线性代数习题参考答案
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=
=
所以，
6． ， 求
(提示：将所有行加到最后一行)
§3克来姆（Cramer）法则
1．用克来姆法则解下列方程组
(1)
(2)
2．当 取何值时，方程组 有非零解？
第二章矩 阵
§1矩阵的概念及运算
1．判断正误
（1）设 为 矩阵， 为 矩阵，若 ，则 与 必为同阶方阵。（）
（2） 与 为 阶方阵， 为实数，有 。（）
11．设 阶方阵 ， ，且 与 的各行元素之和为1， 是 矩阵，且每个元素都为1，求证：
(1) ；
(2) 的各行元素之和都等于1；
(3)若 各行元素之和分别为 ，则 的各行元素之和都等于什么？
§2逆矩阵
1．判断正误( 均为 阶方阵)
(1) 。( )
(2) 。( )
(3) 为 阶方阵。则 或 。( )
6．利用对角线法则计算下列三阶行列式
（1）
（2）
§2行列式的性质
1．利用行列式的性质计算系列行列式。
(1)
(2)
(3)
2．证明下列恒等式
(1)
（提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）
(2)
(3)
(提示：从最后一列起，后列的 倍加到前一列)
3．已知四阶行列式D的第三行元素分别为： ；第四行元素的对应的余子式依次是2，10， ，4，求 的值。
(4)在6阶行列式中，含 的项的符号为，含 的项的符号为。
2．用行列式的定义计算下列行列式的值
(1)
解：该行列式的 项展开式中，有项不为零，它们分别为
，所以行列式的值为。
(2)
解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。
3．证明：在全部 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
解2：（注意各行元素之和相等，可计算 的值后，求根。）
§3行列式的计算
1．利用三角行列式的结果计算下列 阶行列式
(1)
（提示：注意各行（列）元素之和相等）
(2)
（提示：可考虑按第一行（列）展开）
(3)
（提示：可考虑第一行的 倍加到各行，再化为三角行列式）
2．用迭代法计算下列行列式
(1)
解：按第一行（列）展开，得递推公式： = + 。于是
第一章行列式
§1行列式的概念
1．填空
(1)排列6427531的逆序数为，该排列为排列。
(2) =， =时，排列1274 56 9为偶排列。
(3) 阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。
(A) （B） (C) (D)不能确定
（3）设 为方阵， ，则 为（）
(A) （B）
(C) (D)不能确定
3．设 ， ，计算：
(1) ；(2) ；(3) 。
4．计算 。
(提示：先计算出 ，以此归纳出 ，然后用数学归纳法证明结论)
5．设 为 阶方阵，若对任意的 维列向量 ，均有 ，证明： 。
(提示：由于 维列向量 的任意性，考察 维列向量 ，证 中各元素为0)
（提示：凡是与伴随矩阵有关的结论，可先考虑等式 ）
6．设 阶非零方阵 的伴随矩阵为 ，且 = ，求证： 。
(提示：可考虑用反证法证明)
7．设 是 阶方阵，如有非零矩阵 使 ，则 。
8．设 均为 阶可逆方阵，求 。
§3分块矩阵
1．设 ， ，利用分块矩阵计算 。
2．设 ， ，(1)利用分块矩阵求 ；(2)计算 。
6．设 为实对称矩阵，若 ，证明 。
(提示：证 中各元素为0)
7．若 为 阶方阵，且满足 。若 ，求 。
(提示：先证明 )
8．试证：若 为奇数阶方阵，且满足 ， ，则 。
(提示：先证明 )
9．若 为奇数阶反对称方阵，证明： 。
(提示：由反对称阵的定义证明)
10．设 都是对称矩阵，证明： 为对称矩阵的充要条件是 。
= =。
由此得： +
+
+
。
(2) 。
解：按第一行展开，有递推公式 + ，得递推公式：
同理可得：
联立 与 ，解方程组得：
3．利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式
(1) ，
（提示：利用行列式的性质，先化行列式为标准形式的范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算行列式）
(2) ，
解：在 行中提出 因子，
4．构造辅助行列式法计算下列行列式
(1) (缺行的范德蒙行列式)
解：构造辅助范德蒙行列式 ， 为 中元素 的余子式，而
(2)百度文库
解：构造辅助行列式 ，
则 ，而
5．用数学归纳法证明：
证明：（1） 时，等式显然成立；
（2）假定等式对于小于 阶的行列式成立；
（3）（下证 阶行列式成立）
由于， + （注：按最后一行（列）展开）
证明： 元排列共有 个，设其中奇排列数有 个，偶排列数为 个。对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有 ，同理得 ，所以 。
4．若一个 阶行列式中等于0的元素个数比 多，则此行列式为0，为什么？
5． 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则 至少为多少？
（提示：利用3题的结果）
（3） 与 为 阶方阵， 。（）
（4） 与 为 阶方阵， 。（）
（5） 为 阶方阵， 。（）
（6） 与 为 阶方阵， 。（）
（7） 为 阶方阵， 。（）
（8） 与 为 阶方阵， 。（）
（9） 与 为 阶方阵， 。（）
2．选择题
(1)设 均为 阶方阵， ，则 （）
(A) （B） (C) (D)
(2)若 为实对称矩阵，则 的值（）
4．已知1365，2743，4056，6695，5356能被13整除，证明： 能被13整除。
（提示：注意观察行列式中第2，3，4，5列元素的特点）
5．已知 ，
求：(1) ；
(2) 和 。
（提示：利用行列式按行（列）展开的性质计算）
6．设 ，求 的根。
解1：首先，行列式展开式中含 项，所以 有四个根。而通过观察，将 代入行列式，行列式中均有两行元素相同，此时行列式值为0，即 为根。然后，把所有列加到第一列上，可发现第四个根，计算如下：
(4) 。( )
(5) ， 。( )
(6) 。( )
2．填空
(1)设 ，则 ， ，
=。
(2)设 为3阶方阵，且 ，则 =， =，
=， =。
(3)已知 ，则 =。
(4)设 ，则 =。
3．设 ，证明： 。
(提示：证明 )
4．设方阵 满足 ，证明： 及 都可逆，并求其逆矩阵。
（提示：利用可逆的定义证明）
5．设 是 阶方阵，证明：(1)若 ，则 ；(2) ；(3) 。
=
所以，
6． ， 求
(提示：将所有行加到最后一行)
§3克来姆（Cramer）法则
1．用克来姆法则解下列方程组
(1)
(2)
2．当 取何值时，方程组 有非零解？
第二章矩 阵
§1矩阵的概念及运算
1．判断正误
（1）设 为 矩阵， 为 矩阵，若 ，则 与 必为同阶方阵。（）
（2） 与 为 阶方阵， 为实数，有 。（）
11．设 阶方阵 ， ，且 与 的各行元素之和为1， 是 矩阵，且每个元素都为1，求证：
(1) ；
(2) 的各行元素之和都等于1；
(3)若 各行元素之和分别为 ，则 的各行元素之和都等于什么？
§2逆矩阵
1．判断正误( 均为 阶方阵)
(1) 。( )
(2) 。( )
(3) 为 阶方阵。则 或 。( )
6．利用对角线法则计算下列三阶行列式
（1）
（2）
§2行列式的性质
1．利用行列式的性质计算系列行列式。
(1)
(2)
(3)
2．证明下列恒等式
(1)
（提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）
(2)
(3)
(提示：从最后一列起，后列的 倍加到前一列)
3．已知四阶行列式D的第三行元素分别为： ；第四行元素的对应的余子式依次是2，10， ，4，求 的值。
(4)在6阶行列式中，含 的项的符号为，含 的项的符号为。
2．用行列式的定义计算下列行列式的值
(1)
解：该行列式的 项展开式中，有项不为零，它们分别为
，所以行列式的值为。
(2)
解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。
3．证明：在全部 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
解2：（注意各行元素之和相等，可计算 的值后，求根。）
§3行列式的计算
1．利用三角行列式的结果计算下列 阶行列式
(1)
（提示：注意各行（列）元素之和相等）
(2)
（提示：可考虑按第一行（列）展开）
(3)
（提示：可考虑第一行的 倍加到各行，再化为三角行列式）
2．用迭代法计算下列行列式
(1)
解：按第一行（列）展开，得递推公式： = + 。于是
第一章行列式
§1行列式的概念
1．填空
(1)排列6427531的逆序数为，该排列为排列。
(2) =， =时，排列1274 56 9为偶排列。
(3) 阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。
(A) （B） (C) (D)不能确定
（3）设 为方阵， ，则 为（）
(A) （B）
(C) (D)不能确定
3．设 ， ，计算：
(1) ；(2) ；(3) 。
4．计算 。
(提示：先计算出 ，以此归纳出 ，然后用数学归纳法证明结论)
5．设 为 阶方阵，若对任意的 维列向量 ，均有 ，证明： 。
(提示：由于 维列向量 的任意性，考察 维列向量 ，证 中各元素为0)
（提示：凡是与伴随矩阵有关的结论，可先考虑等式 ）
6．设 阶非零方阵 的伴随矩阵为 ，且 = ，求证： 。
(提示：可考虑用反证法证明)
7．设 是 阶方阵，如有非零矩阵 使 ，则 。
8．设 均为 阶可逆方阵，求 。
§3分块矩阵
1．设 ， ，利用分块矩阵计算 。
2．设 ， ，(1)利用分块矩阵求 ；(2)计算 。
6．设 为实对称矩阵，若 ，证明 。
(提示：证 中各元素为0)
7．若 为 阶方阵，且满足 。若 ，求 。
(提示：先证明 )
8．试证：若 为奇数阶方阵，且满足 ， ，则 。
(提示：先证明 )
9．若 为奇数阶反对称方阵，证明： 。
(提示：由反对称阵的定义证明)
10．设 都是对称矩阵，证明： 为对称矩阵的充要条件是 。
= =。
由此得： +
+
+
。
(2) 。
解：按第一行展开，有递推公式 + ，得递推公式：
同理可得：
联立 与 ，解方程组得：
3．利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式
(1) ，
（提示：利用行列式的性质，先化行列式为标准形式的范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算行列式）
(2) ，
解：在 行中提出 因子，
4．构造辅助行列式法计算下列行列式
(1) (缺行的范德蒙行列式)
解：构造辅助范德蒙行列式 ， 为 中元素 的余子式，而
(2)百度文库
解：构造辅助行列式 ，
则 ，而
5．用数学归纳法证明：
证明：（1） 时，等式显然成立；
（2）假定等式对于小于 阶的行列式成立；
（3）（下证 阶行列式成立）
由于， + （注：按最后一行（列）展开）
证明： 元排列共有 个，设其中奇排列数有 个，偶排列数为 个。对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有 ，同理得 ，所以 。
4．若一个 阶行列式中等于0的元素个数比 多，则此行列式为0，为什么？
5． 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则 至少为多少？
（提示：利用3题的结果）
（3） 与 为 阶方阵， 。（）
（4） 与 为 阶方阵， 。（）
（5） 为 阶方阵， 。（）
（6） 与 为 阶方阵， 。（）
（7） 为 阶方阵， 。（）
（8） 与 为 阶方阵， 。（）
（9） 与 为 阶方阵， 。（）
2．选择题
(1)设 均为 阶方阵， ，则 （）
(A) （B） (C) (D)
(2)若 为实对称矩阵，则 的值（）
4．已知1365，2743，4056，6695，5356能被13整除，证明： 能被13整除。
（提示：注意观察行列式中第2，3，4，5列元素的特点）
5．已知 ，
求：(1) ；
(2) 和 。
（提示：利用行列式按行（列）展开的性质计算）
6．设 ，求 的根。
解1：首先，行列式展开式中含 项，所以 有四个根。而通过观察，将 代入行列式，行列式中均有两行元素相同，此时行列式值为0，即 为根。然后，把所有列加到第一列上，可发现第四个根，计算如下：
(4) 。( )
(5) ， 。( )
(6) 。( )
2．填空
(1)设 ，则 ， ，
=。
(2)设 为3阶方阵，且 ，则 =， =，
=， =。
(3)已知 ，则 =。
(4)设 ，则 =。
3．设 ，证明： 。
(提示：证明 )
4．设方阵 满足 ，证明： 及 都可逆，并求其逆矩阵。
（提示：利用可逆的定义证明）
5．设 是 阶方阵，证明：(1)若 ，则 ；(2) ；(3) 。