方向导数与梯度 ppt课件

证明 由于函数可微，则增量可表示为
f (x x, y y) f (x, y) f x f y o( )
x y
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f (x x, y y) f (x, y) f x f y o( )
x y
两边同除以 , 得到
y (1,0)
(1,0)
所求方向导数
z l

cos( ) 2sin( )
4
4


2. 2
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例2 求函数 f ( x, y) x2 xy y2
在点(1,1)沿与
x轴方向夹角为
的方向射线
l
的方向导数. 并问在怎样的方向上此方向导数有
（1）最大值; （2）最小值； （3）等于零？
f ( x x, y y) f ( x, y) f x f y o( )

x y
故有方向导数
cos sin
f lim f ( x x, y y) f ( x, y)
l 0


l
f cos f sin .
y

x
y
x
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例 1 求函数 z xe2 y 在点P(1,0) 处沿从点P(1,0) 到点Q(2,1) 的方向的方向导数.
解 方向l 即为 PQ {1,1}
故x轴到方向l
的转角



4
z e2 y 1;
x (1,0)
(1,0)
z 2 xe2 y 2,
4
故
（1）当 时，方向导数达到最大值 2 ;
4
（2）当 5 时，方向导数达到最小值 2;
4
（3）当

3 4
和

7 4
时，方向导数等于
0.
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推广:三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u f ( x, y, z)
它在空间一点 P( x, y, z) 沿着方向l的方向导数 ，
从而确定出温度下降的最快方向 梯度问题
引入两个概念：方向导数和梯度
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3
二、方向导数
讨论函数 z f (x, y) 在一点P沿某一方向的
变化率问题．
设函数 z f (x, y) 在点
y
P(x, y)的某一邻域U(P)
内有定义，自点P 引射线 l．


P
x
设 x 轴正向到射线 l 的转角 o
偏导数存在 沿任意方向的方向导数存在.
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方向导数的存在及计算公式
定理 如果函数 z f ( x, y)在点P( x, y)可微分，
那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，
且有
f f cos f sin
l x
y
计算公式
其中 为 x 轴到方向l的转角．


P x
o
l
P y
x
f ( x x, y y) f ( x, y)
lim
0

是否存在？
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5
定义 函数的增量 f ( x x, y y) f ( x, y)
与PP 两点间的距离 ( x)2 ( y)2 之比值，
当 P 沿着 l 趋于 P 时， 如果此比的极限存在，
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若方向导数存在，则偏导数未必存在.
例如，z x2 y2在O 0,0处沿l i 方向的
方向导数 f l
0，0

1，而
偏
导 数z x
0,0不 存 在.
z 原因l ：( 0,0 )

lim
0
f
(x,y)

f
(0,0)
方向导数是li单m侧(极x限)2， 而(偏y )2导数1 是双侧极限. 0 (x)2 (y)2
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
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1
一、问题的提出
一块长方形的金属板，受热 产生如图温度分布场.
设一个小虫在板中逃生至某 处，问该虫应沿什么方向爬行， 才能最快到达凉快的地点？
问题的实质：
应沿由热变冷变化最剧烈的
方向爬行．
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2
需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率， 方向导数问题
l
P y
x
为 ,并设 P( x xP).
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4
| PP | (x)2 (y)2 ,
y
且 z f ( x x, y y) f ( x, y),
考虑 z ,
当 P 沿着 l 趋于P 时，
可定义为
f lim f ( x x, y y, z z) f ( x, y, z) ,
l 0

（ 其中 (x)2 (y)2 (z)2 ）
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设方向 l 的方向角为 , ,
x cos , y cos ,
i {1,0}的方向导数为
f l
lim x0
f ( x x, y 0y) x
f (x, y)
f x

fx
此时 x x
同理,沿y轴正向e2 {0,1}的方向导数分别为 f y .
沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)

f x (1,1)cos

f y (1,1)sin
(2x y) cos (2 y x) sin ,
(1,1)
(1,1)
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f l
(1,1)

f x (1,1)cos

f y (1,1)sin
cos sin 2 sin( ),
y
l
P
则称这极限为函数在点
P沿方向 l 的方向导数．
P
记为
o
x
f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
l 0

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6
f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
l 0

若偏导 f x 存在,则 f ( x, y)在点 P 沿着 x 轴正向
z cos ,
z
l


xo
y
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点 沿任意方向 l 的方向导数都存在，且有
方向导数的计算公式