江苏省淮安市清江中学2016届高三(上)10月月考数学试卷(解析版)

2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B=．2．命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定是“”．3．函数f（x）=sin2x的最小正周期为．4．若幂函数f（x）=x a（a∈Q）的图象过点（2，），则a=．5．若等比数列{a n}满足a2=3，a4=9，则a6=．6．若，均为单位向量，且，则，的夹角大小为．7．若函数f（x）=是奇函数，则m=．8．已知点P是函数f（x）=cosx（0≤x≤）图象上一点，则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率的最小值为．9．已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2+2）＜f（3x），则实数x的取值范围是．10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=4，b=3，A=2B，则sinB=．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a=．12．已知正实数x，y，z满足，则的最小值为．13．已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有=，则=．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．17．合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域ABCD，AB=100米，BC=50米，为了便于同学们平时休闲散步，学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到学校整体规划，要求O是AB 的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且OE⊥OF，如图所示．（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长L表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为800元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．18．啊啊如图，椭圆的中心为原点O，已知右准线l的方程为x=4，右焦点F到它的距离为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，求使OC长最小时圆C的方程．19．已知数列{a n}中，a1=1，且点P（a n，a n+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若函数，求函数f（n）的最小值；（3）设表示数列{b n}的前项和．试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+S n=（S n﹣1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；﹣1若不存在，试说明理由．20．已知函数f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（3）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B={﹣1，0，1}．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】A∪B={x|x∈A或x∈B}．【解答】解：A∪B={﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．2．命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定是“∀x∈R，x2+x≤0”．【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定“∀x∈R，x2+x≤0”．故答案为：∀x∈R，x2+x≤0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．3．函数f（x）=sin2x的最小正周期为π．【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】利用二倍角余弦公式，将f（x）化为f（x）=﹣cos2x+，最小正周期易求．【解答】解：f（x）=sin2x=（1﹣cos2x）=﹣cos2x+最小正周期T==π故答案为：π【点评】本题考查二倍角余弦公式的变形使用，三角函数的性质，是道简单题．4．若幂函数f（x）=x a（a∈Q）的图象过点（2，），则a=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于幂函数f（x）=x a（a∈Q）的图象过点（2，），可得，解出即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=x a（a∈Q）的图象过点（2，），∴，∴=2a，∴a=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了幂函数的性质、指数的运算性质，属于基础题．5．若等比数列{a n}满足a2=3，a4=9，则a6=27．【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的性质：若p+q=m+n则有a p•a q=a m•a n，列出等式求出a6的值．【解答】解：∵等比数列{a n}中∴a2•a6=a42，即：3×a6=81⇒a6=27．故答案为：27．【点评】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，有时利用上它们的性质解决起来比较简单．常用的性质由：等比数列中，若p+q=m+n则有a p•a q=a m•a n，等差数列中有若p+q=m+n则有a p+a q=a m+a n．6．若，均为单位向量，且，则，的夹角大小为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】设，的夹角为θ．由，可得•=0，利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：设，的夹角为θ．∵，∴•=﹣2=0，∴1﹣2cosθ=0，∴cosθ=，解得θ=，故答案为：θ=．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系及其数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．若函数f（x）=是奇函数，则m=2．【考点】有理数指数幂的运算性质；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用奇函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=是奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=+=0，化为（m﹣2）（2x﹣1）=0，∵上式恒成立，∴m﹣2=0，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查了奇函数的性质，属于基础题．8．已知点P是函数f（x）=cosx（0≤x≤）图象上一点，则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率的最小值为﹣．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用；三角函数的求值．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，再由正弦函数的单调性，即可求得范围．【解答】解：函数f（x）=cosx的导数f′（x）=﹣sinx，设P（m，cosm），则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率为f′（m）=﹣sinm，由于0≤m≤，则0≤sinm≤，则﹣≤﹣sinm≤0，则在点P处的切线斜率的最小值为﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查导数的几何意义，考查运用三角函数的性质求切线的斜率的范围，考查运算能力，属于中档题．9．已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2+2）＜f（3x），则实数x的取值范围是（1，2）．．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】求导确定函数在定义域上是单调的，再将不等式转化为关于x的一元二次不等式，解之得实数x 的取值范围．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）∵f′（x）=+2x ln2＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（x2+2）＜f（3x），∴x2+2＜3x，∴1＜x＜2，∴实数X的取值范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】此题是知函数值的大小来求自变量的取值范围，就需知函数的单调性，用导数来判断．10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=4，b=3，A=2B，则sinB=．【考点】正弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】由正弦定理可得，且sinA=sin2B=2sinBcosB，故可求sinB．【解答】解：A=2B⇒sinA=sin2B=2sinBcosB由正弦定理知⇒cosB=sinB==故答案为：．【点评】本题主要考察了正弦定理的应用，属于基础题．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a=﹣2．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，根据直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，可得直线l：y=x+a过圆心，即可求出a的值．【解答】解：∵圆（x﹣2）2+y2=1，∴圆心为：（2，0），半径为：1∵直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，∴直线l：y=x+a过圆心，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中档题．12．已知正实数x，y，z满足，则的最小值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先把已知中的式子展开，出现，代入的展开式中，再用基本不等式就可求出最小值．【解答】解：∵x，y，z满足，∴2x2++=yz，又∵=x2+++∴=+∵x，y，z为正实数，∴+≥2=即≥，当且仅当=时等号成立∴的最小值为．故答案为【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，做题时注意变形．13．已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有=，则=9．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，利用=，求出q=9，q′=3，可得=3，即可求得结论．【解答】解：设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，∵=，∴n=1时，a1=b1．n=2时，．n=3时，．∴2q﹣5q′=3，7q′2+7q′﹣q2﹣q+6=0，解得：q=9，q′=3，∴．故答案为：9．【点评】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，求出公比是关键，属中档题．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，由=2，可得点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．可得，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．【解答】解：如图所示，∵=2，∴点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．∴，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．f′（t）=﹣1，当2≤t≤4时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．当0≤t＜2时，f′（t）=0，解得，则当时，函数f（t）单调递增；当时，函数f（t）单调递减．而极大值即最大值=﹣3，又f（0）=﹣1，f（4）=﹣5．∴点P横坐标的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、向量的共线、分类讨论思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数线．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）a=时，利用两角和的正弦值化简f（x），求出x取何值时f（x）有最大值；（2）由f（）=0求出a的值，再由f（x）=，求出cosx、sinx的值，从而求出tanx的值．【解答】解：（1）a=时，f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），…当sin（x+）=1，即x+=+2kπ（k∈Z），∴x=+2kπ（k∈Z）时，f（x）有最大值2；…（2）∵f（）=sin+acos=+a=0，∴a=﹣1；…∴f（x）=sinx﹣cosx=，∴，∴，即（cosx+）cosx=；整理得，25cos2x+5cosx﹣12=0，解得，cosx=，或cosx=﹣；当cosx=时，sinx=，当cosx=﹣时，sinx=﹣；又∵x∈（0，π）∴取；∴tanx=．…【点评】本题考查了三角恒等变换的应用问题以及三角函数求值的问题，也考查了一定的计算能力，是较基础题．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）由线面垂直的性质和判定定理，以及通过面面垂直的判定定理，即可得证．【解答】（1）证明：∵PE=EC，PD=DB，∴DE∥BC，∵DE⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，∴BC∥平面ADE；（2）证明：∵PA⊥平面PAC，BC⊂平面PAC，∴PA⊥CB，∵AB⊥CB，AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∵DE∥BC∴DE⊥平面PAB，又∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面PAB．【点评】本题考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理，注意定理的条件的全面，属于基础题．17．合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域ABCD，AB=100米，BC=50米，为了便于同学们平时休闲散步，学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到学校整体规划，要求O是AB 的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且OE⊥OF，如图所示．（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长L表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为800元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）在直角三角形中写出三边长的公式，从而得到周长公式，根据题意写出定义域即可；（2）利用换元法，设，从而得到，从而求最小值．【解答】解：（1）在Rt△BOE中，，在Rt△AOF中，在Rt△OEF中，，当点F在点D时，角α最小，，当点E在点C时，角α最大，，则，定义域为．（2）设，则，．则当时，，总费用最低为元．【点评】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及最值的求法，属于中档题．18．如图，椭圆的中心为原点O，已知右准线l的方程为x=4，右焦点F到它的距离为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，求使OC长最小时圆C的方程．【考点】圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质．【专题】综合题．【分析】（1）假设椭圆的标准方程，利用右准线l的方程为x=4，右焦点F到它的距离为2，即可确定几何量，从而可求椭圆的标准方程；（2）计算圆的标准方程，利用圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，可确定圆心坐标之间的关系，进而可求使OC长最小时圆C的方程．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）．由题意可得，…解得a=2，c=2．…从而b2=a2﹣c2=4．所以椭圆的标准方程为．…（2）设圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=r2，r＞0．由圆C经过点F（2，0），得（2﹣m）2+n2=r2，①…由圆C被l截得的弦长为4，得|4﹣m|2+（）2=r2，②…联立①②，消去r得：n2=16﹣4m．…所以|OC|===．…∵n2≥0，∴m≤4，∴当m=2时，|OC|有最小值2．…此时n=±2，r=2，故所求圆C的方程为（x﹣2）2+（y±2）2=8．…【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查圆的标准方程，考查圆中弦长问题，解题的关键是利用待定系数法，充分利用椭圆、圆的性质．19．已知数列{a n}中，a1=1，且点P（a n，a n+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若函数，求函数f（n）的最小值；（3）设表示数列{b n }的前项和．试问：是否存在关于n 的整式g （n ），使得S 1+S 2+S 3+…+S n ﹣1=（S n ﹣1）•g （n ）对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出g （n ）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．【考点】等差数列的通项公式；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）把点P 代入直线方程，可得a n+1﹣a n =1进而判断数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列数列{a n }的通项公式可得．（2）分别表示出f （n ）和f （n+1），通过f （n+1）﹣f （n ）＞0判断f （n ）单调递增，故f （n ）的最小值是（3）把（1）中的a n 代入求得b n ，进而求得最后（n ﹣1）S n ﹣1﹣（n ﹣2）S n ﹣2=nS n ﹣n=n （S n ﹣1），判断存在关于n 的整式g （x ）=n ．【解答】解：（1）由点P （a n ，a n+1）在直线x ﹣y+1=0上，即a n+1﹣a n =1，且a 1=1，数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列a n =1+（n ﹣1）•1=n （n ≥2），a 1=1同样满足，所以a n =n（2）所以f （n ）是单调递增，故f （n ）的最小值是（3），可得，∴nS n ﹣（n ﹣1）S n ﹣1=S n ﹣1+1，∴（n ﹣1）S n ﹣1﹣（n ﹣2）S n ﹣2=S n ﹣2+1…2S 2﹣S 1=S 1+1∴nS n ﹣S 1=S 1+S 2+S 3+…+S n ﹣1+n ﹣1∴S 1+S 2+S 3+…+S n ﹣1=nS n ﹣n=n （S n ﹣1），n ≥2∴g（n）=n故存在关于n的整式g（x）=n，使得对于一切不小于2的自然数n恒成立．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式．即数列与不等式相结合的问题考查，考查了学生综合思维能力．20．已知函数f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（3）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先求出其导函数，求出切线斜率，即可求曲线f（x）在x=2处的切线方程；（2）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（3）先把f（x0）＜g（x0）成立转化为h（x0）＜0，即函数h（x）=x+在[1，e]上的最小值小于零；再结合（Ⅱ）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣，，f（2）=2﹣ln2，所以函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程是，即x﹣2y+2﹣2ln2=0；（2）h（x）=x+﹣alnx，h′（x）=1﹣﹣=，①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增；②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h'（x）＞0，所以，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数h（x）=x+﹣alnx在[1，e]上的最小值小于零．由（2）可知①即1+a≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，所以h（x）的最小值为h（e），由h（e）=e+﹣a＜0可得a＞，因为＞e﹣1，所以a＞；②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a），因为0＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+a）＜a故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2此时，h（1+a）＜0不成立．综上讨论可得所求a的范围是：a＞或a＜﹣2．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数存在性问题，考查构造函数思想及分析运算能力，属于难题．。