第八章 刚体的基本运动

② 重物B在3s内的行程: s = rϕ = 0.3 × 18 = 5.4m ③重物B在ｔ＝3s时的速度:
ω = ω0 + αt = 3 + 2 × 3 = 9 rad/s
v B = rω = 0.3×9 = 2.7m/s ↓
()
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④ 滑轮边上C点在初瞬时的加速度: t = 0 时，
a C τ = a A = 1 m/s 2 , a C n = R ⋅ω 0 2 = 0 . 5 × 3 2 = 4 . 5 m/s
一 定义 刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变， 即其方向始终与原来的方向平行——平行移动（简称平移或平动）。
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二 刚体平动的特点
两折线相同；时间间隔趋近于 零时，两曲线形状完全相同，也就 是点的轨迹相同。
由A,B 两点的运动方程式:
rA = rA (t ) , rB = rB (t )
= α ×r +ω×v
= at + an
at = α × r
M点切向加速度 M点法向加速度
an = ω × v = ω × (ω × r )
点的运动学和刚体的基本运动总结
一.基本概念和基本运动规律及基本公式 1. 基本概念：直线运动，曲线运动 (点) ; 平动，定轴转动 (刚体)。 2. 基本运动规律与公式:
ω = ωk
角加速度矢量 dω dω α= = k = αk
dt dt
2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
速度
⎧ ⎪大小 ω ⋅ r sinθ = ω R = v v = ω×r ⎨ ⎪ ⎩方向 右手法则
dv d = (ω × r ) 加速度 a = dt dt
dω dr = ×r +ω× dt dt
2
⑤ 滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度: t=3s 时，
n 2 a C = a A =1m/s ,a C
τ
2 2 = R ⋅ω = 0.5× 9
= 40 .5m/s 2
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§8-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dϕ ⎧ ⎪大 小 ω = ω = dt ⎪ ⎪ ω ⎨作 用 线 沿 轴 线 滑 动 矢 量 ⎪ ⎪ 右手螺旋规则 ⎪ ⎩指 向
| a全 |=| a n + at |= a n + at = r α 2 + ω 4
2 2
αr α tg θ = = 2 = 2 ω r ω an
at
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结论: ① v=rω 大小与 r 成正比，方向 ⊥r 。 ②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角ϴ都相同， 即ϴ角与各点转动半径大小无关。
ω
O
dv v = v 0 + ∫ t adt a= 0 dt
v2
s = ∫ 0 vdt
an =
an =
ρ
ρ
a=
a=
v2
ρ
v=C
v = v0 + att
s = vt
s = v0t +
t
v2
dv v2 an = at = ρ dt
2 a t2 + a n a=
1 att 2 2
2 v = v0 + a t2 + a n
2 得M 点的全加速度 aM = 40 m/s ,θ = 30°
求: 1)转动方程;
2) t＝5s时，Ｍ点的速度和法向加速度。 解：1)注意到 α =常数,初始角速度ω0=0
θ
M
1 2 aτ = α R = a ⋅ sin θ 故有ϕ = ω 0t + αt 2 aτ a sin θ 40 × sin 30 ° = 50 rad/s 2 ∴α = = =
1
第八章
刚体的基本运动
§8–1 刚体的平行移动 §8–2 刚体的定轴转动 §8–3 转动刚体内各点的速度与加速度 §8–4 绕定轴转动刚体的传动问题
2
引
言
常见的刚体运动有两种基本运动形式：平动和转动 复杂的刚体运动都可归结为这两种基本运动的组合。
车厢：直线平动
摆式输送机的料槽：曲线平动
3
§8-1 刚体的平行移动
rB = rA + rAB
drB d drA vB = = (rA + rAB ) = = vA dt dt dt drAB = 0) ( dt
5
d 2 rB d 2 rA d2 同理 a B = = 2 ( rA + rAB ) = = aA 2 2 dt dt dt
结论: 平动刚体任一瞬时各点的运动轨迹形状、速度、加速度 都相同。 平动刚体的运动可以简化为刚体上任意一个点的运动。
方向规定: 从转轴z 的正向往负向看去： 逆时针为正 顺时针为负
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四 定轴转动的角速度和角加速度 1 角速度 定义 : 单位 rad/s 工程中常用单位 n = 转/分(r / min) 则n与ω的关系
Δ ϕ dϕ ω = lim = =ϕ Δ t →0 Δ t dt ( 代数量 )
2πn πn n ω= = ≈ (rad/s) 60 30 10
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解： ① 滑轮3s内的转数: τ 2 a = a = 1 m/s , C A 绳子不可以伸长 aCτ 1 α= = = 2 rad/s 2 （ ）常数 R 0.5
v C 1 .5 = = 3 rad/s （ ） v C = v A = 1 . 5 m/s , ω 0 = R 0 .5 1 2 ϕ ϕ = ω0 t + α t = 18rad, n = = 2.86(rmp / min） 2 2π
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28
8
2 角加速度
Δ ω d ω d 2ϕ 角 加 速 度 : α = lim = = =ϕ 2 Δt → 0 Δ t dt dt
单位:rad/s2 (代数量) 与ω方向一致为加速转动，与ω 方向相反为减速转动 3 匀速转动和匀变速转动 当ω =常数——匀速转动； 当α =常数——匀变速转动。
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§8-3 转动刚体内各点的速度和加速度
ω1 ω1 ω2 ω3 = × ×、锥齿轮、皮带轮系 链轮系等传动都适用
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[例2] 已知电动机转速n=1450rpm，各轮齿数为Z1=14，Z2=42， Z3=20，Z4=36。求总的传动比i14=?轴3的转速n3=? 解：1）轮1与轮2 （轴1与轴2）的传动比 n1 z2 Z2 i12 = = n2 z1 轮2与轮3（同轴）的传动比 Z4 n2 i 23 = =1 Z1 n3 Z3 轮3与轮4（轴2与轴3）的传动比 n2 z4 i 34 = = n3 z3 轮1至轮4 （轴1与轴3）的总传动比 3 2
ω ，α 对整个刚体而言 (各点都一样)
v，a 对刚体中某个点而言 (各点不一样) 一 线速度v和角速度ω之间的关系
dϕ dS v= =r = rω dt dt
关系？
切向，指向与ω一致 r
转动角速度
v = rω
该点距离转轴的距离
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二 角加速度α 与an ,at 的关系
dv d dω at = = (ωr ) = ⋅ r = rα 切向，指向与α 的转向一致 dt dt dt v 2 (ωr ) 2 an = = = rω 2 法向，指向圆心 ρ r
R R 0 .4
α
1 2 1 ∵ ω 0 = 0,∴ ϕ = ω 0 t + α t = × 50 × t 2 = 25 t 2 2 2
转动方程φ = 25t
2
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2)求M点的速度和法向加速度
d ϕ (t ) ω = ω 0 + α t = 50t或ω = = 50t dt
v M = Rω
= 0.4 × 50 t = 20 t
1
n1 i14 = i12 ×i23 ×i34 = ＝ 5.4 n3
2）轴3转速 n1 1450 = 268.5rpm n3 = = i14 5 .4
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[练习题1] 已知各齿数Z1=6，Z2=24，Z3=8，Z4=32，轮5 R=4cm， 当齿条下移1cm时，求指针OA转过的角度φ。 解：设OA转过φ1角 B A O Z1 Z3 Z5 Z2
φ1 Z 2 φ2 ∵ i12 = = ; i 23 = = 1 φ 2 Z1 φ3
φ3 Z 4 φ4 i34 = = ; i45 = = 1 φ4 Z 3 φ5
i15 = i12 × i32 × i34 × i45 Z2 Z4 = ⋅1 ⋅ ⋅1 Z1 Z3
Z2 Z4 ∴φ1 = × φ5 Z1 Z 3
θ
θ
a
α
各点速度分布图 各点加速度分布图
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[例1] 试画出图中刚体上Ｍ、Ｎ两点在图示位置时的速度和 加速度。 (O1 A = O2 B,O1O2 = AB )
t aM
aA
vA
aN
vN
n aM
vM
t aN n aN
aM
vM
vN
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[例2] 圆轮O由静止开始作匀加速转动，OM＝0.4m，在某瞬时测
刚体？
⎧ 可以是直线—直线平动 ⎨ 点的轨迹？ ⎩
可以是曲线—曲线平动
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一 定义
§8-2 刚体的定轴转动（转动）
刚体运动时，其上有一条直线始终不动。这种运动称为刚体的定 轴转动。这条不动的线称为转轴。 二 刚体转动的特点 除转轴上，其余各点都在垂直于转轴的 平面上做圆周运动。 三 转角和转动方程
ϕ ---转角，单位弧度(rad) ϕ = ϕ(t)---转动方程
∫
t
0
a t dt
s = ∫ 0 vdt26
刚体定轴转动 转动方程: 角速度:
ω=
ϕ = f (t )