(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第二章 第八节 函数的模型及其综合应用 理(全国通用)
2016高考数学-函数模型及其应用
2016高考数学:函数模型及其应用
2016高考各科复习资料
2016年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2016年高考复习，2016年高考一轮复习，2016年高考二轮复习，2016年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。
1、常见函数模型：(1)一次函数模型:;
(2)二次函数模型:;(3)指数型函数模型：;
(4)对数型函数模型：(5)幂函数型模型：2、函数模型的应用：一方面是利用已知的模型解决问题;另一方面是恰当建立函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。
解函数应用题的一般步骤：
(1)审题：深入理解关键字句，为便于数据的处理可用表格(或图形)外理数据，便于寻找数据关系。
(2)建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。
(3)解模：根据建立的数学模型，选择合适方法，求出问题的解，要特别注意变量范围的限制。
(4)还原：将数学的问题的答案还原为实际问题的答案，在这以前一定要进行检验。
精心整理，仅供学习参考。
高考数学 2.8 函数模型及其应用
(a>1)的增长速度会越来越慢.因此,总会存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn
<ax(a>1,n>0). 2.函数模型及其应用 (1)常见的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数模 型.
(2)函数模型的应用实例的基本类型: ①给定函数模型解决实际问题; ②建立确定性的函数模型解决实际问题; ③建立拟合函数模型解决实际问题.
系式构成时,可以构造分段函数模型,先将其作为几个不同问题,将各段
的变化规律找出来,再将其合在一起,要注意各段自变量的范围,特别是 端点值. 3.指数函数模型常与人口增长、银行利率、细胞分裂等相结合进行考
查;而对数函数模型常与价格指数、环境承载力等有一定的联系.应用 指数函数模型或对数函数模型时,关键是对模型的判定,从而建立形如y =a· bx+c+d或y=alogb(cx+d)(a>0,b>0,且b≠1,c≠0)的函数模型,再利用指数 函数或对数函数的性质及函数图象来处理.
解法二:易知当EG恰为2.5米时,活动中心的截面面积最大,此时点G的坐
标为(30,2.5), 设过点G的太阳光线所在直线为l1,则l1的方程为y- 5 =- 3 (x-30),即3x+4y-1
2 4
00=0.
由直线l1与半圆H相切,得r= 而点H(r,h)在直线l1的下方, 则3r+4h-100<0,
例2 (2017江苏南京、盐城一模,18)如图所示,某街道居委会拟在EF地 段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心,其中AE=30米. 活动中心东西走向,与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下 半部分是长方形ABCD,上半部分是以DC为直径的半圆. 为了保证居民
三年高考两年模拟高考数学专题汇编第二章函数的概念与基本初等函数1理
第一节 函数的概念A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·浙江，7)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( )A.f (sin 2x )＝sin xB.f (sin 2x )＝x 2＋x C.f (x 2＋1)＝|x ＋1| D.f (x 2＋2x )＝|x ＋1|2.(2015·新课标全国Ⅱ，5)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12 3.(2014·山东，3)函数f (x )＝12x2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 4.(2014·江西，2)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A.(0,1)B.[0,1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)5.(2014·江西，3)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－16.(2014·安徽，9)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4 D.－4或87.(2014·上海，18)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2] 8.(2016·江苏，5)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 9.(2015·浙江，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·云南师范大学附属中学第七次月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π8x ，x ≥0，f （x ＋5）＋2，x ＜0，则f (－2016)的值为( )A.810B.809C.808D.806 2.(2016·山东淄博12月摸底考试)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，233.(2016·豫南豫北十校模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 6，0<x ≤8，log 2x ，x >8，则f (f (－16))＝( ) A.－12 B.－32 C.12D.324.(2015·山东滨州模拟)已知函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (3)＝( )A.8B.9C.11D.105.(2015·山东济宁模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则f (f (e))(e 为自然对数的底数)＝( ) A.0B.1C.2D.ln(e 2＋1)6.(2015·北京东城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )>12，则实数a 的取值范围是( )A.(－1,0)∪(3,＋∞)B.(－1,3)C.(－1,0)∪⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，337.(2016·豫南九校联考)若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域是________.8.(2016·广东广州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1，x ≥1，log 2（1－x ），x ＜1，则f (f (4))＝________；若f (a )＜－1，则a 的取值范围为________.9.(2015·山东聊城模拟)设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0，3)，求f (x )的解析式.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.D [排除法，A 中，当x 1＝π2，x 2＝－π2时，f (sin 2x 1)＝f (sin 2x 2)＝f (0)，而sin x 1≠sin x 2，∴A 不对；B 同上；C 中，当x 1＝－1，x 2＝1时，f (x 21＋1)＝f (x 22＋1)＝f (2)，而|x 1＋1|≠|x 2＋1|，∴C 不对，故选D.]2.C [因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.]3.C [(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0＜x <12，故所求的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).] 4.C [由题意可得x 2－x >0，解得x >1或x <0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).]5.A [因为f [g (1)]＝1，且f (x )＝5|x |，所以g (1)＝0，即a ·12－1＝0，解得a ＝1.]6.D [当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a2，如图1可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8；当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，答案为D.]图1 图27.D [∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.]8. [-3,1] [要使原函数有意义，需且仅需3-2x -x 2≥0.解得-3≤x ≤1.故函数定义域为[-3，1].]9.0 22－3 [f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f (x )的最小值为22－3.]B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.B [f (－2 016)＝f (－2 011)＋2＝f (－2 006)＋4＝…＝f (－1)＋403×2 ＝f (4)＋404×2＝808＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8×4＝809.]2.C [由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＞0，2x －1＞0，得x ＞23，故选C.]3.C [因为f (x )为奇函数，所以f (f (－16))＝－f (f (16))＝－f (4)＝－cos 2π3＝12，故选C.]4.C [∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11.]5.C [f (f (e))＝f (1)＝2，故选C.]6.D [由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 13a >12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，2a >12.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，33，故选D.]7. [0，1) [∵0≤2x ≤2，∴0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1.∴0≤x <1. 即函数g (x )的定义域是[0，1).]8. 5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) [f (4)＝－2×42＋1＝－31，f (f (4))＝f (－31)＝log 2(1＋31)＝5.当a ≥1时，由－2a 2＋1＜－1得a 2＞1，解得a ＞1，当a ＜1时，由log 2(1－a )＜－1，得log 2(1－a )＜log 212，∴0＜1－a ＜12，∴12＜a ＜1.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞).]9.解 ∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称. 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ， ∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10，∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a，∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.。
【3年高考2年模拟】(新课标)2016届高考数学一轮复习题组训练2.7函数模型及函数的综合应用3年高考
【3年高考】（新课标）2016版高考数学一轮复习 2.7函数模型及函数的综合应用A组2012—2014年高考·基础题组1.(2013课标全国Ⅱ,10,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R, f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f '(x0)=02.(2013安徽,10,5分)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( )A.3B.4C.5D.63.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是.4.(2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为M f(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得M f(a,b)=c=,即M f(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)= (x>0)时,M f(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)= (x>0)时,M f(a,b)为a,b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)5.(2014浙江,17,4分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ的最大值是.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)B组2012—2014年高考·提升题组1.(2012北京,8,5分)某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m的值为( )A.5B.7C.9D.112.(2013天津,8,5分)已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为A.若⊆A,则实数a的取值范围是( )A. B.C.∪D.3.(2014四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D, f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)4.(2013江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.5.(2013湖南,16,5分)设函数f(x)=a x+b x-c x,其中c>a>0,c>b>0.(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为;(2)若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)①∀x∈(-∞,1), f(x)>0;②∃x∈R,使a x,b x,c x不能构成一个三角形的三条边长;③若△ABC为钝角三角形,则∃x∈(1,2),使f(x)=0.A组2012—2014年高考·基础题组1.C 由三次函数值域为R知f(x)=0有解,所以A项正确;因为y=x3的图象为中心对称图形,而f(x)=x3+ax2+bx+c的图象可以由y=x3的图象平移得到,故B项正确;若f(x)有极小值点,则f '(x)=0有两个不等实根x1,x2(x1<x2), f '(x)=3x2+2ax+b=3(x-x1)·(x-x2),则f(x)在(-∞,x1)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数,在(x2,+∞)上为增函数,故C项错误;D项正确.故选C.2.A f '(x)=3x2+2ax+b,则x1,x2为f '(x)=0的两不等实根.即3(f(x))2+2af(x)+b=0的解为f(x)=x1或 f(x)=x2.不妨设x1<x2,则f(x)=x1有两解, f(x)=x2只有一解.故原方程共有3个不同实根.3.答案(2,+∞)解析函数g(x)=的图象是以坐标原点为圆心,2为半径的圆在x轴上及其上方的部分.由题意可知,对任意x0∈I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0, f(x0))是点(x0,h(x0))和点(x0,g(x0))连线的中点,又h(x)>g(x)恒成立,所以直线f(x)=3x+b与半圆g(x)=相离且b>0.即解之得b>2.所以实数b的取值范围为(2,+∞).4.答案(1) (2)x解析(1)若M f(a,b)是a,b的几何平均数,则c=.由题意知,(a, f(a)),(,0),(b,-f(b))共线,∴=,∴=,∴可取f(x)=.(2)若M f(a,b)是a,b的调和平均数,则c=,由题意知,(a, f(a)),,(b,-f(b))共线,∴=,化简得=,∴可取f(x)=x.5.答案解析过点P作PN⊥BC于N,连结AN,则∠PAN=θ,如图.设PN=x m,由∠BCM=30°,得CN=x m.在直角△ABC中,AB=15 m,AC=25 m,则BC=20 m,故BN=(20-x)m.从而AN2=152+(20-x)2=3x2-40x+625,故tan2θ====.当=时,tan2θ取最大值,即当x=时,tan θ取最大值.B组2012—2014年高考·提升题组1.C 前m年的年平均产量为,由各选项知求,,,的最大值,问题可转化为求图中4个点A(5,S5),B(7,S7),C(9,S9),D(11,S11)与原点连线的斜率的最大值.由图可知k OC=最大,即前9年的年平均产量最高.故选C.2.A 显然a=0时,A=⌀,不满足条件.a>0时,易知f(0)=0,x>0时, f(x)=x(1+a|x|)>0,于是f(0+a)>0=f(0),而由已知⊆A可得0∈A,即f(0+a)<f(0),所以a>0也不满足条件,故a<0.易知f(x)=在坐标系中画出y=f(x)与y=f(x+a)的图象如图所示,由图可知满足不等式f(x+a)<f(x)的解集A=(x C,x B).由x(1-ax)=(x+a)[1-a(x+a)]可得x C=;由x(1+ax)=(x+a)[1+a(x+a)]可得x B=-.∴A=(a<0).由⊆A得解得<a<0.故选A.3.答案①③④解析依题意可直接判定①正确;令f(x)=2x(x∈(-∞,1]),显然存在正数2,使得f(x)的值域(0,2]⊆[-2,2],但f(x)无最小值,②错误;假设f(x)+g(x)∈B,则存在正数M,使得当x在其公共定义域内取值时,有f(x)+g(x)≤M,则f(x)≤M-g(x),又∵g(x)∈B,则存在正数M1,使g(x)∈[-M1,M1],∴-g(x)≤M1,即M-g(x)≤M+M1,∴f(x)≤M+M1,与f(x)∈A矛盾,③正确;当a=0时, f(x)=∈,即f(x)∈B,当a≠0时,∵y=al n(x+2)的值域为(-∞,+∞),而∈,此时f(x)无最大值,故a=0,④正确.4.答案-1或解析设P,则|PA|2=(x-a)2+=-2a+2a2-2,令t=x+≥2(x>0,当且仅当x=1时取“=”),则|PA|2=t2-2at+2a2-2.(1)当a≤2时,(|PA|2)min=22-2a×2+2a2-2=2a2-4a+2,由题意知,2a2-4a+2=8,解得a=-1或a=3(舍).(2)当a>2时,(|PA|2)min=a2-2a×a+2a2-2=a2-2.由题意知,a2-2=8,解得a=或a=-(舍),综上知,a=-1或.5.答案(1){x|0<x≤1}(2)①②③解析(1)由已知条件(a,b,c)∈M,c>a>0,c>b>0,a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b得2a≤c,即≥2.a x+b x-c x=0时,有2a x=c x,=2,解得x=lo2,∴0<x≤1,即f(x)=a x+b x-c x的零点的取值集合为{x|0<x≤1}.(2)对于①,∵c>a>0,c>b>0,∴0<<1,0<<1.此时函数y=+在(-∞,1)上为减函数,得+>+,又a,b,c是△A BC的三条边长,∴a+b>c,即+>1,得+>1,∴a x+b x>c x,∴∀x∈(-∞,1), f(x)=a x+b x-c x>0,故①正确;对于②,∵y=,y=在x∈R上为减函数,∴当x→+∞时,与无限接近于零,故∃x∈R,使+<1,即a x+b x<c x,所以a x,b x,c x不能构成一个三角形的三条边长,故②正确;对于③,若△ABC为钝角三角形,c为最大边,则a+b>c,a2+b2<c2,构造函数g(x)=+-1.又g(1)=+-1=>0,g(2)=+-1=<0,∴y=g(x)在(1,2)上存在零点,即∃x∈(1,2),使+-1=0,即f(x)=a x+b x-c x=0,故③正确.综上所述,结论正确的是①②③.。
高考数学一轮复习第2单元函数、导数及其应用第8讲指数与指数函数课件理
发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入
的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考
数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( )
A.2018 年
B.2019 年
C.2020 年
D.2021 年
[答案] B
[解析] 设 x 年后该公司全年投入的研发 资金开始超过 200 万元,由题可 知,130(1+12%)x≥200,解得 x≥log1.12210300=lglg2-1lg.112.3≈3.80,因为 x 为整数, 所以 x 取 4,故开始超过 200 万元的年份是 2019 年.
3x-
1 3
������
=-f(x),所以 f(x)为奇函数.又因为 y=3x
为增函数,y= 1 ������为减函数,所以 f(x)=3x- 1 ������
3
3
为增函数.故选 A.
教学参考
2.[2016·四川卷] 某公司为激励创新,计划逐年
加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入
研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研
第8讲 PART 2
指数与指数 函数
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点. 会画底数为 2,3,10, 的指数函数的图像. 4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
1.指数函数 y=ax+b(a>0 且 a≠1)的图像恒过定点(0,1+b). 2. 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图像以 x 轴为渐近线.
【3年高考2年模拟】(新课标)版高考数学一轮复习 2.7函数模型及函数的综合应用课件
(1)直线模型:即一次函数模型y=kx+b(k≠0),其增长特点是直线上升(x的系 数k>0),通过图象可以很直观地认识它. (2)指数函数模型:能用指数函数表达的函数模型,其增长特点是随着自变 量的增大,函数值增大的速度越来越快(a>1),常形象地称之为“指数爆炸”. (3)对数函数模型:能用对数函数表达的函数模型,其增长特点是开始阶段 增长得较快(a>1),但随着x的逐渐增大,其函数值增长的速度越来越慢,常称之 为“蜗牛式增长”.
时有⑨ ax>xα .
(2)对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xα(α>0) 不论a与α值的大小如何,对数函数y=logax(a>1)的增长速度总会⑩ 慢于
y=xα的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有
logax<xα . 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度
课标版
§ 2.7
理数
函数模型及函数的综合应用
知识梳理
1.三种增长型函数模型的图象与性质
函数性质 y=ax (a>1) 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 图象的变化 ④ 越来越快 ⑤ 越来越慢 相对平稳 随α值变化而不同 ① 增函数 y=logax (a>1) ② 增函数 y=xα (α>0) ③ 增函数
(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.
以上过程用框图表示如下:
1.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相
对进货价),则该家具的进货价是 ( A.118元
(江苏专用)高考数学总复习 第二章第8课时 函数模型及应用随堂检测(含解析)
（江苏专用）2023年高考数学总复习 第二章第8课时 函数模型及应用 随堂检测（含解析）1．(2023·高考湖北卷)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v ()单位：千米/时是车流密度x ()单位：辆/千米的函数．当桥上的车流密度到达200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究说明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．()1当0≤x ≤200时，求函数v ()x 的表达式；()2当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f ()x ＝x ·v ()x 可以到达最大？并求出最大值.()准确到1辆/时解：()1由题意，当0≤x ≤20时，v ()x ＝60； 当20≤x ≤200时，设v ()x ＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v ()x 的表达式为v ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x ≤20，13()200－x ， 20<x ≤200.()2依题意并由()1可得f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x ≤20，13x ()200－x ， 20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f ()x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200； 当20<x ≤200时，f ()x ＝13x ()200－x ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋()200－x 22＝100003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f ()x 在区间(]20，200上取得最大值100003.综上，当x ＝100时，f ()x 在区间[]0，200上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以到达最大，最大值约为3333辆/时． 2．(2023·高考湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元．该建筑物每年的能源消消耗用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )到达最小？并求最小值．解：(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消消耗用为C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)．而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－24003x ＋52.令f ′(x )＝0，即24003x ＋52＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0≤x <5时，f ′(x )<0；当5<x ≤10时．f ′(x )>0. 故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用到达最小值70万元．[A 级 双基稳固]一、填空题1t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01________．①v ＝log 2t ； ②v ＝log 12t ；③v ＝t 2－12； ④v ＝2t －2. 解析：由表中数据可知，当t 越大时，v 递增的速度越快，而v ＝log 2t 递增速度较慢，v ＝log 12t 递减，v ＝2t －2匀速，只有v ＝t 2－12符合这一特征．答案：③2．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备假设干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，假设超过50套就可以以每套比出厂价低30元给予优惠，如果按出厂价购置应付a 元，但再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a 元(价格为整数)，那么a 的值为________．解析：设按出厂价y 元购置x 套(x ≤50)应付a 元，那么a ＝xy ，又a ＝(y －30)(x ＋11)，又x ＋11＞50，即x ＞39， ∴39＜x ≤50，∴xy ＝(y －30)(x ＋11)， ∴3011x ＝y －30，又x 、y ∈N *且39＜x ≤50， ∴x ＝44，y ＝150，∴a ＝44×150＝6600元．答案：6600元3．某地2002年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2023年底该城市人均住房面积增加到7 m 2，平均每年新增住房面积至少为________万 m 2.(准确到1万 m 2,1.0110≈1.1046)解析：到2023年底该城市人口有500×(1＋1%)10≈552.3万人，那么500×1＋1%10×7－500×610≈87(万 m 2)．答案：874．某工厂生产某种产品固定本钱为2000万元，并且每生产一单位产品，本钱增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，那么总利润L (Q )的最大值是______万元．答案：2500 5．(2023·高考山东卷改编)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，那么使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．解析：y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0得x ＝9，且经讨论知x ＝9是函数的极大值点，所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件．答案：9万件6．某公司一年购置某种货物400吨，每次都购置x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x ＝________吨．解析：每年购置次数为400x，∴总费用＝400x·4＋4x ≥26400＝160.当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．故x ＝20. 答案：20 7．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…，a n 共n 个数据，我们规定所测量物理量的“最正确近似值a ”是这样一个量：与其它近似值比拟，a 与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a 1，a 2，…，a n ，推出的a ＝________.解析：设近似值为x ，那么f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2取最小值时的x 即为a ，由f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )知当x ＝a 1＋a 2＋…＋a n n时，f (x )最小．答案：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )8．某超市为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元(可以是现金，也可以是现金与奖励券合计)就送20元奖励券，满200元就送40元奖励券，满300元就送60元奖励券….当日一位顾客共花现金7020元，如果按照酬宾促销方式，他实际最多能购置________元的商品．解析：7000元应给奖励券1400元，1400元应给奖励券280元，280元加上7020元余下20元满300元应给奖励券60元．故最多能购置7000＋1400＋280＋60＋20＝8760元的商品． 答案：8760 二、解答题 9．某公司是一家专做产品A 的国内外销售的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进展了跟踪调查，调查结果如图中①、②、③所示，其中图①中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图②中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图③中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )、国内市场的日销售量g (t )与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元？解：(1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t0≤t ≤30－6t ＋24030<t ≤40，g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)．(2)每件产品A 的销售利润h (t )与上市时间t 的关系为h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 0≤t ≤20，6020＜t ≤40.设这家公司的日销售利润为F (t )，那么F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t－320t 2＋6t ＋2t ，0≤t ≤2060－320t 2＋6t ＋2t ，20<t ≤3060－320t 2＋6t －6t ＋240，30<t ≤40＝⎩⎪⎨⎪⎧3t－320t 2＋8t ，0≤t ≤2060－320t 2＋8t ，20＜t ≤3060－320t 2＋240.30<t ≤40.当0≤t ≤20时，F ′(t )＝－2720t 2＋48t ＝t (48－2720t )≥0， 故F (t )在[0,20]上单调递增，此时F (t )的最大值是F (20)＝6000＜6300；当20＜t ≤30时，令60(－320t 2＋8t )＞6300，解得703＜t ＜30；当30<t ≤40时，F (t )＝60(－320t 2＋240)＜60(－320×302＋240)＝6300.故第一批产品A 上市后第24天到第30天前，这家公司的日销售利润超过6300万元．10．某隧道长2150 m ，通过隧道的车速不能超过20 m/s.一列有55辆车身长都为10 m 的同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为40 m/s)，匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s ，根据平安和车流的需要，当0＜x ≤10时，相邻两车之间保持20 m 的距离；当10＜x ≤20时，相邻两车之间保持(16x 2＋13x )m 的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为y (s)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度．(3≈1.73) 解：(1)当0＜x ≤10时，y ＝2150＋10×55＋20×55－1x ＝3780x，当10＜x ≤20时，y ＝2150＋10×55＋16x 2＋13x×55－1x＝2700x＋9x ＋18，所以，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3780x 0＜x ≤102700x ＋9x ＋18 10＜x ≤20.(2)当x ∈(0,10]时，在x ＝10时，y min ＝378010＝378(s)．当x ∈(10,20]时，y ＝2700x＋9x ＋18≥18＋2×9x ·2700x＝18＋1803≈329.4(s)，当且仅当9x ＝2700x，即x ≈17.3(m/s)时取等号．因为17.3∈(10,20]，所以当x ＝17.3(m/s)时，y min ＝329.4(s)， 因为378＞329.4，所以，当车队的速度为17.3(m/s)时，车队通过隧道时间y 有最小值329.4(s)．[B 级 能力提升]一、填空题1．某工程由A ，B ，C ，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A ，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B 、C 完成后，D 可以开工．假设该工程总时间为9天，那么完成工序C 需要的天数x 最大是________．解析：分析题意可知，B 、D 工序不能同时进展， ∴B 、D 工序共需5＋4＝9天， 而完成总工序的时间为9天，说明A 、B 同时开工，A 完成后C 开工且5≥2＋x ， ∴x ≤3，故x 最大值为3. 答案：3 2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进展消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a(a 为常数)，如下图．根据图中提供的信息，答复以下问题：(1)从药物释放开场，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定：当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开场，至少需要经过________小时，学生才能回到教室．解析：(1)由图可设y ＝kt (0≤t ≤110)，把点(0.1,1)分别代入y ＝kt 和y ＝(116)t －a，得k ＝10，a ＝0.1，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t 0≤t ≤110116t －0.1t ＞110.(2)由(116)t －0.1＜0.25，得t ＞0.6.答案：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t0≤t ≤110116t －0.1t ＞110(2)0.63．江苏舜天足球俱乐部准备为救助失学儿童在江苏省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y ＝lg2x，那么这三种门票分别为____________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．解析：该函数模型y ＝lg2x已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．设3元、5元、8元门票的张数分别为 a 、b 、c ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2.4， ①ab ＝0.6， ②x ＝3a ＋5b ＋8c ， ③①代入③有x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－215ab ＝13.2(万元)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝3bab ＝0.6时等号成立，解得a ＝0.6，b ＝1，所以c ＝0.8.由于y ＝lg2x为增函数，即此时y 也恰有最大值．故三种门票分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大． 答案：0.6、1、0.84．(2023·高考江苏卷)将边长为1 m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝梯形的周长2梯形的面积，那么s 的最小值是________．解析：设剪成的小正三角形的边长为x .那么s ＝3－x 234－34x 2＝433·3－x21－x 2(0＜x ＜1)， s ′＝433·－6x 2＋20x －61－x 22＝－833·3x －1x －31－x22， 令s ′＝0，得x ＝13或x ＝3(舍去)．即x ＝13是s 的极小值点且是最小值点．∴s min ＝433·3－1321－19＝3233.答案：3233二、解答题5．某商品每件本钱9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)设商品降价x 元，那么多卖的商品数为kx 2，假设记商品在一个星期的获利为f (x )，那么依题意有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．又由已知条件可知，24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9072，x ∈[0,30]．(2)根据(1)，可得f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12).x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30] f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x ) ↘ 极小 ↗ 极大 ↘故x ＝12时，f (x )取极大值，因为f (0)＝9072，f (12)＝11664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．6．(2023·高考湖南卷)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向作匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两局部：(1)P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；(2)其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解：(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v (3|v －c |＋10)．(2)由(1)知：当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝53c ＋10v－15；当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝510－3c v＋15.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧53c ＋10v－15，0<v ≤c ，510－3cv＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v 的增函数，故当v ＝c 时，y min ＝50c.。
【大高考】(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第二章 第一节 函数的概念 文(全国通用)
【大高考】（三年模拟一年创新）2016届高考数学复习 第二章 第一节 函数的概念 文（全国通用）A 组 专项基础测试 三年模拟精选选择题1．(2015·湛江市高三调研)函数f (x )＝x 2－4x ＋3的定义域是( ) A ．RB ．(0，3)C ．(1，3)D.(]－∞，1∪[)3，＋∞解析 由x 2－4x ＋3≥0，解得x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)． 答案 D2．(2015·黄冈中学期中)函数f (x )＝2－x －lg(x －1)的定义域是( ) A ．(－∞，2]B ．(2，＋∞)C ．(1，2]D ．(1，＋∞)解析 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x －1＞0，解得x ∈(1，2]．答案 C3．(2015·湖南益阳模拟)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 ∵3x＋1＞1，且y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )＞0，∴f (x )的值域为(0，＋∞)．故选A. 答案 A4．(2015·眉山市一诊)若f (x )＝4log 2x ＋2，则f (2)＋f (4)＋f (8)＝( ) A ．12B ．24C ．30D ．48解析 ∵f (2)＝4log 22＋2＝4×1＋2＝6，f (4)＝4log 24＋2＝4×2＋2＝10，f (8)＝4log 28＋2＝4×3＋2＝14，∴f (2)＋f (4)＋f (8)＝6＋10＋14＝30. 答案 C5．(2014·山东济南调研)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析 令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－116116＝15，故选C.答案 C6．(2013·山东莱芜模拟)已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2 解析 要使函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12（2－x ）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0＜2－x ＜1⇒32≤x ＜2.故选B.答案 B一年创新演练7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x＋1，x ＜1，|x 2＋ax |，x ≥1，若f (f (0))＜4，则a 的取值范围( )A ．(－6，－4)B ．(－4，0)C ．(－4，4)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34解析 由题意f (0)＝2，原不等式即为f (2)＜4， 所以|2a ＋4|＜4，解得－4＜a ＜0.故选B. 答案 B8．设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2（1－x ），x ∈B .若x 0∈A, 且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，38 解析 x 0∈A ，即0≤x 0＜12，所以f (x 0)＝x 0＋12，12≤x 0＋12＜1，即12≤f (x 0)＜1， 即f (x 0)∈B ，所以f [f (x 0)]＝2[1－f (x 0)]＝1－2x 0， 因为f [f (x 0)]∈A ，所以0≤1－2x 0＜12，解得14＜x 0≤12.又因为0≤x 0＜12，所以14＜x 0＜12，故选C.答案 CB 组 专项提升测试 三年模拟精选一、填空题9．(2015·四川省统考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x πa ，x ≤4，log a （x ＋1），x ＞4，且f (8)＝2，则f (f (80))＝________．解析 ∵8＞4，∴f (8)＝log a (8＋1)＝log a 9＝2， 即a ＝3，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx 3，x ≤4，log 3（x ＋1），x ＞4，∵80＞4，∴f (80)＝log 381＝4， ∴f (f (80))＝f (4)＝2cos 4π3＝－1.答案 －110．(2015·绵阳市一诊)已知函数f (x )＝3x －22x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫311＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝________．解析 因为f (x )＝3x －22x －1，所以f (1－x )＝3（1－x ）－22（1－x ）－1＝3x －12x －1，所以f (x )＋f (1－x )＝3，所以所求＝3×102＝15.答案 1511．(2014·河南南阳三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin x ，0≤x ≤π2，3x ＋12，x ＜0，若f (x 0)＝－12，则x 0＝________．解析 当x 0＜0时，由3x 0＋12＝－12得x 0＝－13.当0≤x 0≤π2时，由－sin x 0＝－12得x 0＝π6.答案π6或－1312．(2014·东北六校大联考)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．解析 由题意，知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]； 当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]， 故当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]． 答案 [－4，6] 二、解答题13．(2014·北京平谷5月模拟)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对于任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x. (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否有上界，请说明理由；(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围； (3)试定义函数的下界，举一个下界为3的函数模型，并进行证明． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋122＋34， ∵f (x )在(－∞，0)上递减， ∴f (x )>f (0)＝3，即f (x )在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)， 故不存在常数M >0， 使|f (x )|≤M 成立，∴函数f (x )在(－∞，0)上没有上界．(2)由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立，由|f (x )|≤3，得－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x， ∴－4·2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤a ≤2·2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[0，＋∞)上恒成立，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x max ≤a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x min .令2x＝t ，则－4t －1t ≤a ≤2t －1t，设h (t )＝－4t －1t ，p (t )＝2t －1t，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1， 设1≤t 1<t 2，则h (t 1)－h (t 2)＝（t 2－t 1）（4t 1t 2－1）t 1t 2>0，p (t 1)－p (t 2)＝（t 1－t 2）（2t 1t 2＋1）t 1t 2<0，∴h (t )在[1，＋∞)上递减，p (t )在[1，＋∞)上递增，故h (t )在[1，＋∞)上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在[1，＋∞)上的最小值为p (1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5，1]． (3)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对于任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≥M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的下界． 例如：f (x )＝3是以3为下界的有界函数． 证明：∵x ∈R ，|f (x )|＝3≥3，∴命题成立．一年创新演练14．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （0＜x ＜1），0 （x ＝1），－1x （x ＞1）中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．只有①解析 易知①满足条件，②不满足；对于③，易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x （x ＞1），0 （x ＝1），－x （0＜x ＜1），满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，故③满足“倒负”变换，故选C.答案 C15．定义max{s 1，s 2，…，s n }表示实数s 1，s 2，…，s n 中的最大者．设A ＝(a 1，a 2，a 3)，B＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1b 2b 3，记A ⊗B ＝max{a 1b 1，a 2b 2，a 3b 3}．设A ＝{x －1，x ＋1，1}，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2|x －1|，若A ⊗B ＝x －1，则x 的取值范围为( )A ．[1－3，1]B ．[1，1＋2]C ．[1－2，1]D ．[1，1＋3]解析 由定义知：{a 1b 1，a 2b 2，a 3b 3}＝{x －1，(x ＋1)(x －2)，|x －1|}，若A ⊗B ＝x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥（x ＋1）（x －2），x －1≥|x －1|，解得1≤x ≤1＋ 2. 答案 B。
三年高考两年模拟高考数学专题汇编 第二章 函数6 文
第六节函数的图象A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，9)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )2.(2016·新课标全国Ⅱ，12)已知函数f(x) (x∈R)满足f(x)= f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=( )A.0B. mC. 2mD. 4m3.(2016·浙江，3)函数y＝sin x2的图象是( )4.(2015·新课标全国Ⅱ，11)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )5.(2015·浙江，5)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )6.(2014·浙江，8)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )7.(2014·辽宁，10)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·郑州质检)已知定义在R 上的函数f (x )＝log 2(a x－b ＋1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A.0<1a <1b <1B.0<1b <a <1C.0<b <1a<1D.0<1a<b <12.(2016·山东淄博诊断)设函数f (x )＝a －x－ka x(a >0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )3.(2016·齐鲁名校联合测试)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，当x ∈[0，2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1），－x 2＋2x ，x ∈[1，2].则函数y ＝f (x )在[2，4]上的大致图象是( )4.(2015·江西省质检三)函数y ＝－(x －2)|x |的递增区间是( ) A.[0，1] B.(－∞，1) C.(1，＋∞)D.[0，1)和(2，＋∞)5.(2015·青岛八中模拟)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 的图象是( )答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除A ；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；在x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.答案 D2.解析 函数f (x ) (x ∈R)满足f (x ) = f (2-x )， 故函数f (x )的图象关于直线x =1对称，函数y =|x 2-2x -3|的图象也关于直线x =1对称，故函数y =|x 2-2x -3|与y= f (x )图象的交点也关于直线x =1对称，故x i =×2=m，故选B.答案 B3.解析 y ＝sin x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、C. 又当x 2＝π2，即x ＝±π2时，y max ＝1，排除B ，故选D. 答案 D4.解析 当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tanx ，在Rt △PAB 中，|PA |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|PA |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ； 当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.故选B. 答案 B5.解析 ∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 答案 D6.解析 根据对数函数性质知，a ＞0，所以幂函数是增函数，排除A(利用(1，1)点也可以排除)；选项B 从对数函数图象看a ＜1，与幂函数图象矛盾；选项C 从对数函数图象看a ＞1，与幂函数图象矛盾.故选D. 答案 D7.解析 当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34，故有13≤x ≤34.因为函数f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.故选A.答案 AB 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 由题中图可知，a >1，f (0)＝log 2(1－b ＋1)， 故0<log 2(1－b ＋1)<1，即0<b <1. 又f (－1)＝log 2(a －1－b ＋1)，所以log 2(a －1－b ＋1)<0，故1a <b ，所以0<1a<b <1.故选D.答案 D2.解析 因为f (x )＝a －x－ka x为R 上的奇函数，所以f (0)＝1－k ＝0，k ＝1，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x－a x为减函数，所以a >1，g (x )＝log a (x ＋1)，由x >－1以及g (x )单调递增知C 项正确，故选C. 答案 C3.解析 当2≤x <3时，0≤x －2<1，又f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －2)＝2x －4； 当3≤x ≤4时，1≤x －2≤2，又f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －2)＝－2(x －2)2＋4(x －2)＝－2x 2＋12x －16.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，2≤x <3，－2x 2＋12x －16，3≤x ≤4，所以A 正确. 答案 A4.解析 y ＝－(x －2)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，x 2－2x ，x ≤0，作出该函数的图象，观察图象知，其递增区间为[0，1]. 答案 A5.解析 自变量x 满足x －1x ＝x 2－1x＞0，当x ＞0时可得x ＞1；当x ＜0时可得－1＜x ＜0，即函数f (x )的定义域是(－1，0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A ，D.又函数y ＝x －1x单调递增，所以f (x )分别在(－1，0)和(1，＋∞)上单调递增，故选B.答案 B。
三年高考两年模拟(浙江版)届高考数学一轮复习第二章函数2.8函数与方程知能训练
§2.8函数与方程Ａ组基础题组1.(2015陕西二模)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续的,则下列说法正确的是( )A.若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0C.若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,则有且只有一个实数c∈(a,b)使得f(c)=02.(2014湖北武汉4月调研,8)设a1,a2,a3均为正数,λ1<λ2<λ3,则函数f(x)=++的两个零点分别位于区间( )A.(-∞,λ1)和(λ1,λ2)内B.(λ1,λ2)和(λ2,λ3)内C.(λ2,λ3)和(λ3,+∞)内D.(-∞,λ1)和(λ3,+∞)内3.(2015浙江嘉兴一中一模,7)已知函数f(x)=若函数y=f[f(x)+a]有四个零点,则实数a的取值范围为( )A.[-2,2)B.[1,5)C.[1,2)D.[-2,5)4.(2015台州调考)若函数f(x)=a+|x|+log2(x2+2)有且只有一个零点,则实数a的值是( )A.-2B.-1C.0D.25.(2015浙江重点中学协作体适应性测试,8)函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是( )A.a<-B.a<-C.a<-D.-<a<-6.(2015浙江五校联考,10)已知函数f(x)=g(x)=则函数f[g(x)]的所有零点之和是( )A.-+B.+C.-1+D.1+7.(2015安徽,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.8.(2014福建,15,4分)函数f(x)=的零点个数是.9.(2015苏州调研)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数m的取值范围是.10.(2015陕西二模)若方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个在(1,2)内,则的取值范围是.11.(2016超级中学原创预测卷八,20,15分)已知函数f(x)=|(ax-1)(x-1)|(a∈R).(1)当a=时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a>1时,若函数g(x)=f(x)-|x-a|至少有三个零点,求a的取值范围;(3)当0≤a≤1时,若对任意的x∈[0,2],都有m≥f(x)恒成立,求m的取值范围.B组提升题组1.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )A.y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+12.(2015浙江冲刺卷六,4)若关于x的方程=kx+2只有一个实数根,则k的取值范围为( )A.k=0B.k=0或k>1C.k>1或k<-1D.k=0或k>1或k<-13.(2015浙江三校联考)已知函数f(x)=xe x-ax-1,则关于f(x)的零点叙述正确的是( )A.当a=0时,函数f(x)有两个零点B.函数f(x)必有一个零点是正数C.当a<0时,函数f(x)有两个零点D.当a>0时,函数f(x)只有一个零点4.(2015温州二模,6,5分)已知f(x)=则方程f[f(x)]=2的根有( )A.3个B.4个C.5个D.6个5.(2015山东临沂一模,6)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是( )A. B.C. D.6.(2015浙江温州十校期中,10,5分)设函数f(x)=e x+x-2,g(x)=lnx+x2-3,若实数a,b满足f(a)=g(b)=0,则( )A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<07.(2016超级中学原创预测卷十,8,5分)设f(x)是定义在R上的偶函数.对任意的x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),且当x∈[-2,0]时,f(x)=-1,若在区间[-2,6]内,关于x的方程f(x)-log a(x+2)=0(a>1)恰有3个不同的实根,则实数a的取值范围是( )A.(,2)B.(1,2)C.(,)D.(1,)8.(2016超级中学原创预测卷九,7,5分)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足以下两个条件:①对任意的x∈R,均有f(x)+f(-x)=0成立;②对任意的x1、x2∈R,若x1≠x2,则f(x1)≠f(x2).若函数g(x)=f(9x)+f(2-k×3x)(x∈R)有两个不同的零点,则实数k的取值范围为( )A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-2,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)9.(2015湖南,14,5分)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是.10.若关于x的方程lg(ax)·lg(ax2)=4的所有解都大于1,求实数a的取值范围.11.(2016慈溪中学高三期中文,20,15分)已知函数f(x)=|x-a|-+a,a∈R.(1)当x∈[1,4]时,求函数f(x)的最大值的表达式M(a);(2)是否存在实数a,使得f(x)=3有且仅有3个不等实根,且它们成等差数列?若存在,求出所有a的值;若不存在,说明理由.12.(2016超级中学原创预测卷十,20,15分)已知定义在R上的函数f(x)=.(1)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性;(2)设函数g(x)=f(x)+,若g(x)在区间(-1,1)上有且仅有两个不同的零点,求实数m的取值范围.Ａ组基础题组1.B 取f(x)=(x-1)2,则f(x)在[0,2]上的图象是连续的,且f(0)=1>0,f(2)=1>0,所以f(0)f(2)>0.而存在1∈(0,2)使得f(1)=0.故选B.2.B f(x)=,设g(x)=a1(x-λ2)(x-λ3)+a2(x-λ1)(x-λ3)+a3(x-λ1)(x-λ2),则g(λ1)=a1(λ1-λ2)(λ1-λ3)>0,g(λ2)=a2(λ2-λ1)·(λ2-λ3)<0,g(λ3)=a3(λ3-λ1)(λ3-λ2)>0,则函数f(x)的两个零点分别位于区间(λ1,λ2)和(λ2,λ3)内.3.C y=f[f(x)+a]有四个零点,则方程f[f(x)+a]=0有四个根.易知f(x)+a=-1和f(x)+a=2都存在两个根,故-3<-a-1≤1且-3<-a+2≤1,解得1≤a<2.故选C.4.B将函数f(x)=a+|x|+log2(x2+2)的零点问题转化为函数f1(x)=-a-|x|的图象与f2(x)=log2(x2+2)的图象的交点问题.因为f2(x)=log2(x2+2)在[0,+∞)上单调递增,且为偶函数,因此其图象的最低点为(0,1),而函数f1(x)=-a-|x|也是偶函数,在[0,+∞)上单调递减,因此其图象的最高点为(0,-a),要满足题意,则-a=1,因此a=-1.5.C 函数f(x)在(0,+∞)上为单调函数,根据零点存在性定理知,函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点即f·f(1)=(-2a+2a+3)(4a+3)<0,解得a<-,故选C.6.B f(x)=的零点是2和-2.由f[g(x)]=0,得g(x)=±2.由g(x)=-2,解得x=-;由g(x)=2,解得x=1+或x=1-(舍去).所以函数f[g(x)]的所有零点之和为-+1+=+.7.答案-解析若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则方程2a=|x-a|-1只有一解,即方程|x-a|=2a+1只有一解,故2a+1=0,所以a=-.8.答案 2解析当x≤0时,由x2-2=0得x=-;当x>0时,f(x)=2x-6+lnx在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,所以f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.综上,f(x)的零点个数为2.9.答案1<m≤2解析由题意可得g(x)=因为函数g(x)恰有三个不同的零点,所以由方程g(x)=0解得的实根2,-3和1都在相应范围上,故1<m≤2.10.答案解析令f(x)=x2+ax+2b,由题意可得即此不等式组确定的平面区域如图所示.的几何意义为可行域内的点与C(1,2)连线的斜率.易知点A的坐标为(-3,1),点B的坐标为(-1,0),则k AC=,k BC=1,所以的取值范围是.11.解析(1)当a=时,f(x)=|(x-3)(x-1)|,可知f(x)的单调递增区间为[1,2],[3,+∞);单调递减区间为(-∞,1),(2,3).(2)当a>1时,0<<1,函数g(x)=f(x)-|x-a|至少有三个零点,可以看成函数f(x)的图象与函数y=|x-a|的图象至少有三个交点(如图所示).由方程组得ax2-(a+2)x+a+1=0,则Δ=[-(a+2)]2-4a(a+1)≥0,解得-≤a≤,又a>1,∴1<a≤.根据图象可知,当a∈时,f(x)的图象与函数y=|x-a|的图象至少有三个交点,即函数g(x)=f(x)-|x-a|至少有三个零点,故实数a的取值范围是.(3)①当a=0时,f(x)=|x-1|在[0,2]上的最大值为1.②当0<a≤1时,f(x)图象的对称轴为x=>0,Δ=(a-1)2≥0,当≥2,即0<a≤时,f(x)max=max{f(0),f(2)}=max{1,|2a-1|},而|2a-1|<1,所以f(x)max=1.当<2,即<a≤1时,f(x)max=max=max1,,|2a-1|,由<a≤1⇒<1且|2a-1|≤1,∴f(x)max=1.综上,实数m的取值范围是m≥1.B组提升题组1.A y=cosx是偶函数,且存在零点;y=sinx是奇函数;y=lnx既不是奇函数又不是偶函数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点.故选A.2.D 由=kx+2,得(1+k2)x2+4kx=0,解得x1=0,x2=-,显然x1=0符合方程,要使方程=kx+2只有一个实数根,则x2=x1=0,或kx2+2<0.由x2=x1=0,得k=0.由kx2+2<0,即-+2<0,得k>1或k<-1,故选D.3.B f(x)=0⇔e x=a+,在同一坐标系中作出函数y=e x与y=的大致图象,可观察出A、C、D选项错误,B选项正确.4.C 由f[f(x)]=2,设f(a)=2,则f(x)=a,|log2a|=2,则a=4或a=,作出f(x)与y=a的图象(图略),由图可知,当a=时两图象有3个交点,a=4时两图象有2个交点,所以f[f(x)]=2的根有5个.5.C 由题意,得解得<m<.6.A 易知函数f(x)=e x+x-2是R上的增函数,且f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,故0<a<1,且x>a 时,f(x)>0;x<a时,f(x)<0.又易知g(x)=lnx+x2-3在(0,+∞)上是增函数,且g(1)=-2<0,g()=ln>0,故1<b<,且x>b时,g(x)>0;0<x<b时,g(x)<0.由0<a<1<b<,得f(b)>0,g(a)<0,故选A.7.A 由题意可知,f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4,在同一平面直角坐标系内,y=f(x)在区间[-2,6]内的图象与函数y=log a(x+2)的图象如图所示,若要保证方程f(x)=log a(x+2)在区间[-2,6]内有3个不同的实根,只需log a4<3<log a8,即4<a3<8,<a<2.8.A 由条件①可知,f(x)是R上的奇函数,所以函数g(x)=f(9x)+f(2-k×3x)(x∈R)有两个不同的零点等价于关于x的方程f(9x)+f(2-k×3x)=0,即f(9x)=f(k×3x-2)有两个不相等的实根.由条件②可知,f(x)为单调函数,则关于x的方程f(9x)=f(k×3x-2)有两个不相等的实根等价于9x-k×3x+2=0有两个不相等的实根,令t=3x,则t>0,则关于t的方程t2-kt+2=0有两个不相等的正实数根,所以解得k>2.9.答案(0,2)解析函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点等价于函数y=|2x-2|与y=b的图象有两个不同的交点.在同一坐标系中作出函数y=|2x-2|及y=b的图象,如图.由图可知b∈(0,2).10.解析原方程可化为(lga+lgx)·(lga+2lgx)=4,即2(lgx)2+3lga·lgx+(lga)2-4=0,令lgx=t,t>0,则有2t2+3lga·t+(lga)2-4=0的解都是正数,设f(t)=2t2+3lga·t+(lga)2-4,则解得lga<-2,∴0<a<,∴实数a的取值范围是.11.解析(1)当a≤1时,f(x)=x-,在[1,4]上单调递增,∴f(x)max=f(4)=3.当1<a≤2时,f(x)=在[1,a]上单调递增,在(a,4]上单调递增,∴f(x)max=f(4)=3.当2<a<4时,f(x)=在[1,2]上单调递增,在(2,a)上单调递减,在[a,4]上单调递增,∴f(x)max=max{f(2),f(4)}=当a≥4时,f(x)=2a-x-,在[1,2]上单调递增,在(2,4]上单调递减,∴f(x)max=f(2)=2a-4.综上所述,M(a)=(2)存在.函数f(x)=不妨设f(x)=3的3个根为x1,x2,x3,且x1<x2<x3.当x>a时,由f(x)=x-=3,解得x=-1或x=4.当a≤-1时,∵x2=-1,x3=4,∴x1=-6,由f(-6)=2a+6+=3,解得a=-,满足f(x)=3在(-∞,a)上有一解.当-1<a≤4时,x3=4,x1,x2是2a-x-=3在(-∞,a)上的两个解,即x1,x2是x2-(2a-3)x+4=0在(-∞,a)上的两个解,得到又f(x)=3的3个根x1,x2,x3成等差数列,且x1<x2<x3,所以2x2=x1+4, 解得或当a>4时,f(x)=3最多只有两个解,不满足题意.综上所述,a=-或a=1+.12.解析(1)设0<x 1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=-===,由0<x1<x2<1易知(x2-x1)(x1x2-1)<0,所以f(x1)-f(x2)<0.故函数f(x)在区间(0,1)上单调递增.(2)令g(x)=0,即+=0,化简得x(mx2+x+m+1)=0,所以x=0或mx2+x+m+1=0.若0是方程mx2+x+m+1=0的根,则m=-1.此时mx2+x+m+1=-x2+x=0,其另一根为1,不满足g(x)在(-1,1)上有且仅有两个不同的零点, 所以g(x)=f(x)+在(-1,1)上有且仅有两个不同的零点,等价于方程mx2+x+m+1=0(*)在区间(-1,1)上有且仅有一个非零的实根.(i)当m=0时,方程(*)的根为x=-1,不符合题意.(ii)当m≠0时,①当Δ=12-4m(m+1)=0时,m=.若m=,则方程(*)的根为x=-=-=-1∈(-1,1),符合题意;若m=,则方程(*)的根为x=-=-=--1∉(-1,1),不符合题意.所以m=.②当Δ>0时,<m<,且m≠0.令φ(x)=mx2+x+m+1,则由φ(-1)·φ(1)<0,得-1<m<0.综上,实数m的取值范围是(-1,0)∪.。
三年高考两年模拟(浙江版)高考数学一轮复习 第二章 函数 2.9 函数的模型及其应用知能训练
§2.9函数的模型及其应用Ａ组基础题组1.(2015浙江重点中学协作体适应性测试,4)已知0<a<1,则a2、2a、log2a的大小关系是( )A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a22.(2015福建泉州一中期中,5,5分)给出四个函数,分别满足:①f(x+y)=f(x)+f(y),②g(x+y)=g(x)g(y),③h(xy)=h(x)+h(y),④m(xy)=m(x)m(y).下列为四个函数的图象,对应正确的是( )A.①甲,②乙,③丙,④丁B.①乙,②丙,③甲,④丁C.①丙,②甲,③乙,④丁D.①丁,②甲,③乙,④丙3.(2013湖北,5,5分)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后来为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )4.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.105.(2014北京,8,5分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c 是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟6.(2015浙江五校第一次联考)一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.7.(2016杭州学军中学第二次月考,13,4分)不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m 都成立,则x的取值范围是.8.(2015湖南师大附中月考)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.8元;当超过4吨时,超过部分按每吨3元收费.已知某个月甲、乙两户共交水费y元,并且该月甲、乙两户的用水量分别为5x、3x吨.(1)求y与x的函数关系式;(2)若该月甲、乙两户共交水费26.4元,分别求出该月甲、乙两户的用水量和水费.9.(2016上海普陀调研测试,21,14分)某中学为了落实“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S平方米的矩形AMPN健身场地.如图,点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上,已知∠ACB=60°且|AC|=30米,|AM|=x米,x∈[10,20].(1)试用x表示S,并求S的取值范围;(2)若在矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪.已知:矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元,草坪每平方米的造价为(k为正常数)元.设总造价T关于S的函数为T=f(S),试问:如何选取AM的长,才能使总造价T最低?B组提升题组1.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A. B.C. D.-12.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油3.(2015浙江重点中学协作体摸底)一高为H,满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时,水的体积为V1,则函数V1=f(h)的大致图象可能是图.4.(2015浙江杭州九中期末)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运年时,其营运的年平均利润最大.5.求实数a的范围,使得关于x的方程x2-ax+2=0在[1,3]上有解.6.(2016杭州学军中学第二次月考,18,14分)已知集合P=,y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q.(1)若P∩Q≠⌀,求实数a的取值范围;(2)若方程log2(ax2-2x+2)=2在内有解,求实数a的取值范围.7.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.8.(2016超级中学原创预测卷六文,20,15分)某市为迎接元旦的到来,拟在市观光游览区建造一个花坛,已知用钢管焊接而成的花坛围栏如图所示,它的外框是一个等腰梯形PQRS,内部是一段抛物线和一根横梁,抛物线的顶点与梯形上底边的中点均是焊接点O,梯形的腰紧靠在抛物线上,且两腰的中点是梯形的腰、抛物线与横梁的焊接点A,B,抛物线与梯形下底边的两个焊接点为C,D.已知梯形的高是40米,C,D两点间的距离是40米.(1)求横梁AB的长度;(2)求制作梯形外框的用料长度.(注:钢管的粗细等因素忽略不计,≈1.41)Ａ组基础题组1.B 因为当0<a<1时,a2∈(0,1),2a>1,log2a<0,所以2a>a2>log2a,故选B.2.D 由题图可知丁是正比例函数图象,满足①;甲是指数型函数图象,满足②;乙是对数型函数图象,满足③;丙是幂函数图象,满足④.故选D.3.C 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除 B.故选C.4.C 因为函数y=3sin+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m),选C.5.B 由已知得解得∴p=-0.2t2+1.5t-2=-+,∴当t==3.75时p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.6.答案16解析当t=0时,y=a,当t=8时,y=ae-8b=a,∴e-8b=,容器中的沙子只有开始时的八分之一,即y=ae-bt=a,e-bt==(e-8b)3=e-24b,则t=24,24-8=16.7.答案解析构造函数f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则f(m)是关于m的一次函数,要使2x-1>m(x2-1)对任意|m|≤2恒成立,即f(m)<0对任意m∈[-2,2]恒成立,只需解得x∈.8.解析(1)当甲的用水量不超过4吨,即5x≤4时,乙的用水量也不超过4吨,y=(5x+3x)×1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4且5x>4时,y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8;当乙的用水量超过4吨,即3x>4时,y=1.8×8+3(5x-4+3x-4)=24x-9.6.所以y=(2)y=f(x)在各段区间上均为单调递增函数,当x∈时,y max=f<26.4;当x∈时,y max=f<26.4;当x∈时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户用水量为5x=7.5吨,水费为4×1.8+3.5×3=17.7(元);乙户用水量为3x=4.5吨,水费为4×1.8+0.5×3=8.7(元).9.解析(1)在Rt△PMC中,|MC|=30-x米,∠PCM=60°,∴|PM|=|MC|·tan∠PCM=(30-x)米,则S=x(30-x),x∈[10,20],于是200≤S≤225.(2)矩形AMPN健身场地造价T1=37k元,又△ABC的面积为450平方米,∴草坪造价T2=(450-S)元,又T=T1+T2,∴f(S)=25k,200≤S≤225.∵+≥12,当且仅当=,即S=216时等号成立,此时x(30-x)=216,解得x=12或x=18,∴选取AM的长为12米或18米时总造价T最低.B组提升题组1.D 设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x>0,因此x=-1,故选D.2.D 对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错;对于C选项:甲车以80千米/小时的速度行驶时,燃油效率为10km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(升),则C错;对于D选项:当行驶速度小于80km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.3.答案②解析当h=0时,V 1=0,可排除①③;由于鱼缸中间粗两头细,所以当h在附近时,体积变化较快;当h小于时,体积增加得越来越快;当h大于时,体积增加得越来越慢.故填②.4.答案 5解析由题图可得营运总利润y=-(x-6)2+11,则营运的年平均利润为=-x-+12,∵x∈N*,∴≤-2+12=2,当且仅当x=,即x=5时取“=”.∴当x=5时,营运的年平均利润最大.5.解析①当x=1是方程的解时,a=3.②当x=3是方程的解时,a=.③设f(x)=x2-ax+2,则函数在(1,3)内有唯一零点的条件为或解得3<a<或a=2.④当方程x2-ax+2=0在(1,3)上有两解时,设f(x)=x2-ax+2,则解得2<a<3.综上,实数a的取值范围是2≤a≤.6.解析(1)由已知得Q={x|ax2-2x+2>0},若P∩Q≠⌀,则说明在内至少有一个x值,使不等式ax2-2x+2>0成立,即在内至少有一个x值,使a>-成立,令u=-,则只需a>u min,又u=-2+,当x ∈时,∈,从而u∈,∴a的取值范围是a>-4.(2)∵方程log2(ax2-2x+2)=2在内有解,∴ax2-2x+2=4,即ax2-2x-2=0在内有解,即存在x∈,使a=+=2-,∵≤2-≤12,∴≤a≤12,即a的取值范围是.7.解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得解得(2)①由(1)知,y=(5≤x≤20),则点P的坐标为,y'=-,设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)==,t∈[5,20].②设g(t)=t2+,则g'(t)=2t-.令g'(t)=0,解得t=10.当t∈(5,10)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;当t∈(10,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数.从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15.答:当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.8.解析(1)建立如图所示的平面直角坐标系,设梯形的下底边与y轴交于点M,抛物线的方程为x2=2py(p<0).由题意得D(20,-40),代入抛物线的方程得p=-5,所以抛物线的方程为x2=-10y. 当y=-20时,x=±10,即A(-10,-20),B(10,-20),所以|AB|=20≈28.2.故横梁AB的长度约为28.2米.(2)由题意得梯形的腰QR的中点是梯形的腰QR与抛物线唯一的公共点,设直线RQ的方程为y+20=k(x-10)(k<0),由得x2+10kx-100(2+k)=0,则Δ=100k2+400(2+k)=0,解得k=-2,所以直线RQ的方程为y=-2x+20.从而得Q(5,0),R(15,-40).所以|OQ|=5,|MR|=15,|RQ|=30,所以梯形的周长为2×(5+15+30)=100≈141(米),故制作梯形外框的用料长度约为141米.。
【大高考】(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习第二章第二节函数的基本性质文(全国通用)
...【大高考】〔三年模拟一年创新〕2021届高考数学复习第二章第二节函数的根本性质文〔全国通用〕A 组专项根底测试三年模拟精选一、选择题1．(2021 ・XX XX 模拟) f ( x )是定义在 R 上的奇函数，当xx ≥０时， f ( x )＝ 3＋m ( m 为常数 )，那么 f (－ log 35)的值为 ()A ．－ 4C ．－ 6解析B ． 4D ． 6由题意 f (0)＝ 0，即 1＋ m ＝ 0，所以 m ＝－ 1，f (－ log 35)＝－ f (log 35)＝－ (3log 35－1)＝－ 4.答案A2．(2021 ・XX 市统考 )设 f ( x )是定义在 [－ 2，2]上的奇函数，假设 f ( x )在 [－ 2，0]上单调递2a 的取值X 围是 ()A ． [－ 1， 2]C ． (0， 1)B ． [－ 1， 0)∪(1， 2]D ． (－∞， 0)∪(1，＋∞〕解析2∵ f ( x )是 [－ 2， 2]上的奇函数，∴ f (0)＝ 0， f ( a － a )＜ 0＝ f (0)，又∵ f ( x )在 [－2，0]上单调递减，∴ 答案 -19Bf ( x )在 [0，2]也单调递减，故22即 a ∈[－ 1， 0)∪(1， 2]． 3．(2021・XX 模拟 )设函数 f ( x )( x ∈ R)满足 f (－x )＝ f ( x )， f ( x ＋2)＝ f ( x )，那么 y ＝ f ( x ) 的图象可能是 ()解析因为 f (－ x )＝ f ( x )，f ( x ＋ 2)＝ f ( x )，所以 f ( x )是周期为 2的偶函数，结合选项中的图象得出正确的答案为B.答案B4．(2021・东北四校联考2)函数 f ( x )＝ln(4＋ 3x － x )的单调递减区间是()...1减，那么使f ( a－a)＜0成立的实数a－a＞0，a－a≤2，...A.－∞，3 2B.3 2，＋∞ C.－ 1，32D.3， 4 2解析y ＝ ln t 在 (0，＋∞ )上为增函数，而23 2t ＝ 4＋ 3x －x ＝－ ( x － )＋ 2 25 43 在 (－∞， ]上为2增函数，在3，＋∞上为减函数，又2t ＞ 0，23故 f ( x )在 (－ 1， ]上为增函数，在2 答案-19D32，4上为减函数． 5．(2021・荆州模拟 )定义在 R 上的奇函数 f ( x )满足 f ( x ＋ 1)＝－ f ( x )，且在 [0， 1)上单调递增，记a ＝ f12， b ＝ f (2)， c ＝ f (3)，那么 a ， b ， c 的大小关系为 ()A ． a ＞ b ＝ c C ． b ＞ c ＞ aB. b ＞a ＝ cD ． a ＞c ＞ b解析依题意得， f ( x ＋ 2)＝－ f ( x ＋ 1)＝ f ( x )，即函数 f ( x )是以 2为周期的函数， f (2)＝ f (0)＝0， 又 f (3)＝－ f (2)＝ 0，且 f ( x )在 [0， 1)上是增函数，1于是 f ( )＞ f (0)＝ f (2)＝ f (3)，即 a ＞b ＝ c .2 答案A6．(2021・XXXX 二测)函数 f ( x )( x ∈ R)的图象如下图，那么函数g ( x )＝ f (log a x )(0＜ a ＜1)的单调减区间是 ()A. 0，1 2B ． (－∞， 0)∪12 C ． [ D ． [a ，1] a ， a ＋ 1]解析 由于 0＜ a ＜ 1， y ＝ log a x 是减函数，要求1f (log a x )的减区间，那么 0≤ log a x ≤，∴2a≤x ≤ 1.答案C...即 x － 3x － 4＜ 0，－ 1＜x ＜ 4，，＋∞二、填空题2...7．(2021・XX 模拟 )假设函数 f ( x )是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞ )上是单调递增函数，如果实数t 满足 f (lnt )＋ f ln1t≤ 2f(1)，那么 t 的取值X 围是 ________．解析由于函数 f ( x )是定义在 R 上的偶函数，所以 f (ln t )＝ f ln1t，由 f (ln t )＋ f ln1t≤2f (1)，得 f (lnt )≤ f (1)，又函数f ( x )在区间 [0，＋∞ )上是单调递增函数，所以|lnt |1≤1，－ 1≤ ln t ≤ 1，故≤ t ≤ e.e答案 1 e， e 三、解答题8．(2021・XXXXx － xR 的奇函数．(1)假设 f (1)>0，试求不等式23 2x － 2x 2－ 4f ( x )，求 g ( x )在 [1，＋∞ )上的最小值．解∵ f ( x )是定义域为 R 的奇函数，∴f (0)＝ 0，∴k － 1＝ 0，∴ k ＝ 1. (1)∵ f (1)>0，1a又 a >0且 a ≠1，∴ a >1.∵k ＝ 1， x － x∴f ( x )＝ a －a ，x∴f ( x )在 R 上为增函数，－x在R 上均为增函数，原不等式可化为222∴x >1或 x <－ 4，∴不等式的解集为{ x | x >1或 x <－ 4}．3 2...5 月模拟 ) 设函数 f ( x ) ＝ ka － a ( a >0 且 a ≠1) 是定义域为f ( x ＋ 2x ) ＋ f ( x － 4)>0 的解集；(2) 假设 f (1) ＝ ，且 g ( x ) ＝ a ＋ a∴a － >0，当 a >1 时， y ＝ a 和 y ＝－ af ( x ＋2x )> f (4 －x ) ，∴x ＋ 2x >4－x ， 即 x ＋ 3x － 4>0，(2) ∵ f (1) ＝ ，即 2a － 3a － 2＝ 0，1 3 ∴a －＝，a 223...1∴a ＝ 2或 a ＝－ (舍去 )，22x － 2xx －x x －x 2 x － x－ 4(2－ 2 )＝ (2－ 2 )－ 4(2－ 2 )＋ 2， x －x2∵t ＝ h ( x )在 [1，＋∞ )上为增函数 (由 (1)可知 )，3∴h ( x )≥ h (1)＝，23即 t ≥ .22 2∴当 t ＝ 2时， g ( t )取得最小值－ 2，即 g ( x )取得最小值－ 2，32 此时 x ＝ log 2(1＋ 故当 x ＝ log 2(1＋2)， 2)时，g ( x )有最小值－ 2.一年创新演练9．偶函数f ( x )在 [0，＋∞ )上为增函数，假设不等式2a的取值X 围为 (A ． (－ 2 3， 2) C ． (－ 2 2， 2))B ． (－ 2， 2)D ． (－ 2， 2 2)解析由于函数为偶函数，因此f ( ax － 1)＝ f (| ax － 1|)，2 2据单调性可得2 2f (| ax － 1|)＜ f (2＋ x ) ? | ax － 1|＜ 2＋ x ，据题意可得不等式2 2 222恒成立，据二次函数知识可知2a － 12＜0，2解得－ 2＜ a ＜ 2，应选 B. 答案B10．假设函数 f ( x )＝ cos x ＋ 2xf ′π 6，那么 f －π 3与 fπ3的大小关系是 ()...∴g ( x ) ＝ 2 ＋ 2令 t ＝ h ( x ) ＝ 2 － 2 ( x ≥1) ， 那么 g ( t ) ＝ t －4t ＋ 2.g ( t ) ＝ t － 4t ＋ 2＝ ( t －2) － 2， t ∈ ，＋∞ ，f ( ax － 1) ＜f (2 ＋ x ) 恒成立，那么实数f ( ax － 1) ＜f (2 ＋ x ) ? f (| ax － 1|) ＜ f (2 ＋x ) ，| ax － 1| ＜2＋ x 恒成立，即－ (2 ＋ x ) ＜ax － 1＜2＋ x ?x － ax ＋ 3＞ 0， x ＋ ax ＋ 1＞0a － 4＜ 0，4...＝ ， A ． f －π 3＝fπ 3B ． f －π 3＞ fπ 3C ． f －π 3＜ fπ 3D ．不确定解析由题意得 f ′〔x )＝－ sin x ＋ 2f ′π6，∴f ′π 6＝－ sinπ 6＋ 2f ′π 6，解得 f ′π 61 2∴f ′ ( x )＝－ sinx ＋1≥0，∴f ( x )＝ cos x ＋ x 是 R 上的增函数， ∵－π 3＜π 3，∴f －π 3＜ fπ 3，应选 C. 答案C5...B 组专项提升测试三年模拟精选一、选择题11．(2021 ・XX 省名校统考)定义在 R 上的函数 f ( x )满足 f (－ x )＝－ f ( x )， f ( x － 2)＝ f ( xx1＋2)，且 x ∈(－ 1，0)时 f ( x )＝ 2＋，那么 f (log 220)＝ (5)A ．－ 1 B. 4 5C ． 1D ．－4 5解析∵ x ∈(0， 1)，－ x ∈(－ 1， 0)，－ x1－x 1∴f (－ x )＝2＋＝－ f ( x )，即 f ( x )＝－ 2－， x ∈ (0， 1)．由 f ( x － 2)＝ f ( x ＋ 2)，可得5 5f ( x )＝ f ( x － 4)．∵ 4＜ log 220＜ 5，∴ 0＜ log 220－ 4＜ 1，∴ f (log 220)＝ f (log 220)＝ f (log 220－ 4)＝－ 2－1(log 220－ 4)－＝－ 1.5 答案A12．(2021 ・XX 市一诊 ) f ( x )是定义在 (0，＋∞ )上的函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有 x 2f 〔 x 1〕－ x 1f 〔 x 2〕 x 1－x 2 ＜ 0，记 a ＝20.20.2，b ＝ 0.222， c ＝ f〔 lo g 25〕 lo g 25，那么 ()A ． a ＜ b ＜ cB ． b ＜ a ＜ cC ． c ＜ a ＜ bD ． c ＜ b ＜ a解析因为对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f 〔 x 1〕－ x 1f 〔 x 2〕x 1－ x 2＜ 0， 即对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f 〔x 1〕－ x 1f 〔x 2〕 x 1x 2x 1－ x 2＝ f 〔 x 1〕 f 〔 x 2〕 － x 1 x 2 x 1－ x 2＜ 0，所以函数 h ( x )＝ f 〔 x 〕 x是 (0，＋∞ )上的减函 2 0.2答案C二、填空题13．(2021・XXXX 二模)函数 f ( x )在实数集 R 上具有以下性质：①直线 x ＝1是函数 f ( x )的一条对称轴；② f ( x ＋ 2)＝－ f ( x )；③当 1≤ x 1＜ x 2≤3时，[ f ( x 2)－f ( x 1)]・〔x 2－x 1)＜ 0，那么 f (2 011)， f (2 012)， f (2 013)从大到小的顺序为________．解析由②知f ( x)的周期为4，由③知f ( x)在[1，3]上为减函数，∴f (2 011)＝f (3)，f (2 012)＝f (0)＝f (2)，f (2 013)＝f (1)，6f〔2〕f〔0.2〕数，因为0.2＜2＜log 25，所以b＞a＞c，应选C.∴f (1)＞f (2)＞f (3)，即f (2 013)＞f (2 012)＞f (2 011)．答案f (2 013)＞f (2 012)＞f (2 011)14．(2021・XXXX模拟)设函数f ( x)是定义在R上的偶函数，且对于任意x∈R恒有f ( x＋1)＝f ( x－1)．当x∈[0，1]时，f ( x)＝1 1－x2，那么①2是f ( x)的周期；②f ( x)在(1，2)上递减，在(2，3)上递增；③f ( x)的最大值为1，最小值为0；④当x∈(3，4)时，f ( x)＝其中正确命题的序号是________．1 x－3 2.解析由条件得f ( x＋2)＝f ( x)，那么f ( x)的周期为2，①正确；1 1＋x当－1≤ x≤０时，0≤－x≤1，f ( x)＝f (－x)＝( )2，函数y＝f ( x)的图象如下图，那么②正确，③错误；当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，f ( x)＝f ( x－4)＝1 x－3 2答案①②④三、解答题15．(2021・XX汉沽二模2 ax(1)讨论函数f ( x)的奇偶性，并说明理由；(2)假设函数f ( x)在[2，＋∞ )上为增函数，XX数a的取值X围．解2时，f (1)＝1＋a，f (－1)＝1－a，因此f (1)≠ f (－1)，且f (－1)≠－f (1)，2 a所以函数f ( x)＝x＋( x≠0)既不是奇函数，也不是偶函数．xa (2) f′〔x)＝2x－2＝x 3x 2，当a≤０时，f′( x)>0，那么f ( x)在[2，＋∞ )上是增函数；当a>0时，令f′〔x)＝32>0，解得x>3 a2 ，由f ( x)在[2，＋∞ )上是增函数，可知3 a2 ≤2，解得0<a≤16.综上，实数a的取值X围是(－∞，16]．7，④正确．)函数f ( x)＝x＋( x≠0，常数a∈R)．(1)函数f ( x)的定义域为{ x| x≠0}，当a＝0时，f ( x)＝x ( x≠0)，显然为偶函数；当a≠０2x－a2x－ax－a ) ＋ f (1 － a ) ＜ 0，那么实数a 的取值X 围是 ( f (1 － a ) ＋f (1 － a ) ＜ 0， 得 f (1 － a ) ＜f ( a － 1) ， 那么－ 1＜ 1－a ＜ a －1＜1， 一年创新演练16．函数 f ( x )的导函数为 f ′〔x )＝ 4＋3cos x ，x ∈ (－ 1，1)，且 f (0)＝ 0，如果 f (12)A ． (1，2)B ． (0， 1)C ． (－∞， 1)∪ (2，＋∞ )D ． (－∞，－ 2)∪(1，＋∞〕解析f ′〔x )＝ 4＋ 3cos x ＞0在 (－ 1，1)上恒成立，∴f ( x )在 (－ 1， 1)上为增函数，又f ′〔x )为偶函数， 那么 f ( x )为奇函数，由222∴a ∈ (1，2)．答案A17．函数 y ＝f ( x )是定义在 R 上的偶函数，对任意 x ∈ R 都有 f ( x ＋6)＝ f ( x )＋ f (3)，当x 1，x 2∈ [0， 3]，且 x 1≠ x 2时， f 〔x 1〕－ f 〔 x 2〕 x 1－ x 2＞ 0，给出如下命题：①f (3)＝ 0；②直线 x＝－ 6是函数 y ＝ f ( x )的图象的一条对称轴；③函数y ＝f ( x )在 [－9，－ 6]上为增函数；④函数 y ＝ f ( x )在 [－ 9， 9]上有四个零点，其中所有正确命题的序号为()A ．①②B ．②④C ．①②③D ．①②④解析依题意可得 f (－ 3＋ 6)＝f (－ 3)＋f (3)，即 f (－ 3)＝ 0，又 f ( x )是定义在 R 上的偶函数， 所以 f (3)＝ f (－ 3)＝ 0，①正确；由①知 f ( x ＋ 6)＝ f ( x )，即函数 f ( x )是以 6为周期的周期函数，那么 又 f ( x )＝ f (－ x )，因此有 f ( x － 6)＝ f (－ 6－ x )，f ( x － 6)＝ f ( x ＋ 6)． 即函数 f ( x )的图象关于直线x ＝－ 6对称，②正确；依题意知，函数f ( x )在 [0， 3]上是增函数， 那么函数 f ( x )在 [－ 3， 0]上是减函数， 又函数 f ( x )是以 6为周期的周期函数，因此函数 y ＝ f ( x )在[－ 9，－ 6]上是减函数，③不正确；结合函数 y ＝ f ( x )的图象可知 f (－ 9)＝ f (9)＝ f (3)＝ f (－3)＝ 0， 故函数 y ＝f ( x )在 [－ 9， 9]上有四个零点，④正确．综上所述，其中所有正确命题的序号为①②④，选D.答案D8。
第2章第8节函数模型及其应用-新高考数学自主复习课件(共30张PPT)
质量变为原来的（ ）2，…，依此类推，得到n年后剩余质量是原来的 ，
只需要
，故至少需要经过4年该物质余下质量不超过原来的1%.
【答案】B
第8节 函数模型及其应用
5．某种动物繁殖数量 y(只)与时间x(年)的关系为 y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1 年有100只，则到第7年它们发展到( )
正比例函数模型f(x)＝kx(k为常数，k≠0)是一次函数模型的特殊情况．
第8节 函数模型及其应用
(1)正比2例.函指数模数型：函f(x)数＝kx、(k为常对数，数k≠0函)； 数、幂函数模型的性质比较
A．1 500元
B．1 550元
第8节 函数模型及其应用
A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年
明理由．
正比例函数模型f(x)＝kx(k为常数，k≠0)是一次函数模型的特殊情况．
若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要经过的年数是( )
(1)[安徽亳州2019期中]为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元
2．[广东广州2019期末]某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超
过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元的部分享
受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠 金额
不超过500元的部分
超过500元的部分
折扣率
5% 10%
若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为( )
2.分段函数模型
分段函数的每一段自变量变化规律不同，可以先将各段的变化规律分 别找出来，再将其合到一起．要注意各段自变量的取值范围，特别是 端点处能否取得．构造分段函数时要做到分段合理、不重不漏．
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第八节 函数的模型及其综合应用A 组 专项基础测试 三年模拟精选一、选择题1．(2015·北京昌平区模拟)在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12 000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是( ) A ．32人B ．35人C ．40人D ．45 人解析 设旅行团的人数为x 人，每张机票收费为m 元，旅行社获得的机票利润为y ， 当1≤x ≤30且x ∈N 时，m ＝800，y max ＝800×30－12 000＝12 000， 当30<x ≤45且x ∈N 时，m ＝800－20(x －30)＝1 400－20x ，则y ＝(1 400－20x )x －12 000＝－20x 2＋1 400x －12 000，对应的抛物线开口向下， 因为x ∈N ，所以当x ＝－ 1 4002×（－20）＝35，函数取得最大值．所以当旅行社人数为35时，旅行社可获得最大利润．故选B. 答案 B2．(2015·辽宁五校协作体模拟)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人( )A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但其间最近距离为7米解析 以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为－25＋6t ，汽车在时间t 内的位移为s ＝12t 2，故设相对位移为y m ，则y ＝－25＋6t －12t 2＝－12(t －6)2－7，故不能追上汽车，且当t ＝6时，其间最近距离为7米．故选D.答案 D3．(2015·沈阳模拟)某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v 1，v 2，v 3，则该人整个行程的平均速度是( )A.v 1＋v 2＋v 33B.1v 1＋1v 2＋1v 33C.3v 1v 2v 3D.31v 1＋1v 2＋1v 3解析 设整个行程为3S ，乘摩托车、汽车和火车的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＝S v 1，t 2＝S v 2，t 3＝S v 3，整个行程的平均速度为3S t 1＋t 2＋t 3＝3S S v 1＋S v 2＋S v 3＝31v 1＋1v 2＋1v 3，选D.答案 D4．(2014·武汉调研)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( ) A ．5 km 处 B ．4 km 处 C ．3 km 处D ．2 km 处解析 设仓库建在离车站x km 处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，根据已知数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和y ＝20x ＋0.8x ≥220x×0.8x ＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5 km 处． 答案 A 二、填空题5．(2014·金华十校期末)有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为______．(围墙厚度不计)解析 设矩形场地的宽为x m ，则矩形场地的长为(200－4x )m ，面积S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500.故当x ＝25时，S 取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m 2.答案 2 500 m 2三、解答题6．(2015·四川乐山模拟)某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5（0≤x ≤7），13.5（x >7）.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？解 依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )， 则f (x )＝r (x )－g (x )所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5（0≤x ≤7）10.5－x （x >7）(1)要使工厂盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，10.5－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27<0或 ⎩⎪⎨⎪⎧x >7，10.5－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3<x <9，或7<x <10.5. 则3<x ≤7或7<x <10.5， 即3<x <10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内． (2)当3<x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5， 故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. 而当x >7时，f (x )<10.5－7＝3.5. 所以当工厂生产600台产品时盈利最大．一年创新演练7．某堆雪在融化过程中，其体积V (单位：m 3)与融化时间t (单位：h)近似满足函数关系：V (t )＝H ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－110t 3(H 为常数)，其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v (m 3/h). 那么瞬时融化速度等于v (m 3/h)的时刻是图中的( )A ．t 1B ．t 2C ．t 3D ．t 4解析 平均融化速度为v ＝V （100）－V （0）100－0，反映的是V (t )图象与坐标交点线的斜率，观察可知t 3处瞬时速度(即切线的斜率)为平均速速一致，故选C.答案 CB 组 专项提升测试 三年模拟精选一、填空题8．(2014·惠州模拟)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8升，则m ＝________． 解析 根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，解得t ＝15，故m＝15－5＝10. 答案 10 二、解答题9．(2014·河南鹤壁二模)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P (元/件)．前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝)，后10天呈直线上升趋势，其中4天的单价记录如下表：而这20天相应的销售量Q (百件/天)与时间x (天)对应的点(x ，Q )在如图所示的半圆上．(1)写出每天销售收入y (元)关于时间x (天)的函数； (2)在这20天中哪一天销售收入最高？此时单价P 定为多少元为好？(结果精确到1元)解 (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧10－x ，x ∈[1，10]，x －10，x ∈[11，20](x ∈N *)，Q ＝100－（x －10）2，x ∈[1，20]，x ∈N *，∴y ＝100QP ＝100（x －10）2[100－（x －10）2]，x ∈[1，20]，x ∈N *. (2)∵(x －10)2[100－(x －10)2]≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －10）2＋100－（x －10）222＝2 500，当且仅当(x －10)2＝100－(x －10)2，即x ＝10±52时，y 有最大值．又x ∈N *，∴当x ＝3或17时，y max ＝70051≈4 999，此时，P ＝7.答：第3天或第17天销售收入最高，此时应将单价P 定为7元为好．一年创新演练10．某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y (单位：万元)与技术改造投入x (单位：万元)之间的关系满足：①y 与a －x 和x 2的乘积成正比例；②当x ＝a4时，y ＝3a 316；③0≤x 2（a －x ）≤t ，其中t 为常数，且t ∈[0，2]．(1)设y ＝f (x )，求f (x )的表达式，并求y ＝f (x )的定义域； (2)求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入x 的值． 解 (1)设y ＝k (a －x )x 2，由②得k ＝4， ∴y ＝4(a －x )x 2.∵0≤x 2（a －x ）≤t ，其中t 为常数，且t ∈[0，2]，y ＝f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2ta 1＋2t ，t为常数，且t ∈[0，2]． (2)f ′(x )＝－4x (3x －2a )， 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2a3， (ⅰ)当2ta 1＋2t ≥2a3，即1≤t ≤2时，若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3，则f ′(x )>0；若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2ta 1＋2t ， 则f ′(x )<0，故当x ＝2a 3时，y max ＝16a 327.(ⅱ)当2ta 1＋2t <2a 3，即0≤t <1时，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2ta 1＋2t 时恒有f ′(x )>0，此时f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2ta 1＋2t 上是增函数，故当x ＝2ta 1＋2t 时，y max ＝16t 2a 3（1＋2t ）3.综上，当1≤t ≤2，投入x ＝2a 3时，附加值y 最大，为16a327万元；当0≤t <1，投入x ＝2ta 1＋2t 时，附加值y 最大，为16t 2a3（1＋2t ）3万元．。