矩 协方差和相关系数
相关系数矩阵和协方差矩阵的转换矩阵形式
相关系数矩阵和协方差矩阵的转换矩阵形式
相关系数矩阵和协方差矩阵的转换矩阵形式，是统计学中的重要概念，它涉及到分析变量之间的关系，以及通过计算获得统计信息。
相关系数矩阵是一种矩阵，它用于表示两个变量之间的关系。
每个变量对应一行和一列，矩阵中的每个元素代表两个变量之间的相关系数。
协方差矩阵是一种矩阵，它将两个变量之间的关系表示为变量方差与变量之间的协方差之和。
两者之间的关系体现在概率公式上：协方差矩阵是由相关系数矩阵乘以变量标准差的平方而得到的。
因此，可以将协方差矩阵视为相关系数矩阵的加权版本，同时考虑变量之间的差异性。
考虑以下假设：n个来自同一总体的随机变量X1，X2，…，Xn，它们的相关系数矩阵表示为R，标准差为s1，s2，…，sn，它们的协方差矩阵表示为S。
那么，它们之间的转换矩阵形式可以表示为：
S=SSSS
其中S表示相关系数矩阵，S表示变量的标准差，S表示转置。
因此，将相关系数矩阵转换为协方差矩阵的转换矩阵形式是：
S=SSSS。
它显示了相关系数矩阵和协方差矩阵之间的关系，可以用来表示变量之间的关系，以及计算统计信息。
协方差与相关系数
D( X + Y ) = ? D( X + Y ) = E ( X + Y )2 − [ E ( X + Y )]2
= D( X ) + D(Y ) + 2 E {[ X − E ( X )][Y − E (Y )]}.
协方差
(2) 定义
称 E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]} 为随机变量 X 与 Y 的协方差. 记为 Cov( X , Y ), 即 C ov( X , Y ) = E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]}. 称 ρXY = Cov( X , Y ) D( X ) ⋅ D(Y ) ( D( X ) ≠ 0, D(Y ) ≠ 0)
G
O
x
D(Y ) = D( X ) = 153 / 2800,
Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = 19 / 400 = 0.0475,
Cov( ,Y ) X ρXY = = 0.87, D( X ) ⋅ D(Y )
D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) + 2Cov( X ,Y ) = 0.2043.
a ,b
2 = E {[Y − (a0 + b0 X )]2 } = (1 − ρXY ) D(Y )
⇒ ρXY = 1.
(4) 不相关与相互独立的关系 若随机变量X， 相互独立 相互独立， 定理 若随机变量 ，Y相互独立， 则 ρ xy = 0 ,即X，Y不相关。 不相关。 ， 不相关 不相关 注 1) 相互独立 如后面例２ 如后面例２． 2) 不相关的充要条件
2) D( X +Y ) = D( X ) + D(Y ) + 2Cov( X ,Y ).
相关系数协方差
相关系数协方差
相关系数和协方差是统计学中常用的两个概念，它们可以用来衡量两个变量之间的关系。
相关系数是用来衡量两个变量之间的线性关系的强度和方向，而协方差则是用来衡量两个变量之间的总体关系的强度和方向。
相关系数是一个介于-1和1之间的数字，它可以告诉我们两个变量之间的关系是正相关、负相关还是没有关系。
如果相关系数为1，则表示两个变量之间存在完全正相关的关系；如果相关系数为-1，则表示两个变量之间存在完全负相关的关系；如果相关系数为0，则表示两个变量之间没有线性关系。
协方差是一个数字，它可以告诉我们两个变量之间的总体关系的强度和方向。
如果协方差为正数，则表示两个变量之间存在正相关的关系；如果协方差为负数，则表示两个变量之间存在负相关的关系；如果协方差为0，则表示两个变量之间没有关系。
相关系数和协方差在统计学中有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，相关系数和协方差可以用来衡量不同股票之间的关系，从而帮助投资者进行投资决策。
在医学领域中，相关系数和协方差可以用来研究不同因素之间的关系，从而帮助医生诊断疾病和制定治疗方案。
需要注意的是，相关系数和协方差只能用来衡量两个变量之间的关
系，而不能用来确定因果关系。
因此，在使用相关系数和协方差时，需要谨慎分析数据，避免得出错误的结论。
相关系数和协方差是统计学中非常重要的概念，它们可以帮助我们了解不同变量之间的关系，从而帮助我们做出更加准确的决策。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来分析数据，以便得出正确的结论。
协方差cov和相关系数的关系
协方差cov和相关系数的关系协方差（covariance）和相关系数（correlation coefficient）是统计学中常用的两个概念，用于衡量两个变量之间的关系。
虽然它们都可以用来描述两个变量之间的关联程度，但是它们之间存在一定的区别和联系。
协方差是用来衡量两个变量之间的总体关系的一个指标。
它的计算公式是两个变量的每个对应数据点的差值乘积的平均值。
协方差的值可以为正、负或零，正值表示两个变量呈正相关关系，负值表示两个变量呈负相关关系，零表示两个变量之间没有线性关系。
然而，协方差的值大小受到变量本身量纲的影响，使得不同变量之间的协方差难以直接比较。
为了解决这个问题，引入了相关系数。
相关系数是由协方差除以两个变量的标准差得到的。
相关系数的取值范围在-1到1之间，绝对值越接近1表示两个变量之间的关系越强，绝对值越接近0表示两个变量之间的关系越弱。
相关系数的绝对值等于1表示两个变量之间存在完全的线性关系，其中正值表示正相关，负值表示负相关。
相关系数为0表示两个变量之间没有线性关系，但并不意味着它们之间没有其他类型的关系。
协方差和相关系数之间的关系可以用一个简单的公式表示：相关系数等于协方差除以两个变量的标准差的乘积。
这意味着相关系数可以通过协方差来计算，同时还考虑了变量本身的标准差，使得相关系数更具有可比性。
协方差和相关系数的应用非常广泛。
在金融领域，协方差和相关系数可以用来衡量不同股票之间的关联程度，帮助投资者进行风险管理和资产配置。
在工程领域，协方差和相关系数可以用来分析不同变量之间的关系，帮助设计师优化产品设计。
在医学研究中，协方差和相关系数可以用来分析不同因素对疾病发生的影响，帮助医生制定预防和治疗策略。
需要注意的是，协方差和相关系数只能衡量两个变量之间的线性关系，不能反映非线性关系。
此外，相关系数只能描述两个变量之间的关系，不能确定因果关系。
因此，在应用中需要综合考虑其他因素，避免误导性的结论。
协方差和相关系数的计算公式
协方差和相关系数的计算公式
协方差和相关系数是两个衡量两变量之间相关性的重要指标，是统计学分析中常用的概念。
协方差是一个测量两个变量之间线性关系的数量。
它衡量了两个变量之间的变化程度。
它是两个变量之间的离散程度。
如果两个变量之间的变化是相同的，那么它们的协方差就会是正的；如果两个变量之间的变化是相反的，那么它们的协方差就会是负的。
协方差的计算公式为：
Cov(X,Y)=Σ(X-X)(Y-Y) / N
其中X和Y分别为两个变量的样本值，X和Y分别为X和Y的均值，N为样本的数量。
相关系数是一种衡量两个变量之间线性关系的统计分析方法，它是最常用的衡量两个变量相关性的指标之一。
它是一种统计方法，用来衡量两个变量之间的线性相关性，用来描述两个变量之间的关系。
它的计算公式为：
Cor(X,Y) = Cov(X,Y) / (σX * σY)
其中X和Y分别为两个变量的样本值，Cov(X,Y)为X和Y的协方差，σX和σY分别为X和Y的标准差。
协方差和相关系数是统计学中重要的指标，它们可以用来衡量两组数据之间的相关性，从而帮助我们更好地理解两个变量之间的关系。
13讲协方差,相关系数,矩,正态分布
§4.4 n元正态分布的几条重要性质： 元正态分布的几条重要性质： (1). X =(X1, X2, …, Xn) ' 服从 n 元正态分布
对一切不全为 0 的实数 a1, a2, …, an， a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn 服从正态分布。 服从正态分布。
(2). 若 X=(X1,X2, …,Xn)'服从 元正态分布， 服从n 服从 元正态分布， Y1,Y2,…,Yk 是 Xj (j=1, 2,…, n)的线性组合 的线性组合, … … 的线性组合 服从k 则(Y1,Y2, …, Yk)'服从 元正态分布。 服从 元正态分布。 这一性质称为正态变量的线性变换不变性。 这一性质称为正态变量的线性变换不变性。
i=1 i=1
n
n
协方差的大小在一定程度上反映了X 协方差的大小在一定程度上反映了 和Y 相互间的关系，但它还受X 相互间的关系，但它还受 和Y 本身度量单位 的影响。 例如： 的影响。 例如： Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y). 为了克服这一缺点， 为了克服这一缺点，对协方差进行标准 化，这就引入了相关系数 。
x2 +y2 ≤ 1 − 1 1
1−y xdx dy =π ∫−1 y ∫− 1−y
2 2
= ∫−10 dy = 0.
1
所以，Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 . 所以， 此外， 此外，Var(X) > 0, Var(Y) > 0 . 不相关。 所以， ， 所以，ρXY = 0，即 X 与 Y 不相关。 但是， 与 不独立 不独立。 但是，X与Y不独立。
Cov( X,Y) ρ= = 0； Var( X )Var(Y)
协方差和相关系数的实际意义
协方差和相关系数的实际意义协方差和相关系数是统计学中常用的两个概念，用来衡量两个变量之间的关系。
在实际应用中，协方差和相关系数可以帮助我们了解变量之间的相关性程度，从而进行更准确的数据分析和预测。
本文将从理论和实际案例两个方面来探讨协方差和相关系数的实际意义。
一、协方差和相关系数的定义协方差是衡量两个随机变量之间线性关系的统计量，其定义如下：$$Cov(X, Y) = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i -\bar{Y})}{n-1}$$其中，$X$和$Y$分别是两个随机变量，$\bar{X}$和$\bar{Y}$分别是$X$和$Y$的均值，$n$为样本容量。
相关系数是协方差标准化后的值，用来衡量两个变量之间的相关性程度，其定义如下：$$\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}$$其中，$\sigma_X$和$\sigma_Y$分别是$X$和$Y$的标准差。
二、协方差和相关系数的实际意义1. 协方差的实际意义协方差的数值大小可以反映出两个变量之间的关系，具体解释如下：- 当协方差为正值时，表示两个变量呈正相关关系，即一个变量增大时，另一个变量也增大；当协方差为负值时，表示两个变量呈负相关关系，即一个变量增大时，另一个变量减小。
- 当协方差的绝对值越大时，表示两个变量之间的线性关系越强；当协方差接近于0时，表示两个变量之间不存在线性关系。
2. 相关系数的实际意义相关系数是协方差的标准化值，其取值范围在-1到1之间，具体解释如下：- 当相关系数为1时，表示两个变量完全正相关；当相关系数为-1时，表示两个变量完全负相关；当相关系数为0时，表示两个变量之间不存在线性关系。
- 相关系数的绝对值越接近1，表示两个变量之间的线性关系越强；相关系数越接近0，表示两个变量之间的线性关系越弱。
三、协方差和相关系数的实际应用1. 金融领域在金融领域，协方差和相关系数常用于衡量不同证券之间的关联性。
相关系数 协方差 标准差
相关系数协方差标准差相关系数、协方差和标准差是统计学中常用的三个概念，它们在数据分析和研究中起着重要的作用。
本文将分别介绍这三个概念的定义、计算方法和实际应用，帮助读者更好地理解它们在统计学中的意义和作用。
相关系数是用来衡量两个变量之间线性关系密切程度的统计量。
它的取值范围在-1到1之间，当相关系数为1时，表示两个变量呈完全正相关，即一个变量的增加伴随着另一个变量的增加；当相关系数为-1时，表示两个变量呈完全负相关，即一个变量的增加伴随着另一个变量的减少；当相关系数为0时，表示两个变量之间没有线性关系。
相关系数的计算方法是利用协方差和两个变量的标准差来进行计算，通常采用皮尔逊相关系数公式进行计算。
相关系数的应用非常广泛，例如在金融领域中用来衡量不同证券之间的相关性，帮助投资者进行资产配置和风险控制。
协方差是衡量两个变量总体误差的统计量，它可以反映两个变量的变化趋势是否一致。
协方差的计算方法是两个变量对应数值的乘积的平均值减去两个变量的均值的乘积，其取值范围是负无穷到正无穷。
当协方差大于0时，表示两个变量呈正相关，即一个变量的增加伴随着另一个变量的增加；当协方差小于0时，表示两个变量呈负相关，即一个变量的增加伴随着另一个变量的减少；当协方差等于0时，表示两个变量之间没有线性关系。
协方差的应用也非常广泛，例如在经济学中用来衡量不同经济指标之间的关联程度，帮助分析经济走势和预测未来发展趋势。
标准差是衡量一个数据集合的离散程度的统计量，它可以反映数据的波动情况。
标准差的计算方法是将每个数据与平均值的差的平方求和后除以数据个数再开方，其取值范围大于等于0。
标准差越大，表示数据的波动越大；标准差越小，表示数据的波动越小。
标准差的应用也非常广泛，例如在财务管理中用来衡量投资组合的风险水平，帮助投资者进行风险控制和资产配置。
综上所述，相关系数、协方差和标准差是统计学中常用的三个概念，它们在数据分析和研究中有着重要的作用。
协方差和相关系数的计算
E( XY ) E( X )E(Y )
D( X Y ) D( X ) D(Y )
X，Y 相互独立 X，Y 不相关． 若 X，Y 服从二维正态分布，X，Y 相互独立 X，Y 不相关．
在例1中已知 X ，Y 的联合分布为
pij X 1 Y
1
p
0
0
0 0 < p <1
0 p+q=1
q
E( X ) p, E(Y ) p, D( X ) pq, D(Y ) pq,
XY 1
cov( X ,Y ) 0
PY E(Y ) X E( X ) 1
D(Y )
D(X )
PY X 1
XY 1
cov( X ,Y ) 0
PY E(Y ) X E( X ) 1
D(Y )
D(X )
PY X 1
XY 0
X，Y 不相关
cov( X ,Y ) 0
2
dsdt
令s tu
1 2
t(
t
u)e
u2 2(1
2
1t2 )2
dudt
2 1 2
1 2
e du t e dt
u2 2 (1
2
)
2
1t2 2
2 1 2
1 2
XY
若 ( X，Y ) ~ N (1，12，2，22，)，则X，Y
相互独立
X，Y 不相关．
例3 设 X，Y 相互独立，且都服从 N (0， 2)， U = aX + bY，V= aX - bY，a，b为常数，且都不为零， 求UV ．
若 XY 0, 称 X，Y 不相关．
无量纲 的量
协方差和相关系数的计算
相关系数矩阵和协方差矩阵的转换矩阵形式
相关系数矩阵和协方差矩阵的转换矩阵形式相关系数矩阵和协方差矩阵形式转换是指将一个矩阵A的行或列元素间的不同类别关系，以及它们之间的相关程度用不同的矩阵形式表示出来的过程。
这里的转换矩阵通常由相关系数矩阵或协方差矩阵构成，而且两者之间存在着一定的转换关系。
首先，描述一下相关系数矩阵的特点：它是个n阶方阵，可以用来描述一组 n个变量之间的相关关系，矩阵中的每一行每一列代表了数据集里面的n个变量。
矩阵中只有少数两个变量之间存在相关性，而其他变量之间并无直接联系。
因此，相关系数矩阵的元素中只有部分是有意义的，另外一部分元素没有任何信息内容。
协方差矩阵则比相关系数矩阵更接近真实数据，它描述的是一组n 个变量之间协方差的联系关系。
它的特点是矩阵的大小与变量的个数成正比，每一行每一列代表一个变量，并且可以提供一组数据集里面变量之间的协方差，它将变量的关系描述得更加准确，对比相关系数矩阵来说更有分析意义。
由上述介绍可知，相关系数矩阵和协方差矩阵之间有着一定的转换关系，因此，如果把相关系数矩阵转换成协方差矩阵，我们可以使用如下矩阵形式：协方差矩阵= ((x-x̅) (y-y̅)).T*(x-x̅) (y-y̅)其中，x, x̅, y, y̅分别是数据集的观测值，均值以及方差，T表示矩阵转置。
反之，将协方差矩阵转换成相关系数矩阵，可以用如下矩阵形式：相关系数矩阵 = (cov (xi,yi)) / {sigma(xi) * sigma (yi)}其中，cov (xi，yi)表示变量xi与变量yi之间的协方差，sigma(xi)、sigma(yi)表示变量xi与变量yi的标准差。
从上述可知，将相关系数矩阵和协方差矩阵转换成不同矩阵形式，可以使用上述矩阵形式进行转换。
这样，就可以根据需要使用合适的矩阵来描述数据集中变量之间的不同关系以及它们之间的相关程度。
协方差标准差相关系数
协方差、标准差和相关系数是统计学中常用的三个概念，它们用于描述两个或多个变量之间的关系。
1.协方差：协方差是衡量两个变量同时变化趋势的指标。
如果两个变量同时上
升或下降，协方差为正；如果一个变量上升而另一个下降，协方差为负。
协方差的绝对值越大，说明两个变量之间的关联度越高。
2.标准差：标准差是变量值离散程度的度量。
它表示数据点相对于平均值的分
散程度。
标准差越大，说明数据点越分散；标准差越小，说明数据点越集
中。
3.相关系数：相关系数是衡量两个变量线性关系的强度和方向的指标。
它的值
介于-1和1之间。
如果相关系数为1，表示两个变量完全正相关；如果相关系数为-1，表示两个变量完全负相关；如果相关系数为0，表示两个变量没有线性关系。
在实际应用中，协方差和相关系数可以用于判断两个变量之间的关联程度和方向，而标准差则可以用于评估数据的离散程度和稳定性。
协方差cov和相关系数的关系
协方差cov和相关系数的关系协方差（covariance）和相关系数（correlation coefficient）是统计学中常用的两个概念，用于描述两个变量之间的关系。
虽然它们都可以衡量变量之间的相互关系，但在某些方面上又存在一定的区别。
协方差是用来衡量两个变量之间的总体线性关系的统计量。
它描述的是两个变量在同一时间内的变化趋势是否一致。
协方差的计算公式为变量X和Y的观测值与它们的均值之差的乘积的平均值。
如果协方差为正值，表示两个变量呈正相关关系，即当一个变量增大时，另一个变量也增大；如果协方差为负值，表示两个变量呈负相关关系，即一个变量增大时，另一个变量减小。
相关系数是用来衡量两个变量之间线性关系强度的统计量，它的取值范围在-1到1之间。
相关系数的计算公式是协方差除以两个变量的标准差的乘积。
相关系数越接近1或-1，表示两个变量之间的线性关系越强，且方向一致；相关系数越接近0，表示两个变量之间的线性关系越弱，或者呈现非线性关系。
协方差和相关系数可以用来衡量两个变量之间的关系，但是在实际应用中，相关系数更常用。
这是因为协方差的值受到变量本身单位的影响，而相关系数的值不受单位影响，更便于进行比较和解释。
另外，相关系数还可以用来判断两个变量之间的线性关系的强度和方向，以及预测一个变量的值是否可以根据另一个变量的值来推断。
在金融领域中，协方差和相关系数经常被用来衡量不同资产之间的关联程度。
投资组合的风险和收益往往与资产之间的相关性密切相关。
如果两个资产的相关系数为1，表示它们完全正相关，投资者可以通过在这两个资产之间进行适当的分配来实现风险的分散和收益的最大化；如果两个资产的相关系数为-1，表示它们完全负相关，投资者可以通过在这两个资产之间进行适当的分配来实现风险的对冲和收益的最大化。
如果两个资产的相关系数接近于0，则它们之间的关联性较弱，投资者可以通过在这两个资产之间进行适当的分配来实现风险的分散和收益的稳定。
二维高斯分布相关系数与协方差矩阵
二维高斯分布相关系数与协方差矩阵二维高斯分布是多变量高斯分布的一种特殊情况，它在二维平面上呈现出椭圆形状的分布。
二维高斯分布的概率密度函数可用以下形式表示：f(x, y) = (1 / (2π * σx * σy * √(1 - ρ²))) * exp[-1/ (2 * (1 - ρ²)) * ((x - μx)² / σx² - 2ρ(x - μx)(y - μy) / (σx * σy) + (y - μy)² / σy²)]其中，x和y是分布的随机变量，μx和μy是分布的均值，σx和σy是分布的标准差，ρ是分布的相关系数。
相关系数ρ是衡量两个变量之间线性相关程度的指标。
它的取值范围为[-1, 1]，其中-1表示完全负相关，0表示无相关，1表示完全正相关。
相关系数的绝对值越大，变量之间的线性关系越强。
协方差矩阵是用来描述多个变量之间的相关性的矩阵。
对于二维高斯分布而言，协方差矩阵是一个2x2的矩阵，表示两个变量之间的协方差和方差。
协方差矩阵可以通过以下公式计算：Σ = [σx², ρ * σx * σy][ρ * σx * σy, σy²]其中，σx²和σy²分别是x和y的方差，ρ是相关系数。
协方差矩阵的对角线元素即为各个变量的方差，非对角线元素则表示两个变量之间的协方差。
在二维高斯分布中，相关系数和协方差矩阵之间存在以下关系：ρ = cov(x, y) / (σx * σy)即相关系数等于协方差除以两个变量的标准差之积。
协方差矩阵可以通过相关系数和两个变量的标准差计算出来：Σ = [σx², ρ * σx * σy][ρ * σx * σy, σy²]这个矩阵可以帮助我们分析两个变量之间的关系。
对角线上的元素表示各个变量本身的方差，非对角线元素则表示两个变量之间的协方差。
第四章 协方差及相关系数 矩及协方差矩阵2016
而X与Y 的边缘分布及数学期望为:
X -1 0 2
P
Y P
5/12
0 7/12
1/6
1/3 1/12
5/12
1 1/3
则
5 10 5 1 1 13 EX , EY 12 12 12 36 3 36
Cov(X,Y) E(XY) EXEY 13 5 13 221 36 12 36 432
2. XY 1.
3. XY 1的必要条件是存在常数 a，b使 PY aX b 1.
4.如果随机变量 Y是X的线性函数 , 即Y aX ba 0 , 则
XY
1 , a 0, 1 , a 0.
定义3 设随机变量X 与Y的相关系数为 1 若 0，则称X 与Y 不相关. 2 若 0，则称X 与Y 相关; 特别地, 若
0 y 1 1 y, fY ( y ) 1 y, 1 y 0 others 0,
因而 =0， 即X和Y不相关 . 但X和Y不独立 .
设(X,Y )服从二维正态分布, 它的概率密度为
f(x,y) 1 2πσ1σ 2
2 1 (x μ1 ) exp 2 2 2 2 ( 1 ρ ) σ 1 ρ 1
当程度上描述两个随机变量的联系程度.
当然, 从数学上看, 这是不可能的，因为联合分布 的信息量为许多个数, 甚至无穷多个数, 因此一个数不 可能反映出无穷多个数携带的信息. 但是我们仍然希望 能够找到描述它们之间相互关系的一个数, 至少在大多 数实际情况下能够描绘两个随机变量联系的紧密程度, 例如, 如果这个数字越接近于零, 说明这两个随机变量
一、协方差
协方差和相关系数
协方差和相关系数
协方差是衡量两个变量之间相关程度的一种数字指标，是反映两个变量间关系密切程度的指标。
它是反映两个变量间变化趋势一致性的数字。
协方差可以用公式计算： Cov（X，Y）= ∑（Xi—X).（Yi—Y）/n；
其中X和Y分别是两个变量的样本均值，Xi和Yi分别是变量X和Y 的每个样本的取值，n是样本量。
协方差的取值范围是[-无穷，+无穷]，当协方差大于零时，说明横轴变量的增长伴随着纵轴变量的增长，而且X和Y的变化程度一致，当取0时，X和Y没有相关性，当协方差小于0时，X和Y具有负相关性。
相关系数是根据两个变量间的协方差计算出来的，是一个经过归一化的量，表示两个变量的相关程度，取值范围为[-1,1]，当它的值为1时表示两个变量完全相关；当它的值为-1时表示两个变量完全负相关；当它的值为0时表示两个变量没有相关性。
相关系数可以用公式表示：r=Cov（X，Y）/σx σy; 其中Cov（X，Y）是X和Y的协方差，σx和σy是变量X和Y的标准差。
概率论与数理统计(协方差及相关系数、矩)
实验步骤： 实验步骤： (1) 整理数据如图 所示． 整理数据如图4-5所示 所示．
图4-5 整理数据
(2) 计算边缘概率 计算边缘概率P{X = xi}和P{Y = yj} 和 在单元格G2中输入公式 ： 在单元格 中输入公式： = SUM(B2:F2)， 并将 中输入公式 ， 其复制到单元格区域G3:G6 其复制到单元格区域 在单元格B7中输入公式： 在单元格 中输入公式：=SUM(B2:B6)，并将其 中输入公式 ， 复制到单元格区域C7:F7 复制到单元格区域 (3) 计算期望 计算期望E(XY) 首先在单元格B9中输入公式： 首先在单元格 中输入公式： 中输入公式 =MMULT(B1:F1,B2:F6)， ，
−
π
∫ πcos zdz = 0, ∫ πsin z cos zdz = 0
−
1 E ( XY ) = 2π
π
因而Cov(X，Y) = 0，ρXY = 0． ， 因而 ， ． 不相关， 相关系数ρXY = 0，说明随机变量 与Y不相关， ，说明随机变量X与 不相关 但是， 所以X与 不独立 不独立． 但是，由于 X 2 + Y 2 = 1 ，所以 与Y不独立．
Cov ( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = 19 / 400,
所以
ρ XY =
Cov( X , Y ) 19 / 400 133 = = = 0.87 D( X ) D(Y ) 153 / 2800 153
4.3.2 相关系数 下面不加证明地给出相关系数的两条性质： 下面不加证明地给出相关系数的两条性质： (1) |ρXY | ≤ 1； ； 的充要条件是， (2) |ρXY | = 1的充要条件是，存在常数 ，b，使 的充要条件是 存在常数a， P{Y = aX + b} = 1． ． 定义4.6 若ρXY = 0，称X与Y不相关．0 < ρXY ≤ 1，称 定义 ， 与 不相关． ， 不相关 X与Y正相关，– 1 ≤ ρXY < 0，称X与Y负相关． 正相关， 负相关． 与 正相关 ， 与 负相关 事实上,相关系数 事实上 相关系数ρXY是X与Y线性关系强弱的一个 与 线性关系强弱的一个 度量,X与 的线性关系程度随着 的线性关系程度随着| 的减小而减弱, 度量 与Y的线性关系程度随着 ρXY|的减小而减弱 的减小而减弱 的线性关系最强， 时 与 的线性关系最强 当|ρXY| = 1时X与Y的线性关系最强， 的不存在线性关系， 当ρXY = 0时，意味 与Y的不存在线性关系，即X 时 意味X与 的不存在线性关系 不相关. 与Y不相关 不相关
协方差和相关系数的关系
协方差和相关系数的关系
协方差和相关系数是描述两个随机变量之间关系密切程度的两
种统计量，在依据样本信息推断总体参数的统计分析中，协方差是衡量两变量线性关系的重要指标，而相关系数则是描述这种线性关系的强弱的一个量化指标，也称为相关分析。
由此可以看出，协方差和相关系数是彼此紧密联系的，但它们之间又存在一定的不同。
首先，协方差和相关系数的概念不同。
协方差是衡量两变量关系的一种统计量，它表明两个变量间的任意一项观测结果与它们的期望值的平均离差的乘积的期望值。
协方差负值表明两变量的趋势相反，正值表明它们的趋势相同，协方差的大小反映了它们的线性关系的强弱。
而相关系数是对协方差的归一化，它表示两变量之间的线性关系的强弱，它的取值范围为-1到1之间，它的绝对值越大，两变量之间的线性关系越强。
其次，协方差和相关系数的计算方法也不同。
协方差的计算方法是将给定的两个变量的每一组观测值分别减去它们的期望值，然后对所得到的差值进行乘积，最后求得的乘积的期望值就是协方差。
而相关系数的计算方法是将协方差除以两个变量样本标准差的乘积，结果即为两个变量之间的相关系数，也可以用Spearman秩相关系数来衡量两个变量之间的相关性。
综上所述，协方差和相关系数之间存在密切联系，它们都是衡量两个变量之间关系密切程度的量化指标，但它们的概念和计算方法存在一定的区别，这两个概念都有它们各自的应用领域，在统计分析中，
既可以利用协方差来衡量两个变量之间的线性关系，也可以使用相关系数来评估两个变量之间的线性关系的强弱。
方差、标准差、协方差、相关系数
⽅差、标准差、协⽅差、相关系数【⽅差】 （variance)是在概率论和统计⽅差衡量或⼀组数据时离散程度的度量。
概率论中⽅差⽤来度量和其（即）之间的偏离程度。
统计中的⽅差（样本⽅差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平⽅值的。
在许多实际问题中，研究⽅差即偏离程度有着重要意义。
⽅差是衡量源数据和期望值相差的度量值。
（百度百科） 在统计描述中，⽅差⽤来计算每⼀个变量（观察值）与总体均数之间的差异。
为避免出现离均差总和为零，离均差平⽅和受样本含量的影响，统计学采⽤平均离均差平⽅和来描述变量的变异程度。
总体⽅差计算公式： 实际⼯作中，总体均数难以得到时，应⽤样本统计量代替总体参数，经校正后，样本⽅差计算公式： S^2= ∑(X- ) ^2 / (n-1) S^2为样本⽅差，X为变量，为样本均值，n为样本例数。
（⽆偏估计）【标准差】 标准差（Standard Deviation），中⽂环境中⼜常称，是离均差平⽅的算术平均数的平⽅根，⽤σ表⽰。
标准差是⽅差的算术平⽅根。
标准差能反映⼀个数据集的离散程度。
平均数相同的两组数据，标准差未必相同。
标准差也被称为，或者实验标准差，公式为【协⽅差】 可以通俗的理解为：两个变量在变化过程中是同⽅向变化，还是反⽅向变化，同向或反向程度如何？ 你变⼤，同时我也变⼤，说明两个变量是同向变化的，这时协⽅差就是正的。
你变⼤，同时我变⼩，说明两个变量是反向变化的，这时协⽅差就是负的。
从数值来看，协⽅差的数值越⼤，两个变量同向程度也就越⼤。
反之亦然。
公式简单翻译⼀下是：如果有X,Y两个变量，每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其均值，（其实是求“期望”，但就不引申太多新概念了，简单认为就是求均值了）。
【相关系数】 相关关系是⼀种⾮确定性的关系，相关系数是研究变量之间程度的量。
由于研究对象的不同，相关系数有如下⼏种定义⽅式。
简单相关系数：⼜叫相关系数或线性相关系数，⼀般⽤字母r 表⽰，⽤来度量两个变量间的线性关系。
4.3协方差和相关系数
XY ,即
XY
Co(vX,Y) D(X) D(Y)
注 :1 .X和 YC(X o,Y v )有相,同 表的 示符 同
2.相关系数就是标准化的随机变量
XE(X)与YE(Y)的协方差
D(X)
D(Y)
相关系数的性质: |XY|≤1
当且仅当X与Y之间有线性关系时, 等号成立
即 | XY |=1a,b,使P{Y=aX+b}=1 说明: XY刻划X,Y之间的线性相关程度
|XY|1,则X,Y越接近线性关系 |XY|=1,则X,Y存在线性关系 当XY=0时,称X与Y不相关,则X,Y没
有线性关系
注: 不相关与相互独立:
X与Y独立Cov(X,Y)=0
XY=0
X与Y不相关 但反之不成立
若(X,Y)~正态分布,则X与Y不相关
等价于X,Y相互独立 XY=
例1 设(X,Y)的概率密度为
4.3 协方差和相关系数
一、协方差 二、相关系数
一、协方差
定义: 称E{[XE(X)][YE(Y)]}为X与Y 的
协方差,记为Cov(X,Y) ,即 Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}
协方差可了解两个变量之间之间 的关系(变化趋势在平均意义上而言):
若X取值比较大(X>E(X)),Y也较大 (Y>E(Y)) ,这时Cov(X,Y)>0
Cov(X,Y)
[x i E (X )] yj [E (Y )p ]ij ij 连续型随机变量的协方差:
Cov(X,Y)
[xE (X )]y [E (Y )f](x ,y)dx
协方差的性质: 1. Cov(X,X)=D(X); Cov(Y,Y)=D(Y) 2. Cov(X,Y)=Cov(Y,X) 3. Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y)