2011年中考数学一轮复习：三角函数的综合运用
高三数学一轮复习教学案：三角函数
三角函数1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ϕω+=x A y 的简图，理解ϕω、A 、的物理意义．5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 表示角．6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．第1课时 任意角的三角函数一、角的概念的推广1．与角α终边相同的角的集合为 ．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．4．象限角是指： ．5．区间角是指： ．6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．8．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；10．三角函数的符号与角所在象限的关系：1213的正弦线、余弦线、正切线．－ ＋ －+cos x , ＋ ＋ －－sin x ,－ ＋ ＋－tan x ,x y O xy O x y O2α,2α ,3α的终边所在位置.解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k ∈Z ），∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.（2）∵k·180°+45°＜2α＜k·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时，n·360°+45°＜2α＜n·360°+90°；当k=2n+1（n ∈Z ）时，n·360°+225°＜2α＜n·360°+270°.∴2α是第一或第三象限的角.（3）∵k·120°+30°＜3α＜k·120°+60°（k ∈Z ），当k=3n （n ∈Z ）时，n·360°+30°＜3α＜n·360°+60°；当k=3n+1（n ∈Z ）时，n·360°+150°＜3α＜n·360°+180°；当k=3n+2（n ∈Z ）时，n·360°+270°＜3α＜n·360°+300°.∴3α是第一或第二或第四象限的角.变式训练1：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k ∈Z ），60°+k·120°＜3α＜90°+k·120°.①当k=3m(m ∈Z )时，可得60°+m·360°＜3α＜90°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第一象限.②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得180°+m·360°＜3α＜210°+m·360°（m ∈Z ).故3α的终边在第三象限.③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得300°+m·360°＜3α＜330°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限.综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k ∈Z .（2）作直线x=21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k ∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sinx ＜23.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),则x=4t,y=-3t,r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|,当t ＞0时，r=5t, sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=5353=--=t t r y , cos α=5454-=-=t t rx , tan α=4343-=-=t t x y . 综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-; t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.变式训练3：已知角θ的终边经过点P ()(0),sin m m m θ≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．解：由题意，得0,4r m m ==≠∴= 故角θ是第二或第三象限角．当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。
数学三角函数综合应用
数学三角函数综合应用数学是一门抽象而又具有广泛应用的学科，而三角函数则是数学中的重要分支之一。
三角函数的概念和性质在数学中有着广泛的应用，涉及到物理、工程、计算机科学等领域。
本文将探讨数学三角函数的综合应用，并且通过实际例子来说明其在现实生活中的应用。
一、三角函数的基本概念在介绍三角函数的综合应用之前，我们首先需要了解三角函数的基本概念。
三角函数是描述角度和边长之间关系的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
其中，正弦函数表示一个角的对边与斜边之间的比值，余弦函数表示一个角的邻边与斜边之间的比值，正切函数表示一个角的对边与邻边之间的比值。
二、三角函数在几何中的应用1. 三角函数在三角形中的应用三角函数在几何中有着广泛的应用，特别是在三角形的计算中。
通过利用三角函数，我们可以计算出三角形的边长、角度等信息。
例如，在已知一个角和两边的情况下，可以利用正弦定理或余弦定理来计算出三角形的其他边长。
这在实际生活中的测量和建模中非常有用，比如在建筑工程中测量建筑物的高度、角度等。
2. 三角函数在航海中的应用三角函数在航海中也有着重要的应用。
在航海中，船只需要确定自己的位置和航向，而这些信息可以通过测量角度和距离来获得。
通过利用三角函数，可以计算出船只和目标点之间的距离和方向。
这在航海导航和定位中非常重要，可以帮助船只准确地找到目标位置。
三、三角函数在物理中的应用1. 三角函数在力学中的应用三角函数在物理学中的应用非常广泛，特别是在力学中。
在力学中，我们经常需要计算物体的运动轨迹、速度和加速度等信息。
而这些信息可以通过利用三角函数来计算得到。
例如，在斜面上滚动的物体，可以通过分解力的分量，利用三角函数来计算物体在斜面上的加速度和速度。
2. 三角函数在波动中的应用三角函数在波动中也有着重要的应用。
在波动中，我们经常需要计算波的振幅、频率和波长等信息。
而这些信息可以通过利用三角函数来计算得到。
例如，在声波中，可以利用正弦函数来描述声波的振动情况，从而计算出声波的频率和波长。
中考重点三角函数及其应用
中考重点三角函数及其应用中考重点：三角函数及其应用一、三角函数的基本概念和关系三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在中考中，对于三角函数的认识和运用是重点考查的内容。
1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，它们的定义如下：对于任意角θ（θ为弧度制），其正弦值为sinθ，余弦值为cosθ。
在直角三角形中，以角θ为锐角，邻边和斜边的比值称为正弦，邻边和斜边的比值称为余弦。
在解决三角函数相关问题时，需要掌握基本的正弦函数和余弦函数的性质，以便进行计算和推导。
2. 正切函数和余切函数正切函数和余切函数是另外两个常用的三角函数，它们的定义如下：对于任意角θ（θ为弧度制），其正切值为tanθ，余切值为cotθ。
在直角三角形中，以角θ为锐角，邻边和对边的比值称为正切，对边和邻边的比值称为余切。
与正弦函数和余弦函数类似，正切函数和余切函数也具有特定的性质，需要在解题过程中正确运用。
二、三角函数的应用三角函数在数学中的应用非常广泛，涉及代数、几何、物理等多个领域。
在中考中，三角函数的应用是一个重点考察的内容，下面我们来介绍几个常见的应用场景。
1. 三角形的计算三角函数在解决三角形相关问题时起到了重要的作用。
在计算三角形的边长、角度等问题时，可以通过运用正弦定理、余弦定理等方法来求解。
以计算三角形的面积为例，假设已知三角形的两边长分别为a和b，夹角为θ，则三角形的面积可以通过公式S=1/2ab*sinθ来计算得出。
这个公式利用了正弦函数的性质，很好地体现了三角函数在几何中的应用。
2. 直角三角形的求解直角三角形是最简单的三角形形式之一，它的特点是其中一个角为90度。
在解决直角三角形相关问题时，可以运用三角函数来求解未知变量。
例如，已知一个直角三角形的斜边长为c，一个锐角为θ，则可以通过运用正弦函数和余弦函数的关系来计算出其他两条边的长度。
三、解决问题的思路和方法在中考中，对于三角函数的应用题目，解题的思路和方法往往是非常重要的。
高考数学一轮复习 4.5三角函数的综合应用课件
∪[1,+∞, 13 ).
或1 y≥1.
3
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14
三角函数最值的求法 1.涉及正、余弦函数以及asin x+bcos x,利用有界性处理. 2.y=asin2x+bsin x+c可利用换元法转化为二次函数,通过配方结合三角函数 的有界性求解. 3.形如y= c o s的x 函a 数问题,一般利用直线的斜率,通过数形结合求解.
课标版 理数 § 4.5 三角函数的综合应用
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1
知识梳理
1.当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈(0,+∞))表示一个振动量时,A叫做①
振幅 ,T= 2 叫做② 周期 , f= 1 叫做③ 频率 ,ωx+φ叫做④ 相
ω
T
位 ,φ叫做⑤ 初相 .
2.三角函数模型的应用 (1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象. (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
4
2
8
(2)令t=sin
x,则y=t2+t-1=
t
-1
2
2 ,t∈5 [-1,1],
4
∴y∈
5.
4
,
1Hale Waihona Puke (3)y=3-cosx-2sin2x=2cos2x-cos
x+1=2
co s+x
.1
4
2
7 8
由x∈
6
,,7得6 -1≤cos
x≤
.3
2
∴当cos x= 1 时,ymin=7 ;当cos x=-1时,ymax=4.
1 tan α tan β 1 1 3 1
2011中考数学复习课件：第34讲 锐角三角函数及解直角三角形
(1)(2010· 哈尔滨)在 Rt△ABC 中， ∠C＝90° ∠B＝35° AB＝7， BC 的长为( ， ， 则 7 A．7sin35° B. C．7cos35° D．7tan35° cos35° 4 (2)(2010· 黄冈)在△ABC 中，∠C＝90° ，sinA＝ ，则 tanB＝________.( ) 5 4 3 3 4 A. B. C. D. 3 4 5 5
【答案】D
2．(2010· 山西)在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，若将各边长度都扩大为原来的 2 倍，则∠A 的正弦值( ) A．扩大 2 倍 B．缩小 2 倍 C．扩大 4 倍 D．不变
【解析】在直角三角形中，∠A 的正弦是∠A 的对边与斜边的比值，当∠A 固定时，其 正弦值也是一个固定值，所以直角三角形各边都扩大 2 倍时，其比值不变，故选择 D.
【答案】4 3－3 或 4 3＋3
17.(2011 中考预测题)如图， 在△ABC 中∠C＝90° ∠B＝30° AD 是∠BAC 的平分线． ， ， 已 知 AB＝4 3，那么 AD＝________.
【解析】 Rt△ABC 中，∠B＝30° 在 ，AB＝4 3，∴AC＝2 3.又 AD 平分∠CAB，∠CAB AC 2 3 ＝60° ，∴∠CAD＝30° Rt△ACD 中，cos30° .在 ＝ ，∴AD＝ ＝4. AD 3 2 【答案】4
(2)(2009· 株州)如图， 在△ABC 中， ∠C＝90° 点 D、 分别在 AC、 上， 平分∠ABC， ， E AB BD 3 DE⊥AB，AE＝6，cosA＝ . 5 求①DE、CD 的长；②tan∠DBC 的值．
【点拨】解直角三角形的关键在于灵活地选择正确的关系式，选择的标准是关系式中既 包括已知量又包括未知量．
中考数学知识点三角函数的公式
中考数学知识点三角函数的公式中考数学知识点三角函数的公式关于初中三角函数公式，在考试中用的最多的就是特殊三角度数的'特殊值。
下面一起来看看！三角函数的公式sin30°=1/2sin45°=√2/2sin60°=√3/2cos30°=√3/2cos45°=√2/2cos60°=1/2tan30°=√3/3tan45°=1tan60°=√3[1]cot30°=√3cot45°=1cot60°=√3/3其次就是两角和公式，这是在初中数学考试中问答题中容易用到的三角函数公式。
两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)除了以上常考的初中三角函数公示之外，还有半角公式和和差化积公式也在选择题中用到。
所以同学们还是要好好掌握。
半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB- ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA.CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)(注：SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式A sinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2-sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4c osa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式，只需将一式，左右同除(sinα)^2，第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证：A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+si n[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+c os[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0。
中考数学全景透视一轮复习学案：函数的综合应用
100件，现在他采
2. 市煤气公司要在地下修建一个容积为4m3的圆柱形煤气储存室．
(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深
(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，
金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多
三：【课后训练】
一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米．小军先走了一段路程，
分钟后登山的速度比小军快
h=3.5t-4.9t2 (t的单位：。
2011年九年级中考数学总复习(精品课件)专题10综合性问题
解综合题时常用的思想方法
化归思想、方程思想、函数思想、数形结合 思想、分类讨论思想、运动变换思想等。 配方法、换元法、待定系数法、综合法、分 析法、面积法等。
近年来中考综合题举例
代数知识综合题 几何知识综合题 坐标系内代数与几何结合综合题 图形中几何与代数结合综合题 用代数知识解决实际问题 用几何知识解决实际问题
综合性问题
略解（ ） 得到DH=2.4 略解（1）由BC=10,BD=3,△BHD∽△BAC 得到
综上所述， 为等腰三角形． 综上所述，当x为3.6或6或7.5时，△PQR为等腰三角形． 为 或 或 时 为等腰三角形
小结
一要注意在单点运动变化的过程中，哪些图形（如线段、 一要注意在单点运动变化的过程中，哪些图形（如线段、三角 形等）随之运动变化，即确定整个单点运动变化过程中图形中的变 形等）随之运动变化， 量和不变量． 是两个不变量， BQ、 量和不变量．如本题中线段PQ和∠PQR是两个不变量，线段BQ、QR 是两个变量， 的形状也在变化． 是两个变量，以及△PQR的形状也在变化． 二要运用相应的几何知识， 二要运用相应的几何知识，用单点运动引起的某一变量x，表示图 形中其它的变量． 形中其它的变量．如本题中运用△RQC∽ △ABC ，用变量x表示变 量y．
中考数学综合题类型
综合方程、函数等有关知识解决数学问题。 综合平行线、三角形、四边形、圆等有关知识解 决数学问题。 在直角坐标系内,综合运用点的坐标、距离、函 数、方程等代数知识，并结合所学的几何知识解 决数学问题。 在几何图形中综合运用有关几何知识，并结合所 学的代数知识解决数学问题。 运用代数或几何的有关知识解决实际问题。
综合性问题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、 综合性问题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解 题方法活、能力要求高、 题方法活、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求大家具 有一定的创新意识和创新能力等特点。 有一定的创新意识和创新能力等特点。 中考的区分度和选拔功能主要靠这类题型来完成预设目标。 中考的区分度和选拔功能主要靠这类题型来完成预设目标。
数学中考一轮复习：三角函数-锐角三角函数要点集锦
初中数学锐角三角函数要点集锦考点考纲要求分值考向预测锐角三角函数要点1. 理解正弦、余弦、正切的定义及计算公式；2. 能够推导并掌握特殊角的三角函数值；3. 能够理解与锐角三角函数有关的公式。
3~5分主要考查为利用三角函数的定义求值，利用特殊角的三角函数值进行计算，难度不大，分值也不高，理解定义是解决问题的关健。
一、锐角三角函数基本定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A；把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A。
即：sinA＝；cosA＝；tanA＝。
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
ABCabc对边邻边斜边【随堂练习】（贵阳）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为（）A. B. C. D.思路分析：首先画出图形，进而求出AB的长，再利用锐角三角函数求出即可。
答案：解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝＝13，则sinA＝＝，故选：D。
三角函数角度αsinαcosαtanα30°45° 160°【重要提示】1. 各三角函数值可通过直角三角形性质及勾股定理求出边长从而求出比值；2. 锐角三角函数值的取值范围及增减情况：①∠A的正弦函数、余弦函数的取值范围是：0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，即任意锐角的正弦、余弦值都大于0而小于1；而正切是两直角边的比，所以∠A的正切函数取值范围是：tanA＞0，即任意锐角的正切值都大于0。
②当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。
三、同角、互余两角的锐角三角函数值的关系：1. 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值；即：。
中考数学基础复习第21课三角函数及其应用课件
D.BD= m
cos
反思:在直角三角形中,利用三角函数概念写出对应线段比.
【考点2】解直角三角形
例2.(202X·安徽)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,∠DBC=∠A.若
AC=4,cos A= 4 ,则BD的长度为 ( C )
5
A ．9
B．12
4
5
C ．15
D．4
4
变式1.(202X·南充)如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,求sin ∠BAC的值.
∴a2=4+(8-a)2,∴a= 17,∴CM= 15,
∴tan
α=tan
4
∠DMC=
CD ＝
8.
4
MC 15
反思:构造直角三角形,利用三角函数转化为线段的比例.
【学后检测】 1.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么tan α的值是( D )
A. 3
B. 3
5
4
4
4
C.
D.
5
3
2.(202X·苏州)如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度,他做了如下操 作:(1)在点C处放置测角仪,测得旗杆顶的仰角∠ACE=α;(2)量得测角仪的高 度CD=a;(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b.利用锐角三角函数解直角三角 形的知识,旗杆的高度可表示为( A )
【考点4】三角函数的数学应用 例4.(202X·南京)如图,在边长为2 cm的正六边形ABCDEF中,点P在BC上,求 △PEF的面积.
【解析】连接BF,BE,过点A作AT⊥BF于T,
∵ABCDEF是正六边形,
∴CB∥EF,AB=AF,∠BAF=120°,
中考数学重要知识点解析三角函数的计算与应用
中考数学重要知识点解析三角函数的计算与应用三角函数是中学数学中的重要知识点，它在几何学和三角学的相关领域中有着广泛的应用。
掌握三角函数的计算与应用，对于中考数学的学习至关重要。
本文将对三角函数的计算方法和应用进行解析。
一、弧度制和角度制的转换在计算三角函数时，有时会涉及到角度的转换。
在数学中，角度的计量方式有角度制和弧度制两种。
角度制是将一个圆周等分为360等份，以度（°）作为计量单位；而弧度制是以圆的弧长所对应的圆心角作为计量单位。
在数学中，我们常常使用45°和π/4两种表示方式，它们是等价的。
具体转换公式如下：弧度制角度 = 弧度× (180/π)角度制角度 = 角度× (π/180)二、常用三角函数的计算在三角函数中，最常用的三个函数是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
这些函数的值与角度的大小有着密切的关系。
可以通过查表或计算器进行具体数值的计算。
1. 正弦函数正弦函数的定义为：sinθ = 对边/斜边其中θ为角度，对边指的是与角度θ相对的边，斜边指的是三角形中斜边的长度。
正弦函数的取值范围是[-1, 1]。
2. 余弦函数余弦函数的定义为：cosθ = 邻边/斜边其中θ为角度，邻边指的是与角度θ相邻的边，斜边指的是三角形中斜边的长度。
余弦函数的取值范围也是[-1, 1]。
3. 正切函数正切函数的定义为：tanθ = 对边/邻边其中θ为角度，对边指的是与角度θ相对的边，邻边指的是与角度θ相邻的边。
正切函数的取值范围是(-∞, +∞)。
三、三角函数的应用三角函数在几何学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
在中考数学中，我们也常常需要运用三角函数来解决一些实际问题。
以下是几个常见的应用场景：1. 三角形的边长计算已知一个三角形的两个角度和一个边长，我们可以利用三角函数来计算其他边长的值。
例如，已知一个直角三角形的一个锐角为30°，另一个锐角为60°，我们可以利用sin30°和cos30°来计算三角形的边长。
三角函数的复习与综合应用
三角函数的复习与综合应用一、简介三角函数是数学中重要的概念之一，在几何和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将对三角函数的基本概念进行复习，并结合实际问题进行综合应用。
二、三角函数的基本概念复习1. 正弦函数正弦函数是数学中最基本的三角函数之一，通常表示为sin(x)。
在直角三角形中，正弦函数可以定义为斜边与对边之比。
例如，在一个直角三角形中，若对边长为a，斜边长为c，则sin(x) = a / c。
2. 余弦函数余弦函数是另一个重要的三角函数，通常表示为cos(x)。
在直角三角形中，余弦函数可以定义为斜边与临边之比。
例如，在一个直角三角形中，若临边长为b，斜边长为c，则cos(x) = b / c。
3. 正切函数正切函数是三角函数中的又一个重要概念，通常表示为tan(x)。
正切函数可以定义为对边与临边之比。
例如，在一个直角三角形中，若对边长为a，临边长为b，则tan(x) = a / b。
4. 三角函数的性质除了上述基本定义外，三角函数还具有一些重要的性质。
例如，正弦函数和余弦函数是周期性函数，周期为2π；正切函数则是以π为周期。
三、三角函数的综合应用1. 几何问题三角函数在几何学中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用正弦函数求解不规则图形的面积。
假设一个不规则图形的某条边的长度为a，与该边夹角的正弦值为sin(x)，那么这条边和与之相对的边所形成的三角形的面积为1/2 * a * sin(x)。
2. 物理问题三角函数在物理学中的应用也是非常常见的。
例如，在力学中，我们可以利用正弦函数和余弦函数来分解一个力的分量，以便更好地分析物体的运动状态。
具体而言，如果一个物体受到一个斜向上的力F，夹角为α，我们可以用F * sin(α)来表示该力在竖直方向上的分量，用F * cos(α)来表示该力在水平方向上的分量。
3. 工程问题在工程中，三角函数的应用也是不可或缺的。
例如，在建筑工程中，我们需要计算教堂尖顶的高度。
2011年中考数学锐角三角函数实际应用权威汇编
2011年中考数学锐角三角函数实际应用权威汇编1．如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛(在A 点)到水平地面的距离AD＝91cm，沿AB方向观测物体的仰角α＝33º，望远镜前端(B 点)与眼睛(A点)之间的距离AB＝153cm，求点B到水平地面的距离BC的长(精确到0.1cm，参考数据：sin33º＝0.54，cos33º＝0.84，tan33º＝0.65)．2．为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度．3．(12分)关于三角函数有如下的公式：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ……①cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ……②tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ………………③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105º＝tan(45º＋60º)＝tan45º＋tan60º1－tan45º·tan60º＝1＋31－1·3＝(1＋3)(1＋3)(1－3)(1＋3)＝－(2＋3)．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α＝60º，底端C点的俯角β＝75º，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD 的高．第19题图4、（本小题8分）如图，河流的两岸PQ ，MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN 的A 处测的∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测的∠CBN=70°，求河流的宽度CE （结果保留两个有效数字）。
中考数学模拟试题三角函数的综合运用
中考数学模拟试题三角函数的综合运用中考数学模拟试题：三角函数的综合运用一、简介三角函数是数学中重要的概念之一，它在许多实际问题中有广泛的应用。
本文将通过一些中考数学模拟试题，展示三角函数的综合运用。
二、相似三角形相似三角形是三角函数与几何关系相结合的重要概念。
在解析几何中，可借助三角函数求解相似三角形的边长比、角度关系等。
例题1：已知△ABC中，∠A=30°，AB=10cm，AC=5cm，求BC的长度。
解析：由于∠A=30°，则∠B=90°-∠A=60°。
根据三角函数的定义，可得：sin30° = BC / ABBC = AB * sin30°代入已知数值，得到：BC = 10cm * 0.5 = 5cm因此，BC的长度为5cm。
三、周期性三角函数具有周期性的特点，能够描述周期性变化的规律。
在解决周期性问题时，常用正弦函数和余弦函数进行分析和计算。
例题2：已知函数f(x)=3sin2x的一个周期为π，求函数f(x)的最小正周期和振幅。
解析：由已知函数周期为π，即2π / b = π，解得b = 2。
因此，函数f(x)的最小正周期为2。
函数f(x)的标准形式为f(x) = A * sin(Bx + C) + D。
由于已知函数f(x)的最小正周期为2，代入标准形式，可以得知B = π / 2。
振幅A由函数f(x)的定义决定，可通过观察函数图像或计算最大值和最小值的均值获得。
由于函数f(x)=3sin2x的最大值为3，最小值为-3，因此振幅为(3-(-3)/2)=3。
综上所述，函数f(x)的最小正周期为2，振幅为3。
四、三角函数的图像与性质学习三角函数的图像与性质，对于理解三角函数的综合运用非常重要。
通过观察和分析三角函数的图像与性质，可以进行解析和几何问题的求解。
例题3：已知函数y=sin(x-π)，求函数y=sin(x-π)的图像与性质。
中考数学一轮复习几何部分导学案专题13：三角函数的综合运用(学生用)
中考数学一轮复习几何部分专题13：三角函数的综合运用必考知识点：本课时主要是解直角三角形的应用，涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。
要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。
熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。
必考例题：【例1】如图，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精确到0.01米）。
（参考数据：2＝1.41421…，3＝1.73205…）【例2】如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO ＝450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为030=α，045=β，求大桥AB 的长（精确到1米，选用数据：2＝1.41，3＝1.73）【例3】一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？045060例1图 FE D CB A 例2图 βαAB O P030060例3图 南北北南西东CD B A【例4】某水库大坝横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝3米，斜坡AD ＝16米，坝高8米，斜坡BC 的坡度i ＝1∶3，求斜坡AB 的坡角和坝底宽AB 。
探索与创新：【问题一】如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB ＝3米，BC ＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度060=θ，问此时车厢的最高点A 离地面多少米？（精确到1米）【问题二】如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）。
专训6 三角函数在学科内的综合应用
专训6 三角函数在学科内的综合应用名师点金：1.三角函数与其他函数的综合应用：此类问题常常利用函数图象与坐标轴的交点构造直角三角形，再结合锐角三角函数求线段的长，最后可转化为求函数图象上的点的坐标．2．三角函数与方程的综合应用：主要是与一元二次方程之间的联系，利用方程根的情况，最终转化为三角形三边之间的关系求解．3．三角函数与圆的综合应用：主要利用圆中的垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，将圆中的边角关系转化为同一直角三角形的边角关系求解．4．三角函数与相似三角形的综合应用：此类问题常常是由相似得成比例线段，再转化成所求锐角的三角函数.三角函数与一次函数的综合应用1．如图，直线y ＝kx －1与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，tan ∠OCB ＝12.(1)求点B 的坐标和k 的值；(2)若点A(x ，y)是直线y ＝kx －1上的一个动点(且在第一象限内)，在点A 的运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式．(第1题)三角函数与二次函数的综合应用2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE 的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A 在DE 上，以A 为顶点的抛物线过点C ，且对称轴直线x ＝1交x 轴于点B ，连接EC ，AC ，点P ，Q 为动点，设运动时间为t 秒．(1)求点A 的坐标及抛物线对应的函数解析式；(第2题)(2)如图，若点P 在线段OC 上从点O 向点C 以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q 在线段CE 上从点C 向点E 以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t 为何值时，△PCQ 为直角三角形？三角函数与反比例函数的综合应用3．如图，反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象经过线段OA 的端点A ，O 为原点，作AB ⊥x 轴于点B ，点B 的坐标为(2，0)，tan ∠AOB ＝32.(1)求k 的值；(2)将线段AB 沿x 轴正方向平移到线段DC 的位置，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象恰好经过DC 的中点E ，求直线AE 对应的函数解析式；(3)若直线AE 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，请你探索线段AN 与线段ME 的大小关系，写出你的结论，并说明理由．(第3题)三角函数与方程的综合应用4．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c.已知a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－(c ＋4)x ＋4c ＋8＝0的两个根，且9c ＝25a sin A.(1)试判断△ABC 的形状； (2)△ABC 的三边长分别是多少？5．已知关于x的方程5x2－10x cosα－7cosα＋6＝0有两个相等的实数根，求边长为10 cm且两边所夹的锐角为α的菱形的面积．三角函数与圆的综合应用6．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心、CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，＝(1)求证：点F是AD的中点；(2)求cos∠AED的值；(3)如果BD＝10，求半径CD的长．(第6题)7．【中考·遂宁】如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于点N.(1)求证：∠ADC ＝∠ABD ； (2)求证：AD 2＝AM·AB ；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．(第7题)三角函数与相似三角形的综合应用8．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是边AD 上一点，连接FE 并延长交BC 的延长线于点G ，连接BF ，BE ，且BE ⊥FG .(1)求证：BF ＝BG ；(2)若tan ∠BFG ＝3，S △CGE ＝63，求AD 的长．(第8题)答案1．解：(1)把x ＝0代入y ＝kx －1，得y ＝－1，∴点C 的坐标是(0，－1)，∴OC ＝1. 在Rt △OBC 中，∵tan ∠OCB ＝OB OC ＝12，∴OB ＝12.∴点B 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，0.把B ⎝⎛⎭⎫12，0的坐标代入y ＝kx －1，得12k －1＝0.解得k ＝2.(2)由(1)知直线AB 对应的函数关系式为y ＝2x －1，所以△AOB 的面积S 与x 的函数关系式是S ＝12OB·y ＝12×12(2x －1)＝12x －14.2．解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，矩形OCDE 的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)，点A 在DE 上，∴点A 坐标为(1，4)，设抛物线对应的函数解析式为y ＝a(x －1)2＋4， 把C(3，0)的坐标代入抛物线对应的函数解析式， 可得a(3－1)2＋4＝0，解得a ＝－1.故抛物线对应的函数解析式为y ＝－(x －1)2＋4， 即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)依题意有OC ＝3，OE ＝4， ∴CE ＝OC 2＋OE 2＝32＋42＝5.当∠QPC ＝90°时，∵cos ∠QCP ＝PC CQ ＝OC CE ，∴3－t 2t ＝35，解得t ＝1511； 当∠PQC ＝90°时，∵cos ∠QCP ＝CQ PC ＝OC CE，∴2t 3－t ＝35，解得t ＝913.∴当t ＝1511或t ＝913时，△PCQ 为直角三角形．3．解：(1)易知A 点的坐标为(2，3)，∴k ＝6.(2)易知点E 纵坐标为32，由点E 在反比例函数y ＝6x 的图象上，求出点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫4，32，结合A 点坐标为(2，3)，求出直线AE 对应的函数解析式为y ＝－34x ＋92.(3)结论：AN ＝ME.理由：在解析式y ＝－34x ＋92中，令y ＝0可得x ＝6，令x ＝0可得y ＝92.∴点M(6，0)，N ⎝⎛⎭⎫0，92.∴OM ＝6，ON ＝92.(第3题)方法一：如图，延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF ＝2，OF ＝3， ∴NF ＝ON －OF ＝32.根据勾股定理可得AN ＝52.∵CM ＝6－4＝2，EC ＝32，∴根据勾股定理可得EM ＝52，∴AN ＝ME.方法二：如图，连接OE ，延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF ＝2， ∵S △EOM ＝12OM·EC ＝12×6×32＝92，S △AON ＝12ON·AF ＝12×92×2＝92，∴S △EOM ＝S △AON .又∵△AON 中AN 边上的高和△EOM 中ME 边上的高相等， ∴AN ＝ME.4．解：(1)∵a ，b 是关于x 的方程x 2－(c ＋4)x ＋4c ＋8＝0的两个根，∴a ＋b ＝c ＋4，ab ＝4c ＋8.∴a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(c ＋4)2－2(4c ＋8)＝c 2. ∴△ABC 为直角三角形．(2)∵△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，∴sin A ＝ac .将其代入9c ＝25a sin A ， 得9c ＝25a·ac ，9c 2＝25a 2，3c ＝5a.∴c ＝53a.∴b ＝c 2－a 2＝⎝⎛⎭⎫53a 2－a 2＝43a. 将b ＝43a ，c ＝53a 代入a ＋b ＝c ＋4，解得a ＝6.∴b ＝43×6＝8，c ＝53×6＝10，即△ABC 的三边长分别是6，8，10.5．解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴(－10cos α)2－20(－7cos α＋6)＝0， 解得cos α＝－2(舍去)或cos α＝35.设在一内角为α的直角三角形中，α的邻边长为3k(k ＞0)， ∴斜边长为5k ，则α的对边长为（5k ）2－（3k ）2＝4k ， ∴sin α＝45，则菱形一边上的高为10sin α＝8 cm ，∴S 菱形＝10×8＝80(cm 2)． 6．(1)证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD ＝∠DAC.∵∠ADE ＝∠BAD ＋∠B ，∠DAE ＝∠CAD ＋∠CAE ， 且∠B ＝∠CAE ，∴∠ADE ＝∠DAE ， ∴ED ＝EA.∵ED 为⊙O 的直径，∴∠DFE ＝90°，∴EF ⊥AD ，∴点F 是AD 的中点． (2)解：如图，连接DM ，则DM ⊥AE.设EF ＝4k ，DF ＝3k ，则ED ＝EF 2＋DF 2＝5k.∵12AD·EF ＝12AE·DM ，∴DM ＝AD·EF AE ＝6k·4k 5k ＝245k ，∴ME ＝DE 2－DM 2＝75k ，∴cos ∠AED ＝ME DE ＝725.(3)解：∵∠CAE ＝∠B ，∠AEC 为公共角， ∴△AEC ∽△BEA ， ∴＝，∴AE 2＝CE·BE ，∴(5k)2＝52k·(10＋5k)．∵k ＞0，∴k ＝2，∴CD ＝52k ＝5.(第6题)(第7题)7．(1)证明：如图，连接OD ，∵直线CD 切⊙O 于点D ，∴∠CDO ＝90°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵OB ＝OD ，∴∠3＝∠4.∴∠1＝∠4，即∠ADC ＝∠ABD.(2)证明：∵AM ⊥CD ，∴∠AMD ＝90°＝∠ADB.∵∠1＝∠4， ∴△ADM ∽△ABD ，∴AM AD ＝AD AB，∴AD 2＝AM·AB.(3)解：∵sin ∠ABD ＝35，∴sin ∠1＝35.∵AM ＝185，∴AD ＝6，∴AB ＝10，∴BD ＝AB 2－AD 2＝8.∵BN ⊥CD ，∴∠BND ＝90°，∴∠DBN ＋∠BDN ＝∠1＋∠BDN ＝90°，∴∠DBN ＝∠1，∴sin ∠NBD ＝35，∴DN ＝245，∴BN ＝BD 2－DN 2＝325.8．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠DCG ＝90°. ∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE.∵∠DEF ＝∠CEG ，∴△EDF ≌△ECG ，∴EF ＝EG. 又∵BE ⊥FG ，∴BE 是FG 的中垂线，∴BF ＝BG .(2)解：∵BF ＝BG ，∴∠BFG ＝∠G ，∴tan ∠BFG ＝tan G ＝3，设CG ＝x ，则CE ＝3x ，∴S △CGE ＝32x 2＝63，解得x ＝23(负值舍去)，∴CG＝23，CE＝6，又易通过三角形相似得出EC2＝BC·CG，∴BC＝63，∴AD＝6 3.。
中考专题三角函数的应用
（2）一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即
cosA=sin（90°-∠A）. 也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=
cosA.
3. 特殊角的三角函数值
方法规律
1. 通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量 问题，如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，解此类 问题关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边 的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.
P
45° 37° B 400米 A
解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.
设PO=x米， 在Rt△POB中，∠PBO=45°， P
OB=PO= x米.
在Rt△POA中，∠PAB=37°，
tan∠PAB P x 400
0.75 ，解得x=1200.
故飞机的高度为1200米.
（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号） （2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少
千米.（结果保留根号）
解：（1）如答图6-3-2，
过点C作CD⊥AB，交AB于点D. 在Rt△ACD中， CD=AC·sin∠CAD=20× =10（km），
例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部
的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气
球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果
精确到0.1m）.
仰角 水平线
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视
线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯 角，因此，在图中，a=30°，β=60°.
B
A
αD β
Rt△ABD中，a =30°，AD＝ 120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可 以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度.
专题13三角函数的综合应用
专题13三角函数的综合应用三角函数是高中数学中重要的内容之一，它不仅具有丰富的数学性质，还有着广泛的实际应用。
在教学中，我们可以通过一些实例来展示三角函数的综合应用，让学生更好地理解和掌握它的概念和性质。
本篇文章将从三角函数的几何意义、周期性、坐标变换、解三角形等几个方面介绍三角函数的综合应用。
一、三角函数的几何意义三角函数的几何意义是指角度与三角函数值之间的关系。
例如，sinθ代表一个角度为θ的直角三角形中，对边与斜边的比值，cosθ代表一个角度为θ的直角三角形中，邻边与斜边的比值。
利用三角函数的几何意义，我们可以解决一些与三角函数有关的实际问题。
例如，一棵树的高度无法直接测量，但我们可以通过测量一个人与树的距离和该人的仰角，利用tanθ=对边/邻边的关系，计算出树的高度。
同样，我们可以利用sinθ=对边/斜边和cosθ=邻边/斜边的关系，计算出其他无法直接测量的长度。
二、三角函数的周期性三角函数的周期性是指三角函数在一定范围内的值重复出现的性质。
例如，sinθ的周期为2π，即sin(θ+2π)=sinθ。
利用三角函数的周期性，我们可以对一些周期性现象进行模拟和预测。
例如，在绘制正弦曲线时，我们可以利用sinθ的周期性，用一段周期内的数值来绘制整个曲线。
同样，在模拟周期性变化的物理现象时，我们也可以利用三角函数的周期性进行建模和计算。
三、坐标变换坐标变换是指将直角坐标系下的坐标转换为极坐标系下的坐标，或者将极坐标系下的坐标转换为直角坐标系下的坐标。
利用坐标变换，我们可以简化一些复杂的三角函数计算。
例如，给定一个极坐标（r，θ），我们可以将其转换为直角坐标系下的坐标（x，y），其中x=r*cosθ，y=r*sinθ。
同样，给定一个直角坐标（x，y），我们也可以将其转换为极坐标系下的坐标（r，θ），其中r=sqrt(x^2+y^2)，θ=arctan(y/x)。
利用坐标变化，我们可以在直角坐标系和极坐标系之间自由切换，并通过不同的坐标系来解决不同的问题。
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三角函数的综合运用知识考点：本课时主要是解直角三角形的应用，涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。
要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。
熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。
精典例题：【例1】如图，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精确到0.01米）。
（参考数据：2＝1.41421…，3＝1.73205…）分析：此题可先通过解Rt △ABD 求出塔高AB ，再利用CE ＝BD ＝80米，解Rt △AEC 求出AE ，最后求出CD ＝BE ＝AB －AE 。
解：在Rt △ABD 中，BD ＝80米，∠BAD ＝600∴AB ＝56.13838060tan 0≈=⋅BD （米） 在Rt △AEC 中，EC ＝BD ＝80米，∠ACE ＝450∴AE ＝CE ＝80米∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝56.5880380≈-（米）答：塔AB 的高约为138. 56米，楼CD 的高约为58. 56米。
【例2】如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO ＝450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为030=α，045=β，求大桥AB 的长（精确到1米，选用数据：2＝1.41，3＝1.73）分析：要求AB ，只须求出OA 即可。
可通过解Rt △POA 达到目的。
解：在Rt △PAO 中，∠PAO ＝030=α∴OA ＝345030cot 450cot 0==∠⋅PAO PO （米） 在Rt △PBO 中，∠PBO ＝045=β ∴OB ＝OP ＝450（米）∴AB ＝OA －OB ＝3294503450≈-（米）答：这座大桥的长度约为329米。
评注：例1和例2都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。
【例3】一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析：此题可先求出小岛C 与航向（直线AB ）的距离，再与10海里进行比较得出结论。
解：过C 作AB 的垂线CD 交AB 的延长线于点D∵CD AD =30cot ，CDBC =060cot ∴030cot ⋅=CD AD ，060cot ⋅=CD BD ∴20)60cot 30(cot 0=-=-CD BD AD045060例1图FED CBA 例2图 βαAB O P∴31033320=-=CD∵310＞10∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。
评注：此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型——航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题。
30060例3图南北北南西东CDBA 例4图FE D CBA【例4】某水库大坝横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝3米，斜坡AD ＝16米，坝高8米，斜坡BC 的坡度i ＝1∶3，求斜坡AB 的坡角和坝底宽AB 。
分析：此题可通过作梯形的高，构造直角三角形使问题得以解决。
解：作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，在Rt △ADE 和Rt △BCF 中∵21168sin ===AD DE A ∴∠A ＝300 又∵388162222=-=-=DE AD AE ，31==BF CF i ∴BF ＝3CF ＝3×8＝24∴AB ＝AE ＋EF ＋BF ＝24338++＝3827+（米） 答：斜坡AB 的坡角∠A ＝300，坝底宽AB 为)3827(+米。
评注：此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系（坡度是坡角的正切值αtan =i ），其次是作适当的辅助线构造直角三角形。
探索与创新：【问题一】如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB ＝3米，BC ＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度060=θ，问此时车厢的最高点A 离地面多少米？（精确到1米）分析：此题只需求出点A 到CE 的距离，于是过A 、D 分别作AG ⊥CE ，DF ⊥CE ，构造直角三角形，解Rt △AHD 和Rt △CDF 即可求解。
解：过点A 、D 分别作CE 的垂线AG 、DF ，垂足分别为G 、F ，过D 作DH ⊥AG 于H ，则有：23323360sin 0=⨯=⋅=CD DF 41215.060cos 0=⨯=⋅=AD AH 于是A 点离地面的高度为42.141233≈++（米）答：车厢的最高点A 离地面约为4米。
问题一图HG FDCB A【问题二】如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）。
问题二图 10.50.51.51.5问题二图2长廊房间31.45略解：设计方案草图如图所示。
说明：如说理图所示，作直线AB ，延长DC 交AB 于E ，由题意可知，△ACE 是等腰直角三角形，所以CE ＝0.5，DE ＝DC ＋CE ＝2，作DH ⊥AB 于H ，则245sin 2sin 0==∠⋅=HED DE DH∵5.12<∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间。
设计方案图长廊房间31.45设计方案说理图 HEDC BA跟踪训练：一、选择题：1、河堤的横断面如图所示，堤高BC 是5米，迎水斜坡AB 的长是13米，那么斜坡AB 的坡度i 是（ ） A 、1∶3 B 、1∶2.6 C 、1∶2.4 D 、1∶22、如图，某渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东600方向，这艘渔船以28海里／小时的速度向正东航行半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东150方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（ ） A 、27海里 B 、214海里 C 、7海里 D 、14海里第1题图CBA15060第2题图北东北MBA4530第3题图C D BA3、如图，从山顶A 望地面C 、D 两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD ＝100米，点C 在BD 上，则山高AB ＝（ ）A 、100米B 、350米C 、250米D 、)13(50+米4、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。
已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）A 、a 450元B 、a 225元C 、a 150元D 、a 300元120选择第4题图 30m20m2:1=i 填空第1题图 CDBA6m10m填空第2题图 CDBA二、填空题：1、如图，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基下底AB ＝ 米。
2、小明想测量电线杆AB 的高度（如图），发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD ＝4米，BC ＝10米，CD 与地面成300角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 米（结果保留两位有效数字，2＝1.41，3＝1.73）三、解答题：1、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点A 处观测到河对岸水边处有一点C ，并测得∠CAD ＝450，在距离A 点30米的B 处测得∠CBD ＝300，求河宽CD （结果可带根号）。
第1题图CD BA 030015DCA第2题图 DB A第3题图 C B A2、如图：在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行，半小时后到达C 处，这时气球上的人发现，在A 处的正西方向有一处着火点B ，5分钟后，在D 处测得着火点B 的府角是150，求热气球升空点A 与着火点B 的距离。
（结果保留根号，参考数据：42615sin 0-=，42615cos 0+=，3215tan 0-=，3215cot 0+=）3、如图：某海域直径为30海里的圆形暗礁区中心有一哨所A ，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的B 处向哨所驶来。
哨所及时向轮船发出危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进15海里到达C 点，才收到此时哨所第二次发出的紧急危险信号。
①若轮船收到第一次危险信号后为避免触礁，应立即改变航向，航向改变的角度应最大为北偏东α，求αs i n 的值；②当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船立即改变航向。
这时轮船航向改变的角度应最大为南偏东多少度？4、如图，客轮沿折线A →B →C ，从A 出发经B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。
两船同时起航，并同时到达折线A →B →C 上的某一点E 处。
已知AB ＝BC ＝200海里，∠ABC ＝900，客轮速度是货轮速度的2倍。
（1）两船相遇之处E 点（ ） A 、在线段AB 上 B 、在线段BC 上C 、在线段AB 上，也可以在线段BC 上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）∙第4题图D C BA跟踪训练参考答案一、选择题：CADC 二、填空题：1、34米；2、8.7米； 三、解答题：1、)15315(+米；2、)31(980+米；3、①31sin =α；②300； 4、（1）B ；（2）)36100200(-海里。