第二章 光的衍射

第二章光的衍射§1 惠更斯——菲涅耳原理一、衍射现象即不沿直线传播而向各方向绕射的现象。

定义：光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏上出现光强不均匀的分布现象——光的衍射。

当障碍物或孔隙的线度比波大很多，通常都显示光的直线传播现象。

声波和水波的衍射可常见。

例：人在房间说话，另一房间的人能听见。

又，把杨氏装置中的两孔之一遮蔽，使光束通过单孔照射，仔细观察，屏上明亮区比直线传播所估计的要大且出现明暗不均匀的现象。

二、惠更斯——菲涅耳原理惠更斯：任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源，各自发出球面次波，在以后时刻，所有这些次波波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面。

原理较粗糙，不能解释干涉、衍射甚至还有倒退波的存在。

它不涉及波的时空周期特性——位相、波长、振幅，而衍射现象有明暗相间的条纹出现。

波动有两个基本性质：（1）振动在空间的传播；（2）具有时空周期性，能够相干迭加。

“次波”概念反映前一基本性质，也是成功之处。

但当时对波动性认识肤浅，惠更斯并不知光速有多大，只把光看成空气中的声波（纵波），其“振动”也是非周期性的无规则脉冲，因而原理中并没反映出波的时空周期性。

菲涅耳的改进因牛顿威望极高，微粒说影响极大，光的波动理论停滞不前，几乎过了一百年，到了十九世纪，杨反用波的迭加原理解释了薄膜的颜色，首先提出“干涉”一词概括波与波的相互作用，为了验证自己的理论，做了一个双缝干涉，即杨氏干涉实验，他并对出现于阴影边缘附近的衍射条纹给出了正确解释，但这些富有价值的光学研究并没被重视，直到1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳出人意料地获胜，才开始了光的波动说的兴旺时期，那次竞赛会上，评委中有许多著名的学者，如毕奥、拉普拉斯、泊松，他们都是微粒说的拥护者，竞赛题目的具体表达式带有明显的有利于微粒说的倾向性。

然而，菲涅耳吸收了惠更斯的次波概念，阐述的次波相干迭加的新观点具有极大说服力，使反对派马上接受了，会后泊松又仔细审核菲涅理论，并用圆盘衍射，屋圆盘中心轴线上应有亮斑，看来似乎不可思议离奇的结论，不久，在实际中阿喇果果真发现了这一惊人的理论，这一发现对惠——菲原理是十分有力的支持。

惠——菲原理：波面上每个面元ds 都可看成是新的振动中心，它们又发出次波，在空间某一点p 的振动是所有这些次波在该点的相干迭加。

P 点的合振动（ds 发出）)cos()( t kr rk ds dE ωθα-⋅ )cos()(C t kr rk ds dE ωθ-⋅⋅=其中)(θk 随θ增大而减小如振幅（S 面上）有一定分布，为A （Q ）ds t kr rQ A Q K cdE )cos()()(ω-=dserQ A Q K C E dst kr r Q A Q K C dE E t kr i s⎰⎰⎰-=-==)( )()()cos()()(ωω菲涅耳衍射积分 四个假设：（1）ds 上各点所发次波有相同的初位相（可令00=ϕ）（2）E 与r 成反比，相当于表明次波是球面波。

（3）E 与ds 成正比，且与Q 有关，Q 大，E 小，系数K （Q ） （4）P 点位相由△=nr 决定最初，菲涅耳作上述各种假设时只凭朴素的直接，60多年后（1882年），基尔霍夫建立了一个严格的数学理论，证明菲涅耳的设想基本正确。

只有倾斜因子不对菲涅耳设想：)2(0 ,1)( ),0(1)(πθθθθ<<<==K K ，0)(,2=≥θπθK ，而基尔霍夫：)c o s 1(21)(θθ+=K 不过，倾斜因子的具体形式对计算结果的影响不大。

两类衍射：琅和费衍射，远场菲涅耳衍射，近场§2 菲涅耳半波带一、菲涅耳半波带以点光源为例说明惠——菲原理，确定S 面对P 点的作用。

B 0：P 点对波面的极点102112K k B P B P B P B P B P B P λ--=-==-=这样分成的环带称菲涅耳半波带。

二、合振幅的计算 用a k 表示振幅k k k a a a a A 1321)1(+-+-+-=kk k k r S K a ∆)(θα第k 个半波带的面积球冠面积)c o s 1(2)c o s 1(22ϕπϕπ-=-⋅=R R R S ϕϕπd R ds sin 22=而 )(2)(c o s 02202r R R r r R R k+-++=ϕ)(s i n 0r R R dr r d k k +=ϕϕ有2r R R d r r ds k k+=π因 λ>>K r ，可近似，2λ=k drr R R r S kk +=∆∴λπ 与K 无关对)(k K θ，只与k θ有关，k θ变化缓慢)(k K θ和a k 随K 的增加而减小得 )(211k k a a A ±= K ：奇+，偶-上式对K 较小时，不成立，K 很大时，才近似成立的21a A k =∞→三、矢量图解法如园孔内包含的不是整数个半波带，再用半波带法讨论就困难了，需把每个半波带划得更细。

例：第一个半波带相邻小环带在P 0的位相差为nπ，振矢为2211,a a ∆∆倾角θ的变化很小,暂不考虑n a a a a 112111∆++∆+∆=则露两个：21a a A +=21||a a a -=当孔径不断增大时，P 点不断明暗交替变化，没有遮拦时，即则,∞→k2:1a a p k =∞→在孔径不断增大过程中，合振矢沿矢图螺线依反时针方向移动。

§3 菲涅耳衍射（圆孔和圆屏）一、圆孔衍射1、计算P 的合振幅及K 、P K 。

2222220002200()22k k k kr r h r r r h hr r r hρ=-+=---≈--其中：λλ02020202]2[kr r kr r r k ≈-+=-又 202222)()(h r r h R k k k +-=--=ρ )(2)(200022r k r K r R r r h k +=+-=λλλλρρ00020020222)(222r R R r Kr R r k r k h r r r kk+=+-=--==如为平行光，则∞→R 0r k k λρ=以上是通过完整的菲涅耳带数的情况如带数不是整数，合振幅介于最大与最小之间。

圆孔衍射的特点：⑴、A k 取决于 k ，当k R ρλ,,一定时，K 取决于0r ,即P 的点位置 ⎩⎨⎧大大大小，K ，K r k ρ0⑵、K 不是整数，合振幅介于最大、最小之间。

⑶、∞→k 不用光阑 21a A =∞⑷、只露一个半波带，11a A =（仅限于点光源） ∞=I I 41 最亮2、中心P 点外的衍射环纹怎样形成？方法：以P S '为轴，对波面划半波带，O '为心若露三个（奇数个）完整半波带，第四带以后只有部分存在。

那么第一、第二抵消，第三只有部分被第四抵消。

所以P '为亮，反之同理。

因P '对P 点有旋转性对称，因而在P 点周围呈现明暗交替的圆环纹。

接收屏在轴上移动，则形成中心点明暗交替的同心圆环的衍射花样。

上述讨论都是假定O 是理想点光源，但实际光源都有一定大小，每一点产生自己的衍射花样，它们不相干光源线度应小到使光源上某些产生的亮条纹不致落到另一些产生的暗纹上，否则，花样模糊。

例1 平行光（单色）自左方垂直入射到一个圆孔屏上，设此孔象照相机光圈那样可以改变大小，试问：（1）小孔半径应满足什么关系时，才能使得此小孔右方轴线上距小孔中心4米处的P 点分别得到极大和极小值。

（2）P 点最高时，小孔直径应为多大？A5000=λ 解：（1）∞→R λρ0kr k = cm r 4000= cm 5105-⨯=λλρ0kr k =cm cm r 50105 400-⨯==λcm k k k 1414.01054005=⨯⨯=-ρ当K 为奇数时，P 点为极大值。

当K 为偶数时，P 点为极小值。

（3）P 点最亮时，只露一个半波带cm r 2828.02201==λρ 作业：3，4二、圆屏衍射圆屏足够小，只遮住中心带的一部分，则光看起来可完全绕过它，除圆屏影子中心有点亮外没有其它影子。

设圆屏遮蔽了开始的k 个带。

P 点： 21+=k a A可见，圆屏几何影子的中心永远有光，圆屏作用能使点光源造成实象，像会聚透镜一样。

例2 波长为4500A的单色平面波入射到不透明的屏上，屏上有半径P 为0.6mm 的小孔及一与小孔同习环形缝，其内外半径为26.0mm 及mm 36.0。

求证：在距并A 为0.8mm 的屏B 上出现的衍射图样中央亮点的强度比屏不存在时大16倍。

解：对 mm 6.0=ρ的小孔18010450006.08202=⨯⨯==-r K λρ而 mm 36.0=ρ K =32 ,26.0==kmm ρ 同心环缝的存在实际上只庶蔽了k =2的那个半波带 如果k =2没遮蔽 3213a a a A +-= k =2被遮，13132a a a A ≈+= 没有屏 210a A =1:16)2(:)2(: 2210==∴aa I I P三、菲涅耳波带片只让奇数或偶数半波带透光∑+=kk k a A 12或 ∑=kkk aA 2例：露5个（1：3：5、7、9或2、4、6、8、10） a a a a a a A k 597531=++++= 不用光阑∞∞∞===I I a A a A K k 100 10211将 )11(02Rr k +=λρ 改写： 2)(111λρk r Rk=+ 类似透镜成象公式λρk r f R k20 ,=='∞→例 cm r m R nm 4,1,5000===λ 求前4个和第100个半波带的半径 解：100ρλρk k r R Rr k=+=mm r R Rr 63.0001=+=λρ122ρρ=mm 26.1414==ρρmm 3.61001100==ρρ可看出，半波带宽度很小，要在3.6mm 的半径内容纳100个半波带，最外的一些半波带是非常细密的 制作方法：先在白纸上画出半径正比于序数k 的平方根的一组同心圆，然后用照相机进行两次的拍摄和缩小底片即为波带片。

波带片与普遍透镜比较优点：（1）长焦距的波带片比普遍透镜易制作，用些相复制比光学玻璃冷加工省事。

（2）可将点光源成象为+字亮线（用正方形波片或成为直线（用长条形波带片）。

（3）面积大，轻便，可折迭。

缺点：（1）f '与λ有关，色差很大。

激光的出现使波片的应用成为可能；（2）除f '外，尚有 f f ''51,31多个焦距的存在，对给定物点，波片可给出多个象点。

例：证明f f ''51,31存在λρk f k2='证明：先看f '31当λρk f r R k20,='=∞→当f r '='310，即考察点P 移近，0r 小，反过来，12r k kρ='增大。