个图形有[n (n ＋1)＋4]个小圆．三、解答题（本大题7个小题，共90分） 19．（本题共2个小题，每题8分，共16分）（1）.解：原式＝1＋3 2×22－12＝312.（2）解：原式＝x ＋1x －1x x ＋1÷x 2－2x ＋1x ＝x －1x ·xx －12＝1x －1. 解方程得x 2－2x －2＝0得， x 1＝1＋3>0，x 2＝1－3<0.当x ＝1＋3时，原式＝11＋3－1＝13＝33.20.（1）.解：由已知得，正五边形周长为5(x 2＋17) cm ，正六边形周长为6(x 2＋2x ) cm.因为正五边形和正六边形的周长相等， 所以5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )．整理得x 2＋12x －85＝0，配方得(x ＋6)2＝121， 解得x 1＝5，x 2＝－17(舍去)．故正五边形的周长为5×(52＋17)＝210(cm)．又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm. 答：这两段铁丝的总长为420 cm.（2）解：如果a b ＋ba ＋2＝ab ，那么a ＋b ＝ab .证明：∵a b ＋b a ＋2＝ab ，∴a 2＋b 2＋2abab＝ab ，∴a 2＋b 2＋2ab ＝(ab )2，∴(a ＋b )2＝(ab )2， ∵a >0，b >0，a ＋b >0，ab >0， ∴a ＋b ＝ab .21.解：(1)乙30%；图二略．(2)甲的票数是：200×34%＝68(票)， 乙的票数是：200×30%＝60(票)，丙的票数是：200×28%＝56(票)，(3)甲的平均成绩：x 1＝68×2＋92×5＋85×32＋5＋3＝85.1，乙的平均成绩：x 2＝60×2＋90×5＋95×32＋5＋3＝85.5，丙的平均成绩：x 3＝56×2＋95×5＋80×32＋5＋3＝82.7，∵乙的平均成绩最高，∴应该录取乙．22.解：(1)∵双曲线y ＝k x 过A (3，203)，∴k ＝20.把B (－5，a )代入y ＝20x，得a ＝－4.∴点B 的坐标是(－5，－4). 设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，将 A (3，203)、B (－5，－4)代入得，⎩⎨⎧203＝3m ＋n ，－4＝－5m ＋n ，解得：m ＝43，n ＝83.∴直线AB 的解析式为：y ＝43x ＋83.(2)四边形CBED 是菱形．理由如下：易求得点D 的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(－2,0)． ∵ BE //x 轴， ∴点E 的坐标是(0，－4)． 而CD ＝5, BE ＝5, 且BE //CD . ∴四边形CBED 是平行四边形. 在Rt △OED 中，ED 2＝OE 2＋OD 2, ∴ ED ＝32＋42＝5，∴ED ＝CD . ∴四边形CBED 是菱形.23.解：证明：（1）BF 与⊙O 相切，连接OB 、OA ，连接BD ， ∵AD ⊥AB ，∴∠BAD=90°， ∴BD 是直径，∴BD 过圆心. ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ， ∵∠C=∠D ，∴∠ABC=∠D ， ∵AD ⊥AB ，∴∠ABD+∠D=90°， ∵AF=AE ，∴∠EBA=∠FBA ， ∴∠ABD+∠FBA=90°，∴OB ⊥BF ， ∴BF 是⊙O 切线.(2)∵∠F=600，∴∠D=900-∠F=300,∴∠AOB=600,∴△AOB 为等边三角形..S 弓形AB=3322433602602020-=⨯-ππ.24.解：(1)把点A (2,3)代入y ＝k x得：k ＝6.∴反比例函数的解析式为：y ＝6x.把点B (m,2)、C (－3，n )分别代入y ＝6x得： m ＝3，n ＝－2.把A (2,3)、B (3,2)、C (－3，－2)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝2，9a －3b ＋c ＝－2，解之得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝23，c ＝3.∴抛物线的解析式为：y ＝－13x 2＋23x ＋3.(2)描点画图(如图)：S △ABC ＝12(1＋6)×5－12×1×1－12×6×4＝352－12－12＝5.25.（1）.解：(1)4×6－52＝24－25＝－1.(2)答案不唯一．如n ()n ＋2－()n ＋12＝－1.(3)n ()n ＋2－()n ＋12 ＝n 2＋2n －()n 2＋2n ＋1 ＝n 2＋2n －n 2－2n －1 ＝－1. 所以一定成立．（2）解：(1)∵A (2，m )，∴OB ＝2，AB ＝m ，∴S △A OB ＝12OB ·AB ＝12×2×m ＝12，∴m ＝12.∴点A 的坐标为(2，12)．把A (2，12)代入y ＝k x ，得12＝k2，∴k ＝1.(2)∵当x ＝1时，y ＝1；当x ＝3时，y ＝13，又∵反比例函数y ＝1x在x >0时，y 随x 的增大而减小，∴当1≤x ≤3时，y 的取值范围为13≤y ≤1.(3) 由图象可得，线段PQ 长度的最小值为2 2.(1)(2)(3)2018-2019年最新汕头金山中学自主招生考试数学模拟精品试卷（第二套）考试时间：90分钟 总分：150分第I 卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1、下列计算中，正确的是( )A ．B ．C ．D ．2、如右图，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3，则□ABCD 的周长为( ) A ．6B ．9C ．12D ．153、已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如右图所 示，则下列结论 ①0<++c b a ②0<+-c b a ③02<+a b ④0>abc 中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4、如图是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）020=623)(a a =93=±2a a a =+（A）25 （B）66 （C）91 （D）1205、有如下结论（1）有两边及一角对应相等的两个三角形全等；（2）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；（3）对角线相等的四边形是矩形；（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
广东省汕头市金山中学2018-2019学年高一(上)期中数学二模试题(精编含解析)
广东省汕头市金山中学2018-2019学年高一（上）期中数学二模试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1.已知集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={x|y=lg （x﹣2）}，则A∩（∁R B ）=（ ）A. （2，4） B. （﹣2，4）C. （﹣2，2）D. （﹣2，2]【答案】D 【解析】【分析】进行补集和交集的运算即可．【详解】B ={x |x ＞2}；∴∁R B ={x |x ≤2}；∴A ∩（∁R B ）=（﹣2，2]．故选：D ．【点睛】考查描述法表示集合的概念，交集和补集的运算．2.已知，则（ ）1tan 3a =-212sin cos cos a a a=+A. B. C. D. 1033103-3-【答案】A 【解析】分析：原式分子利用同角三角函数间的基本关系化简，分子分母除以，再利用同角三角函数间的基2cos a 本关系弦化切后，将的值代入计算即可求出值．tan a 详解：原式= 222221sin cos tan 12sin cos cos 2sin cos cos 2tan 1a a a a a a a a a a ++===+++211103.13213æöç-÷+ç÷èø==æö´ç-÷+ç÷èø故选A.．点睛：本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3.已知是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设()f x ，则的大小关系是（ ）0.6412(log 7),(log 3),(0.2)a f b f c f -===,,a b c A. B. c a b <<c b a <<C. D. b c a <<a b c <<【答案】B 【解析】试题分析：∵已知是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，∴在()f x (,)-¥+¥(,0]-¥()f x上单调递减，∴，，742(log )=(log a f f =11222(log 3)(log 3)(log 3)b f f f ==-=又∵，，∴，∴．考点：1．偶函数的性质；2．指对数的运算性质．4.已知，则（ ）0.430.43,0.4,log 3a b c ===A. B.C.D. b a c <<c a b <<a c b <<c b a <<【答案】D 【解析】是定义域上的增函数，3x y = 0.40331\>=是定义域上的减函数，0.4x y = 3000.40.41\<<=是定义域上的减函数，0.4log y x = 0.40.4log 3log 10\<=c b a\<<故选D5.如果点位于第四象限，那么角所在的象限是（ ）．(sin ,cos )P q q q A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【解析】∵点位于第四象限，∴，(sin ,cos )P q q sin 0cos 0q q ì>ïí<ïî∴角所在的象限是第二象限．q 故选：B ．6.设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，()f x R (1)y f x =+1x ³，则的大小关系是（ ）()1()12x f x =-31(log 2),(),(3)2a fb fc f ==-=A. B.C.D. a b c >>b c a >>b a c >>c b a>>【答案】C 【解析】∵y=f （x+1）是偶函数，∴f （-x+1）=f （x+1），即函数f （x ）关于x=1对称．∵当x≥1时，为减函数，∵f （log 32）=f （2-log 32）= f （）()112x f x æöç÷=-ç÷èø923log 且==log 34，log 34＜＜3，∴b ＞a ＞c ，12-923log 故选：C7.函数的值域为（ ）()212log (12)f x x x =+-A. [﹣1，0） B. [﹣1，+∞） C. （0，1] D. [1，+∞）【答案】B 【解析】【分析】由二次函数的性质，我们易求出1+2x ﹣x 2的值域，进而根据对数函数的性质，即可得到函的值域．()()21212f x log x x =+-【详解】∵1+2x ﹣x 2=﹣（x ﹣1）2+2≤2∴1()()21122122f x log x xlog =+-³=-故函数的值域为[﹣1，+∞）.()()21212f x log x x =+-【点睛】本题考查的知识点是对数函数的值域，其中熟练掌握对数函数的单调性是关键．8.当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能为（ ）1a >xy a =1log ay x = A. B. C. D.【答案】C 【解析】当时，单调递增，单调递减1a >xy a =1ay log x =故选C9.已知函数是奇函数，则的值等于（ ）()22xxa f x a -=+()f a A. B. 3 C. 或3 D. 或313-13-13【答案】C 【解析】函数为奇函数，则：，即：恒成立，()()f x f x -=-2222x xx xa a a a ----=-++整理可得：，即恒成立，，212212x x x xa a a a ×--+=×++21a =1a \=±当时，函数的解析式为：，，1a =()1212x x f x -=+()()111211123f a f -===-+当时，函数的解析式为：，，1a =-()1212x x f x --=-+()()11121312f a f ----=-==-+综上可得：的值等于或3.()f a 13-本题选择C 选项.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．10.函数的定义域为 ()f x =()A. B. C. D. [)1,2(]1,2()1,2(),2-¥【答案】A 【解析】【分析】要使得有意义，则需满足，解该不等式组即可得出的定义域．()f x ()200.6log 20x x ->ìï-³íïî()f x 【详解】要使有意义，则，()f x ()200.6log 20x x ->ìï-³íïî解得；12x £<的定义域为．()f x \[)1,2故选：A ．【点睛】考查函数定义域的定义及求法，对数的真数大于0，以及对数函数的单调性．11.已知集合M={（x ，y ）|y=f （x ）}，若对于任意实数对（x 1，y 1）∈M，存在（x 2，y 2）∈M，使x 1x 2+y 1y 2=0成立，则称集合M 具有∟性，给出下列四个集合：①M={（x ，y ）|y=x 3﹣2x 2+3}； ②M={（x ，y ）|y=log 2（2﹣x）}；③M={（x ，y ）|y=2﹣2x }； ④M={（x ，y ）|y=1﹣sinx}；其中具有∟性的集合的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D 【解析】【分析】条件等价于：对于M 中任意点P （x 1，y 1），在M 中存在另一个点P ′（x 2，y 2），使OP ⊥OP ′．作出函数图象，验证即可．【详解】分别作出①②③④的图象如图：，y=x3﹣2x2+3的图象y=log2（2﹣x）的图象：y=2﹣2x的图象：y=1﹣sinx的图象：由题意知：对于M 中任意点P （x 1，y 1），在M 中存在另一个点P ′（x 2，y 2），使，即'0OP OP ×=OP ⊥OP ′，即过原点任作一条直线与函数图象相交，都能过原点作另一条直线与此直线垂直，对上述图象一一验证，都成立，故选：D ．【点睛】本题考查集合的表示方法、函数图象及其应用，属于中档题．12.已知，则使成立的的取值范围是（ ）()[][]1,0,13,0,1x f x x x ìÎï=í-Ïïî()()1f f x =x A. B. C. D. []0,1[]{}3,47È[][]0,13,4È[][]{}0,13,47ÈÈ【答案】D 【解析】】∵，成立()[][]1,0,13,0,1x f x x x ìÎï=í-Ïïî()()1f f x =∴()01f x ££∴或或01x ££031x £-£34x -=∴或或01x ££34x ££7x =故选D.二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.函数f （x ）=a 2x﹣1+1（a ＞0，a≠1）的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是_____．【答案】 1(,2)2【解析】【分析】解析式中的指数2x ﹣1=0，求出x 的值，再代入解析式求出y 的值，即得到定点的坐标．【详解】由于函数y =a x 经过定点（0，1），令2x ﹣1=0，可得x ，求得f （）=2，12=12故函数f （x ）=a 2x ﹣1+1（a ＞0，a ≠1），则它的图象恒过定点的坐标为（，2），12故答案为：（，2）．12【点睛】本题主要考查指数函数的图象过定点（0，1）的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的x 和y 的值，属于基础题．14.已知扇形弧长为的弧所对的圆心角为，则这扇形的面积为_____cm 2．cm p 4p【答案】2 π【解析】由已知有，扇形所在圆的半径 ，所以扇形的面积（）。
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2018-2019学年广东省汕头市金山中学高一(上)期中数学二模试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题1．已知集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={x|y=lg(x ﹣2)}，则A∩(∁R B)= A ．(2，4) B ．(﹣2，4) C ．(﹣2，2) D ．(﹣2，2] 2．已知tanα=−13，则12sinαcosα+cos 2α= A ．103 B ．3 C ．−103 D ．−33．已知f(x)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数，且在区间(−∞,0]上是增函数，设a =f(log 47)，b =f(log 123)，c =f(0.2−0.6)，则a,b,c 的大小关系是A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c4．已知0.430.43,0.4,log 3a b c ===，则A ．b a c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 5．如果点()sin ,cos P θθ位于第四象限，那么角θ所在的象限是． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()()331log 2,log,32a f b f c f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．c b a >> 7．函数f (x )=log 12(1+2x −x 2)的值域为A ．[﹣1，0)B ．[﹣1，+∞)C ．(0，1]D ．[1，+∞)8．当1a >时，在同一平面直角坐标系中，函数xy a =与1log ay x =的图象可能为A ．B ．C ．D ．9．已知函数()22xxa f x a -=+是奇函数，则()f a 的值等于 A ．13- B ．3 C ．13-或3 D ．13或3 10．函数f(x)=√log 0.6(2−x)的定义域为 A ．[1,2) B ．(1,2] C ．(1,2) D ．(−∞,2)11．已知集合M={(x ，y)|y=f(x)}，若对于任意实数对(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使x 1x 2+y 1y 2=0成立，则称集合M 具有∟性，给出下列四个集合：①M={(x ，y)|y=x 3﹣2x 2+3}； ②M={(x ，y)|y=log 2(2﹣x)}； ③M={(x ，y)|y=2﹣2x }； ④M={(x ，y)|y=1﹣sinx}； 其中具有∟性的集合的个数是此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．1B ．2C ．3D ．412．已知f (x )={1,x ∈[0,1]x −3,x ∉[0,1]，则使f(f (x ))=1成立的x 的取值范围是A ．[0,1]B ．[3,4]∪{7}C ．[0,1]∪[3,4]D ．[0,1]∪[3,4]∪{7}二、解答题 13．计算： (1)√33×√93×√274(2)lg125+lg8 (3)ln √e(4)cos0°+sin90°﹣tan45°﹣2cos60°． 14．已知f (α)=sin (3π−α)cos (2π−α)sin(3π2−α)cos (π−α)sin (−π−α)(1)化简f (α)(2)若α是第二象限角,且cos (π2+α)=−13,求f (α)的值.15．为纪念重庆黑山谷晋升国家5A 级景区五周年，特发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：(Ⅰ)分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的变化关系，并判断y 与x 满足下列哪种函数关系，①一次函数；②二次函数；③对数函数，并求出函数的解析式；(Ⅱ)利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格． 16．已知关于x 的方程2x 2−(√3−1)x +m =0的两根为sinθ和cosθ (0＜θ＜π)． (1)求m 的值； (2)计算sin 2θsinθ−cosθ+cosθtanθ−1的值．17．已知函数f(x)=log 13(x 2−2ax +3)．(1)若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若函数f(x)在(﹣∞，1)上为增函数，求实数a 的取值范围．18．函数f(x)=22x −(m −1)2x +2在x ∈[0,2]只有一个零点，求m 取值范围．三、填空题19．函数f(x)=a 2x ﹣1+1(a ＞0，a≠1)的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是_____． 20．已知一个扇形的弧长为πcm ，其圆心角为π4，则这扇形的面积为______cm 2．21．若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )={x 2+x +a,0≤x ≤2−6x +18,2<x ≤3,则f (a +1)的值为_________．22．已知函数f(x)=x|2x ﹣a|﹣1．①当a=0时，不等式f(x)+1＞0的解集为_____；②若函数f(x)有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____．2018-2019学年广东省汕头市金山中学高一(上)期中数学二模试题数学答案参考答案1．D【解析】【分析】先求得集合B,再进行补集和交集的运算即可．【详解】B={x|x＞2}；∴∁R B={x|x≤2}；∴A∩(∁R B)=(﹣2，2]．故选：D．【点睛】本题考查描述法表示集合，交集和补集的运算．2．A【解析】分析：原式分子利用同角三角函数间的基本关系化简，分子分母除以cos2α，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入计算即可求出值．详解：原式==12sinαcosα+cos2α=sin2α+cos2α2sinαcosα+cos2α=tan2α+12tanα+1=(−13)2+12×(−13)+1=103.故选A.．点睛：本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．B【解析】试题分析：∵已知f(x)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数，且在区间(−∞,0]上是增函数，∴f(x)在上单调递减，∴a=f(log47)=f(log2√7)，b =f(log123)=f(−log123)=f(log23)，又∵，，∴，∴．考点：1．偶函数的性质；2．指对数的运算性质．4．D【解析】3xy=是定义域上的增函数，0.40331∴>=0.4xy=是定义域上的减函数，3000.40.41∴<<=0.4logy x=是定义域上的减函数，0.40.4log3log10∴<=c b a∴<<故选D5．B【解析】∵点()sin,cosPθθ位于第四象限，∴{sincosθθ><，∴角θ所在的象限是第二象限．故选：B．6．C【解析】∵y=f(x+1)是偶函数，∴f(-x+1)=f(x+1)，即函数f(x)关于x=1对称．∵当x≥1时，()112xf x⎛⎫=-⎪⎝⎭为减函数，∵f(log32)=f(2-log32)= f(923log)且12-=34，log34＜923log＜3，∴b＞a＞c，故选：C7．B【解析】【分析】由二次函数的性质，我们易求出1+2x﹣x2的值域，进而根据对数函数的性质，即可得到函f(x)=log12(1+2x−x2)的值域．【详解】∵1+2x﹣x2=﹣(x﹣1)2+2≤2∴f(x)=log12(1+2x−x2)≥log122=−1故函数f(x)=log 12(1+2x −x 2)的值域为[﹣1，+∞).故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是对数函数的值域，其中熟练掌握对数函数的单调性是关键． 8．C【解析】当1a >时， xy a =单调递增， 1ay log x =单调递减故选C 9．C【解析】函数为奇函数，则： ()()f x f x -=-，即： 2222x xx xa a a a ----=-++恒成立，整理可得： 212212x x x xa a a a ⋅--+=⋅++，即21a =恒成立， 1a ∴=±， 当1a =时，函数的解析式为： ()1212x x f x -=+， ()()111211123f a f -===-+， 当1a =-时，函数的解析式为： ()1212x x f x --=-+， ()()11121312f a f ----=-==-+， 综上可得： ()f a 的值等于13-或3. 本题选择C 选项.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．10．A 【解析】 【分析】要使得f(x)有意义，则需满足{log 0.6(2−x)≥02−x>0，解该不等式组即可得出f(x)的定义域．【详解】要使f(x)有意义，则{log 0.6(2−x)≥02−x>0，解得1≤x <2； ∴f(x)的定义域为[1,2)． 故选：A ． 【点睛】考查函数定义域的定义及求法，对数的真数大于0，以及对数函数的单调性． 11．D 【解析】 【分析】条件等价于：对于M 中任意点P (x 1，y 1)，在M 中存在另一个点P ′(x 2，y 2)，使OP ⊥OP ′．作出函数图象，验证即可．【详解】分别作出①②③④的图象如图：， y=x 3﹣2x 2+3的图象y=log 2(2﹣x)的图象：y=2﹣2x 的图象：y=1﹣sinx 的图象：由题意知：对于M 中任意点P (x 1，y 1)，在M 中存在另一个点P ′(x 2，y 2)，使OP →⋅OP′→=0，即OP ⊥OP ′，即过原点任作一条直线与函数图象相交，都能过原点作另一条直线与此直线垂直，对上述图象一一验证，都成立，故选：D ． 【点睛】本题考查集合的表示方法、函数图象及其应用，属于中档题． 12．D【解析】】∵f (x )={1,x ∈[0,1]x −3,x ∉[0,1]，f(f (x ))=1成立∴0≤f(x)≤1∴0≤x ≤1或0≤x −3≤1或x −3=4 ∴0≤x ≤1或3≤x ≤4或x =7 故选D.13．(1)9√274； (2)3 ； (3)12； (4)0 . 【解析】 【分析】(1)利用分数指数幂的运算法则，化简所给的式子，可得结果． (2)和(3)都是利用对数的运算法则化简所给的式子，可得结果． (4)利用特殊角的三角函数值求得结果.【详解】(1)√33×√93×√274=313×323×334=313+23+34=9√274．(2)lg125+lg8=lg1000=3． (3)ln √e =12lne =12．(4)cos0°+sin90°﹣tan45°﹣2cos60°=1+1﹣1﹣2×12=0．【点睛】本题主要考查对数的运算法则、分数指数幂的运算法则的应用，考查了特殊角的三角函数值，属于基础题．14．(1)cosα(2)−2√23【解析】 试题分析：(1)根据诱导公式对f(α)进行化简即可．(2)先由cos(π2+α)=−13求得sinα=13，再根据(1)的结论及同角三角函数关系式求解．试题解析： (1)f (α)=sin(3π−α)cos(2π−α)sin(3π2−α)cos(π−α)sin(−π−α)=sinαcosα(−cosα)(−cosα)sinα=cosα．(2)∵cos (π2+α)=−sinα=−13，∴sinα=13，∵ α是第二象限角， ∴cosα=−√1−sin 2α=−2√23， ∴f(α)=cosα=−2√23．15．(1)f(x)=x 2﹣6x+10(x≥0)； (2)黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市为第3天，最低的价格为1元.【解析】 【分析】(Ⅰ)根据y 的变化趋势可知函数不单调，从而选择②，利用待定系数法求出解析式， (Ⅱ)根据二次函数的性质得出最小值及其对应的时间； 【详解】(Ⅰ)由于市场价y 随上市时间x 的增大先减小后增大，而模型①③均为单调函数，不符合题意， 故选择二次函数模型②，设f(x)=ax 2+bx+c 由表中数据可知{a +b +c =54a +2b +c =236a +6b +c =10，解得a=1，b=﹣6，c=10，∴f(x)=x 2﹣6x+10(x≥0)，(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x 2﹣6x+10=(x ﹣3)2+1，当x=3时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为1元，故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市为第3天，最低的价格为1元 【点睛】本题考查了函数模型的选择和应用，二次函数的性质与应用，属于中档题． 16．(1)−√32； (2)√3−1.【解析】 【分析】(1)利用韦达定理表示出sinθ+cosθ与sinθcosθ，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出m 的值；(2)由(1)求得sinθ﹣cosθ的值，然后化切为弦整理可得sin 2θsinθ−cosθ+cosθtanθ−1的值． 【详解】(1)∵方程2x 2﹣(√3﹣1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(0，π)， ∴sinθ+cosθ=√3−12，sinθcosθ=m 2， ∵(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ， ∴4−2√34=1+m ， 则m=−√32；(2)由(1)得sinθ+cosθ=√3−12，sinθcosθ=−√34，∵0＜θ＜π，则sinθ﹣cosθ=√(sinθ+cosθ)2−4sinθcosθ=√3+12． 所以sin 2θsinθ−cosθ+cosθtanθ−1=sin 2θsinθ−cosθ+cos 2θsinθ−cosθ=sin 2θ+cos 2θsinθ−cosθ=1sinθ−cosθ=√3−1【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及三角函数的化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键，是中档题．17．(1)a ≥√3或a ≤−√3； (2)[1，2]. 【解析】 【分析】(1)根据题意，设t =x 2﹣2ax +3，则y =log13t ，若函数f (x )的值域为R ，结合对数函数的性质分析可得：对于t =x 2﹣2ax +3，必有△=(﹣2a )2﹣12≥0，解可得a 的取值范围，即可得答案；(2)由复合函数以及对数函数、二次函数的性质分析可得{a ≥14−2a ≥0，解可得a 的取值范围，即可得答案．【详解】(1)根据题意，函数f(x)=log13(x 2﹣2ax+3)，设t=x 2﹣2ax+3，则y=log 13t ，若函数f(x)的值域为R ，对于t=x 2﹣2ax+3，必有△=(﹣2a)2﹣12≥0， 解可得：a≥√3或a≤﹣√3， (2)设t=x 2﹣2ax+3，则y=log 13t ，函数y=log 13t 为减函数，若函数f(x)在(﹣∞，1)上为增函数，则函数t=x 2﹣2ax+3在(﹣∞，1)上为减函数，且t=x 2﹣2ax+3＞0在(﹣∞，1)上恒成立， 即{a ≥14−2a ≥0，解可得1≤a≤2， 即a 的取值范围为[1，2]． 【点睛】本题考查复合函数的单调性以及对数函数的性质，关键是掌握对数函数的性质，属于基础题．18．(4，112]． 【解析】试题分析：复合函数的零点问题可用换元法解决，将问题转化为熟悉的函数，再用零点存在性定理构造关于参数的不等式解决.试题解析：令因为所以，即由在(0,2)上只有一个零点，可以推出在(1,4)上只有一个零点，当时，故在[1,4]上有零点1,2.与题意矛盾！当时，故在[1,4]上只有零点4.满足题意.综上，当考点：1、零点存在性定理；2、复合函数；3、二次函数．【易错点晴】本题主要考查的是零点存在性定理的应用，零点存在性定理要求在上连续，并且那么在区间内有零点，即存在使得而本题要求在闭区间只有一个零点，应用零点存在性定理只能保证在开区间上只有一个零点，所以要另外讨论端点取值是否满足要求.19．(12,2) 【解析】 【分析】解析式中的指数2x ﹣1=0，求出x 的值，再代入解析式求出y 的值，即得到定点的坐标． 【详解】由于函数y =a x 经过定点(0，1)，令2x ﹣1=0，可得x =12，求得f (12)=2，故函数f (x )=a 2x ﹣1+1(a ＞0，a ≠1)，则它的图象恒过定点的坐标为(12，2)，故答案为：(12，2)． 【点睛】本题主要考查指数函数的图象过定点(0，1)的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的x 和y 的值，属于基础题．20．2π 【解析】 【分析】根据孤长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可. 【详解】∵扇形的半径为4cm ，圆心角为π4， ∴弧长l =4×π4=π ,∴这条弧所在的扇形面积为S =12×π×4=2πcm 2，故答案为2π .【点睛】本题主要考査扇形的面积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.21．2【解析】分析：由题意可得f(0)=f(3)，解得a=0，由分段函数求得f(1)．详解：f(x)是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )={x 2+x +a,0≤x ≤2−6x +18,2<x ≤3，可得f(0)=f(3)，即有a=﹣18+18=0，则f(a+1)=f(1)=1+1=2，故答案为：2点睛：本题主要考查函数的周期性和分段函数求值，意在考查对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.22．(0，+∞) (2√2，+∞) 【解析】 【分析】①把a =0代入函数解析式，可得不等式，对x 分类求解得答案；②转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合，通过函数的导数求解即可． 【详解】①当a =0时，不等式f (x )+1＞0⇔x |2x |﹣1+1＞0， 即2x |x |＞0，若x ＜0，得﹣2x 2＞0，不合题意； 若x =0，得0＞0，不合题意； 若x ＞0，得2x 2＞0，则x ＞0．综上，当a =0时，不等式f (x )+1＞0的解集为(0，+∞)；②若函数f (x )有三个不同的零点，即方程x |2x ﹣a |﹣1=0有3个不同根． 即|2x ﹣a |=1x 有三个解，令y =|2x ﹣a |，则y =1x {2x −a ，x ≥a2a −2x ，x ＜a 2，画出两个函数的图象，如图：x ＜a 2，y =1x ，由y ′=−1x 2=−2，解得x =√22，x =−√22(舍去)， 此时切点坐标(√22，√2)，代入y =a ﹣2x ，可得a =2×√22+√2=2√2，函数f(x)=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为(2√2，+∞)．故答案为：(0，+∞)；(2√2，+∞)．【点睛】本题绝对值不等式的解法，考查函数的导数的应用，函数的零点的判断，考查数形结合的应用，是中档题．。