第六章 模糊关系方程
模糊关系与模糊关系方程
Ｖ ｄ Ｏ ］ ２ ６ ｊ丁（ ， ） ∈Ｅ ，１ ； ） ≤ｃ ６ ≤Ｔ（ ， ） Ｖ ｄ ６ ｃ Ｏ １ ， 称 １ 是 ［ ， ］ ａ ｃ ， ， ， ∈７ ，］ 则 ’ ０ １ 上的 一个 伪 ｔ 模 ．此 一 ｄ ∈Ｅ ， ］（∈ ＝ ７（ Ｖ Ｅ ） Ｖ ∈１ ． ， ， ０ １ ） ’ ． 一 ，’ ） Ｊ 其 中 ．是非 空指标 集 ， 称伪 ｔ 模 了 是 无 穷 Ｖ一 ， 则 一 １ 分配 的． 用 Ⅳ 表示 ［ ，１ 上所 有无穷 Ｖ一 配伪 一 ０ ］ 分 模组 成 的集 合．对 于 ７∈Ⅵ ， ’ ， 令 （’（ ，） Ｖ｛ ∈［ ，３ １（ ， ） ｝ Ｖ ｄ ６ ０ １ ． ７）＆ ６ 一 ” ０ １ Ｉ 。 ” ≤６ ． ， ∈Ｅ ， ３ 性质 １ 设 ７∈Ｗ ， ：１ ７） ’ （’，则 Ｉ ｉ １ 一６ ｉ ０ ６ 一 １ Ｖ ６ ０ ］ ） （， ， （ ， ｊ ， ∈［ ，１ ；
关 系是现 代 数学 中的 一个 非常 重 要 的概念 ，模糊关 系是 普通 关 系 的推 广 ， 为描述 和 处理 模糊 它 现象 提供 了一些 有效 的方法．模 糊关 系和模糊 关 系方程在 模糊 数学 理论 及其 应用 中 占有相 当 重要的
地 位．在本 文 中 ， 笔者 将利 用伪 ｔ 模定 义 模糊关 系 的合成 ， 论 它们 的一些 性 质 ， 而研 究模 糊关 系 一 讨 进
方 程 Ｐ 。 Ｑ一 和 Ｐ ａ 一 解 的 结 构． ｒ ，
１ 伪 ｔ 模 与模 糊 关 系 的合 成 一
定义 ｌ …
外， 若
设
［ ， ３ ｏ １一 Ｅ ， ］ ０ １ ×Ｅ ， ］ ｏ １ ．若 、 满足下 列条 件 ： ） （ ， ） ， ’ ， ） ， １ ’１ ｎ ＝ｄ ７（ ＝０ Ｏ
模糊关系及推论
模糊逻辑的运算
模糊逻辑中的运算包括模糊与、模糊或、模糊非 等。
这些运算不同于经典逻辑中的与、或、非运算， 它们在处理模糊信息时具有不同的性质和效果。
例如，模糊与运算可以处理两个模糊集合之间的 关系，并得到一个新的模糊集合。
模糊逻辑的性质
01
模糊逻辑具有连续性，这意味着它能够处理连续的变量和 值域。
03 模糊集合
模糊集合的定义
模糊集合是由普通集 合中引入了程度概念 的集合。
模糊集合用数学符号 表示为A，其中A⊆X， X为论域。
模糊集合的元素不再 是确定的，而是属于 集合的程度在0到1之 间。
模糊集合的运算
并集
设A、B为模糊集合，则A∪B表示A和B中所有元素的集合， 其隶属度为max(A(x), B(x))。
交运算
02
03
补运算
表示两个模糊集合的交集，表示 元素属于这两个集合的程度的最 大值。
表示一个模糊集合的补集，表示 元素不属于这个集合的程度的最 大值。
02 模糊推理
模糊推理的定义
模糊推理是一种基于模糊集合理论的推理方法，用于处理具有模糊性的信 息和数据。
它通过将普通集合论中的确定性概念扩展到模糊集合论中的不确定性概念， 使得推理过程能够更好地处理现实世界中的模糊性和不确定性。
02
它还具有非线性，这意味着它能够处理非线性关系和函数。
03
此外，模糊逻辑还具有自反性和对称性等性质，这些性质 使得它在处理模糊信息时具有更强的灵活性和适应性。
05 模糊系统
模糊系统的定义
01
模糊系统是一种基于模糊集合理论的系统，用于处理具有不确 定性、不完全性和模糊性的信息。
02
它通过模糊化输入信号，将确定的输入转化为模糊集合，然后
(优选)模糊关系方程ppt讲解
a11a12 L a1n x1 b1
a21a22
L
a2n
o
x2
b2
K K K K K M M
am1am2 L amn xn bm
4.4
方程4.4的求解步骤如下
模糊矩阵方程求解表
xˆ1 L L
xˆ L L i
xˆm
Xˆ
C
A
xl
1
L
L
xl L L i
xlm
X oA B
4.2
求X mn
解模糊矩阵方程（4.1）和（4.2）实际上是一样的. 对（4.2）两端求转置则得
AT o X T BT
这即属于4.1的形式，故只需讨论4.1式的求解问题，
即讨论形如
a11a12 L a1n x11x12 L x1l b11b12 L b1l
a21a22 L a2n
X l
说明
1 按bi从大到小排序后得到的对应增广矩阵写入A处； 2 A上铣后得到的矩阵写入C处；
3按列求下确界得最大解X， 约定：空集的下确界为1
将第i个分量写入xˆi处；
4 对A平铣，即把与aij相等的补入C中相应的空白处 加框； 5 划去C中各列的超上界元素 在划去的元素上方划一横线，
并判别解的存在性；
当方程有解时，称方程是相容的，否则称方程是不相容的.
由前章知，当论域有限时，模糊关系可用矩阵表示 相应的有限域上的模糊关系方程就成为模糊矩阵方程 从应用的角度出发，本章只讨论模糊矩阵方程 二、模糊矩阵方程
1设A mn , B ml ,
AoX B
4.1
求X nl
2设A nl , B ml
有解 所有行非空
6 根据筛选原则求极小解，并把第l个极小解的第个写入xil 处.
第6次课模糊关系性质
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9
模糊等价关系
若论域X上的模糊关系R同时满足自反性、对称性、 传递性，则称R为X上的一个具有等价性的模糊关系， 简称模糊等价关系。
举例：？
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11
。
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7
举例：“相似关系”
既有自反性、又具有对称性的模糊关系 称为模糊相（等）容关系。如相似关系
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8
反对称性
如果模糊关系R满足
R(x, y) = R(y, x) R(x, y) = R(y, x) = 0，
则称R具有反对称性。
反对称性对应的矩阵为反对称矩阵，即满足RRT I 举例：“父子关系”，验证其反对称性
零关系：对应的矩阵为零矩阵 全称关系：对应的矩阵为全矩阵
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3
模糊关系的性质与合成
1、自反性：R(x, x) = 1 2、非自反性: R(x, x) = 0 3、对称性: R(x, y) = R(y, x) 4、反对称性: R(x, y) = R(y, x) R(x, y) = R(y, x) = 0 5、传递性: R(x, z) y(R(x, y) R(y, z))
内容回顾：
定义：设X, Y是两个非空集合，则直积X Y = {(x, y) x X, y Y}中的一个模糊子集R称为从X到Y的一个 模糊关系。 关模糊系——例
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1
普通关系：元素之间是否关联； 模糊关系：元素之间关联程度。
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2
三个特殊模糊关系
恒等关系对应的矩阵为单位矩阵，即
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4
自反性
具有自反性的模糊关系，简称自反关系。 自反矩阵：R 如果R(x, x) = 0, 则称R具有非自反性。
模糊关系方程的求解
模糊关系方程的求解
模糊关系方程在现代数学领域占据了诸多重要位置。
换句话说，模糊关系方程是一种特殊的参数形式，这种参数形式可以用来处理领域涉及的系统的模糊关系，它可以表示特定的复杂性矩阵。
模糊关系方程又称为Foetisch模糊关系方程，它是现代数学中重要的一种概念，可以用来解决模糊、复杂范畴系统关系模糊关系的描述问题。
模糊关系方程按其形式表示，可以分为两部分，即等式及其参数。
等式的形式通常为将未知值一侧，等式的右侧表示模糊关系的关联函数，即通常被称为模糊子空间的值。
参数部分用来表示系统的决策，用来解释系统的非线性关系。
模糊关系方程具有许多值得研究的特点，所引起的模糊关系经常不是清晰可用的。
因此，求解模糊关系方程变得相当困难。
一般情况下，采用解析求解、数值求解和感知求解等方法可以解决Foetisch模糊关系方程的求解问题。
解析求解是以Foetisch模糊关系方程的解析形式求解的相关方法，实施解析求解可以明确求解的基本原理和求解所需要计算的细节；数值求解是用许多数值技术总结问题，把Foetisch模糊关系方程拆分成多个子问题，再分别解决每个子问题；而感知求解是以模糊关系中提出的模糊子空间等非常量参数解决问题，采用多项式构建模型，使结果获得更高的精度。
总的来说，模糊关系方程的求解是一个非常重要的问题，它可以帮助学术界解决模糊关系研究和讨论一些重要的应用实例，也可以为现实世界的复杂系统关系提供更有效的模型。
fuzzy关系方程的几种特殊解
fuzzy关系方程的几种特殊解1模糊关系方程模糊关系方程是一种描述模糊概念引导人们去推导数学表达式和进行计算的主要工具，它可以将讨论话题的实际经验转换为形式化的、定量的表示，从而让研究者轻松地观察分析相关现象。
模糊关系方程可以分为承载系统、模糊集的关系方程和模糊支配函数的关系方程三种类型，其中有一些特殊解。
2承载系统的特殊解承载系统的特殊解是模糊关系方程的最基本情形，它们包括模糊集表达式、模糊系统表达式和模糊决策表达式。
模糊集表达式（FSM）通过一系列概念性变量表达系统的特征，并利用条件判定的方式快速推导出系统的有关参数；模糊系统表达式（FSM）通过一系列先验变量和约束条件，准确地刻画出系统内部的复杂特征；模糊决策表达式（FM）则通过一系列概念性变量，设定出适当的模糊规则，辅以数学抽象技术，以期得出有效的决策计划。
3模糊集关系方程的特殊解模糊集关系方程是模糊关系方程实施过程中很重要的一个要素，它将文字描述的思想转换成流程性问题，然后再将其转换为数学运算，从而实现有效的概念实现。
常见的模糊集关系方程的特殊解有：逻辑推理关系，其表达形式为“逻辑推理”，用于描述客观存在的原则；绝缘图法，用于加强模糊集的描述能力；联调图法，用于调整模糊集的边界；交互式调整，用于实施模糊集的调整，以及一些其他表示模糊集的精确或者近似计算方法等等。
4模糊支配函数的特殊解模糊支配函数使用有限参数概念去抽象表达模糊概念，可以有效地解决实际问题中存在的复杂性及不确定性问题，它是模糊关系方程的重要组成部分。
常见的模糊支配函数的特殊解可以分为常见的模糊控制函数和灰色关联函数两类，常见的模糊控制函数包括：线性函数，主要用于模拟判断规则中包含表达式；幂函数，因其函数参数灵活性，而得到广泛应用；指数函数，主要用于模拟表达式中包含趋势；并行形式模糊函数，有利于表达多角度的主观概念；灰色关联函数，它的优势在于能够表达出领域中出现的线性以及非线性复杂度等特性。
模糊数学(模糊关系合成)
）－1,
x
y
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13
例2答案
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14
例2答案
同例1一样，首先把y作为变量，x和 z均当作常量，画出对应的曲线
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15
例2答案
求出交点的横坐标z* 求得交点的纵坐标，即为合成关系
RоR的隶属函数
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存在一个y，y是x的兄弟，且y是z父 亲
xSz存在y∈X,使xQy且yRz 称叔侄关系S是兄弟关系Q和父子关
系R的合成，记为S=QоR
5
关系合成的定义
设Q∈P(U×V),R∈P(V×W), S∈P(U×W)
若(u,w)∈S存在v∈V,使 (u,v)∈Q且(v,w)∈R，则称关系S是 由关系Q与关系R合成的，记作 S=QоR
I ⊆ A⊆A2 ⊆ A3 ⊆…⊆ An-1 ⊆An⊆…
证明:
A2 A A A I A;
A3 A2 A A2 I A2;
...
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32
对称性
若模糊关系R满足R(u,v)=R(v,u)，则 称R具有对称性
模糊对称矩阵
rij = rji
例如：
1 0.4 0.5 A 0.4 1 0.9
(5) (QоR) λ= Qλо Rλ 推论 (Rn) λ= (Rλ)n
(6) (QоR) T= QTо RT 推论 (Rn) T= (RT)n
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27
课后作业
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3-7 模糊等价关系及聚类图
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2.3 模糊关系
令 X和 Y是二个论域，则模糊关系 R(X,Y)是 X× Y空间中的模糊集合，可表示为： R( X , Y ) = {(( x , y ), µ R ( x, y)) ( x, y ) ∈ X × Y } 称作 X× Y中的二元模糊关系。
理解说明：
⑶所有序偶 (x, y)组成的新的论域空间。这 个空间称为积空间，表示为 X × Y ⑷ 描述新论域元素之间的相关程度即模糊关 µ R ( x, y)指积空间中的序偶属于 R的程度。 系 R。
21 c11 c12 则 A和B的合成为： C = Ao B = c 21 c22
a 21
a12 a22
，B = b
b11
b12 b22
其中
c11 = (a 11 ∧ b11 ) ∨ (a 12 ∧ b 21 ) c12 = ( a11 ∧ b12 ) ∨ (a 12 ∧ b 22 ) c 21 = (a 21 ∧ b11 ) ∨ (a 22 ∧ b 21 ) c 22 = (a 21 ∧ b12 ) ∨ (a 22 ∧ b 22 )
y1
0.7 0
y2
y3
y1
y2
y3
x1 0.7 1.0 0.1 x2 0 0.8 0.7
1.0 0.8 0.1 0.7x1x2 NhomakorabeaR=
x1 0.7 1 .0 0 .1 x2 0 0 .8 0.7
特点：清晰易懂直观，不足是只能表示二维 关系，应用受限，但在控制领域中应用非常 广泛。
；
则子女与祖父母相似关系运算为
0.8 0.3 0.7 0.5 0. 7 0.5 T = Ro S = o = 0.4 0. 7 0.1 0. 1 0. 4 0.4
关于模糊关系与模糊子群的注记
关于模糊关系与模糊子群的注记模糊关系和模糊子群是模糊数学中的两个重要概念，它们在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将对这两个概念进行详细讨论，并介绍其相关的性质和应用。
一、模糊关系模糊关系是指一种不确定性的关系，它通常用来描述两个或多个对象之间的某种程度的关联性。
在模糊关系中，每个对象都被赋予了一个模糊度，表示其与其他对象的关系的不确定程度。
例如，在描述人与人之间的关系时，我们可以使用模糊关系来表示两个人之间的亲密程度、朋友关系等。
在模糊关系中，我们通常使用模糊矩阵来表示。
模糊矩阵是一个n×n的矩阵，其中每个元素都是一个[0,1]之间的实数，表示两个对象之间的模糊关系的强度。
如果两个对象之间的模糊关系越强，那么它们之间的模糊矩阵元素就越接近于1；反之，如果它们之间的关系越弱，那么元素就越接近于0。
模糊关系的应用非常广泛，例如在社交网络分析、人际关系建立、图像处理等领域都有着重要的应用。
在社交网络分析中，我们可以使用模糊关系来描述人与人之间的社交关系，从而分析社交网络的结构和特征。
在图像处理中，我们可以使用模糊关系来进行图像分割和图像识别等工作。
二、模糊子群模糊子群是指在一个群中的一个子集，它具有一定的模糊性质。
在模糊子群中，每个元素都被赋予了一个模糊度，表示它与子群中的其他元素的关系的不确定程度。
例如，在描述一个人群中的子群时，我们可以使用模糊子群来表示某些人之间的某种程度的关联性。
在模糊子群中，我们通常使用模糊子群矩阵来表示。
模糊子群矩阵是一个n×n的矩阵，其中每个元素都是一个[0,1]之间的实数，表示子群中两个元素之间的模糊关系的强度。
如果两个元素之间的模糊关系越强，那么它们之间的模糊子群矩阵元素就越接近于1；反之，如果它们之间的关系越弱，那么元素就越接近于0。
模糊子群的应用也非常广泛，例如在人际关系建立、图像处理、数据挖掘等领域都有着重要的应用。
在人际关系建立中，我们可以使用模糊子群来描述某些人之间的某种程度的关联性，从而为社交网络分析提供基础。
模糊关系方程的求解方法(ⅰ)
模糊关系方程的求解方法(ⅰ)模糊关系方程（Fuzzy Relation Equation，FRE）是模糊数学中的一种重要工具，用于描述两个或多个模糊集之间的关系。
在实际应用中，模糊关系方程可以用来分析和处理各种信息不确定性问题，具有很高的实用性和广泛的应用前景。
一、模糊关系方程的定义模糊关系方程是一种表示模糊关系的数学工具，它定义了一个模糊集关系，用于描述两个或多个模糊集之间的关系。
它的一般形式为：R = R(x, y)其中，x、y是两个变量，R(x, y)是它们之间的模糊关系，通常用一个模糊规则来定义，如下所示：IF x is A and y is B, THEN R(x, y) is C其中，A、B、C分别是三个模糊集，表示变量x、y和它们的关系R(x, y)。
这个规则是根据当前问题场景和需求来确定的，可以人工经验或使用专家系统等技术来定义。
二、模糊关系方程的求解方法模糊关系方程的求解方法有很多，本文介绍以下三种常用方法：1.等价变换法等价变换法是一种利用变换函数将原问题转化为等价的新问题去求解的方法。
该方法的基本思想是将原问题中的变量通过变换函数映射到新的变量上，然后求解等价的新问题，最后再将结果通过逆变换函数还原回原问题中的变量上。
这种方法适用于模糊化程度较低的问题，计算量较小，但容易出现误差。
2.迭代逼近法迭代逼近法是一种通过迭代计算来逐步逼近模糊关系方程解的方法。
该方法的基本思想是先给出一个初始的解或解集，然后通过迭代计算的方式逐步不断地优化解的准确度和稳定性，直到满足一定的收敛条件为止。
这种方法适用于任意模糊度的问题，计算效率较高，但容易受到初始解的影响。
3.逻辑推理法逻辑推理法是一种利用模糊逻辑运算规则和模糊推理机制来推导求解模糊关系方程的方法。
该方法的基本思想是先将模糊关系方程转化为一组模糊规则或模糊逻辑表达式，然后通过运用模糊逻辑运算规则和模糊推理机制来推导求解出问题的答案。
模糊数学中的模糊关系与模糊矩阵
模糊数学中的模糊关系与模糊矩阵模糊数学，作为应用于不确定性问题的重要工具，对于描述模糊和不确定现象具有重要意义。
其中，模糊关系和模糊矩阵是模糊数学中的两个重要概念。
本文将对模糊关系和模糊矩阵进行详细介绍，并探讨其在实际问题中的应用。
1. 模糊关系在模糊数学中，模糊关系是指一种描述元素之间模糊互相关系的工具。
模糊关系可以表示为一个二元组R = (U×V, {μR(u,v)})，其中U和V是两个隶属函数，代表了元素u和v之间的隶属程度，μR(u,v)表示模糊关系R在元素u和v之间的隶属度。
模糊关系可以通过物理世界的实际问题得到，例如描述两个城市之间的距离、两个人之间的亲密程度等。
在实际问题中，模糊关系常常用于描述隶属程度的模糊性，以及元素之间关系的不确定性。
2. 模糊矩阵模糊矩阵是模糊关系的一种表示形式。
它是一个正方形矩阵，矩阵的每个元素都表示了模糊关系的隶属度。
假设元素集合U={u1, u2, ..., un}，模糊关系R可以表示为一个n×n 的模糊矩阵R=(μR(u,v))，其中μR(u,v)表示元素u和v之间的隶属度。
模糊矩阵中的元素可以是实数也可以是区间，取决于具体问题的模糊性程度和不确定性程度。
模糊矩阵在实际问题中的应用十分广泛。
例如，在推荐系统中，可以利用模糊矩阵描述用户对不同商品之间的喜爱程度；在风险评估中，可以利用模糊矩阵描述不同因素之间的关联程度，以及对整体风险的影响程度等。
3. 模糊关系的运算模糊关系可以进行多种运算，用以描述元素之间的模糊关系以及模糊关系之间的逻辑关系。
（1）模糊关系的合成运算模糊关系的合成运算可以将两个模糊关系进行组合，得到新的模糊关系。
常用的合成运算有模糊交、模糊并、模糊合和模糊补等，通过这些运算可以描述模糊关系之间的逻辑操作。
（2）模糊关系的传播运算模糊关系的传播运算可以通过已知模糊关系推导出新的模糊关系。
传播运算可以根据给定的模糊关系和传播规则，计算出新的模糊关系，用以描述元素之间的关系传递和传递程度。
模糊关系和模糊矩阵
THANKS
感谢观看
模糊矩阵的运算
模糊矩阵的加法
对应元素相加，保持行和列的和为1。
模糊矩阵的乘法
对应元素相乘，保持行和列的和为1。
模糊矩阵的转置
将矩阵的行和列互换。
模糊矩阵的逆
求出每个元素的逆值，保持行和列的 和为1。
03
模糊关系和模糊矩阵的应用
在决策分析中的应用
模糊决策树
利用模糊关系和模糊矩阵构建决策树模型，用于处理不确定性和 模糊性，提高决策的准确性和可靠性。
模糊聚类分析
通过模糊矩阵进行聚类分析，将数据点按照相似性程度进行分类， 适用于处理具有模糊性的分类问题。
模糊综合评价
基于模糊关系和模糊矩阵，对多个因素进行综合评价，得出一个全 面的评价结果，适用于多因素决策和评价。
在模式识别中的应用
模糊模式识别
利用模糊关系和模糊矩阵进行模式识别，能够处理模式间的模糊 性和不确定性，提高识别的准确率。
模糊分类器
基于模糊关系和模糊矩阵构建分类器，用于分类问题中处理不确 定性和模糊性，提高分类的精度。
模糊匹配算法
利用模糊关系和模糊矩阵进行模式匹配，适用于处理图像、语音 等领域的模式匹配问题。
在控制系统中的应用
模糊逻辑控制
通过构建模糊关系和模糊矩阵，实现基于模糊逻辑的控制算法，用 于处理控制系统的复杂性和不确定性。
模糊关系和模糊矩阵
• 模糊关系 • 模糊矩阵 • 模糊关系和模糊矩阵的应用 • 模糊关系和模糊矩阵的进一步研究
01
模糊关系
模糊关系的定义
01
模糊关系是用来描述模糊集合之间的相互关系，通常用模糊矩 阵来表示。
模糊关系方程在汽车系统分析中的应用
交通科技与管理113技术与应用作者简介：李滨（1976-）,男,江苏连云港人,博士,讲师,研究方向：悬架动力学及控制。
模糊关系方程在汽车系统分析中的应用李 滨（合肥工业大学 机械与汽车工程学院,合肥 230009）摘 要：本文介绍了模糊数学中模糊集合和模糊子集，给模糊关系和模糊关系矩阵进行定义，并把模糊关系用模糊矩阵进行表示，最后提出了模糊关系方程中的模糊综合评判数学模型，得出模糊关系方程评价某一模型的方法，并将该方法应用到某一地区轿车销售的分析中。
关键词：模糊关系方程；综合评判；汽车中图分类号：U461 文献标识码：A0 引言模糊关系方程是模糊数学中的一种关系方程，这种方程客观存在人类思维、社会现象和自然现象中，为了描述和研究这类现象而产生了模糊数学。
模糊数学诞生于1965年，在模糊数学中引入了隶属函数的概念。
隶属函数的取值范围是闭区间[0,1]中的任何实数，从而打破了确定性数学“非对则错”的局限性，而用0，1间的数来描述中间过渡状态。
隶属函数等于0或1只是一种极端情况，或者说，确定性只是模糊性的特殊情况。
有关模糊数学专家建立了模糊集合论，首次运用数学方法来描述模糊现象，这无疑是一种具有开创意义的工作。
“模糊”与“数学”是两个对立的词，把两者统一起来，不是让数学放弃它的严格性去迁就模糊性，而是要把数学方法打入到模糊现象的禁区。
可以认为，模糊数学就是用定量方法研究和处理具有“模糊性”现象的科学，这里所说的“模糊性”主要是指客观事物差异的中间过渡中界线“不分明线”，如汽车“样式的新旧”、“质量的好坏”、“价格的高低”等。
模糊一词的英文是“Fuzzy”，除了具有“含糊的”意义之外，还有“界限不分”的意思，运用模糊数学能把含糊不清的问题以量的形式表现出来，让人们判断事物有足够的理论依据，从而提示人们判断事物的准确性。
本文利用模糊数学关系方程来分析汽车销售，下面介绍模糊数学的有关概念。
1 模糊数学中的集合和模糊子集集合是在某一论域中，由具有某种特定性质的具体的或抽象的事物（即元素）之全体，一般用大写字母A,B,C 等表示。
模糊关系及推理
2.3合成运算 (2)
■ 令 P( X ,Y ) 与Q(Y , Z ) 分别代表定义于X Y 及 Y Z 个模糊关系，那么P 及 Q 合成其相关定义如下：
的两
R PQ
(
x,
z),max
y
t
R1 ( x,
y),R2
( y, z)
x
X
,
y
Y,z
Z
其中 t(. , .) 是的运算子。那么用“最大-最小合成(max-min
语言值的运算子 (2)
■我们定义 A 为 x 值接近 0 的模糊集合
0 if x 1 1 x if 1 x 0
A(x) { 1 x if 0 x 1
0 x 1
A3 (0.5) 0.125 A2 (0.5) 0.25 A(0.5) 0.5 A0.5 (0.5) 0.707 A0.25 (0.5) 0.84
为将 R3 柱状扩充至 ( X1 X 2 X 3) 所形成的关系，亦即：
R1*2 R12 ( X1 X 2 X 3) R3* R3 ( X1 X 2 X 3)
( x1, x2 , x3)
R1*2 ( x1, x2 , x3)
R3* ( x1, x2 , x3)
(x,a,s)
0.9
T (x) 低(low),適中(moderate ),高(high ),
■论域 U 可定义于 [0, 50] 之区间；至于产生 T(x) 的句法规则 G 就是
一种很直觉的方式，例如用来形容温度的措词，不外乎是形容它的
温度高低，而不会用“老”或“快”来形容它，而M定义了这些语
言值的相关隶属函数，譬如说：
■ 已知一个三元模糊关系的定义如下： X1 {x, y},X 2 {a,b},X 3 {s,t}
模糊集合的基本概念与模糊关系
（B ∩ C）（A ∪ B）（A ∪ C） = ∩ （8）（A ∪
（9）
A= A
A ∪ B = A∩ B ———— A ∩ B = A∪ B
————
（10）
(德莫尔甘定律)
（11）
A ∪ = ，A ∩ = A A ∪ = A，A ∩ =
6.4 模糊关系 模糊关系
在直积空间
X ×Y ={( x, y) x∈X, y∈Y}
中的模糊关系R， 中的模糊关系 ，就是在 来表示特征的模糊集R 来表示特征的模糊集 若 X =Y 则把 X × X
X ×Y
它以隶属度函数
R(x, y)
中的模糊关系称为X上的模糊关系 中的模糊关系称为 上的模糊关系. 上的模糊关系
更一般地在直积空间 就是用n元隶属度函数 其中： 其中：
X = X1 × X2 ×Xn
中的n元模糊集R 中的n元模糊集R
R(x1, x2,xn)
i =1,2,n
来表示的模糊集 来表示的模糊集R 模糊集
xi ∈Xi
为汽车， 例1 设x,y为汽车，则“x比y好”这种关系就是模糊关系 为汽车 比 好 x,y指人 指人， x和 相象” 例2 设x,y指人，则“x和y 相象”这种关系也是模糊关系 设:
0.5 0.8
而直积
0.5 0.3 0.8 0.5 A B = 0.3 0.7 0.4 0.8 0.5 ∧ 0.8 0.3 ∧ 0.5 0.5 0.3 = = 0.3 0.7 0.4 ∧ 0.3 0.8 ∧ 0.7
_
(5)余模糊矩阵： A 余模糊矩阵： 余模糊矩阵 模糊矩阵 例4 设
性质2 性质
I R=R I =R O R=R O=O E R=R E=E
模糊关系的运算
模糊关系的运算一、引言模糊关系是指具有不确定性的关系，它可以用来描述事物之间的模糊相似性、模糊接近度或隶属度。
在现实生活中，许多问题都存在模糊性，无法用精确的数值表示。
因此，模糊关系的运算成为了解决这类问题的有效方法。
二、模糊关系的定义模糊关系是指一种从一个数学空间到另一个数学空间的映射，其中每个元素在第二个数学空间中都有一个隶属度。
模糊关系可以用矩阵形式表示，其中每个元素表示了两个集合之间的隶属度。
三、模糊关系的运算1. 模糊关系的合成运算模糊关系的合成运算是指将两个或多个模糊关系合并成一个新的模糊关系。
常见的合成运算有最小合成运算和最大合成运算。
最小合成运算的结果是两个模糊关系中对应元素的最小值，最大合成运算的结果是两个模糊关系中对应元素的最大值。
2. 模糊关系的交运算模糊关系的交运算是指将两个模糊关系的对应元素进行逐个比较，取较小值作为交运算的结果。
交运算可以用于求解两个模糊集合之间的相似性或接近度。
3. 模糊关系的并运算模糊关系的并运算是指将两个模糊关系的对应元素进行逐个比较，取较大值作为并运算的结果。
并运算可以用于求解两个模糊集合之间的共性。
4. 模糊关系的补运算模糊关系的补运算是指将一个模糊关系中的隶属度取反，得到的结果为补运算的结果。
补运算可以用于求解与一个模糊集合相反的模糊集合。
5. 模糊关系的复合运算模糊关系的复合运算是指将一个模糊关系和一个模糊集合进行运算，得到的结果为复合运算的结果。
常见的复合运算有模糊关系的复合和模糊关系的逆复合。
模糊关系的复合是指将一个模糊关系中的元素与一个模糊集合进行运算，得到的结果为新的模糊关系。
模糊关系的逆复合是指将一个模糊关系中的元素与一个模糊集合的补进行运算，得到的结果为新的模糊关系。
四、模糊关系的应用模糊关系的运算在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在模糊控制系统中，可以使用模糊关系的运算来对输入信号进行处理，得到输出信号。
在模糊图像处理中，可以使用模糊关系的运算来对图像进行模糊化或锐化处理。
模糊关系的计算
模糊关系的计算一、引言模糊关系是指在数学中，用于描述事物之间关系的一种数学工具。
与传统的二元关系不同，模糊关系在描述两个事物之间的联系时，不仅仅是简单的“是”或“否”，而是引入了模糊性的概念，即事物之间的关系可以是模糊的、不确定的。
模糊关系的计算是指通过一定的算法和方法，对给定的模糊关系进行分析和处理，以得到有意义的结果。
二、模糊关系的定义与表示在进行模糊关系的计算之前，首先需要定义和表示模糊关系。
一般来说，模糊关系可以通过矩阵来表示。
设有两个事物集合A和B，对于任意的a∈A和b∈B，记R(a,b)为a与b之间的模糊关系的强度。
则可以用一个矩阵R来表示模糊关系，其中第i行第j列的元素R(i,j)表示第i个事物与第j个事物之间的模糊关系的强度。
三、模糊关系的计算方法在进行模糊关系的计算时，常用的方法包括模糊矩阵的加法、减法、乘法、除法等。
具体而言，可以通过以下几种方法来计算模糊关系：1. 模糊矩阵的加法模糊矩阵的加法是指将两个模糊矩阵相加，得到一个新的模糊矩阵。
具体而言，对于两个模糊矩阵R1和R2，可以通过以下公式来计算它们的加法：R = R1 + R2，其中R为计算得到的新的模糊矩阵。
2. 模糊矩阵的减法模糊矩阵的减法是指将一个模糊矩阵减去另一个模糊矩阵，得到一个新的模糊矩阵。
具体而言，对于两个模糊矩阵R1和R2，可以通过以下公式来计算它们的减法：R = R1 - R2，其中R为计算得到的新的模糊矩阵。
3. 模糊矩阵的乘法模糊矩阵的乘法是指将两个模糊矩阵相乘，得到一个新的模糊矩阵。
具体而言，对于两个模糊矩阵R1和R2，可以通过以下公式来计算它们的乘法：R = R1 * R2，其中R为计算得到的新的模糊矩阵。
4. 模糊矩阵的除法模糊矩阵的除法是指将一个模糊矩阵除以另一个模糊矩阵，得到一个新的模糊矩阵。
具体而言，对于两个模糊矩阵R1和R2，可以通过以下公式来计算它们的除法：R = R1 / R2，其中R为计算得到的新的模糊矩阵。
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若
( X (u, v) R(v, w)) S(u, w), (u, w)
vV ~
~
~
则称 X 是方程的一个解. ~
第六章 模糊关系方程
定义1 满足模糊关系方程X R S 的 X
~~ ~
~
称为方程的解.
如果模糊关系方程X R S 有解， ~~ ~
则称方程是相容的. 否则称方程是不相容的.
如果模糊关系方程X R S 的某个解X ，
~~ ~
~
对其他的任意一个解X ,恒有 X X , 称 X 为
~
~
~
~
方程的最大解.
第六章 模糊关系方程
定理1 给出模糊关系方程
XR S
(I)
~~ ~
其中R F (V W ), S F (U W )为已知，
~
~
X F (U V )为未知模糊关系.令
( x1, x2 , x3 ) 0.2 0 0.2 (0.2, 0.4, 0.2) 0 0.6 0.1
3
X ( x1 , x2 , x3 ), xk {s j | rkj s j }, k 1,2,3
j1
3
k 1时, x1 {s j | r1 j s j } 0.2
j1
3
k 2时, x2 {s j | r2 j s j } 1
X
~
(
ui
,
vk
)
{sij
j1
| rkj
sij }
第六章 模糊关系方程
X
~
X
(
xik
)nm
,
R
~
R
Hale Waihona Puke (rkj )ml ,S
~
S
(sil )nl .
模糊关系方程 X R S 可以写成 X R S.
~~ ~
n
(
k 1
xik
rkj )
sij , i
1,2,
, n,
j
1,2,
,l.
l
X ( xik )nm , xik {sij | rkj sij }.
j
原方程有解的充分必要条件是
X R S.
第六章 模糊关系方程
特别地，设U {u}, X ( x1, x2 , , xm ),
R (rkj )ml , S (s1 , s2 , , sl ).
模糊关系方程 X R S 可以写成
( x1, x2 , , xm ) R (s1, s2 , , sl )
X (0.2,1,0.4).
0.3 0.5 0.2
(0.2,1,0.4) 0.2 0 0.2 (0.2, 0.4, 0.2)
~
X (u, v) {S(u, w) | R(v, w) S(u, w)}
~
w~
~
~
方程(I )相容的充分必要条件是X R S 成立. ~~ ~
此时 X 为方程的最大解. ~
第六章 模糊关系方程
论域是有限集时
U (u1, u2 , , un ),V (v1, v2 , , vm ),
W (w1, w2 , , wl ).
l
其中xk {s j | rkj s j }.
j1
模糊关系方程有解的一个判别条件.
第六章 模糊关系方程
例1
判断下面的模糊关系方程是否有解， 若有解，求出其最大解.
0.3 0.5 0.2 (s1, s2 , s3 )
( x1, x2 , x3 ) 0.2 0 0.2 (0.2, 0.4, 0.2) 0 0.6 0.1
记xik
X
~
(ui
,
vk
),
rkj
R~ (vk , w j ), sij
S
~
(
ui
,
w
j
),
i 1,2, n, k 1,2, m, j 1,2, l.
模糊关系方程 X R S ~~ ~
v
k V
(
X
~
(
ui
, vk
)
R(v
~
k
,wj
))
S
~
(ui
,
w
j
)
i 1,2, n, j 1,2, l.
~
~
~
AX B
~~
~
( AX )T BT X T AT BT .
~~
~
~
~
~
第六章 模糊关系方程
所以，我们只研究第一种形式的模糊关系 方程.
第六章 模糊关系方程
二、模糊关系方程的解的结构
X F(U V ), A F(V W ), B F(U W ),
~
~
~
XA B
~~
~
模糊关系方程有解，即相容.
第六章 模糊关系方程
vk V
(
X
~
(
ui
, vk
)
R~ (vk
,
w
j
))
S
~
(ui
,wj
)
i 1,2, n, j 1,2, l.
由定理1
X
~
(
ui
, vk
)
{
wj
S
~
(
ui
,wj
)
|
R(v
~
k
,
wj
)
S
~
(ui
,wj
)}
i 1,2, n, j 1,2, l.
l
记X ~
( xik )nm , 其中xik
解的全体组成模糊关系方程的解集.
X {X | XA B} ~ ~~ ~
第六章 模糊关系方程
§1 模糊关系方程相容性 条件及其最大解
给出模糊关系方程
XR S
(I)
~~ ~
其中R F (V W ), S F (U W )为已知，
~
~
X F (U V )为未知模糊关系.
~
第六章 模糊关系方程
j1
j 1时 j 2时 j 3时
3
k 3时, x3 {s j | r3 j s j } s2 0.4
j1
第六章 模糊关系方程
0.3 0.5 0.2 (s1, s2 , s3 )
( x1, x2 , x3 ) 0.2 0 0.2 (0.2, 0.4, 0.2) 0 0.6 0.1
第六章 模糊关系方程
求综合决策的逆问题就是解模糊关系方程， 它是模糊数学的一个重要的内容.
研究模糊关系方程的相容性及其解法就是 我们第六章的主要内容.
第六章 模糊关系方程
一、模糊关系方程的一般形式
(1) X F(U V ), A F(V W ), B F(U W ),
~
~
~
XA B
~~ ~
(2) A F(U V ), X F(V W ), B F(U W ),
第六章 模糊关系方程
解
3
X ( x1 , x2 , x3 ), xk {s j | rkj s j }, k 1,2,3
j1
3
k 1时, x1 {s j | r1 j s j }
j1
j 1时 j 2时
s1 s2 0.2 0.4 0.2
j 3时
第六章 模糊关系方程
0.3 0.5 0.2 (s1, s2 , s3 )
n
(
k 1
xk
rkj )
sj,
j
1,2,
,l.
X ( x1, x2 , , xm ),
其中xk {s j | rkj s j }, j 1,2, , l.
j
第六章 模糊关系方程
模糊关系方程
( x1, x2 , , xm ) R (s1, s2 , , sl )
有解的充分必要条件是
X ( x1, x2 , , xm )是解.