三角形-(二)三角形的分类
三角形的基本概念和分类
三角形的基本概念和分类三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条线段（即三边）和三个顶点组成。
本文将详细介绍三角形的基本概念以及它们的分类。
一、基本概念三角形通常用大写字母表示顶点，而小写字母表示对应边的长度。
下面是一些三角形的基本概念：1. 边三角形有三条边，分别记作a，b和c。
边的长度可以用对应的小写字母表示，例如a表示边a的长度。
2. 顶点三角形有三个顶点，通常用大写字母A、B和C表示。
例如，顶点A表示边a与边b的夹角。
3. 内角三角形的内角是指相邻两边之间的夹角。
通常用大写字母A、B和C表示，例如角A表示边b和边c的夹角。
4. 外角三角形的外角是指一个内角的补角。
通常用小写字母表示，例如角a表示角A的外角。
5. 周长三角形的周长是指三条边的长度之和，可以表示为a + b + c。
6. 面积三角形的面积可以通过海伦-秦九韶公式计算，公式为：面积 =√(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s为半周长（s = (a + b + c)/2）。
二、分类根据三角形的边长和角度特征，三角形可以分为以下几类：1. 根据边长分类（1）等边三角形：三条边长度相等的三角形。
例如，边长都是a 的三角形。
（2）等腰三角形：至少有两条边长度相等的三角形。
例如，边长为a、b，但不等于c的三角形。
（3）普通三角形：三条边长度都不相等的三角形。
2. 根据角度分类（1）直角三角形：有一个内角为90度的三角形。
例如，角A、角B或角C等于90度的三角形。
（2）锐角三角形：三个内角都小于90度的三角形。
例如，角A、角B和角C都小于90度的三角形。
（3）钝角三角形：至少有一个内角大于90度的三角形。
例如，角A、角B或角C大于90度的三角形。
3. 根据边长和角度分类（1）等腰直角三角形：既是等腰三角形，又是直角三角形的三角形。
例如，两条边长度相等且夹角为90度的三角形。
（2）等腰锐角三角形：既是等腰三角形，又是锐角三角形的三角形。
三角形分类：三角形分为几种类型？各有何特点？
三角形是数学和几何学中的基础图形，它可以根据不同的特点进行分类。
下面将对三角形的各种分类及其特点进行详细介绍，但由于2000字的要求过于庞大，我将提供一个概要性的描述，并尽量覆盖各个关键点。
一、按照边长分类1. 等边三角形（正三角形）：三边长度相等的三角形。
三个内角也相等，每个内角都是60°。
2. 等腰三角形：两边长度相等的三角形。
有两个相等的内角，位于这两边的相对顶点。
3. 不等边三角形：三边长度都不相等的三角形。
三个内角也都不相等。
二、按照内角大小分类1. 锐角三角形：三个内角都小于90°的三角形。
2. 直角三角形：有一个内角等于90°的三角形。
根据直角所对的边与斜边的关系，直角三角形又可分为两种：- 锐角直角三角形：除了直角外，其余两个内角都是锐角。
- 钝角直角三角形（也称斜角三角形）：除了直角外，另一个内角大于90°。
3. 钝角三角形：有一个内角大于90°但小于180°的三角形，其他两个内角均为锐角。
三、其他特殊三角形1. 海伦三角形（Heronian Triangle）：已知三边长度，可以通过海伦公式求出面积的三角形。
2. 勾股三角形（Pythagorean Triangle）：满足勾股定理的直角三角形，即直角边的平方和等于斜边的平方。
3. 等角三角形（Isosceles Triangle）：两个对应的非相等边的夹角相等（夹角平分的线是这边的中线）四、特性简介等边三角形的各边长与内角都相等，具有对称性，是特殊的等腰三角形。
等腰三角形有一条对称轴，即过顶点与底边中点的中线，同时等腰三角形中的两个等边所对应的内角也是相等的。
不等边三角形的各边长和角度均不相等，它没有明显的对称性。
直角三角形具有一些独特的性质，如勾股定理（直角边的平方和等于斜边的平方），以及三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
在直角三角形中，直角顶点处的角度为90°，其余两个角为锐角或钝角，这两个角互为补角。
三角形的分类
三角形的分类三角形是由三条线段所围成的图形，其中每条线段称为三角形的边，每两条边所形成的交点称为三角形的顶点。
根据三角形的边长和角度的不同，我们可以将三角形进行分类。
本文将详细介绍三角形的分类，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形和等腰直角三角形。
一、等边三角形等边三角形是指三条边都相等的三角形。
在等边三角形中，每个内角都是60度。
等边三角形的性质包括：三条中线相等，三条高相等，三条角平分线相等，内切圆和外接圆半径相等。
二、等腰三角形等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角相等，顶角等于180度减去两个底角的和。
等腰三角形的性质包括：两条中线相等，两条高相等，两条角平分线相等。
三、直角三角形直角三角形是指其中一个内角是90度的三角形。
在直角三角形中，其余两个内角必须是锐角或钝角。
直角三角形的性质包括：勾股定理，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
四、锐角三角形锐角三角形是指三个内角都是锐角（小于90度）的三角形。
锐角三角形的性质包括：三个内角的和等于180度，最长边对应最大的内角。
五、钝角三角形钝角三角形是指其中一个内角是钝角（大于90度）的三角形。
钝角三角形的性质包括：三个内角的和等于180度，最长边对应最大的内角。
六、等腰直角三角形等腰直角三角形是指既是等腰三角形又是直角三角形的三角形。
在等腰直角三角形中，两个腰长相等，底边是腰长的根号二倍。
等腰直角三角形的性质包括：勾股定理，两条中线相等，两条高相等，两条角平分线相等。
三角形可以根据边长和角度的不同进行分类，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形和等腰直角三角形。
每种三角形都有其独特的性质和特点。
通过对三角形的分类，我们可以更好地理解和应用三角形的性质和定理。
在上述分类中，直角三角形是一个需要重点关注的类别，因为它具有独特的性质和应用，特别是在数学和物理学中。
直角三角形的一个著名性质是勾股定理，它描述了直角三角形两条直角边与斜边之间的关系。
三角形的特征与性质知识点总结
三角形的特征与性质知识点总结三角形是几何学中最基本的图形之一，其特征与性质是我们学习和应用几何学的基础。
本文将对三角形的特征与性质进行总结，并介绍其相关知识点。
一、三角形的定义与基本特征三角形是由三条线段构成的图形，它有三个顶点、三条边和三个内角。
三角形的基本特征包括：1. 三角形的边：三角形有三条边，用线段统一表示为AB、BC和CD。
2. 三角形的顶点：三角形有三个顶点，用大写字母A、B和C表示。
3. 三角形的内角：三角形有三个内角，用小写字母a、b和c表示。
二、三角形的分类根据三角形的特征和性质，我们可以将三角形分为以下几类：1. 根据边的长度分类：a. 等边三角形：三条边的长度相等，如ABC为等边三角形。
b. 等腰三角形：两条边的长度相等，如AB=AC的三角形。
c. 普通三角形：三条边的长度都不相等，如AB≠BC≠CA的三角形。
2. 根据角的大小分类：a. 直角三角形：其中一个内角为直角（90度），如∠A=90°的三角形。
b. 钝角三角形：其中一个内角为钝角（大于90度），如∠A>90°的三角形。
c. 锐角三角形：三个内角都为锐角（小于90度），如∠A、∠B 和∠C都小于90°的三角形。
三、三角形的性质三角形具有一些重要的性质，它们对于解决几何问题非常有用。
以下是一些重要的三角形性质：1. 三角形内角和性质：三角形的三个内角之和为180度，即a + b +c = 180°。
2. 三角形的外角性质：三角形的每个外角等于其对应内角的补角。
3. 三角形的边长关系性质：a. 三角形两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
b. 两边之差小于第三边，即|AB - BC| < AC，|AC - BC| < AB，|AB - AC| < BC。
4. 三角形的角度关系性质：a. 在锐角三角形中，最大的角所对的边也最长，最小的角所对的边也最短。
初中数学知识归纳三角形的概念和性质
初中数学知识归纳三角形的概念和性质三角形是初中数学中一个基础而重要的几何概念。
在学习三角形的过程中，我们要掌握三角形的概念和基本性质。
本文将对初中数学中三角形的概念和性质进行归纳总结。
一、三角形的定义三角形是由三个线段组成的图形，它的三条边和三个内角都具有一定的关系。
任意两边之和大于第三边，任意两角之和小于180度。
根据三角形的边长关系，我们可以将三角形分为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等不同类型。
二、三角形的分类1. 根据边的关系分类(1) 等边三角形：三条边的长度都相等。
(2) 等腰三角形：两条边的长度相等。
(3) 普通三角形：三条边的长度都不相等。
2. 根据角的关系分类(1) 直角三角形：一个角为直角（90度）。
(2) 钝角三角形：一个角大于90度。
(3) 锐角三角形：三个角都小于90度。
3. 根据边和角的关系分类(1) 正三角形：三个角都是锐角，三条边长相等。
(2) 直角等腰三角形：一个角为直角，两条边相等。
(3) 任意两边相等的三角形：两条边相等。
三、三角形的性质1. 三角形的内角和定理三角形的三个内角之和等于180度。
即∠A+∠B+∠C=180°。
2. 三角形两边之和大于第三边的定理两边之和大于第三边，即AB+AC>BC， AB+BC>AC，AC+BC>AB。
这一性质是判断一个图形是否为三角形的基本条件。
3. 三角形两角之和小于180度的定理两角之和小于180度，即∠A+∠B<180°，∠A+∠C<180°，∠B+∠C<180°。
这一性质也是判断一个图形是否为三角形的基本条件。
4. 等腰三角形的性质在等腰三角形中，底边上的两个角相等，两边相等。
5. 等边三角形的性质在等边三角形中，三个角都相等，每个角都为60度。
6. 直角三角形的性质在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即AB²+AC²=BC²，AB²+BC²=AC²，AC²+BC²=AB²。
三角形的分类与性质
三角形的分类与性质三角形是几何学中最基本的图形之一，具有丰富的性质和分类。
本文将介绍三角形的分类与性质，包括按照角度划分的分类、按照边长划分的分类以及一些三角形的性质。
一、按照角度划分的分类三角形按照内角的大小可以分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。
1. 锐角三角形锐角三角形是指三个内角都小于90度的三角形。
在锐角三角形中，三个内角的和等于180度。
锐角三角形的特点是其三条边的长度都是正数。
2. 钝角三角形钝角三角形是指三个内角中有一个角大于90度的三角形。
在钝角三角形中，三个内角的和仍然等于180度。
钝角三角形的特点是其中一条边的长度大于其他两条边的长度。
3. 直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
在直角三角形中，另外两个内角的和为90度。
直角三角形的特点是其两条边的长度可以通过勾股定理来确定。
二、按照边长划分的分类三角形的另一种分类方法是按照边长的大小来划分，可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
1. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
等边三角形的三个内角也都相等，每个角都是60度。
等边三角形是最规则的三角形，具有很多独特的性质。
2. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
等腰三角形的两个顶角也相等。
在等腰三角形中，两个底角的和等于顶角。
3. 普通三角形普通三角形是指三条边的长度都不相等的三角形。
普通三角形的三个内角也不相等，而且没有特殊的角度关系。
三、三角形的性质除了按照角度和边长进行分类外，三角形还具有一些重要的性质。
1. 三角形的内角和无论是怎样的三角形，其内角和都等于180度。
即：三角形的三个内角之和等于180度。
2. 三角形的外角三角形的外角等于其对应内角之和。
即：三角形的一个外角等于其他两个内角的和。
3. 三角形的边长关系在一个三角形中，任意两边之和必须大于第三边。
即：若a、b、c为三角形的三条边的长度，那么a+b>c，a+c>b，b+c>a。
三角形的分类
三角形的分类三角形是几何学中最常见和最基本的图形之一。
根据其特性，三角形可以分为不同的类型。
以下是三角形的一些主要分类：1等边三角形：三条边都相等的三角形称为等边三角形。
这种三角形的所有角都是相等的，每个角都是60度。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形。
2等腰三角形：有两条边长度相等的三角形称为等腰三角形。
这种三角形的两个底角是相等的，顶角与两个底角的和加起来等于180度。
直角三角形：有一个角是90度的三角形称为直角三角形。
这种三角形的斜边长等于其两条直角边的平方和的平方根。
直角三角形的一个锐角是45度。
钝角三角形：有一个角大于90度的三角形称为钝角三角形。
这种三角形的钝角对应的边比其他两边长。
锐角三角形：所有角都小于90度的三角形称为锐角三角形。
这种三角形的所有边都相等。
斜三角形：三条边长度不相等的三角形称为斜三角形。
斜三角形可以进一步分为钝角斜三角形和锐角斜三角形，取决于其最大的角是钝角还是锐角。
这些分类可以根据三角形的不同特性进行进一步的细分。
例如，等腰三角形可以进一步分为等边等腰三角形和底角与顶角不相等的等腰三角形等。
还有等腰直角三角形等腰钝角三角形等特殊形式。
三角形的分类对于理解几何学中的基本概念和性质非常重要。
通过掌握不同类型的三角形的特性和关系，我们可以更好地理解几何学中的基本原理和应用。
三角形是数学几何中一个非常基础且重要的概念，而三角形的分类也是学生需要掌握的一项重要技能。
根据边长和角的特征，三角形可以分为以下几类：等边三角形等腰三角形、直角三角形和普通三角形。
等边三角形是一种三边长度相等的三角形，其中三个角的大小也相等。
等边三角形的判定方法是：如果一个三角形的三边长度相等，那么这个三角形就是等边三角形。
等边三角形是一个特殊的等腰三角形。
等腰三角形是一种两边长度相等的三角形，其中两个角的大小也相等。
等腰三角形的判定方法是：如果一个三角形有两条边的长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
三角形的分类与比较
三角形的分类与比较三角形是几何学中最基础的图形之一，根据三边的长度和三个角的大小可以将三角形进行分类。
本文将介绍三角形的分类，并对不同类型的三角形进行比较。
一、三角形的分类1. 根据三边的长度分类：（1）等边三角形：三条边的长度相等。
（2）等腰三角形：两条边的长度相等。
（3）普通三角形：三条边的长度都不相等。
2. 根据三个角的大小分类：（1）锐角三角形：三个角都是锐角，即小于90度。
（2）直角三角形：其中一个角是直角，即等于90度。
（3）钝角三角形：其中一个角是钝角，即大于90度。
二、三角形的比较1. 根据边的长度比较：（1）等边三角形是最特殊的三角形，它的三边长度都相等，三个角也都相等且为60度，是一种具有高度对称性的三角形。
（2）等腰三角形的两条边长度相等，另一条边称为底边，这种三角形也具备一定的对称性。
（3）普通三角形没有边长相等，是最常见的三角形类型。
2. 根据角度比较：（1）锐角三角形的三个角都小于90度，所以它的三条边都不会太长。
（2）直角三角形的其中一个角是90度，其余两个角加起来等于90度，所以直角三角形的两个边可以通过勾股定理求得。
（3）钝角三角形的其中一个角是大于90度的，所以它的两条边之和小于第三边的长度。
三、总结通过对三角形的分类和比较，我们可以得到以下结论：（1）等边三角形是最特殊的三角形，具有高度对称性。
（2）等腰三角形具有一定的对称性，两边相等。
（3）普通三角形是最常见的三角形类型，没有边长相等。
（4）锐角三角形的三个角都小于90度，适用于各种实际问题。
（5）直角三角形的其中一个角是90度，具有勾股定理的特性。
（6）钝角三角形的一个角大于90度，两边之和小于第三边的长度。
在实际生活和几何学中，对三角形进行分类和比较可以帮助我们更好地理解和运用三角形的性质和定理，从而解决各种问题和计算三角形的面积和周长等相关参数。
综上所述，三角形的分类和比较对于数学学习和实际应用都具有重要意义，有助于我们更好地理解三角形的属性和性质，为其他几何学知识的学习奠定基础。
三角形公式汇总
三角形公式汇总一、三角形的基本概念。
1. 三角形的定义。
- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形的表示方法。
- 三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”。
二、三角形的分类。
1. 按角分类。
- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角的三角形，直角三角形可以用“Rt△”表示，直角所对的边称为斜边，其余两边称为直角边。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
2. 按边分类。
- 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
- 等边三角形：三条边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
三、三角形的边和角的性质。
1. 三角形三边关系。
- 三角形两边之和大于第三边，即 a + b>c，a + c>b，b + c>a。
- 三角形两边之差小于第三边，即| a - b|，| a - c|，| b - c|。
2. 三角形内角和定理。
- 三角形的内角和等于180°，即∠ A+∠ B+∠ C = 180^∘。
3. 三角形的外角性质。
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，例如∠ ACD=∠ A+∠B（∠ ACD是ABC的外角）。
- 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
四、三角形中的重要线段。
1. 三角形的中线。
- 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
- 性质：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
2. 三角形的角平分线。
- 定义：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
- 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
三角形的分类锐角三角形
三角形的分类锐角三角形三角形的分类——锐角三角形三角形是几何学中最基本的图形之一，根据角度的大小可以将三角形分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
本文将详细介绍锐角三角形的定义、特征以及一些有趣的性质。
一、锐角三角形的定义锐角三角形是指三个内角均小于90度的三角形。
它的三个内角都是锐角。
二、锐角三角形的特征锐角三角形有以下几个重要特征：1. 所有内角都小于90度：对于锐角三角形ABC而言，∠A < 90°，∠B < 90°，∠C < 90°。
2. 三边都是锐角：三边分别对应锐角∠A、∠B和∠C。
3. 两边之和大于第三边：对于锐角三角形，任意两边之和都大于第三边的长度。
4. 没有直角或钝角：锐角三角形的内角都是锐角，没有直角（90度）或钝角（大于90度）。
三、锐角三角形的性质锐角三角形虽然不能直接应用于实际生活中，但它们具有一些有趣的特性和性质。
1. 高度唯一性：锐角三角形的高度可以唯一确定，且高度从顶点到底边的垂直距离最短。
2. 外心位置：锐角三角形的外接圆心位于三角形内部，与三个顶点的连线垂直且相等，构成外接圆的直径。
3. 内切圆：锐角三角形存在唯一的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条边的角平分线的交点。
4. 特殊长线：锐角三角形的三条特殊长线（高线、中线、角平分线）交于一个点，称为几何中心。
四、常见的锐角三角形1. 等边三角形：三条边的边长相等，每个内角都是60度的锐角三角形。
2. 等腰锐角三角形：两条边的边长相等，两个对应的内角也相等的三角形。
3. 不等边锐角三角形：三条边的边长都不相等的锐角三角形。
五、锐角三角形的应用锐角三角形在实际生活中有广泛应用，特别是在建筑、工程测量、导航和无人机等领域。
1. 建筑：在建筑设计中，锐角三角形的形状常被用于设计建筑物的屋顶、窗户和门框等结构。
2. 工程测量：测量和勘察工程中使用的仪器，如全站仪和测绘仪，常利用锐角三角形的原理来进行精确测量和定位。
八年级数学——三角形复习
第十一章三角形一.知识要点1. 三角形的分类（1）按边分类：（2）按角分类：2. 三角形的边的关系三角形任意两边的和第三边；三角形任意两边的差第三边.3. 三角形的三种重要线段三角形的高线、中线、角平分线.5. 三角形的内、外角性质内角性质：三角形三个内角的和为°.外角性质：（1）三角形的一个外角等于（2）三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角；（3）三角形的外角和等于360°.6. 三角形的稳定性：三角形的三边长度确定后，三角形的大小、形状7. 多边形及其内角和（1）n边形的内角和：°（2）多边形的外角和等于°（3）多边形的对角线：①从n边形的一个顶点作对角线有：条；②n边形共有：条对角线.（4）正多边形：多边形叫做正多边形.二、基本图形三、基本练习1. 已知三角形的三边分别为14，4x 和3x ，则x 的取值范围是______________．2. 在△ABC 中，若︒=∠-∠︒=∠-∠60,15B C A B ，则=∠C ___________．3. 直角三角形两个锐角的平分线所形成的角为 __________ 度．4. 等腰三角形一边等于5，另一边等于2，则周长是 ．5. 在△ABC 中， 若∠C +∠A = 2∠B ， ∠C -∠A = 80︒， 则∠B= ___________， ∠A 的邻补角为 _________．6. 已知：如图， 在△ABC 中， ACB ABC ∠=∠，BD ⊥AC 于D ， ∠A = 80︒，则∠DBC = _______．7. 如果一个多边形的所有对角线的条数是它边数的5倍，此多边形的边数为___． 8. 一个三角形的两边长分别是2cm 和9cm ，第三边的长为奇数，则第三边的长为________．9. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是_____． 10. 已知：在△ABC 中，AB =AC ，周长为16cm ，AC 边上的中线BD 把△ABC 分成周长差为2cm 的两个三角形，则边AB 、BC 的长分别为 ． 11. 如右图，AC ⊥BC 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，DE ⊥BC 于E 点， 下列说法中不．正确的是（ ） A ．AC 是△ABE 的高 B ．DE 是△BCD 的高 C ．DE 是△ABE 的高 D ．AD 是△ACD 的高 12. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A ．1cm ， 2cm ，4cmB ．8cm ，6cm ，4cmC ．12cm ，5cm ，6cmD ． 2cm ，3cm ，6cmDEDABCD D CBAAC ABCBABCD第6题图第11题图13. 如图，五边形ABCDE 中，AE //CD ，︒=∠135A ，︒=∠155C ， 则=∠B （ ）A ． ︒60B ．︒70C ．︒80D ．︒9014. 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置， 下列结论正确的个数是（ ）： （1）∠1＝∠2 ； （2）∠3＝∠4； （3）∠2+∠4＝90°；（4）∠4+∠5＝180°． A ．1 B ．2 C ．3 D ．415. 多边形的边数由22边增加到23边，它的内角和增加多少度（ ） A ．90° B ．270° C ．180° D ．360° 16. 如图，点M 是△ABC 两个内角平分线的交点，点N 是△ABC 两个外角平分线的交点，如果2:3:=∠∠CNB CMB ， 则∠CAB 的度数为（ ）A ．36°B ．42°C ．54°D ．60°17. 一个三角形三边之比为 3 : 4 : 5， 则这个三角形三边上的高之比为（ ） A ．3 : 4 : 5 B ．5 : 4 : 3 C ．20 : 15 : 12 D ．10 : 8 : 218. 一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，则另一个为（ ） A ．正三角形 B ．正四边形 C ．正五边形 D ．正六边形19. 已知△ABC 中，∠ABC 的n 等分线与∠ACB 的n 等分线分别相交于G 1, G 2, G 3, … , G n -1，试猜想：∠BG n -1C 与∠A 的关系．(其中n 是不小于2 的整数) 首先得到：当n = 2时，如图3，∠BG 1C = ______________， 当n = 3时，如图4，∠BG 2C = _____________，第14题图第13题图第16题图……如图5，猜想 ∠BG n -1C = ___________________ ．20.已知一个三角形的三条边的长分别为n +2，n +6，3n ． (1)n +2______n +6；(填“>”，“=”或“<”) (2)若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；(3)若这个三角形的三条边都不相等，且n 为正整数，直接写出n 的最大值．21. 如图，△ABC 中，点D 在AB 上，AD =31AB ．点E 在BC 上， BE =41BC ．点F 在AC 上，CF =51CA ．已知阴影部分（即△DEF ） 的面积是25cm 2．求△ABC 的面积．(写出简要推理)ABC G 1图3ABC G 1G 2 图4 ……ABCG 1G 2G n -1…图5ABCDEF22. 阅读下面材料：2019年4月底，“百年器象--清华大学科学博物馆筹备展”上展出了一件清华校友捐赠的历史文物“Husun型六分仪”(图①)，它见证了中国人民解放军海军的发展历程．六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律．观测者手持六分仪(图②)按照一定的观测步骤(图③显示的是其中第6步)读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定计算得出观测点的地理坐标．请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论(两次反射原理)．已知：在图④所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FBC自动与0°刻度线AE保持平行(即BC//AE)，并与A处的镜面所在直线NA交于点C，SA所在直线与水平线MB交于点D六分仪上刻度线AC与0°刻度线的夹角∠EAC=ω，观测角为∠SDM．(请注意小贴士中的信息)求证：∠SDM=2ω．请完成对此结论的以下填空及后续证明过程(后续证明无需标注理由)．证明：∵BC//AE，补全证明过程：∴∠C=∠EAC(______).∵∠EAC=ω，∴∠C=ω(______).∵∠SAN=∠CAD(______)，又∵∠BAC=∠SAN=α(小贴士已知)，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=2α．∵∠FBA是△______的外角，∴∠FBA=∠BAC+∠C(______).即β=α+ω．23. 如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线．(1) ∠B=50º，∠C=70º，求∠DAE的度数；(2) 若B-∠有怎样的数量关系？说明理由．C∠∠，则∠DAE与BC∠>(3) 若点A在AD上移动到点F，FE⊥BC于E，其它条件不变，那么∠EFD与∠C、∠B是否还有(2)中的结论？试说明理由．(如图2)图1 图2BA1BDC24. 已知△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1 .(1) 如图1，写出∠A1与∠A之间的数量关系.(2) ∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与∠A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、……、A n，请写出∠A n与∠A的数量关系.(3) 如图(2)，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q-∠A A1 的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并加以证明.图1 图225.已知△ABC，过点B作DE⊥BC于点B，过点C作FH//DE．(1)BC与FH的位置关系是______；(2)如图1，点M在直线DE和FH之间，连接BM，CM.若∠ABM=14∠ABD，∠ACM=14∠ACF，∠BAC=72°，求∠BMC的度数；(3)若∠ABE和∠ACH的平分线交于点N，在图2中补全图形，用等式表示∠BNC与∠BAC的数量关系，并证明．26. 在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，点E在射线DC上，EF⊥BC于点F，EM平分∠AEF交直线AB于点M．(1)如图1，点E在线段DC上，若∠A=90°，∠M=α．①∠AEF=______；(用含α的式子表示)②求证：BD//ME；(2)如图2，点E在DC的延长线上，EM交BD的延长线于点N，用等式表示∠BNE与∠BAC的数量关系，并证明．图1 图227．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°．（1）如图1，点M 在线段CB 上，在线段BC 的延长线上取一点N ，使得∠NAC=∠MAC . 过点B 作BD ⊥AM ，交AM 延长线于点D ，过点N 作NE ∥BD ，交AB 于点E ，交AMA 于点F ．判断∠ENB 与∠NAC 有怎样的数量关系，写出你的结论，并加以证明；（2）如图2，点M 在线段CB 的延长线上，在线段BC 的延长线上取一点N ，使得∠NAC=∠MAC . 过点B 作BD ⊥AM 于点D ，过点N 作NE ∥BD ，交BA 延长线于点E ，交MAA 延长线于点F ．①依题意补全图形；②若∠CABA=45°，求证：∠NEA =∠NAE ．图1 图2N28. 已知：△ABC，点M是平面上一点，射线BM与直线AC交于点D，射线CM 与直线AB交于点E.过点A作AF//CE，AF与BC所在的直线交于点F．(1)如图1，当BD⊥AC，CE⊥AB时，写出∠BAD的一个余角，并证明：∠ABD=∠CAF；(2)若∠BAC=80°，∠BMC=120°．①如图2，当点M在△ABC内部时，用等式表示∠ABD与∠CAF之间的数量关系，并加以证明；②如图3，当点M在△ABC外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的∠ABD与∠CAF之间的数量关系．第 11页共 11页。
三角形的特性
三角形的特性三角形是一种基本的几何形状，由三条线段组成，每两条线段之间都形成一个角。
在数学、物理、工程等领域中，三角形具有广泛的应用。
本文将详细介绍三角形的特性，包括其基本性质、分类、面积公式以及在实际问题中的应用。
一、基本性质1.三角形的内角和三角形的内角和为180度。
这意味着，在任何三角形中，三个内角的度数之和总是等于180度。
这一性质是解决许多与三角形相关的问题的基础。
2.三角形的边长关系（1）任意两边之和大于第三边：a+b>c，a+c>b，b+c>a。
（2）任意两边之差小于第三边：-ab-<c，-ac-<b，-bc-<a。
3.三角形的重心、外心、内心和垂心三角形具有四个重要的特殊点：重心、外心、内心和垂心。
这些特殊点在解决三角形相关问题时具有重要意义。
（1）重心：三角形的重心是三条中线的交点，其中中线是连接顶点与对边中点的线段。
重心将每条中线分为两段，其中靠近顶点的线段长度是远离顶点的线段长度的2倍。
（2）外心：三角形的外心是三条垂直平分线的交点，其中垂直平分线是垂直于边且将边平分的线段。
外心是三角形外接圆的圆心。
（3）内心：三角形的内心是三条角平分线的交点，其中角平分线是从一个顶点出发，将相邻两边的角平分的线段。
内心是三角形内切圆的圆心。
（4）垂心：三角形的垂心是三条高的交点，其中高是从一个顶点垂直于对边的线段。
垂心在解决与三角形高度相关的问题时具有重要意义。
二、三角形的分类根据边长关系，三角形可以分为三类：等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。
1.等边三角形等边三角形的三条边长相等。
在等边三角形中，三个内角也相等，均为60度。
等边三角形具有高度的对称性，其重心、外心、内心和垂心重合于同一点。
2.等腰三角形等腰三角形有两条边长相等。
根据等腰三角形的顶角和底角的大小，可以将其进一步分为锐角等腰三角形、直角等腰三角形和钝角等腰三角形。
3.不等边三角形不等边三角形的三条边长均不相等。
分类三角形的题目
分类三角形的题目
以下就是小编给大家盘点的分类三角形的题目，仅供大家参考。
三角形的分类有很多种方法，以下是常见的两种分类方式及相关题目：
一、按角分类
1、锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
2、直角三角形：有一个角是直角的三角形。
3、钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
相关题目：
判断下列三角形属于哪一类：
1、三角形的三个角分别为30°、60°、90°。
（直角三角形）
2、三角形的三个角分别为80°、50°、50°。
（锐角三角形）
二.按边分
1、等边三角形：三条边都相等的三角形。
2、等腰三角形：至少有两条边相等的三角形。
3、不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
相关题目：
下列三角形中，一定是等边三角形的是（）。
A.有两个角是60°的三角形
B.三个角都相等的三角形
C.有一个角是60°的等腰三角形
答案选B。
根据等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形，可得选项B正确；而选项A和选项C只是满足等边三角形的其中一个条件，不能确定该三角形一定是等边三角形。
以上是关于三角形分类的两种常见方式及相关题目示例，希望对你有所帮助！。
三角形的分类及形状
三角形的分类及形状三角形是由三条线段组成的封闭图形，它广泛应用于几何学和数学中。
根据三角形的边长和角度特性，我们可以将三角形进行分类和形状的判断。
1. 根据边长分类根据三角形的边长，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
1.1 等边三角形等边三角形的三条边长度相等，每个内角都是60度。
它具有对称性，有六条对称轴。
常见的例子是正三角形，如国际红十字会的标志。
1.2 等腰三角形等腰三角形有两条边长度相等，也就是说两个内角相等。
根据第三条边的长度，等腰三角形又可分为锐角等腰三角形、钝角等腰三角形和直角等腰三角形。
- 锐角等腰三角形：两个内角小于90度，第三条边短于两边相等的边。
- 钝角等腰三角形：两个内角大于90度，第三条边长于两边相等的边。
- 直角等腰三角形：两个内角等于90度，第三条边等于两边相等的边。
例如，拱门中常见的斜边即等腰三角形。
1.3 普通三角形普通三角形的三条边长度各不相等，所有内角之和等于180度。
普通三角形没有其他特殊性质，是最常见的三角形类型。
2. 根据角度分类根据角度的大小，我们可以将三角形分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。
2.1 锐角三角形锐角三角形的三个内角都小于90度。
根据边长的不同，锐角三角形又可以进一步分类为等边锐角三角形、等腰锐角三角形和普通锐角三角形。
- 等边锐角三角形：三个内角均为60度，三条边长度相等。
- 等腰锐角三角形：两个内角相等，两条边长度相等。
- 普通锐角三角形：三个内角均小于90度，三条边长度各不相等。
2.2 钝角三角形钝角三角形的一个内角大于90度。
根据边长的不同，钝角三角形可以分为等腰钝角三角形和普通钝角三角形。
- 等腰钝角三角形：两个内角相等，两条边长度相等。
- 普通钝角三角形：只有一个内角大于90度，三条边长度各不相等。
2.3 直角三角形直角三角形的一个内角等于90度。
如果另外两条边的长度相等，那么这个直角三角形就是等腰直角三角形。
三角形的性质与分类
锐角三角形：三个角都为锐角
任意三角形：三个角都不相等，没有特定的形状
THANK YOU
汇报人：
内角和定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
面积与周长
三角形的面积也可以通过公式S=1/2*ab*sin(C)（其中a、b为两邻边长，C为两邻边夹角）来计算
三角形的面积可以通过公式S=1/2*bh（其中b为底，h为高）来计算
三角形的周长可以通过公式C=a+b+c（其中a、b、c为三边长）来计算
三角形的周长也可以通过公式C=a+b-c（其中a、b、c为三边长）来计算
特殊三角形性质
等边三角形：三边相等，三个角相等，均为60度
等腰三角形：两腰相等，两个底角相等，顶角为180度-底角*2
直角三角形：一个角为90度，另外两个角互余
钝角三角形：一个角大于90度，另外两个角小于90度
锐角三角形：三个角都小于90度
正三角形：三边相等，三个角相等，均为60度，是特殊的等边三角形
三角形的分类
02
按边长分类
按角度分类
钝角三角形：有一个角是钝角
锐角三角形：三个角都是锐角
直角三角形：有一个角是直角
等腰三角形：两个底角相等
等边三角形：三个角都相等
按形状分类
等边三角形：三边相等，三个角相等
等腰三角形：两边相等，两个角相等
不等边三角形：三边不等，三个角不等
直角三角形：有一个角为90度，其他两个角不等
钝角三角形：有一个角大于90度，其他两个角不等
锐角三角形：三个角都小于90度
按功能分类
等边三角形：பைடு நூலகம்边相等，三个角相等
等腰三角形：两边相等，两个角相等
第十一章 三角形知识归纳
第十一章 三角形知识归纳基础知识归纳一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 三、三角形的分类 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形四、三角形的三条重要线段线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC于点D ． 标示图形符号语言 1．AD 是△ABC 的高． 2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．(或∠ADC ＝∠ADB ＝90°) 1．AD 是△ABC 的中线． 2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线． 3．BD ＝DC ＝12BC 4．点D 是BC 边的中点． 1．AD 是△ABC 的角平分线． 2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．推理语言 因为AD 是△ABC 的高，所以AD ⊥BC ．(或∠ADB ＝∠ADC ＝90°) 因为AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝DC ＝12BC ．因为AD 平分∠BAC ，所以∠1＝∠2＝12∠BAC ． 用途举例1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内． —与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.六、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．七、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．八、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形． 九、多边形内角和n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)． 要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；十、多边形的外角和多边形的外角和为360°． 要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．(3)2n n -(2)180n n-°360n°凸多边形凹多边形。
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√ √ √
） ）
3、一个等腰三角形，一个底角是80 ° ，另一个底 、一个等腰三角形，一个底角是 角也是80° 角也是 °。 （ ） 4、一个三角形中最大的一个角是89 °，这个三角形 、一个三角形中最大的一个角是 可能是钝角三角形。 可能是钝角三角形。 （ ）
×
三、看图作答
上图有（ 上图有（ 其中有（ 其中有（
）个三角形， 个三角形， 个是直角三角形。 ）个是直角三角形。
三、看图作答
上图有（ 上图有（ 其中有（ 其中有（
）个三角形， 个三角形， 个是直角三角形。 ）个是直角三角形。
三、看图作答
上图有（ 上图有（ 其中有（ 角三角形。 ）个是直角三角形。
三、看图作答
三角板 等腰三角形） （等腰三角形）
行车提示标 等边三角形） （等边三角形）
一、填空题
腰
腰
（ 60 ）° 70° 70° ° （ ° ）
（ 8 ）厘米
等腰三角形
等边三角形
二、判断题
1、一个三角形至少有两个锐角。 、一个三角形至少有两个锐角。 2、一个等边三角形一定是锐角三角形。 、一个等边三角形一定是锐角三角形。 （ （
底角 底
底角
等腰三角形
一、按边把三角形分类
量出课本上等边三角形三条 边的长度 等边三角形三条边相等 边 边 量出课本上等边三角形三个 角的大小 等边三角形三个内角相等， 等边三角形三个内角相等， 都是60° 都是 °
边
等边三角形 也叫正三角 也叫正三角 形
日常生活中的三角形
红领巾 等腰三角形） （等腰三角形）
第五单元 三角形 （一） 三角形的分类
一、按角把三角形分类
三角形 锐角个数 锐角三角形 3 直角三角形 2 钝角三角形 2
直角个数 0 1 0
钝角个数 0 0 1
每个三角形都至少有两个锐角
一、按边把三角形分类
顶角 腰 腰
量出课本上等腰三角形两条 腰的长度 等腰三角形两条腰相等 量出课本上等腰三角形两个 底角的大小 等腰三角形两个底角相等
三、看图作答
上图有（ 个三角形， 上图有（ ）个三角形， 其中有（ 个是直角三角形。 其中有（ 5 ）个是直角三角形。
三、看图作答
上图有（ 个三角形， 上图有（ 8 ）个三角形， 其中有（ 个是直角三角形。 其中有（ 5 ）个是直角三角形。
上图有（ 上图有（ 其中有（ 其中有（
）个三角形， 个三角形， 个是直角三角形。 ）个是直角三角形。
三、看图作答
上图有（ 个三角形， 上图有（ ）个三角形， 其中有（ 个是直角三角形。 其中有（ 5 ）个是直角三角形。
三、看图作答
上图有（ 个三角形， 上图有（ ）个三角形， 其中有（ 个是直角三角形。 其中有（ 5 ）个是直角三角形。