江苏省2015届高三数学一校四题卷 启东中学
江苏2015届高三数学一校四题卷启东大江中学
启东市大江中学（一校四题）1.函数)11lg()(22+--++=x x x x x f 的值域为解析：函数的定义域为()+∞,0，1122+--++x x x x =22)230()21(-++x —22)230()21(-+-x 表示)0,(x 到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21的距离减去)0,(x 到⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,21的距离，从而得到1122+--++x x x x )1,0(∈，所以范围为()0,∞-2.在ABC ∆中，三个内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,其中，，35==C B 且满足.12cos sin 2sin 22sin 2=+-A A A A 求（1）)cos(C B -的值；（2）的外心为ABC O ∆，若n m +=，求n m +的值。
解：（1）由.12cos sin 2sin 22sin 2=+-A A A A 得21c o s-=A )20(π，∈A 32π=∴A .在ABC ∆中，由余弦定理得：A bc c b a cos 2222-+= ∴7=a在ABC ∆中，由正弦定理得：C c B b A a sin sin sin ==，1433sin ,1435sin ==C B 1413cos ,1411cos ==∴C B 4947sin sin cos cos )cos(=+=-C B C B C B 。
-（2）建立直角坐标系得0,0(），B A由n m +=得.911,32-=-=n m 917-=+∴n m 3.设椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>x 轴的直线被椭圆截得的弦长为（I ）求椭圆E 的方程；（II ）点P 是椭圆E 上横坐标大于2的动点，点,B C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，试判断点P 在何位置时PBC ∆的面积S 最小，并证明你的判断.ab ==故所求椭圆方程为221126x y +=. （II ）设000(,)(2P x y x <≤，(0,),(0,)B m C n .不妨设m n >，则直线PB 的方程为00:PB y ml y m x x --=即000()0y m x x y x m --+=，又圆心(1,0)到直线PB 的距离为1，01,2x =>，化简得2000(2)20x m y m x -+-=，同理，2000(2)20x n y n x -+-=，∴,m n 是方程2000(2)20x x y x x -+-=的两个根，∴00002,22y x m n mn x x --+==--，则22200020448()(2)x y x m n x +--=-， ∵00(,)P x y 是椭圆上的点，∴22006(1)12x y =-，∴2200202824()(2)x x m n x -+-=-. 则214S =⋅222222000000002220002824412(2)8(2)2(2)2(2)x xx x x x x x x x x -+-+-+⋅=⋅=⋅---， 令02(01))x t t -=<≤，则02x t =+，令222(8)(2)()2t t f t t++=， 化简，得2211616()262f t t t t t =++++，则32331632(2)(16)()2t tf t t t t t +-'=+--=，令()0f t '=，得t =，而1)<∴函数()f t在1)]上单调递减，当1)t =时，()f t 取到最小值， 此时0x =，即点P 的横坐标为0x =时，PBC ∆的面积S 最小.4.假设有穷数列{}n a 各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列成为数列{}n a 的排序数列，例如：数列132a a a <<，满足则排序数列为2,3,1(1)写出2,4,3,1的排序数列；(2)求证：数列{}n a 的排序数列为等差数列的充要条件是数列{}n a 为单调数列。
江苏省启东中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题含解析
江苏省启东中学2014-2015学年度第一学期第一次月考高三数学（理）试卷【试卷综析】本试卷是高三文科理试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.以基础知识和基本能力为载体突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.试题重点考查：集合、命题，函数模型不等式、复数、向量、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形等，是一份非常好的试卷。
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．． 【题文】1．已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则=⋂)(B C A U ▲ ．【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】{2，4，5} ∵全集U={1，2，3，4，5，6.7}，B={1，3，5，7}， ∴∁U B={2，4，6}，又A={2，4，5}，则A ∩（∁U B ）={2，4，5}．故答案为：{2，4，5} 【思路点拨】找出全集U 中不属于B 的元素，确定出B 的补集，找出A 与B 补集的公共元素，即可确定出所求的集合．【题文】2．若命题“R x ∈∃，有02≤--m mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【知识点】命题及其关系A2 【答案解析】[-4，0] ∵命题“∃x ∈R ，有x 2-mx-m ＜0”是假命题，⇔“∀x ∈R ，有x 2-mx-m ≥0”是真命题．令f （x ）=x 2-mx-m ，则必有△=m 2-4m ≤0，解得-4≤m ≤0． 故答案为：[-4，0]．【思路点拨】令f （x ）=x 2-mx-m ，利用“∃x ∈R ，有x 2-mx-m ＜0”是假命题⇔△=m 2-4m ≤0，解出即可．【题文】3．已知βα,的终边在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的 ▲ 条件．【知识点】充分条件、必要条件A2故答案为：既不必要也不充分条件． 【思路点拨】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【题文】4.已知)(x f 的定义域是]4,0[，则)1()1(-++x f x f 的定义域为 ▲ ．【知识点】函数及其表示B1【答案解析】[1，3] ∵f （x ）的定义域是[0，4]，∴f （x+1）+f （x-1）的定义域为不等式组014014x x ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩的解集，解得：1≤x ≤3． 故答案为：[1，3]． 【思路点拨】由题意可列不等式组014014x x ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，解之即可．【题文】5.已知角α终边上一点P 的坐标是)3cos 2,3sin 2(-，则=αsin ▲ ．【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1∴|OP|= 【题文】6.已知曲线33:x x y S -=及点)2,2(P ，则过点P 可向曲线S 引切线，其切线共有▲ 条.【知识点】导数的应用B12【答案解析】3 ∵y=3x-x 3，∴y'=f'（x ）=3-3x 2，∵P （2，2）不在曲线S 上， ∴设切点为M （a ，b ），则b=3a-a 3，f'（a ）=3-3a 2则切线方程为y-（3a-a 3）=（3-3a 2）（x-a ），∵P （2，2）在切线上，∴2-（3a-a 3）=（3-3a 2）（2-a ），即2a 3-6a 2+4=0， ∴a 3-3a 2+2=0，即a 3-a 2-2a 2+2=0，∴（a-1）（a 2-2a-2）=0，解得a=1或a=1±∴切线的条数为3条，故答案为3． 【思路点拨】求函数的导数，设切点为M （a ，b ），利用导数的几何意义，求切线方程，利用点P （2，2）在切线上，求出切线条数即可．【题文】7.化简：=-----++)3sin()3cos()23sin()2cos()tan(αππαπααπαπ ▲ ．【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案解析】=-----++)3sin()3cos()23sin()2cos()tan(αππαπααπαπtan cos cos (cos )sin ∂∂∂-∂∂=-1 【思路点拨】利用三角函数诱导公式同角三角函数基本关系。
江苏省启东市启东中学2015届高三数学下学期期初调研测试试卷 文
江苏省启东市启东中学2015届高三数学下学期期初调研测试试卷 文注 意 事 项1．本试卷包含填空题〔第1题～第14题，共14题〕、解答题〔第15题～第20题，共6题〕，总分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上．3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符．4．请用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题，在其它位置作答一律无效．一、填空题：本大题共14小题，每一小题5分，共70分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1．集合A ＝{x|log2x≤2}，B ＝(－∞，a)，假设A ⊆B ，如此实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝ ▲ ．2．由命题“∃x ∈R ，x2＋2x ＋m ≤0〞是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，如此实数a ＝ ▲ ．3．底面边长为2 m ，高为1 m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m2.4．圆x2＋y2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，如此实数a =▲． 5．△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，如此△ABC 面积的最大值为 ▲ .6．设常数a 使方程a x x =+cos 3sin 在闭区间]2,0[π上恰有三个解321,,x x x ，如此=++321x x x ▲ ．7． 函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2)1(223x x x xy ，假设关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，如此实数k 的取值范围是 ▲ .8．平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()()20AB AC AD BD CD -⋅--=，如此ABC ∆的形状是 ▲ ．9．设y x ,均为正实数，且33122x y +=++，如此xy 的最小值为 ▲ ．10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，如此有cos2α＋cos2β＝1. 类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所 成的角为α，β，γ，如此cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ ▲ _．11．点(,4)P m 是椭圆22221+=x y a b (0)>>a b 上的一点， 12,F F 是椭圆的两个焦点，假设12∆PF F 的内切圆的半径为32，如此此椭圆的离心率为 ▲ ．12．假设函数)1ln(2ln )(+-=x kxx f 不存在零点，如此实数k 的取值范围是 ▲ ．13．函数xe x xf 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，如此实数a 的取值范围为 ▲ ． 14．设定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ，对任意),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，假设0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，且))(1,(*0N a a a x ∈+∈，如此实数a = ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答． 解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分为为14分〕定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．〔1〕求a ，b 的值；〔2〕假设对任意的t ∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k 的取值范围．16．〔本小题总分为为14分〕函数)50)(36cos(2)(≤≤+=x x f ππ，点B A ,分别是函数)(x f y =图象上的最高点和最低点．〔1〕求点B A ,的坐标以与OB OA ⋅的值；〔2〕设点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求的值．1F 2F yxP17．〔本小题总分为为14分〕如图1所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连结AB ，设点F 是AB 的中点． (1)求证：DE ⊥平面BCD ；(2)在图2中，假设EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B-DEG 的体积．18．〔本小题总分为为16分〕为了保护环境，开展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进展技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理本钱y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+-=]500,144[8000020021)144,120[50408031223x x x x x x x y ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，假设该项目不获利，国家将给予补偿．〔1〕当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，如此国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？〔2〕该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理本钱最低？19．〔本小题总分为为16分〕设A ，B 分别为椭圆22221+=x y ab (0)>>a b 的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设P 为直线4=x 上不同于点(4,0)的任意一点，假设直线AP 与椭圆相交于异于A 的点，证明：△MBP 为钝角三角形．20．〔本小题总分为为16分〕函数x a x x f ln 21)(2+=．〔1〕假设1-=a ，求函数)(x f 的极值，并指出极大值还是极小值； 〔2〕假设1=a ，求函数)(x f 在],1[e 上的最值；〔3〕假设1=a ，求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(xx g =的图象下方．2015届高三寒假作业测试答案 数学〔Ⅰ〕试题1．答案：4；由log2x≤2，得0<x≤4，即A ＝{x|0<x≤4}，而B ＝(－∞，a)，由于A ⊆B ，如此a>4，即c ＝4；2. 答案：1；由题意得命题“∀x ∈R ，x2＋2x ＋m>0〞是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.3. 答案：33；由条件得斜高为32)33(12=+ (m)．从而全面积S ＝34×22＋3×12×2×23＝3 3 (m2)．4. 答案：-4；圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r2＝2－a ，如此圆心(－1，1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4.7. 答案：(0,1)，解析 画出分段函数f(x)的图象如下列图，结合图象 可以看出，假设f(x)＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f(x)的图象 与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1). 8. 答案：等腰三角形；AC AB DC AD DB AD CD BD AD +=+++=--)()(2，BC AC AB =-，由()()20AB AC AD BD CD -⋅--=，即)(AC AB BC +⊥，由四边形垂直平分可得ABC ∆的是等腰三角形．9.答案：16；法一；由33122x y +=++化为xy y x xy 28≥+=-，因y x ,均为正实数，故4≥xy ；法二：由于33122x y+=++和xy 都是对称式，故令x=y=4．10.答案：2；设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，如下列图，所以AC1与下底 面所成角为∠C1AC ，记为α，所以cos2α＝AC2AC21＝a2＋b2a2＋b2＋c2，同理cos2 β＝a2＋c2a2＋b2＋c2，cos2γ＝b2＋c2a2＋b2＋c2，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2.答案：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝211. 答案：35；一方面12∆PF F 的面积为1(22)2a c r +⋅；另一方面12∆PF F 的面积为122⋅p y c，11(22)222+⋅=⋅p a c r y c ，∴()+⋅=⋅p a c r y c ，∴+=p y a c c r ，∴(1)+=p y a c r ，又4=p y ∴4511332p y a c r =-=-=，∴椭圆的离心率为35==c e a . 12. 答案：)4,0(；由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=>+>)1ln(2ln 010x kx x kx ，解得1->x 且0≠x ，由对数的性质可得2)1ln()1ln(2ln +=+=x x kx ，可得2)1(+=x kx )0,1(,21)1(2≠->++=+=⇒x x x x x x k由于,21-<+x x 或02121<++⇒≥+x x x x 或421≥++x x ， 要使函数)1ln(2ln )(+-=x kx x f 不存在零点，只需k 取21++x x 取值集合的补集，即}40|{<≤k x ，当0=k 时，函数无意义，故k 的取值范围应为：)4,0(13. 答案：)0,1()2,3(-⋃--；函数x e x x f 2)(=的导数为)2(22+=+='x xe e x xe y xx x ，令0='y ，如此0=x 或2-=x ，当)0,2(-∈x 时)(x f 单调递减，当)2,(--∞∈x 和),0(+∞∈x 时)(x f 单调递增0∴和2是函数的极值点，因为函数xe x xf 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，所以12+<-<a a 或2310-<<-⇒+<<a a a 或01<<-a ，14. 答案：1；对任意的),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，又由)(x f 是定义在),0(+∞上的单调函数，如此x x f 2log )(-为定值，设x x f t 2log )(-=，如此x t x f 2log )(+=，又由6)(=t f ，可得6log 2=+t t ，可解得4=t ，故2ln 1)(,log 4)(2x x f x x f ='+=，又0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，所以0x 是函数2ln 1log 4)()()(2x x x f x f x F -=-'-=的零点，分析易得04ln 112ln 211)2(,02ln 1)1(>-=-=<-=F F ，故函数)(x F 的零点介于)2,1(之间，故1=a ，故答案为：1 二、解答题：15. 解 (1)因为f(x)是奇函数，且定义域为R ，所以f(0)＝0，-------------------------2分 即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1. ---------------------------------------------------------4分 从而有f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2----6分经检验适合题意，∴a ＝2，b ＝1.-------------------------------------------------------7分 (2)由(1)知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).-----10分 因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t ∈R 有3t2－2t －k>0.------------------------------------------------------------12分 从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－13---------------------------------------------------14分16. 解：〔1〕∵,21)36cos(16736350≤+≤-∴≤+≤∴≤≤ππππππx x x --------3分当,336πππ=+x 即0=x 时，)(x f 取得最大值1，当即4=x 时，)(x f 取得最小值.2-因此，所求的坐标为).2,4(),1,0(-B A --------------------------------------------------5分如此;2).2,4(),1,0(-=⋅∴-==OB OA OB OA ----------------------------------------7分〔2〕∵点).2,4(),1,0(-B A 分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，如此,552cos ,55sin ,2=-==ββπα-------------------------------------------------10分如此,54552)55(2cos sin 22sin -=⨯-⨯==βββ.531)552(21cos 22cos 22=-⨯=-=ββ---------------------------------------------12分.1027)5453(22)24sin()22sin(=+=-=-∴βπβα--------------------------------------14分18. 解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，如此S ＝200x －⎪⎭⎫ ⎝⎛+-80000200212x x ＝－12x2＋400x －80 000＝－12(x －400)2， 所以当x ∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利.--------------------------3分 当x ＝300时，S 取得最大值-5 000，----------------------------------------------5分 所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损.-------------------------7分 (2)由题意可知二氧化碳的每吨处理本钱为⎪⎩⎪⎨⎧∈-+∈+-=]500,144[2008000021)144,120[504080312x x x x x x x y -------------------------------------------9分①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，yx 取得最小值240.-------------------------------------------------12分 ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x×80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，yx 取得最小值200.因为200<240，------15分 答：当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理本钱最低.----------16分20. 解：〔1〕)(x f 的定义域是),0(+∞x x x x x x x x f )1)(1(11)(2-+=-=-='当)1,0(∈x 时)(0)(x f x f ⇒<'在)1,0(上递减；-------------------------------2分 当),1(+∞∈x 时)(0)(x f x f ⇒>'在),1(+∞上递增，)(x f ∴的极小值是21)1(=f ，无极大值．------------------------------------------4分〔2〕01)(ln 21)(2>+='⇒+=x x x f x x x f 恒成立对],1[e x ∈，)(x f ∴在],1[e 上递增，------------------------------------------------------------------6分.21)1()(,121)()(min 2max ==+==∴f x f e e f x f --------------------------------10分word- 11 - / 11 〔3〕证明：令)1(32ln 21)()()(32≥-+=-=x x x x x g x f x h0)12)(1(1221)(2232≤++--=++-=-+='x x x x x x x x x x x h 在),1[+∞上恒成立， )(x h ∴在区间),1[+∞上递减，-----------------------------------------------------------12分 0613221)1()(<-=-=≤∴h x h -----------------------------------------------------------15分 ∴在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(x x g =的图象下方--------------16分。
江苏省启东中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试题(无答案)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．命题:p x ∀∈R ，方程310x x ++=的否定是 ▲ ．2．已知椭圆22110064y x +=上一点P 到一个焦点的距离为8，则点P 到另一焦点的距离 是 ▲ ．3．命题“若α为锐角，则sin 0α>”的否命题是 ▲ ．4．设双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是，则双曲线的方程 为 ▲ ．5．以点(1,2)为圆心，且与直线43150x y +-=相切的圆方程是 ▲ ．6．已知12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =，则12PF F ∆的面积为 ▲ ．7．若圆锥曲线22151y x k k +=--的焦距为k = ▲ ． 8．与圆22(3)9x y ++=外切且与圆22(3)1x y -+=内切的动圆圆心的轨迹方程为 ▲ ．9．已知椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在y ，过1F 的直线交椭圆于,A B ，且2ABF ∆ 的周长为16，则椭圆C 的方程为 ▲ ．10．将一个半径为R 的蓝球放在地面上，被阳光斜照留下的影子是椭圆．若阳光与地面成60角，则椭圆的离心率为 ▲ ．11．若直线1ax by +=与圆221x y +=相切，则实数ab 的最大值与最小值之差为 ▲ ．12．已知命题4:11p x --≤，命题22:q x x a a -<-，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．已知22:4O x y +=的两条弦,AB CD 互相垂直，且交于点M ，则A B C D +的最小值为 ▲ ．14．已知直线3y kx =+与曲线222cos 2(1sin )(1)0x y x y αα+-++-=有且只有一个公共点，则实数k 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． (本小题满分14分)已知命题:[0,1],e x p x a ∀∈≥；命题:q x ∃∈R ，使得240x x a ++=；若命题p q ∧是真命题，求实数a 的取值范围．16． (本小题满分14分)已知集合{}|22A x a x a =-+≤≤，{}2|41270B x x x =+-≤，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．17． (本小题满分14分)已知实数,x y 满足22(2)(1)1x y -+-=． ⑴求1y k x+=的最大值； ⑵若0x y m ++≥恒成立，求实数m 的范围．18． (本小题满分16分)已知点(4,4)P ，圆22:()5(3)C x m y m -+=<与椭圆2222:1(0)y x E a b a b +=>>有一个公共点(3,1)，1F 是椭圆的左焦点，直线1PF 与圆C 相切．⑴求实数m 的值；⑵求椭圆的方程．19． (本小题满分16分)已知圆22:24120C x y x y +---=和点(3,0)A ，直线l 过点A 与圆交于,P Q 两点．⑴若以PQ 为直径的圆的面积最大，求直线l 的方程； ⑵若以PQ 为直径的圆过原点，求直线l 的方程．20． (本小题满分16分)如图,已知椭圆1:E 22221(0)y x a b a b+=>>的左右顶点分别为,A A ',圆2222:E x y a +=,过椭圆的左顶点A 作斜率为1k 直线1l 与椭圆1E 和圆2E 分别相交于B 、C ． ⑴证明：22BA BA bk k a'⋅=-； ⑵若11k =时,B 恰好为线段AC 的中点,且3a =，试求椭圆的方程； ⑶设D 为圆2E 上不同于A 的一点,直线AD 的斜率为2k ,当2221k a k b =时,试问直线BD 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由．。
江苏2015届高三数学一校四题卷通州中学
一校四题（通州中学）1．如果直线ax －by ＋5＝0（a ＞0，b ＞0）和函数f (x )＝11x m ++（m ＞0，m ≠1）的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在22185(1)()24x a y b -++++=的内部或圆上，那么2ab a b+的取值范围是________________．35[,]792．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设α=∠11H AA ． （1）试用α表示11H AA ∆的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．解：（1）设1AH 为x ,∴4sin tan x x x αα++=， 4sin sin cos 1x ααα=++，()112218sin cos 2tan sin cos 1AA H x S ααααα=⋅=++,(0,)2πα∈， （2）令sin cos t αα=+∈， 只需考虑11AA H S 取到最大值的情况，即为()()22418411t S t t -==-++，当t =, 即︒=45α时, 11AA H S达到最大此时八角形所覆盖面积的最大值为64-322 ．3．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴是短轴的两倍，点1)2A 在椭圆上.不过原点的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，设直线OA 、l 、OB 的斜率分别为1k 、k 、2k ，且1k 、k 、2k 恰好构成等比数列，记△ABC 的面积为S ．（1）求椭圆C 的方程.（2）试判断22OA OB +是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？ （3）求S 的最大值．解：（1）由题意可知2a b =且223114a b +=21b ⇒=，所以椭圆的方程为2214x y += （2）设直线l 的方程为y kx m =+，1122(,)(,)A x y B x y 、由2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩⇒ 222(14)8440k x kmx m +++-=12221228144414km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩且2216(14)0k m ∆=+-> 12k k k 、、恰好构成等比数列.2121212y y k k k x x ∴===1212()()kx m kx m x x ++ 即()222222221484444m k k mk k m m +-=++--⇒22240k m m -+= 214k ∴=⇒12k =±此时216(2)0m ∆=->，即(m ∈ 12212222x x m x x m +=±⎧∴⎨⋅=-⎩ 2222221122OA OB x y x y +=+++=()2212324x x ++=()2121232254x x x x ⎡⎤+-+=⎣⎦ 所以22OA OB +是定值为5.（3）1212S AB d x =⋅=-1=当且仅当21m =即1m =±时，S 的最大值为1. 4．设a R ∈，函数21()(1)x f x x e a x -=--．（1）当1a =时，求()f x 在3(,2)4内的极值；（2）设函数1()()(1)xg x f x a x e -=+--，当()g x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）时，总有211()()x g x f x λ'≤，求实数λ的值．（其中()f x '是函数()f x 的导函数．）解：（1）当1a =时，21()(1)xf x x e x -=--，则211(2)()x x x x e f x e ----'=，令21()(2)x h x x x e -=--，则1()22x h x x e -'=--，显然()h x '在3(,2)4上单调递减.又因为31()042h '=-<，故3(,2)4x ∈时，总有()0h x '<，所以()h x 在3(,2)4上单调递减.又因为(1)0h =，所以当3(,1)4x ∈时，()0h x >，从而()0f x '>，这时()f x 单调递增， 当(1,2)x ∈时，()0h x <，从而()0f x '<，这时()f x 单调递减,当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在3(,2)4上的极大值是(1)1f =.-----------------------------5分（2）由题可知21()()x g x x a e -=-，则21()(2)x g x x x a e -'=-++.根据题意方程220x x a -++=有两个不等实数根1x ，2x ，且12x x <，所以440a ∆=+>，即1a >-，且122x x +=.因为12x x <，所有11x <. 由211()()x g x f x λ'≤，其中21()(2)x f x x x e a -'=--，可得1111222111()[(2)]x x x x a e x x e a λ---≤--又因为221112,2x x x a x =--=，2112a x x =-，将其代入上式得： 1111221111112(2)[(2)(2)]x x x x e x x e x x λ---≤-+-，整理得 11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤.即不等式11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤对任意1(,1)x ∈-∞恒成立 (1) 当10x =时，不等式11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤恒成立，即R λ∈； (2) 当1(0,1)x ∈时，11112(1)0x x eeλ---+≤恒成立，即111121x x e e λ--≥+ 令11121()2(1)11x xx e k x e e ---==-++，显然()k x 是R 上的减函数， 所以当(0,1)x ∈时，2()(0)1e k x k e <=+，所以21ee λ≥+；(3)当1(,0)x ∈-∞时，11112(1)0x x e e λ---+≥恒成立，即111121x x e e λ--≤+由（2）可知，当(,0)x ∈-∞时，2()(0)1e k x k e >=+，所以21ee λ≤+；综上所述，21ee λ=+。
江苏省启东中学2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试题(无答案)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1.若集合{}{}|13,|24A x x B x x =-<<=<<，则集合_____________A B =.2.已知{1,3,}A m =-，集合{3,4}B =，若B A ⊆,则实数=m .3.函数0y =定义域 .(区间表示) 4.若2)1(x x f =-，则)1(f =____________.5.若集合}{3,2,1=A ,{}4,3,1=B ,则B A 的真子集个数为 .6.函数)1()(x x x f -=的单调增区间为 .7.给定映射:(,)(2,2),f x y x y x y →+- 则映射f 下的对应元素为（3，1），则它原来的元素为 .8.若函数1)1(21)(2+-=x x f 的定义域和值域都是[]b ,1,则b 的值为___________. 9.若集合{}0442=++=x kx x A 中只有一个元素，则实数k 的值为 . 10.函数x x f 211)(--=的最大值是________．11.若函数3412++=ax ax y 的定义域为R ，则实数a 的取值范围 .12.函数)(x f 是定义在)1,1(-上的奇函数,且它为单调增函数,若0)1()1(2>-+-a f a f ,则a 的取值范围是 .13.函数)(x f 是偶函数，当[]2,0∈x 时，1)(-=x x f ，则不等式0)(>x f 在[]2,2-上的 解集为 . (用区间表示)14.对于实数a 和b ,定义运算*:22()*()a ab a b a b b ab a b ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ ，设()(21)*(1)f x x x =--，且关于x 的方程)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根，则m 的取值范围 .二、解答题（本大题6小题，共90分。
江苏省启东中学高三上学期第一次月考——数学(理)数学(理)
江苏省启东中学2015届高三上学期第一次月考数学（理）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．． 1．已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则 ．2．若命题“，有”是假命题，则实数的取值范围是 ．3．已知的终边在第一象限，则“”是“”的 条件．4.已知的定义域是，则的定义域为 ．5.已知角终边上一点的坐标是，则 ．6.已知曲线及点，则过点可向曲线引切线，其切线共有 条.7.化简：=-----++)3sin()3cos()23sin()2cos()tan(αππαπααπαπ ．8.设函数．若，则 ．9.函数|cos |sin cos |sin |)(x x x x x f ⋅+⋅=的值域为 ．10.已知函数在内是减函数，则实数的范围是 ．11.已知偶函数在单调递减，则满足的实数的取值范围是 ．12.已知锐角满足，则的最大值是 ．13.已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为 ．14.定义在上的可导函数,已知的图象如图所示，则的增区间是 .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）已知集合}0)]4()][1([|{},1121|{<+-+-=++-==a x a x x B x x y x A .分别根据下列条件，求实数的取值范围.（1）； （2）16.（本小题满分14分）设为实数，给出命题：关于的不等式的解集为，命题：函数]89)2(lg[)(2+-+=x a ax x f 的定义域为，若命题“”为真，“”为假，求实数的取值范围.17.（本小题满分15分）已知定义域为的函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）若存在，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 成立，求实数的取值范围.18.（本小题满分15分）设函数1cos 3sin )(++=x x x f .（1）求函数在的最大值与最小值；（2）若实数使得对任意恒成立，求的值.19.（本小题满分16分）已知某种型号的电脑每台降价成（1成为10%），售出的数量就增加成（为常数，且）.（1）若某商场现定价为每台元，售出台，试建立降价后的营业额与每台降价成所成的函数关系式.并问当，营业额增加1.25%时，每台降价多少？（2）为使营业额增加，当时，求应满足的条件.20.（本小题满分16分）设函数)()(R a a ax e x f x ∈+-=，其图像与轴交于两点，且.（1）求的取值范围；（2）证明：（为函数的导函数）；（3）设点在函数的图象上，且为等腰直角三角形，记，求的值.参考答案15.（本小题满分14分）（1）；（2）16.（本小题满分14分）或.17.（本小题满分15分）（1）；（2）.。
2015-2016年江苏省南通市启东市高三上学期数学期末试卷与解析
2015-2016学年江苏省南通市启东市高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B=．2．（5分）某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有名．3．（5分）如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=．4．（5分）函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为．5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k的值是．6．（5分）若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为．8．（5分）若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等于 ．9．（5分）设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（n ∈N +），则（•）= ．10．（5分）已知直线l ：x ﹣2y +m=0上存在点M 满足与两点A （﹣2，0），B （2，0）连线的斜率k MA 与k MB 之积为﹣1，则实数m 的取值范围是 ． 11．（5分）某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm 3，设该圆柱纸筒的底面半径为r ，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r 的值为 cm ．12．（5分）已知等比数列{a n }，首项a 1=2，公比q=3，a p +a p +1+…+a k =2178（k ＞p ，p ，k ∈N +），则p +k= ． 13．（5分）设函数f （x ）=，若函数y=f （x ）﹣2x +b 有两个零点，则参数b 的取值范围是 ．14．（5分）对任意实数x ＞1，y ＞，不等式p ≤+恒成立，则实数p的最大值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）已知函数f （x ）=2cos 2x +sin2x ．（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）在△ABC 中，若C 为锐角，f （A +B ）=0，AC=2，BC=3，求AB 的长．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是边BC 上异于C 的一点，AD ⊥C 1D ．（1）求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；（2）如果点E 是B 1C 1的中点，求证：平面A 1EB ∥平面ADC 1．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x 轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．18．（16分）如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出．坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM 和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米的造价为60万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时，才能使造价y最低？19．（16分）已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．20．（16分）已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且数列{b n}的前n项和为S n．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；﹣2S n=2，试问数列{b n}中是否存在一点b k，使得b k恰好可以表示为（2）若S n+1该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，PA，PB分别切圆O于A，B，过AB与OP的交点M作弦CD，连结PC，求证：[选修4-2：矩阵与变换]22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（1，1）在矩阵对应的变换下得到点Q（3，7），求M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．25．（10分）学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数，且．（1）求文娱队的队员人数；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．26．（10分）已知有穷数列{a n}共有m项（m≥3，m∈N*），对于每个i（i=1，2，3，…，m）均有a i∈{1，2，3}，且首项a1与末项a m不相等，同时任意相邻两项不相等．记符合上述条件的所有数列{a n}的个数为f（m）．（1）写出f（3），f（4）的值；（2）写出f（m）的表达式，并说明理由．2015-2016学年江苏省南通市启东市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B={x|0＜x≤2} ．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}2．（5分）某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有108名．【解答】解：∵样本容量为50，女生比男生多4人，∴样本中女生数为27人，又分层抽样的抽取比例为=，∴总体中女生数为27×4=108人．故答案为：108．3．（5分）如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=．【解答】解：复数z===的实部与虚部互为相反数，∴+=0，解得a=0．∴z=．∴|z|==．故答案为：．4．（5分）函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为[，1）．【解答】解：令t=x﹣x2 ＞0，求得0＜x＜1，可得函数的定义域为（0，1），f（x）=g（t）=lnt．本题即求函数t在定义域内的减区间，函数t在定义域内的减区间为[，1），故答案为：[，1）．5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k的值是3．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=1S=2，不满足条件S＞10，k=2，S=6不满足条件S＞10，k=3，S=15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故答案为：3．6．（5分）若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是．【解答】解：将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，基本事件总数n=23=8，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，有=3种放法，∴每个盒子中球数不小于其编号的概率：p=．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为10．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，∴，∴，∴a6=a1+5d=﹣3（a1+d）+4（a1+2d）≤﹣3×2+4×4=10，∴a6的最大值为10．故答案为：10．8．（5分）若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos （α+β）的值等于﹣．【解答】解：∵α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，∴α﹣=±，﹣β=﹣，∴α=β=或α+β=0（舍去）．∴cos（α+β）=﹣，故答案为：﹣．9．（5分）设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（n∈N+），则（•）=﹣1．【解答】解：•=sin sin+cos cos=cos（﹣）=cos．∴+=cos+cos=0，同理，+=0，+=0，…+=0．∴（•）=+=cos+cosπ=﹣1．故答案为﹣1．10．（5分）已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：设M（x，y），由k MA•k MB=3，得•=﹣1，即x2+y2=4．联立，得5y2﹣4my+m2﹣4=0．要使直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则△=（4m）2﹣20（m2﹣4）≥0，即m2≤20．解得m∈[﹣2，2]．∴实数m的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．11．（5分）某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3cm．【解答】解：设底面半径为r，高为h，则由题意得h=，∴S=2πrh+πr2=，∴S′=，当0＜r＜3时，S′＜0，当r＞3时，S′＞0，故r=3时，取得极小值，也是最小值，∴制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3．故答案为：3．12．（5分）已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比q=3，a p+a p+1+…+a k=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=10．【解答】解：依题意，a n=2•3n﹣1，则2178=a p+a p+…+a k+1==3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），又∵2178=9（243﹣1）=32•（35﹣1），∴，即，∴p+k=10，故答案为：10．13．（5分）设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：，由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，当g（x）=2x﹣b经过点（0，2）时，满足两个函数有两个交点，此时﹣b=2，即b=﹣2，当﹣b≥2，即b≤﹣2时，满足条件，当g（x）=2x﹣b与f（x）=e x﹣1相切时，由f′（x）=e x=2得x=ln2，y=e ln2﹣1=2﹣1=1，即切点坐标为（ln2，1），此时2ln2﹣b=1，即b=2ln2﹣1，当直线g（x）=2x﹣b经过原点时，b=0，∴要使两个函数有两个交点，则此时0＜b＜2ln2﹣1，综上0＜b＜2ln2﹣1或b≤﹣2，故实数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）14．（5分）对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤+恒成立，则实数p 的最大值为8．【解答】解：设a=2y﹣1，b=x﹣1，∵x＞1，y＞，∴a＞0，b＞0，且x=b+1，y=（a+1），则+=+≥2×=2×=2（++）≥2×（2+）=2（2+2）=8，当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时，取等号．∴p≤8，即p的最大值为8，故答案为：8．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长．【解答】解：（1）∵f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+1+sin2x=2sin（2x+）+1， (4)分∴函数f（x）的最小正周期T=．…7分（2）∵f（A+B）=0，∴sin（2A+2B+）=﹣，∵A，B是△ABC的内角，∴2A+2B+=，或2A+2B+=，解得：A+B=或A+B=，∵A+B+C=π，∴C=，或C=，∵C为锐角，∴可得C=，∵AC=2，BC=3，∴由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2﹣2AC×BC×cosC=12+9﹣2×，即AB=．…14分16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD ⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．【解答】（满分为14分）解：（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，∴AD⊥CC1．…（2分）又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1．…（5分）（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．平面C1AD⊥平面B1BCC1，∴D是BC中点，O是A1C中点，∴OD∥A1B，…（7分）∵点E是B1C1的中点，D是BC中点，∴BD EC1，∴四边形BDEC1为平行四边形，BE∥DC1，…（10分）∵BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，且A1B，BE⊂平面A1EB，DC1，OD⊂平面ADC1，∴平面A1EB∥平面ADC1．…（14分）17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x 轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，得，且，解得a=2，c=1，∴=，∴椭圆的标准方程为．（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，﹣y2），∴+=1，，直线PM的方程为y﹣y1=，直线PN的方程为y﹣y1=（x﹣x1），分别令y=0，得m=，n=，∴mn====4为定值，∴m•n为定值4．18．（16分）如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出．坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM 和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米的造价为60万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时，才能使造价y最低？【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AD=1；∴AC=2；BC⊥CD，BC⊥AD；∴BC⊥平面ACD，AC⊂平面ACD；∴BC⊥AC；∴，；∴=，（）；（2）=；令y′=0得，cosθ=；∵；∴；∴时，，1﹣2cosθ＜0，y′＜0，时，y′＞0；∴时，y有最小值，此时；∴当BM长为米时，才能使造价y最低．19．（16分）已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=a x﹣1+x2﹣xlna，则h′（x）=（a x﹣1）lna+2x，∵a＞1，∴当x＞0时，a x﹣1＞0，lna＞0，∴h′（x）＞0，即此时函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．（2）由（1）知，当a＞1时，函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，同理当0＜a＜1时，h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，即当a＞0，且a≠1时，h（x）在区间[﹣1，0）上是减函数，在区间（[0，1）上是增函数，当﹣1≤x≤1时，h（x）的最大值为h（﹣1）和h（1）中的最大值，∵h（1）﹣h（﹣1）=（a﹣lna）﹣（+lna）=a﹣﹣2lna，∴令G（a）=a﹣﹣2lna，a＞0，则G′（a）=1+﹣=（1﹣）2≥0，∴G（a）=a﹣﹣2lna，在a＞0上为增函数，∵G（1）=1﹣1﹣2ln1=0，∴a＞1时，G（a）＞0，即h（1）＞h（﹣1），最大值为h（1）=a﹣lna，当0＜a＜1时，G（a）＜0，即h（﹣1）＞h（1），最大值为h（﹣1）=+lna．（3）∵F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x）=﹣x2+xlna，∴设F（x）=﹣x3+x2lna+c，∵F（x）的图象过原点，∴F（0）=0，即c=0，则F（x）=﹣x3+x2lna．设切点为B（x0，﹣x03+x02lna），则B处的切线方程为：y﹣（﹣x03+x02lna）=（﹣x02+x0lna）（x﹣x0），将A的坐标代入得m﹣（﹣x03+x02lna）=（﹣x02+x0lna）（1﹣x0），即m=x03﹣（1+lna）x02+x0lna （※），则原命题等价为关于x0的方程（※）至少有2个不同的解，设φ（x）=x3﹣（1+lna）x2+xlna，则φ′（x）=2x02﹣（2+lna）x+lna=（x﹣1）（2x﹣lna），∵a＞e，∴＞1，当x∈（﹣∞，1）和（，+∞）时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）为增函数，当x∈（1，）时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）为减函数，∴φ（x）的极大值为φ（1）=﹣1﹣lna+lna=lna﹣，φ（x）的极小值为φ（lna）=ln3a﹣ln2a（1+lna）+ln2a=﹣ln3a+ln2a，设t=lna，则t＞，则原命题等价为对t＞恒成立，∴由m≤t﹣得m≤，∵s（t）=﹣t3+t2的最大值为s（4）=，∴由m≥﹣t3+t2，得m≥，即m=，综上所述当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，此时实数m的值为．20．（16分）已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且数列{b n}的前n项和为S n．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；﹣2S n=2，试问数列{b n}中是否存在一点b k，使得b k恰好可以表示为（2）若S n+1该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．【解答】解：（1）由题意知a n=2+（n﹣1）×2=2n，，∵S3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1+b2+b3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1﹣4b2+b3＜2012﹣2016，∴q2﹣4q+3＜0，解得1＜q＜3，又q为整数，∴q=2．﹣2S n=2，得S n﹣2S n﹣1=2，n≥2，（2）由S n+1﹣2b n=0，n≥2，两式相减得b n+1∵等比数列{b n}的公比为q，∴q=2，又n=1时，S2﹣2S1=2，∴b1+b2﹣2b1=2，解得b1=2，∴．数列{b n}中存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，即b k=b n+b n+1+b n+2+…+b n+p﹣1，∵，∴b k＞b n，∴2k＞2n+p﹣1，+p﹣1∴k＞n+p﹣1，∴k≥n+p，（*）又==2n+p﹣2n＜2n+p，∴k＜n+p，这与（*）式矛盾，∴假设不成立，故数列{b n}中不存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，证明：（3）∵b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），∴b2=b1q=a r q=a s=a r+（s﹣r）d，∴d=，∴，∵a s≠a r，∴b1≠b2，∴q≠1，又a r≠0，∴q=，∵t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数，∴q是正整数，且q≥2，对于{b n}中的任一项b i（这里只讨论i＞3的情形），有===）=，由于（s﹣r）（1q+…+q i﹣1）+1为正整数，∴b i一定是数列{a n}中的项．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，PA，PB分别切圆O于A，B，过AB与OP的交点M作弦CD，连结PC，求证：【解答】证明：因为PA、PB分别切圆O于点A、B，OP与AB交于M所以OP垂直平分AB又圆O中AB，CD交于M，由相交弦定理知DM•CM=AM•MB=AM2．连接OA，因为AP为圆O切线，所以∠OAP=90°又∠AMP=90°，所以∠OAM+∠MAP=∠MAP+∠APM=90°所以∠OAM=∠APM所以直角三角形AMO∽直角三角形PMA所以=所以PM•OM=AM2，又DM•CM=AM•MB=AM2，所以PM•OM=DM•CM，所以，又∠CMP=∠ODM所以△CMP∽△OMD所以．[选修4-2：矩阵与变换]22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（1，1）在矩阵对应的变换下得到点Q（3，7），求M﹣1．【解答】解：由=，∴，解得：，M=，丨M丨=1×4﹣2×3=﹣2M﹣1=×=，M﹣1=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．【解答】解：∵≤=1，（当且仅当x﹣5=7﹣x，即x=6时，等号成立），∴≤2，故函数的最大值为2．25．（10分）学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数，且．（1）求文娱队的队员人数；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．【解答】解：（Ⅰ）设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队的总人数为（7﹣x）人，那么只会一项的人数是（7﹣2x）人，∵ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（ξ＞0）=，∴P（ξ=0）=1﹣P（ξ＞0）=1﹣=，∴P（ξ=0）==，解得x=2，∴该文娱队的总人数为5人．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ01 2PEξ==．26．（10分）已知有穷数列{a n }共有m 项（m ≥3，m ∈N *），对于每个i （i=1，2，3，…，m ）均有a i ∈{1，2，3}，且首项a 1与末项a m 不相等，同时任意相邻两项不相等．记符合上述条件的所有数列{a n }的个数为f （m ）． （1）写出f （3），f （4）的值；（2）写出f （m ）的表达式，并说明理由． 【解答】解：（1）f （3）=3×2×1=6， f （4）=3×2×2+3×2×1×1=18种， （2）f （m ）=2m +2•（﹣1）m ，（*）理由如下：当m=3时，f （3）=6，符合（*）式， ①假设当m=k 时，（*）成立，即f （k ）=2k +2•（﹣1）k ， 那么m=k +1时，因为a 1有3种取法，a 2有2种取法，…，a k 有2种取法，a k +1若仅与a k 不同，则有2种取法，一种与a 1数不同，符合要求，有f （k +1）个，一种与a 1数相同，不符合要求，当相当与k 项有穷数列的个数，有f （k ）个，则有3×2k =f （k +1）+f （k ），∴a k +1=﹣a k +3×2k =﹣2k ﹣2（﹣1）k +3×2k =2k +1+2（﹣1）k +1， 即n=k +1时，（*）也成立， 由①②可知，（*）成立．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
江苏省四市2015届高三第一次调研考试（一模）数学试题及答案
徐州、淮安、宿迁、连云港四市2015届高三第一次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，1．己知集合{}{}0,1,2,3,2,3,4,5A B ==，则AB 中元素的个数为_______．2．设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______．3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为_______．5．如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值为_____．6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为______. 7. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()log (2)f x x =-，则(0)(2)f f +的值为_____. 8. 在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______. 9. 若实数,x y 满足40x y +-³，则226210z x y x y =++-+的最小值为_____. 10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线2AB 与直线1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为______. 11．将函数2sin()(0)4y x pw w =->的图象分别向左、向右各平移4p个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则w 的最小值为______．12．己知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a +3b 的最小值为________. 13．已知函数22,0,()2,0x x f x x x x +ì-³ï=í<ïî，则不等式(())3f f x £的解集为______. 14．在△ABC 中，己知中，己知 3,45AC A =Ð=，点D 满足满足 2CD BD =，且，且 13AD =，则BC 的长为_______ ．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题14分，18～20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）分） 己知向量(1,(1,2sin 2sin ),(sin(),1)3a b p q q ==+，R q Î．(1)若a b ^，求tan q 的值：的值：(2)若//a b ，且(0,)2p qÎ，求q 的值．的值．16．（本小题满分14分）分）如图，在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ^平面ABC ． (1)若AB ^BC ，CD ^PB ，求证：CP ^P A ：(2)若过点A 作直线上平面ABC ，求证：，求证： //平面PBC ．17.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中，己知点(3,4),(9,0)A B -，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC =BD . （1）若AC =4，求直线CD 的方程; （2）证明：D OCD 的外接圈恒过定点(异于原点O ). 18.(本小题满分16分) 如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ，AD 为4 4 km.km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P 到边AD 的距离为t (单位:km)，△BEF 的面积为S (单位: 2km ). (I)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域; (2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过32km ?并说明理由. 19.(本小题满分16分) 在数列{}na中，已知12211,2,nn n a a aaa n N l *++==+=+Î，l 为常数. (1)证明: 14,5,a a a 成等差数列; (2)设22n na a n c +-=，求数列，求数列 的前n 项和项和 n S ；（3）当0l ¹时，数列数列 {}1n a -中是否存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列若存在，求出,,s t p 的值；若不存在，说明理由. 20.(本小题满分16分) 己知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+Î(1)若(1)0f =，求函数，求函数 ()f x 的单调递减区间; (2)若关于x 的不等式()1f x ax £-恒成立，求整数恒成立，求整数 a 的最小值: (3)若 2a =-，正实数，正实数 12,x x 满足满足 1212()()0f x f x x x ++=，证明: 12512x x -+³附加题部分21.【选做题】本题包括A, B, C, D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A 选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分) 如图，O 是△ABC 的外接圆，AB = A C AC ，延长BC 到点D ，使得CD = AC ，连结AD 交O 于点E .求证:BE 平分ÐABC .B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分) 已知,a b R Î，矩阵1 3a A b -éù=êúëû所对应的变换A T 将直线将直线 10x y --=变换为自身，求a ,b 的值。
江苏省南通市启东中学2015-2016学年高一下学期第一次月考数学试卷 含解析
2015—2016学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷一、填空题（每题5分，共70分)1．若,则S50= ．2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC=BC，则点A在点B的．3．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，则a= ．4．图1,2，3，4分别包含1，5,13和25个互不重叠的单位正方形,按同样的方式构造图形，则第n个图包含个互不重叠的单位正方形．5．直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围为．6．某人向正东方向走了x km后向右转了150°,然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好km，那么x的值为．7．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低36％，则平均每年应降低成本．8．在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项,4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形的形状是．9．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变,并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回,则可取回的钱的总数（元)为．10．在数列｛a n｝中,，记T n=a1•a2•…•a n，则使成立的最小正整数n= ．11．《九章算术》“竹九节"问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．12．已知函数f（x）=log2(x+1），且a＞b＞c＞0，则的大小顺序是．13．等比数列{a n｝中，a1=1,a n=(n=3，4,…），则｛a n｝的前n项和为．14．若数列{a n},｛b n｝的通项公式分别是a n=(﹣1）n+2010•a，，且a n＜b n 对任意n∈N*恒成立,则常数a的取值范围是．二、解答题（共90分）15．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，其外接圆半径为1,且有（1）求A、B、C的大小；（2）求△ABC的面积．16．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里?17．某人年初向银行贷款10万元用于购房，(1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%,且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元?（2)如果他向工商银行贷款，年利率为4％,要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次,每年应还多少元?(其中：1.0410=1.4802）18．一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到,记为；②当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f(n）是前一个结果f（n﹣1）的倍．（1)当从A口分别输入自然数2,3，4 时，从B口分别得到什么数？并求f(n）的表达式；（2）记S n为数列{f(n）}的前n项的和．当从B口得到16112195的倒数时，求此时对应的S n 的值．19．等比数列｛a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点（n，S n)，均在函数y=b x+r（b ＞0)且b≠1，b，r均为常数）的图象上．（1）求r的值;（2）当b=2时,记b n=（n∈N*）,求数列{b n}的前n项和T n．20．记公差d≠0的等差数列｛a n}的前n项和为S n,已知a1=2+，S3=12+3．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n．（2）已知等比数列{b nk}，b n+=a n,n1=1,n2=3，求n k．（3）问数列{a n}中是否存在互不相同的三项构成等比数列,说明理由．2015-2016学年江苏省南通市启东中学高一(下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(每题5分,共70分）1．若，则S50= ﹣25 ．【考点】数列的求和．【分析】根据SN表达式，采用分组法为宜，从第一项起每相邻两项的和为﹣1．进行计算．【解答】解:S50=（1﹣2)+(3﹣4）+…+（49﹣50）=（﹣1）+(﹣1)+…+（﹣1）=﹣25故答案为：﹣252．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC=BC，则点A在点B的北偏西15°．【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案．【解答】解：如图，∵AC=BC,由图可知，∠CAB=∠CBA=45°,利用内错角相等可知，A位于B北偏西15°．故答案为：北偏西15°．3．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10,则a= ﹣4 ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设这三个数为b﹣d，b，b+d，再根据已知条件寻找关于b，d的两个方程，通过解方程组即可获解．【解答】解:由互不相等的实数a，b，c成等差数列,可设a=b﹣d,c=b+d,由题设得，∵d≠0,∴b=2,d=6，∴a=b﹣d=﹣4,故答案为：﹣4．4．图1,2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含2n2﹣2n+1 个互不重叠的单位正方形．【考点】归纳推理．【分析】根据图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，寻找其规律,可得第n个图包含1+4个互不重叠的单位正方形．【解答】解：设第n个图包含a n个互不重叠的单位正方形．∵图1,2,3，4分别包含1,5,13和25个互不重叠的单位正方形，∴a1=1，a2=5=1+4=1+4×1,a3=13=1+4+8=1+4×（1+2)，a4=25=1+4+8+12=1+4×(1+2+3）∴a n=1+4=1+4×=2n2﹣2n+1故答案为：2n2﹣2n+15．直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围为．【考点】直线的倾斜角．【分析】由于直线xcosα+y+2=0的斜率为﹣，设此直线的倾斜角为θ，则0≤θ＜π，且﹣≤tanθ≤,由此求出θ的围．【解答】解：由于直线xcosα+y+2=0的斜率为﹣，由于﹣1≤cosα≤1, ∴﹣≤﹣≤．设此直线的倾斜角为θ，则0≤θ＜π，故﹣≤t anθ≤．∴θ∈．故答案为：．6．某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好km，那么x的值为或2．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】作出图象,三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x 的方程即可求得x的值．【解答】解:如图，AB=x，BC=3，AC=,∠ABC=30°．由余弦定理得3=x2+9﹣2×3×x×cos30°．解得x=2或x=故答案为或2．7．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低36%，则平均每年应降低成本20％．【考点】等比数列的通项公式．【分析】先设平均每年降低x,然后根据经过两年使成本降低36%,列出方程解之即可．【解答】解：设平均每年降低x，（1﹣x）2=1﹣36％解得x=20%或x=180％（舍去)．故平均每年降低20％．故答案为:20%．8．在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形的形状是锐角三角形．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】根据已知结合等差数列的性质和等比数列的性质，可求出tanA和tanB,代入两角和的正切公式，结合诱导公式，可得tanC的值，进而判断出三个角的大小，进而判断出三角形的形状．【解答】解：设以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差为d则d= =2即tanA=2设以为第三项，9为第六项的等比数列的公比为q则q==3即tanB=3则tan(A+B）=﹣tanC==﹣1即tanC=1故A，B,C均为锐角故△ABC为锐角三角形故答案为:锐角三角形9．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为．【考点】数列的应用;等比数列的前n项和．【分析】由题意知可取回的钱的总数a（1+p）7+a（1+p)6+…+a(1+p)，再由等比数列求和公式进行求解即可．【解答】解：第一年存的钱到期可以取：a（1+p）7，第二年存的钱到期可以取：a（1+p）6，…可取回的钱的总数:a（1+p）7+a(1+p）6+…+a（1+p）==．故答案为．10．在数列{a n｝中，,记T n=a1•a2•…•a n，则使成立的最小正整数n= 11 ．【考点】数列的求和．【分析】由T n=a1•a2•…•a n，根据同底数幂的乘法可知：T n=，根据等差数列的前n项和公式，,即可求得＞5，即可求得n的最小正整数．【解答】解：T n=a1•a2•…•a n，=•••…•，=，=，=∵，∴＞5,∴n2+n﹣110＞0，解得：n＞10或n＜﹣11，由n∈N＊，最小正整数为：11．故答案为：11．11．《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．【考点】数列的应用．【分析】由题设知，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第5节的容积．【解答】解：由题设知,解得，∴=．故答案为：．12．已知函数f(x）=log2（x+1），且a＞b＞c＞0，则的大小顺序是．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】利用对数函数的图象及性质，数形结合，把看作与原点连接直线的斜率，即可得到答案．【解答】解:由题意，可将分别看作函数f（x）=log2（x+1）图象上的点（a，f(a)），（b，f（b）),（c，f（c)）与原点连线的斜率．结合图象可知当a＞b＞c＞0时，．故填：．13．等比数列{a n｝中，a1=1，a n=（n=3，4，…），则｛a n｝的前n 项和为n或﹣×（)n．【考点】数列递推式．【分析】由已知条件，先求出公比,再根据前n项和公式计算即可．【解答】解：设公比为q，由a n=，∴2a n=+，∴2=+，解得q=1或q=﹣，当q=1时，a1=1，a n=1，S n=n,当q=﹣,a1=1，S n==﹣×（）n，故答案为：n或﹣×（）n，14．若数列｛a n},{b n｝的通项公式分别是a n=（﹣1)n+2010•a，，且a n＜b n对任意n∈N*恒成立，则常数a的取值范围是．【考点】数列与不等式的综合．【分析】根据题中已知条件先求出数列｛a n｝，{b n｝的规律,然后令（a n）max＜(b n)min即可求出a的取值范围．【解答】解：数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n+2010•a=(﹣1）n•a,∴数列｛a n}为﹣a，a，﹣a，a，﹣a，a,…，﹣a，a,…数列{b n｝的通项公式为=2+，∴数列｛b n｝为2+1，2﹣，2+，2﹣，…,2+，…要想使a n＜b n对任意n∈N＊恒成立，则(a n）max＜（b n)min，当a＞0时则有a＜2﹣,即a＜,当a＜0时，则有﹣a≤2，即a≥﹣2，则a的取值范围为﹣2≤a＜，故答案为2=（b﹣1）b2×(b+r)解可得r=﹣1，（2)当b=2时,a n=（b﹣1）b n﹣1=2n﹣1,bn=则T n=Tn=相减，得Tn=+=所以Tn=20．记公差d≠0的等差数列｛a n}的前n项和为S n，已知a1=2+，S3=12+3．(1)求数列｛a n}的通项公式a n及前n项和S n．（2）已知等比数列{b nk}，b n+=a n，n1=1,n2=3，求n k．（3)问数列{a n｝中是否存在互不相同的三项构成等比数列,说明理由．【考点】数列递推式．【分析】(1）在等差数列｛a n｝中，由已知求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；(2)由b n+=a n，得,结合数列{｝是等比数列即可求得;（3）假设存在三项a r，a s,a t成等比数列,则,即有，整理后分rt﹣s2≠0和rt﹣s2=0推得矛盾，可知不存在满足题意的三项a r，a s，a t．【解答】解：（1）在等差数列｛a n}中,∵a1=2+，S3=12+3，∴，得d=2,∴，；（2）∵b n+=a n,∴，∴，又数列｛｝的首项为，公比q=,∴，则，故; （3）假设存在三项a r，a s，a t成等比数列,则，即有,整理得：，若rt﹣s2≠0，则，∵r，s，t∈N＊，∴是有理数，与为无理数矛盾；若rt﹣s2=0，则2s﹣r﹣t=0,从而可得r=s=t，这样r＜s＜t矛盾．综上可知，不存在满足题意的三项a r,a s，a t．2016年10月28日。
启东中学2015届高三上学期第一次月考英语试题
注意事项：本试卷分第Ⅰ卷(选择题) 和第II卷(非选择题) 两部分，共120分。
考试时间120分钟。
考生注意：第I卷答案必须全部写在答题纸卡，写在试卷上或装订线内一律不给分。
第一卷(选择题共95分)第一部分：听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What is the man probably doing?A. Moving a sofa.B. Washing his hands.C. Doing the washing.2. When will the two speakers certainly have finished the project?A. By September.B. By July.C. By March.3. Why did the man hurt his back?A. He lifted the heavy weights．B. He isn‘t really a professional．C. He didn‘t warm up before lifting．4. Where does the conversation most probably take place?A. In an office.B. In a restaurantC. In a store．5. What is the man now?A. A teacher.B. A librarian.C. A government official．第二节(共15小题；每小题1分，满分15分)听下面5段对话。
江苏省启东市启东中学2015届高三数学下学期期初调研测试试卷 理
江苏省启东市启东中学2015届高三数学下学期期初调研测试试卷 理注 意 事 项1．本试卷包含填空题（第1题～第14题，共14题）、解答题（第15题～第20题，共6题），总分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上．3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符．4．请用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题，在其它位置作答一律无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1．已知集合A ＝{x|log2x≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝ ▲ ． 2．由命题“∃x ∈R ，x2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝ ▲ ．3．底面边长为2 m ，高为1 m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m2.4．圆x2＋y2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a = ▲ ． 5．已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为 ▲ .6．设常数a 使方程 a x x =+cos 3sin 在闭区间]2,0[π上恰有三个解321,,x x x ，则=++321x x x ▲ ．7． 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2)1(223x x x xy ，若关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ .8．已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()()20AB AC AD BD CD -⋅--=，则ABC ∆ 的形状是 ▲ ．9．设y x ,均为正实数，且33122x y +=++，则xy 的最小值为 ▲ ．10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1. 类比到空间中的一个正确命题是：在长方 体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ ▲ _．11．已知点(,4)P m 是椭圆22221+=x y ab (0)>>a b 12,F F 是椭圆的两个焦点，若12∆PF F 的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为 ▲ ．12．若函数)1ln(2ln )(+-=x kxx f 不存在零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13．函数xe x xf 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 14．设定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ，对任意),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，若0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，且))(1,(*0N a a a x ∈+∈，则实数a = ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答． 解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分为14分）已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k 的取值范围．16．（本小题满分为14分）已知函数)50)(36cos(2)(≤≤+=x x f ππ，点B A ,分别是函数)(x f y =图象上的最高点和最低点．（1）求点B A ,的坐标以及OB OA ⋅的值；（2）设点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求)22sin(βα-的值．17．（本小题满分为14分）如图1所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连结AB ，设点F 是AB 的中点．(1)求证：DE ⊥平面BCD ；(2)在图2中，若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B-DEG 的体积．18．（本小题满分为16分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+-=]500,144[8000020021)144,120[50408031223x x x x x x x y ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．（1）当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 19．（本小题满分为16分）设A ，B 分别为椭圆22221+=x y a b (0)>>a b 的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设P 为直线4=x 上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：△MBP 为钝角三角形．20．（本小题满分为16分）已知函数x a x x f ln 21)(2+=．（1）若1-=a ，求函数)(x f 的极值，并指出极大值还是极小值； （2）若1=a ，求函数)(x f 在],1[e 上的最值；（3）若1=a ，求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(xx g =的图象下方．2015届高三第二学期期初调研测试数学（Ⅱ）加试题22．（本小题满分为10分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边(),02AB t t=<<，连接A1B，A1C，A1D．（1）当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B-A1C-D的值；（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说23．（本小题满分为10分）设数列}{na的前n项和为nS，已知λ+=+nnSS12（*N∈n，λ为常数），21=a，12=a．（1）求数列}{na的通项公式；（2）求所有满足等式111+=--+mnnamSmS成立的正整数m，n．C1AB CDA1B1D12015届高三寒假作业测试答案 数学（Ⅰ）试题1．答案：4；由log2x≤2，得0<x≤4，即A ＝{x|0<x≤4}，而B ＝(－∞，a)，由于A ⊆B ，则a>4，即c ＝4；2. 答案：1；由题意得命题“∀x ∈ R ，x2＋2x ＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.3. 答案：33；由条件得斜高为32)33(12=+ (m)．从而全面积S ＝34×22＋3×12×2×23＝3 3 (m2)．4. 答案：-4；圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r2＝2－a ，则圆心(－1，1)到直线x ＋y＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4.5. 答案：4+；BC AB BC AB S ⨯=⨯=424sin 21π，BC AB BC AB ⨯-+=2164cos 22π，得BC AB BC AB BC AB ⨯≥+=⨯+221622，)22(8+≤⨯BC AB ，6. 答案：37π；ax x x x x =+=+=+)3sin(2)cos 23sin 21(2cos 3sin π，直线与三角函数图象的交点，在]2,0[π上，当3=a 时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令32323)3sin(ππππ+=+⇒=+k x x 或)(3223Z k k x ∈+=+πππ，即πk x 2=或)(32Z k k x ∈+=ππ，∴此时ππ2,3,0321===x x x ，37321π=++∴x x x ．7. 答案：(0,1)，解析 画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象 可以看出，若f(x)＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f(x)的图象 与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1). 8. 答案：等腰三角形；ACAB DC AD DB AD CD BD AD +=+++=--)()(2，BC AC AB =-，由()()20AB AC AD BD CD -⋅--= ，即)(AC AB BC +⊥，由四边形垂直平分可得ABC ∆的是等腰三角形．9.答案：16；法一；由33122x y +=++化为xy y x xy 28≥+=-，因y x ,均为正实数，故4≥xy ；法二：由于33122x y+=++和xy 都是对称式，故令x=y=4．10.答案：2；设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，如图所示，所以AC1与下底 面所成角为∠C1AC ，记为α，所以cos2α＝AC2AC21＝a2＋b2a2＋b2＋c2，同理cos2 β＝a2＋c2a2＋b2＋c2，cos2γ＝b2＋c2a2＋b2＋c2，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2.答案：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝211. 答案：35；一方面12∆PF F 的面积为1(22)2a c r +⋅；另一方面12∆PF F 的面积为122⋅p y c，11(22)222+⋅=⋅p a c r y c ，∴()+⋅=⋅p a c r y c ，∴+=p y a c c r ，∴(1)+=p y a c r ，又4=p y ∴4511332p y a c r =-=-=，∴椭圆的离心率为35==c e a . 12. 答案：)4,0(；由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=>+>)1ln(2ln 010x kx x kx ，解得1->x 且0≠x ，由对数的性质可得2)1ln()1ln(2ln +=+=x x kx ，可得2)1(+=x kx )0,1(,21)1(2≠->++=+=⇒x x x x x x k由于,21-<+x x 或02121<++⇒≥+x x x x 或421≥++x x ， 要使函数)1ln(2ln )(+-=x kx x f 不存在零点，只需k 取21++x x 取值集合的补集，即}40|{<≤k x ，当0=k 时，函数无意义，故k 的取值范围应为：)4,0(13. 答案：)0,1()2,3(-⋃--；函数x e x x f 2)(=的导数为)2(22+=+='x xe e x xe y xx x ，令0='y ，则0=x 或2-=x ，当)0,2(-∈x 时)(x f 单调递减，当)2,(--∞∈x 和),0(+∞∈x 时)(x f 单调递增0∴和2是函数的极值点，因为函数x e x x f 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，所以12+<-<a a 或2310-<<-⇒+<<a a a 或01<<-a ，14. 答案：1；对任意的),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，又由)(x f 是定义在),0(+∞上的单调函数，则x x f 2log )(-为定值，设x x f t 2log )(-=，则x t x f 2log )(+=，又由6)(=t f ，可得6log 2=+t t ，可解得4=t ，故2ln 1)(,log 4)(2x x f x x f ='+=，又0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，所以0x 是函数2ln 1log 4)()()(2x x x f x f x F -=-'-=的零点，分析易得04ln 112ln 211)2(,02ln 1)1(>-=-=<-=F F ，故函数)(x F 的零点介于)2,1(之间，故1=a ，故答案为：1二、解答题：15. 解 (1)因为f(x)是奇函数，且定义域为R ，所以f(0)＝0，-------------------------2分 即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1. ---------------------------------------------------------4分 从而有f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2----6分经检验适合题意，∴a ＝2，b ＝1.-------------------------------------------------------7分 (2)由(1)知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).-----10分 因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t ∈R 有3t2－2t －k>0.------------------------------------------------------------12分 从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－13---------------------------------------------------14分17. 解：(1)证明：在题图1中，因为AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°， 所以∠ACB ＝60°.因为CD 为∠ACB 的平分线，所以∠BCD ＝∠ACD ＝30°，所以CD ＝2 3.------------------------==--------------------------------------------------2分 又因为CE ＝4，∠DCE ＝30°，所以DE ＝2.则CD2＋DE2＝CE2，所以∠CDE ＝90°，即DE ⊥CD.-------------=-----------------------------------------5分在题图2中，因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD∩平面ACD ＝CD ，DE ⊂平面ACD ，所以DE ⊥平面BCD.--------------------------------======----------------------------------7分 (2)在题图2中，因为EF ∥平面BDG ，EF ⊂平面ABC ，平面ABC∩平面BDG ＝BG ，所以EF ∥BG.--------------10分 因为点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点， 所以AE ＝EG ＝CG ＝2.过点B 作BH ⊥CD 交于点H.因为平面BCD ⊥平面ACD ，BH ⊂平面BCD ，所以BH ⊥平面ACD.-------------------------==-------------------------------------12分 由条件得BH ＝32.又S △DEG ＝13S △ACD ＝13×12AC·CD·sin 30°＝3，所以三棱锥B-DEG 的体积为V ＝13S △DEG·BH ＝13×3×32＝32.-------=------14分 18. 解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎪⎭⎫ ⎝⎛+-80000200212x x ＝－12x2＋400x －80 000＝－12(x －400)2， 所以当x ∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利.--------------------------3分当x ＝300时，S 取得最大值-5 000，----------------------------------------------5分 所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损.-------------------------7分 (2)由题意可知二氧化碳的每吨处理成本为⎪⎩⎪⎨⎧∈-+∈+-=]500,144[2008000021)144,120[504080312x x x x x x x y -------------------------------------------9分①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，yx 取得最小值240.-------------------------------------------------12分 ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x×80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，yx 取得最小值200.因为200<240，------15分 答：当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.----------16分19．解析：（1）由题意：24=a ，所以2=a ．所求椭圆方程为22214+=x y b ．又点在椭圆上，可得21=b ．所求椭圆方程为2214+=x y ．-----------5分 （2）证明：由（1）知：(2,0),(2,0)-A B ．设(4,)P t ，(,)M M M x y ． 则直线PA 的方程为：(2)6=+ty x ．--------------------------------------------------7分由22(2),644,⎧=+⎪⎨⎪+=⎩t y x x y 得2222(9)44360+++-=t x t x t ．----------------------------------8分 因为直线PA 与椭圆相交于异于A 的点M ，所以22429--+=+M t x t ，所以222189-+=+M t x t ．----------------------------------------10分 由(2)6=+M M t y x ，得269=+M ty t ．所以2222186(,)99-+++t t M t t ．从而22246(,)99=-++ t t BM t t ，(2,)= BP t ．------------------------------------------12分所以22228699⋅=-+++ t t BM BP t t 22209=-<+t t ．------------------------------------14分 又,,M B P 三点不共线，所以∠MBP 为钝角．-------------------------------------15分 所以△MBP 为钝角三角形．----------------------------------------------------------16分20. 解：（1）)(x f 的定义域是),0(+∞x x x x x x x x f )1)(1(11)(2-+=-=-='当)1,0(∈x 时)(0)(x f x f ⇒<'在)1,0(上递减；-------------------------------2分 当),1(+∞∈x 时)(0)(x f x f ⇒>' 在),1(+∞上递增， )(x f ∴的极小值是21)1(=f ，无极大值．------------------------------------------4分（2）01)(ln 21)(2>+='⇒+=x x x f x x x f 恒成立对],1[e x ∈，)(x f ∴在],1[e 上递增，------------------------------------------------------------------6分.21)1()(,121)()(min 2max ==+==∴f x f e e f x f --------------------------------10分（3）证明：令)1(32ln 21)()()(32≥-+=-=x x x x x g x f x h)12)(1(1221)(2232≤++--=++-=-+='x x x x x x x x x x x h 在),1[+∞上恒成立，)(x h ∴在区间),1[+∞上递减，-----------------------------------------------------------12分 0613221)1()(<-=-=≤∴h x h -----------------------------------------------------------15分∴在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(xx g =的图象下方--------------16分数学（Ⅱ）加试题21.（本小题共2小题，满分20分）．B ．解：由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，------------------5分同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321，， ， a b c d ====． 因此ad －bc ＝2－6＝－4． ---------------------10分 C ．解：（1）消去参数得直线l 的直角坐标方程：x y 3=- --------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得 θρθρcos 3sin =)(3R ∈=⇒ρπθ.（ 也可以是：3πθ=或)0(34≥=ρπθ） ----------------5分（2）⎪⎩⎪⎨⎧==--+303sin 2sin cos 2222πθθρθρθρ得0332=--ρρ -----------------------------7分 设)3,(1πρA ，)3,(2πρB ， 则154)(||||2122121=--=-=ρρρρρρAB . ------10分 （若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分） 22．解：根据题意可知，AA1, AB,AD 两两垂直， 以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA1为z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系：（1）长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1 -----------------------1分 所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形 则()()()()()110,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0A B C A B BC =-=，设平面A1BC 的法向量(),,m x y z =，则00x z y -=⎧⎨=⎩，取1x z ==，得：()1,0,1m = ， 同理可得平面A1CD 的法向量()0,1,1n =所以，1cos ,2m n m n m n ⋅==⋅-----------------------------4分又二面角B-A1C-D 为钝角，故值是120︒ ---------------------------5分 （也可以通过证明B1A ⊥平面A1BC 写出平面A1BC 的法向量） （2）根据题意有()()(),0,0,,2,0,0,2,0B t C t t D t --，若线段A1C 上存在一点P 满足要求，不妨11A P AC λ=，可得()(),2,1P t t λλλ-- ()()(),2,1,,2,0BP t t t BD t t λλλ=---=--1100BP A C BD A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即：()()()()22221020t t t t t t λλλ⎧-+---=⎪⎨-+-=⎪⎩解得：21,3t λ==------------------------------------------------------------------9分即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P ， 位置是线段A1C 上1:2:1A P PC =处. ---------------------------------------------10分当2=m 时，由（*）得622=⨯n，所以无正整数解； 当3=m 时，由（*）得82=n，所以3=n ．综上可知，存在符合条件的正整数3==n m ． ---------------------------10分。
江苏省启东中学高考数学等差数列习题及答案 百度文库
一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（ ）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n2．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）A ．1315B ．2335C ．1117 D ．493．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11B ．12C ．23D ．246．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）A ．7B ．8C ．7或8D ．97．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．168．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7B ．10C ．13D ．169．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．210．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24011．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24012．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60B ．11C ．50D ．5513．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A ．48B ．60C ．72D ．2414．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19 B ．20 C ．21 D ．22 15．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ）A ．24B ．23C ．17D ．1616．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<17．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36B ．48C ．56D ．7218．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2119．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15B ．30C ．3D ．6420．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ）A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！23．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列C ．2020312a <<D ．2020314a << 24．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6525．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T < 27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为2228．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列29．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列D ．数列{}3n a nd +是递增数列30．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案． 【详解】11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 2．C 【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117.故选C 3．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 4．B 【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ． 【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-， 所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤， 当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确． 又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．5．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=，81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 6．C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|， 所以当7,8n =时，n S 有最小值． 故选：C 7．A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 8．C【分析】由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.故选：C 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 10．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 11．B 【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==，解得88a =， 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=． 故选：B 12．D 【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =， 所以()1111161111552a a S a +===.故选：D. 13．A 【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a -=++=，代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选：A 14．B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1n n a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ， 由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅，所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=，所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立， 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 15．A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解：根据题意，5282045252a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=， 故选：A. 16．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 17．A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =，所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 18．B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，故选：B. 19．A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，12111a a d =+，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==， 所以12a 的值是15， 故选：A 20．D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120nn n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-， 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=， 整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++， ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ． 【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解.二、多选题 21．无22．无23．ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122xf x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x ，即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数， 即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题. 24．ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 25．BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 26．AC 【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112xf x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，所以()1112x f x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥；当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 27．AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.28．BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 29．AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d -<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确， 1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n 不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题. 30．ABC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 0a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．。
启东市启东中学届高三高考模拟考试数学试题及答案(5月)
2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用 规定位置．
0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效．作答必须用 米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚．
0.5 毫
一. 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．． 上．
▲.
4. 某学校为了解该校 600 名男生的百米成绩（单位： s），随机选择了 50 名学生进行调查，
下图是这 50 名学生百米成绩的频率分布直方图。根据样本的频率分布，估计这
600 名学
生中成绩在 [13,15] （单位： s）内的人数大约是
▲.
5. 阅读下列程序：输出的结果是
▲.
Read S 1
N，使 NO= , 其中 A（ 0， 3），则圆心 M横坐标的取值范围 ▲ .
13. 设函数 f ( x) 在 R上存在导数 f ' (x) , 对任意的 x R 有 f ( x) f ( x) x2 , 且在
(0, ) 上 f ' (x) x . 若 f (2 a) f (a) 2 2a , 则实数 a 的取值范围 ▲
绝密★启用前
江苏省启东中学 2014 届高考模拟考试 2014.5.24 数学Ⅰ试题 启中数学教研组制卷
注 意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题——第 20 题）．本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后请将答题卡交回．
（2）在（ 1）的条件下，过点 P 0,t t 0 作直线 l 与椭圆 C只有一个交点，且截椭圆 C
江苏省2015届高三数学一校四题卷 启东市汇龙中学
启东市汇龙中学13.已知函数02,()(2),2,x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()n k n N *∈，直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n +个不同交点，则数列{}2n k 的前n 项和为 . 答案：44nn +解析：函数()y f x =的图象是一系列半径为1的半圆，因为直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n +个不同交点，所以直线n y k x =与第n+1个半圆相切，所以1,=21111()4(1)41nk n n n n ==-++，所以22212.44n nk k k n +++=+L 17.（函数类应用题）汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离。
某型汽车的刹车距离s(单位米)与时间t(单位秒)的关系为32510s t k t t =-⋅++,其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量。
（1）当k=8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k 的取值范围。
解析：（１）当8k =时，325810s t t t =-++，这时汽车的瞬时速度为V='215161s t t =-+，……………….1分令'0s =，解得1t =（舍）或115t =，……………….3分当115t =时，6752210=s ，所以汽车的刹车距离是6752210米。
……………….6分 （２）汽车的瞬时速度为'v s =，所以21521v t kt =-+ 汽车静止时0v =，故问题转化为215210t kt -+=在[]1,2内有解。
……………….7分又21511215t k t t t+==+，115t t+≥，当且仅当115,t t t ==.8分 []1,2t =，∴记1()15f t t t=+，'21()15f t t =-，[1,2]t ∈，'21()150f t t∴=->，()f t ∴单调递增，……….10分⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴261,16)(t f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈261,162k ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k ，……………….13分故k 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k 。
江苏省南通市2015届高三第一次调研考试数学试卷
南通市2015届高三第一次调研测试数学I一、填空题1. 已知集合{2,1},{1,2,3}A B =--=-，则A B = .2. 已知复数z 满足()341(i z i +=为虚数单位)，则z 的模为 .3. 某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 .4. 函数2()lg(23)f x x x =-++的定义域为 .5. 有图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 .6. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为 .7. 底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为 .8. 在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物线24y x =焦点的双曲线的方程是9. 在平面直角坐标系xOy 中，记曲线2(,2)m y x x R m x=-∈≠-1x =处的切线为直线l .若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为 .10. 已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若()(0)2y f x πϕϕ=-<<是偶函数，则ϕ= .11. 在等差数列{}n a 中，已知首项10a >，公差0d >.若122360,100a a a a +≤+≤，则155a a +的最大值为 .12. 已知函数(0)x y a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .13. 如上图，圆O 内接∆ABC 中，M 是BC 的中点，3AC =.若4AO AM ⋅=，则AB = .14. 已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且1|23|,12(),11(),222 x x f x f x x --≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩则函数2()3y xf x =-在区间 ()12015，上的零点个数为 . 二、解答题15. 在∆ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知cos cos 2cos .b C c B a A +=()1求角A 的大小；()2若3,AB AC ⋅=，求∆ABC 的面积.16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,4,AC BC CC M ⊥=是棱1CC 上的一点. ()1求证：BC AM ⊥；()2若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M .17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为()0,b ，且∆12BF F 是边长为2的等边三角形.()1求椭圆的方程；()2过右焦点2F 的直线l 与椭圆交于,A C 两点，记∆2ABF ，∆2BCF 的面积分别为12,S S .若122S S =，求直线l 的斜率.18. 在长为20m ，宽为16m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点)C ，展厅入口位于长方形的长边的中间，在展厅一角B 点处安装监控摄像头，使点B 与圆C 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示).()1若圆盘半径为，求监控摄像头最小水平视角的正切值；()2过监控摄像头最大水平视角为60，求圆盘半径的最大值.(注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现的夹角.)19.若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点. 已知函数3()3ln 1().f x ax x x a R =+-∈ ()1当0a =时，求()f x 的极值；()2若()f x 在区间1(,)e e 上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .若()*1122n na n N a +≤≤∈，则称{}n a 是“紧密数列”. ()1若数列{}n a 的前n 项和为()()2*134n S n n n N =+∈，证明：{}n a 是“紧密数列”； ()2设数列{}n a 是公比为q 的等比数列.若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求.q 的取值范围.数学Ⅱ附加题部分注意事项1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
启东中学2013—2014学年度第一学期第二次月考试卷高三数学
高三数学
命题人：***
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卡相应的位置上．
1．设集合A＝｛x｜－ ＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，则A∪B＝▲．
2．命题“ x∈R，x2+ax+1<0”的否定是“▲”．
3．公比为 的等比数列 的各项都是正数，且 ，则 ▲．
13．已知向量 满足 ，若 ，则 所有可能的值为▲．
14．正项数列{an}满足a1= 1，a2= 2，又{ }是以 为公比的等比数列，则使得不等式 ＞2013成立的最小整数n为▲．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
(I)按下列要求写出函数关系式：
①设 (米)，将 表示成 的函数关系式；
②设 ，将 表示成 的函数关系式.
(II)求梯形部件ABCD面积 的最大值．
19.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率 ， 分别是椭圆 的左、右两个顶点，圆 的半径为 ，过点 作圆 的切线，切点为 ，在 轴的上方交椭圆 于点 ．
（3）设 ，若 ， ，使得 ，求
实数b的取值范围．
4．函数 的最小正周期是为▲．
5．在平面直角坐标系 中，若直线 （e是自然对数的底数）是曲线 的一条切线，则实数b的值为▲．
6．若函数 的零点为 ，则满足 的最大整数k=▲．
7．设幂函数 的图象经过点 ，则 的值为▲．
8．若“ ”是“ ”成立的充分条件，则实数 的取值范围是▲．
9．中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为 ，则此双曲线的离）证明： ．
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江苏省启东中学高三数学备课组供题
试题1：已知椭圆的中心在坐标原点O, A,C分别是椭圆的上下顶点，B是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，直线AF与BC相交于点D。
若椭圆的离心率为，则∠BDF的正切值。
解析：因为∠,tan∠ACB=,所以tan∠BDF=tan(∠CAF+∠
ACB)=.
试题2：已知数列满足（1）当k=1时，求（2）当k=2时,证明:
解析：当k=1时，
.
(2)，所以
(n所以n, 又
试题3：已知椭圆的离心率e=，右准线L与x轴交于点p(4,0)，
过p作两直线分别与椭圆交于A,B(A在B右）与C，D（C在D右）,直线AB与CD交于Q点。
（1）求椭圆方程。
（2）点Q在定直线上。
解析：（1）（2）设直线PA:代入椭圆方程
，
所以
同理.
所以
所以直线BC：y-
即y=
①
同理直线AD ：y=
②
①②得x=1. 所以点Q 在定直线x=1上。
试题4：已知函数
.(1)
在定义域上单调性相反，求
的最
小值。
（2）当
时，求证：存在
，使
的三个不同的实数解
，且对任意
且
都有
解析：(1)因为22'
'22212(2)(),();(1)ax bx cx c x c f x g x x x x -+-+--==+当1
2
a =
时，2'
21
()x bx f x x
-+=
； ①当1b ≤时，2210x bx -+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，
所以，0)('≥x f 对(0,)x ∈+∞恒成立，所以，()f x 在(0,)x ∈+∞上为增函数。
根据()f x 和()g x 在定义域上单调性相反得，
()g x 在),0(+∞上为减函数，所以'()0g x ≤对(0,)x ∈+∞恒成立，
即：24(1)x c x ≤+，所以2
4(1)x
c x ≥+
因为2
2
41(1)(2)x x x ≤=+，当且仅当1x =时，24(1)x x +取最大值1. 所以1c ≥，此时||b c +的最小值是1，
②当1b >时，方程2210x bx -+=有两个不等的正实根22121,1,x b b x b b =-=- 当1(0,)x x ∈时，'()0f x >，()f x 为增函数； 当12(,)x x x ∈时，'()0f x <，()f x 为减函数 当2(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 为增函数
根据()f x 和()g x 在定义域上单调性相反得，
当1(0,)x x ∈时，'()0g x <，()g x 为减函数； 当12(,)x x x ∈时，'()0g x >，()g x 为增函数 当2(,)x x ∈+∞时，'()0g x <，()g x 为减函数
由此可得，22(2)0cx c x c -+--=的两个根也是1x ，2x ，且0c -<； 又224(2)40c c ∆=-->，即1c <，所以01c <<
由122(2)2c x x b c -+==，得2
1b c =-
因此，||b c +=21c c +-，因为(0,1)c ∈时，2
1c c +-为减函数，
故||b c +=2
1c c
+-2>，综上所述，||b c +的最小值是1
(2)因为2'
221
(),ax bx f x x
-+=
当0b >时，
0a >，且一元二次方程22210ax bx -+=的24(2)0b a ∆=->，
所以2
2210ax bx -+=
有两个不相等的实根12x x =
= 当1(0,)x x ∈时，()f x 为增函数；1()(,())f x f x ∈-∞
当12(,)x x x ∈时，()f x 为减函数；21()((),())f x f x f x ∈ 当2(,)x x ∈+∞时，()f x 为增函数；2()((),)f x f x ∈+∞
所以当21((),())m f x f x ∈时，()f x m =一定有3个不相等的实根1t ，2t ，3t 分别在1122(,)+x x x x -∞∞、(，)、(，
)内 不妨设i j t t <，因为(),()i j f t m f t m ==，所以()()i j f t f t = 即22ln 2ln 2i i i j j j t at bt t at bt +-=+- 即22ln ln ()2()i j i j i j t t a t t b t t -=--+- 即
1
ln ()2i i j i j j
t a t t b t t t =-++- 所以
1
ln ()2i i j i j j
t a t t b t t t =-++- 所以221
[2()]ln i i j i j i j i j j t b a t t t t t t t t t --+=-++-]ln )(2[1tj t t t t t t t i j i j i j i -+--= ]ln 1)1(
2[1tj t t t t t t t i j i j
i
j i -+--= 令t tj t i =，则t t t tj t
t t t t i j
i j i ln 1
)
1(2ln 1
)1(2-+-=
-+- 由（1）知x x x x g ln 1
2
2)(-+-=
在),0(+∞上为减函数，又0)1(=g 所以当，10<<t 0
ln 1)
1(2>-+-t t t ，又,01<-j
i t t 所以,0)](2[2<+--+j i j i t t a b t t 即).(22
j i j
i t t a b t t +-<+。