2015年高考数学考点分类自测 排列与组合 理
2015届高考数学一轮复习 排列与组合跟踪检测 理(含解析)新人教A版
课时跟踪检测(六十三)排列与组合第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·开封模拟)把标号为1,2,3,4,5的同色球全部放入编号为1～5号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为() A．36B．20C．12 D．102．(2013·昆明重点高中检测)某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为()A．720 B．520C．600 D．3603．(2013·昆明调研)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为()A．72 B．324C．648 D．1 2964．(2013·合肥调研)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为() A．24 B．28C．36 D．485．(2014·大连模拟)把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有() A．36种B．45种C．54种D．96种6．(2014·哈师大附中模拟)将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少安排1名教师，则不同的分配方案种数为()A．12 B．36C．72 D．1087．(2013·广州调研)某高校从5名男大学生志愿者和4名女大学生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名志愿者)，要求这3名志愿者中男、女大学生都有，则不同的选派方案共有()A．210种B．420种C．630种D．840种8．(2013·开封模拟)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A．60 B．48C．42 D．369．(2014·潍坊检测)张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．(用数字作答)10．(2013·石家庄模拟)有4名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有1人参加，每名同学只参加一项比赛，另外甲同学不能参加跳舞比赛，则不同的参赛方案的种数为________(用数字作答)．11．某公司计划在北京、上海、广州、南京4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是________(用数字作答)．12．(2014·重庆模拟)将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法共有________种．第Ⅱ组：重点选做题1．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？2．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？答案第Ⅰ组：全员必做题1．选C依题意，满足题意的放法种数为A22·A33＝12，选C.2．选C根据题意，分2种情况讨论：若甲、乙其中一人参加，有C12·C35·A44＝480种；若甲、乙2人都参加，共有C22·C25·A44＝240种发言顺序，其中甲、乙相邻的情况有C22·C25·A22·A33＝120种，故有240－120＝120种．则不同的发言顺序种数为480＋120＝600.3．选D核潜艇排列数为A22，6艘舰艇任意排列的排列数为A66，同侧均是同种舰艇的排列数为A33A33×2，则舰艇分配方案的方法数为A22(A66－A33A33×2)＝1 296.4．选D穿红色衣服的人相邻的排法有C14A22A33＝48种，同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有48种．而红色、黄色同时相邻的有A22·A22·A33＝24种．故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有A55－2×48＋24＝48种．5．选A先把5号球放入任意一个盒子中有4种放法，再把剩下的四个球放入盒子中，根据4的“错位数”是9，得不同的放法有4×9＝36种．6．选B本题是定向分配问题．由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成，第一步，从4名教师中选出2名教师分成一组，其余2名教师各自为一组，共有C24种选法，第二步，将上述三组与3个班级对应，共有A33种，这样，所求的不同的方案种数为C24A33＝36.7．选B从这9名大学生志愿者中任选3名派到3所学校支教，则有A39种选派方案，3名志愿者全是男生或全是女生的选派方案有A35＋A34种，故符合条件的选派方案有A39－(A35＋A34)＝420种．8．选B第一步选2女相邻排列C23·A22，第二步另一女生排列A22，第三步男生甲插在中间，1种插法，第四步另一男生插空C14，故有C23·A22·A22·C14＝48种不同排法．9．解析：第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有A33种排法；第三步：将两个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A33＝24(种)．答案：2410．解析：依题意，当甲1人一组时，共有C12C23A22＝12种不同参赛方式；当甲和另1人一组时，共有C13A12A22＝12种不同参赛方式，所以共有24种不同参赛方式．答案：2411．解析：由题意知按选择投资城市的个数分两类：①投资3个城市，每个城市只投资1个项目，有A34种方案；②投资2个城市，其中一个城市投资1个项目，另一个城市投资2个项目．即先从3个项目中选2个看作1个元素(投资在某一个城市)，另一个项目看作1个元素(投资在另一个城市)，然后把这2个元素在4个城市里进行选排，这样有C23A24种方案；所以该公司共有不同的投资方案种数是A34＋C23A24＝60.答案：6012．解析：将7个相同的球放入4个不同的盒子，即把7个球分成4组，因为要求每个盒子都有球，所以每个盒子至少放1个球，不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空中插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，不同的插入方法共有C36＝20种，所以每个盒子都有球的放法共有20种．答案：20第Ⅱ组：重点选做题1．解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A77种情况．所以符合题意的七位数有C34C45A77＝100 800个．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34C45A55A33＝14 400个．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C34C45A33A44A22＝5 760个．2．解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22＝144种．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C 24种方法，4个球放进2个盒子可分成(3,1)，(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法． 故共有C 24⎝⎛⎭⎫C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22＝84种．。
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编.排列组合
1 广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编排列组合1．（2015届佛山市）将编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球放入编号为1, 2, 3, 4, 5的一个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为 .2．（2015届广州市）5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）．3．（2015届惠州市）将自然数按如图排列，其中处于从左到右第m 列从下到上第n 行的数记为),(n m A ，如4)1,3(=A ，12)2,4(=A ，则=),1(n A __________；=)10,10(A __________．282127152026101419256913182435812172312471116224（2015届深圳市）从1，2，2，3，3，3这六个数字中任取五个，组成五位数，则不同的五位数共有A ．50个B ．60个C ．100个D ．120个5（2015届湛江市）已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有____________种．6（2015届肇庆市）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋 友1本，则不同的赠送方法共有 ▲ 种（用数字作答）.答案：20 30 (1),1812n n + B 31 10。
2007-2015山东高考数学排列、组合、二项式定理及概率汇编试题及答案
2007-2015山东高考数学排列、组合、二项式定理及概率汇编试题1.07N 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为（ ）（A ）51()2（B ） 2551()2C （C ）3351()2C （D ） 235551()2C C2.08N 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手。
若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为( ) （A ）511（B ）681（C ）3061（D ）40813.08N （X -31x）12展开式中的常数项为（ ）（A ）-1320 （B ）1320 （C ）-220 (D)2204.09N 在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到21之间的概率为( ). （A ）31 （B ）π2（C ）21 （D ）325.10N 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目 乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案有（ ）（A ）36种 （B ）42种 （C ）48种 （D ）54种6.10N 已知随机变量ξ服从正态分布),1(2σN ，若023.0)2(=>ξP ，则=≤≤-)22(ξP ( )（A ）0.477（B ）0.628（C ）0.954（D ）0.9777.11N 若62()a x x-展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .8.12N 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ） （A ）232 (B)252 (C)472 (D)4849.13N 在区间[-3,3]上随机取一个数x ，使得121++-≥x x 成立的概率为______.10.13N 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) (A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 27911.14N 若46b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 。
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十章 第一节分类计数与分步计数原理 理
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布近三年广东高考中对本章考点考查的情况1．排列与组合是中学数学中相对独立性较强的一部分，也是密切联系实际较强的一部分，一直是高考必考内容．高考对排列组合的考查会以现实生活为背景．2．对二项式定理的考查，主要是求多项式系数和、求某项系数、求二项式中的参数值、求常数项、有理项系数最大项、求整余数、求近似值等．3．古典概型与几何概型是两种最基本的概率问题，是高考重点关注的内容，但深度有限．几何概型只要求会解决与长度、面积、体积相关的概率问题，重点是理解概率、学会转化、计算准确快捷，不宜过于深化与拓展．预计高考对以上内容的考查，仍会以客观题的形式出现，试题难度为“较易”到“中等”，分值为5分．4．随机变量及其分布在高考中多以解答题的形式出现，常与排列组合、统计等内容相结合，综合考查学生的数据处理能力．分值一般在13分左右，属中、低档题．重点考查离散型随机变量的分布列，以及由此分布列求随机变量的均值、方差，特别是二项分布．1．(1)分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于本章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决或分步解决，是本章复习的重点．(2)正确区分使用两个原理是学好本章的关键．区分“分类”与“分步”的依据在于能否“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需“分步”，只需分类；否则，就分步处理．2．二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值．这两种思路相结合可以使很多二项式展开式的系数问题迎刃而解(要注意二项式系数与二项式展开式的系数之间的区别)．3．(1)概率问题应用广泛，贴近生活，本部分知识既有必修内容，也有选修内容．随着高考改革的不断深入，概率问题正逐步成为高考的热点内容．(2)解决概率应用问题时，首先熟悉几种常见的概率类型，熟练掌握其计算公式；其次还要弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么联系．4．求随机变量的分布列，重要的基础是概率的计算，如古典概率、互斥事件概率、相互独立事件同时发生的概率，n 次独立重复试验有k 次发生的概率等．5．对离散型随机变量的方差应注意：(1)D (X )表示随机变量X 对E (X )的平均偏离程度，D (X )越大，表明平均偏离程度越大，说明X 的取值越分散，反之D (X )越小，X 的取值越集中，在E (X )附近，统计中常用来描述X 的分散程度；(2)D(X)与E(X)一样也是一个实数，由X 的分布列唯一确定．第一节 分类计数与分步计数原理知识梳理1．分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有两类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2种不同的办法．定义拓展：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的办法．2．分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成两个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1·m 2种不同的方法．定义拓展：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同方法，那么完成这件事共有N ＝m 1·m 2·…·m n 种不同的方法．基础自测1．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有( )A ．21种B ．315种C ．143种D ．153种解析：分三类，每类分两步：选语文、数学各1本，有9×7＝63种选法，选语文、英语各1本，有9×5＝45种选法，选数学、英语各1本，有5×7＝35种选法．所以共有63＋45＋35＝143种选法．故选C.答案：C1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．28解析：甲、乙至少有1个入选而丙没有入选的不同选法为C 27＋C 27＋C 17＝49(种)．答案：C3．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有______种．解析：分5步完成，每一步有两种不同的方法，故不同的报名方法有25＝32(种)．答案：324．椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆有________个．解析：由题知m ＜n ，根据m 的取值分为5类：m ＝1时，有6个椭圆；m ＝2时，有5个椭圆；m ＝3时，有4个椭圆；m ＝4时，有3个椭圆；m ＝5时，有2个椭圆．共有6＋5＋4＋3＋2＝20个．答案：201．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种解析：若取出1本画册，3本集邮册，有C14种赠送方法；若取出2本画册，2本集邮册，有C24种赠送方法，则不同的赠送方法有C14＋C24＝10种．故选B.答案：B2．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279解析：不重复的三位数字有：A 39＋A 12A 29＝648个．则有重复数字的三位数有：A 19A 110A 110－648＝252个．答案：B1．将5名学生分配到甲、乙2个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析：安排方法可分为两类：甲宿舍3名，乙宿舍2名，方法数为C 35C 22＝10(种)；乙宿舍3名，甲宿舍2名，方法数为C 25C 33＝10(种)．所以总共有C 35C 22＋C 25C 33＝20种安排方法．故选B.答案：B2．(2013·深圳一模)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A．18种 B．15种 C．12种 D．9种解析：设满足题意的“六合数”为2abc，则a＋b＋c＝4，于是满足条件的a，b，c可分以下四种情形：(1)一个为4，两个为0，共有3种；(2)一个为3，一个为1，一个为0，共有A33＝6种；(3)两个为2，一个为0，共有3种；(4)一个为2，两个为1，共有3种．则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15种．故选B.答案：B。
《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件：10-2 排列与组合(共56张PPT)
)
m A n m B．Cn ＝ n！ r－1 r D．Cr ＝ C ＋ C － n n 1 n－1
答案 B
m A n 解析 Cm ＝ . n m！
课前自助餐
授人以渔
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课时作业
高考调研
新课标版 ·高三数学（理）
2．从 1,2,3,4,5,6 六个数字中，选出一个偶数和两个奇数， 组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有( A．9 个 C．36 个 B．24 个 D．54 个 )
故共有 590 种．
课前自助餐 授人以渔 自助餐
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高考调研
新课标版 ·高三数学（理）
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新课标版 ·高三数学（理）
5 A7 x －Ax 例 1 (1)解方程 ＝89. A5 x
1 1 2 (2)解不等式 3－ 4< 5. Cn Cn Cn
【思路】 (1)可直接使用公式 Am n＝ n！ . n－m！
新课标版 ·高三数学（理）
2．两个公式 (1)排列数公式
m An ＝
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝
n！ . n－m！
规定 0！＝1. (2)组合数公式 nn－1n－2…n－m＋1 m Cn ＝ m！ 1 . 规定 C0 n＝
n！ ＝ . m！n－m！
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新课标版 ·高三数学（理）
3．组合数的两个性质 (1)Cm n＝
－m Cn n ；
m－1 m m C ＋ C n (2)Cn＋1＝ n
.
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2015届高考数学(理)一轮精品复习课件10.2排列与组合(人教版)
乙排好后,丙、丁只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的所有排法共有
3×3×1=9(种). (3)可先排丙、丁有A24种排法,则甲、乙只有一种排法,由分步计数原理满足
2.组合与组合数:“一个组合”是指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个 元素合成一组”,它是一件事情;“组合数”是指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数值.组合数公式的推导
要借助于排列数公式,公式C������������
=
AA������������������������=
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基础自测
1.8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为( )
A.A88A29
B.A88 C92
C.A88A27
D.A88 C72
关闭
运用插空法.先将 8 名学生排列,有A88种排法;再把 2 位老师插入 8 名学生形关闭 成A的 9 个空中,有A29种排法,因此共有A88A29种排法.
10.2 排列与组合
-2-
1.理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3.能利用排列与组合解决简单的实际问题.
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1.排列与排列数:“排列”与“排列数”是两个不同的概念,“一个排列”是
指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它
人去的内选科派一方科法医生种的数选是法有C55=1 种.,故符合条件的选法
2015届高考数学一轮总复习 10-6排列与组合
2015届高考数学一轮总复习10-6排列与组合基础巩固强化一、选择题1．(2013·哈尔滨模拟)如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有()A．9种B．11种C．13种D．15种[答案] C[解析]有一个点脱落时有2种，有两个点脱落时有C24＝6种，有三个点脱落时有C34＝4种，四个点都脱落时有1种，共有2＋6＋4＋1＝13种．2．(2013·河北沧州一模)10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2个站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为()A．C27A55B．C27A22C．C27A25D．C27A35[答案] C[解析]从后排抽2人的方法种数是C27；前排的排列方法种数是A25，由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C27A25.3．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为()A．16 B．18C．24 D．32[答案] C[解析]若将7个车位从左向右按1～7进行编号，则该3辆车有4种不同的停放方法：(1)停放在1～3号车位；(2)停放在5～7号车位；(3)停放在1、2、7号车位；(4)停放在1、6、7号车位．每一种停放方法均有A33＝6种，故共有24种不同的停放方法．4．(2013·海口模拟)某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展，某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团．且其中甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为()A．72 B．108C．180 D．216[解析] 设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C 14种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有C 24A 33种方法，故共有C 14C 24A 33种参加方法；(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C 24种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A 33种方法，这时共有C 24A 33种参加方法；综合(1)(2)，共有C 14C 24A 33＋C 24A 33＝180种参加方法．[解法探究] 由于甲是特殊元素，故按甲进行分类．第一类，甲自己去一个社团，有C 13种选法，将其余4人中选2人有C 24种选法，将这2人和其余2人分派到三个社团共有A 33种方法，∴共有C 13C 24A 33＝108种．第二类，甲与另外一人同去一个社团，先安排甲有C 13种选法，然后将剩余4人分派到四个社团有A 44种，∴共有C 13A 44＝72种，∴总共有108＋72＝180种参加方法．5．(2013·四川理，8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a 、b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20 [答案] C[解析] 解法1：记基本事件为(a ，b )，则基本事件构成的集合为Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lg a －lg b ＝lg a b ，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lg ab 的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)，故选C.解法2：由于lg1－lg3＝lg3－lg9，lg3－lg1＝lg9－lg3，所以共有不同值A 25－2＝18个． 6．一次演出，原计划要排4个节目，因临时有变化，拟再添加2个小品节目，若保持原有4个节目的相对顺序不变，则这6个节目不同的排列方法有( )A ．30种B ．25种C ．24种D ．20种 [答案] A[解析] 原来4个节目的相对顺序不变，故4个节目形成5个空档，将这两个节目插入．(一)当两节目不相邻时，有A 25＝20种选法，(二)当两节目相邻时，有A 22·C 15＝10种排法，∴共有20＋10＝30种不同排法．二、填空题7．由1、2、3、4、5、6组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是________．(以具体数字作答)[解析]首位数字是奇数时有A33·A33种排法，首位数字是偶数时也有A33·A33种排法，所以一共可以组成2A33·A33＝72个奇偶数字相间且无重复数字的六位数．8.某广场中心建造一个花圃，花圃分成5个部分(如图)．现有4种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种1种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有________种．[答案]72[解析]依题意，按花圃的5个部分实际栽种花的颜色种数进行分类计数：第一类，花圃的5个部分实际栽种花的颜色种数是3时，满足题意的方法数共有A34＝24种；第二类，花圃的5个部分实际栽种花的颜色种数是4时，满足题意的方法数共有A44×2＝48种．因此，满足题意的方法数共有24＋48＝72种．9．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有________．[答案]24种[解析]将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学生有C24A33种分配方案，其中甲同学分配到A班共有C23A22＋C13A22种方案．因此满足条件的不同方案共有C24A33－C23A22－C13A22＝24(种)．10．某农科院在3行3列9块试验田中选出3块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为________．[答案]1 14[解析]如图，由于每行每列都有一块试验田种植水稻，∴当1处种植水稻时，只能是(1,5,9)或(1,6,8)，依此可列出所有可能种植方法为：(1,5,9)，(1,6,8)，(2,6,7)，(2,4,9)，(3,5,7)，(3,4,8)，共6种，又从9块试验田中选3块的选法为C39，∴所求概率为P＝6C39＝114.能力拓展提升一、选择题11．一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这颗骰子连续投掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次成等比数列的概率为( )A.1108B.1216C.136D.127 [答案] D[解析] 连续抛掷三次骰子可得结果为63＝216种，其中依次构成等比数列的情况有 (1)公比为1，共6种．(2)公比为2，只有1种，即1,2,4，. (3)公比为12，只有1种，即4,2,1.∴共有8种，∴P ＝8216＝127.12．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )A ．10B ．11C ．12D ．15 [答案] B[解析] 与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C 24＝6(个) 第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有C 14＝4(个) 第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C 04＝1(个) 与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11(个)13．(2013·杭州模拟)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )A ．60B ．48C ．36D ．24 [答案] B[解析] 长方体中，含有四个顶点的平面有两类．第一类侧面、底面，对其中每一个面(如底面ABCD )，与其平行的直线有6条，共有6×6＝36个“平行线面组”；第二类对角面，对其中每一个面与其平行的直线有2条，共有6×2＝12个“平行线面组”．∴共有36＋12＝48个，选B.二、填空题14．在空间直角坐标系O－xyz中有8个点：P1(1,1,1)、P2(－1，1,1)、…、P7(－1，－1，－1)、P8(1，－1，－1)(每个点的横、纵、竖坐标都是1或－1)，以其中4个点为顶点的三棱锥一共有________个(用数字作答)．[答案]58[解析]这8个点构成正方体的8个顶点，此题即转化成以正方体的8个顶点中的4个点为顶点的三棱锥一共有多少个．从正方体的8个顶点中任取4个，有不同取法C48种，其中这四点共面的(6个对角面、6个表面)共12个，∴这样的三棱锥有C48－12＝58个．15．(2013·潍坊五校联考)数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行这个数为N1，N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是________．[答案]240[解析]由题意知6必在第三行，安排6有C13种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A25种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C12种方法，剩下的两个数字有A22种排法，按分步计数原理，所有排列的个数是C13×A25×C12×A22＝240.三、解答题16．(2012·合肥调研)要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．[解析](1)间接法．从12人中选5人有C512种选法，这5人全为男生的选法有C57种，∴不同选法有C512－C57＝771(种)．(2)按“至多有2名女生”分类：2名女生有C25C37种，1名女生有C15C47种，无女生有C57种，∴共有不同选法C25C37＋C15C47＋C57＝546(种)．(3)只需再从剩余10人中选取3人，不同选法共有C310＝120(种)．(4)间接法．C512－C310＝672(种)．(5)间接法．男甲与女乙都不入选时有C510种，∴共有不同选法C512－C510＝540(种)．考纲要求1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．理解排列、组合的概念．3．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．4．会用分类加法计数原理、分步乘法计数原理和排列组合知识解决一些简单的实际问题．补充说明1．排列、组合问题的类型及解答策略排列、组合问题，通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样，解法灵活．实践证明，备考有效的方法是将题型与解法归类，识别模式、熟练运用．下面介绍常见排列组合问题的解答策略．(1)相邻元素捆绑法．在解决某几个元素必须相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列．[例1](2012·山西四校联考)有七名同学站成一排照相，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有________种．[答案]192[分析]甲站正中间，左边、右边各3人，乙、丙相邻排列后作为一个“整体元素”，按这个整体元素的站位考虑有4种情况，其他位置可任意排列．[解析]依题意得，满足题意的不同站法共有4·A22·A44＝192种．(2)相离问题插空法．相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．[例2](2013·郑州第一次质量预测)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A．12种B．18种C．24种D．48种[答案] C[解析]将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A22·A22种方法．而后将丙、丁进行插空，有3个空，有A23种排法，故共有A22·A22·A23＝24种方法．(3)定序问题属组合．排列时，如果限定某些元素或所有元素保持一定顺序称为定序问题，定序的元素属组合问题．[例3]6个人排一队参观某项目，其中甲、乙、丙三人进入展厅的次序必须是先乙，再甲，最后丙，则不同的列队方式有________种．[答案]120[解析]解法1：由于甲、乙、丙三人的次序已定，故只需从6个位置中选取3个排上其余3人，有A36种排法，剩下的三个位置排甲、乙、丙三人，只有一种排法，∴共有A36＝120种．解法2：先选取3个位置排甲、乙、丙三人有C36种方法，剩下3个位置站其余3人，有A33种方法，∴共有C36·A33＝120种．(4)定元、定位优先排．在有限制条件的排列、组合问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．[例4](2012·太原部分重点中学联考)6位同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为()A．12B．9C．6D．5[答案] B[解析]当乙、丙中有一人在A社区时有C12C13C22＝6种安排方法；当乙、丙两人都在B社区时有C13C22＝3种安排方法，所以共有9种不同的安排方法．(5)至多、至少间接法．含“至多”、“至少”的排列组合问题，是需要分类问题．可用间接法，即排除法，但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况．[例5]从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有() A．36种B．30种C．42种D．60种[答案] A[解析]解法1(直接法)：选出的3名志愿者中含1名女生有C12·C26种选法，含2名女生有C22·C16种选法，∴共有C12C26＋C22C16＝36种选法．解法2(间接法)：若选出的3名全是男生，则有C36种选法，∴至少有一名女生的选法数为C38－C36＝36种．(6)选排问题先选后排法．对于排列组合的混合应用题，一般解法是先选(组合)后排(排列)．[例6]四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有________种(用数字作答)．[答案]144[解析]先从四个小球中取两个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有A34种不同的放法，据分步计数原理，共有C24·A34＝144种不同的放法．(7)部分符合条件淘汰法．在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求．[例7]过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有()A．18对B．24对C．30对D．36对[答案] D[解析]三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C46－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．(8)数字问题要弄清可否重复及首位不能为0.[例8]用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．328C．360 D．648[答案] B[解析]利用分类计数原理，共分两类：(1)0作个位，共A29＝72个偶数；(2)0不作个位，共A14·A18·A18＝256个偶数，共计72＋256＝328个偶数，故选B.2．建模思想[例9]一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，n∈N*)，记可能的爬行方法总数为f(m，n)，则f(m，n)＝________.[答案]C m m＋n[解析]从原点O出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m，n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m，n)是m个0和n个1的不同排列方法数．m个0和n个1共占m＋n个位置，只要从中选取m个放0即可．∴f(m，n)＝C m m＋n.[点评](1)例如f(3,4)＝C37，其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行．(2)抽象建模后就是一个含相同数字的纯粹排列组合问题．[例10]方程x＋y＋z＝8的非负整数解的个数为________．[答案]45[解析]把x、y、z分别看作是x个1，y个1和z个1，则共有8个1，问题抽象为8个1和两个十号的一个排列问题．由于x、y、z非负，故允许十号相邻，如11＋＋111111表示x＝2，y＝0，z ＝6，＋11111111＋表示x＝0，y＝8，z＝0等等，∴不同排法总数为从10个位置中选取2个放十号，∴方程的非负整数解共有C210＝45个．[例11]一条街道上共有12盏路灯，为节约用电又不影响照明，决定每天晚上十点熄灭其中的4盏，并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏，问不同熄灯方法有多少种．[解析]记熄灭的灯为0，亮灯为1，则问题是4个0和8个1的一个排列，并且要求0不相邻，且不排在两端，故先将1排好，在8个1形成的7个空中，选取4个插入0，共有方法数C47＝35种．[点评]实际解题中，先找出符合题设条件的一种情形，然后选取一种替代方案，注意是否相邻、相间等受限条件，然后确定有无顺序是排列还是组合，再去求解．[例12]如图，从上往下读(不能跳读)构成句子“构建和谐社会，创美好未来”的不同读法种数是()构建建和和和谐谐谐谐社社社社社会会会会会会创创创创创美美美美好好好未未来A．250 B．240C．252 D．300[答案] C[解析]要组成题设中的句子，则每行读一字，不能跳读．每一种读法须10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从左上角到右下角方向读的，故共有不同读法C510＝252种．3．枚举法[例13]如果直线a与b异面，则称a与b为一对异面直线，六棱锥的侧棱与底边共12条棱所在的直线中，异面直线共有________对．[答案]24[解析]六棱锥的侧棱都相交，底面六条边所在直线都共面，故异面直线只可能是侧棱与底面上的边．考察P A与底面六条边所在直线可用枚举法列出所有异面直线(P A，BC)，(P A，CD)，(P A，DE)，(P A，EF)共四对．同理与共它侧棱异面的底边也各有4条，故共有4×6＝24对．备选习题1．(2013·山东理，10)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A．243B．252C．261D．279[答案] B[解析]构成所有的三位数的个数为C19C110C110＝900，而无重复数字的三位数的个数为C19C19C18＝648，故所求个数为900－648＝252，应选B.2．(2012·浙江理，6)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种[答案] D[解析]取出的4个数和为偶数，可分为三类．四个奇数C45，四个偶数C44，二奇二偶，C25C24.共有C45＋C44＋C25C24＝66种不同取法．3．(2013·昆明重点高中检测)某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为()A．720 B．520C．600 D．360[答案] C[解析]解法1：根据题意，分2种情况讨论：若甲、乙其中一人参加，有C12·C35·A44＝480种；若甲、乙2人都参加，共有C25·A44＝240种发言顺序，其中甲、乙相邻的情况有C25·A22·A33＝120种，故有240－120＝120种．则不同的发言顺序种数为480＋120＝600.解法2：C12C35A44＋C25A22A23＝600种．4．(2013·湖北荆门质检)第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请A，B，C三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A比赛项目，则不同的安排方案共有()A．20种B．24种C．30种D．36种[答案] B[解析]解法1：4人分到A，B，C三个项目共有C24A33种，其中A项目有甲与另一人的分法有A33种，A项目只有甲一人的分法有C23A22种．故符合题意的安排方案有C24A33－A33－C23A22＝24，故选B.解法2：C12A33＋C12C23A22＝24.5．(2013·重庆理，13)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．[答案]590[解析]方法一：从12名医生中任选5名，不同选法有C512＝792种．不满足条件的有：只去骨科和脑外科两科医生的选法有C57＝21种，只去骨科和内科两科医生的选法有C58－C55＝55种，只去脑外科和内科两科医生的选法有C59－C55＝125种，只去内科一科医生的选法有C55＝1种，故符合条件的选法有：792－21－55－125－1＝590种．方法二：设选骨科医生x名，脑外科医生y名，则需选内科医生(5－x－y)人．(1)当x＝y＝1时，有C13·C14·C35＝120种不同选法；(2)当x＝1，y＝2时，有C13·C24·C25＝180种不同选法；(3)当x＝1，y＝3时，有C13·C34·C15＝60种不同选法；(4)当x＝2，y＝1时，有C23·C14·C25＝120种不同选法；(5)当x＝2，y＝2时，有C23·C24·C15＝90种不同选法；(6)当x＝3，y＝1时，有C33·C14·C15＝20种不同选法．所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．[点评]按骨科医生去的人数可分三类：骨科医生去1名，2名，3名．不同选派方法有：C13(C14C35＋C24C25＋C34C15)＋C23(C14C25＋C24C15)＋C33C14C15＝590种．11。
排列与组合计数原理概率随机变量及其分布考
解析：(1)据题意，8个座位中有5个空位，两端不能坐人， 3人就坐不相邻．因此，只要将3人插入5个空位之间的4个空当
即可，共有 A34 ＝24种坐法．
1种放法．由分步计数原理，共A有83 ＝336种放法．
(2)因B与C必须相邻，故把它们捆绑在一起视为一个整体元
素B′ ，则B′，D，E不同的排列方式有 种A，33 因E必须在D的前
面传递，所以不同的排列方式有种 ，A又33B与C的排列方式有
种，从A而33 不同的排列方式有 × A＝2336种2A．22
(2)问题等价于6人站成一排，其中甲站乙的前面，乙站丙 的前面，求共有多少种站法．先从6个位置中选3个站其余3人
，有 A种36 站法；再将甲、乙、丙三人按前述顺序站在其余3个 空位上，只有1种站法．所以共有 A＝36120种可能结果．
答案：(1)24 (2)120
考点二 结合两个计数原理求排列数
【例2】 从数字0,1,3,5,7中取出不同的3个作系数． (1)可组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0? (2)其中有实数根的有几个？ 思路点拨：(1)二次方程要求a不为0，故a只能在1,3,5,7中 选，b，c没有限制；(2)二次方程要有实根，需Δ＝b2－4ac≥ 0 ，再对c分类讨论．
答案：(1)336 (2)6ห้องสมุดไป่ตู้
点评：排列数计数是分步计数原理的一种特殊情况，在 应用排列数公式进行计数时，一是分清“元素”与“位置” ，二是计数时因元素在不同的位置而表示不同的方法数即为 排列问题．
2015年三年高考数学(理)真题精编——专题11排列组合、二项式定理
一、选择题3. 【2014天津，理6】如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??．则所有正确结论的序号是 （ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③（D ）①②④【答案】D ． 【解析】考点：1．弦切角定理；2．切线长定理；3．相交弦定理．4. 【2015高考天津，理5】如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为( ) （A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）52【答案】A【解析】由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB CN NE CM MD ⋅=⋅∴⋅=⋅，所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===，故选A.【考点定位】相交弦定理.6. 【2014高考广东卷.理.8】设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .130 【答案】D【考点定位】本题考查分类计数原理，属于拔高题7. 【 2014湖南4】5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中32y x 的系数是（ ） A.20- B.5- C.5 D.20 【答案】A【解析】根据二项式定理可得第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭,则2n =时,()()2532351121022022n n n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以23x y 的系数为20-,故选A.【考点定位】二项式定理8. 【2013山东，理10】用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()．A ．243B ．252C ．261D ．279 【答案】：B【解析】：构成所有的三位数的个数为11191010C C C ＝900，而无重复数字的三位数的个数为111998C C C ＝648，故所求个数为900－648＝252，应选B.11. 【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n=，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．13. 【2013课标全国Ⅱ，理5】已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝()．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1 【答案】：D17. 【2014四川，理2】在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ）A ．30B ．20C ．15D ．10 【答案】C 【解析】试题分析：623456(1)(161520156)x x x x x x x x x +=++++++，所以含3x 项的系数为15.选C 【考点定位】二项式定理.18. 【2014四川，理6】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 【答案】B【考点定位】排列组合.19. 【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.【考点定位】排列组合.24. 【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y的系数为212532C C C =30，故选 C.【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.25. 【2013课标全国Ⅰ，理9】设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】：B【解析】：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 26. 【2014年.浙江卷.理5】在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 210 答案：C解析：由题意可得()()()()3211236646443,02,11,20,32060364120f f f f C C C C C C ++=+++=+++=，故选C考点：二项式系数.30. 【2014高考重庆理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168 【答案】B 【解析】试题分析：将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有32132262224A A A =⨯⨯=(种)；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有31113224622496A A A A =⨯⨯⨯=(种)；根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.故选B.考点：1、分类加法计数原理；2、排列.34. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷2】若二项式7)2(xa x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ）A.2B. 54C. 1D. 42 【答案】C 【解析】试题分析：因为r r r r r r r x a C xa x C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ， 所以84227227=⋅⋅-a C ，解得1=a ，故选C.考点：二项式定理的通项公式，容易题.35. 【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D【考点定位】二项式系数，二项式系数和.二、填空题5. 【2013天津，理10】6x⎛ ⎝的二项展开式中的常数项为__________．【答案】156. 【2013天津，理11】已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为π4,3⎛⎫⎪⎝⎭，则|CP |＝__________.【答案】【解析】由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C 的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,)，所以|CP|＝7. 【2013天津，理13】如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为__________．【答案】83【解析】∵AE 为圆的切线， ∴由切割线定理，得AE2＝EB·ED. 又AE ＝6，BD ＝5，可解得EB ＝4. ∵∠EAB 为弦切角，且AB ＝AC ， ∴∠EAB ＝∠ACB ＝∠ABC.∴EA ∥BC.又BD ∥AC ， ∴四边形EBCA 为平行四边形． ∴BC ＝AE ＝6，AC ＝EB ＝4. 由BD ∥AC ，得△ACF ∽△DBF ， ∴45CF AC BF BD ==. 又CF ＋BF ＝BC ＝6，∴CF ＝83.8. 【2014天津，理13】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin r q =和直线sin a r q =相交于,A B 两点．若AOB D 是等边三角形，则a 的值为___________．【答案】3．考点：直线和圆的极坐标方程．9. 【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以 222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.11. 【2013高考北京理第12题】将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________． 【答案】96 【解析】试题分析：连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×1343C A ＝96(种)．考点：排列组合.12. 【2014高考北京理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻， 且产品A 与产品C不相邻，则不同的摆法有 种. 【答案】36考点：排列组合，容易题.13. 【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）【答案】40【解析】利用通项公式，5152r r r r T C x -+=⋅，令3r =，得出3x 的系数为325240C ⋅=【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.16. 【2014高考广东卷.理.11】从0.1.2.3.4.5.6.7.8.9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .【答案】16.【考点定位】本题考查排列组合与古典概型的概率计算，属于能力题.17. 【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 .【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrr r r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【考点定位】二项式定理．18. 【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了24040391560A =⨯=条毕业留言，故应填入1560．【考点定位】排列问题．20. 【2014山东.理14】 若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 .【答案】2【解析】26()bax x +展开式的通项为266123166()()r r r r r r r r b T C ax a b C x x---+==，令1233,r -=得3r =，所 以，由6333620a b C -=得1ab =，从而2222a b ab +≥=，当且仅当a b =时，22a b +的最小值为2.22. 【2014新课标，理13】 ()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)【答案】12【解析】因为10110r r r r T C x a -+=，所以令107r -=，解得3r =，所以373410T C x a ==157x ，解得12a =. 24. 【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．25. 【2013四川，理11】二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________．（用数字作答）【答案】10【解析】由二项展开式的通项公式知，含23x y 的项是32345T C x y =，所以系数为3510C =，故填10.【考点定位】本题考查求二项展开式的指定项系数，属于基础题.26. 【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）.【答案】40-. 【解析】55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.【考点定位】二项式定理.27. 【2014课标Ⅰ，理14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________ 【答案】A28. 【2014课标Ⅰ，理13】()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）【答案】20-【解析】由题意，8()x y +展开式通项为8k k18C y k k T x -+=，08k ≤≤．当7k =时，777888T C xy xy ==；当6k =时，626267828T C x y x y ==，故()()8x y x y -+的展开式中27x y 项为726278(y)2820x xy x y x y ⋅+-⋅=-，系数为20-．29. 【2014年.浙江卷.理14】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）. 答案：60解析：不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有223436C A =，二是有三人各获得一张，共有3424A =，因此不同的获奖情况有60种考点：排列组合.30.【2013年.浙江卷.理11】设二项式5的展开式中常数项为A ，则A ＝__________.【答案】：－1031. 【2013年.浙江卷.理14】将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有__________种(用数字作答)． 【答案】：480 【解析】：如图六个位置.若C 放在第一个位置，则满足条件的排法共有55A 种情况；若C 放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A ，B ，再在余下的3个位置排D ，E ，F ，共24A ·33A 种排法；若C 放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A ，B ，其余位置排D ，E ，F ，则共有22A ·33A 种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A ，B ，再在其余3个位置排D ，E ，F ，共有23A ·33A 种排法；若C在第4个位置，则有22A 33A ＋23A 33A 种排法；若C 在第5个位置，则有24A 33A 种排法；若C 在第6个位置，则有55A 种排法．综上，共有2(55A ＋24A 33A ＋23A 33A ＋22A 33A )＝480(种)排法．34. 【2013高考重庆理第13题】从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)． 【答案】59035. 【2015高考重庆，理12】53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =. 【考点定位】二项式定理36. 【2014，安徽理13】设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为nn x a x a x a a ++++ 2210．若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．【答案】3考点：1．二项展开式的应用．37. 【2013，安徽理11】若8x ⎛⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______．【答案】21． 【解析】二项式8x ⎛ ⎝展开式的第1r +项：88333188841843,732rrr rrr r r T C xC a x r r C a a-=-+==?=?=?．【命题立意】考查二项式定理．【易错警示】注意二项展开式的第1r +项的二项式系数为rn C ，上标是r ，不是r +1．39. 【2015高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x +展开的通项372141771()()r r r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.42. 【2013上海,理5】设常数a ∈R .若25()a x x+的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______.【答案】－2【解析】T r ＋1＝255C ()()rr r ax x-,2(5－r )－r ＝7⇒r ＝1，故15C a ＝－10⇒a ＝－2.45. 【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答）【答案】80【解析】()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．【考点定位】二项式定理．。
高考(2013-2015)数学(理)试题分项：专题11 排列组合、二项式定理
高考（2013-2015）数学（理）试题分项：专题11 排列组合、二项式定理一、选择题1.【2014天津，理6】如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CE BE DE ；④AF BD AB BF ．则所有正确结论的序号是 （ ）EFDABC（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④2. 【2015高考天津，理5】如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为( ) （A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）523. 【2014高考广东卷.理.8】设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .1304. 【 2014湖南4】5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中32y x 的系数是（ ）A.20-B.5-C.5D.205. 【2013山东，理10】用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()．A ．243B ．252C ．261D ．2796. 【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77.【2013课标全国Ⅱ，理5】已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝()．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－18. 【2014四川，理2】在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ）A ．30B ．20C ．15D ．109. 【2014四川，理6】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，学科网最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种10. 【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个11.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）6012. 【2013课标全国Ⅰ，理9】设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．813. 【2014年.浙江卷.理5】在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 21014.【2014高考重庆理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.16815. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷2】若二项式7)2(x a x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （ ）A.2B. 54C. 1D.4216. 【2015高考湖北，理3】已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102D ．9218. (2013辽宁，理7)使3nx⎛+ ⎝(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )．A ．4B ．5C ．6D ．719. 【2014辽宁理6】把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A ．144B ．120C ．72D ．2420.【2015湖南理2】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D-621. 【2013四川理8】从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b-的不同值的个数是（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20二、填空题1.【2013天津，理10】6x⎛- ⎝的二项展开式中的常数项为__________．2. 【2013天津，理11】已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为π4,3⎛⎫⎪⎝⎭，则|CP |＝__________.3. 【2013天津，理13】如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为__________．4. 【2014天津，理13】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a 相交于,A B 两点．若AOB 是等边三角形，则a 的值为___________．5. 【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .6. 【2013高考北京理第12题】将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．7. 【2014高考北京理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻， 且产品A 与产品C不相邻，则不同的摆法有 种.8. 【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）9. 【2014高考广东卷.理.11】从0.1.2.3.4.5.6.7.8.9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .10. 【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 .11. 【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）12.【2014山东.理14】 若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 . 13.【2014新课标，理13】 ()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 14.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．15. 【2013四川，理11】二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________．（用数字作答） 16. 【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）.17. 【2014课标Ⅰ，理14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________18. 【2014课标Ⅰ，理13】()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 19. 【2014年.浙江卷.理14】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.20. 【2013年.浙江卷.理11】设二项式53x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为A ，则A ＝__________. 21. 【2013年.浙江卷.理14】将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有__________种(用数字作答)．22.【2013高考重庆理第13题】从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)．23. 【2015高考重庆，理12】532x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 24. 【2014，安徽理13】设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为nn x a x a x a a ++++ 2210．若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．25. 【2013，安徽理11】若83x x ⎛ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______． 26.【2015高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）27.【2013上海,理5】设常数a ∈R .若25()a x x+的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______. 28.【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答）。
2015年高考数学(理)试题分类汇编：专题11 排列组合、二项式定理2015年高考数学(理)试题分类
1.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【考点定位】二项式定理．【名师指点】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n ab -+T =．2.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y的系数为212532C C C =30，故选 C.【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师指点】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.3.【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个【答案】B【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.【考点定位】排列组合.【名师指点】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.4.【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯. 【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师指点】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：nn n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等=⋅⋅⋅++++420n n n C C C 15312-=⋅⋅⋅++++n n n n C C C .5、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）【答案】1560．【考点定位】排列问题．【名师指点】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．6.【2015高考重庆，理12】532x x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为71535215511()()()22k k kkk k k T C x C x x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =. 【考点定位】二项式定理【名师指点】()na b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指kn C ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.7.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 .【答案】6．【解析】由题可知()()()44214411r rrrrr r T CxC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【考点定位】二项式定理．【名师指点】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第1r +项为：()*12,r n r rr n T C a b n N n r N -+=∈≥∈且．8.【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）.【答案】40-. 【解析】55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.【考点定位】二项式定理.【名师指点】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.9.【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师指点】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当2r =时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.10.【2015高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x+展开的通项372141771()()r r r r rr T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师指点】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.11.【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答）【答案】80【解析】()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．【考点定位】二项式定理．【名师指点】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．12.【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）【答案】40【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师指点】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=，准确计算指定项的系数.13.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．【名师指点】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．【2015高考湖南，理6】已知5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）3 B.3 C.6 D-6 【答案】D. 【解析】试题分析：r rr rr x a C T -+-=2551)1(，令1=r ，可得6305-=⇒=-a a ，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师指点】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握nb a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为r r n r n r b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解.【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式【名师指点】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．【2015高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C -=-= 【考点定位】排列组合【名师指点】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．。
2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义：专题六 第二讲 排列、组合与二项式定理
第二讲 排列、组合与二项式定理(选择、填空题型)1．(2014·辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．24 解析：选D 3人中每两人之间恰有一个空座位，有A 33×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A 33×A 22＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法．2．(2014·湖南高考)⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20解析：选A 由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝⎛⎭⎫12x 2(－2y)3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20，选A.3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)(x －y)(x ＋y)8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)解析：(x ＋y)8中，T r ＋1＝C r 8x 8－r y r ，令r ＝7，再令r ＝6，得x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.答案：－20 4．(2014·北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．解析：将A 、B 捆绑在一起，有A 22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A 44种摆法，共有A 22A 44＝48种摆法，而A 、B 、C 3件在一起，且A 、B 相邻，A 、C 相邻有CAB 、BAC 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A 33＝12种摆法．故A 、B 相邻，A 、C 不相邻的摆法有48－12＝36种．答案：361．两个计数原理 (1)分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ＋n 种不同的方法．(2)分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ×n 种不同的方法．2．两个重要公式 (1)排列数公式A mn ＝n ！(n －m )！＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(n ，m ∈N *，且m ≤n)．(2)组合数公式C mn ＝n ！m ！(n －m )！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n)．3．三个重要性质和定理 (1)组合数性质①C m n ＝C n －mn(n ，m ∈N *，且m ≤n)；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n (n ，m ∈N *，且m ≤n)； ③C 0n ＝1.(2)二项式定理(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k ·b k ＋…＋C n n b n ，其中通项T r ＋1＝C r n a n －r b r. (3)二项式系数的性质①C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －rn；②C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n；③C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.1．某展览馆在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生来参观，若每天最多安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有 ( )A ．50种B ．60种C ．120种D ．210种2．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则不同的放法共有( )A ．15种B ．18种C ．19种D ．21种 3．(2014·齐鲁名校联考)某校开设了9门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门课程由于上课时间相同，所以每位学生至多选修1门，学校规定每位学生选修4门，则不同的选修方案共有( )A ．15种B ．60种C ．75种D ．100种 4.(2014·潍坊模拟)现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有2个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有________种．(用数字作答)[自主解答] 1.第一步，先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C 16，第二步，安排另两所学校，在剩下的五天中任选两天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A 25种，按照分步乘法计数原理可知共有C 16×A 25＝120种不同的安排方法，故选C.2．依题意，对这3个盒子中所放的小球的个数情况进行分类计数：第一类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,2,6，此类放法有A 33＝6(种)；第二类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,3,5，此类放法有A 33＝6(种)；第三类，这3个盒子中所放的小球的个数是2,3,4，此类放法有A 33＝6(种)．因此满足题意的放法共有6＋6＋6＝18(种)，选B.3．由题意知，满足题意的选修方案有两类：第一类是所选的4门全来自于除A ，B ，C外的6门课程，相应的不同选修方案有C46＝15种；第二类是所选的4门中有且仅有1门来自于A，B，C，另3门从除A，B，C外的6门课程中选择，相应的不同选修方案有C36C13＝60种．由分类加法计数原理可得满足题意的选修方案总数是15＋60＝75.故选C.4．从5个小正方形中选取2个相邻的情况有4种，如图所示，当1和2涂红色时，有2种涂法，当2和3涂红色时，有1种涂法，当3和4涂红色时，有1种涂法，当4和5涂红色时，有21 2 3 4 5[答案] 1.C 2.B 3.C应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．热点二排列与组合问题命题角度(1)有限制条件的排列应用题，如T1；(2)有限制条件的组合应用题，如T2；(3)排列与组合的综合应用，如T3.1．(2014·重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．1682．(2014·济南四校联考)某著名高中现有4名优秀学生甲、乙、丙、丁全部被保送到A、B、C三所名校，每所学校至少去1名，且甲不去A校，则不同的保送方案有________种．3．(2014·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．[自主解答] 1.依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.2．若甲单独去一所学校，则有C23C12A22＝12种；若甲不单独去一所学校，则有C13C12A22＝12种，所以不同的保送方案有24种．3．分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C23C11A24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)．[答案] 1.B 2.24 3.601．若题1中改为“同类节目必须相邻”，则有多少种不同的排法？解：(捆绑法)将歌舞类节目，2个小品类节目分别各自作一个节目与相声类节目排列，共有A33种不同排法．又歌舞类节目有A33种排法，小品类节目有A22种排法，所以共有A33×A33×A22＝72种不同排法．2．若题1中改为“相声类节目不排第一个，小品类节目不排最后一个，则有多少种不同的排法？”解：分两类：第一类，若第一个节目排歌舞类，由于最后一个不排小品类节目，有A13·A24 A33＝3×4×3×3×2×1＝216(种)排法；第二类：若第一个节目排小品类节目，则有A12·A14·A44＝192(种)排法．故共有216＋192＝408(种)不同的排法．1．解决排列组合问题应遵循的原则先特殊后一般，先选后排，先分类后分步． 2．解决排列组合问题的11个策略(1)相邻问题捆绑法；(2)不相邻问题插空法；(3)多排问题单排法；(4)定序问题倍缩法；(5)多元问题分类法；(6)有序分配问题分步法；(7)交叉问题集合法；(8)至少或至多问题间接法；(9)选排问题先选后排法；(10)局部与整体问题排除法；(11)复杂问题转化法．3．解决排列组合问题的四个角度解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；热点三 二项式定理及应用命题角度(1)利用通项公式求特定项或特定项系数，如T1，T2；(2)与二项式系数有关的问题，如T3.1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)(x ＋a)10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)2．(2014·安徽高考)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.3．(2014·临沂模拟)已知⎝⎛⎭⎫2x －ax 5的展开式中各项系数之和为1，则该展开式中含x 项的系数为________．[自主解答] 1.二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r10·x 10－r a r ，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12. 2．由题图可知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，由题意知⎩⎨⎧C 1n ·1a＝a 1＝3，C 2n ·1a 2＝a 2＝4，故⎩⎨⎧n a ＝3，n (n －1)a 2＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝9，a ＝3.3．在⎝⎛⎭⎫2x －a x 5中，令x ＝1，得各项系数之和为(2－a)5＝1，∴a ＝1，∴T r ＋1＝C r 5(2x)5－r ⎝⎛⎭⎫－1x r＝C r 525－r ·(－1)r x 5－2r ，令5－2r ＝1，∴r ＝2，∴含x 项的系数为C 25×23×(－1)2＝80.[答案] 1.122.33.80应用通项公式要注意五点(1)T r ＋1表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； (2)T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项；(3)公式中a ，b 的指数和为n ，且a ，b 不能随便颠倒位置； (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(5)对二项式(a －b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．[例] (1)⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式中的常数项为( ) A ．32 B ．34 C ．36 D ．38 (2)(2014·浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n 项的系数为f(m ，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1，2)＋f(0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210(3)⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项为________．(用数字作答) [师生共研] (1)⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4的展开式的通项为T m ＋1＝C m 4(x 3)4－m ·⎝⎛⎭⎫－2x m ＝C m 4(－2)m x 12－4m ，令12－4m ＝0，解得m ＝3，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式的通项为T n ＋1＝C n 8x 8－n ⎝⎛⎭⎫1x n ＝C n 8x 8－2n ，令8－2n ＝0，解得n ＝4，所以所求常数项为C 34(－2)3＋C 48＝38.(2)由题意知f(3,0)＝C 36C 04，f(2,1)＝C 26C 14，f(1，2)＝C 16C 24，f(0,3)＝C 06C 34，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1，2)＋f(0,3)＝120，选C.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x5·[(x ＋2)2]5＝132x 5(x ＋2)10.求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5.所以所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.[答案] (1)D (2)C (3)6322多项式中特定项问题的求解策略(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到含所要求的项，再求和即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题，一般先变形化为二项式再解决．1．(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( )A ．－210B ．210C ．30D ．－30解析：选A (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910(x 2)(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210，故选A.2．(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为m ，则函数y ＝－x 2与y ＝mx 的图象所围成的封闭图形的面积为( )A.6256B.2506C.3756D.1256解析：选D 二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·C r 6·x 6－2r ，当6－2r ＝0时，可得r ＝3，则⎝⎛⎭⎫x －1x 6展开式的常数项为(－1)3·C 36＝－20，当6－2r ＝－2时，可得r ＝4，则⎝⎛⎭⎫x －1x 6展开式的x －2项的系数为(－1)4·C 46＝15，由此可得(1＋x ＋x 2)·⎝⎛⎭⎫x －1x 6展开式的常数项m ＝－20＋15＝－5，图中封闭图形的面积S ＝⎠⎛05(－x 2＋5x)dx ＝－13x 3＋52x 250＝1256，故应选D.一、选择题1．(2014·合肥一检)将包含甲、乙两队的8支球队平均分成2个小组参加某项比赛，则甲、乙两队被分在不同小组的分组方案有( )A ．20种B ．35种C ．40种D ．60种 2．(2014·全国高考)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种3．(2014·湖北高考)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.244．(2014·辽宁五校联考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45 5．(2014·绵阳二诊)现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有2位相邻，则不同排法的种数是( )A ．12B ．24C ．36D ．72 6．(2014·四川高考)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种7．(2014·烟台模拟)已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n 的展开式中各二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( )A ．1B ．±1C ．2D ．±2 8．(2014·贵州六校联考)在(1－x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n 中，若2a 2＋a n －5＝0，则自然数n 的值是( )A ．10B ．9C ．8D ．7 9．(2014·南昌模拟)若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 11)等于( )A ．27B ．28C ．7D ．8 10．(2014·安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对二、填空题11．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的展开式中第3项的系数为________．12．已知(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 6的系数小于2 014，则k 的最大值为________．13．(2014·山东高考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．14．(2014·湖北省八校联考)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________．15.已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A ，B ，C ，D ，E 这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种．16．对一个各边长均不相等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边染相同的颜色，则不同的染色方法共有________种．答案一、选择题 1．解析：：选A 将8支球队平均分成2组，每组4支，要使甲、乙两队被分在不同的小组，可从剩下6支中选3支放在其中一组，另外3支放在另一组中，故满足题意的分组方案有C 36＝20种，选A.2．解析：：选C 从中选出2名男医生的选法有C 26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C 15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种，故选C.3．解析：：选C T k ＋1＝C k 7(2x)7－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫a x k ＝C k 727－k a k x 7－2k ，令7－2k ＝－3，得k ＝5，即T 5＋1＝C 5722a 5x－3＝84x －3，解得a ＝1.选C. 4．解析：：选B 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10，通项公式为T r ＋1＝C r 10(x)10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102rx5－52r ，所以r ＝2时，常数项为180.5．解析：：选B 依题意，满足题意的不同排法种数是A 22·(C 23·A 22)·A 22＝24，选B.6．解析：：选B 当最左端排甲时，不同的排法共有A 55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C 14A 44种．故不同的排法共有A 55＋C 14A 44＝216种．7．解析：：选C 由题意知2n ＝32，即n ＝5，二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(x)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3x r ＝a r C r 5x 15－5r 6，令15－5r 6＝0，得r ＝3，所以T 4＝a 3C 35＝80，即a ＝2.故选C.8．解析：：选C 由二项式定理可得a 2＝C 2n ，a n －5＝C n －5n ·(－1)n －5，故2C 2n ＋C n －5n (－1)n －5＝0，把各选项代入验证可得n ＝8成立．9．解析：：选 C 取x ＝－1得(－1)4(－1＋3)8＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12 ①，取x ＝－3得(－3)4(－3＋3)8＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12 ②，①与②两式左、右两边分别相减得28＝2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 11)，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 11＝27，所以log 2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 11)＝7.10．解析：：选C 法一：直接法：如图，在上底面中选B 1D 1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A 1C 1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对．所以全部共有48对．法二：间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C 212－12－6＝48(对)．二、填空题11．解析：依题意，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的展开式的第3项为T 3＝C 25(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝80x 4，即第3项的系数为80.答案：8012．解析：由T r ＋1＝C r 6(kx 2)r ＝k r C r 6x 2r ，得x 6的系数为k 3C 36，由k 3C 36<2 014，得20k 3<2 014，即k 3<100.7，因为k 是正整数，所以最大的k ＝4.答案：413．解析：T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a6－r b r x 12－3r，令12－3r ＝3，得r ＝3，故C 36a 3b 3＝20，所以ab ＝1，a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1时，等号成立．答案：214．解析：先将2艘驱逐舰和2艘护卫舰平均分成两组，再排，有C 12A 22A 22A 22种方法，然后排2艘攻击型核潜艇，有A 22种方法，故舰艇分配方案的方法数为C 12A 22A 22A 22A 22＝32.答案：32 15.解析：先在A ，B ，C 三个区域种植3种不同的植物，共有A 33＝6种种法，若E 与A 相同，最后种D ，有1种种法；若E 与C 相同，最后种D ，有2种种法，根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有6×(1＋2)＝18种种法．答案：1816．解析：记凸五边形的各边分别为①、②、③、④、⑤.第一步：将五边分成三组且相邻边不在同一组，则有①、②④、③⑤，②、①④、③⑤，③、①④、②⑤，④、①③、②⑤，⑤、①③、②④，故共有五组；第二步：将三种颜色进行全排列，则有A 33＝6种，由分步计数原理得共有5×6＝30种染色方法． 答案：30。
2015高考数学真题分类 考点37 排列与组合
考点37排列与组合
1.（2015.上海.理文，8）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．
2.（2015.广东.理，12）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）
3.（2015.四川.理，6）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）
（A）144个B）120个（C）96个（D）72个
2015高考数学一轮配套课件：11-2排列与组合
个班级中的 2 个班有 A26种． 所以不同的安排方法有12C24A26种，即 45 种．
法二 先从 6 个班级中选 2 个班级有 C26种不同方法，然后安排 学生有 C24C22种，故有 C26C24＝12A26C24种，即 45 种．
诊断·基础知识
突破·高频第考十点八页，编辑于星培期养五：·解十三题点 能五十力七分。
取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法
解析 满足题设的取法可分为三类：一是取四个奇数，在 5 个
共奇数有1_,_3,_5,_7_,9_中__，．任意取 4 个，有 C45＝5(种)；二是两个奇数和
两个偶数，在 5 个奇数中任取 2 个，再在 4 个偶数 2,4,6,8 中任 取 2 个，有 C25·C24＝60(种)；三是取 4 个偶数的取法有 1 种． 所以满足条件的取法共有 5＋60＋1＝66(种)．
• 3．排列数、组合数的公式及性质
(1)Amn ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
＝n－n！m！
公
式
(2)Cmn ＝AAmmnm＝nn－1n－m2！…n－m＋1＝
n！ m！n－m！
(n，m∈N*，且 m≤n)．特别地 C0n＝1. 性 (1)0！＝ 1 ；Ann＝ n！. 质 (2)Cmn ＝Cnn－m；Cmn＋1＝ Cnm＋Cmn －1 .
答案 66种
诊断·基础知识
突破·高频第考十点六页，编辑于星培期养五：·解十三题点 能五十力七分。
• 考点三 排列、组合的综合应用
• 【例3】 (1)(2013·浙江卷)将A，B，C，D，E， F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧， 则不同的排法共有________种(用数字作答)．
• (2)某校高二年级共有6个班级，现从外地转
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2015年高考理科数学考点分类自测：排列与组合
一、选择题
1.把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在右图中的
1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不
同的摆放方法有 ( )
A．2 680种B．4 320种
C．4 920种D．5 140种
2．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 ( )
A．4种B．10种
C．18种D．20种
3．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为 ( )
A．80 B．120
C．140 D．50
4．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一．每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 ( ) A．152 B．126C．90 D．54
5．研究性学习小组有4名同学要在同一天的上、下午到实验室做A，B，C，D，E五个操作实验，每位同学上、下午各做一个实验，且不重复，若上午不能做D实验，下午不能做E 实验，则不同的安排方式共有 ( ) A．144种B．192种
C．216种D．264种
6．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为 ( ) A．72 B．108
C．180 D．216
二、填空题
7．5名男性驴友到某旅游风景区游玩，晚上入住一家宾馆，宾馆有3间客房可选，一间
客房为3人间，其余为2人间，则5人入住两间客房的不同方法有______种(用数字作答)．8．将数字1,2,3,4,5按第一行2个数，第二行3个数的形式随机排列，设a i(i＝1,2)表示第i行中最小的数，则满足a1>a2的所有排列的个数是________．(用数字作答) 9．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________种．
三、解答题
10．山东鲁能、上海申花、天津泰达与杭州绿城四家中国足球俱乐部参加了2011年亚洲足球俱乐部冠军联赛，为了打出中国足球的精神面貌，足协想派五名官员给这四支球队做动员工作，每个俱乐部至少派一名官员，且甲、乙两名官员不能到同一家俱乐部，共有多少种不同的安排方法？
11.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，
不同的放法有多少种？
12．从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？
(1)A，B必须当选；
(2)A，B必不当选；
(3)A，B不全当选；
(4)至少有2名女生当选；
(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．
详解答案
一、选择题
1. 解析：先将7盆花全排列，共有A77种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5A33 A44种，故所求摆放方法有A77－5A33A44＝4 320种．
答案：B
2．解析：依题意，就所剩余的是一本画册还是一本集邮册进行分类计数：第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C24＝6种．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10种．答案：B
3．解析：当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有C35C12＝20种不同的分配方案；
当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，有C25C23＝30种不同的分配方案；
当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有C25C13＝30种不同的分配方案．故共有20＋30＋30＝80种不同的分配方案．
答案：A
4．解析：考虑特殊元素(位置)优先安排法．第一类：在丙、丁、戊中任选一位担任司机工作时有C13C24A33＝108.
第二类：在丙、丁、戊中任选两位担任司机工作时，有C23A33＝18，
∴不同安排方案的种数是108＋18＝126.
答案：B
5．解析：根据题意得，上午要做的实验是A，B，C，E，下午要做的实验是A，B，C，D，且上午做了A，B，C实验的同学下午不再做相同的实验．先安排上午，从4位同学中任选一人做E实验，其余三人分别做A，B，C实验，有C14·A33＝24种安排方式．再安排下午，分两类：①上午选E实验的同学下午选D实验，另三位同学对A， B，C实验错位排列，有2种方法，则不同的安排方式有N1＝1×2＝2种；②上午选E实验的同学下午选A，B，C实验之一，另外三位从剩下的两项和D一共三项中选，但必须与上午的实验项目错开，有3种方法，则不同的安排方式有N2＝C13·3＝9种，于是，不同的安排方式共有N＝24×(2＋9)＝264种．答案：D
6．解析：设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：
(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C14种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有C24A33种方法，这时共有C14C24A33种参加方法；
(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C24种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A33种方法，这时共有C24A33种参加方法；
综合(1)(2)，共有C14C24A33＋C24A33＝180种参加方法．
答案：C
二、填空题
7．解析：由题意可知，5人入住的两间客房为一间3人间和一间2人间，则所求的不同方法有C35C12＝20种．
答案：20
8．解析：依题意数字1必在第二行，其余数字的位置不限，共有A24A33＝72个．
答案：72
9．解析：先从6双手套中任取一双，有C16种取法，再从其余手套中任取2只，有C210种取法，其中取到一双同色手套的取法有C15种．故总的取法有C16(C210－C15)＝240种．答案：240
三、解答题
10．解：法一：根据题意，可根据甲、乙两人所去俱乐部的情况进行分类：
(1)甲乙两人都单独去一个俱乐部，剩余三人中必有两人去同一家俱乐部，先从三人中选取两人组成一组，与其他三人组成四个组进行全排列，则不同的安排方法有C23A44＝3×24＝72(种)；
(2)甲、乙两人去的俱乐部中有一个是两个人，从剩余三人中选取一人与甲或乙组成一组，和其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有C12C13A44＝2×3×24＝144(种)．所以不同的安排方法共有72＋144＝216种．
法二：如果甲、乙两人可以去同一家俱乐部，则先从五人中选取两人组成一组，与其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法共有C25A44＝10×24＝240种；
而甲、乙两人去同一家俱乐部的安排方法有C22A44＝24种．
所以甲、乙两人不能去同一家俱乐部的安排方法共有240－24＝216种．11. 解：根据A 球所在位置分三类：
(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步计数原理得，此时有A33＝6种不同的放法；
(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步计数原理得，此时有A33＝6种不同的放法；
(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E，有A33＝6种不同的放法，根据分步计数原理得，此时有A13A33＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．12．解：(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，∴有C310＝120(种)．
(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，
∴有C510＝252(种)．
(3)全部选法有C512种，
A，B全当选有C310种，
故A，B不全当选有C512－C310＝672种．(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，
∴有C512－C15·C47－C57＝596(种)．
(5)分三步进行：
第一步：选1男1女分别担任两个职务为C17·C15；
第二步：选2男1女补足5人有C26·C14种；
第三步：为这3人安排工作有A33.
由分步乘法计数原理共有
C17·C15·C26·C14·A33＝12 600(种)．。