人教版八年级数学下册竞赛专题27 以形借数——借助图形思考.doc
人教版初中数学第二十七章相似知识点
第二十七章相似一、目标与要求1．掌握相似多边形的定义、表示法,并能根据定义判断两个多边形是否相似.2．能根据相似比进行计算.3．通过与相似多边形有关概念的类比,得出相似三角形的定义,领会特殊与一般的关系.4．能根据定义判断两个多边形是否相似,训练学生的判断能力.5．能根据相似比求长度和角度,培养学生的运用能力.6．通过与相似多边形有关概念的类比,渗透类比的教学思想,并领会特殊与一般的关系.二、知识框架三、重点、难点1．理解并相似三角形的判定与性质2．位似图形的有关概念、性质与作图．3．利用位似将一个图形放大或缩小．4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律．四、中考所占分数与题型分布本章会出1-2道选择、填空题,简答题必有一道三角形和相似形的综合题,本章约占15-20分.第二十七章相似27.1 图形的相似1.每组图形中的两个图形形状相同,大小不同,具有相同形状的图形叫相似图形.2.相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关.3.相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况.4.我们可以这样理解相似形：两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．5.若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形.例1：1.从哈哈镜和平面镜中看见不同的镜像,是否相似？2.从放大镜或者望远镜中看见不同的镜像,是否相似？6.相似多边形对应角相等,对应边的比相等.对应边的比称为相似比.例2：在比例尺为1：10000000的地图上,量的A、B两地的距离为10cm,求两地的实际距离.解：地图与实际的环境是相似的,因此地图中的1cm相当于实际10000000cm,即100km.A、B两地相距10cm,相当于1000km.例3：如图27.1-1,四边形ABCD和EFGH相似,求角α、β的大小和EH的长度x.图27.1-1解：四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应角相等,因此可得83o C α∠=∠=,118o A E ∠=∠=在四边形ABCD 中,四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应边相等,由此可得EH EF AD AB =,即242118x = 解得28x cm =27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定在△ABC 和△A ‘B ‘C ’中,如果''',,A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠,''''''=AB BC AC k A B B C AC==,我们就说△ABC 和△A ‘B ‘C ’相似,记作△ABC ∽△A ‘B ‘C ’,k 就是他们的相似比.对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 成比例线段〔简称比例线段〕：对于四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即a =c b d〔或a ：b=c ：d 〕,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 例1.如图27.2-1,在△ABC 中,点D 是边AB 的中点,DE//BC,DE 交AC 于点E,△ADE 与△ABC 有什么关系？ 解：在△ADE 与△ABC 中,A A ∠=∠DE//BC过点E 作EF//AB,EF 交BC 于点F.在□BFED 中,DE=BF,DB=EF又1,2A C ∠=∠∠=∠∴△ADE ∽△EFCAE=EC=在此处键入公式。
人教版数学八年级竞赛教程之如何做几何证明题附答案
人教版数学八年级竞赛教程之如何做几何证明题附答案如何做几何证明题几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
为了解决几何问题，我们需要掌握常用的分析和证明方法。
其中，综合法是一种从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决的方法。
分析法则是从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止。
两头凑法则是将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
掌握构造基本图形的方法也是解决几何问题的关键。
复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
其中，证明线段相等或角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
举个例子，已知如图1所示，$\triangle ABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=BC$，$AD=DB$，$AE=CF$。
求证：$DE=DF$。
分析：由$\triangle ABC$是等腰直角三角形可知，$\angleA=\angle B=45^\circ$，由$D$是$AB$中点，可考虑连结$CD$，易得$CD=AD$，$\angle DCF=45^\circ$。
从而不难发现XXX。
证明：连结$CD$，可得$AC=BC$，$\angle A=\angle B$，$\angle ACB=90^\circ$，$AD=DB$，$CD=BD=AD$，$\angle DCB=\angle B=\angle A$，$AE=CF$，$\angle A=\angle DCB$，$AD=CD$。
人教版初中数学竞赛专题复习第27章 极端原理(解析)
第27章极端原理1.1** 两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规定每人每次只能放一枚，硬币平放在桌面上，并且两两不能重叠，谁放完最后一枚．使得对方无法按照规则再放，谁就获胜．问：是先放合算还是后放合算？解析：本题的极端情况是：桌面小的只能放下一枚硬币．这时当然是先放的人合算．一般情况下，先放的人把硬币放在圆桌的中心处，每当对手放下一枚硬币后，就在对方硬币关于“圆心”对称位置再放下一枚硬币，这样只要对手还能放硬币，先放的人一定也能放，所以放最后一枚硬币的人一定是先放的人，从而他必能获胜．评注：本题解法的独到之处在于考虑最极端的情况，“桌面最小”．这里的极端原理实际是一种“从特殊到一般”的思考方法，并且在极端情况下的结果提示我们解决一般问题的方法，在应用极端原理时，我们要利用如下的事实：1．有限个数中一定有最大数和最小数；2．无限个正整数中有最小数；3．无限个实数不一定有最大数或最小数．1.2** 在一次乒乓球循环赛中，n（n≥3）名选手中没有全胜的，证明：一定可以从中找出三名选手A、B、C，使得A胜B，B胜C，C胜A．解析：没取胜场数最多的一名选手为A，由于没有一个选手是全胜的，所以在这n名选手中存在一名选手C，C胜A．考虑A击败的选手的全体，其中必有选手B胜C．事实上，若A的手下败将也都负于C，那么C胜的场数比A胜的场数至少要多1，这与A是获胜场数最多的选手矛盾．所以，存在三名选手A 、B 、C ，使得A 胜B ，B 胜C ，C 胜A ．1.3** 平面上已给997个点，将连结每两点的线段中点染成红色，证明：至少有1991个红点，能否找到恰有1991个红点的点．解析：997个点中每两点都有一个距离，因而共有9979962个距离（其中有可能有些距离是相等的），其中一定有一个最大距离．设AB 是最大的距离． 分别以A 、B 为圆心，12AB 为半径作圆，如图所示．点A 与除点B 之外的995个点的连线的中点在圆A 的内部或边界上；点B 与除点外的995个点的连线的中点在圆B 的内部或边界上，这样我们得到了 995+995＝1990个红点． 另外，AB 的中点是不同于上述1990个红点的，所以，至少有1991个红点．下面构造一个例子，说明恰好有1991个红点，设997个点在数轴上1，2，3，…，997的位置．这时中点为：32，42，52，…，19922，19932，故红点恰有1991个．1.4** 证明：在任意的凸五边形中，都可以找到三条对角线，由这三条对角线可以组成一个三角形．解析;如图所示，在凸五边形ABCDE 中，一共有5条对角线：AC 、AD 、BD 、BE 、CE ，所以其中一定有一条是最长的，不妨设AC 最长．由于ACDE 是凸四边形，设AD 与CE 的交点为P ，则ABEPDAC AP PC AD CE <+<+．因为AC 最长，所以，AC 、AD 、CE 这三条对角线可以作为一个三角形的三条边．1.5* 平面上给定3个点。
以“形”助“数”促理解，以“数”解“形”促深化-浅谈数形结合思想在数学解题中的应用
以“形”助“数”促理解，以“数”解“形”促深化 - 浅谈数形结合思想在数学解题中的应用【摘要】数学研究的对象可分为“数”与“形”两部分，“数”与“形”是有联系的，这个联系成为数形结合。
数形结合包括两种情况：第一种情况是“以数解形”，第二种情况是“以形助数”。
数形结合思想简单来说就是把数学中的“数”和数学中的“形”结合起来去解决数学问题的思想。
它将抽象的数学语言与直观的图形相结合，并使抽象的问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。
【关键词】数形结合思想；数学解题；应用一种好的有效的数学思想方法胜过于百道千道甚至上万道数学题目，这将会告别传统的“题海战术”，学生就能在相对良好的环境中将数学知识转化为数学能力，养成数学学习的兴趣，也能调动数学学习的积极性，提高学习的效益。
总的来说，数学思想方法比数学知识更为重要，数学知识是单一的，亘古不变的，相反的，数学的思想方法会随着社会的不断进步而进步，它是灵活的，多样的。
如果不及时的对数学知识加以记忆，很快就会被人们所遗忘，所以说，人们对思想方法的掌握是永久性的，能够受用一生的。
教材中的主要体现教材体系梗概以小学为例，小学生大多都处于具体运算阶段，这一阶段中，小学生基本已经从表象思维中脱离出来，逐渐地形成抽象性思维，也能够进行适当的逻辑推理，但是他们的抽象性思维还不够成熟，在解决问题方面的能力也不足，仍需要具体事物图像的辅佐，把抽象的事物图像直观化，然后根据直观化的图像，他们才能够更好地进行理解。
因此，在小学教科书上必然有着数形结合思想，用图片的方式来表相应的数学知识，而且必定占据很大的比重，这样便于小学生的理解。
例如，利用三角板工具来理解和认识锐角、直角、钝角；利用线段表示法来找出数学问题中变量的关系，再画出相应线段来写出方程；用分割实物月饼来认识几分之几；利用日历表来熟悉了解大月、小月等。
在《古人计数》这节课中，如何能够让学生更好地理解10个一就是1个十？教师会让学生拿出10根小棒，表示“10个一”，然后把10根小棒捆成一捆，就是“1个十”。
【青岛版】八年级数学下册专题讲练：借“数形结合思想”解题试题(含答案)
借“数形结合思想”解题数形结合的经典分类1、 利用函数图象,寻找特殊图形的构成。
（1）利用函数图象,寻找等腰三角形的第三点坐标。
如:在平面直角坐标系中,A （2,2）,点P 在x 轴上,若△APO 是等腰在三角形,求Ｐ坐标？x答案:1P（）,2P （）,3P （4,0）,4P （2,0）。
（2）利用函数图象,构造平行四边行（或特殊平行四边形）。
如:函数y=２x+２与x 轴y 轴交于Ａ、Ｂ两点,在坐标平面内找一点Ｃ,使Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｏ构成平行四边形,求Ｃ坐标。
答案:1C （-1,2）,2C （-1,-2）,3C （1,2）。
2、 利用全等三角形及函数图象解决问题。
如图所示,直线L :y=x+１与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。
设Q 为AB 延长线上一点,作直线OQ ,过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ,BN ⊥OQ 于N ,若AM =4,BN =3,求MN 的长。
答案:7。
3、 利用动点及多函数交点坐标解决与面积有关的问题。
如图,一次函数y =ax －b 与正比例函数y =kx 的图象交于第三象限内的点A ,与y 轴交于B （0,－4）,△OAB 的面积为6,在y 轴上是否存在一点E ,使S △ABE =5,若存在,求E 点的坐标；若不存在,请说明理由。
答案:1E （0,23-）,2E （0,223-）。
总结:①综合性问题涉及的内容较多,解题根本是熟练掌握各知识点； ②以上所举例子只是综合性习题中的一小部分,往往要多个问题综合到一起,难度较大。
例题 如图,在平面直角坐标系中,多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0,0）,A （0,6）,B （4,6）,C （4,4）,D （6,4）,E （6,0）。
若直线l 经过点M （2,3）,且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分,则下列各点在直线l 上的是（ ）A 、 （4,3）B 、 （5,2）C 、 （6,2）D 、 （0,310）解析:先延长BC 交x 轴于点F,连接OB,AF,DF,CE,DF 和CE 相交于点N,由所给点的坐标得出四边形OABC,四边形CDEF 都为矩形,并且点M （2,3）是矩形OABF 对角线的交点,点N 是矩形CDEF 的中心,得出直线l 必过M 和N 点,再设直线l 的解析式为y=kx+b,利用待定系数法即可求出直线l 的函数表达式,然后把所给的点分别代入,即可求出答案。
七年级数学专题训练27 以形借数——借助图形思考(附答案)
七年级数学专题训练27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面：1．从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能．2．有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．阅读与思考【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有____________种。
（“五羊杯”竞赛试题）x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。
++=。
不妨设x y z9x y z【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。
根据图像进行一下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。
（2）请解释图中点B的实际意义。
图像理解（3）求慢车和快车的速度。
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。
在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。
数学解题方法之“以形解数”
数学解题方法之“以形解数”以形解数：即运用几何图形解决代数问题，不仅直观，易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，简化解题过程，减少错误． 一、以形解数，简化运算例1：20124322121212121+⋯++++ 代数解法：设=s 20124322121212121+⋯++++ ○1○121⨯得：=s 21201320124322121212121++⋯+++ ○2 ○1—○2：=s 2120132121-； 等式两边同除以21得：20122012212-=s ．分析：本题用纯代数的方法进行计算，运算较为复杂．若借助几何图形来解答，则另辟蹊径，事半功倍．以形解数：如图，将面积为1的正方形进行划分，则由图形间的面积关系可得出：20124322121212121+⋯++++==-201221120122012212-． 归纳：借助图形解答本题，显然比用代数解法简洁明了．二、以形解数，避免错误例2：函数xy 6=，若3≥x ，则y 的取值范围是 ． 代数解法：错解：由x y 6=⇒yx 6=，再由3≥x 236≥⇒≥⇒y y ． 这是一个经常性的错误，要想避免错误，需对不等式36≥y进行分类讨论：○1若0≥y ，则20236≤<⇒≤⇒≥y y y ；○2若0≤y ，则⇒≥⇒≤236y y 无解．由○1○2得y 的取值范围是20≤<y ． 分析：学生的惯性思维是看到此题想到用不等条件进行不等式解题，接着由于不严谨解题，导致答案不正确．现在，我们让图形一起来参与解题，是否会别有洞天，避免错误呢？以形解数：如图，当3≥x 时，图像为双曲线在第一象限分支点A 右侧部分，显然，这部分的函数值20≤<y ．类似这样的问题，我们还可以在二次函数的习题中找到．如：“二次函数162--=x x y 则y 的取值范围是 ．”三、以形解数，最值问题例3：求321-+-+-x x x 的最小值．代数解法：分类讨论：○1当1≤x 时，原式=x x x x 36321-=-+-+-，故最小值是3；○2当21≤<x 时，原式=x x x x -=-+-+-4321，故最小值是2；○3当32≤<x 时，原式=x x x x =-+-+-321，故最小值大于2；○4当3>x 时，原式=321-+-+-x x x=63-x ，故最小值大于3；综上所述321-+-+-x x x 的最小值是2．分析：用代数解法，虽然能求出最小值，但用到的知识较多，过程也比较曲折，对学生来说，此解法不易掌握．那么，试用“以形解数”方法解答怎样呢？以形解数：我们知道，绝对值通过数轴这个工具可以与两点间的距离紧密地结合在一起，画一条数轴，如图所示，数轴上A 、B 、C 点分别对应数1、2、3、P 点对应的有理数为x ，则PA=1-x ，PB=2-x ，PC=3-x ，P 点对应的有理数为x ，PA=1-x ，PB=2-x ，PC=3-x ，问题转化为在数轴上找一点P ，使得PA+PB+PC 最小，显然当P 与B 重合时，PA+PB+PC=2最小，亦即321-+-+-x x x 的最小值为2（当x=2时）．例4：求186422+-++x x x 的最小值．分析：本题用纯代数的方法很难求出最小值，解题陷入困境．但若选择“以形解数”的方法解答，则会柳暗花明． 以形解数：先将代数式转化成22223)3(2+-++x x ，再构造图形．由图形知DC=222+x ，EC=223)3(+-x ，问题转化为求(DC+EC)的最小值，显然，当点D 、C 、E 三点在一条直线上时(DC+EC)最小．易求出186422+-++x x x 的最小值是34．四、以形解数，竞赛试题例5：如果三个正实数z y x ,,满足：16914425222222=++=++=++x xz z z yz y y xy x BD E3求：xz yz xy ++的值．分析：本题是一道数学竞赛试题的改编题，难度很大，无从入手． 若构造图形解题，则水到渠成．以形解数：易知，三个等式可化为：22251202=︒-+xyCOS y x ；222121202=︒-+yzCOS z y ；222131202=︒-+zxCOS x z ，如图所示，构造△P AB 、△P AC 、△PBC ，使得z PB y PC x PA ===,,，︒==∠=∠120BPC APC APB ，则AB=13，BC=12，AC=5，故△ABC 是直角三角形，由面积可得：12521120sin 21120sin 21120sin 21⨯⨯=︒+︒+︒zx yz xy ， 解得：xz yz xy ++=320．12 z13 x ABC5yP。
数学人教版八年级下册一次函数的数形结合思想
E点的坐标(1,1.5)或(7,-1.5)
B 4
x
E
O
1.5
1.5 E
问题5:求直线AB上是否存在一点F,使点F到y轴的 距离等0.6,若存在求出点F的坐标,若不存在,请说明 理由.
F点的坐标(0.6,1.7)或(-0.6,2.3)
问题6:
1 y x 2 在AB上是否存在一点G,使 2
1 问题3: y x 2 2
在x轴上是否存在一点P,使
S 3 ? PAB
若存在,请求出P点坐标,若不存在,请说明理由.
y A
2
P(1,0)或(7,0)
P
B 4
O
1
P 7
x
1 y x2 问题4:求直线AB 上是否存在一点E,使 2
y A
点E到x轴的距离等于1.5,若存在求出点E的坐标,若 不存在,请说明理由.
y A
1 SBOG SAOB 2
Байду номын сангаас
若存在,请求出G点坐标,若不存在,请说明理由.
2
G
G(2,1)或(6,-1)
B 4 x
O
问题7:
G
1 在AB上是否存在一点H,使 SAOH SAOB ? 4
若存在,请求出H点坐标,若不存在,请说明理由.
H(1,1.5)或(-1,2.5)
2 练习：直线 y x 2分别交x轴,y轴于A,B两 3
1.如图,直线AB与y轴,x轴交点分别为A(0,2) B(4,0)
问题1:求直线AB的解析式 及△AOB的面积.
2 y A B O 4 x
1 y x2 2
SAOB4
问题2: 当x满足什么条件时,y＞0,y＝0,y＜0,0＜x＜4 当x＜4时,y ＞ 0, 当x=4时,y = 0, 当x ＞4时,y ＜ 0, 当0＜ y＜2时, 0＜ x＜4
初中数学培优专题学习专题27 以形借数——借助图形思考
专题27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面：1．从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能．2．有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．阅读与思考【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有____________种。
（“五羊杯”竞赛试题）x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。
++=。
不妨设x y z9x y z【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。
根据图像进行一下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。
（2）请解释图中点B的实际意义。
图像理解（3）求慢车和快车的速度。
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。
在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。
初二数形结合题解题技巧
初二数形结合题解题技巧
1. 观察图形特点：首先要仔细观察数形结合题中的图形，寻找图形的特点和规律。
例如，图形的对称性、重复性、变化规律等。
2. 运用数学知识：根据题目所给条件和图形的特点，运用基本的几何知识和数学公式进行推理和计算。
如长度、面积、角度的计算等。
3. 利用图形的辅助线：当图形较为复杂时，可以尝试画一些辅助线来辅助解题。
通过引入辅助线，可以将问题转化为更简单的几何问题或代数问题解答。
4. 运用逻辑思维：通过分析题目中的条件和信息，利用逻辑推理思维，找到图形之间的联系和规律，从而推导出答案。
5. 多角度思考：解题时不要固守一种思维方式，可以尝试从不同角度思考问题，寻找多种可能性和解题思路。
6. 锻炼空间想象力：数形结合题通常涉及到对图形的空间变换和投影等概念，因此锻炼空间想象力能够帮助更好地理解和解决问题。
总之，解答数形结合题需要考虑到数学知识的应用，观察和分析图形特点，灵活运用解题技巧和思维方式，以及锻炼创造性和逻辑思维能力。
27.3.2《位似2》教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“位似在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调位似的概念和位似比的计算这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与位似相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示位似的基本原理。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了《位似2》这一章节，整体来看，学生们对位似的概念和性质有了初步的认识，但在实际应用中还存在一些问题。让我来谈谈今天的课堂感受和需要改进的地方。
课堂上，我通过提问导入新课，让学生们回顾日常生活中的位似现象，这个环节大家的参与度很高，能够积极思考并回答问题。但在新课讲授过程中，我发现部分学生对位似比的计算方法掌握不够熟练，需要我在课后进行针对性的辅导。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作表现得不错，能够将所学的位似知识运用到实际问题中。但在小组讨论时，有些组员过于依赖组改进。
关于教学难点和重点的讲解，我觉得自己在这个环节做得还不够细致。尤其是在位似性质的应用方面，我应该多举一些典型的例子，让学生们更好地理解位似性质在几何证明和解题中的作用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.位似的概念：位似是图形相似的特殊形式，理解位似图形的定义及其相关性质是本节课的核心内容。教师应通过实例讲解，让学生掌握位似图形的特点，如对应顶点的连线相交于一点，对应边平行等。
数形结合思想在解题中的应用训练 课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册
分别是b和5的Rt△BDP的斜边长，故问题转化为求AP＋BP
的最小值，连接AB，则AP＋BP的最小值为AB，再利用勾股
定理计算出AB即可.
应用8：数与形的关系在求点的坐标中的应用
8.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，4)，B(8，0)，
∴ቊ
＋ = ，
= ，
解得ቊ
＝ − .
＋ = ，
∴乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数
关系式为y＝12x－180.
(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的
垂直高度.
【解】设甲最后一段的函数解析式为y＝
mx＋n，将(25，160)和(60，300)代入解
发，甲步行登山到山顶，乙先步行15 min到缆车站，再乘
坐缆车直达山顶，甲、乙距山脚的垂直高度y(m)与甲登山
的时间x(min)之间的 函数图象如图所示：
(1)当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高
度y与x之间的函数关系式；
【解】(1)设乙距山脚的垂直高度y与x之
间的函数关系式为y＝kx＋b，
∵直线过(15，0)和(40，300)，
和点B.
应用3：三角形三边的数量关系在直角三角形中的应用
3.[2023·永州]如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对
角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5.
(1)△AOB是直角三角形吗？请说明理由；
【解】△AOB是直角三角形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8，∴OB＝OD＝ BD＝4.
6.∴P(6，12).
∴点P的坐标为(－6，－4)或(6，12).
新人教版八年级数学下册27.2.3 相似三角形的应用举例(导学案)
27.2.3 相似三角形的应用举例分析：∠PQR=∠PST=900，∠P=∠P⇓∆PQR∽∆PST⇓8 1.6 6.4512 1.610.4FHFH-==+-，即PQ QRPQ QS ST=+，604590PQPQ=+，90(45)60PQ PQ⨯=+⨯。
解得PQ=90三试牛刀：例5：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？分析：,AB l CD l⊥⊥⇒AB∥CD，∆AFH∽∆CFK。
⇓FH AHFK CK=，即8 1.6 6.4512 1.610.4FHFH-==+-，解得FH=8。
让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型，通过建模培养学生的归纳能力。
数学建模的关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转化的方法之一是画数学示意图，在画图的过程中可以逐渐明问题中的数量关系与位置关系，进而形成解题思路。
abRQPS T（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
它要是给你讲起道理来，那可满满的都是人生啊。
1.人生的痛苦在于追求错误的东西。
所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，便无限远离了原点，却永远无法和它产生交点。
2.人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在无理的隔阂。
3.人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。
但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。
4.零点存在定理告诉我们，哪怕你和他站在对立面，只要你们的心还是连续的，你们就能找到你们的平衡点。
5.有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。
至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。
人教版八年级数学下册竞赛专题28 纵观全局.doc
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】专题28 纵观全局——整体思想阅读与思考解数学问题时，人们习惯了把它分成若干个较为简单的为，然后在分而治之，各个击破。
与分解、分部处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，有整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内容和解题方向的策略，往往能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的具体途径主要有：1. 整体观察2. 整体设元3. 整体代入4. 整体求和5. 整体求积注：既看局部，又看整体；既见“树木”，又见“森林”，两者互用，这是分析问题和解决问题的普遍而有效的方法．例题与求解【例1】某市抽样调查了1000户家庭的年收入，其中年收入最高的只有一户，是38000元。
由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这1000户的平均年收入比实际平均年收入高出了342元，则输入计算机的那个错误数据是 ．（北京市竞赛题）解题思路：有1000个未知量，而等式只有两个，显然不能分布求出每个未知量，不妨从整体消元．注：有些问题要达到求解的目的，需要设几个未知数，但在解答的过程中，这些未知数只起到沟通已知与未知的辅助的作用，因此可“设而不求”，通过整体考虑，直接获得问题的答案．【例2】设a b c 、、是不全相等的任意数，若222,,x a bc y b ac z c ab =-=-==，则x y z 、、（ ）（全国初中数学联赛试题）A.都不小于零B.都不大于零C.至少有一个小于零D.至少有一个大于零解题思路：由于a b c 、、的任意性，若孤立地考虑x y z 、、，则很难把握的x y z 、、正负性，应该考虑整体求出x y z ++的值．【例3】如果a 满足等式22310a a +-=，试求543223395131a a a a a a +++-+-的值．(天津市竞赛题)解题思路：不能直接求出a 的值，可寻求待求式子分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体代入求值．注：整体思想在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘、整体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现．【例4】已知2,4x y ==-，代数式31519972ax by ++=，求当14,2x y =-=-时，代数式33244986ax by -+的值．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：a b 、的值无法求出，将给定的x y 、值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代入求值．【例5】已知实数a b c d e f 、、、、、满足方程组．220240280216023202640a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f+++++=⎧⎪+++++=⎪⎪+++++=⎪⎨+++++=⎪⎪+++++=⎪+++++=⎪⎩①②③④⑤⑥求f e d c b a -+-+-的值．（上海市竞赛题）解题思路：将上述六个式子看成整体，通过⑥－⑤，④－③，②－①分别得到,,f e d c b a ---．【例6】如图，将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分别填入图中的十个圆圈内，使得任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M ，求M 得最小值并完成你的填图．（北京市“迎春杯”竞赛试题）＼解题思路：解答此题的关键是根据题意得出1210()10S a a a M +++L ≤，这是本题的突破口． 注：在解答有同一结构的问题时，可将这一相同结构看作一个整体，用一个字母代换，以此达到体现式子结构的特点，化繁为简的目的．能力训练1．已知密码：3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每个字母都表示一个十进制数字，将这个密码翻译成式子是 2．若a ，b ，c 的值满足22(324)(236)0a b c a b c -+-++-+≤，则927a b c +-=(“城市杯”竞赛试题)3．角αβγ，，中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算115αβγ⋅++（）的值时，全班得到23.5°，24.5°，25.5°这样三个不同结果，其中确有正确的答案，则正确的答案是4．如果223x x +=，那么432781315x x x x ++-+=（“希望杯”邀请赛试题）5．已知121991,,,a a a L 都是正数，设121990231991()()M a a a a a a =+++⋅+++L L ，121991231990()()N a a a a a a =+++⋅+++L L ，那么M 与N 的大小关系是M N ．（北京市“迎春杯”竞赛试题）6．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0001222b ax x a x bx bx ax 有解，则=+b a（湖北省武汉市选拔赛试题）7．若正数z y x ，，满足不等式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<<+<<+<y z x y x z y x z y x z 4112535232611，则z y x ，，的大小关系是（ ）A ．z y x <<B ．x z y <<C ．y x z <<D ．不能确定8．若()f ex dx cx bx ax x +++++=+2345213，则f e d c b a -+-+-的值是（ ）A ．32-B ．32C ．1024D ．1024-9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60，那么这三人中最大年龄与最小年龄的差是（ ）A ．28B ．27C ．2-D ．2 10．设c b a ，，，满足等式22,62,32222πππ+-=+-=+-=a c z c b y b a x ，则z y x ，， 中至少有一个值（ ）A ．0大于B ．0等于C ．0不大于D ．0小于（全国初中数学联赛试题）11．.3)11()11()11(,01++++++=++ba c a cbc ba cb a 化简）（的值为多少？，则已知cabc ab abca c ca cb bc b a ab ++=+=+=+161,171,151)2(12．有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添一个零，然后加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字为5，试求这个四位数．（江苏省竞赛试题）13．代数式tvx tuy swx suz rwy rvz -++--中，z y x v u t s r ，，，，，，，可以分别取+1或-1． （1）证明代数式的值都是偶数．（2）求这个代数式所能取到的最大值．（“华罗庚金杯”竞赛试题）14．如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和（1）大于9？（2）大于10？若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由．（江苏省竞赛试题）。
人教版八年级数学下册竞赛专题27 以形借数——借助图形思考.doc
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】专题27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面：1．从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能．2．有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．阅读与思考【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有____________种。
（“五羊杯”竞赛试题）x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。
++=。
不妨设x y z9x y z【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。
根据图像进行一下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。
（2）请解释图中点B的实际意义。
图像理解（3）求慢车和快车的速度。
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。
八年级数学竞赛讲座 第二十七讲 图形的折叠剪拼与分割 人教新课标版
第二十七讲图形的折叠、剪拼与分割一页普通的纸，童年时我们用稚气的双手把它折成有趣的动物，民间艺人可以把它剪成美丽的图案．折纸与剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，是丰富想象力与心灵手巧的结合．对图形进行折叠与剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，通过折叠与剪拼图形，我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的．把图形或部分沿某直线翻折叫图形的折叠，对图形通过有限次的剪裁再重新拼接成新的图形叫图形的剪拼．解与图形折叠或剪拼相关的问题，利用不变量解题是关键，在折叠过程中，线段的长度、角的度数保持不变；在剪拼过程中，新图形与原图形的面积一般保持不变．例题求解【例1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于．(南通市中考题)思路点拨设CD=x，由折叠的性质实现等量转换，将条件集中到Rt△BDE中，建立x 的方程．注图形折叠与剪拼问题可考壹我们的动手操作能力和分析推理能力，解题时需要把计算、推理与合情想象结合起来．折叠问题可以对称观点认识：(1)折痕两边是全等的；(2)对应点连线被折痕垂直平分．解折叠问题常用到勾股定理、相似形、方程思想等知识与方法．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC 的面积为( )A．12 D10 C．8 D．6 (2004年武汉市选拔赛试题)思路点拨只需求出AF长即可．【例3】取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图1；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为B ′，得Rt△AB'E ，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF ，如图3．利用展开图4探究：(1)△AEF 是什么三角形?证明你的结论．(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．(山西省中考题)思路点拨 本例没有现成的结论，需经历实验、观察、猜想、证明等数学活动，从而探究得到结论．【例4】如图，是从边长为40cm 、宽为30cm 的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm 、宽为10cm 的矩形后，剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当地切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件．(1)请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹)；(2)比较(1)中的两种方案，哪种更好一些?说说你的看法和理由．（山东省中考题)思路点拨 拼接后正方形的边长为221030 ㎝，它恰是以30cm 和10cm 为两直角边的直角三角形的斜边的长，为此可考虑设法在原钢板上构造两直角边长分别为30㎝和l0cm 的直角三角形，这是解本例的关键．注 有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，应该通过观察、实验、操作、猜测、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，从而使知识得到内化，形成能力．近年中考中涌现的设计新颖、富有创意的折叠、剪拼与分割等问题，注重对动手实践操作、应用意识、学习潜能的考查．【例5】 用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接成一个矩形．(1)求这个矩形的长和宽；(2)请画出拼接图．思路点拨 利用拼接前后图形面积不变求矩形的长和宽；运用矩形对边相等这一性质画拼接图．【例6】 如图，已知△ABC 中，∠B=∠C=30°，请设计三种不同的分法，将△ABC 分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形．请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)．(画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法) (温州市中考题)思路点拨 充分运用几何计算、推理和作图，综合运用动手操作、空间想象、解决问题．学力训练1． 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n 次，可以得到 条折痕．(2002年南宁市中考题)2．一张直角三角形的纸片，像图中那样折叠，使两个锐角顶点A 、B 重合，若∠B=30°，AC=3，则折痕DE 的长等于 ． (三明市中考题)3．如图，将一块长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM= ．4．在△ABC 中，已知AB=20，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小三角形ACD 与三角形BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的41，有如下结论：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于223a ；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等，其中，正确结论有 个．(天津市中考题)5．将四个相同的矩形(长是宽的3倍)，用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得大矩形的面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 (2003年南昌市中考题)6．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )A ．∠A=∠1+∠2B ．2∠A ＝∠1+∠2C ．3∠A ＝2∠1+∠2D ．3∠A=2(∠l+∠2)(北京市海淀区中考题)7．将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分．将①展开后得到的平面图形是( )A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形 (陕西省中考题)8．如图1，小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图2，再对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是( ) (济南市中考题)9．如图，东风汽车公司冲压厂冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，其中AB=AC，该冲压厂为了降低汽车零件成本，变废为宝，把这些废料再加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形．现在要把如图所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割的次数最多两次(切割的损失可忽略不计)．(1)请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明；(2)若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件(只切割一次)，则该三角形需满足什么条件? (十堰市中考题)10．如图，ABCD是矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA＝5：3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，求AB、BC的长．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC=5，现将它折叠，使点B与点C重合，则折痕的长是． (四川省竞赛题)12．如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A，处，第二次过A，再折叠，使折痕DE∥BC，若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为．( “宇振杯”上海市竞赛题)13．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于． ( “希望杯”邀请赛试题)14．要剪切如图l(尺寸单位mm)所示的两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的矩形铝板，第一种长500mm ，宽300mm(如图2)；第二种长600mm ，宽250mm(如图3)；可供选用．(1)填空：为了充分利用材料，应选用第 种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共 个，剪出这些零件后，剩余的边角料的面积是 mm 2．(2)画图，从图2或图3中选出你要用的铝板示意图，在上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来．15．如图，EF 为正方形ABCD 的对折线，将∠A 沿DK 折叠使它的顶点A 落在EF 上的G 点，则∠DKG 为( )A ．15°B ．30°C ．55°D ．75°16．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=30㎝，AB=50cm ，依次裁下宽为1㎝的矩形纸条a 1，a 2，a 3，…，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm ，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A ．24B ．25C ． 26D ．27 (山东省济南市中考题)17．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为( )A ．2537+ B ．253+ C ．251+ D ．2)21(+ (2003年山东省竞赛题) 18．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，沿过点月的一条直线BE 折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点为D ，要使点D 恰为AB 的中点，问在图中还需添加什么条件?(1)写出两个满足边的条件；(2)写出两个满足角的条件；(3)写出一个满足除边角以外的其他条件． (黄冈市竞赛题)19．如图，正方形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN ，设梯形ADMN 的面积为S 1，梯形BCMN 的面积为S 2，求21S S 的值20．已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为l0，∠B、∠C都为锐角，M为AB边上的一动点(M与A、B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN=x．(1)用x表示△AMN的面积；(2)△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM(边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内)，设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y．①用的代数式表示y，并写出x的取值范围．②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少?。
新人教版八年级数学下册27.2.3 相似三角形的应用举例(优秀教学设计)
27.2.3 相似三角形的应用举例1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；(重点)2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．(难点)一、情境导入胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” .在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？二、合作探究探究点：相似三角形的应用 【类型一】 利用影子的长度测量物体的高度 如图，某一时刻一根2m 长的竹竿EF 的影长GE 为1.2m ，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B 在地面上的影子点D 与B 到垂直地面的落点C 的距离是3.6m ，求树AB 的长．解析：先利用△BDC ∽△FGE 得到BC 3.6＝21.2，可计算出BC ＝6m ，然后在Rt △ABC 中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB 的长．解：如图，CD ＝3.6m ，∵△BDC ∽△FGE ，∴BC CD ＝EF GE ，即BC 3.6＝21.2，∴BC ＝6m.在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝12m ，即树长AB 是12m.方法总结：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题【类型二】 利用镜子的反射测量物体的高度小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度．如图，在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE ＝20m.当她与镜子的距离CE ＝2.5m 时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B .已知她的眼睛距地面高度DC ＝1.6m ，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度(注：入射角＝反射角)．解析：根据物理知识得到∠BEA＝∠DEC，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．解：如图，∵根据光的反射定律知∠BEA＝∠DEC，∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△BAE∽△DCE，∴ABDC＝AEEC.∵CE＝2.5m，DC＝1.6m，∴AB1.6＝202.5，∴AB＝12.8，∴大楼AB的高度为12.8m.方法总结：解本题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．解题时要灵活运用所学各学科知识．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型三】利用标杆测量物体的高度如图，某一时刻，旗杆AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度．解析：根据在同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形的对应边成比例解答即可．解：如图，过点D作DE∥BC，交AB于E，∴DE＝CB＝9.6m，BE＝CD＝2m，∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA∶ED＝1∶1.2，∴AE＝8m，∴AB＝AE＋EB＝8＋2＝10m，∴学校旗杆的高度为10m.方法总结：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型四】利用相似三角形的性质设计方案测量高度星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．解析：设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E ，人退后到D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A .若人眼距地面距离为CD ，测量出CD 、DE 、BE 的长，就可算出纪念碑AB 的高．解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB 的地面上平放一面镜子E ，人退后到D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A .若人眼距地面距离为CD ，测量出CD 、DE 、BE 的长，就可算出纪念碑AB 的高．理由：测量出CD 、DE 、BE 的长，因为∠CED ＝∠AEB ，∠D ＝∠B ＝90°，易得△ABE ∽△CDE .根据CD AB ＝DE BE，即可算出AB 的高．方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．利用相似三角形测量物体的高度；2．利用相似三角形测量河的宽度；3．设计方案测量物体高度．通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识．基本达到了预期的教学目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题. （赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】
专题27 以形借数——借助图形思考
阅读与思考
数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面：
1．从给定的图形获取解题信息
数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能．
2．有意地画图辅助解题
图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．
阅读与思考
【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住
其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同
形状的共有____________种。
（“五羊杯”竞赛试题）
x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,
≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。
++=。
不妨设x y z
9
x y z
【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为
．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。
根据图像进行一下探究：
信息读取
（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。
（2）请解释图中点B的实际意义。
图像理解
（3）求慢车和快车的速度。
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
问题解决
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。
在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。
求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时？
（江苏省南京市中考试题）解题思路：函数图像包含了两种不同层次的信息：有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息，也有在0～4小时之间以及稍后的一段时间内，快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。
A B C三个特色栏目的收视情况，向28位观众进行调查，调查后得知：
【例3】某电视台为了解,,
每位观众至少收看了其中的一个栏目；没有收看栏目A的观众中，收看栏目B人数为收看栏目C的两倍；在收看栏目A的观众中，只收看栏目A的观众人数比除了收看栏目A之外同时还收看其他栏目的人数多1；只收看一个栏目的观众中，有一半没有收看B或栏目C，求栏目A的收视率。
（“《数学周报》”杯全国数学竞赛试题）解题思路：设未知数，借助于图表表示题中各数量之间的关系。
【例4】甲、乙、丙、丁、戌五名同学参加推铅球比赛，通知抽签决定出赛顺序，在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测。
甲猜：乙第三，丙第五；乙猜：戌第四，丁第五；丙猜：甲第一，戌第四；丁猜：丙第一，乙第二；戌猜：甲第三，丁第四。
老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，问：出赛顺序中，第一、第三、第五分别是哪位同学？
（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：文字罗列出来的条件，其相互关系错综复杂，不便分析和推断，不妨借助于图表直观地表示研究对象及其关系。
【例5】某班有50名同学，期末考试优秀的学生人数及科目如表：
这里，一科优秀者包括两、三科优秀者，两科优秀者包括三科优秀者，试说明上述统计表有错误。
（“创新杯”竞赛试题）解题思路：借助于图形直观地表示出数学、外语、语文优秀学生的集合，有利于分析与推断。
能力训练
1．甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。
则小强已经赛了________盘。
（“华罗庚金杯”竞赛试题）
2．某市储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进
s吨与时间(t小时)之间的函数关系如图，这批物物资与调出物资的速度保持不变）。
储运部库存物资()
资从开始调进到全部调出所需要的时间是___________________。
（山东省济南市中考试题）
3．甲、乙两人同时从A地出发，以各自的速度匀速汽车到B地后原地休息，甲、乙两人的距离(y千米) x时之间的函数关系的图像如图，则,A B两地的距离为______________________千与乙骑车的时间()
米。
4．一台计算机的硬盘分为3个区，每个区的使用情况如图所示，则这个硬盘的使用率为
______________________。
（“希望杯”邀请赛试题）
A B C三支足球队举行单循环比赛（每支队与另一支队只比赛一场，共三场），下表给出的是
5．,,
比赛的部分结果：
球队比赛场数胜负平总进球数总失球数
A 2 2 1
B 2 1 2 4
C 2 3 7
请根据上表，填上A队与C队比赛时的比分为_______________。
（重庆市竞赛试题）
6．如图是某班全体学生外出时乘车、步行、骑车的人数分布直方图和扇形统计图（两图都不完整），则下列结论中错误的是（）
A．该班总人数为50人B．骑车人数占总人数的20％
C．步行人数30人D．乘车人数是骑车人数的2.5倍
7．某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b a
），再前进c千米，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图为（）。
A．B．C．D．
8．一圆形地块，打算分A B C D
、、、四个区域栽种观赏植物，要在同一区域种同一种植物，相邻（有公共边）的两块里中不同的植物。
现有4种不同的植物可供选择，那么所有的栽种方案的个数为
( )。
D
C B
A
A．66 B．68
C．60 D．84
（重庆市竞赛试题）
9．某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生；参加英语竞赛有120名女生，80名男生。
已知该校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，问参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数有多少人？
（“祖冲之杯”邀赛试题）
10．某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：h ）如图所示。
若汽车行驶的平均速度为80km/h 。
而汽车每行驶1 km 需要的平均费用为1.2元。
试指出此人从A 城出发到B 城的最短线路，并求出所需费用最少多少元？
（全国初中数学竞赛试题）
11.刚回到营地的两个抢险队又接到救灾命令：一分队立即出发赶往30千米外的A 镇;二分队因疲劳可在营地休息a 03a （≤≤）
小时再赶往A 镇参加救灾。
一分队出发后得知，唯一通往A 镇的道路在里营地10千米处发生塌方，塌方处地形复杂，必须有一分队用1小时打通．已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度是4a （）
千米/时． （1）若二分队在营地不休息，问二分队几个小时能赶到A 镇？
（2）若需要二分队和一分队同时赶到A 镇，二分队应在营地休息几个小时？
（3）下列图中，①②分别描述一分队和二分队离A 镇的距离y （千米）和时间x （小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理图像的代号，并说明它们的实际意义．
x
y
②
①
O
x
y
②①
O
x
y
②
①O
x
y
②
①
O
A B C D
(安徽省中考题)
12.已知函数|1|2|1||2|y x x x =+--++． （1）在直角坐标系中作出函数图象．
（2）已知关于x 的方程3|1|2|1||2|0kx x x x k +=+--++≠（）有三解.求k 的取值范围．
（“创新杯”竞赛试题）。