信号与系统2012第3讲
信号与系统-第三章习题讲解
Fn
1 T
T f (t)e jntdt 1
0
T
T E(1 t )e jntdt
0
T
E T e jnt dt 1 T te jnt dt]
T0
T0
E { 1 [t TT
1 e jnt
jn
|T0
T e jnt
0 jn
dt]}
E { 1 [T 1 0]} j E ; n 1, 2,....
E cos( )
2
2E cos( ) 2E cos( )
2
2 2 2
2
[1 ( )2 ]
3 32已知阶跃函数和正弦、余弦函数的傅立叶变换：
FT[u(t)] 1 (); j
FT[cos(0t)] [ ( 0 ) ( 0 )]; FT[sin(0t)] j[ ( 0 ) ( 0 )];
E
n
e
j
2
,
n为奇数
0，
n为偶数
故：f (t ) jE e jt jE e jt jE e j3t jE e j3t ....
3
3
4、求题图3－4所示周期三角信号的傅里叶级 数并画出幅度谱。
解：将该信号表示为三角形式的傅里叶级数，有
1T
2
频谱图如下所示：
3 7利用信号f (t)的对称性，定性判断题图3－7中各 周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。
解：(1)图(a)中f (t)为偶函数，同时也是奇谐函数，故其 傅氏级数中只含奇次余弦分量。 (2)图(b)中f (t)为奇函数，同时也是奇谐函数，故其傅 氏级数中只含奇次正弦分量。 (3)图(c)中f (t)为奇谐函数，故其傅氏级数只含奇次谐 波分量。 (4)图(d )中f (t)为奇函数,故其傅氏级数中只含正弦分量。 (5)图(e)中f (t)既为偶函数又为偶谐函数，故其傅氏级数 中仅含直流和偶次谐波的余弦分量。
信号与系统郑君里ppt课件
2．正弦信号
f (t) K sin(t )
f
t
T
K
2π
O
2π
衰减正弦信号：
K et sint
f (t) 0
第
26 页
振幅：K 周期： T
2π
1
f
频率：f
角频率： 2 π f t 初相：
t0 0
t0
X
第
欧拉(Euler)公式
X
第
三．几种典型确定性信号
24 页
1.指数信号
信号的表示
2.正弦信号
函数表达式 波形
3.复指数信号(表达具有普遍意义)
3. 抽样信号(Sampling Signal) 5.钟形脉冲函数(高斯函数)
X
第
1．指数信号
25 页
f (t) K e t
l 0 直流(常数),
0
f t
a 1 压缩,保持信号的时间缩短
f (t) f (at)0 a 1 扩展,保持信号的时间增长
X
第
4．一般情况
38
页
f t f at b f at b a 设a 0
先展缩：a>1，压缩a倍； a<1，扩展1/a倍 后平移： +，左移b/a单位；－，右移b/a单位
27
页
sin t 1 ejt ejt 2j
cos t 1 ejt ejt 2
ej t cost jsint
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是同频率的正弦 信号。
X
第
3．复指数信号
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
信号与系统 第3讲
一、经典法
( p + a n 1 p
n
n 1
+ ... + a1 p + a0 )r ( t ) = 0
p+3 , 且r (0) = 1, r ' (0) = 2, 例1：已知一系统 H ( p ) = 2 p + 3p+ 2 求系统零输入响应
r (t ) = 4e t 3e 2t t≥0
分析： 系统的特征方程就是转移算子的分母D(p) 分析： 系统的特征方程就是转移算子的分母 解：第一步 求微分方程的特征根
m n m+n
m,n为任意整数 为任意整数
m , n同为正数或负数
微分和积分的次序不能交换
1 1 p 问： = p? p p
问:px(t)=py(t)
x(t)=y(t)
一般的微分方程： 一般的微分方程：
dn d n1 d r ( t ) + a n 1 n 1 r ( t ) + ... + a 1 r (t ) + a0r (t ) n dt dt dt dm d m 1 d e ( t ) + b m 1 m 1 e ( t ) + ... + b 1 e ( t ) + b0 e ( t ) = bm m dt dt dt
rzi ( t ) = C 1 e
若有k阶重根： 若有 阶重根： 阶重根
λ1t
+ C 2e
λ 2t
+ ... + C n e
λnt
rzi ( t ) = (C1 + C 2 t + C 3 t + ... + C k t
2
《信号与系统》真题强化教程(第3讲 连续信号傅里叶变换)
《信号与系统》真题强化教程
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考点17：系统性题目 （1）滤波系统 例63：如图所示系统。
《信号与系统》真题强化教程
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《信号与系统》真题强化教程
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考点7：傅里叶变换与响应
考点8：奈奎斯特频率 （1）傅里叶变换的性质求解奈奎斯特频率
例32：若f(t)的奈奎斯特角频率为ω0，则f(t)+f(t-t0)的奈奎斯特 角频率为________，f(t)cosω0t的奈奎斯特角频率为______。
（1）抽样后，在什么频率上会出现干 扰信号？试画出抽样后的信号的频谱 示意图； （2）为抗干扰，信号在抽样前通过一 个抗混淆系统，将干扰信号滤除。请 在图（a）、（b）中选出合适的抗混 淆系统，并画出幅度响应图； （3）为使有用信号的衰减低于1 dB， 而混淆信号的衰减高于15 dB，试求所 需的时间参数RC的范围。
（a） （b）
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（a）
（b）
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考点4：傅里叶变换应用 （1）判断互逆系统 （2）求解积分
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（3）求幅频特性和相频特性
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（4）求解各频率分量振幅
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《信号与系统》真题强化教程
信号与系统
再加上可分解与零输入响应满足线性，知本系统线性。 再加上可分解与零输入响应满足线性，知本系统线性。
解法二： 解法二： 判断线性——直接法 判断线性——直接法 直接对照线性条件来判断系统的线性，而不需 直接对照线性条件来判断系统的线性， 要分别判断三个条件。 要分别判断三个条件。 y1 → f1( t ) y2 → f2 ( t ) k1 y1 + k2 y2 → k1 f1( t ) + k2 f2 ( t )
0− 0− t
t
y zs1 (t ) + y zs 2 (t ) = 3∫ f1 (τ )dτ + 3∫ f 2 (τ )dτ
0− 0−
t
t
f (t ) = f1 (t ) + f 2 (t )
y zs (t ) = 3∫
显然
t 0−
[ f1 (τ ) + f 2 (τ )]dτ
y zs (t ) = y zs1 (t ) + y zs 2 (t ) 零状态响应满足线性， 零状态响应满足线性，
显然，零输入响应为： 显然，零输入响应为： yzi(t)= 2
t<0 t >0
全响应中去除零输入响应部分为零状态响应 全响应中去除零输入响应部分为零状态响应： 零状态响应： y(t)=2+2f(t)u(t)
首先考察零输入响应的线性
由：yzi(t)= 2 知：yzi1(t)= 2
yzi2(t)= 2
n
t≥ 0
∑ a x (0
k =1 k k
n
−
) → ∑ ak y zik (t ) (k=1,2,…,n) t≥0
k =1
x1(0) x2(0)
信号与系统郑君里课件
04
信号的频域分析
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的性质
线性、时移、频移、共轭、对称等性质，这 些性质在信号处理中有着广泛的应用。
傅里叶变换
将时间域信号转换为频域信号的数学工具。
傅里叶变换的逆变换
将频域信号还原为时间域信号的过程。
频域表示与频谱分析
01
频域表示
通过傅里叶变换，将信号从时间 域转换到频域，用频率作为自变 量表示信号特性。
系统。
信号与系统的重要性及应用领域
总结词
信号与系统是信息传输和处理的基础，广泛应用于通 信、控制、图像处理等领域。
详细描述
信号与系统是信息科学和技术领域的基础学科，是研究 信息传输和处理的基本理论和方法。在通信领域中，信 号与系统理论用于研究信号的调制解调、频谱分析和信 道容量等问题；在控制领域中，信号与系统理论用于研 究系统的稳定性、时域和频域分析等问题；在图像处理 领域中，信号与系统理论用于研究图像的压缩编码、滤 波和增强等问题。此外，信号与系统理论还在雷达、声 呐、生物医学工程等领域得到广泛应用。
02
信号的时域分析
信号的时域表示
信号的分类
根据不同的特性，信号可以分为连续信号和离散 信号、确定性信号和随机信号等。
信号的时域表示
信号在时间轴上的取值表示，可以是连续的波形 或离散的序列。
信号的基本属性
幅度、频率、相位等。
信号的时域运算
信号的延迟和提前。
信号的微分、积分等时域 变换。
信号的加法、减法、乘法 等基本运算。
系统的频域响应
线性时不变系统的频域响应
01
描述系统对不同频率输入信号的输出响应，包括幅度响应和相
位响应。
《信号与系统》课程讲义3-4
t 2
1
§3.4卷积定理和相关定理
二、相关定理
1．能量信号与功率信号
①能量与能量信号
∫ i)能量 E =
+∞
|
f
(t) |2dt
−∞
ii)能量信号E<+ ∞，例 f (t) = EGτ (t)
∫ ②iii功))功功率率率与P信功=号率Tl→iPm信+<∞+号T1∞−T22T
f (t 例f
) 2 dt (t) =
) )
f f
2 2
(t (τ
−τ −t
)dt )dτ
③ ⇒ f1(t) * f2 (−t) = R12 (t)
§3.4卷积定理和相关定理
[例3]：已知 f1(t) = G2 (t)，f2 (t) = (−t + 2)R2 (t) 求① f1(t) * f2 (t)
② R12 (t) = f1(t) * f2 (−t)
t+2 -1
1τ
§3.4卷积定理和相关定理
⎧0
∫⎪
⎪
t+2 2dτ
−1
∫ f1 (t )
*
f2 (t)
=
⎪ ⎨
⎪
∫⎪
⎪⎩
+21dτ
−1
12dτ
t−2
0
t < −3 ⎧ 0
− 3 ≤ t < −1 −1≤ t <1
=
⎪⎪⎪⎨2(t 4+
3)
1 ≤ t < 3 ⎪⎪2(3 − t)
t>3
⎪⎩ 0
t < −3 − 3 ≤ t < −1 −1≤ t <1
§3.4卷积定理和相关定理
信号与系统教案
第 1 次课 2 学时授课时间课题〔章节〕第一章绪论引言信号概述教学目的与要求：了解信号与常用信号，娴熟把握信号描述的各种方法。
教学重点、难点：对该课程的生疏，强调该课的学习方法和要求，以及该课程在今后课程中的作用。
信号的表示方法。
教学方法及师生互动设计：以通信系统为例，导入信号与系统的教学任务，简洁介绍通信系统的学问，让学生渐渐进入专业学习，领悟该课程在今后专业学习中所发挥的作用。
板书与PPT 演示相结合介绍常见信号，并通过假设干例子进一步阐述所讲内容，深化理解信号的表示方法。
课堂练习、作业：课后小结：按打算完成内容，通过通信系统实例讲解信号与系统课程作用，使学生对专业有进一步了解。
讲解常见信号，使学生能运用表达式、图形等来描述信号。
第 2 次课 2 学时授课时间课题〔章节〕2 信号运算教学目的与要求：娴熟把握信号描述的各种方法，及信号的根本变换，能娴熟进展信号的运算。
教学重点、难点：信号的变换及计算。
教学方法及师生互动设计：板书与PPT 演示相结合逐步介绍信号的加、减、乘、除，以准时移、反转等变换。
通过局部习题例子来讲解信号是如何变换及计算的，最终布置习题，让学生进一步加强对学问的理解，并通过习题对其加深理解。
课堂练习、作业：补充习题课后小结：本节是重点内容，讲解稍慢。
通过多举习题，提高学生解题力量。
与学生互动觉察学生接收过程偏慢，其缘由是学生的根本计算力量还需要提高，应讲解更细致更慢。
第 3 次课 2 学时授课时间课题〔章节〕3 系统概述教学目的与要求：了解系统分类的思路，娴熟把握连续﹑动态﹑时不变线性系统的描述方法和数学模型，对算子法表示系统应能正确运用。
教学重点、难点：把握线性时不变系统的区分，强调线性、时不变性、因果性的独立。
教学方法及师生互动设计：先列举局部系统，导入LTI 系统，然后列举习题，让学生判别LTI 系统。
板书与PPT 演示相结合介绍其系统的描述方法和数学模型。
课堂练习、作业：课后小结：此局部内容稍易，大多数同学在学习过程中思路清楚，理解较为简洁。
信号与系统课件SandS-3-2
然后就可以进行相应运算。例如
y1(n) x1(n) x2 (n) 17.8, 42.5,39, 9.5,0
y2 (n) x1(n) x2 (n) 67.2, 61.5,108, 0, 0
7
§3-2 序列的运算
3-2-2 对自变量的基本运算
1. 时间变换（展缩）
例如，输入序列可能会受到某种加性噪声的干扰，因此
需要设计一个离散时间系统对受到噪声污染的序列进行噪
声分量的抑制或者消除。离散时间系统也可以是多输入、 多输出的。一般而言，一个M输入、N输出的离散时间系统 能够对M个输入序列进行运算，并得到N个输出序列。例如 ，调频立体声发送机就是一个2输入、1输出的系统，它将 左右两声道的信号合成为一个高频混合基带信号。
在 n N 处开始，则移位运算后的序列将在n N a 处开
始。比如，序列 y(n) x(n 5)是x(n) 右移（延迟）5个单 位的序列，而则 g(n) x(n 5) 是x(n) 左移（超前）5个单 位的序列。
11
§3-2 序列的运算
3-2-2 对自变量的基本运算
移位运算的功能框图如图3-2-5所示。
对序列x(n)的自变量序号n进行乘系数的运算，可得：
y(n) x(kn), k 0
(3-2-4)
式中k取整数且k>1，离散时间序列y(n)将丢失一些样 本值。
8
§3-2 序列的运算
3-2-2 对自变量的基本运算
例3-2-2 设序列x(n) 1,0.5,0,1,0.5,0,1,0.5,0,1,0.5,0,1,0.5,0,1,0.5 ，
试求序列 y(n) x(2n)
解：序列y(n) x(kn)中令k=2将丢失序列x(n)在n 1, 3, 5, 时的序
信号与系统课件(郑君里版)第3章
1，带宽与脉宽成反比。
3．系统的通频带>信号的带宽，才能不失真
语音信号 频率大约为 300~3400Hz，
音乐信号
50~15,000Hz，
扩音器与扬声器 有效带宽约为 15~20,000Hz。
29
第三章 傅里叶变换
§3.4 傅里叶变换
•傅里叶变换 •傅里叶变换的表示 •傅里叶变换的物理意义 •傅里叶变换存在的条件
26
第三章 傅里叶变换
4．总结
T1
谱
线
幅度
间隔
1
2π T1
当T1
，时，1
0，E
T1
为无限小，
f t 由周期信号 非周期信号。
矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 离散性、谐波性、收敛性。
27
第三章 傅里叶变换
二．频带宽度 1.问题提出
E F (n1 )
18
第三章 傅里叶变换
五．周期信号的功率
P 1 T
T 0
f
2(t)d t
a02
1 2
n1
an2
bn2
a02
1 2
cn2
n1
Fn
n
2
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;
表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量
有效值的平方和；
周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。
12
第三章 傅里叶变换
频谱图
幅度频谱
cn
c1
cn ~
或
c0
c3
信号与系统3-2
1.0000 + 2.0000i 1.0000 - 2.0000i
0
A 0.1 B 0.05 1 2
f1(t) 2e t[Acos t Bsin t] (t)
k= []
f (t) 0.2 0.2e t cos 2t 0.1et sin 2t (t)
j
Ms N
(s )2 2
K１ (s j )F (s) s j | K1 | 1 A jB
由于F(s)是S的实系数有理函数，应有
K2 K1 | K1 | 1 A jB
电信学院
6
部分分式展开法 复数极点
返回
原函数的形式之一
3s2
2s
0
f
()
lim
t
f
(t)
lim
s0
s
s3
2s 1 3s2 2s
1 2
电信学院
20
例 3.13
求下列各象函数反变换的初值与终值。
F (s)
1 e2s s(s2 4)
1 e2s
f
(0 )
lim t 0
f
(t)
lim s s
s(s2
s1 j2 (1 j2) j4 4 5
20
f
(t)
1 5
5 10
e
t
cos(2t
153.4)
(t)
电信学院
10
例 3.16
反变换公式
已知
F (s)
s(s2
1 2s
5)
郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义 第3章 傅里叶变换 【圣才出品】
第3章傅里叶变换[视频讲解]3.1本章要点详解本章要点■周期信号的傅里叶级数分析■典型周期信号的傅里叶级数■傅里叶变换■典型非周期信号的傅里叶变换■冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换■傅里叶变换的基本性质■卷积特性■周期信号的傅里叶变换■抽样信号的傅里叶变换■抽样定理重难点导学一、引言傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题又称为傅里叶分析（频域分析）。
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而引出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。
二、周期信号的傅里叶级数分析1．三角函数形式的傅里叶级数（1）三角函数集是一个完备的正交函数集，其中t 在一个周期内，n ＝0，1，···，∞。
（2）级数形式周期函数()f t 可以由三角函数的线性组合来表示。
若()f t 的周期为1T ，角频率为112T πω=，频率为111f T =，则傅里叶级数展开表达式为0111121210111()cos()sin()cos(2)sin(2)...[cos()sin()]n n n f t a a t b t a t b t a a n t b n t ωωωωωω∞==+++++=++∑其中，直流分量为010011()t T t a f t dt T +=⎰余弦分量的幅度为010112()cos()t T n t a f t n t dt T ω+=⎰正弦分量的幅度为010112()sin()t T n t b f t n t dt T ω+=⎰其中。
（3）其他形式余弦形式为正弦形式为满足狄里赫利条件的周期信号才能进行傅里叶级数展开。
任何周期信号只要满足狄里赫利条件就可以分解成直流分量及许多正弦、余弦分量。
2．指数形式的傅里叶级数（1）复指数正交函数集（2）级数形式（3）系数011011()t T jn t n t F f t e dt T ω+-=⎰3．两种系数之间的关系及频谱图（1）系数关系（2）幅频、相频关系幅频关系相频关系（3）频谱图4．总结（1）周期信号f(t)的傅里叶级数形式有两种：①三角函数形式②指数形式（2）两种频谱图的关系（3）三个性质：收敛性、谐波性、唯一性。
《信号与系统》第三章 北京理工大学
差分方程： y[n] aTy[n] Tx[n]
y[n] 1 y[n 1] T x[n]
1 aT
1 aT
N阶差分方程一般型式：
差分方程的阶数等于其中响应序列y[n]最高序号和 最低序号之差。
N
M
ak y[n k] br x[n r]
k 0
r 0
N
y[n]
ak
y[n k]
N
M
或 ak y[n k] br x[n r]
k 0
r 0
当y[N 1], y[N 2], y[0] 已知，则有唯一解
因果系统： y[N 1] y[N 2] y[0] 0
3 差分方程的解法
A 递推法 例3－1
B经典法 全解＝齐次解＋特解
C零输入与零状态响应法 零输入响应：用齐次解的方法求 零状态响应：卷积和的方法
复数，即
ci | c | e j ci1 | c | e j
c是i一1 对共轭
ciin
ci1
n i1
|
c
||
|n
e j(n )
|
c
||
|n
e j(n )
2 | c || |n cos(n )
P80 例3－2
已知系统的差分方程 y[n] 5y[n 1] 6 y[n 2] x[n] 初始条件 y0[1] 7 / 6, y0[2] 23/ 36 求该系统的零输入响应
M
br x[n r]
k 1 a0
r0 a0
递归方程 递归系统 （反馈系统）
N=0
y[n] M br x[n r] r0 a0
非递归方程 非递归系统 （无反馈系统）
2 差分方程的形式
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第三讲傅里叶变换和拉普拉斯变换
教学目的：复习复变函数中傅里叶变换和拉普拉斯变换的内容，为后面的学习打基础。
教学内容：傅里叶变换(25分)
傅里叶变换的性质 (40分)
拉普拉斯变换与反变换(45分)
拉普拉斯变换的性质 (40分
教学重点：傅里叶变换和拉氏变换的定义。
教学难点：傅里叶变换和拉氏变换的求法
教学方法及教学手段：课堂讲授
本讲作业：
2傅里叶变换
2.1傅里叶级数
2.2 傅里叶变换的定义
2.3 傅里叶变换的性质
3拉普拉斯变换
2.1拉普拉斯变换的定义
2.2 拉普拉斯
2.3 傅里叶变换的性质。