6.板壳有限单元
关于 midas软件中一些名词的详细解释
一．名词解释1.单元刚度矩阵eF=e k e 表示由单元杆端位移求单元杆端力的方程，成为局部坐标系中的单元刚度矩阵。
矩阵e k称为单元刚度矩阵。
一般单元刚度矩阵是6X6的方阵，其中每个元素称为单元刚度系数，表示单元杆端位移所引起的杆端力。
2．单元坐标系：在杆件上确立的坐标系x y，其中x轴与杆件重合。
整体坐标系：在复杂结构中，各个杆件的杆轴方向不同，各自的局部坐标系也不同。
为了便于整体分析，而确定的一个统一的坐标系。
用xy表示。
3影响线：当单位集中荷载沿结构移动时，表示某一指定量变化规律的图形，成为该量值的影响线。
4徐变系数：问题总结一.有限元基本原理1.有限元分析的基本步骤：结构离散-----建立单元刚度矩阵-----单元组集成平衡方程-----引起等效节点力和位移边界条件----求解节点位移-----由位移求应变-----由应变求内力。
2.单元刚度如何得到3.空间梁单元具有6个自由度，其单元刚度矩阵的阶数，其中每一刚度系数的含义4.结构的变形、位移和反力是基于整体坐标系还是单元坐标系，单元的应力、内力是基于整体坐标系还是单元坐标系。
5.在梁单元上施加的非节点荷载，如何等效为节点荷载静力等效，指原荷载于节点荷载在任何虚位移上的虚功都相等。
6.在结构分析中，需要设置节点的原则7.在结构分析中，需要设置细分单元的情况8.在单元划分时，应注意事项二.单元类型1.在结构有限元分析时，主要有哪些单元类型桁架单元只受拉单元索单元只受压单元梁单元/变截面梁单元平面应力单元板单元平面应变单元平面轴对称单元空间单元2.什么是平面应力单元，平面应力单元的单元坐标系是如何规定，平面应力单元与平面应变单元的区别平面应力单元只能承受平面方向的作用力，利用它可以建立在单元内均匀厚度的薄板。
单元坐标是由X.Y,Z 三轴构成的，是满足右手螺旋法则的空间直角坐标系系统。
而平面应变单元只能用于线性静定结构分析中，它一般作为坝，或隧道等结构的分析。
7_板壳问题有限元分析
1 1 2 h 1 1 2
h
BiT DB j abd d dz
(6.17)
21 /44
薄板问题的有限元法
代入 D 、 Bi 和 B j 于是有
D 1 1 b2 T kij N i , N j , uN iT, N T, uN iT, N T, j j 1 1 a 2 ab +2(1- )N
2
24 /44
薄板问题的有限元法
k23 15H ab(i j )(i j ) b2 b2 k31 3Ha (2 3 5 2 ) j0 15 2 j 5i0 a a k32 15H ab(i j )(i j )
23 /44
薄板问题的有限元法
其中
b2 a2 a2 b2 k11 3H 0 15( 2 0 2 0 ) (14 4 5 2 5 2 ) 00 b b a a a2 a2 k12 3Hb (2 3 5 2 ) 0i 15 2 i 5 0i b b b2 b2 k13 3Ha (2 3 5 2 )i0 15 2 i 50 j a a a2 a2 k21 3Hb (2 3 5 2 ) 0 j 15 2 j 5 0i b b a2 k22 Hb 2(1 ) 0 (3 50 ) 5 2 (3 0 )(3 0 ) b
1 E D 2 1 0
薄板问题的有限元法
图 6.2 平板内力
10 /44
薄板问题的有限元法
设 M x 、 M y 和 M xy 表示单位宽度上的内力矩，于是有
2w 2 x Mx h h3 2 w h3 M M y h2 z dz D DC D 'C (6.5) 2 12 y 12 2 M xy 2w 2 xy
ansys关于薄板、厚板、壳单元的特性区别要点
一、板壳弯曲理论简介1. 板壳分类按板面内特征尺寸与厚度之比划分：当L/h < (5~8) 时为厚板，应采用实体单元。
当(5~8) < L/h < (80~100) 时为薄板，可选2D 实体或壳单元当L/h > (80~100) 时为薄膜，可采用薄膜单元。
壳类结构按曲率半径与壳厚度之比划分：当R/h >= 20 时为薄壳结构，可选择薄壳单元。
当6 < R/h < 20 时为中厚壳结构，选择中厚壳单元。
当R/h <= 6 时为厚壳结构。
上述各式中h 为板壳厚度，L 为平板面内特征尺度，R 为壳体中面的曲率半径。
2. 薄板理论的基本假定薄板所受外力有如下三种情况：①外力为作用于中面内的面内荷载。
弹性力学平面应力问题。
②外力为垂直于中面的侧向荷载。
薄板弯曲问题。
③面内荷载与侧向荷载共同作用。
所谓薄板理论即板的厚度远小于中面的最小尺寸，而挠度又远小于板厚的情况，也称为古典薄板理论。
薄板通常采用Kirchhoff-Love 基本假定：①平行于板中面的各层互不挤压，即σz = 0。
②直法线假定：该假定忽略了剪应力和所引起的剪切变形，且认为板弯曲时沿板厚方向各点的挠度相等。
③中面内各点都无平行于中面的位移。
薄板小挠度理论在板的边界附近、开孔板、复合材料板等情况中，其结果不够精确。
3. 中厚板理论的基本假定考虑横向剪切变形的板理论，一般称为中厚板理论或Reissner（瑞斯纳）理论。
该理论不再采用直法线假定，而是采用直线假定，同时板内各点的挠度不等于中面挠度。
自Reissner 提出考虑横向剪切变形的平板弯曲理论后，又出现了许多精化理论。
但大致分为两类，如Mindlin（明特林）等人的理论和Власов（符拉索夫）等人的理论。
厚板理论是平板弯曲的精确理论，即从3D 弹性力学出发研究弹性曲面的精确表达式。
4. 薄壳理论的基本假定也称为Kirchhoff-Love（克希霍夫-勒夫）假定：①薄壳变形前与中曲面垂直的直线，变形后仍然位于已变形中曲面的垂直线上，且其长度保持不变。
ansys关于薄板、厚板、壳单元的特性区别
一、板壳弯曲理论简介1. 板壳分类按板面内特征尺寸与厚度之比划分：当L/h < (5~8) 时为厚板，应采用实体单元。
当(5~8) < L/h < (80~100) 时为薄板，可选2D 实体或壳单元当L/h > (80~100) 时为薄膜，可采用薄膜单元。
壳类结构按曲率半径与壳厚度之比划分：当R/h >= 20 时为薄壳结构，可选择薄壳单元。
当6 < R/h < 20 时为中厚壳结构，选择中厚壳单元。
当R/h <= 6 时为厚壳结构。
上述各式中h 为板壳厚度，L 为平板面内特征尺度，R 为壳体中面的曲率半径。
2. 薄板理论的基本假定薄板所受外力有如下三种情况：①外力为作用于中面内的面内荷载。
弹性力学平面应力问题。
②外力为垂直于中面的侧向荷载。
薄板弯曲问题。
③面内荷载与侧向荷载共同作用。
所谓薄板理论即板的厚度远小于中面的最小尺寸，而挠度又远小于板厚的情况，也称为古典薄板理论。
薄板通常采用Kirchhoff-Love 基本假定：①平行于板中面的各层互不挤压，即σz = 0。
②直法线假定：该假定忽略了剪应力和所引起的剪切变形，且认为板弯曲时沿板厚方向各点的挠度相等。
③中面内各点都无平行于中面的位移。
薄板小挠度理论在板的边界附近、开孔板、复合材料板等情况中，其结果不够精确。
3. 中厚板理论的基本假定考虑横向剪切变形的板理论，一般称为中厚板理论或Reissner（瑞斯纳）理论。
该理论不再采用直法线假定，而是采用直线假定，同时板内各点的挠度不等于中面挠度。
自Reissner 提出考虑横向剪切变形的平板弯曲理论后，又出现了许多精化理论。
但大致分为两类，如Mindlin（明特林）等人的理论和Власов（符拉索夫）等人的理论。
厚板理论是平板弯曲的精确理论，即从3D 弹性力学出发研究弹性曲面的精确表达式。
4. 薄壳理论的基本假定也称为Kirchhoff-Love（克希霍夫-勒夫）假定：①薄壳变形前与中曲面垂直的直线，变形后仍然位于已变形中曲面的垂直线上，且其长度保持不变。
有限元板壳——王勖成
弹性矩阵
t z [ D p ]{ }dz [ D p ]{ } [ D ][ ] 12
薄板弯曲问题中的弹性矩阵[D]
1 0 1 0 Et 3 1 [ D] 0 D0 1 0 2 12 (1 ) 1 1 0 0 0 0 2 2
Et 3 D0 12(1 2 )
内力矩表示薄板应力的公式
12 z { } 3 {M } t
平衡方程
2 M xy 2 M y 2M x 2 q ( x, y ) 0 2 2 x xy y
由广义应力应变关系及几何关系代入平衡方程得 由W的微分方程：
非协调板单元可以通过分片试验，当单元划分不断缩 小时，计算结果可以收敛于精确解答，但是收敛并非 一定是单调的，即不一定是精确解的上界或下界。
2.2 薄板三角形单元
a1 a 2 x a3 y a 4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3 a8 x 2 y a9 xy 2 a10 y 3
基本方程
w v z y
(1)位移：由假设（1）、（3），有 w w w( x, y ) u z x (2)应变
由假设（1）、（2），薄板弯曲问题只需要考虑三 个分量。根据几何方程，应变可表示为
2w u 2 x x x 2w u { } y z 2 y y xy u v 2w 2 xy y x
形变分量：中面x和y方向的曲率与x，y方向 的扭率。
广 义 应 变
2w 2 x 2w { } 2 y 2 w 2 xy
ansys关于薄板、厚板、壳单元的特性区别
一、板壳弯曲理论简介1. 板壳分类按板面内特征尺寸与厚度之比划分：当L/h < (5~8) 时为厚板，应采用实体单元。
当(5~8) < L/h < (80~100) 时为薄板，可选2D 实体或壳单元当L/h > (80~100) 时为薄膜，可采用薄膜单元。
壳类结构按曲率半径与壳厚度之比划分：当R/h >= 20 时为薄壳结构，可选择薄壳单元。
当6 < R/h < 20 时为中厚壳结构，选择中厚壳单元。
当R/h <= 6 时为厚壳结构。
上述各式中h 为板壳厚度，L 为平板面内特征尺度，R 为壳体中面的曲率半径。
2. 薄板理论的基本假定薄板所受外力有如下三种情况：①外力为作用于中面内的面内荷载。
弹性力学平面应力问题。
②外力为垂直于中面的侧向荷载。
薄板弯曲问题。
③面内荷载与侧向荷载共同作用。
所谓薄板理论即板的厚度远小于中面的最小尺寸，而挠度又远小于板厚的情况，也称为古典薄板理论。
薄板通常采用Kirchhoff-Love 基本假定：①平行于板中面的各层互不挤压，即σz = 0。
②直法线假定：该假定忽略了剪应力和所引起的剪切变形，且认为板弯曲时沿板厚方向各点的挠度相等。
③中面内各点都无平行于中面的位移。
薄板小挠度理论在板的边界附近、开孔板、复合材料板等情况中，其结果不够精确。
3. 中厚板理论的基本假定考虑横向剪切变形的板理论，一般称为中厚板理论或Reissner（瑞斯纳）理论。
该理论不再采用直法线假定，而是采用直线假定，同时板内各点的挠度不等于中面挠度。
自Reissner 提出考虑横向剪切变形的平板弯曲理论后，又出现了许多精化理论。
但大致分为两类，如Mindlin（明特林）等人的理论和Власов（符拉索夫）等人的理论。
厚板理论是平板弯曲的精确理论，即从3D 弹性力学出发研究弹性曲面的精确表达式。
4. 薄壳理论的基本假定也称为Kirchhoff-Love（克希霍夫-勒夫）假定：①薄壳变形前与中曲面垂直的直线，变形后仍然位于已变形中曲面的垂直线上，且其长度保持不变。
4 .板壳问题的有限元法(4学时)
第五章 板壳问题的有限元法
章节内容： 5.1 薄板弯曲的基本理论 5.2 薄板单元：矩形单元和三角形单元 5.3 薄壳有限元分析的简介
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.1 薄板（thin plate）
工程实际中，存在大量的板壳构件（plate and shell） 几何特点：厚度远远小于其它两个方向的尺寸。 薄板：t/b < 1/15 中面：平分板厚度的平面 坐标系oxyz ：xy轴在中面上，z轴垂直于中面 z 载荷 作用于中面内的载荷：平面应力问题 垂直于中面的载荷：板弯曲
其中
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
局部坐标系
局部坐标系对整体 坐标系的方向余弦 矩阵（从整体坐标 到局部坐标）
局部坐标系与整体坐标系的关系
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
坐标变换矩阵
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
单元刚度矩阵
转换矩阵：
3.
应力
引起的形变很小，在计算变形时可以忽略。
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.2 位移
位移分量：薄板中面的挠度 w 根据挠度，可以计算：在x和y轴方向上的位移分量和绕x和y轴方 向的转角。
y
z
b
o
车辆工程教研室
t
x
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.3 应变及几何方程
机电工程学院
5.1.5 平衡方程
有限元法基础重点归纳(精)
30、有限元法的任务:建立和求解整个弹性体的节点位移和节点力之间的关系的平衡方程。31、单元刚度矩阵:表达了单元节点位移与节点力之间的转换关系。
32、单元刚度矩阵的性质:①单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义②K e是对称矩阵③K e的每一行或每一列元素之和为零,因此K e为奇异矩阵④K e不随单元的平行移动或作n π角度的转动而改变。33、刚度集成法集成规律:①先对每个单元求出其单元刚度矩阵K e ,而且以分块形式按节点编号顺序排列②将单元刚度矩阵扩大阶数为2n*2n ,并将单元刚度矩阵中的子块按局部码与总码的对应关系,搬到扩大后的矩阵中,形成单元贡献矩阵K e。③将所有单元贡献矩阵同一位置上的分块矩阵简单叠加成总体刚度矩阵中的一个子矩阵,各行各列都按以上步骤即形成总体刚度矩阵K。34、整体刚度矩阵的性质:①整体刚度矩阵是对称矩阵②整体刚度矩阵中每一元素的物理意义:整体刚度矩阵的第一列元素代表使第一个节点在x方向有一单元位移,而其余节点位移皆为零时必须在节点上施加的里。对于K的其余各列也有类似意义③整体刚度矩阵K的主对角线上的元素总是正的④整体刚度矩阵K是一个稀疏阵⑤整体刚度矩阵K是一个奇异阵。35、带形矩阵:整体刚度矩阵K的非零元素分布在以主对角线为中心的斜带形区域内的矩阵。
γxy
=E 1−μ
2∗
1−μ2
γxy
42、制造位移函数:{u (x,y =α1+α2x +α3y
v (x,y =α4+α5x +α6y
43、等参单元精度比四边形单元高,四边形精度比三角形精度高。
44、轴对称问题:很多工程物件,它们的几何形状承受的载荷以及约束条件都对称于其一固定轴,这即为对称轴,此时载荷作用下的位移、应变和应力也对称于该对称轴的问题。45、等参数单元:优点:①形状方位任意,适应性好,精度高,容易构造高阶单元②具有统一形式,规律性强,采用数值积分算,程序处理方便③高阶等参单元精度高,描述复杂边界,形状能力强,所需单元少。缺点:①单元各方向尺寸要尽量接近②单元边界不能过于曲折,不能有拐点折点,尽量接近直线或抛物线③边之间夹角要尽量接近直角④单元形状不能过度畸变,边中节点不能过于偏离中间。46、有限元法基础理论:弹性力学,材料力学
有限元板壳单元
在板理论中经常用内力，即弯矩和剪力来表示， 它们与应力之间的关系为：
Mx = ∫ Qx = ∫
hБайду номын сангаас/2
− h /2
σ x zdz M y = ∫
Qy = ∫
h /2
− h /2
σ y zdz M xy = ∫
h /2
− h /2
τ xy zdz
h /2
− h /2
τ xz dz
h /2
− h /2
根据Mindlin板理论的假设，板内任意一点的位移由3个 广义位移
w,ψ x ,ψ y
确定，为了与有限元的节点位移
T
相对应，采用的位移列阵为：
δ = {w1 θ x1 θ y1 w2 θ x 2 θ y 2 w3 θ x 3 θ y 3 w4 θ x 4 θ y 4 }
e
θ x = ψ y , θ y = −ψ
把位移模式代入得到：
⎡ zBb ⎤ e ε = ⎢ ⎥δ ⎣ Bs ⎦ 式中，Bb = [ Bb1 Bb 2 " Bbn ] , Bs = [ Bs1 Bs 2 " Bsn ⎡ 0 ⎢0 ⎢ ⎢ ∂N i Bbi = ⎢0 − ∂y ⎢ ⎢ ∂N i ⎢0 − ∂x ⎣ ∂N i ⎤ ⎥ ∂x ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ∂N i ⎥ ⎥ ∂y ⎦ ⎡ ∂N i ⎢ ∂y Bsi = ⎢ ⎢ ∂N i ⎢ ⎣ ∂x
2 ⎡ ⎤ a 2 a22 = Hb ⎢ 2 (1 − μ ) ξ 0 ( 3 + 5η0 ) + 5 2 ( 3 + ξ 0 )( 3 + η0 ) ⎥ b ⎣ ⎦
a23 = −15 H μ ab (ξi + ξ j )(ηi + η j ) ⎡⎛ ⎤ b2 ⎞ b2 a31 = 3Ha ⎢⎜ 2 + 3μ + 5 2 ⎟ ξ jη0 + 15 2 ξ j + 5μξiη0 ⎥ a ⎠ a ⎣⎝ ⎦ a32 = −15 H μ ab (ξi + ξ j )(ηi + η j )
第九章--板壳结构有限元
应用举例 承受均布荷载q的方板，四边简支。4×4网格，挠度=？
h/L 0.01 0.1 0.2 0.3 0.4
有限元 0.04438 0.04628 0.05202 0.06160 0.07500
厚板 0.04439 0.04632 0.05217 0.06192 0.07557
薄板 0.04437 0.04437 0.04437 0.04437 0.04437
将三个结点的位移代入进去，则可以反推出
单元位移=形函数×结点位移的三个表达式（u,v,w）。
根据位移函数的表达形式，不难看出其就是平面应力单元和薄 板弯曲单元的结合。后续分析过程较复杂，因此在这里只做文 字性叙述注意事项。
单元位移表达式（u,v,w）建立后，下面的工作就是进行应变
计算。但是注意up,vp并不是u,v
壳结构基础理论知识
任何单曲或双曲薄壳，在单元较小时均可用薄板单元组成的单 向或双向折板体系来近似，也就是采用平面壳单元进行分析。 平面壳单元可以视为平面应力单元与板弯曲单元的组合体。
平面应力单元（亦称膜单元）仅仅能够承受作用于平面内的 载荷 ，不能够承受其它载荷 。假设z方向上的位移w=0，每 一结点仅存在沿x轴和y轴的位移
确定，因此离散时，网格划分有局限性。
Adini方案
舍去了二次项xy，致使常扭率无法保证，单元过刚、位移偏小，因此分析
结果只有一阶精度。
Bell方案
增加单元内部位移参数——三角形形心挠度。整体分析前需要消去内部自 由度（静力凝聚）， Zienkiewicz指出这种单元不能保证收敛。
薄板三角形单元
Zienkiewicz采用面积坐标解决了直角坐标下遇到的困难。 面积坐标 采用面积坐标表达的位移模式为：
有限元网格划分
本文讨论了有限元网格的重要概念，包括单元的分类、有限元误差的分类与影响因素;并讨论分析结果的收敛性控制方法，并由实例说明了网格质量及收敛性对取得准确分析结果的重要性。
同时讨论了一些重要网格控制的建议及其他网格设定的说明。
一、基本有限元网格概念1.单元概述几何体划分网格之前需要确定单元类型。
单元类型的选择应该根据分析类型、形状特征、计算数据特点、精度要求和计算的硬件条件等因素综合考虑。
为适应特殊的分析对象和边界条件，一些问题需要采用多种单元进行组合建模。
2.单元分类选择单元首先需要明确单元的类型，在结构有限元分析中主要有以下一些单元类型：平面应力单元、平面应变单元、轴对称实体单元、空间实体单元、板单元、壳单元、轴对称壳单元、杆单元、梁单元、弹簧单元、间隙单元、质量单元、摩擦单元、刚体单元和约束单元等。
根据不同的分类方法，上述单元可以分成以下不同的形式。
3.按照维度进行单元分类根据单元的维数特征，单元可以分为一维单元、二维单元和三维单元。
一维单元的网格为一条直线或者曲线。
直线表示由两个节点确定的线性单元。
曲线代表由两个以上的节点确定的高次单元，或者由具有确定形状的线性单元。
杆单元、梁单元和轴对称壳单元属于一维单元，如图1～图3所示。
二维单元的网格是一个平面或者曲面，它没有厚度方向的尺寸。
这类单元包括平面单元、轴对称实体单元、板单元、壳单元和复合材料壳单元等，如图4所示。
二维单元的形状通常具有三角形和四边形两种，在使用自动网格剖分时，这类单元要求的几何形状是表面模型或者实体模型的边界面。
采用薄壳单元通常具有相当好的计算效率。
三维单元的网格具有空间三个方向的尺寸，其形状具有四面体、五面体和六面体，这类单元包括空间实体单元和厚壳单元，如图5所示。
在自动网格划分时，它要求的是几何模型是实体模型(厚壳单元是曲面也可以)。
4.按照插值函数进行单元分类根据单元插值函数多项式的最高阶数多少，单元可以分为线性单元、二次单元、三次单元和更高次的单元。
板壳的有限元分析(实验报告)
ANSYS上机实验报告实验三：板壳的有限元分析班级：姓名：学号：一、实验题目图示正方形平板，承受垂直于板面的均布载荷作用P=20KN/m*m，板厚t=0.1m，平板外缘各边采用固定约束方式，材料选用低碳钢，弹性模量E=210GPa，u=0.33。
二、实验过程1、确定所采用的单位制：N，m，Pa。
2、问题类型：板壳问题。
3、利用ANSYS构造实体模型：1/4模型（正对称）和整体分析。
4、网格划分1）、定义材料属性：Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX: 210e9, PRXY: 0.33 →OK2）、定义单元类型：Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Shell Elastic 8node 63 →OK (back to Element Types window)3）、定义实常数（厚度）：Main Menu: Preprocessor →Real Constants… →Add… →select Type 1→OK→input TK（I）: 0.1 ，TK（J）: 0.1 ，TK（K）: 0.1 ，TK（L）: 0.1 →OK→Close (the Real Constants Window)4）、划分网格：在size element edge length （单元边长值）处输入0.25、加载及求解。
加载（整体）过程：Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Displacement →On Nodes →拾取四个边线→OK →select Lab2:ALL OFF →OKMain Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →pressure →On Areas →拾取面→OK →Value: 20000→OK加载（1/4）过程：Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Displacement →On Nodes →拾取右边线和上边线→OK →select Lab2:ALL OFF →Apply→拾取左边线→OK→select Lab2:UX→Apply→拾取下边线→OK→select Lab2:UY→OKMain Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →pressure →On Areas →拾取面→OK →Value: 20000→OK求解：Main Menu: Solution →Solve →Current LS →OK(to close the solve Current Load Step window) →OK6、分析变形、位移和应力状况并抓图。
第5章 板壳问题的有限元法
协调性要求 协调单元 满足协调性要求的单元称为 满足协调性要求的单元称为协调单元 收敛的充要条件 w = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 x 2 + α 5 xy + α 6 y 2 + α 7 x 3
+ α 8 x 2 y + α 9 xy 2 + α10 y 3 + α11 x 3 y + α12 xy 3
− 2
h
M xy = ∫ h2 τ xy zdz
− 2
h
{M } = ∫
2 −h 2
h
h {σ }zdz = [D p ]{κ } = [D ]{κ } 12
薄板弯曲的弹性矩阵
11
3
薄板弯曲的应变能 弹性应变能 T 1 1 U = ∫ (σ xε x + σ yε y + τ xyγ xy )dV = ∫ {ε } {σ }dV 2V 2V ⎧ ∂2w ⎫ ⎪ − 2 ⎪ x ⎪ ⎪ ∂2 ⎪ ∂ w ⎪ {σ } = D p {ε } = D p {κ }z {ε } = z ⎨ − 2 ⎬ = z{κ } ∂y ⎪ ⎪ T 1 ∂2w ⎪ U = ∫ {κ } [D p ]{κ }z 2 dV ⎪ 2V ⎪− 2 ∂x∂y ⎪ ⎩ ⎭ T 1 = ∫ {κ } [D ]{κ }dS
∂w 法向导数θ x = ∂y 是x的三次函数，假定
θx = γ1 + γ 2x + γ 3x + γ 4x
2
3
由节点1和节点2处只能提供 θx1,θx2 两个相邻单元在边界上的法向导数的连续性 不能保证。 这种位移函数的矩形单元为非协调单元。
第8章_膜、板、壳结构的有限元法
西安工程大学
计算机辅助工程 CAE 讲稿 第 8 章 膜、板、壳结构的有限元法
王益轩编著 2005 年 8 月
99
k y
uk vk wk θkx θkx
o z
ui vi wi
uj vj wj θjx θjy
图 84
平面 3 节点 15 个自由度的三角形壳单元
8.4
SHELL63 单元描述
（85）
Y
O L
t
X
图 81 梁受弯曲力矩作用的变形（a）
西安工程大学
计算机辅助工程 CAE 讲稿 第 8 章 膜、板、壳结构的有限元法
王益轩编著 2005 年 8 月
95
y x
y u
θ
局部放 大
M
M
中性层的挠曲 线 f(x)
图 81 梁受弯曲力矩作用的变形 （b）
M
z x y
M
M
（a）
z M y x L M t
8.3 壳结构单元基础理论
壳单元能承受拉伸应力与弯矩力，也就是膜单元与板单元合并后的单元，以三角形单元为例来说， 单元的应变位移关系式（几何关系）与三角形板单元完全相同，只不过每个节点具有5 个节点位移（三 个平动位移，两个转角） ，即 5 个自由度，单元共有 15 个自由度，假设位移模式中应包含 15 个任意常 数。单元图形如图 84 所示。推导过程从略，由读者自己推导。
ANSYS 结构分析中的板壳单元 SHELL63
8.4.1
图 85 SHELL63 板壳单元
SHELL63 称为弹性壳，因为它只支持线性弹性的材料模式； ANSYS 另有其它 shell 单元可以支持更 广泛的材料模式。SHELL63 有 4 个节点（I, J, K, L） ，每个节点有 6 个自由度：3 个位移（UX, UY, UZ） 及 3 个转角（ROTX, ROTY, ROTZ） ，所以一个单元共有 24 个自由度。若 K、L 两个节点重迭在一起时， 它就退化成一个三角形，如图 85 右图所示。IJKL 四个节点假设是共平面，若不共平面则以一最接近 的平面来修正这四个节点。注意，这种修正当然会引进一些误差，所以对那种曲率很大的板壳结构而 言， 必须使用较细的单元。 SHELL63 的单元坐标系统表示在图 85 中， 原点是在 I 节点上， X 轴和 IJ 边可以有一角度差 （THETA，
有限单元法知识点总结
有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。
有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。
有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。
2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。
离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。
加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。
形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。
3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。
建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。
建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。
施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。
求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。
后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。
4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。
结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。
板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。
梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。
壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。
体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。
5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。
ansys关于薄板、厚板、壳单元的特性区别.
一、板壳弯曲理论简介1. 板壳分类按板面内特征尺寸与厚度之比划分：当L/h < (5~8) 时为厚板，应采用实体单元。
当(5~8) < L/h < (80~100) 时为薄板，可选2D 实体或壳单元当L/h > (80~100) 时为薄膜，可采用薄膜单元。
壳类结构按曲率半径与壳厚度之比划分：当R/h >= 20 时为薄壳结构，可选择薄壳单元。
当6 < R/h < 20 时为中厚壳结构，选择中厚壳单元。
当R/h <= 6 时为厚壳结构。
上述各式中h 为板壳厚度，L 为平板面内特征尺度，R 为壳体中面的曲率半径。
2. 薄板理论的基本假定薄板所受外力有如下三种情况：①外力为作用于中面内的面内荷载。
弹性力学平面应力问题。
②外力为垂直于中面的侧向荷载。
薄板弯曲问题。
③面内荷载与侧向荷载共同作用。
所谓薄板理论即板的厚度远小于中面的最小尺寸，而挠度又远小于板厚的情况，也称为古典薄板理论。
薄板通常采用Kirchhoff-Love 基本假定：①平行于板中面的各层互不挤压，即σz = 0。
②直法线假定：该假定忽略了剪应力和所引起的剪切变形，且认为板弯曲时沿板厚方向各点的挠度相等。
③中面内各点都无平行于中面的位移。
薄板小挠度理论在板的边界附近、开孔板、复合材料板等情况中，其结果不够精确。
3. 中厚板理论的基本假定考虑横向剪切变形的板理论，一般称为中厚板理论或Reissner（瑞斯纳）理论。
该理论不再采用直法线假定，而是采用直线假定，同时板内各点的挠度不等于中面挠度。
自Reissner 提出考虑横向剪切变形的平板弯曲理论后，又出现了许多精化理论。
但大致分为两类，如Mindlin（明特林）等人的理论和Власов（符拉索夫）等人的理论。
厚板理论是平板弯曲的精确理论，即从3D 弹性力学出发研究弹性曲面的精确表达式。
4. 薄壳理论的基本假定也称为Kirchhoff-Love（克希霍夫-勒夫）假定：①薄壳变形前与中曲面垂直的直线，变形后仍然位于已变形中曲面的垂直线上，且其长度保持不变。
有限单元
1.1 引言有限单元法最初是在二十世纪五十年代作为处理固体力学问题的方法出现的，在1945～1955这十年间发展起来的结构分析矩阵（位移）法可以说是它的雏形。
“有限单元法”这一名称是克拉夫（Clough）在1960年首先引用的，第一个成功的尝试是对于飞机结构的分析。
1956年Turner、Clough把刚架位移法（直接刚度法）应用到弹性力学平面应力问题中去，他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”。
与矩阵法相同，每一单元的特性用单元刚度矩阵来表示；所不同的是，矩阵法分析中每一结构构件的力与位移之间的关系是精确推导出来的，而有限单元法的解则是利用每一单元中近似的位移函数。
因此，有限单元法是一种近似的数值方法。
初期的有限（单）元法是建立在虚功原理的基础上。
1963～1964年Besseling、Melosh 和Jones等人证明了有限元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，确认了有限元法是处理连续介质问题的一种普遍方法，扩大了有限元法的应用范围。
从20世纪60年代后期开始，进一步利用加权余量法，主要是伽辽金(Galerkin)法，来确定单元特性和建立有限元求解方程，使之应用于已知问题的微分方程和边界条件、但变分的泛函尚未找到或者根本不存在的情况，进一步扩大了有限元法的应用领域。
1967年首次出版有限元专著《结构与连续力学的有限元法》，由Zienkiewicz与Y.K.Cheung(张佑启)合作。
当时关于有限元法的研究论文几乎按指数规律增加，公开发表近8000篇，内部报告就更多。
该书成为名著后，更名为《有限元法》，国内出版过第三版的中译本，1990年出版过第四版。
Zienkiewicz认为，难以确定有限元法的起源及发明它的准确时间[13]。
把复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析和集合问题，许多经典的数学近似方法以及工程中所用的各直接近似方法都属于这一范畴。
有限单元这术语的出现，意味着直接应用可用于离散系统的标准研究方法。
有限元 单元类型
有限元单元类型
有限元软件中常见的单元类型有五种：力学单元，温度场单元，电场单元，磁场单元，以及多场耦合单元等。
力学单元自由度一般都是应力场相关的物理量，例如位移，应变，应力等。
温度场单元自由度自然是温度，电场自由度是电势，磁场就是棱边的磁矢势，或者节点上的标量势。
耦合单元自然是拥有多重自由度的单元。
总得来讲，固体力学单元可以按照自由度的物理场的不同区分为：连续介质单元和结构单元两类，连续介质单元一般就是只含有平动自由度的实体单元，结构单元则是含有转动自由度的梁、板、壳单元。
另外杆和膜单元虽然不含转动自由度，但也归类到结构单元中。
或者可以说，连续介质单元就是对空间尺度没有简化的单元，而结构单元就是在一个或两个空间坐标上进行了简化的单元。
二维的连续介质单元不算简化了空间尺度，因为空间本来就是二维。
扩展资料
有限元软件形成单元的算法有很多，最基本的是插值方式，比如常用的拉格朗日单元，hermite单元，serendipity单元等，这是按插值方法分。
按插值形函数的最高次数分，自然就有一阶，二阶，三阶单元了。
按照单元所采用的非线性格式分，又有TL单元，UL格式单元，CR格式单元（指corotation算法）。
还有一些更加具体的单元算法，包括但不限于，协调元和非协调元，应力杂交元，缩减积分单元，选择缩减积分单元等等等。
所以，完整的描述清楚一个单元，可能得说：一个基于UL格式的三维六面体一阶协调缩减积分沙漏控制拉格朗日形连续介质单元。
此外，还有一些特殊用途的单元，例如惯性点单元，连接单元（用来处理运动耦合等连接关系），接触单元，表面热单元（用来处理表面辐射和表面对流）等等等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Bm
e Bl
[ B]312 , [ Bi ]33
19
其中：[B]为x，y的函数，与z无关
2 2 2 2 x x 2 2 Br 2 [ N r ]13 2 [ N r y y 2 2 2 2 xy xy
2w x z 2 x 2w y z 2 y
xy 2 z
w xy
2
ε zκ
2w 2 x 2w κ 2 y 2w 2 xy
物理方程
σ DPε zDPκ
四个系数c1～c4刚好通过i，j两 个端点的扰度值wi、wj和绕y轴的 两个转角值yi、yj唯一确定；同时， 相邻单元在此边界上也能通过i，j 的值唯一确定，故连续。
17
x
w( x, y) 1 2 x 3 y 4 x 5 xy 6 y
2 2
7 x 8 x y 9 xy 10 y 11 x y 12 xy
板厚极小时可能 发生剪切闭锁
6-4壳弯曲理论
和板弯曲理论基本一致：
Kirchhoff壳理论——薄壳 Mindlin壳理论——中厚壳
不同点：
板弯曲——不考虑中面的面内变形 壳弯曲——考虑中面的面内变形
壳弯曲
例如：
平板壳元
关于平板壳元
平板壳元是平面应力单元和平板弯曲单元的组合。 平板弯曲单元稍加扩充就可以应用于壳体分析。
4
z
u z y
另两个转角为：
y
x
w x
x w y y w x
变形后 的直线
3 5 x 2 6 y 8 x 2 2 9 xy 310 y 2 11 x3 312 xy 2 ( 2 2 4 x 5 y 3 7 x 2 8 xy 9 y 311 x y 12 y )
T
T
2 4
2 6
2 5
这里的常应变为扰度的二次函数，而在平面单元中 为位移的一次式，这是因为板有厚度，其形变是指 不同厚度上的。
16
w( x, y) 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2
7 x 8 x y 9 xy 10 y 11 x y 12 xy
节点参数： wi , xi , yi 位移函数： w( x, y) a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3
a8 x 2 y a9 xy 2 a10 y 3 a11 x3 y a12 xy 3
w w e w( x, y ) N i wi N xi N Nq yi y x i i 1 i
15
单元收敛性分析： 1）位移函数 w( x, y), x ( x, y), y ( x, y) 中包含有常量项， 反映了刚体位移，如 1 为扰度常量，2 ,3 为转 角常量。 2）位移函数中包含了常量应变项，
2 2 2
w w w 如形变分量为： 2 2 x y xy
N xr
2 Nr 2 x 2 N r N yr ] 2 y 2 2 Nr xy
2 N xr x 2 2 N xr y 2 2 N xr 2 xy
2 N yr x 2 2 N yr 2 y 2 N yr 2 xy
18
j
刚度矩阵
1）应变矩阵
w( x, y ) N
e
N yi ]
[ N ]112 N N i j
N m N l
N xi
[ N i ]13 [ N i
2w u 2 2 2 x x x 2 2 v w e z z [ N ]{ } 2 2 y y y u v 2w 2 2 2 y x xy xy z B B i j
4）中面无伸缩假设：弯曲过程中，中面无伸缩， 即：
u z0 0 vz0 0
5）变形一般小于厚度；
5
Kirchhoff薄板理论（不考虑剪切变形）
zw Βιβλιοθήκη yzw y x
w
y
w
x
w y w 中面法线绕y轴的转动： y x
中面法线绕x轴的转动： x
w u ( x, y , z ) z y z x w v( x, y, z ) z x z y
单位长度上的 弯矩、扭矩、 剪力满足：
几何方程
u x x v y y u v xy y x
b r s
21
T
T t3 a b Br D Bs dxdy 12 a b
6-3基于Mindlin板理论的板单元（4节点）
w( x, y ) Ni wi
i 1 4 4
x ( x, y ) Ni xi
i 1 4
节点参数：
wi ,xi , yi
3 2 2 3 3
3
4） 对于绕x轴的转角：
w x ( x, y ) d1 d 2 x d3 x 2 d 4 x3 y
y
b i o 四个系数d1～d4与c1～c4是 相互独立的，而四个系数d1～ d4不能通过i，j的两个已知绕x 轴的转角值xi、xj唯一确定； x 所以，薄板矩形单元是非协调 单元。但实践表明，当单元细 分，其解完全能收敛真实解。
克希霍夫假设
1、直法线假设：即 变形前垂直于板中 面的直线，在弯曲 变形后仍为直线， 且垂直于弯曲后的 中面。说明在平行 于中面的面上没有 z 剪应变，即 z y x t
u z y
变形前 的直线
zx 0 zy 0
z
x
变形后 的直线
y
w x
4
2）厚度不变假设：即忽略板厚变化，即 z 0。 由于板内各点的扰度与 z坐标无关，只是x，y的 函数，即 w w( x, y) 3）中面上正应力远小于其它应力分量假设：平行 于中面的各层相互不挤压，不拉伸，沿z向的正应 力可忽略，即 z 0
然而用折板代替壳体，网格需要合理的密度才能
得到满足实际要求的计算精度。
采用曲面壳元能够更好地反映壳体的真实几何形 状，通常可以得到比平板壳元更好的结果。
2
中厚板
薄板
膜
t t , lx ly
1 1 to 5 10
1 1 to 5 50
1 50
考虑横向剪切变形
不考虑剪切
几何大变形
相应板 理论 类似梁 理论
Reissner-Mindlin
Kirchhoff
von Karman
Theory of second order
3
Timoshenko
Euler Bernoulli
N m N l
N yi ] {w} , [ N ] , { e } 11 112 121
14
[ N i ]13 [ N i
N xi
其中，形函数：
1 x y x x y y N r (1 )(1 )[2 (1 ) (1 )] 8 xr yr xr xr yr yr 1 x y 2 y N xr yr (1 )(1 ) (1 ) 8 xr yr yr 1 x 2 y x N yr xr (1 ) (1 )(1 ) 8 xr yr xr r i, j , m, l
3 2 2 3 3
2
3
3）相邻单元在公共边界上扰度是连续的但转角不一定连续。 设边界ij边 y=b 则 有位移 w( x, y) c1 c2 x c3 x c4 x 对于绕y轴的转角： ( x, y ) w c 2c x 3c x 2 y 2 3 4
3
x
y b i o j
t 2 t 2
刚度矩阵 Ke的表达 式非常冗长！
2 T
K rs
e
z Br D Bs dV
a a b
转角是挠度的导数，要求C1连续性。 可以证明这种单元是非协调单元， 但能通过分片试验。
z2
B D B dxdydz
6-1.板的弯曲理论 6-2.基于薄板理论的板单元 6-3.基于Mindlin板理论的板单元 6-4.壳弯曲理论 6-5
ANSYS 壳单元
1
6-1板弯曲理论
板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小很多的平板，且能 承受横向或垂直于板面的载荷。如板不是平板而为曲 的(指一个单元)，则称为壳问题。如作用于板上的载荷 仅为平行于板面的纵向载荷，则称为平面应力问题； 如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷，则称 为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题。
薄板中面的挠度： w w( x, y) w( x, y, z 0)
•直法线假定
xz yz 0
z 0
•忽略厚度方向的应力
z 0
且直法线保 持长度不变
•中面无横向变形 u( x, y, z 0) v( x, y, z 0) 0 进一步结合直法线假定，可以推论出：
y ( x, y ) Ni yi
i 1
挠度和转角独立插值，只要求C0连续性
推导过程和考虑剪切变形的Timoshenko梁单元相同（省略） 。