偏度和峰度
偏度和峰度
你的位置：第四章| 第七节|五、偏度与峰度五、偏度与峰度（一）偏度偏度是指次数分布非对称的偏态方向程度。
为了精确测定次数分布的偏斜状况，统计上采用偏斜度指标。
计算偏斜度有不同的方法，现介绍其中比较简单的一种方法。
由前述介绍可知，在对称分布条件下，=M e=M0；在偏态分布条件下，三者存在数量（位置）差异。
其中，Me居于中间，与M0分居两边，因此，偏态可用与M0的绝对差额（距离）来表示，即与M0的绝对差额越大，表明偏斜程度越大；与M0的绝对差额越小，则表明偏斜程度越小。
当>M0，说明偏斜的方向为右（正）偏；当<M0，则说明偏斜的方向为左（负）偏。
由于偏态是以绝对数表示的，具有原数列的计量单位，因此不能直接比较不同数列的偏态程度。
为了使不同数列的偏态值可比，可计算偏态的相对值，即偏斜度（α）又称为偏态系数，就是将偏态的绝对数用其标准差除之。
公式为：（4-55）偏斜度是以标准差为单位的算术平均数与众数的离差，故其取值范围一般在0与±3之间。
α为0表示对称分布，α为+3与-3分别表示极右偏态和极左偏态。
（二）峰度峰度是指次数分布曲线顶峰的尖平程度，是次数分布的又一重要特征。
统计上，常以正态分布曲线为标准，来观察比较某一次数分布曲线的顶端正党风尖顶或平顶以及尖平程度的大小。
根据变量值的集中与分散程度，峰度一般可表现为三种形态：尖顶峰度、平顶峰度和标准峰度。
当变量值的次数在众数周围分布比较集中，使次数分布曲线比正态分布曲线顶峰更为隆起尖峭，称为尖顶峰度；当变量值的次数在众数周围分布较为分散，使次数分布曲线较正态分布曲线更为平缓，称为平顶峰度。
可见，尖顶峰度或平顶峰度都是相对正态分布曲线的标准峰度而言的。
峰度的测定，一般是采用统计动差方法，即以四阶中心动差V4为测定依据，将V4除以其标准差的四次方σ4，以消除单位量纲的影响，便于不同次数分布曲线的峰度比较，从而得到以无名数表示的相对数，即为峰度的测定值（β）。
用偏度和峰度检验正态分布的方法
用偏度和峰度检验正态分布的方法引言正态分布是统计学中最常见的分布之一，也是许多统计推断和假设检验的基础。
在实际应用中，我们常常需要检验数据是否符合正态分布。
偏度（skewness）和峰度（kurtosis）是常用的两个统计量，可以用来判断数据的分布形态。
本文将介绍偏度和峰度的概念，并详细说明如何使用这两个统计量来检验数据是否符合正态分布。
1. 偏度偏度是描述数据分布对称性的统计量。
它衡量了数据分布的左右偏斜程度，可以判断数据是左偏、右偏还是近似对称。
偏度的定义如下：Skewness=∑(X i−X‾)3ni=1/nσ3其中，X i是样本观测值，X‾是样本均值，σ是样本标准差，n是样本容量。
偏度的取值范围为负无穷到正无穷。
当偏度为0时，表示数据分布近似对称；当偏度大于0时，表示数据分布右偏；当偏度小于0时，表示数据分布左偏。
2. 峰度峰度是描述数据分布尖锐程度的统计量。
它衡量了数据分布的峰态，可以判断数据是平顶、尖峭还是扁平。
峰度的定义如下：Kurtosis=∑(X i−X‾)4ni=1/nσ4其中，X i是样本观测值，X‾是样本均值，σ是样本标准差，n是样本容量。
峰度的取值范围为负无穷到正无穷。
当峰度为0时，表示数据分布为正态分布；当峰度大于0时，表示数据分布比正态分布更尖峭；当峰度小于0时，表示数据分布比正态分布更平顶。
3. 检验方法3.1 偏度检验偏度检验的原假设（H0）是数据分布的偏度等于0，即数据分布近似对称。
备择假设（H1）是数据分布的偏度不等于0，即数据分布不对称。
常用的偏度检验方法有两种：Shapiro-Wilk检验和Jarque-Bera检验。
3.1.1 Shapiro-Wilk检验Shapiro-Wilk检验是一种基于排序的统计检验方法，适用于小样本和大样本。
它的原假设是数据来自正态分布。
在Python中，可以使用SciPy库的shapiro函数进行Shapiro-Wilk检验。
峰度与偏度
峰度peakness；kurtosis又称峰态系数。
表征概率密度分布曲线在平均值处峰值高低的特征数。
直观看来，峰度反映了尾部的厚度。
峰度以bk表示，Yi是样本测定值，Ybar是样本n次测定值的平均值，s为样本标准差。
正态分布的峰度为3。
bk<3称分布具有不足的峰度，bk>3称分布具有过度的峰度。
若知道分布有可能在峰度上偏离正态分布时，可用峰度来检验分布的正态性。
次数分配较常态分配曲线平坦者,为低阔峰分配g20.g2=0时为常态分配.简单来讲，峰度是描述分布形态的陡缓程度。
峰度为3表示与正态分布相同，峰度大于3表示比正态分布陡峭，小于3表示比正态分布平坦。
在实际应用中，通常将峰度值做减3处理，使得正态分布的峰度0。
因此，在使用统计软件进行计算是，应注意该软件默认的峰度值计算公式。
如Eviews默认的正态分布峰度为3。
偏度skewness表征概率分布密度曲线相对于平均值不对称程度的特征数。
直观看来就是密度函数曲线尾部的相对长度。
偏度以bs表示，xi是样本观测值，xbar是样本n次观测值的平均值。
正态分布的偏度为0，两侧尾部长度对称。
bs<0称分布具有负偏离，也称左偏态，此时数据位于均值左边的比位于右边的少，直观表现为左边的尾部相对于与右边的尾部要长，因为有少数变量值很小，使曲线左侧尾部拖得很长；bs>0称分布具有正偏离，也称右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的少，直观表现为右边的尾部相对于与左边的尾部要长，因为有少数变量值很大，使曲线右侧尾部拖得很长；而bs接近0则可认为分布是对称的。
若知道分布有可能在偏度上偏离正态分布时，可用偏离来检验分布的正态性。
右偏时一般算术平均数>中位数>众数，左偏时相反，即众数>中位数>平均数。
正态分布三者相等。
对于n个样本值的偏度，计算方法如下：计算公式这里xi 是第i个样本，, sd是样本标准差. g1 是总体偏度的有偏估计。
峰度和偏度
Kurtosis(峰度)&Skewness(偏度)(2013-10-29 09:25:33)转载▼分类：图像处理标签：it1. 定义：Kurtosis(峰度): 是对Sample构成的分布的峰值是否突兀或是平坦的描述。
计算时间序列x的峰度，峰度用于度量x偏离某分布的情况，正态分布的峰度为3。
当时间序列的曲线峰值比正态分布的高时，峰度大于3;当比正态分布的低时，峰度小于3。
Skewness(偏度)：是对Sample构成的分布的对称性状况的描述。
计算时间序列x的偏度，偏度用于衡量x的对称性。
若偏度为负，则x均值左侧的离散度比右侧强;若偏度为正，则x均值左侧的离散度比右侧弱。
对于正态分布(或严格对称分布)偏度等于O。
2. Kurtosis:(a). Kurtosis是对于分布的标准四阶中心距（standardized 4th central moment）正态分布的Kurtosis为K=3，为了描述的方便，使用exceess_K = K-3 来标准化表示。
如果exceess_K >0, 表示波形更平坦(flatness); 如果exceess_K<0, 则表示波形更突兀消瘦(peakedness).(b). 如何根据Sample计算Kurtosis3. Skewness:(a). Skewness 是对于分布的标准三阶中心距（standardized 3rd central moment）正态分布的Skewness=0。
如果Skewness>0代表波形有右侧长尾，如果Skewness<0代表波形有左侧长尾。
(b). 如何根据Sample计算Skewness4. 检验准则：假设Sample Size = N(a). Skewness符合正态分布的Skewness范围[-2*Sqrt(6/N), +2*Sqrt(6/N)](b). Kurtosis符合正态分布的Kurtosis范围[-2*Sqrt(24/N), +2*Sqrt(24/N)]偏度（Skewness）是描述某变量取值分布对称性的统计量。
数据的蜂度和偏度
数据的蜂度和偏度之前笔者在做⼀个⾦融数据项⽬时，有朋友问我，衡量股票收益率有没有什么好的⽅法。
这个问题让笔者也思索了好久，其实股票的收益率如果我们从本质来看不就是数据吗，⽆⾮就是收益率我们就想让其越⾼越好，也就是让这个数据增加得越多越好。
⽽衡量数据我们经常⽤到的⽅法有均值、⽅差、偏度和峰度。
均值和⽅差是我们见到和⽤到最多的⽅法，甚⾄在中学课本⾥都有提及，那么笔者今天就讲⼀下偏度和峰度这两个⼤家不太常⽤的⽅法，并结合python代码讲⼀下偏度和峰度在数据分析中的简单应⽤。
⾸先还是介绍⼀下偏度和峰度的概念。
图1. 偏度和峰度公式偏度（skewness）⼜称偏态、偏态系数，是描述数据分布偏斜⽅向和程度的度量，其是衡量数据分布⾮对称程度的数字特征。
对于随机变量X，其偏度是样本的三阶标准化矩，计算公式如图1中的式（1）所⽰。
偏度的衡量是相对于正态分布来说，正态分布的偏度为0。
因此我们说，若数据分布是对称的，偏度为0；若偏度>0，则可认为分布为右偏，也叫正偏，即分布有⼀条长尾在右；若偏度<0，则可认为分布为左偏，也叫负偏，即分布有⼀条长尾在左。
正偏和负偏如图2所⽰，在图2中，左边的就是正偏，右边的是负偏。
图2. 偏度的⽰意图⽽峰度（Kurtosis）则是描述数据分布陡峭或平滑的统计量，通过对峰度的计算，我们能够判定数据分布相对于正态分布⽽⾔是更陡峭还是平缓。
对于随机变量X，其峰度为样本的四阶标准中⼼矩，计算公式如图1中的式2所⽰。
当峰度系数>0，从形态上看，它相⽐于正态分布要更陡峭或尾部更厚；⽽峰度系数<0，从形态上看，则它相⽐于正态分布更平缓或尾部更薄。
在实际环境当中，如果⼀个分部是厚尾的，这个分布往往⽐正态分布的尾部具有更⼤的“质量”，即含⼜更多的极端值。
我们常⽤的⼏个分布中，正态分布的峰度为0，均匀分布的峰度为-1.2，指数分布的峰度为6。
峰度的⽰意图如图3所⽰，其中第⼀个⼦图就是峰度为0的情况，第⼆个⼦图是峰度⼤于0的情况，第三个则是峰度⼩于0。
偏度和峰度
峰度
峰度公式
又称峰态系数。表征概率密度分布曲线在平均值处峰值高低的特征数。直观看来，峰度反映了尾部的厚度。
峰度以bk表示， 是样本测定值， 是样本n次测定值的平均值，s为样本标准差。正态分布的峰度为3。bk<3称分布具有不足的峰度，bk>3称分布具有过度的峰度。若知道分布有可能在峰度上偏离正态分布时，可用峰度来检验分布的正态性。
简单来讲，峰度是描述分布形态的陡缓程度。峰度为3表示与正态分布相同，峰度大于3表示比正态分布陡峭，小于3表示比正态分布平坦。
在实际应用中，通常将峰度值做减3处理，使得正态分布的峰度0。因此，在使用统计软件进行计算是，应注意该软件默认的峰度值计算公式。如Eviews默认的正态分布峰度为3。
正态分布的随机变量的峰度计算方法为：随机变量的四阶原点距与方差的比值。
偏度
对于n个样本值的偏度，计算方法如下：
偏度是统计字特征。
表征概率分布密度曲线相对于平均值不对称程度的特征数。直观看来就是密度函数曲线尾部的相对长度。
偏度以sk表示， 是样本观测值， 是样本n次观测值的平均值。正态分布的偏度为0，两侧尾部长度对称。sk<0称分布具有负偏离，也称左偏态，此时数据位于均值左边的比位于右边的少，直观表现为左边的尾部相对于右边的尾部要长，因为有少数变量值很小，使曲线左侧尾部拖得很长；sk>0称分布具有正偏离，也称右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的少，直观表现为右边的尾部相对于左边的尾部要长，因为有少数变量值很大，使曲线右侧尾部拖得很长；而sk接近0则可认为分布是对称的。若知道分布有可能在偏度上偏离正态分布时，可用偏离来检验分布的正态性。右偏时一般算术平均数>中位数>众数，左偏时相反，即众数>中位数>平均数。正态分布三者相等。
统计学中的偏度与峰度分析
统计学中的偏度与峰度分析统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，偏度和峰度是两个重要的概念，它们可以帮助我们理解数据的分布特征和形态。
本文将对偏度和峰度进行详细的解析和分析。
一、偏度分析偏度是用来描述数据分布偏斜程度的统计量。
它可以告诉我们数据的分布是向左偏斜还是向右偏斜，或者是近似对称。
偏度的计算公式如下：偏度 = ∑(Xi - X)^3 / (n * σ^3)其中，Xi代表数据点的值，X代表数据的平均值，n代表数据的个数，σ代表数据的标准差。
当偏度为0时，表示数据分布近似对称，即左右两侧的数据相对平衡。
当偏度大于0时，表示数据分布向右偏斜，即数据的右侧尾部较长。
当偏度小于0时，表示数据分布向左偏斜，即数据的左侧尾部较长。
偏度的取值范围为[-∞, +∞]，但一般认为绝对值大于1的偏度值才具有实际意义。
偏度的分析可以帮助我们了解数据的分布特征，从而作出更准确的统计推断和决策。
二、峰度分析峰度是用来描述数据分布峰态程度的统计量。
它可以告诉我们数据的分布是尖峰还是平坦，或者是近似正态分布。
峰度的计算公式如下：峰度 = ∑(Xi - X)^4 / (n * σ^4) - 3峰度的取值范围为[-∞, +∞]，当峰度为0时，表示数据分布与正态分布的峰态相同。
当峰度大于0时，表示数据分布比正态分布的峰态更尖峭，即数据的峰度较高。
当峰度小于0时，表示数据分布比正态分布的峰态更平坦，即数据的峰度较低。
峰度的分析可以帮助我们了解数据的形态特征，从而判断数据是否符合正态分布假设。
正态分布是统计学中最常见的分布形态，许多统计方法都基于正态分布的假设，因此峰度的分析对于合理选择和应用统计方法非常重要。
三、偏度与峰度的应用偏度和峰度在统计学中有广泛的应用。
首先，它们可以帮助我们判断数据的分布特征，从而选择合适的统计方法和模型。
例如，如果数据分布呈现明显的偏斜或峰态，我们可以采用非参数统计方法或对数据进行变换来满足正态分布的假设。
excl的偏度峰度
excl的偏度峰度在数据分析中，偏度（Skewness）和峰度（Kurtosis）是描述数据分布特征的重要指标。
偏度用于衡量数据分布的不对称性，而峰度则用于描述数据分布的尖锐程度。
在本文中，我们将介绍如何在EXCEL中计算偏度与峰度，并探讨它们在数据分析中的应用。
一、偏度与峰度的概念解释1.偏度（Skewness）：偏度是用来衡量数据分布不对称性的指标。
当偏度大于0时，数据分布呈现出右偏（正偏度），即数据的平均值大于中位数；当偏度小于0时，数据分布呈现出左偏（负偏度），即数据的平均值小于中位数。
2.峰度（Kurtosis）：峰度是用来描述数据分布尖锐程度的指标。
峰度大于0表示数据分布更尖锐，峰度小于0表示数据分布较扁平。
在实际应用中，我们通常关注的是相对于正态分布的峰度，正常情况下，正态分布的峰度为3。
二、EXCEL中计算偏度与峰度的方法在EXCEL中，我们可以使用内置的函数来计算偏度与峰度。
以下是计算偏度与峰度的步骤：1.打开EXCEL，输入数据序列。
2.选择数据序列所在的单元格区域。
3.偏度计算：在空白单元格中输入以下公式并按回车键：```=SKEW(数据区域)``````=KURT(数据区域)```这样，偏度和峰度的值就会显示在对应的单元格中。
三、偏度与峰度在数据分析中的应用1.判断数据分布类型：通过分析偏度与峰度，我们可以初步判断数据的分布类型。
例如，正偏度、尖锐分布的数据可能符合幂律分布（如互联网用户访问量）；负偏度、扁平分布的数据可能符合泊松分布（如交通事故发生次数）。
2.数据清洗：在数据清洗过程中，我们可以通过分析偏度与峰度，找出异常值或极端值，并对这些数据进行处理。
例如，在工资数据分析中，如果发现偏度大于0且峰度大于3，可能存在高薪极端值，需要进一步核实数据真实性。
3.数据可视化：在数据可视化过程中，偏度与峰度可以作为描述数据分布特征的重要参数。
在绘制直方图、箱线图等统计图表时，添加偏度与峰度指标可以更全面地展示数据分布情况。
分布的偏度和峰度
项目
分布的偏度和峰度
三、分布的偏度和峰度
一、 偏度
1. 偏度的概念
偏度是指反映频数分布偏态方向和程度的指标。已 知频数分布，若用图形表示，则可以看出有的是对称的， 有的是非对称的（偏态）。偏度是对分布偏斜方向和程度 的测试，与平均数和标准差一样，也是反映频数分布性质 的一个重要指标。偏态通常分为两种：右偏(或正偏)和左 偏(或负偏)。当分布中心对称时，算术平均数、中位数和 众数是相等的；分布越偏，三者差距越大。
三、分布的偏度和峰度
一、 峰度
1. 峰度的概念
峰度是指频数分布曲线与正态分布 曲线相对平坦或尖峭的程度。它反映了 频数分布的各个度量集中于平均数左右 的相对程度，同偏度一样，峰度也是频 数分布的一个重要特征。
三、分布的偏度和峰度
2. 峰度的类型
峰度通常分为以下三种： （1）正态峰度。正态峰度又称标准峰度，是指次数分布 各变量值在平均数左右均匀分布时形成的正态曲线的峰度。 （2）尖顶峰度。尖顶峰度是指变量值的次数在众数周围 分布比较集中，使次数分布曲线比正态分布曲线顶峰更为隆 起尖峭。 （3）平顶峰度。平顶峰度是指变量值的次数在众数周围 分布较为分散，使次数分布曲线较正态分布曲线更为平缓。
第四节数据集的峰度与偏度课件
CHAPTER
金融数据分析中的峰度与偏度
要点一
总结词
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ要点二
详细描述
对于具有噪声的数据，可以采用平滑处理的方法，如移动平均、 指数平滑等，以减小噪声对分析结果的影响。
分箱处理
将连续的数据划分为若干个区间，将数据转换为分类变量，可以消 除数据的连续性对分析结果的影响。
特征选择
通过计算数据的峰度和偏度，可以发现数据中的重要特征，从而进 行特征选择，减少数据的维度，提高分析效率。
峰度 = (n*(∑(x^4 - 3*x^2*μ^2 + 2*μ^4))/(σ^4)) - 3
偏度的计算方法
偏度定义
偏度是描述数据分布对称性的统 计量，表示数据分布的不对称程度。
计算公式
偏度 = (n*(∑(x - μ)^3) / (σ^3)) / n
偏度标准化
为了便于比较不同数据集的偏度， 可以将偏度值标准化，即偏度标准 化 = (偏度 - 偏度的期望值) / 偏度 的标准差。
偏度的定 义
偏度
描述数据分布形态的统计量，表示数 据分布的不对称性。
计算公式
偏度 = (n * {(x_i - μ)}^3的平均值) / (σ^3)，其中n是样本数量，x_i是每个 样本值，μ是样本均值，σ是样本标准 差。
峰度与偏度的关系
峰度与偏度都是描述数据分布 形态的统计量，但关注点不同。
峰度关注数据分布的尖锐程度， 而偏度关注数据分布的不对称性。
数学统计中的偏度和峰度测量
数学统计中的偏度和峰度测量数学统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，我们经常使用各种测量指标来描述和衡量数据的特征。
其中，偏度和峰度是两个重要的测量指标，用于描述数据分布的形状和偏斜程度。
一、偏度测量偏度是用来描述数据分布的偏斜程度的指标。
它可以告诉我们数据分布在平均值附近是如何分布的。
偏度可以分为正偏和负偏两种情况。
正偏表示数据分布的尾部偏向于右侧，也就是数据的右侧尾部比左侧尾部更长。
这种情况下，数据的平均值会被拉向右侧，形成一个长尾。
例如，假设我们研究一个城市的收入分布，如果大部分人的收入都比较低，但是有一小部分人的收入非常高，那么这个数据分布就是正偏的。
负偏则表示数据分布的尾部偏向于左侧，也就是数据的左侧尾部比右侧尾部更长。
这种情况下，数据的平均值会被拉向左侧，形成一个长尾。
例如，假设我们研究一个班级的学生成绩分布，如果大部分学生的成绩都比较高，但是有一小部分学生的成绩非常低，那么这个数据分布就是负偏的。
偏度的计算公式是通过计算数据的三阶中心矩来得到的。
三阶中心矩是指数据减去平均值后的立方和的平均值。
如果偏度为0，则表示数据分布是对称的；如果偏度大于0，则表示数据分布是正偏的；如果偏度小于0，则表示数据分布是负偏的。
二、峰度测量峰度是用来描述数据分布的峰态的指标。
它可以告诉我们数据分布的尖峰程度和厚尾程度。
峰度可以分为正峰和负峰两种情况。
正峰表示数据分布的峰态比较尖，也就是数据分布的峰值比较高且陡峭。
这种情况下，数据分布的尾部比较短，数据集中在中心位置附近。
例如，假设我们研究一个班级的身高分布，如果大部分学生的身高都集中在某个区间内，而且没有太多的离群值，那么这个数据分布就是正峰的。
负峰则表示数据分布的峰态比较平坦，也就是数据分布的峰值比较低且平缓。
这种情况下，数据分布的尾部比较长，数据集中度较低。
例如，假设我们研究一个城市的房价分布，如果大部分房价都集中在一个区间内，但是有一些极高或极低的房价，那么这个数据分布就是负峰的。
近似正态分布的偏度和峰度
近似正态分布的偏度和峰度
近似正态分布的偏度接近0，而峰度也接近0。
在统计学中，偏度和峰度是描述数据分布特征的两个重要指标。
具体来说：
•偏度(Skewness)：衡量数据分布的不对称性。
如果偏度为正，则数据分布是正偏态，意味着数据的右尾部较长，左侧有较多的极端值；反之，如果偏度为负，则数据分布是负偏态，表示数据的左尾部较长，右侧有较多的极端值。
理想状态下，正态分布的偏度为0，即分布是完全对称的。
•峰度(Kurtosis)：反映数据分布顶端尖锐或扁平的程度。
峰度大于0时，数据分布比正态分布更陡峭，称为尖峰分布；峰度小于0时，数据分布比正态分布更平缓，称为扁峰分布。
标准的正态分布峰度为0。
在现实情况下，很少有数据集的分布能够完全符合标准的正态分布。
因此，我们通常寻找近似正态分布，即分布的形态接近正态分布，但并不完全相同。
一种常用的经验规则是，如果数据的峰度绝对值小于10，并且偏度绝对值小于3，那么即便数据不是绝对正态，也可基本接受为正态分布。
综上所述，当评估一个数据集是否近似于正态分布时，我们可以参考偏度和峰度的数值。
如果这两个统计量的绝对值分别小于
3和10，那么可以认为数据呈现出的分布形态是接近正态分布的，这对于很多统计分析方法的应用是一个重要的前提假设。
偏度标准差和峰度标准差
偏度标准差和峰度标准差
偏度和峰度是用来度量随机变量概率分布的不对称性和陡峭程度的，而偏度标准差和峰度标准差则是用来度量这些指标的离散程度。
偏度标准差是偏度与其标准误的比率可用作正态检验，即如果比率小于-2 或大于2，则可以拒绝正态；峰度标准差同样是峰度与其标准误的比率可用作正态检验，如果比率小于-2 或大于2，则可以拒绝正态。
偏度正值越大表示长尾向右越长；负极值表示向左的长尾。
峰度较大的正值表示该分布的尾部比正态分布的尾部长；峰度的负值表示较短的尾部（与箱形均匀分布的尾部变得相似）。
origin 峰度 偏度
origin 峰度偏度
峰度和偏度是描述数据分布形态的统计量。
峰度是一个描述总体中所有取值分布形态陡缓程度的统计量，其计算是相对于正态分布而言的。
如果峰度大于3，则说明峰的形状比较尖，比正态分布要陡峭。
峰度的绝对值数值越大表示其分布形态的陡缓程度与正态分布的差异程度越大。
偏度也是一个描述数据分布形态的统计量，其描述的是某总体取值分布的对称性。
偏度为0表示其数据分布形态与正态分布的偏斜程度相同；偏度大于0表示其数据分布形态与正态分布相比为正偏或右偏，即有一条长尾巴拖在右边，数据右端有较多的极端值；偏度小于0表示其数据分布形态与正态分布相比为负偏或左偏，即有一条长尾拖在左边，数据左端有较多的极端值。
偏度与峰度的统计学度量
偏度与峰度的统计学度量统计学是研究收集、整理、分析和解释数据的科学方法。
在数据分析过程中，度量数据的特征和趋势是必不可少的一部分。
偏度和峰度是常用的统计学度量，用于描述数据分布的形状和偏离程度。
本文将介绍偏度和峰度的概念、计算方法和实际应用。
偏度是用来衡量数据分布对称性的指标。
对称分布的偏度为0，正偏分布的偏度大于0，负偏分布的偏度小于0。
偏度的计算方法是根据数据的均值、标准差和样本容量来计算的。
公式如下：偏度 = （3 * （平均值 - 中位数））/ 标准差偏度的值可以为正、为零或为负数。
当偏度为正时，说明数据分布右尾较长，即数据集中在右侧的值较多；当偏度为零时，说明数据分布左右对称；当偏度为负时，说明数据分布左尾较长，即数据集中在左侧的值较多。
峰度是用来衡量数据分布尖锐程度的指标。
峰度大于0表示数据分布比正态分布更尖锐，即数据在均值附近集中得更多；峰度小于0表示数据分布比正态分布更平坦，即数据更分散。
峰度的计算方法如下：峰度 = （样本数据的四阶矩 - 3 * (标准差^2)）/ 标准差^2峰度的值可以为正、为零或为负数。
当峰度为正时，说明数据分布比正态分布更尖锐；当峰度为零时，说明数据分布与正态分布相似；当峰度为负时，说明数据分布比正态分布更平坦。
偏度和峰度的统计学度量在实际应用中有着广泛的应用价值。
例如，在金融领域，对股票收益率的偏度和峰度的测量可以帮助投资者评估风险和回报的潜力。
正偏和尖峰的分布可能表示较高的风险，而负偏和平坦的分布可能表示较低的风险。
此外，在市场调查和社会研究中，偏度和峰度的度量可以帮助分析人员了解数据分布的特征。
例如，在用户满意度调查中，偏度和峰度的分析可以揭示用户对产品或服务的整体评价情况。
总而言之，偏度和峰度作为统计学度量，可以帮助我们更深入地了解数据的特征和分布形状。
通过计算偏度和峰度，我们可以得到数据所呈现的偏态和尖锐程度，进而帮助我们做出更准确的数据分析和决策。
峰度偏度3.29
峰度偏度3.29峰度（kurtosis）和偏度（skewness）是统计中用来描述数据分布形态的两个重要指标。
下面，我们将详细解释这两个指标的含义、计算方法、以及它们在数据分析中的应用。
一、峰度（kurtosis）峰度是一个用来描述数据分布形态的指标，它衡量了分布形态的尖锐程度。
对于一个标准的正态分布，峰度值为3。
如果峰度值大于3，说明分布形态比较尖锐，数据集中有更多的极端值；如果峰度值小于3，说明分布形态比较平缓，数据集中的极端值较少。
1．计算公式：假设有一个数据集X，峰度的计算公式为：kurtosis(X) = Σ[(xi - μ)4] / (nσ4)，其中μ是数据集X的均值，σ是标准差，n是数据集中的样本数。
2．应用场景：峰度在金融分析、统计学等领域都有广泛的应用。
例如，在金融市场中，股票价格的分布通常具有较高的峰度，这意味着在股票价格数据中，极端值（如大涨或大跌）出现的概率比正态分布所预测的要高。
通过分析峰度，我们可以更好地理解市场的风险和不确定性。
二、偏度（skewness）偏度是一个用来描述数据分布形态的指标，它衡量了分布形态的不对称性。
对于一个标准的正态分布，偏度值为0。
如果偏度值大于0，说明分布形态向右倾斜，即存在较多的正偏差；如果偏度值小于0，说明分布形态向左倾斜，即存在较多的负偏差。
1．计算公式：假设有一个数据集X，偏度的计算公式为：skewness(X) = Σ[(xi - μ)3] / (nσ3)，其中μ是数据集X的均值，σ是标准差，n是数据集中的样本数。
2．应用场景：偏度在金融市场、人口统计等领域都有广泛的应用。
例如，在金融市场中，某些资产的收益率分布通常具有显著的偏度，这意味着在收益率数据中，存在较多的大涨或大跌事件。
通过分析偏度，我们可以更好地理解市场的波动性和风险。
此外，在人口统计中，偏度也被用来描述人口年龄分布的不对称性。
例如，如果一个国家的人口年龄分布向左倾斜（即存在较多的年轻人），那么该国的劳动力市场可能会更加活跃；如果人口年龄分布向右倾斜（即存在较多的老年人），那么该国的养老问题可能更加突出。
正态分布的峰度和偏度
正态分布的峰度和偏度
偏度与峰度的正态性分布判断
用统计方法对数据进行分析，有很多方法如T检验、方差分析、相关分析以及线性回归等。
都要求数据服从正态分布或近似正态分布。
上篇博客用Q-Q图验证数据集符合正态分布。
这篇博客先介绍偏度与峰度定义，然后用偏度与峰度检测数据集是否符合正态分布，最后分析该检测算法的使用条件以及spss的结果分析。
1、偏度与峰度
(1)偏度(Skewness)
偏度的衡量是相对于正态分布来说，正态分布的偏度为0，即若数据分布是对称的，偏度为0。
偏度大于0，则分布偏右，即分布有一条长尾在右；偏度小于0，则分布偏左，即分布有一条长尾在左；
同时偏度的绝对值越大，说明分布的偏移程度越严重。
注意：数据分布的左偏或右偏，指的是数值拖尾的方向，而不是峰的位置。
(2)峰度(Kurtosis)
峰度，是研究数据分布陡峭或平滑的统计量，通过对峰度系数的测量，判定数据相对于正态分布而言是平缓还是陡峭。
比如正态分布的峰度为0，均匀分布的峰度为-1.2(平缓)，
指数分布的峰度为6(陡峭)。
峰度≈0，分布服从正态分布；
峰度>0，分布陡峭；
峰度<0，分布平缓；。
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你的位置：第四章| 第七节|五、偏度与峰度五、偏度与峰度（一）偏度偏度是指次数分布非对称的偏态方向程度。
为了精确测定次数分布的偏斜状况，统计上采用偏斜度指标。
计算偏斜度有不同的方法，现介绍其中比较简单的一种方法。
由前述介绍可知，在对称分布条件下，=M e=M0；在偏态分布条件下，三者存在数量（位置）差异。
其中，Me居于中间，与M0分居两边，因此，偏态可用与M0的绝对差额（距离）来表示，即与M0的绝对差额越大，表明偏斜程度越大；与M0的绝对差额越小，则表明偏斜程度越小。
当>M0，说明偏斜的方向为右（正）偏；当<M0，则说明偏斜的方向为左（负）偏。
由于偏态是以绝对数表示的，具有原数列的计量单位，因此不能直接比较不同数列的偏态程度。
为了使不同数列的偏态值可比，可计算偏态的相对值，即偏斜度（α）又称为偏态系数，就是将偏态的绝对数用其标准差除之。
公式为：（4-55）偏斜度是以标准差为单位的算术平均数与众数的离差，故其取值范围一般在0与±3之间。
α为0表示对称分布，α为+3与-3分别表示极右偏态和极左偏态。
（二）峰度峰度是指次数分布曲线顶峰的尖平程度，是次数分布的又一重要特征。
统计上，常以正态分布曲线为标准，来观察比较某一次数分布曲线的顶端正党风尖顶或平顶以及尖平程度的大小。
根据变量值的集中与分散程度，峰度一般可表现为三种形态：尖顶峰度、平顶峰度和标准峰度。
当变量值的次数在众数周围分布比较集中，使次数分布曲线比正态分布曲线顶峰更为隆起尖峭，称为尖顶峰度；当变量值的次数在众数周围分布较为分散，使次数分布曲线较正态分布曲线更为平缓，称为平顶峰度。
可见，尖顶峰度或平顶峰度都是相对正态分布曲线的标准峰度而言的。
峰度的测定，一般是采用统计动差方法，即以四阶中心动差V4为测定依据，将V4除以其标准差的四次方σ4，以消除单位量纲的影响，便于不同次数分布曲线的峰度比较，从而得到以无名数表示的相对数，即为峰度的测定值（β）。
计算公式为：（4-56）由统计计算分析可知，当次数分布为正态分布曲线时，β=3，以此为标准就可比较分析各种次数分布曲线的峰度。
当β>3时，表示分布曲线呈尖顶峰度，为尖顶曲线，说明变量值的次数较为密集地分布在众数的周围，β值越大于3，分布曲线的顶端越尖峭。
当β<3时，表示分布曲线呈平顶峰度，为平顶曲线，说明变量值的次数分布比较均匀地分散在众数的两侧，β值越小于3，则分布曲线的顶峰就越平缓。
一般当β值接近于1.8时，分布曲线呈水平矩形分布形态，说明各组变量值的次数相同。
当β值小于1.8时，次数分布曲线趋向“U”型分布。
实际统计分析中，通常将偏度和峰度结合起来运用，以判断变量分布是否接近于正态分布。
上一页下一页返回上一页下一页返回你的位置：第四章| 第七节|四、标志变异相对指标四、标志变异相对指标上述讨论的各种标志变异的绝对指标，如平均差、标准差等，是有计量单位的名数，其数值的大小不仅受标志值变动的影响，而且又受平均水平高低的影响。
因此，为了对比分析不同平均水平的变量数列的标志变动度，不宜直接用平均差或标准差，而应消除计量单位不同以及平均水平高低不一的影响，计算能反映标志变动的相对指标，即标志变动系数，又称离散系数或变异系数。
常用的标志变动系数有平均差系数和标准差系数，而以标准差系数的应用最为普遍。
此外，有时也应用全距系数。
（一）平均差系数即平均差除以相应的算术平均数，反映标志值离差的相对水平，记作VA.D.，其公式如下：（4-53）（二）标准差系数即标准差除以相应的算术平均数，反映标志值离差的相对水平，记作Vσ，其计算公式为：（4-54）综上所述，可见标志变动系数一般用百分数表示，由于把相应的算术平均数都化作100，因而标志变动系数可以用来比较平均水平不同的几组标志值的变动程度。
同时，平均差系数、标准差系数只是平均差、标准差相当于相应的算术平均数的百分比，不再保持原有资料的单位，因此，可以用来比较计量单位不同的指标之间的变异程度。
上一页下一页返回上一页下一页返回你的位置：第四章| 第七节|三、交替标志的平均数与标准差三、交替标志的平均数与标准差在统计研究中，经常遇到这样一种情况，即总体全部单位可划分两种情况，即具有或不具有某种性质的单位，这两部分单位合并构成一个总体。
例如，全部产品经质量检验，可分为合格品和非合格品两部分；人口总体按性别可分为男性和女性两部分等等。
这种通过“是、否”或“有、无”的区分将总体单位划分为两部分的标志，称为交替标志。
它在总体单位间以两种形式出现，非此即彼。
交替标志主要用于反映总体单位间性质上的差别。
对交替标志进行研究，需要把这种标志在性质上的差别转化为数量上的差异，进一步分析其数量特征。
统计上是通过（0，1）变量值的处理方法对其进行过渡。
由于交替标志只有两种标志表现，因此可用1代表具有某种性质的单位的标志值，用0代表不具有某种性质的单位的标志值，并将具有某种标志值的那部分总体单位数占总体全部单位数的比重（成数），用P表示，将不具有某种标志值的那部分总体单位数占总体全部单位数的比重（成数），用Q表示。
即：通过以上对交替标志的过渡与转换，就能计算交替标志的平均数与标准差。
计算交替标志的平均数和标准差的方法可以表述如下：表4-8交替标志值X 总体成数fXfX-(=P)(X-)2 (X-)2f1 0 PQP1-P0-P(1-P)2(0-P)2(1-P)2P(0-P)2Q合计 1 P - - Q2P+P2Q 交替标志的平均数：（4-51）交替标志的标准差：（4-52）上一页下一页返回上一页下一页返回你的位置：第四章| 第七节|二、标志变异绝对指标二、标志变异绝对指标常用的标志变异指标有全距、平均差和标准差。
这一类变异指标主要用以反映标志变动的绝对程度，用绝对数表示，一般不能用于不同总体之间离散程度大小的直接比较。
（一）全距就是总体各单位标志值中的最大值与最小值的差距，借以表明总体标志值的差异范围的大小。
在组距数列中，全距的近似值不是最高组的上限与最低组的下限之差。
由于全距（R）是一个数列中两个极端数值之差，所以又称为极差：R=Xmax-Xmin （4-39）全距是测定标志变动度最简单的方法，计算简便，而且容易理解，因此在很多场合采用全距来约略地说明某些现象的标志变动程度，例如农作物收获率的差距、某一商品价格的差距等。
特别是在现代化高速生产的工艺过程中，常用全距检查产品质量的稳定性和进行质量控制。
但由于全距不是根据全部标志值计算的，很容易受极端数值的影响，其结果不能充分反映现象的实际离散程度，因而在应用方面有一定的局限性。
（二）平均差平均差就是总体各单位标志值对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，它能综合反映总体各单位标志值的变动程度。
平均差愈大，表示标志变动度愈大；反之，平均差愈小，表示变动度愈小。
在资料未经分组的情况下，平均差（用A.D.代表）可按下述公式计算：（4-40）由于各个标志值与其算术平均数的离差的代数和恒等于零，所以要用离差的绝对值（）计算平均差。
在资料已分组的情况下，要计算加权平均差，其计算公式为：（4-41）上式中的X，在组距数列中则用各组的组中值代表。
平均差不同于全距，它考虑了总体全部单位标志值的差异，能较准确地反映总体各标志值的平均变异程度。
但由于它采用绝对值的离差形式加以数学假定，在运用上有较大的局限性，因此，需要采用一种数学性能更优越的标志变异指标，即标准差。
（三）标准差为了克服平均差采用离差绝对值计算的缺点，可以先求出各人标志值对其算术平均数的离差，将各项离差加以平方（）2，以消除离差的正负号；然后再计算这些离差平方的算术平均数，所得结果称为总体方差。
如果用符号σ2代表总体方差，其计算公式为：（4-42）因为统计指标数值一般都是名数，而名数的平方除了少数如平方米等有意义外，很多名数如千克、元等等的平方并没有现实意义，不容易理解，因此，在统计分析中通常将方差开方，求出正平方根，还原为与平均数相同的名数，称为标准差或均方差，记作σ，其公式如下：（4-43）上式可以化为：（4-44）因为，所以（4-45）上述（4-43）、（4-44）和（4-45）式是根据未分组资料计算标准差的简单平均式。
如果用（4-45）式计算标准差，可以不必先求出，直接按各个标志值计算，从而避免因计算平均数时四舍五入经起的舍入误差。
由分组资料或组距数列计算均方差，需要采用加权公式：（4-46）同理，上式也可以化为如下的形式：（4-47）当X和f的数值相当大时，计算标准差的过程相当复杂，可以采用简捷法。
根据算术平均数的数学性质，可以将（4-47）式化为：（4-48）设，则（4-49）标准差不仅具有平均差的优点，而且在数学处理上比平均差更为合理。
其一，采用玉立的方法来消除离差的正负号，便于数学运用。
其二，运用了最小值的数学性质，使标准差的计算更精确、更科学。
其三，在正态分布条件下，标准差与平均数有着明确的数量关系，是真正测度离中趋势的标准。
在分组条件下求标志值的标准差和未分组条件下求所有标志值的标准差，其结果是不同的。
在社会经济统计分析中，我们经常要将分组分析与标志变异分析结合起来应用，这就要求我们能根据不同层次的分组要求计算各层次的方差，即计算总方差，组间方差与组内方差。
总方差就是指总体中所有标志值与其总平均数离差平方的算术平均数，它是以所有标志值对总平均数计算的标准差平方，反映整个总体的总离差。
组间方差是根据各组平均数对其总平均数计算的标准差平方，反映各组之间的离差。
组内方差是根据各组中各单位标志值对组平均数计算的标准差平方，反映各组内部的离差。
对上述各方差之间的关系进行研究，可以发现存在下述数学关系式：（4-50）这就是方差的加法定理。
运用该定理可计算各种方差。
上一页下一页返回上一页下一页返回你的位置：第四章| 第五节|三、众数、中位数和算术平均数的关系三、众数、中位数和算术平均数的关系众数、中位数与算术平均数之间有着一定的关系，这种关系决定于总体次数分布的状况。
当次数分布呈对称的钟型分布时，算术平均数位于次数分布曲线的对称点上，而该点又是曲线的最高点和中心点，因此，众数、中位数和算术平均数三者相等。
当次数分布呈非对称的钟型分布，由于这三种平均数受极端数值影响程度的不同，因而它们的数值就存在一定的差别，但三者之间仍有一定的关系。
当次数分布右偏时，算术平均数受偏高数值影响较大，其位置必然在众数之右，中位数在众数与算术平均数之间，因而有如下的关系：。
反之。
当次数分布左偏时，算术平均数受偏小数值的影响较大，其位置在众数之左，中位数仍在两者之间，三者的关系：。
根据英国统计学家皮尔逊（Karl Pearson）的经验，在偏态分布的偏斜程度不太显著时，上述三种平均数的位置有一定的关系，即中位数与算术平均数的距离，约等于众数与算术平均数距离全长的1/3；中位数与众数的距离，约等于众数与算术平均数距离全长的2/3。