21.3《二次根式加减法》第二课时
二次根式的加减第2课时教案
二次备课
例 1、计算： （1） （
5 +2 3 ）× 15 ； 12
（2） （3+ 10 ） （ 2- 5） ；
例 2、计算： （1） （ 3+ 2） （ 3- 2） ；
2 （ 2） （3 2 5）
【课堂练习】 1、计算： （1） （ 3 +2 2 ）× 6 ； （2） 5 ×（ 10 - 5 ） ； （3） （ 6 - 3 +1） ×2 3
2、计算： （1） （ 3 -2 2 ） （2 3 - 2 ） ； （2） （
2 - 3） （ 3 2
+ 2） ； （三）小结归纳：二次根式在进行运算时要注意： 1、二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一 样的，含相同二次根式的项要合并 2、运算律同样适用于二次根式的运算 3、计算结果要最简
2
5 +2 3 ）× 15 ； 12
教 学 反 思
学 科 课 题 教 学 目 标 教 学 重 点 教 学 难 点 教 学 方 法 教 学 准 备 二次根式的加减 第 2 课时
1、掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的 运算中仍然适用 2、正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算
熟练进行二次根式的混合运算。
2 （4） （a≥0，b （ a b）
≥0） ；
3、计算： （1） （2 3 -5 2 ） （ 3 -2 2 ） ； （2） （
3 - 2） 3
（
1 2 ）+ （ ）； 2 2
（ 4 ）（
5 1 ） 2
（
5 1 ） ； 2
（六）布置作业：课本习题： 课后延伸： 1.计算： （1） （ 作 业 设 计
21.3-二次根式的加减第2课时
21.3 二次根式的加减第2课时
【学习目标】
1、会将含有二次根式的式子进行乘除运算，含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
【学习过程】
一、预习形成
1．计算
（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy ？
2．计算
（1）（2x+3y）（2x－3y）（2）（2x+1）2+（2x－1）2
二、课堂讲练
议一议：如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•
例1．计算:
（1）（2）（÷^
例2．计算
（1））（3（2）
三、巩固练习课本P20练习1、2．
*四、应用拓展
例3．已知x b
a
-
=2－
x a
b
-
，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简
[
五、课堂小结：
六、布置作业
1．－ ）．
A ．203
B ．23
C ．23
D ．203
2 ）．
）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．1
3．（－122的计算结果（用最简根式表示）是________．
4．（1－（1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
5．若1，则x 2+2x+1=________．
6．已知b=3－a 2b －ab 2=_________．
7.（选做）。
21.3 二次根式的加减(课件)华东师大版数学九年级上册
第一课时 二次根式的加减
返回目录
归纳总结
考
点
判断几个二次根式是否可以合并，只与化为最简二次根
清
单 式之后的被开方数和根指数有关，而与根号外的因式无关.
解
读
第一课时 二次根式的加减
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例2
（1）
计算：
+
；
（2） - + ；
（3） +
被开方数相同的最简二次根式时，常采用作差法比较大小
）
第一课时 二次根式的加减
返回目录
方
例 比较大小：7- ______3- （选填“＞”“=”
法
技 或“＜”）.
巧
点
［解析］∵（7- ）-（3- ）=7-2 -3+ =4拨
＞0，∴7- ＞3- .
［答案］ >
第二课时 二次根式的混合运算
的方法
几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开
方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式
第一课时 二次根式的加减
返回目录
考
点
清 合并同 将同类二次根式的系数相加作为结果的系数，
单
解 类二次 被开方数和根指数不变
读 根式 如m +n =（m+n） ，
的法则 m -n =（m-n）
第一课时 二次根式的加减
易
错
易
混
分
析
返回目录
［答案］ D
［易错］ B 或 C
［错因］ 忽略 和 不能合并，直接把根号下
的数按有理数相加减.
21.3二次根式的加减(第2课时)
教
学
目
标
知识技能
利用二次根式加减法解决一些实际问题.
数学思考
培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力.
解决问题
获得把实际问题转化为数学问题的体验.
情感态度
通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，以及自我意识.
重点
将实际问题抽象为数学问题是本节课的重点.
难点
被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．
答:要焊接一个如图所示的钢架约需要13.7m的钢材.
学生复习二次根式加减法的一般步骤.
学生独自审清题意.
教师与学生一起分析题意,得出解题方法.
请学生自己审清题意,观察图中所给的已知条件,力争使学生能独自解决这一问题.
教师在讲解时尽可能将步骤写完整.
复习回顾二次根式加减法,引入本节课的内容.
训练学生的审题能力.
解:求圆环的宽度d实际上是求两圆的半径的差;因此
（cm）
答:圆环的宽度
d=( )（cm）.
活动四复习总结
1.数学来源于生活,应用于生活,因此我们应该热生活,热爱数学;
2.将实际问题转化为数学问题,只要审清题意弄明白,就一定可以做出来.
作业：
1.已知 ，求 的近似值.
2.如图21.3-3在平行四边形ABCD中，得DE⊥AB,E点在AB上，DE=AE=EB= ,求平行四边形ABCD的周长.
带领学生寻找将实际问题转化为数学问题的思路.
培养学生观察图形分析图形的能力.
让学生进一步体会数学来源于生活,应用于生活.
培养学生严谨的思维习惯.
问题与情境
师生行为
设计意图
活动三小试牛刀
21.3 二次根式的加减(2)
3 2 3 2 2
2 2 1 81 9
已知x 2 3，y 2 3 试求(x 1 )(y 1 )的值。
yx
不用计算器, 不求平方根的值， 比较 2 与 1数部分为 b. 52
3 2 3 2 2
3 2 3 2 2
2 2 1 81 9
1.若x 1 ,则 x2 2x 1 ( D )
2 1
A. 2
B. 2 2
C.2 2
D.2
2. 已知：x2 y2 19, xy 3,
求
x y
2x, 75 , 1 , 1 , 3x, 2 8ab3 ,6b a , 3 2
50 27
3
2b
彗眼识真: 下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴ 3 2 5 （不正确）
⑵ a b a b （不正确） ⑶ a b a b （不正确）
⑷ a a b a (a b) a （正确）
(x 3)2 3 (x 3)2
x2 2 3x 3 3 x2 2 3x 3
4 3x 3 x 3 4
已知a 3 2, b 3 2，
求a2 ab b2的值.
解二：a2 ab b2
a2 2ab b2 ab (a b)2 ab
1、化简或计算下列各题.
①1 23
② 2 1
2 1 ③ 11
2 3 2 1
2、计算或化简:
① 8 2( 2 2)
②
( 1 )1 (2 )0
2
2
1 2 1
③ 18 2 1 4 1 2 1 8
人教数学八下《二次根式的加减》二次根式PPT教学课件(第2课时)
2. 二次根式的乘除法法则是：
⋅ = ≥ 0, ≥ 0
=
≥ 0, > 0
3. 二次根式的加减法法则是：
先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
新课导入
4. 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么?
=16.
=-8 3
随堂检测
5. 已知a=3+2 5， b=3-2 5 ，求2 − 2 的值 .
解：2 − 2 = −
将a=3+2 5， b=3-2 5带入，得
− =(3+2 5)(3-2 5)(3+2 5- 3+2 5)
=[ 3
2−
=-44 5
2 5
对于(1)：先算乘，再化简，若有相同的二次根式进行合并，
最后的目标是二次根式是最简二次根式；
对于(2)：先算除，再化简，若有相同的二次根式进行合并，
把所有的二次根式化成最简二次根式．
例题分析
（3） ( 2 + 3)( 2 − 5).
解： ( 2 + 3)( 2 − 5)
=
2
2
− 5 2 + 3 2 − 15
= −13 − 2 2
此处类比“多项式×多项式”，即
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
变式练习
(1) 3( 2 − 3) − 27 +
6−3 ；
解：(1)原式= 6 − 3 − 3 3 + 3 − 6
=−3 3
21.3二次根式的加减(共5课时)
21.3二次根式的加减(共5课时)第一课时：二次根式的加减教学过程 一、课堂引入（1）现有一块长7.5dm 、宽5 dm 的木板，能否采用如教科书图21．3-1所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm 2和18 dm 2的正方形木板？（2（3）下列计算是否正确？为什么？采用分组讨论，自主探究的方式来解决问题，提高学生自主学习的能力．==；=④=例1 计算 ； 练习13（1（2（例2 计算练习2四、小结本节课你学到了什么知识？你有什么认识？ 五、课后作业：教科书第16页第1、2题． 学22+例计算：223-练习计算：（1（（）第二课时：利用二次根式化简的数学思想解应用题．二、探索新知例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）ACQ P例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．三、巩固练习教材P17 3四、应用拓展例3．若最简根式3a是同类二次根式，求a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．作业设计一、选择题一、1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（•结果用最简二次根式）A．．．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．． D．二、填空题二、1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）三、综合提高题1．若最简二次根式2n是同类二次根式，求m、n 的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（2，5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=2-2·1·+12反之，（-1）2∴=）2求：（1（2（3（4，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．第三课时：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2二、探索新知例1．计算:（1）+（2）（）÷例2．计算（1））（（2）））三、巩固练习课本P练习1、217四、归纳小结：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．21.3 二次根式的加减(第四课时能力提高)一、知识梳理，基础练习1．的值是（ ）．A ．203．323C ．23．2032 ）．A ．2B ．3C ．4D ．1 二、填空题1．（-122）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（1+2-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知a 2b-ab 2=_________．三、能力提高例1．已知x b a -=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，练习12．当的值．（结果用最简二次根式表示）四课外延伸1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．A． B．与．与 D与2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如为有理化因式．________；的有理化因式是_________．的有理化因式是_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（2；（3（4（14．其它材料：如果n==________．。
二次根式的加减教案第二课时
二次根式的加减教案第二课时
教学目标：
- 理解二次根式的加减法则;
- 掌握二次根式的加减运算;
- 培养学生的运算能力和抽象思维能力。
教学准备：
- 课件;
- 二次根式的概念和加减法则;
- 例子。
教学过程:
Step 1:引入
- 同学们，前几天我们学习了二次根式的概念和运算，今天我们一起来探讨二次根式的加减运算。
Step 2:复习
- 请同学们复习一次根式的加减运算，老师会从中选取几个有代表性的问题请同学们回答。
Step 3:教学新内容
- 二次根式的加减法则：
- 先去括号，然后通分，最后按照乘法分配律进行运算。
- 举例说明：
(3x+2) + (4x-1) = 7x + 3
(3x-2) - (4x+1) = 7x - 3
Step 4:练习
- 请同学们针对老师给出的二次根式问题进行运算，并且指出他们遇到的问题，老师进行解答。
Step 5:总结
- 同学们，今天我们学习了二次根式的加减运算，我们通过例子深刻体会到了二次根式的加减法则，希望你们能够熟练掌握，并且能够应用到实际问题中。
教学反思：
- 二次根式的加减运算比较抽象，需要同学们通过实际操作和举例才能够理解，老师可以通过课件和例子来帮助同学们加深对二次根式的理解。
- 在教学过程中，需要注意引导学生进行操作和思考，并且及时给予指导和帮助，保证同学们都能够理解和掌握二次根式的加减运算。
九年级数学上册 21.2 二次根式的加减(第2课时)教案 新人教版
有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）.
知,师生订正
（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运 指 导 学 生 交
算律、运算法则仍然适用，整式、分式的运算法 流，教师总结
则仍然适用。
（3）有括号的二次根式混合运算，去掉括号是最 关键的一步. 练习：○1 课本例 4，之后补充 （3）
○2 课本例 5，之后补充 分析说明：○1 中补充（3）是不能除尽（含分数线）
21.2 二次根式的加减（第 2 课时）
教学时
课
间
题
课 新授
型
教学媒 体
多媒体
知 在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使法，并能熟练
技
教 能
地进行二次根式的混合运算．
过 学
程
方 目
法
情 标
感
态
培养学生的类比运用意识
度
教学重 点
二、探究新知
察对比，类比 式数通性.
(一)二次根式混合运算法则
整 式 混 合 运 为总结二次根
活动 1、类比计算，说明理由
○1 (2+3b) ；
()
○2 (2+3b)( -b)； ○3 (3b-42 )÷ ；
算 知 识 尝 试 式的混合运算
计算
法则做铺垫
教 师 组 织 学 更好地理解和
生小组交流， 运用法则
混合运算的法则，运算律的合理使用．
教学难 点
灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便．
教学过程设计
教学程序及教学内容 一、复习引入
师生行为 设 计 意 图
导语设计：到目前为止，我们已经学习了二次根 点题，板书课 让学生尝试经
式的乘除、加减运算，这节课来学习二次根式的 题.
二次根式的加减(第2课时)
解（：1）（ 8+ 3） 6 （2）（4 2 3 6 ） 2 2
8 6+ 3 6 4 2 2 2 3 6 2 2
4 3+3 2 .
2 3 3. 2
典例精讲
（3）( 2 3)( 2 5). 解（：3）( 2 3)( 2 5)
此处类比“多项式×多 项式”即 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
平方差公式：(a b)(a - b) a2 - b2
完全平方公式：(a b)2 a2 2ab b2
6
合作探究
计算下列各题，并注明每个步骤的依据：
(1)3 48 - 9 1 3 12 ; (2)( 48 20) - ( 12 5). 3
解：(1)3
48 -9
1 +3
12 =12
3-3
（ 2）2 5 2+3 2 15
13 2 2 .
归纳 二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再 确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号 内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
典例精讲
例2 计算：
(1) ( 2 3) ( 2 - 5) ； (2) ( 5 3) ( 5 - 3)
4 5 1
5 1.
5 1 5 1 5 1
4
归纳 分母形如m a n b 的式子，分子、分母同乘以 m a n b 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含
根号.
课堂小结
1.二次根式混合运算顺序与实数中的运算顺序一样， 先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括 号里的（或者先去括号）。
2.对于二次根式混合运算，实数中的运算律（分配 律、结合律、交换律）运算法则及所有的乘法公 式和分式的运算法则仍然适用。
二次根式的加减法(第二课时)_1
二次根式的加减法（第二课时）各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢（一）教学过程1．同类二次根式的定义．2．二次根式加减法的法则．3．加减运算中注意的问题．例1 判断：（1）；（）（2）；（）（3）；（）（4）；（）（5）．（）（要求学生找出错误的原因，能进行加减运算的，要加以改正．）例2 计算：（1）．解：．（2）．解：．（3）．解：．（4）．解：．小结：二次根式加减运算的步骤：（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号．（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简．（3）合并同类二次根式．例3 当，时，求代数式的值．解：．当时，时，原式．例 4 已知，求下列各式的近似值（精确到0。
01）：（1）；（2）．解：（1）．当时，原式．（2）．当时，原式．注意：求值时，一般应对代数式先化简，再代入数值．（二）随堂练习计算：（1）；（2）；（3）已知，，求式子的近似值（精确到0。
01）．（三）总结、扩展正确地进行二次根式的加减法运算，需解决好几个环节：去括号，化简二次根式，确定同类二次根式，合并的方法等．可通过例题加以说明．练习：教材P191中2（6）、（7），3；P194中7（四）布置作业教材P193中3（7）、（8）、（9）、（10）；教材P194中4（5）、（6），5．（五）板书设计各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
21.2二次根式的加减(第2课时)
维
目
标
1、知识与能力：含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
2、过程与方法：对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比较，注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．
3、情感态度与价值观：培养学生的类比运用意识
四、归纳反思
1.一种数学思想：类比（二次根式的混合运算可以类比整式的混合运算）；
2.进行二次根式的混合运算时，先算（），后算（），若有括号应先算（）。
五、达标测评
1．（ -3 +2 ）× 的值是（）．
A． -3 B．3 - C．2 - D． -
2．计算（ + ）（ - ）的值是（）．
A．2 B．3 C．4 D．1
例1分析：二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．
引导学生先观察、分析，找学生说明解题思路，解题后养成说明理由的反思习惯.
指导学生交流，教师总结
学生独立完成练习,巩固新知,师生订正
教学方法：观察、比较、练习
重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；
难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
教法与学法指导
一、自主预习请同学们完成下列各题:
1．计算（1）（2x+2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2
这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．
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课题名称：二次根式的加减(2)
课前自主学习
学习目标：运用二次根式、化简解应用题．
通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题
学习重点：如何解答应用题
学习难点：如何解答应用题
※学习探究
例1．如图所示的Rt△
ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿
BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2
厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△
PBQ的面积为35平方厘米？PQ
的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
解：设
x 后△PBQ的面积为35平方厘米, 则有PB=x，BQ=2x,
依题意，得：
1
2
x·2x=35,
x2=35 ,
所以
PBQ的面积为35平方厘米．
===
PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距
离为
A
C
Q
P
例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．
解：根据图中尺寸可得
5
1
2
,5
2
20
2
4
2
2
2
2
2
4
2
2
=
+
=
+
=
=
=
+
=
+
=
CD
BD
BC
BD
AD
AB
所需钢材的长度为
AB+BC+AC+BD
)
m
(1
.7
13
7
36
.2
2
3
7
5
3
2
5
5
5
2
≈
+
⨯
≈
+
=
+
+
+
=
答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.71m的钢材；
※动手试试
两个圆的圆心相同，它们的面积分别是12.56cm2和25.12cm2,求圆环的宽度d(π取3.14，结果保留小数点后两位)
B
C
2m
1m
4m D
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
学练提升
ABCD 中，D E ⊥AB,E 点在AB 上，DE=AE=EB=a,求平行四边形ABCD 的周长。
学习成果展示（时量：10分钟 满分：10分）得分：
5和5，那么斜边的长应为（ ）．
A ．
B
C ．
D ．以上都不对
2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示）
A ．
B
C ．
D ．
3．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2，•鱼塘的宽是_______m ．
4•那么这个等腰直角三角形的周长是________．
5n m 、n 的值是 ． 6．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了
二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2
，5=
2
，你知道是谁
的二次根式呢？下面我们观察：
）2=2-2·2 反之，）2
∴=）2 -1
= ；②
= ；
④m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．
※ 自我评价 你完成学习成果展示的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
拓展提升
若最简根式3a 是同类二次根式，求a 、b 的值．。