Gorenstein内射维数性质的推广
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贵州 遵义 ５３０ ） ６０ ２
翔
（． １ 滨州学院 自动化 系， 山东 滨州 ２ ６ ０ ；． ５６ ３ ２即墨市创新 中学 数学组，［ 即墨 ２ ６ ０ ； ． 义师范学院 数学系 ， ｌ东 Ｉ ６２０３ 遵
摘
要 ：推 广了 Ｇ ｒｓ ｉ ｏｅｔ ｎ内射 维数 的一 些性质， ｅ 证明了任何具有有 限 内射 维数的模 Ｍ都 有 内射预 包
并且得出 ｘ是投射分解的且对任意直和封闭， ｘ 是 内射 分解 的且 对任 意直 积封 闭． 定理 １（ｉｎｅ ＇Ｓ ｉ ｌ Ｘ是内射分解的 Ｒ ： ｌ ｂｒ ｓ ｗｎ ｅ Ｅ ｅ ｇ ｄ ） 一 模类 ． ｘ是 可 数直 积封 闭 的 ，则 ｘ也是直 和项封 若
闭 的．
Ｉ） （ 来表示 内射 Ｒ 模类 ，（） 表示投 射 Ｒ 模类 ． Ｒ 一 ＰＲ来 一 １ 分解类
丽 ， 中 Ｉ ） 内射分解类，（） 其 （是 Ｒ ＰＲ是投射分解类．
投射维数． 本文推广了 Ｇ ｒ ｔｎ内射维数的一些性 ｏ ｓｉ ｅｅ
质． 文 中假 设 Ｒ是非 平凡 的 结合 环 ， 有模 如果 不 所
特别 指 出则 是左 Ｒ 模 ． ｕ Ｒ 来表 示所 有 Ｒ 模 类 ， 一 用 （） 一
证 明 ： 设 Ｙ是 ｘ的直 和项 ， 假 Ｘ∈Ｘ， 要证 Ｙ∈Ｘ ．
定义 １（Ｘ内射分解 ： Ｉ ） ｘ且对于任意 ：） ａ 若 （ ， Ｒ 的短 正合列 ０ ÷ ． Ｘ— Ｘ ， （ ） 则 Ｘ∈ｘ ｘ ０ Ｘ ∈Ｃ ， 一 甘 Ｘ∈ ， Ｘ 称它为 ｘ内射分解的． （Ｘ投射分 解 ： ＰＲ ＿ｘ， 对 于任 意的短 正 １ ） ） 若 （） ｃ 且 合列 ｏ ＋ ｘ ＋ ０ （ 中 Ｘ ＿ｘ ＿Ｘ ，其 ∈Ｘ）则 ｘ∈ｘ ， 甘
＝
Ｂｉ ｅ 任何有限生成 的左 Ｒ 模 Ｍ定义了 Ｇ 维 ｒ ｇｔ对 ｄ ｔ １ 一 一 数 ， Ｇ ｄｍ Ｍ 来表 示 ． 一般 的环 Ｒ中 ， ｎ ｃ ｓ 用 — ｉａ 在 Ｅ ｏｈ 和
Ｊｎ ａ ［ 义 了 Ｇ ｒｎｔ ｎ投 射 维 数 Ｇ ｄ 一 及 ｅｄ ２ １定 ｏｅ ｓ ｉ ｅ ｐ Ｒ（ ） Ｇ ｒｓ ｉ ｏｅｔｎ内射 维数 Ｇｄ（）并 且 通过 预 解式 来定 义 ｅ ｉ， ， 一 了 Ｇ ｒｎｔｉ ｏｅｓ ｎ内射 模 ， ｌ 究 了 Ｇ ｒｓ ｉ ｅ Ｈｏ １ ｍｔ 研 ｏｅｔ ｎ有 限 ｅ
（． ｅ ａ ｍ ｎ ｏ ｕ ｍａ ｃ Ｂ ｎ ｈ ｕ Ｕ ｉ ｒ ｔ Ｂ ｎ ｈ ｕ ５ ６ ３ Ｃ ｉａ ２ Ｃ ｕ ｎ Ｘ ｎＨｉ ｃ ｏ ｌ ｆ ｉ ｏＣ ｔ １ ｐ ｒ ｅ ｔ ｆ ｔ ｔ ， ｉ ｏ ｎｖ ｓ ｙ ｉ ｏ ２ ６ ０ ， ｈｎ ； ． ｈ ａ ｇ ｉ ｇ Ｓ ｈ ｏ ｏ ｍ ｉ ， Ｄ ｔ Ａ ｏ ｉ ｚ ｅ ｉ， ｚ ｈ Ｊ ｙ
第１ ２卷第 ２期
２１ ０ ０年 ４月
遵 义 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｕ ｙ ｒ ｌＣ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｆ ｎ ｉ Ｚ Ｎｏｍａ ｏｌ ｅ ｅ
Ｖ０ ．２ １１ ．Ｎｏ２ ．
Ａｐ ．０１ ｒ２ ０
Ｇ ｒｎｔ ｎ内射 维数 性 质 的推 广 ｏｅ ｓ ｉ ｅ
王 文锋 宋常修 江莲 莲 张 ， ， ，
Ｇｅ ｅａｉａｉｎｏ ｓ ｌ ｏ ｒｎ ｔｉ ｎｅ ｔ ｅＤｉ ｎｉｎ ｎ ｒ ｌ ｔ ｆ ｕｔ ｆｒＧｏ ｅ ｓｅ Ｉｊ ｃｉ ｍｅ ｓ ｚ ｏ Ｒｅ ｓ ｎ ｖ ｏ
Ｗ Ｎ ｎｒｎ Ｓ Ｎ ｈｎ － ｉ ，Ａ ＧＬａ －ｉ ２ Ｈ Ｎ ｉ ３ Ａ Ｇ Ｗｅ －ｅｇ，Ｏ Ｇ Ｃ ａｇ ｘｕ Ｊ Ｎ ｉ ｌ ｎ， Ａ Ｇｘ ￣ａ ２￣ ｎ ａ Ｚ
ｍ ｎｉ ｄ ｉ ｎｉ ｅｔ ｅ ｒ—ｎ ｅ ｐ ． ｅｓ ｎａｍ ｔ ａ ｊｃｖ ｅ ｅ ｖｌ ｅ ｏ ｓ ｎ ｉ ｐ ｏ
Ｋ ｙｗｏ ｄ ： ｏｅ ｓ ｉ来自 ｉ ｔ ｅｄｍ ｎ ｉ ； ｒｎ ｔ ｎ ｉ ｅｔ ｅｍ ｄ ｌ ；Ｘ ｒｓｌｔ ｎ ｅ ｒ ｓ Ｇ ｒｎ ｔ ｎｉ ｅ ｉ ｉ ｅ ｓ ｎ Ｇ ｅ ｓ ｉ ｎ ｃ ｖ ｏ ｕ ｓ — ｏｕ ｏ ｅ ｎ ｃｖ ｏ ｏ ｅ ｊ ｉ ｅ ｅ ｉ
文 献标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ９ ３ ８ （ ０ ０ 一 ２ ０ ６ — ３ １０ —５ ３２ １ ）０ — ０ ８ ０
关 键 词 ：Ｇ ｒｓ ｉ ｏｅｔ ｎ内射 维数 ； ｏｅｔｎ内射 模 ； 一 解 式 ｅ Ｇ ｒｓ ｉ ｅ Ｘ预 中图 分 类号 ： ７ ． Ｏ１５８
当 Ｒ是 双边 的且 是 Ｎ ｅ ｅｉ ｏｔ ｒ ｎ时 ， ｕｌｎ ｅ 和 ｈ ａ Ａ ｓ ｄｒ ａ
定义 ２对于任意的 Ｒ 模类 ｘ， ： 一 左正交类和右正
交 类 的定 义如 下 ：
ｘ ｛ ∈ｕ Ｒ ｛ ｘＩＭ，）０Ｖｘ ， ０ ：Ｍ （）Ｅ ｔ（ ｘ ＝ ， ∈Ｘ Ｖｉ ） ＞ Ｘ ＝Ｎ∈ｕ Ｒ ｛ ｘａＸ Ｎ ＝ ， ∈Ｘ Ｖｉ０ （ （ ）Ｅ ｔ ，）０ ＶＸ ， Ｊ ￣ （ ＞ 例子 ：Ｒ＝ （），（） （）Ｉ ）＝（），ＰＲ Ｉ ）ｕＲ ＰＲ： ｕＲ ；Ｒ Ｉ （） （ （ Ｒ
Ｊｍｏ ６ ２ ０ Ｃ ｉａ ３ Ｄｅ ａｔ ｎ ｆ ｔｅ ｔ ｓ Ｚ ｎ ｉ ｎ ａ ｏｌｇ ， ｎ ｉ ６ ０ ２ Ｃｈｎ ） ｉ ２ ６ ０ ， ｈｎ ； ． ｐ ｒ ｍｅ ｔ ｈ ｍａｉ ， ｕ ｙ ｏ ｍａ ｃ Ｎｏ ｎ ｌＣ ｌ ｅ Ｚｕ ｙ ３ ０ ， ｉａ ｅ ５
Ａｂ ｔａ ｔ Ｔ ｅｃ ａａ ｔｒ ｆＧ ｒｎ ｔｉ ｎｅ ｔ ｅｍｏ ｕｅ ｒ ｔｄｅ ｎ ｒｖ ｈ ｔ ｖ ｒ ｄ ｌ ｈｃ ａ ｎｔ ｉ ｓｒ ｃ： ｈ ｈ ｒｃｅｓｏ ｏｅ ｓ ｎｉｊｃｉ ｄ ｌｓａｅ ｓ ｉｄ ａ ｄｗｅｐｏ ｅｔａ ｅｙｍｏ ｕｅｗ ｉｈｈ ｓｆ ｉ ｄ— ｅ ｖ ｕ ｅ ｉ ｅ
翔
（． １ 滨州学院 自动化 系， 山东 滨州 ２ ６ ０ ；． ５６ ３ ２即墨市创新 中学 数学组，［ 即墨 ２ ６ ０ ； ． 义师范学院 数学系 ， ｌ东 Ｉ ６２０３ 遵
摘
要 ：推 广了 Ｇ ｒｓ ｉ ｏｅｔ ｎ内射 维数 的一 些性质， ｅ 证明了任何具有有 限 内射 维数的模 Ｍ都 有 内射预 包
并且得出 ｘ是投射分解的且对任意直和封闭， ｘ 是 内射 分解 的且 对任 意直 积封 闭． 定理 １（ｉｎｅ ＇Ｓ ｉ ｌ Ｘ是内射分解的 Ｒ ： ｌ ｂｒ ｓ ｗｎ ｅ Ｅ ｅ ｇ ｄ ） 一 模类 ． ｘ是 可 数直 积封 闭 的 ，则 ｘ也是直 和项封 若
闭 的．
Ｉ） （ 来表示 内射 Ｒ 模类 ，（） 表示投 射 Ｒ 模类 ． Ｒ 一 ＰＲ来 一 １ 分解类
丽 ， 中 Ｉ ） 内射分解类，（） 其 （是 Ｒ ＰＲ是投射分解类．
投射维数． 本文推广了 Ｇ ｒ ｔｎ内射维数的一些性 ｏ ｓｉ ｅｅ
质． 文 中假 设 Ｒ是非 平凡 的 结合 环 ， 有模 如果 不 所
特别 指 出则 是左 Ｒ 模 ． ｕ Ｒ 来表 示所 有 Ｒ 模 类 ， 一 用 （） 一
证 明 ： 设 Ｙ是 ｘ的直 和项 ， 假 Ｘ∈Ｘ， 要证 Ｙ∈Ｘ ．
定义 １（Ｘ内射分解 ： Ｉ ） ｘ且对于任意 ：） ａ 若 （ ， Ｒ 的短 正合列 ０ ÷ ． Ｘ— Ｘ ， （ ） 则 Ｘ∈ｘ ｘ ０ Ｘ ∈Ｃ ， 一 甘 Ｘ∈ ， Ｘ 称它为 ｘ内射分解的． （Ｘ投射分 解 ： ＰＲ ＿ｘ， 对 于任 意的短 正 １ ） ） 若 （） ｃ 且 合列 ｏ ＋ ｘ ＋ ０ （ 中 Ｘ ＿ｘ ＿Ｘ ，其 ∈Ｘ）则 ｘ∈ｘ ， 甘
＝
Ｂｉ ｅ 任何有限生成 的左 Ｒ 模 Ｍ定义了 Ｇ 维 ｒ ｇｔ对 ｄ ｔ １ 一 一 数 ， Ｇ ｄｍ Ｍ 来表 示 ． 一般 的环 Ｒ中 ， ｎ ｃ ｓ 用 — ｉａ 在 Ｅ ｏｈ 和
Ｊｎ ａ ［ 义 了 Ｇ ｒｎｔ ｎ投 射 维 数 Ｇ ｄ 一 及 ｅｄ ２ １定 ｏｅ ｓ ｉ ｅ ｐ Ｒ（ ） Ｇ ｒｓ ｉ ｏｅｔｎ内射 维数 Ｇｄ（）并 且 通过 预 解式 来定 义 ｅ ｉ， ， 一 了 Ｇ ｒｎｔｉ ｏｅｓ ｎ内射 模 ， ｌ 究 了 Ｇ ｒｓ ｉ ｅ Ｈｏ １ ｍｔ 研 ｏｅｔ ｎ有 限 ｅ
（． ｅ ａ ｍ ｎ ｏ ｕ ｍａ ｃ Ｂ ｎ ｈ ｕ Ｕ ｉ ｒ ｔ Ｂ ｎ ｈ ｕ ５ ６ ３ Ｃ ｉａ ２ Ｃ ｕ ｎ Ｘ ｎＨｉ ｃ ｏ ｌ ｆ ｉ ｏＣ ｔ １ ｐ ｒ ｅ ｔ ｆ ｔ ｔ ， ｉ ｏ ｎｖ ｓ ｙ ｉ ｏ ２ ６ ０ ， ｈｎ ； ． ｈ ａ ｇ ｉ ｇ Ｓ ｈ ｏ ｏ ｍ ｉ ， Ｄ ｔ Ａ ｏ ｉ ｚ ｅ ｉ， ｚ ｈ Ｊ ｙ
第１ ２卷第 ２期
２１ ０ ０年 ４月
遵 义 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｕ ｙ ｒ ｌＣ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｆ ｎ ｉ Ｚ Ｎｏｍａ ｏｌ ｅ ｅ
Ｖ０ ．２ １１ ．Ｎｏ２ ．
Ａｐ ．０１ ｒ２ ０
Ｇ ｒｎｔ ｎ内射 维数 性 质 的推 广 ｏｅ ｓ ｉ ｅ
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Ｇｅ ｅａｉａｉｎｏ ｓ ｌ ｏ ｒｎ ｔｉ ｎｅ ｔ ｅＤｉ ｎｉｎ ｎ ｒ ｌ ｔ ｆ ｕｔ ｆｒＧｏ ｅ ｓｅ Ｉｊ ｃｉ ｍｅ ｓ ｚ ｏ Ｒｅ ｓ ｎ ｖ ｏ
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ｍ ｎｉ ｄ ｉ ｎｉ ｅｔ ｅ ｒ—ｎ ｅ ｐ ． ｅｓ ｎａｍ ｔ ａ ｊｃｖ ｅ ｅ ｖｌ ｅ ｏ ｓ ｎ ｉ ｐ ｏ
Ｋ ｙｗｏ ｄ ： ｏｅ ｓ ｉ来自 ｉ ｔ ｅｄｍ ｎ ｉ ； ｒｎ ｔ ｎ ｉ ｅｔ ｅｍ ｄ ｌ ；Ｘ ｒｓｌｔ ｎ ｅ ｒ ｓ Ｇ ｒｎ ｔ ｎｉ ｅ ｉ ｉ ｅ ｓ ｎ Ｇ ｅ ｓ ｉ ｎ ｃ ｖ ｏ ｕ ｓ — ｏｕ ｏ ｅ ｎ ｃｖ ｏ ｏ ｅ ｊ ｉ ｅ ｅ ｉ
文 献标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ９ ３ ８ （ ０ ０ 一 ２ ０ ６ — ３ １０ —５ ３２ １ ）０ — ０ ８ ０
关 键 词 ：Ｇ ｒｓ ｉ ｏｅｔ ｎ内射 维数 ； ｏｅｔｎ内射 模 ； 一 解 式 ｅ Ｇ ｒｓ ｉ ｅ Ｘ预 中图 分 类号 ： ７ ． Ｏ１５８
当 Ｒ是 双边 的且 是 Ｎ ｅ ｅｉ ｏｔ ｒ ｎ时 ， ｕｌｎ ｅ 和 ｈ ａ Ａ ｓ ｄｒ ａ
定义 ２对于任意的 Ｒ 模类 ｘ， ： 一 左正交类和右正
交 类 的定 义如 下 ：
ｘ ｛ ∈ｕ Ｒ ｛ ｘＩＭ，）０Ｖｘ ， ０ ：Ｍ （）Ｅ ｔ（ ｘ ＝ ， ∈Ｘ Ｖｉ ） ＞ Ｘ ＝Ｎ∈ｕ Ｒ ｛ ｘａＸ Ｎ ＝ ， ∈Ｘ Ｖｉ０ （ （ ）Ｅ ｔ ，）０ ＶＸ ， Ｊ ￣ （ ＞ 例子 ：Ｒ＝ （），（） （）Ｉ ）＝（），ＰＲ Ｉ ）ｕＲ ＰＲ： ｕＲ ；Ｒ Ｉ （） （ （ Ｒ
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