人教版八年级下册第17章《勾股定理》培优提高试题(附答案)

人教版八年级下册第17章《勾股定理》培优提高试题

一．选择题（共8小题）

1．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）

A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5B．a：b：c＝5：12：13

C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5

2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）

A．18cm2 B．36cm2C．72cm2D．108cm2

3．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）

A．30厘米B．40厘米C．50厘米D．以上都不对4．在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，BC＝，则∠B为（）

A．30°B．90°C．30°或60°D．30°或90°5．如图，一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上，梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米（即BO＝7米），如果梯子顶部A下滑4米至A1，则梯子底部B滑开的距离BB1是（）

A．4米B．大于4米C．小于4米D．无法计算

6．为比较与的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直

角边的长分别为与，则由勾股定理可求得其斜边长为

．根据“三角形三边关系”，可得．小亮的这一做法体现的数学思想是（）

A．分类讨论思想B．方程思想

C．类此思想D．数形结合思想

7．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）

A．9B．36C．27D．34

8．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）

A．12B．15C．20D．30

二．填空题（共6小题）

9．直角三角形的斜边长是5，一直角边长是3，则此直角三角形另一直角边是．10．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．

11．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为．

13．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是．

14．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为．

三．解答题（共6小题）

15．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？

16．如图，小巷左右两侧是竖着的墙，两墙相距2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．梯长多少米？

17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．（1）求AB的长；

（2）求△ABC的面积；

（3）求CD的长．

18．如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段AC上，且CE＝CB，若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助这个图形证明勾股定理．

19．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）

求证：a2+b2＝c2．

20．阅读下面的材料，然后解答问题：

我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．理解：

①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？（填“是”

或“不是”）

②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形（填“是”或“不是”）

奇异三角形．

探究：

在Rt△ABC中，两边长分别是a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．

拓展：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2．

参考答案

一．选择题（共8小题）

1．【解答】解：A、因为1.52+22＝2.52符合勾股定理的逆定理，故△ABC为直角三角形；

B、因为a：b：c＝5：12：13，所以可设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则（5x）2+（12x）2

＝（13x）2，故△ABC为直角三角形；

C、因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故△ABC为直角三角形；

D、因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x

＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形．

故选：D．

2．【解答】解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；

而E，F的面积的和是G的面积．

即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积．

∵G的面积是62＝36cm2，

∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2．

故选：D．

3．【解答】解：此题要分两种情况：

（1）当50是直角边时，所需木棒的长是＝10；

（2）当50是斜边时，所需木棒的长是30．

故选：D．

4．【解答】解：此题存在两种情况：

（1）根据BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB•cos A

计算得AC＝＝BC，即∠B＝∠A＝30°．

（2）根据BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB•cos A

计算得AC＝＝2BC，即∠B＝90°．

所以本题答案为30°或者90°．

故选：D．

5．【解答】解：在直角△OAB中，AB＝25，当BO＝7时，AO＝＝24米，当下滑4米到A1点时，即OA1＝20米，

∴OB1＝＝15米，

而OB＝7米，所以BB1＝8米，大于4米，

故本题答案为大于4米，