广义相对论第九次作业

《广义相对论基础》第九次作业答案
一、已知;,A A A λ
μνμνμνλ=-Γ，利用标量微分关系;,U U μμ=及莱布尼兹法则证明：
;,B B B μμμλννλν=+Γ。

证明：由莱布尼兹法则，有
;;;()A B A B A B μμμμνμνμν=+，,,,()A B A B A B μμμμνμνμν=+，
而;,U U μμ=，故
;;,,A B A B A B A B μμμμμνμνμνμν+=+。

把;,A A A λ
μνμνμνλ=-Γ代入上式，得
,;,,()A A B A B A B A B λ
μμμμμνμνλμνμνμν-Γ+=+，
整理，得
;,A B A B A B μμμσμνμνμσν=+Γ， 即 ;,B B B μμμσννσν=+Γ。

二、在宇宙学中，均匀各向同性介质的能量动量张量采用形式
()T p u u pg μνμνμνρ=++，
由能量动量张量满足;0T μνν=，可导出一个微分方程 3()d a p dt a
ρρ=-+。

试从此方程出发导出
32()3d a pa da
ρ=-， 并讨论实物为主的宇宙（p
ρ）
满足3matter a const ρ=，辐射为主宇宙（/3p ρ=）满足4radiation a const ρ=。

证明：332
21()()33d d a a pa pa da a dt
ρρ=-⇔=-。

而 332()3d a d a a a dt dt
ρρρ=+，
因此
32233d a a a pa a dt ρρ+=-， 即 3()d a p dt a
ρρ=-+。

实物为主的宇宙满足p ρ，因此可取0p ≈，因此32()30d a pa da ρ=-=，即 3matter a const ρ=。

辐射为主的宇宙满足/3p ρ=，因此322()3d a pa a da
ρρ=-=-，即 4radiation a const ρ=。

三、由弗里德曼方程 2283
G a K a πρ+=， 出发，考虑到Hubble 定律()a H t a =，对于今天的宇宙有
222000083
G H a a K πρ=
-。

请把上面的两个式子相减，并考虑到28/3c G H πρρρΩ==及3matter a const ρ=，证明 01/2/221000000000()(1)(1)a a a a H t H dx a a x --Ω=-Ω+Ω⇒=-Ω+⎰，
进而讨论01Ω=的情况下宇宙的寿命。

证明：把2283G a K a πρ+=和222000083
G H a a K πρ=-两式相减，得 2222200008833
G G H a a a a ππρρ-=-， 考虑到3300a a ρρ=，上式可变为：
222230000008833G G H a a a a a
ππρρ-=-， 考虑到00002
08/3c G H πρρρΩ==，整理得 01/2/221000000000()(1)(1)a a a a H t H dx a a x --Ω=-Ω+Ω⇒=-Ω+⎰，
上式中我们把0/a a 当一个宗量来处理。

当把积分上限取为1，相应的时间就是宇宙年龄，考虑01Ω=，得
2/3003()()2H t a t a =，因此现在宇宙的寿命为10023t H -=。