不等式的性质(第一课时)
不等式的性质(第1课时)优课教学课件
(3) 4a < 4b；
(4) a > b ；
2
2
(5) 1.5a 1 < 1.5b 1；
学生活动;（1）-（4）学生独立完成，（5）小组讨论
第三步：分层提高
2.用“>,<”填空，并说明依据不等式的哪条性质
< (1) 若a 3 9，则 a 12；
> (2) 若 1 a 1，则 a
4；
4
3+2 ；
5-2
3-2 .
-1-3
3-3 .
第二步：互助探究：
用“＜”或“＞”填空，猜想其中的规律。
（1）5 > 3 ；
（2）-1 < 3 ；
5+2 > 3+2 ； 5-2 > 3-2 .
-1+2 < 3+2 ； -1-3 < 3-3 .
不等式的性质1: 不等式两边加(或减)同一个数 （式子），不等号的方向不变。
9.1.1 不等式的性质 （第1课时）
学习目标
经历通过类比，猜想，验证，归纳发现 不等式性质的探索过程，掌握不等式的性 质。
第一步：回顾旧知
➢问题1：请直接说出下列不等式的解集
x 3 6 2x 8 x 2 0
➢问题2：你还能直接说出下面不等式的解集吗？
2x x 1 32
第一步：回顾旧知
“<”
(1)若a>b,则2a+1 > 2b+1; (2)若-1.25y<10,则y > -8; (3)若a<b,且c>0,则ac+c < bc+c; (4)若a>0,b<0,c<0,则(a-b)c < 0.
人教版七年级下册数学 第九章 不等式与不等式组 不等式 不等式的性质(第一课时)
探究新知
知识点 2 不等式的性质2 用不等号填空： （1）5 > 3 ；
5×2 > 3×2 ； 5÷2 > 3÷2 . （2）2 < 4 ；
2×3 < 4×3 ；2÷4 < 4÷4 . 自己再写一个不等式，分别在它的两边都乘（或除以）同一 个正数，看看有怎样的结果？与同桌互相交流，你们发现了 什么规律？
解：(1)为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x，根 据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向不 变，得 x-7+7 ＞ 26+7，
x ＞ 33.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
33
探究新知
（2）为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据
__不__等__式__性__质__1_，不等式两边都减去_2_x__，不等号的方向
探究新知
（3）已知 a<b，则 -a3
由不等式基本性质3，得
-a 3
>
-b 3
,
因为
-a 3
>
-b 3
，两边都加上2，
由不等式基本性质1，得
-a 3
+2
>
-b3+2
.
巩固练习
若 a>b, 用“>”或“<”填空： a-5 > b-5（根据不等式的性质 1 ）
探究新知
如果_a_>_b_且__c_>_0_, 那么_a_c_>_b_c__
(或 a b ) cc
探究新知
不等式基本性质2
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变.
2.1 等式性质和不等式性质(共2课时课时)高一数学同步教材精品课件(人教A版2019必修第一册)
概念讲解
问题1： 用不等式（组）表示下列问题中的不等关系？
（1）
v≤40 km/h
m≤10 t
概念讲解
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋 白质
的含量p应不少于2.3%；
≥ . %
≥ . %
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
设三角形三边分别为，，，则 + > , − <
注意：
同向不等式具有可加性与可乘性（同正），
但是
，应用时要充
分利用所给条件进行适当变形来求取值范
围，注意变形的等价性。
概念讲解
3.已知-2<a+b≤5, -1≤a-b≤4, 求a+5b的取值范围.
解：设m=a+b, n=a-b, 则-2<m≤5, -1≤n≤4,
所以-6<3m≤15, -8≤-2n≤2;
∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
概念讲解
练习2.若 > 2，比较 2 + 4 + 4和 2 − 4的大小.
作商法
与“1”比较
.
作差法
与“0”比较
04
重要不等式
概念讲解
北京——第24届国际数学家大会会标．
入不低于20万元?
设涨价之后的杂志每本定价元，则销售总收入为
单价涨了多
少个0.1元
单价涨了
多少元
−
−
−.
.
−.
×
.
× . 万元，所以用不等式表示为：
人教版初一数学下册9.1.2不等式的性质(第一课时)教学设计
9.1.2不等式的性质（第一课时）教学设计莆田中山中学雍俊山教学目标1.探索并掌握不等式的性质；2.会用不等式的基本性质进行化简；3.培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力；4.培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神。
教学重难点教学重点：掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3。
教学难点：正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形。
教学方法通过观察、分析、讨论，引导学生归纳总结出不等式的三条基本性质，从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握。
教学过程活动1 复习等式的基本性质问题：等式的基本性质是什么？•性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式.•性质2：等式两边同时乘一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式.活动2 探索不等式的性质问题1：用“＜”或“＞”填空，并总结其中的规律：（1）若5＞3 ，则5+2 3+2，5－ 2 3－2；（2）若－ 1 <3 ，则－1+2 3+2，－1－ 3 3－3；规律：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.如果a>b ，那么a+c ＞b+c(或a-c ＞b-c)b a b +c a +c o问题2：用“＜”或“＞”填空，并总结其中的规律：（1）若6 > 2，则6× 5 ___2×5， 6 ÷ 5___ 2 ÷ 5；规律：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.不等式性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.2、如果 a>b ，c>0 ，那么ac ＞ bc 或 利用数轴解释：aac o b bc问题3：用“＜”或“＞”填空，并总结其中的规律：（1）若－ 2< 3 ， 则（－ 2）× （－ 6 ） ___ 3×（－6 ） ，（－ 2） ÷ （－ 6）___ 3 ÷ （－ 6）（2）若 7< 4 ，则 7×（－1）______4×（－1）， 7×（－2）______4×（－2）， 7×（－3）______4×（－3）， 7 ÷ （－1）______4 ÷ （－1）， 7 ÷ （－2）______4 ÷ （－2）， 7 ÷ （－3）______4 ÷ （－3）， 规律：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向 不等式性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3、如果 a>b ，c<0 ，那么ac ＜ bc 或c b c a >cb c a <aobac bc不等式的性质: 不等式的性质1： 如果a>b ，那么a ＋c>b ＋c ，a －c>b －c 。
不等式的性质(第1讲)
6.1 不等式的性质学习指导1．研究现实世界中的量之间的关系，主要有相等和不相等两种关系，相等是局部的，相对的，不等是普遍的，绝对的。
因此，在初中及高一已接触到的不等式概念的基础上，有必要对这一部分知识进行归纳、小结、完善。
就数学领域来说，不等式与方程、函数、三角等有着密切的联系，如讨论方程解的情况、研究函数的单调性、值域等性质。
由此可见，不等式在中学数学的重要地位，是进一步学习数学的基础知识。
依照不同的分类标准可对不等式作不同的分类，如按照不等式对其字母成立范围，分为绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式；按照含示知数项的特点，分为超越不等式、代数不等式，代数不等式又可分为无理不等式、有理不等式，有理不等式又可分为整式不等式、分式不等式等等。
对于条件不等式，主要研究不等式成立的条件，就是所谓“解不等式”，对于绝对值不等式，主要证明不等式对于式子字母的一切允许值一定成立，就是所谓的“证明不等式”，这两个内容是本章的重点，在后面会专门研究它们。
不管是证明不等式还是解不等式，都要有一些工具，这个主要工具是不等式的性质，因此，掌握好不等式的性质是学好本章的关键。
2．不等式的性质包含一个公理、三个基本性质及三个运算性质，还有一些推论：（1）一个公理：a <=> b ⇔ a-b <=>这个公理给出了实数的大小次序与实数的运算之间的对应关系，是两个实数大小比较的依据。
根据这个公理，得到比较两个数（或式）大小的一种重要方法——比较法。
（2）三个基本性质：① a>b ⇔b<a ② a>b ，b>c ⇒a>c ③ a>b ⇔a+c>b+c在传递性中，称a>b ，b>c ⇒a>c ，从左向右是缩小；称a<b ，b<c ⇒a<c ，从左向右放大。
不等式证明的过程就是适度放大或缩小的过程。
因此，传递性是证明不等式的一个很重要的依据。
不等式的性质(1)
针对练习
加上5 加上 (1)如果x 5>4， (1)如果x-5>4，那么两边都 如果 到x>9 (2)如果在-7<8的两边都加上9 (2)如果在-7<8的两边都加上9可得到 如果在 的两边都加上 (3)如果在5>-2的两边都加上a+2可得到 a+7 > a (3)如果在5>- 的两边都加上a+2可得到 如果在5> a+2 (4)如果在-3>- 的两边都乘以7 (4)如果在-3>-4的两边都乘以7可得到 -21>-28 如果在 (5)如果在8>0的两边都乘以8 (5)如果在8>0的两边都乘以8可得到 如果在8>0的两边都乘以 可得
2、 判断 、
Q a < b∴ a − b < b − b
（√）
a b Q a < b∴ < （√） 3 3 Q a < b ∴ − 2 a < − 2 b （×）
Q −2a > 0 ∴ a > 0
Q −a < −3 ∴ a < 3
（×） （×）
我是最棒的 ☞
例１：利用不等式的性质解下 列不等式， 列不等式，并在数轴上表 示解集． 示解集．
2 ( 4 ) x > 50 3
2 解：为了使不等式 x > 50中不等号的一边变为 x，根据不等式 3 3 的性质 2，不等式两边都乘 ，不等号的方向不变， 得 2
x > 75
这个不等式的解集在数轴的表示是
０
75
5x +1 x−5 −2 > 6 4
解：不等式两边同时乘以12，得 不等式两边同时乘以12， 12 2(5x+1)2(5x+1)-2×12>3(x-5) 12>3(x去分母 10x+2-24>3x10x+2-24>3x-15 去括号 10x-3x>2410x-3x>24-2-15 7x>7 X>1
不等式的性质一
不等式的性质一不等式是数学中常见的一种数值关系表达方式，用于描述两个数之间的大小关系。
与等式相比，不等式中的符号不仅包括等号（=），还包括大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）等。
不等式的性质是研究不等式在数学中的基本特点和规律的重要内容之一。
本文将介绍不等式的基本性质以及应用。
一、不等式的基本性质1. 传递性：对于任意实数 a、b、c，如果 a<b，b<c，则有 a<c。
这说明不等式的大小关系具有传递性，可以通过中间比较数来判断其他数的大小关系。
2. 反身性：对于任意实数 a，a=a。
这说明不等式中的等号是可以成立的，即两个相等的数之间也可以用等号连接。
3. 对称性：如果 a<b，则-b< -a。
这说明不等式中的大小关系在取反时保持不变，即如果一个数 a 小于另一个数 b，则取相反数后，-a 大于-b。
4. 加法性：对于任意实数 a、b、c，如果 a<b，则 a+c<b+c。
这说明不等式的大小关系在两边同时加上相同的数时保持不变，即两个不等式同时加上一个数，其大小关系不变。
5. 减法性：对于任意实数 a、b，如果 a<b，则 a-c<b-c。
这说明不等式的大小关系在两边同时减去相同的数时保持不变，即两个不等式同时减去一个数，其大小关系不变。
二、不等式的应用1. 求解不等式：不等式可以用来求解关于未知数的数值范围。
通过运用不等式性质，我们可以将复杂的不等式转化为简单的形式，并找到解集合。
例题1：求解不等式 2x-5<3。
解：首先，将不等式转化为简单形式，得到 2x<8。
然后，除以 2，得到 x<4。
所以，解集合为 x 的取值范围为 (-∞, 4)。
2. 不等式的证明：通过应用不等式的性质，可以进行不等式的证明。
证明不等式的方法包括直接证明法、间接证明法、数学归纳法等。
例题2：证明对于任意正实数 a，b，有a*b ≤ (a+b)/2²。
1.1.1不等式的基本性质
性质 6 开方性质 如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n≥2)
【练习】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a>b，则 ac2>bc2； (2)若ca2>cb2，则 a>b； (3)若 a>b，ab≠0，则1a<1b； (4)若 a>b，c>d，则 ac>bd. [自主解答] (1)错误．当 c＝0 时不成立． (2)正确．∵c2≠0 且 c2>0，在ca2>cb2两边同乘以 c2， ∴a>b. (3)错误．a>b⇒1a<1b成立的条件是 ab>0. (4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当 a，b，c，d 为正数时成立．
即α＋β∈
－π，π 22
，α－β∈
－π2，0
.
2
2
利用性质证明简单不等式
【例 3】 已知 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b. [精彩点拨] 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
[自主解答] ∵a>b，∴－a<－b. 又 c>a>b>0， ∴0<1．c－在a<证c－明b本，例∴时c－，1 a连>c续－1用b>到0.不等式的三个性质，一是不等式的 乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又 －又a∵<－a>bb，>则0，0∴<c－a a<>c－b b；. 三是倒数性质．最后再次用到不等式的 乘法性质．
五、不等式的基本性质的应用
比较大小
【例 1】 设 A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且 x>3，试比较 A 与 B 的
第一讲 一 1 不等式的基本性质
进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、 记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等
式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结
构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件．
[例 3]
π π (1)已知：－ ≤α<β≤ ，求 α－β 的范围． 2 2
求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个 重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行 运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性
质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一
定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．
α＋β α－β π π π π 5．“已知－ ≤α≤ ，－ ≤β≤ ”，求 ， 的取值 2 2 2 2 2 2 范围．
n n
n
a>
n
b (n＝2k＋
3．判断下列命题的真假，并简述理由． (1)若 a>b，c>d，则 ac>bd； a b (2)若 a>b>0，c>d>0，则 c >d； (3)若 a>b，c<d，则 a－c>b－d； (4)若 a>b，则 a ＞b ， a> b(n∈N 且 n≥2)．
n n
n
n
解：(1)取 a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3，即 3>2，－2>－3. 此时 ac＝bd＝－6.因此(1)为假命题． (2)因同向不等式不能相除，取 a＝6，b＝4，c＝3，d＝2，此 a b 时c ＝d＝2.因此(2)为假命题． (3)∵c<d，∴－c>－d，因此(3)为真命题． (4)当 a>b>0 时，才能成立，取 a＝－2，b＝－3，当 n 为偶 数时不成立，因此(4)为假命题．
等式与不等式性质第一课时参考教学方案
《等式性质与不等式性质（第一课时）》教学设计教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用．教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式．GEOGEBRA、PPT课件，用纸做四个全等的直角三角形．一、整体感知问题1：请同学们阅读本章引言的文章，说说本章要学习的内容是什么？和初中所学的哪些内容有联系？对我们今后学习数学有什么作用？用什么方法来研究本章内容？师生活动：学生自主阅读后、讨论交流．预设的答案：1．本章主要研究的内容是方程和不等式，包括不等关系和不等式，基本不等式和一元二次不等式的研究，通过回顾、梳理初中学习的等式内容，提炼出其中蕴含的思想方法，用一次函数的观点看一次方程、不等式中蕴含的思想方法，用于研究不等式和一元二次不等式有关问题．2．方程和不等式是重要的数学工具，可以解决数学内外的各种问题，为今后学习作工具上的准备，另外，用函数的观点看方程和不等式是一种重要的思想方法，体现了数学知识之间的联系性和整体性，为今后的学习作思想方法上的准备．设计意图：一章的起始课，首先要从整体上把握所学内容，让学生明确本章内容的地位、作用、内在联系及研究方法，有助于学生良好认知结构的建立和完善．引语：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，首先来学习等式性质和不等式性质．（板书：等式性质和不等式性质）二、新知探究1．从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式问题2：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40 km/h ；（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不小于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．师生活动：学生分别用不等式表达，若有表达不准确，或表达困难的，引导学生先用符号表示题中的量，再用不等号表示问题中的不等关系．预设的答案：（1）设速度为v km/h ，则0＜v ≤40；（2）⎩⎨⎧≥≥%3.2%5.2p f ； （3）设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c ；（4）设C 是线段AB 外任意一点，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE ．追问1： 你还能举出几个具有相等与不等关系的实际问题的例子吗？这些不等关系如何用式子表示？师生活动：学生自己举例，并用等式和不等式表示，在这个过程中教师不断启发学生，使得结论更科学和严谨．追问2：在上述问题的解决中，你经历了怎样的思考过程？师生活动：学生总结，教师完善：阅读实际问题——引入变量——将实际问题的文字语言转化为符号语言——找到量之间的关系——获得需要的不等式．设计意图：通过创设问题情境，让学生经历从实际问题中抽象出不等式，明确数学的价值和作用，提高学生数学抽象素养．并通过这组问题的解决，提炼出所用的方法，为后面解决问题做好铺垫．2．研究不等式性质的必要性问题3：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？师生活动：学生独立思考，分析数量关系后用不等式表达．设计意图：两个实数大小关系的基本事实的初步应用，让学生体会作差比较法在比较大小中的作用．4．重要不等式的探究和证明问题5：图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？师生活动：首先让学生用四个全等的直角三角形拼接出图形，小组交流不同人的拼接图形中的不同，之后教师利用几何画板进图1行动态演示：改变直角三角形两直角边长，让学生直观感觉图形的变化．然后按照前面的程序，引入符号，比如用a，b表示直角三角形的两条直角边，寻找关系，写出不等式．然后以小组为单位合作探究，展示成果．预设方案1：学生已经发现重要不等式，让学生展示其发现过程．预设方案2：学生没有发现重要不等式，可以进一步启发．追问1：你能用字母表示出图中四个直角三角形和大正方形的面积吗？预设的答案：用a，b表示直角三角形的两条直角边，则直角三角形的面积为2ab，大正方形的面积为a2+b2．追问2：在变化过程中四个直角三角形的面积和大正方形面积之间存在着相等和不等关系，你能表示出来吗？师生活动：学生得到a2+b2＞2ab．教师进一步变化图形，引导学生观察当a=b时，小正方形的面积为0，这时a2+b2=2ab．综合两类情况，得到a2+b2≥2ab，当a=b且仅当时取等号．追问3：上述过程中，a，b为正数，如果a，b∈R，式子是否成立？为什么？师生活动：引导学生分析问题，回归到用“两个实数大小关系的基本事实”作差比较，并规范证明过程．证明：∵a2+b2-2ab=( a-b)2≥0，∴a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．设计意图：对实际问题深入分析，发现不等关系，引入符号，表示不等关系，感受到由“形”到“数”的转换过程．利用软件演示图形的动态变化，感受图形从量变到质变的过程，培养学生直观想象素养．通过追问，让学生经历猜想到证明不等式的一般过程，为不等式性质和基本不等式的学习奠定基础．对问题情境的分析中让学生感受数学文化的价值．三、归纳小结，布置作业问题6：本节课我们主要学习了哪些知识，为什么要研究这些内容？研究这些内容有什么作用？师生活动：师生一起总结．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确研究两个实数大小关系的基本事实是为了研究不等式的性质，解决解不等式问题．两个实数大小关系的基本事实使数学运算参与问题解决之中，可以比较两个实数的大小．四、目标检测设计1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系：（1）某高速公路规定通过车辆的车货高度h 从地面算起不超过4 m ；（2）a 与b 的和是非负实数；（3）如图，在一个面积小于350 m 2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L 大于宽W 的4倍．设计意图：考查从实际问题中抽象出不等式的能力．2．比较(x +3)(x +7)和(x +4)(x +6)的大小．设计意图：考查用两个实数大小关系的基本事实比较大小应用能力3．已知a ＞b ，证明b b a a >+>2． 设计意图：考查用两个实数大小关系的基本事实比较大小的应用能力．参考答案：1．（1）h ≤4 （2）a +b ≥0 （3）⎩⎨⎧><++WL W L 4350)10)(10( 2．(x +3)(x +7)＜(x +4)(x +6)3．∵a ＞b ，。
基本不等式(第一课时)
对于内积空间中的任意两个向量序列$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，有$left(sum_{i=1}^n a_i^pright)^{frac{1}{p}} left(sum_{i=1}^n b_i^qright)^{frac{1}{q}} geq sum_{i=1}^n a_i b_i$，其中$frac{1}{p}+frac{1}{q}=1$。
几何证明方法
01
02
03
面积法
利用几何图形的面积关系， 将基本不等式转化为面积 问题，通过几何图形的性 质进行证明。
弦图法
利用几何图形的弦图性质， 将基本不等式转化为弦图 问题，通过弦图的性质进 行证明。
切线法
利用几何图形的切线性质， 将基本不等式转化为切线 问题，通过切线的性质进 行证明。
函数证明方法
02
举例：对于任意正实数$x$、$y$，
有算术平均数与几何平均数之间的
不等式：$frac{x+y}{2}
geq
sqrt{xy}$。
性质
非负性
基本不等式的每一项都是非负的。
传递性
如果$a leq b$和$b leq c$，则$a leq c$。
可加性
如果$a leq b$和$c leq d$，则 $a+c leq b+d$。
应用
柯西不等式在数学、物理和工程领域中有着广泛的应用，例如在解决偏微分方 程、优化问题、概率论和统计学等领域的问题时，柯西不等式是一个重要的工 具。
贝努利不等式
定义
贝努利不等式是指对于任意的非负实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有 $(a_1 + a_2 + ... + a_n)^n geq (a_1^n + a_2^n + ... + a_n^n)$。
不等式的性质(一)
不等式的性质(一） 教学目标 1．理解不等式的性质，掌握不等式各个性质的条件和结论之间的逻 辑关系，并掌握它们的证明方法以及功能、运用； 2．掌握两个实数比较大小的一般方法； 3．通过不等式性质证明的学习，提高学生逻辑推论的能力； 4．提高本节内容的学习，；培养学生条理思维的习惯和认真严谨的 学习态度；教学建议 1．教材分析 1 知识结构 本节首先通过数形结合， 给出了比较实数大小的方法， 在这个基础上， 给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证 明。
知识结构图 2 重点、难点分析 在不等式的性质一节中，联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大 小的方法，复习了初中学过的不等式的基本性质。
不等式的性质是穿越本章内容的一条主线，无论是算术平均数与几何 平均数的定理的证明及其应用，不等式的证明和解一些简单的不等式，无 不以不等式的性质作为基础。
本节的重点是比较两个实数的大小，不等式的五个定理和三个推论； 难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。
①比较实数的大小 教材运用数形结合的观点，从实数与数轴上的点一一对应出发，与初 中学过的知识在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大利用数轴 可以比较数的大小。
指出比较两实数大小的方法是求差比较法 比较两个实数与的大小，归结为判断它们的差－的符号，而这又必然 归结到实数运算的符号法则 比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结 为判断它们的差的符号②理清不等式的几个性质的关系 教材中的不等式共 5 个定理 3 个推论，是从证明过程安排顺序的．从 这几个性质的分类来说，可以分为三类 Ⅰ不等式的理论性质对称性传递性 Ⅱ一个不等式的性质∈，＞1∈，＞1Ⅲ两个不等式的性质 2．教法建 议 本节课的核心是培养学生的变形技能，训练学生的推理能力．为今后 证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础． 授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式．通过问答形式不断地给 学生设置疑问即设疑；对教学难点，再由讲授形式解决疑问．即解疑．主 要思路是教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑． 教学过程可分为发现定理、定理证明、定理应用，采用由形象思维到 抽象思维的过渡，发现定理、证明定理．采用类比联想，变形转化，应用 定理或应用定理的证明思路；解决一些较简单的证明题．第一课时教学目标 1．掌握实数的运算性质与大小顺序间关系； 2．掌握求差法比较两实数或代数式大小； 3．强调数形结合思想教学重点 比较两实数大小教学难点 理解实数运算的符号法则教学方法 启发式教学过程一、复习回顾 我们知道， 实数与数轴上的点是一一对应的， 在数轴上不同的两点中， 右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大例如，在右图中，点表示实 数，点表示实数,点在点右边，那么 我们再看右图，表示减去所得的差是一个大于 0 的数即正数一般地 若，则是正数；逆命题也正确 类似地，若，则是负数；若，则它们的逆命题都正确 这就是说打出幻灯片 1 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这 也是我们这节课将要学习的主要内容二、讲授新课 1．比较两实数大小的 方法——求差比较法 比较两个实数与的大小，归结为判断它们的差的符号，而这又必然归 结到实数运算的符号法则 比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结 为判断它们的差的符号接下来，我们通过具体的例题来熟悉求差比较法 2．例题讲解例 1 比较与的大小分析此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可 以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的 符号法则来得出两个代数式的大小 解 ∴例 2 已知,比较与的大小 分析此题与例 1 基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的 有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用 经常被学生所忽略 由得，从而 请同学们想一想，在例 2 中，如果没有这个条件，那么比较的结果如 何？ 学生回答若没有这一条件，则，从而大于或等于 为了使大家进一步掌握求差比较法，我们来进行下面的练习三、课堂 练习 1．比较的大小 2．如果，比较的大小 3．已知,比较与的大小 要求学生板演练习，老师讲评，并强调学生注意加限制条件的题目课 堂小结 通过本节学习，大家要明确实数运算的符号法则，掌握求差比较法来 比较两实数或代数式的大小课后作业 习题 611， 2， 3 板书设计§611 不等式的性质 1． 求差比较法例 1 学生……例 2 板演……。
高中数学必修一课件：等式性质与不等式性质(第1课时)
要点2 重要不等式
∀a，b∈R，有a2＋b2__≥___2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
1．网上发布了“明天气温是今天气温的2倍”的信息，各地有不同的反应： (1)一位南方的网友做出的第一反应是“明天升温了”； (2)一位北方的网友做出的第一反应是“明天降温了”； (3)另一位北方的网友做出的第一反应是“明天的气温没有变化”． 请从数学上解释为什么不同地方的网友会有不同的反应．
方法二：∵a>b，∴a－b>0，∴a3－b3－ab(a－b)＝(a－b)(a2＋ab＋b2)－ab(a
－b)＝(a－b)(a2＋b2)>0，
∴a3－b3>ab(a－b)．
题型三 重要不等式的应用
例3 已知a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 【证明】 ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， ∴(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0. ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， 即2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)≥0. ∴a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)≥0. ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 当且仅当a＝b＝c时取等号．
探究4 (1)“最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然 后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论．
(2)这是一道与不等式有关的实际应用问题，解答时要有设有答，步骤完 整．
思考题4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间
以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半 路程以速度n行走．如果m≠n，甲、乙两人谁先到达指定地点？
课后巩固
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( B )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
( 1 ) 比较2 x2＋3 x＋4 和x2＋3 x＋3的大小； (2) 比较(x＋1)2 和2 x＋1的大小． 小 结 作 业 作差法的步骤：作差 变形 定号(与0比 较大小) 结论． 必做题：教材 P 33，练习 A 组第 3 题； 选做题：教材 P 34，练习 B 组第 2 (2)(5)(6)题．
练习，教师巡视指导．
教学重点
理 解 实 数 的 大 小 的基本性质，初步学习作差比较的思想
教学难点
用作差比较法比较两个代数式的大小．
课外作业
教学后记
教 学 过 程
教学 教学内容 环节 右面是公路上对汽车的限速 标 志 ，表 示 汽 车 在 该 路 段 行 使 的 速 度 不 得 超 过 40 km/h ． 若 用 v (km /h) 表 示 汽 车 的 速 度 ， 那 么 v 与 40 之 间 的 数 导 量关系用怎样的式子表示？ 右面是公路上对汽车的限速 入 标志，表示汽车在该路段行使的 速 度 不 得 低 于 50 km/h ． 若 用 v (km /h) 表 示 汽 车 的 速 度 ， 那 么 v 与 50 之 间 的数量关系用怎样的式子表示？ 研究实数与数轴上的点的对应关系． 师 ：实 数 与 数 轴 上的点的关系是怎 样的？ 点 A对 应的实 数 与 点 B对 应 的 实 数各是多少？哪个 呈现结论： 数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比 左边的点对应的实数大． a＞b a－b＞0 a＝b a－b＝0 a＜b a－b＜0 含有不等号(＜，＞，≤，≥，≠ )的式子，叫 做不等式． 大？ 点 A表 示 实 数 3， 点 B表 示 实 数 － 2， 点 A 在 点 B 右 边 ，3 ＞ － 2． 当 点P在不同 的位置， 学生分别比 较 点 P对 应 的 实 数 与 点 A， 点 B对 应 实 新 数的大小． 学生根据生活经验 回答情境问题． 师生互动 二次备课
( 3 ) － 711 和 － 1017 ； 和 1213 ．
学生完成(3)(4)．
例2
对 任 意 实 数 x， 比 较 (x＋ 1)(x＋ 2)与
(x－ 3)(x＋ 6)的 大 小 ．
学生仿照例题进行练 练习3 ( 1 ) 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小； ( 2 ) 比较(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2 的大小． 例3 比较(x2＋1)2 与 x4＋x2＋1 的大小． 练习4 学生复习(a＋b)2 的 展开式． 学生仿照例题进行 习，教师巡视指导．
教
授课日期 授课课时 授课章节 名 称
案Hale Waihona Puke 授课班级 授课形式不等式的基本性质（第 1 课时）
使用教具
1 ．理解并掌握实数大小的基本性质，初步学习用作差比较法来比较 两个实数或代数式的大小． 2．从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学
教学目的
知识的过程． 3．培养学生勤于分析、善于思考的优秀品质．善于将复杂问题简单 化也是我们着意培养的一种优秀的思维品质．
中，不等式的个数是( (A) 2 (B) 3
练习2 把下列语句用不等式表示： (1) y 是 负 数 ； (2) x2是 非 负 数 ； (3)设 a 为 三 角 形 的 一 条 边 长 ， a 是 正 数 ； (4) b为 非 正 数 ． 例1 比较下列各组中两个实数的大小： (1) － 3 和 － 4 ； (2) 67 和 56 ； ( 4 ) 12 . 3 教师引导， 学生 口 答 ． 共 同 完 成 (1) 和 (2) ．
P
－5 －4
B
－3 －2 －1
A
x 0 1 2 3 观察： 点 P 从左向右移动， 对应实数大小的变
化．
练习1 在数学表达式： ① － 5＜ 1； 课 ③ x2＋ 1； ⑤ y ≠4 ； ② 2 x＋ 4＞ 0； ④ x＝ 6； ⑥ a － 2 ≥ a. )． (C) 4 (D) 5 个别学生口答，其 他学生评价， 遇到问题， 小组讨论解决．