浙江省杭州市萧山区2017年高考模拟命题比赛数学试卷22

2017年高考模拟试卷数学卷（本卷满分150分 考试时间120分钟 ）参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 棱柱的体积公式如果事件,A B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 此的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()(1),(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=⋅⋅⋅ 棱台的体积公式球的表面积公式 121()3V S S h =+24S R π=其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积 球的体积公式 h 表示棱台的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设集合2{||1|1},{|log 2}A x x B x x =-≤=≤，则R C A B I =（ ） A. [2,4] B. (2,4] C. [0,4] D. (2,4](,0)-∞U （原创） 2. 定义运算a b ad bc c d=-，则符合条件102z i i i+=的复数z 对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 （原创）3. 已知2*012(31)()n n n x a a x a x a x n N -=+++⋅⋅⋅+∈，设(31)n x -的展开式的二项式系数和为n S ，*12()n n T a a a n N =++⋅⋅⋅+∈，则（ ）A. n n S T >B. n n S T <C. n 为奇数时，n n S T <；n 为偶数时，n n S T >D. n n S T = (改编)4. 设函数,20,4)(3<<+-=a a x x x f 若()f x 的三个零点为321,,x x x ，且321x x x <<，则 （ ）A. 11->xB. 02<xC. 02>xD. 23>x （原创）5. 设函数()sin()sin()sin()f x a x b x c x αβγ=+++++，则“()02f π=”是“()f x 为偶函数”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 （改编）6. 下列命题中，正确的命题的个数为（ ）①已知直线,,a b c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则若a 与c 共面； ②若直线l 上有一点在平面α外，则l 在平面α外；③若,a b 是两条直线，且//a b ，则直线a 平行于经过直线b 的平面； ④若直线a 与平面α不平行，则此直线与平面α内所有直线都不平行； ⑤如果平面αβ⊥，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β.A. 0B. 1C. 2D. 3 （原创）7. 某人进行驾驶理论考试，每做完一道题，计算机自动显示已做题的正确率，记已做题的正确率为n a ，*n N ∈，则下列结论不可能成立的是（ ）A. 数列{}n a 是递增数列B. 1238a a a a =<<⋅⋅⋅<C. 482a a =D. 678a a a <= （改编）8. 已知1=xy ，且220<<y ，则y x y x 2422-+的最小值为（ ）A ．4B ．29C ．22D ．24（改编）9．正四面体ABCD ，CD 在平面α内，点E 是线段AC 的中点，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与平面α所成的角不可能是 （ ） A ．0 B ．6π C ．3π D ．2π （原创）10. 已知1F ，2F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，4||21=F F ，点A 在双曲线的右支上，线段1AF 与双曲线左支相交于点B ，AB F 2∆的内切圆与边2BF 相切于点E ．若||2||12BF AF =，22||=BE ，则双曲线C 的离心率为 （ ） A ．22 B ．2 C ．3D ．2（改编）非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11. 1024cos ππ-++= ，2log 33log 92-= .（原创）12. 已知抛物线方程为214y x =，其焦点F 坐标为 ，A B 、是抛物线上两点且满足||||3AF BF +=， 则线段AB 的中点到y 轴的距离为 .（原创）13. 某四面体的三视图如右图所示，其中侧视图与俯视图都是腰长为1的等腰直角三角形，正视图是边长为1的正方形，则此四面体的体积为 ，表面积为 . （原创）14. 从1,2,3,4,5中挑出三个不同的数字能组成 个不同的五位数，有两个数字各用两次（如：12233）的概率为 . （原创）15. 等腰三角形ABC ，AB AC =，D 为AC 的中点，2BD =，则ABC ∆面积的最大值为 . （改编）16. 记,,max{,},.a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，已知向量,,a bc r r r 满足||1,||3,a b ==r r 0a b ⋅=r r ，c a b λμ=+r r r ，其中,01λμλμ≥+=且，则当max{,}c a c b ⋅⋅r r r r 取最小值时，||c r= .（改编）17. 已知,,a b c R ∈，若21|sin sin |2a xb xc ++≤对x R ∈恒成立，则|sin |a x b +的 最大值为 . （改编）三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 已知0ϕπ≤<，函数2()cos(2)sin 2f x x x ϕ=++． （1）若6πϕ=，求()f x 的单调递增区间；（2）若()f x 的最大值是32，求ϕ的值． （原创）19. 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，BD PA ⊥ （1）求证：PD PB =（2）若F E ,分别为AB PC ,的中点，⊥EF 平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小.（改编）20. 已知函数2()ln ,()2,af x xg x x a R x==-∈. （1）证明：()1f x x ≤-；（2）若()()f x g x <在1(,)2+∞上恒成立，求a 的取值范围. （原创）21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，离心率为3，过右焦点F 作两条互相垂直的弦,AB CD .设,AB CD 的中点分别为,M N . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）证明：直线MN 必经过定点，并求此定点.（改编）22. 已知数列}{n a 满足521=a ，n n n a a a -=+321，*∈N n .（1）求2a ，并求数列}1{na 的通项公式； （2）设}{n a 的前n 项的和为n S ，求证：1321))32(1(56<≤-n n S .（改编）2017年高考模拟试卷数学答题卷本次考试时间120分钟，满分150分，所有试题均答在答题卷上一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．11、，；12、，；13、，；14、，；15、；16、；17、.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18. (本题满分14分)的对称轴，则()f x 为偶函数；反之亦然，故选C. 法二：()02f π=⇔sin()sin()sin()0222a b c πππαβγ+++++=⇔cos cos s 0a b cco αβγ++= ()f x 为偶函数⇔对任意的x 有()()f x f x -=成立，则sin()sin()sin()sin()sin()sin()a x b x c x a x b x c x αβγαβγ+++++=-++-++-+，展开得 2sin [cos cos s ]0x a b cco αβγ++=对任意的x 都成立，则cos cos s 0a b cco αβγ++=. 故选C.6. B 【命题意图】考查空间点线面的位置关系 只有②是正确的对于①：//,a b b c P ⋂=，,a c 可以是异面直线对于②：l 在平面α外有两种情况，//l α与l P α⋂=，故正确 对于③：a 可以与平面平行，也可以在平面内 对于④：当a α⊂时，可以有直线与之平行对于⑤：如果过α内任意一点且垂直于交线的垂线不在平面α内，则它必不垂直于β. 7. D 【命题意图】考查数列的概念与性质 第一题做错后，以后各题均作对，则1n n a n -=，由11n nn n -<+得数列{}n a 是递增数列，故选项A 可以成立前两题均做错，以后各题均做对，可得B 可以成立前8题均做错，则480a a ==，或者前4题做对1题，第5到第8均做错，则414a =，818a =，故C 可以成立由于67a a <，说明前6题中至少有1道题做错，且第7题做对，如果第8题做错，则87a a <，如果第8题做对，则87a a >，故D 不可能成立。

选D. 8． A 【命题意图】 考查运用基本不等式求最值．1=xy 且220<<y ，可知2>x ，所以02>-y x ． 424224)2(24222≥-+-=-+-=-+yx y x y x xy y x y x y x ，当且仅当213,13-=+=y x 时等号成立． 故选A ．9. D 【命题意图】考查空间直线与平面所成角有关知识直线BE 与CD 所成角的余弦值为6，线面角是直线与平面内的直线所成角中最小的角，故选D. 10． C 【命题意图】 考查双曲线的几何性质． 设t BF AF 2212==，由双曲线定义知a t BF 22+=，a t AF 221+=．所以a t AB 2+=，244222==-+=a AF BF AB BE ， 故2=a ，222==e ，故选B ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11.1,12- 【命题意图】考察指数与对数运算 102114cos 1122ππ-++=+-=；2log 33log 92231-=-=-. 12. 1(0,1),2【命题意图】考查抛物线的简单几何性质以及其定义的简单应用 将抛物线方程214y x =化为标准方程24x y =，则(0,1)F设1122(,),(,)A x y B x y ，则12||||23AF BF y y +=++=得中点的纵坐标为12122y y +=，所以中点到y 轴的距离为12.13.16【命题意图】考查几何体的三视图和体积公式，同时考查空间想象能力． 14. 31500,5【命题意图】考查排列组合、古典概型有关知识 从1,2,3,4,5中挑出三个不同的数字组成一个五位数，分为两类，一类是11123型，一类是11223型共有4312114535352222()10(6090)1500A C C A C C A A +=+=个不同的五位数.有两个数字各用两次的共900个，故概率为900315005=. 15.83【命题意图】考查解三角形有关知识 法1：在ABD ∆中，设,2c AB c AD ==，由余弦定理得2224544cos 422c c A c c c +-==-⋅⋅sin A =211168sin 2233S c A ==≤⋅= 法2：取AB 中点E ，连接CE 交BD 于G ，则18833sin sin 233ABC BGC S S BG GC BGC BGC ==⋅⋅⋅⋅∠=∠≤V V 法3：以B 点为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系设(,0),(,)2a C a A y ，31(,)42D a y 由2BD =知2293342164424a y a y ay +=≥⋅⋅= 则163ay ≤，所以12S a y =⋅⋅的最大值为83. 16.||c =r 【命题意图】考查平面向量数量积有关概念法1：如图建系，(1,0),(0,3)A B ，(,33)C x x -,,99a c x b c x ⋅=⋅=-r r r r9,[,1]10999,[0,]10x x y x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩ ，易得min 910y =，当且仅当910x =时取到最小值，此时||c =r 法2：由数量积的几何意义知，当c r 在a r 方向上的投影是c r 在b r方向上的投影的3倍时，取到max{,}c a c b ⋅⋅r r r r的最小值，由相似可求得||c =r17. 2 【命题意图】考查利用绝对值不等式求最值问题令sin [0,1]x t =∈，2()f t at bt c =++，(0),(1),(1)f c f a b c f a b c ==++-=-+ 得：(1)(1)(1)(1)(0),22f f f f a f b +---=-=，则BBxB当且仅当11(0),(1)(1)22f f f =-=-=或11(0),(1)(1)22f f f ==-=-时取到最大值，此时11,0,2a b c ===-或11,0,2a b c =-==.三、解答题：本大题共5小题，共74分．18. 【命题意图】考查三角恒等变换以及三角函数的性质，满分为14分. （1）1111()cos 22cos(2)42232f x x x x π=+=++——————————3分 52222336k x k k x k πππππππππ+≤+≤+⇒+≤≤+，k Z ∈ 则()f x 的单调递增区间为5[,]()36k k k Z ππππ++∈—————————————7分 （2）11()()cos 2sin 22222f x x x ϕϕ=--+，最大值为32则221))12ϕϕ-+=，展开解得cos 0ϕ=得2πϕ= ——————14分 19. 【命题意图】考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力 和运算求解能力．满分15分．解：（1）证明：如图一，连接BD AC ,交于点O ，连接PO ，————6分（2）法一：如图二，取PD 中点H ,连接AH EH ,,AFEH EH AF EH AF ⇒⎭⎬⎫=//为平行四边形AH EF //⇒,又⊥EF 面PCD ，所以⊥AH 面PCD PD AH CD AH ⊥⊥⇒,,易得2=AP⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥CD AD CD CD AH 面PAD ⇒⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥PA BD PA PA CD 面ABCD————10分由PCD AB //,设B 到面PCD 的距离为d ，1==AH d 直线PB 与平面PCD 所成的角为θ，则1sin 302d AB θθ==⇒=︒ B图一————15分法二：由上述证明已经得到2=AP ，ABCD PA ⊥如图三建立坐标系,易得)2,2,0(),0,0,2(-== ——————9分设面PCD 的法向量为),,(z y x m =)1,1,0(02202=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒m z y x ， )2,0,2(-= ————————12分=θsin ︒=⇒=3021θ ———————15分 法三：由PAC BD ⊥得到P 在面ABCD 内的射影在AC 上（亦能利用0=⋅得到）设),,(n m m P ，)2,22,22(),0,0,2(),0,2,2(),0,2,0(),0,0,0(nm m E B C D A ++，)0,0,22(F ，则)2,22,2(nm m +=，)0,0,2(-=,00=⇒=⋅m ，此时),2,2(n PC -=，202102=⇒=-⇒=⋅n n PC FE ， ————15分 确定了P 的坐标后，同法二20. 【命题意图】 考查函数与导数的综合应用；利用导数证明不等式；利用导数求函数的最值 满分为15分（1）证明：()1ln h x x x =--，11'()101x h x x x x-=-=>⇒>， 则()h x 在1(,1)2递减，(1,)+∞递增，则()(1)0h x h ≥=，所以1ln x x -≥成立 ，得证 —5分 （2）解：23ln 22ln ax x a x x x x<-⇔<- ———————————————————7分 令3()2ln k x x x x =-，2'()6ln 1k x x x =-- ———————————————————9分 由（1）知，当1(,)2x ∈+∞时，1ln x x ->，所以2'()6ln 11ln 0k x x x x x =-->-->， ———————————————————13分所以()h x 在1(,)2+∞上单调递增，则111()()ln 2242h x h >=+所以11ln 242a ≤+ ————————————————————15分21. 【命题意图】考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．（1）221c a c c a=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪⎩，所以b =，椭圆的方程为22132x y +=——————————5分 （2）(1,0)F1o 当,AB CD 的斜率均存在时，设AB 的斜率为k ，则CD 的斜率为1k-，设:(1)AB y k x =-,代入椭圆方程消y 得：2222(32)6(36)0k x k x k +-+-=，——————7分22232,(1)23232A B M M M x x k k x y k x k k +-===-=++ ，所以22232(,)3232k k M k k -++ 将k 换成1k -可得2232(,)2323kN k k ++ ————————————————————————9分(i) 当1k ≠±时，22224222225(1)523323333332332MN k kk k k k k k k k k k k ++++===---++ 此时，直线MN 的方程为222253()233323k k y x k k k -=-+-+，——————————————11分化为过定点3(,0)5————————————————————————————————————13分(ii)当1k =±时，35M N x x ==，即直线MN 的方程为35x =，过定点3(,0)52o 当AB CD 或的斜率不存在时，直线MN 为x 轴，过定点3(,0)5综上，直线MN 必过定点3(,0)5.——————————————————————————15分22. 【命题意图】考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分析和解决问题的能力．满分15分． （1）由递推关系可求得2413a =． ————————————————————————2分 由123n n n a a a +=-得：1131122n n a a +=⋅-，即1131112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列．因此，1312nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．————————————————7分（2）先证左边部分 法1：由（1）可得111122533331222n n nnn a --⎛⎫=≥= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以112222255353n n S -⎛⎫⎛⎫≥+⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 62153n⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，62153nn S ⎛⎫⎛⎫≥- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． 法2：（分析首项125a =，只需证明123n n a a +≥即可）1332122nn n n n a +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，232n n n n a =+，所以1112(32)2(32)23233323n n n n n n n n n n a a +++++=>=+⋅+⋅下同法1. ——————————————————————12分另一方面112333122nn n na ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3412324222513333n n n S a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 246882216599313n -⎛⎫=+-⋅≤⎪⎝⎭，3n ≥， 又1221513S =<，246216513S =<，因此，2113n S <．————————————————15分。