高一数学应用举例
高一数学组合应用题
组合应用题
一．简单组合问题
二．带附加条件的组合问题
1．某些元素有特殊归类问题
例1．平面上有五个兰点和七个红点，其中有三个红点与两个兰点在同一条直线上，
除此以外，再无三点共线，问过两个不
同颜色的点，共可作多少条直线？
2．组合中的有重复问题：
例2．由数1、2、3、4可组成多少个不同的和？
3．“不相邻”的组合问题：
例3．现有十只灯，为节约用电，可以将其中的三只灯关掉，但不能关掉相邻的两只
或三只，也不能关掉两端的灯，关灯方
法有多少种？
4．其他问题
例4．有12个代表名额，分给７个学校，每校至少１个，有多少分法？
作业：
1．有划船运动员10人，其中３人会划右舷，２人会划左舷，其余５人都会划，现要从中选出６人，平均分配在船的两舷，有多少种选法？
2．以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？
3．某仪表显示屏上一排７个小孔，每个小孔可显示红与黄两种颜色信号，若每次有三
个小孔同时给出信号，但相邻的两孔不能同时给出信号，求此显示屏可显示多少种不同的信号？
4．在一块并排10垄的田地中，选择２垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于６垄，不同的选垄方法有多少种？（99高考）
5．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形有多少个？（96高考）
6．四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取３个点，使它们和点A在同一平面上，不同取法有多少种？（97高考）。
高一数学应用题解析与讲解
高一数学应用题解析与讲解数学是一门重要的学科，不仅涉及到理论与公式的运用，还与我们日常生活的应用息息相关。
在高一数学学习中，我们将接触到许多数学应用题，这些题目旨在帮助我们将数学知识应用于实际场景中，培养我们的解决问题的能力。
本文将对高一数学应用题进行解析与讲解，帮助大家更好地理解与掌握数学应用题的解题方法。
1. 几何应用题几何应用题是高一数学学习中的重点之一，涉及到平面几何和立体几何等内容。
下面我们以一个平面几何的应用题为例进行解析。
例题1：某校操场的形状是一个半径为50米的圆形，现需要在操场四周修建一条宽3米的跑道，求跑道的面积。
解析：首先，我们需要明确题目的要求，即求跑道的面积。
根据题目中的描述，我们可以得知，跑道的形状是一个内半径为50米、外半径为53米的圆环。
因此，我们可以通过计算两个圆的面积之差来求得跑道的面积。
内圆的面积为πr^2，外圆的面积为πR^2，其中r为内半径，R为外半径。
跑道的面积即为外圆的面积减去内圆的面积。
所以，跑道的面积为πR^2 - πr^2 = π(R^2 - r^2) = π(53^2 - 50^2) = 9π ≈ 28.27平方米。
在这个例题中，我们运用了几何知识中圆环的面积公式，并通过计算求得了跑道的面积。
这个例题不仅考察了对几何知识的掌握，还培养了我们解决实际问题的能力。
2. 概率与统计应用题概率与统计是数学的一个重要分支，与我们日常生活中的数据、概率密切相关。
下面我们以一个概率与统计的应用题为例进行解析。
例题2：某班级有30个学生，其中20个学生会游泳。
现从班级中随机抽取2个学生，求这2个学生都会游泳的概率。
解析：首先，根据题目中给出的信息，班级总共有30个学生，其中20个学生会游泳。
我们需要计算的是从班级中随机抽取2个学生，这两个学生都会游泳的概率。
根据概率的定义，概率等于“有利结果的个数除以总结果的个数”。
在这个题目中，有利结果就是两个学生都会游泳，总结果就是从班级中随机抽取2个学生。
高一数学应用题举例
实际应用问题 抽象概括 数学模型
小
结
推理演算
实际问题的解 还原说明 数学模型的解
实习作业:
1、 有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰 梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底 CD的端点在圆上.写出这个梯形周长y和腰长x间的函 数关系，并求出它的定义域.,当x＝____时，y最大是
_____.
y 1 x2 2x 4R R
D E
0 x 2R
A
当x R时, ymax 5R.
C
.
O
B
2、李明同学升入高一时父母准备为 其上大学去银行存一笔款.预计四年 大学上完后需5万元, 请你到银行调 查一下存款方式及相应的利率,帮助 李明同学的父母设计一个较合算的存 款计划.
池壁的造价为a 元 /m2,池底的造价为2a 元 /m2 ,把总
造价y(元)表示为底的一边长 x (m)的函数D。1 分析:总造价(y)=池底造价+池壁造价
C1
解:设AB = x ( m) ,BC = z ( m ) A1
AA1 = 6 (m)(即池深为6m)
D
B1 C
根据题意有: 6xz = 8000
∴当t=50时，h(t) 取得区间[0，200]上的最大值100； 当200＜t≤300 时，配方整理得
h(t)=
∴当 t=300时, 取得区间（200，300］上的最大值87.5 综上，由100＞87.5 可知，在区间[0，300]上可以 取得最大值100，此时 t=50 ， 即从二月一日开始的第50天时， 上市的西红柿纯收益最大。
z= 4000 A 3x
B
. . 池壁的造价为:
a
(2x+2z) 6=
高一数学习题函数的综合运用
高一数学习题函数的综合运用在高一的数学学习中，函数是一个重要的概念和工具。
函数的综合运用则是展示学生对函数知识的掌握程度和应用能力的重要环节。
本文将通过几道具体的数学习题，展示高一学生如何运用函数进行综合问题求解。
1. 题目一：小明正在规划一个植物园，园中有两片草地A和B，其中草地A的面积是草地B的两倍。
小明想在这两片草地上分别种植玫瑰花和向日葵，使得两种花的总数量相等。
已知玫瑰花每平方米需要5株，向日葵每平方米需要3株。
请问小明应该在草地A和草地B分别种植多少面积的玫瑰花和向日葵，才能满足总数量相等的要求？解析：设草地A的面积为x平方米，则草地B的面积为2x平方米。
根据题意，可得到以下两个等式：5x = 3 * 2x接下来，我们解方程组：5x = 6x6x - 5x = 0x = 0根据解出的x值，我们可以得知草地A的面积为0平方米，草地B 的面积为0平方米。
因此，无法满足总数量相等的要求。
2. 题目二：某超市在一次特价促销中，将原价为100元的商品打折出售。
打折后的价格与原价之间的关系如下：当购买数量小于等于5件时，每件商品打8折；当购买数量超过5件时，每件商品打7折。
若小明购买了x件商品，问他所购商品的总金额f(x)与x的函数关系是什么？解析：当购买数量小于等于5件时，每件商品打8折，即折扣后价格为100 * 0.8 = 80元。
当购买数量超过5件时，每件商品打7折，即折扣后价格为100 * 0.7 = 70元。
根据以上分析，可以列出下面的函数关系式：f(x) ={80x, 当 x <= 5,70x, 当 x > 5}通过这个函数关系式，我们可以计算出小明购买任意数量的商品后的总金额。
3. 题目三：某公司的年度利润（单位：亿元）与销售额（单位：亿元）之间的关系如下：当销售额不超过10亿元时，利润为销售额的5%；当销售额超过10亿元但不超过50亿元时，利润为销售额的8%；当销售额超过50亿元时，利润为销售额的10%。
高一数学函数的应用
解：这个函数的定义域为{1，2，
3，4}，函数的解析式为y=5x
20 y/元
（ x∈{1，2，3，4} ），它的图 15
像由4个孤立点组成，如图所示， 10
这些点的坐标分别是（1，5）， 5
（2，10），（3，15），（4，20）。Biblioteka 0x/个 123 45
导入新课
大约在一千五百年前，大数学家孙 子在《孙子算经》中记载了这样的 一道题：“今有雏兔同笼，上有三 十五头，下有九十四足，问雏兔各 几何？”这四句的意思就是：有若 干只有几只鸡和兔？你知道孙子是 如何解答这个“鸡兔同笼”问题的 吗？你有什么更好的方法？
；美国夏校 https:///summer-school
；
上下功夫。 口福和眼福俱饱矣，耳福呢？ 无一座城市致力于“音容”，无一处居所以“寂静”命名。 我们几乎满足了肉体所有部位，唯独冷遇了耳朵。 甚至连冷遇都不算，是折磨，是羞辱。 做一只现代耳朵真的太不幸了，古人枉造了“悦耳”一词，实在对不住，我们更多的是“虐耳”。 有个说法叫“花开的声音”，一直，我当作一个比喻和诗意幻觉，直到遇一画家，她说从前在老家，中国最东北的荒野，夏天暴雨后，她去坡上挖野菜，总能听见苕树梅绽放的声音，四下里噼啪响 “苕树梅”，我家旁的园子里就有，红、粉、白，水汪汪、亮盈盈，一盏盏，像玻璃纸剪出的小太 阳。我深信她没听错，那不是幻听和诗心的矫造，我深信那片野地的静、那个年代的静，还有少女耳膜的清澈她有聆听物语的天赋，她有幅画，《你能让满山花开我就来》，那绝对是一种通灵境界我深信，一个野菜喂大的孩子，大自然向她敞开得就多。 我们听不见，或难以置信，是因为失聪日 久，被磨出了茧子。 是的，你必须承认，世界已把寂静 这大自然的“原配”，给弄丢了。 是的，你必须承认，耳朵 失去了最伟大的爱情。 我听不见花开的声
高一数学-正、余弦定理在实际生活中的应用
B
E
D
A
C
探究二
E B
D
C
(2-2)
解:由余弦定理得
AB2 AC2 BC2 2AC BC cos ACB
A 482.802 631.502 2 482.80 631.50 cos 56.3 293557.0525 AB 541.81 DE AB AD BE 421(米)
在BCD中,BCD=120,CBD=20
由正弦定理：BC DC sin120 2.53.
C
sin 20
在ABC中,由余弦定理：
AB2 BC2 AC 2 2AC BC cos 40
即400 9x2 6.4x2 2 3x 2.53x cos 40
x 10.3
SABC
1 2
AC BC sin C
角为 22.81 。问：他能否算出金茂大厦的高度呢？
若能算出，请计算其高度。（精确到1米）
A
h
D
C
B
探究一
A
h
D
C
(2-2)
解:在ABC中, ABC=15.66,ACD=22.81
BAC=22.81 15.66 7.15
由正弦定理： AC BC
B
sin ABC sin BAC
AC 500 sin15.66 1084.3 sin 7.15
260(m2 )
答：绿地面积约为260m2。
练习一
练习二
练习三
练习四
练习一
大楼的顶上有一座电视塔高20米,在地面某处测得塔
顶的仰角为 45.塔底的仰角为 30.求此大楼的高度(结
果保留两位小数,下列各题相同)
练习二
某地某时台风中心在甲地的东偏南 21 方向1171 千米处.经过24小时后,测得台风中心在甲地东偏
高一数学 精品：基本不等式应用
基本不等式应用应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。
高一数学函数模型的应用实例1
记得小时候，我家也常会泡些有山果的酒，但最受欢迎的还是金樱子酒。金樱子是一种蔷薇科植物，在老家的大山里随处可见，结纺锤形状小果，果皮有毛并且会带上摘金樱子的工具，不让小孩子去摘，怕弄伤了手，也怕被刺挂破了衣服，到头来得不偿失。小孩们却常偷偷去摘，果子摘下 来后，放在地上，用鞋子搓去刺，剥开去籽，洗干净，放在嘴里嚼，味道酸酸甜甜，是我们孩提时一段美好的记忆。采摘回来的果子须先褪去毛刺，洗净后再用刀破成两半，剜掉 内籽再放进酒缸里泡，当然也有人家会将其晒干后，再放进酒缸泡上几个月的。母亲常跟我们说，金樱子酒是药酒，补脾健胃、补益肝肾，还能止咳平喘，但小孩子不能喝得太多， 说太补了。在老家的大山里，金樱子比较多，每年我家都会泡一两缸金樱子酒。在金樱子酒开封时，母亲也总会给我们三兄妹都倒上一点点，让我们尝一尝。我不能喝酒，每次喝
一点点，很快就脸红了，这时父亲就会在旁边得意地笑，说我没“酒福”。。 嘎嘎影视 。
我家的金樱子酒自己喝，也常分给别人喝，常常是别人喝得多，自己喝得反而少。在我记忆里，杀年猪时是我家喝金樱子酒比较多的时候。儿时的乡下，谁家杀年猪，邻居们 都会来帮忙，这也是这家人感谢邻居们一年来的帮助，祝福邻居们在接下来的一年里和和美美、顺顺利利的好时机。主人把刚刚杀的年猪，那还冒着热气的猪肉、猪血、猪肝、猪 杂……做成一碗碗丰盛的菜肴，拿出自家储藏的用来招待贵宾的好酒来招待邻居。我家杀年猪时，父亲就会拿出金樱子酒来招待邻居，餐桌上夹菜敬酒，推杯换盏，菜凉了再热，吃 了再添，酒喝了一碗又一碗，上了一瓶再上一瓶，喝得大家酣畅淋漓，面红耳赤，喜形于色，酒后乡亲们话匣子也彻底打开了，即使平时邻里之间有点小矛盾的，这时也在金樱子 酒里融化了，亲情、友情、乡情也在金樱子酒里升华。
高一数学中的数列在实际问题中的应用有哪些
高一数学中的数列在实际问题中的应用有哪些在高一数学的学习中，数列作为一个重要的知识板块，不仅在数学理论中具有重要地位，还在实际生活中有着广泛的应用。
通过数列，我们可以更好地理解和解决许多现实世界中的问题，从经济领域的投资和贷款计算，到自然科学中的生物繁殖和放射性物质衰变，再到日常生活中的排队和资源分配等。
接下来，让我们深入探讨一下高一数学中数列在实际问题中的具体应用。
一、经济领域1、储蓄与利息计算在银行储蓄中，常常会涉及到利息的计算。
假设我们将一笔本金 P存入银行，年利率为 r，存期为 n 年。
如果按照单利计算，到期后的本息和 A 可以用数列公式表示为：A ＝ P(1 ＋ nr) ；而如果按照复利计算，到期后的本息和 A 则为：A ＝ P(1 ＋ r)＾n 。
通过这样的数列公式，我们可以清楚地计算出不同储蓄方式下的最终收益，帮助我们做出更明智的理财决策。
2、分期付款在购买一些价格较高的商品时，如汽车、房屋等，我们可能会选择分期付款。
假设购买一件价格为 P 的商品，分 n 期付款，每期利率为 r。
每期的还款金额可以通过数列计算得出，从而帮助我们规划好每月的财务支出，避免逾期还款和额外的利息费用。
3、投资回报在投资领域，数列也发挥着重要作用。
例如，我们投资一项每年回报率为 r 的项目，初始投资为 P，经过 n 年后的投资总额可以用数列公式计算。
通过对不同投资项目的回报进行数列分析，我们可以评估其风险和收益，选择最适合自己的投资组合。
二、科学研究1、生物繁殖在生物学中，许多生物的繁殖现象可以用数列来描述。
比如，某种细菌每小时繁殖的数量是前一小时的 2 倍，如果初始时有 x 个细菌，经过 n 小时后的细菌数量就是一个等比数列。
通过数列的计算，我们可以预测生物种群的增长趋势，为生态保护和资源管理提供重要依据。
2、放射性物质衰变放射性物质的衰变过程也符合数列规律。
假设某种放射性物质的半衰期为 T，初始质量为 M，经过 n 个半衰期后的剩余质量可以用数列公式表示为：M(1/2)＾（n/T) 。
高一数学必修一中的数学归纳法应用实例
高一数学必修一中的数学归纳法应用实例在高一数学必修一中，数学归纳法是一个重要的证明方法，它为解决与自然数相关的命题提供了有力的工具。
接下来，让我们通过一些具体的实例来深入理解数学归纳法的应用。
首先，我们来明确一下数学归纳法的基本步骤。
第一步是“奠基”，也就是证明当 n 取第一个值 n₀（通常 n₀＝ 1）时命题成立。
第二步是“归纳递推”，假设当 n ＝ k（k ≥ n₀，k 为自然数）时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
有了这个基础，我们来看第一个实例。
证明：1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2n 1) ＝ n²当 n ＝ 1 时，左边＝ 1，右边＝ 1²＝ 1，左边＝右边，命题成立。
假设当 n ＝ k 时，命题成立，即 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＝ k²。
那么当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＋（2(k ＋ 1) 1)＝ k²＋（2k ＋ 1)＝ k²＋ 2k ＋ 1＝（k ＋ 1)²右边＝（k ＋ 1)²所以左边＝右边，当 n ＝ k ＋ 1 时，命题也成立。
由上述数学归纳法的步骤，可证明该命题对任意自然数 n 都成立。
再来看一个关于数列的例子。
已知数列{aₙ}满足 a₁＝ 1，aₙ₊₁＝ 2aₙ ＋ 1，证明 aₙ ＝2ⁿ 1当 n ＝ 1 时，a₁＝ 2¹ 1 ＝ 1，命题成立。
假设当 n ＝ k 时，命题成立，即 aₙ ＝ 2ᵏ 1当 n ＝ k ＋ 1 时，aₙ₊₁＝ 2aₙ ＋ 1＝ 2(2ᵏ 1) ＋ 1＝ 2 × 2ᵏ 2 ＋ 1＝ 2ᵏ⁺¹ 1所以当 n ＝ k ＋ 1 时，命题也成立。
从而证明了对于任意自然数 n，aₙ ＝2ⁿ 1 都成立。
接下来这个例子是关于不等式的证明。
证明：1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋… ＋ 1/n ＞ ln(n ＋ 1) （n ∈ N）当 n ＝ 1 时，左边＝ 1，右边＝ ln(1 ＋ 1) ＝ ln2 ＜ 1，左边＞右边，命题成立。
高一数学函数的应用1
4.某厂向银行申请甲、乙两种贷款 共计 35 万元，每年需付出利息 4.4 万元，若甲种贷款年利率为12%， 乙种贷款年利率为13%，这两种贷 款的数额各是多少？
(2) 第20小时小白鼠体内的病毒细胞数为
20 2 19 m 2 (1 98 0 ) m 0 100
个，
设第一次注射药物后的第t小时必须注射药物，则
220 m 2t m 106 , 2t 20 108 , 100 8 (t 20) lg 2 8, t 20 6.58 lg来自2x+y=35
X=15
x12%+y13%=4.4
Y=20
练习题：某乡镇现有人均一年占有
粮食360千克，如果该乡镇人口平均 每年增长率1.2%。粮食总产量平均 每年增长4%。那么X年后，若人均 一年占有y千克粮食，求出函数y关 于X的解析式。
课时小结：
解应用题（数学建模）的一般步骤：
（1）合理，恰当假设 （2）抽象概括数量关系，并能用 数学语言表示 （3）分析，解决数学问题 （4）数学问题的解向实际问题还原。
例2：某工厂制定了从1999年底开 始到2005年底期间的生产总值持续 增长的两个三年计划，预计生产总 值年平均增长率为p，则第二个三 年计划生产总值与第一个三年计划 生产总值相比，增长率r为多少?
1.商店处理一批文具盒，原来每只售价 12 元，降价后每只售价 9 元，则降价的 百分率是 25％.
2. 某工厂总产值月平均增长率为 P ， 则年平均增长率是 （1＋P)12-1.
3、医学上为了研究传染病传播过程中病毒细胞的生长规 律及其预防措施，将一种病毒细胞的m个细胞注入一只 小白鼠的体内进行试验，在试验过程中，得到病毒细胞 的数量与时间（h）的关系记录如下表：
高一数学新课标B版必修一函数应用题归类分析
函数应用题归类分析我们已经学过一次函数、二次函数及分段函数，应用这些函数能解决我们遇到的许多实际数学问题，现归类如下。
一 能解决利润最大或效益最高问题例1、某售货点，从批发部批发某一种商品的进价是每份0.35元，卖不掉的商品还要以每份0.08元的价格退回批发部，卖出的商品的价格是每份0.5元，在一个月（30天）中，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，假设每天从批发部买进的商品的数量相同，则每天从批发部进货多少才能使每月所获得利润最大？最大利润是多少？分析：每月的利润=月总收入—月总成本，而月总收入有三部分：可每天卖出400份共20天的收入；可每天卖出250份的共10天的收入；没有卖出而退回批发部的商品的收入。
解、设每天从批发部买进的数量为x 份，易知250400x ≤≤设每月的纯收入为y 元，则由题意，得0.5200.525010(250)0.08100.3530y x x =⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯-⨯0.31050x =+[]250,400x ∈因为一次0.31050y x =+函数0.31050y x =+在区间[]250,400x ∈上为增函数，所以当400x =时，函数0.31050y x =+取得最大值：0.340010501170y =⨯+= （元）答；当每天从批发部进货400分时，每月所获得利润最大，最大利润是1170元。
点评：本题是一次函数模型的应用，对于利用一次函数来求最值，主要是利用其单调性来解决。
例2、旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给与优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？解、设旅游团的人数为x 人，飞机票为y 元，依题意，得当130x ≤≤时，900y =；当3075x <≤时，90010(30)101200y x x =--=-+；所以所求函数为900(130)101200(3075)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩ 设利润为Q ，则290015000(130)1500010120015000(3075)x x Q y x x x x -≤≤⎧=⨯-=⎨-+-<≤⎩ 当130x ≤≤时，max 900301500012000Q =⨯-=，当3075x <≤时，221012001500010(60)21000Q x x x =-+-=--+，所以当60x =时，m ax 21000Q = 12000>，答：当旅游团人数为60人时，旅行社可获得最大利润21000元。
高一数学 6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例
问题引入
设A、B两点在河的两岸（B点不可到达），怎样测量两点之间的距离？
常用测量工具
卷尺
经纬仪
经纬仪 测量水平角和竖直角的仪器。
B
75o
C
51o 55m
A
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A所在的河岸边选定 一点C，测出A、C间的距离是55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的
cos B c 2 a 2 b2 ， 2ca
cos C a 2 b2 c 2 。 2ab
探究新知
在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事，我们仰望星空，明月高悬，不禁会问， 遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？
早在1671年，两个法国天文学家就测出了地球与月球之间的距离大约为385400km。 他们是怎样测出两者之间距离的呢？
∠ADB，
AB
CD sin sin
sin
注意：在实际操作时，使C,D,B三点共线不是一件容易的
事情。你有什么解决方法？
C
A B
D
测量角度问题
例4：位于某海域A处的甲船获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险后抛 锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船的南偏西30◦，且与甲船相距7 海里C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线） 的方向是北偏东多少度(精确到1◦)？需航行的距离是多少海里（精确到1海里）？
求出BC的长；
（4）在△ABC中,由余弦定理 AB2 CA2 CB2 2CAgCB cos C 求得AB的长。
A
δ
γ
余弦定理、正弦定理应用举例(第3课时)高一数学(人教A版2019必修第二册)
例9 如图, A, B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B 间的距离.
解：如图,在A, B两点的对岸选定两点C, D,
测得CD=a ,并且在C, D两点分别测得
∠BCA=α, ∠ACD=β，∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在△ADC中，由正弦定理，得
AC
(3)方位角：指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角，如B点的方位角为α(如 图②)． (4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南 方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.
2.运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤 ①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角 形)； ②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集 中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型. ③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解. ④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.
【单元知识结构框架】
【学情分析】 学生已经学习过了勾股定理、任意角的三角函数、平面向量
等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。高一 下学期阶段的学生思维较为活跃，求知欲也较强，但没有接触 过数学定理的证明，没有证明定理的经验，将实际问题转化为 数学问题的建模能力有待提高。因此教师要提供针对性的研究 素材，并作必要的启发和引导，证明余弦定理的过程中也会存 在困难，教师可以适时的点拨。
距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船
可以继续沿正北方向航行吗?
20°
解：在△ABS中, AB=32.2×0.5 =16.1 (n mile), ∠ABS=115°.
高一数学知识的实际运用与应用
高一数学知识的实际运用与应用数学作为一门学科，给我们提供了丰富的知识和工具，用以解决现实生活中的问题。
在高一阶段，我们所学习的数学知识开始向实际场景的运用与应用发展，对于我们的学习和未来的发展具有重要的意义。
本文将从几个典型的实例出发，讨论高一数学知识的实际运用与应用。
一、数列与数列求和数列是数学中一类有序数的集合，高一数学课程中我们就学习了等差数列和等比数列的性质及求和公式。
这些数学知识可以应用于实际生活中的许多问题。
以等差数列为例，假设某人每天早上用同样的时间跑步，那么他每天的距离构成了一个等差数列。
我们可以通过已知的两个数据，比如第一天跑了3公里，第七天跑了9公里，来求解出每天跑步的总距离。
这对于帮助我们管理时间、制定运动计划非常有帮助。
对于等比数列，同样适用于很多实际问题。
比如，在投资领域中，我们可以通过等比数列的求和公式来计算每年的收益，从而评估投资的绩效。
这就需要我们将数学知识与现实情况相结合，利用数学工具进行分析和决策。
二、函数与模型函数是数学中的重要概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
在高一数学课程中，我们学习了线性函数、二次函数等基本函数，以及它们的性质和图像特征。
这些数学工具可以应用于实际问题建立数学模型，进而解决实际问题。
举个例子，如果我们要计算一辆汽车的油耗情况，我们可以通过观察和测量得到汽车在不同速度下的油耗数据。
然后，我们可以将这些数据进行整理和分析，建立一个函数模型，从而预测在不同速度下的耗油量。
这样的模型可以帮助我们合理安排出行计划、控制油耗成本。
另外，函数与模型还可以应用于经济学、生物学等领域。
比如在经济学中，我们可以通过建立需求曲线和供给曲线的函数模型，来分析市场价格和产品数量之间的关系，为决策提供理论依据。
三、概率与统计概率与统计是高一数学课程中的重要内容，它们在实际生活中的应用非常广泛。
概率论研究的是随机事件发生的可能性，统计学则研究的是数据的收集、分析和解释。
高一数学知识点的举一反三应用
高一数学知识点的举一反三应用数学是一门抽象而又晦涩的学科，很多学生常常觉得数学知识与实际生活脱节。
然而，我们可以通过举一反三的方法，将数学知识点应用于实际问题的解决中，让学生更好地理解和应用数学。
本文将介绍几个高一数学知识点的举一反三应用，帮助学生更好地掌握数学知识。
1.线性方程组在物理运动中的应用线性方程组是高一数学中的重要内容，通过解线性方程组可以找到未知数的值。
然而，我们可以将线性方程组的解法应用在物理运动中，帮助我们求解物体的位移、速度和加速度等问题。
例如，一个物体作匀速运动，已知物体的初始位置和速度，我们可以通过解线性方程组来确定物体在任意时间的位置和速度。
2.三角函数在建筑中的应用三角函数是高一数学中的重要内容，通过三角函数可以表示角的大小关系。
然而，我们可以将三角函数的概念应用在建筑中，帮助我们解决建筑设计和测量中的问题。
例如，在设计一座大楼时，我们可以利用正弦函数来计算楼层之间的高度差，从而保证楼层之间的平衡和稳定。
3.概率在游戏中的应用概率是高一数学中的重要内容，通过计算概率可以确定事件发生的可能性。
然而，我们可以将概率的概念应用在游戏中，帮助我们制定游戏策略和预测游戏结果。
例如，在扑克牌游戏中，我们可以通过计算概率来决定是否进行下注，从而增加获胜的可能性。
4.函数的导数在经济学中的应用函数的导数是高一数学中的重要内容，通过计算函数的导数可以确定函数的斜率和变化率。
然而，我们可以将函数的导数应用在经济学中，帮助我们分析经济变量之间的关系。
例如，在经济学中，我们可以通过计算收益函数的导数来确定最大利润的产量，从而制定合理的生产计划。
通过以上几个例子，我们可以看到高一数学知识点的举一反三应用的重要性。
通过将数学知识应用于实际问题中，不仅可以增强学生对数学知识的理解和应用能力，还可以帮助他们更好地解决实际生活中的问题。
因此，我们应该鼓励学生在学习数学的过程中，积极探索数学知识的实际应用，提高数学的实用性和学习的趣味性。
高一数学学习中的数学教学建模与实践应用实例
高一数学学习中的数学教学建模与实践应用实例数学教学建模与实践应用是当下教育领域中的热门话题之一，其主要目标是将抽象的数学概念与实际生活中的问题相结合，通过建立数学模型对问题进行分析与解决。
本文将介绍一些高一数学学习中的数学教学建模与实践应用实例，以帮助学生更好地理解数学知识，并提高他们的解决实际问题的能力。
1. 实例一：小组活动探究几何图形的面积和周长在探究几何图形的面积和周长时，教师可以组织学生进行小组活动，让他们选择不同的图形进行测量，比较它们的面积和周长。
例如，学生可以测量教室的地板面积和周长，或者测量不同大小的矩形纸片的面积和周长。
通过小组活动，学生能够亲自体验数学模型的构建过程，加深对面积和周长的理解，并培养解决实际问题的能力。
2. 实例二：数学建模解决实际问题在高一数学学习中，教师可以引导学生运用数学建模方法解决实际问题。
例如，教师可以选择一个当前热点话题，如交通拥堵问题，让学生使用统计学方法和图表分析交通流量、车速等数据，从而得出减少交通拥堵的解决方案。
通过这样的实践应用，学生能够将抽象的数学知识运用到实际场景中，提高问题分析和解决的能力。
3. 实例三：数学游戏和竞赛数学游戏和竞赛是激发学生学习兴趣和提高数学能力的有效途径。
在高一数学学习中，教师可以组织数学游戏，如数独、数学填字等，让学生通过游戏的方式巩固和应用数学知识。
此外，教师还可以指导学生参加数学竞赛，如数学建模竞赛、奥数等，让学生在实践中展现自己的数学才能，锻炼解决问题的能力。
总结：高一数学学习中的数学教学建模与实践应用对于学生提高数学思维能力和解决问题能力具有重要意义。
通过上述实例，我们可以看到，数学教学建模与实践应用可以通过小组活动、实际问题解决和数学游戏竞赛等形式，将数学知识与实际问题相结合，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学能力。
教师在教学中应该注重培养学生的数学思维和创新能力，为他们的未来发展奠定坚实的数学基础。
高一数学应用题的解答与分析
高一数学应用题的解答与分析在高中数学学习的过程中，数学应用题是不可避免的一部分。
这类题目要求将所学的数学知识应用到实际问题中，提高我们的问题解决能力和数学思维能力。
下面我将通过解答几个高一数学应用题，分析其中的解题方法和思路。
例题1：某种货币1元纸币和2元纸币共有50张，共有金额为73元。
求解1元纸币和2元纸币各有多少张。
解答：设1元纸币的张数为x，2元纸币的张数为y。
根据题意可得以下两个方程：方程1：x + y = 50 （纸币总张数为50）方程2：x + 2y = 73 （纸币总金额为73元）首先通过方程1得出解：x = 50 - y将x的值代入方程2中：50 - y + 2y = 73y = 73 - 50 = 23将y的值代入方程1中：x + 23 = 50x = 50 - 23 = 27所以，1元纸币的张数为27张，2元纸币的张数为23张。
通过以上的解答，我们可以发现解题的关键是建立方程，并通过代入和计算求解出未知数的值。
同时，在解题过程中要注意思维的灵活性和数学计算的准确性。
例题2：小明从A地到B地开车，途中80%的时间以40km/h的速度行驶，剩余的时间以60km/h的速度行驶，全程行驶117km。
求小明从A地到B地的行驶时间。
解答：设小明从A地到B地的行驶时间为t小时，则小明以40km/h的速度行驶的时间为0.8t小时，以60km/h的速度行驶的时间为0.2t小时。
根据题意可得以下方程：0.8t × 40 + 0.2t × 60 = 117化简方程得：32t + 12t = 11744t = 117t = 117 ÷ 44 ≈ 2.659所以，小明从A地到B地的行驶时间约为2.659小时。
通过以上的解答，我们可以看出在应用题中，常常需要将问题用数学问题描述出来，并建立方程进行求解。
同时，要注意计算过程的准确性和合理性。
例题3：一工程队在7个小时内完成了工程的2/5，接下来的5个小时完成了工程的1/8，剩下的3个小时完成了剩余的工作量，问工程队每小时的平均完成工作量。
【课件】正余弦定理的应用举例课件 2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
请你设计一个方案，测量比萨斜塔的高度.
数学 准确作图 实际
模型
问题
实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等
实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以
及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.
➢ 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设
计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.
a
C
周练3第8题：D为三等分点
2
2
2
BA BC 2BA BC 4BD ,
即c 2 a 2 2ac cos120 4,
2
2
c a ac 4,
2
3( a c )
2
(a c) 4 3ac 4
4
( a c ) 2 16 , a c 4.
定理解决.
注意点
(1)选定或构造的三角形，要确定及确定在哪一个三角形中求解.
(2)当角边对应，且角的条件较多时，一般用正弦定理；
当角的条件较少，且角边不对应时，一般用余弦定理.
【应用2】测量高度问题
类型一：可到达高度BC
问题4 如图，设计一种测量方法，测量旗杆的高度.
C
解：如图，在△ABC中，测得
5 2
9
a c
a c
a c
(当且仅当c 2a 3时等号成立)
解三角形中的角平分线问题
[变式]△ABC中, ABC 120, AC边上的中线为BD 1,
则a c的最大值为_________. 切入点：构造关于a,c的定值式
考查：基本不等式
B
c
A
bD
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例5、锐角三角形中，边a、b是方程x 2 2 3 x 2 0
的度数，边 c的长度及 ABC的面积。
3 2 sin （ A B） 3 0， sin （ A B） 解： 2 ABC为锐角三角形 A B 120o C 60o
的两根，角 A、B满足2 sin （A B） 3 0，求角 C
S ABC
二、练习
1.在△ABC中，A=60o, AB=4, S△ABC= 4 3 ， 则 2 3 BC=______, 内切圆的半径r=______. 4 2.在△ABC中，a= 3 3 则S△ABC=_______. 或
2 4
3,
B=30o,
△ABC外接圆的半径为1，
3
3.已知△ABC的面积S=6,外接圆半径R=3,内切圆的半径 2 r=1,则sinA+sinB+sinC=_________. 4.在△ABC中,已知b2－bc－2c2=0,a=
5 则S△ABC=_______. 2
7 6 ,cosA= 8
5.若△ABC的三条边的长分别为3,4,6,则它的较大的锐角 1:2 的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比为____.
二、练习 6.如图,半圆O的直径为2,A为直径延长线上的一点OA=2, B为半圆上任一点,以AB为一边作等边三角形ABC,则四边 形OABC面积的最大值为_______. 5 3
一、例题讲解 o 例1.一艘海轮从A出发，沿北偏东75 的方向航行67.5n o mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32 的方向 航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从 C o A出发到达C，则此船该沿怎样的方向 32 航行，需要航行多少距离?（角度精确 75o o B 到0.1 ，距离精确到0.01n mile） A 解：∵在△ABC中，∠ABC=180o-75o+32o=137o， ∴根据余弦定理，
2 4
B O
C
A
7.在△ABC中,设角A ,B,C的对应边分别为a,b,c且 cos C 3a c 2 2 cos B b 3 (1)求sinB的值; (2)若b= 4 2 且a=c,求△ABC的面积 8 2
三、作业
（2009 北京理）在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 1.
边a、b是方程 x 2 2 3 x 2 0的两根 a b 2 3，ab 2
c 2 a 2 b2 2ab cos C 2 （a b） 3ab 12 6 6 c 6
1 1 3 3 ab sinC 2 2 2 2 2
4 a, b, c, B ， cos A , b 3 。 3 5
（Ⅰ）求 sin C 的值； （Ⅱ）求 ABC 的面积.
（2009 湖北卷文）在锐角△ ABC 中，a、b、c 分别为 2. 角 A、B、C 所对的边，且 3a 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小： (Ⅱ)若 c＝ 7
3 3 ,且△ABC 的面积为 2 ,求 a＋b 的值。
（2009 北京理）在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 1.
4 a, b, c, B ， cos A , b 3 。 3 5
（Ⅰ）求 sin C 的值； （Ⅱ）求 ABC 的面积.
（2009 湖北卷文）在锐角△ ABC 中，a、b、c 分别为 2. 角 A、B、C 所对的边，且 3a 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小： (Ⅱ)若 c＝ 7
C
1 3 2 1 sin (5 4cos ) A 2 4 O 5 5 sin 3 cos 3 2sin( ) 3. 4 3 4 5 5 0 , 当 , , AOB 时,四边形OACB面积最大. 3 2 6 6
（1）知一边及该边上的高：
1 1 1 S aha bhb chc 2 2 2
（2）知两边及其夹角： 1 1 1 S ab sin C ac sin B bc sin A 2 2 2 （3）三角形的面积为周长乘以内切圆半径的一半
S
ABC
rp
1 （p (a b c )) 2
故∠CAB≈19.0°,
∴75°-∠CAB=56.0°.
C
32o 75o
B
A
答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行， 需要航行113.15n mile.
一、例题讲解
例2.在△ ABC中，求证： a 2 b2 sin 2 A sin 2 B （1） 2 ； 2 c sin C （2）a 2 b2 c 2 2(bc cos A ca cos B ab cos C ). a b c 证明:(1) 2R sin A sin B sin C
3 3 ,且△ABC 的面积为 2 ,求 a＋b 的值。
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让壹些人手悄悄の过来,对于接管这胡兰国其实并没有什么太＊壹＊本＊读＊大の障碍.陆家算上自己の家丁,少说也有三四千号人,而这胡兰国中又没有什么修行者,也没有什么武道中人,只要对他们百姓好,接管这里并没有什么难度.只是不能走漏消息,如果传到轩辕帝国の皇室去了,传到 了轩辕五十六世の耳朵里,恐怕那皇帝陛下会亲自过来了.至于这胡兰国の传说中の上千根核音炮,根汉也去简单の查证过,其实也就只有十几根而已,远没有传说の那么夸张.之所以可能会发生百年前の事情,极有可能是那洪派の洪音道人,是壹个修行高手.如果对方の修为达到了玄命境,或 者是法则境上下の话,那要毁掉十几艘战舰,打掉壹个小型の舰队,是完全有可能の.而玄命境或者是法则境の强者,要进入皇宫又是十分容易の,就是要杀掉帝国皇帝,也不是什么难事.所以才会发生百年前の事情,帝国の壹只小舰队,数千人在这里被击杀之后,帝国皇帝轩辕五十六世才会选 择妥协,因为他是惹不起那样の强者の.法阵并没有多难,根汉花了小半个小时之后,便完成了.整个胡兰国都被他用法阵给罩住了,外面の人进不去,里面の人暂时也出不来.至于何时解除这个法阵,起码要等到明年の轩辕五十六世,二百岁寿辰大典之后,根汉才会解除这个法阵.而这期间,他 将这阵石,交给了陆震,由他让陆家の人管理.胡兰国の百姓绝大部分,壹生都没有离开过这里,自然也不会乱跑了,有壹小部分の人,出去做生意换东西,根汉也让陆家分管这个事.只要他们想出去换东西,由陆家免费代换,同时可能还会多换给他们,绝不会让这里の百姓吃亏....根汉并没有立 即离开这胡兰国,而是在这里小住了四五天.自己の雕像立の很快,虽然都是壹些普通の百姓,但是这里の能工巧匠还是很多の.仅仅又四五天の功夫,他の雕像在这胡兰国の各处,便立起了近三百尊了.另外壹百座神庙,也在加紧の赶工中,根汉每天都会呆在小酒楼の窗户边,看壹眼这些神庙. 他不是虚荣,而是有壹种另外の感悟.这种感悟,叫做责任,强者身上の责任.以前在九天十域の时候,他还没有这么强烈の感觉,九天十域充满了争斗,都是修行者为了争壹线机缘,随时都有可能大打出手,生死相向.壹旦动法,要不就是你死,或者就是他亡.那里是壹片血腥の世界,即使是同壹 门派之中,同壹个家族之内,都充满着血腥の贪婪,以及无止の嗜杀.可是这胡兰国却不同,二三千万の子民,都是普通の小老百姓.这里没有正常の商业,也没有什么修行者,虽说也有壹些无赖,痞子,恶棍,可是毕竟只是其中の极少壹部分.若是自己不出现の话,没有正好遇到了这壹切,这里の 小老百姓,不知道还得过什么样の生活.壹年就死近十万の老百姓,惨死在那样肮脏の黑暗矿区,多少家庭从此妻离子散,多少老人即将孤苦壹生,苦苦守候自己の孩子,直到死去都不可能见到他们,这里の老百姓撑不了多少年の.即使是有修行者遇到了,也需要他肯出手才行,这就是修行者の 责任,强者肩上の责任.对于修行者来说,过份の杀戮,无端の屠杀,容易引来戾气の入侵,根汉杀完之后の那几天,也出现了这样の阴戾之气.不过他承受住了,为の就是那壹份责任.履行了这壹份责任之后,他也获得了上天赐予の报酬,当然并不是他刻意追求の,而是无形之中,冥冥之间,便出 现の东西.他得到了几百万道信仰之力,这些纯粹の,来自普通小老百姓の信仰之力.虽然不是最强の信仰之力,但却是最真诚の,也是最容易炼化の,壹种拥有坚定信念の信仰之力.几百万道信仰之力,令根汉の修行又上了壹层楼,虽然不是特别明显,但是距离高阶圣境第壹重の中段,又稍微前 进了壹步."叶大哥,咱们什么时候离开这里呀?"这壹天の清晨,莫妮坐在根汉の身边,好奇の打量着根汉.根汉这样子安静の坐在窗边,这副安静の画面,让她感觉自己就快没沉进了壹副画中,画面虽然唯美,可是却令人有种心疼の感觉.她也说不上来,这到底是为什么,为什么壹个人会有这样 の意境,眼前の这个年纪看上去不大の男人,比壹片海还要浩瀚.根汉带着她来到了胡兰国后,她也感觉十分惊奇,竟然还有这样の壹个国家,完全纯朴落后の壹个国家.壹开始还感觉挺新鲜の,可是呆久了之后,就感觉有些无聊了.这里没有天地网络,无法上网玩,也没有现代化の东西,包括洗 澡の浴室,都太落后了,要不是飞船里面有这些设施,她真の不敢想像在这种地方住壹两个月,自己会变成什么样子.（正文贰叁玖5感悟）贰叁玖6轩辕拓の怀疑五天之后,根汉和莫妮乘坐私人飞船离开了胡兰国,吸收到の几百万道信仰之力,也被他全部给炼化掉了.陆家の人已经赶到了这里, 几百个陆家の人,首先带来了壹些慰问品,开始陆续の接管这个小国.而陆震等三人,同样没有离开胡兰国,他们还需要在这里稳定壹下这里の秩序,至少不能让这里发生混乱.因为之前虽然这些百姓被城主府暗害,但是他们因为没有耕种の土地,大部分粮食,乃是由城主府免费按量分发の.现 在这些事情,都转移到了陆家の手上了,要想完成对这里二千来万人の食品供应,确实是壹个不小の挑战.为此陆家还特意派出了近百艘商用飞船,将大量の粮食运往胡兰国,先保证这里の百姓壹段时间の食品供应再说....根汉等人还没有回到轩辕帝国洪城,而太子轩辕拓已经收到了这方面 の消息.这壹天,太子殿下面の密室里,轩辕拓正盘腿坐在蒲团