【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 第一章 解三角形综合检测 新人教B版必修5
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学1.2.3导学的四则运算法则课后知能检测新人教b版选修2-2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.2.3 导学的四则运算法则课后知能检测新人教B版选修2-2一、选择题1．(2013·深圳高二检测)函数y＝cos (－x)的导数是( )A．cos x B．－cos xC．－sin x D．sin x【解析】y′＝－sin (－x)(－x)′＝－sin x.【答案】 C2．若f(x)＝1－x2sin x，则f(x)的导数是( )A.－2x sin x－－x2xsin2xB.－2x sin x＋－x2xsin2xC.－2x sin x＋－x2sin xD.－2x sin x－－x2sin x【解析】f′(x)＝－x2x－－x2xsin2x＝－2x sin x－－x2cos xsin2x.【答案】 A3．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9 B．－3C．9 D．15【解析】∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，令x＝0，得y＝9.【答案】 C4．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y ＝f(t)＝10t，则在时刻t＝40 min的降雨强度为( )A ．20 mmB ．400 mm C.12mm/min D.14 mm/min 【解析】 f ′(t )＝1210t ·10＝510t ， ∴f ′(40)＝5400＝14. 【答案】 D 5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2【解析】 设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1＝ln(x 0＋a )． 又由＝1x 0＋a＝1，解得x 0＋a ＝1， ∴y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2.【答案】 B二、填空题6．(2013·广东高考)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.【解析】 因为y ′＝2ax －1x，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12. 【答案】 127．已知函数f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ， ∴f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2＝－1， ∴f ′(x )＝－cos x －sin x ，∴f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 【答案】 － 28．曲线y ＝e－2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形面积是________．【解析】 ∵y ′＝－2e －2x ，∴y ′|x ＝0＝－2，切线方程为y ＝－2x ＋2.∴所围成的三角形的三个顶点为(0,0)，(1,0)，(23，23)． ∴S ＝12×1×23＝13. 【答案】 13三、解答题9．已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x 1＋x，x ≥0，其中a ＞0，若f ′(1)＝0，求a 的值． 【解】 f ′(x )＝[ln(ax ＋1)]′＋(1－x 1＋x)′ ＝a ax ＋1＋－2＋x 2，∴f ′(1)＝aa ＋1－12＝0， ∴a ＝1. 因此实数a 的值为1.10．若函数f (x )＝e x x在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值． 【解】 由于f (x )＝e x x ，∴f (c )＝e c c， 又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x x －x 2，∴f ′(c )＝e c c －c 2.依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e c c ＋e cc －c 2＝0，∴2c －1＝0得c ＝12. 11．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解】 (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12， ①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74. ② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x. (2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 知， 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)． 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
【课堂新坐标】(教师用书)20132014学年高中数学1.3.1利用导学判断函数的单调性课后知能检测新人教b版选修
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.3.1 利用导学判断函数的单调性课后知能检测 新人教B 版选修2-2一、选择题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 【解析】 f ′(x )＝e x ＋(x －3)e x ＝e x (x －2)，令f ′(x )>0，即e x (x －2)>0得x >2，因此函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．【答案】 D2．设y ＝x －ln x ，则此函数在区间(0,1)内为( )A ．单调递增B ．有增有减C ．单调递减D ．不确定【解析】 y ′＝1－1x，当x ∈(0,1)时，y ′<0，则函数y ＝x －ln x 在区间(0,1)内单调递减．【答案】 C3．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,1]C ．(－∞，1]D ．(0,1) 【解析】 f ′(x )＝3x 2－2ax －1.由题意知，不等式3x 2－2ax －1≤0在x ∈(0,1)内恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′ 0 ≤0，f ′ 1 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤0，2－2a ≤0，∴a ≥1. 当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x －1不恒为0，故实数a 的取值范围是[1，＋∞)．【答案】 A4．已知函数f (x )，g (x )满足当x ∈R 时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，若a >b ，则有( )A ．f (a )·g (a )＝f (b )g (b )B ．f (a )g (a )>f (b )g (b )C ．f (a )g (a )<f (b )g (b )D ．f (a )g (a )与f (b )g (b )的大小关系不定【解析】 由题意知[f (x )g (x )]′>0，从而f (x )g (x )在R 上是增函数，又a >b ，∴f (a )g (a )>f (b )g (b )．【答案】 B5．(2013·大连高二检测)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2.则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)【解析】 构造函数g (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则g (－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f ′(x )>2.∴g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )是R 上的增函数．∴f (x )>2x ＋4⇔g (x )>0⇔g (x )>g (－1)，∴x >－1.【答案】 B二、填空题6．当x >1时，ln x ＋1x 与1的大小关系为ln x ＋1x________1(填“>”或“<”)． 【解析】 设f (x )＝ln x ＋1x ，则f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，∵x >1，∴f ′(x )>0. ∴函数f (x )在[1，＋∞)内为增函数，故当x >1时，f (x )>f (1)＝1.从而ln x ＋1x>1. 【答案】 >7．若函数y ＝－43x 3＋bx 在定义域内不单调，则b 的取值范围是________． 【解析】 若函数y ＝－43x 3＋bx 在定义域内不单调，则其导数y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.【答案】 (0，＋∞)8．(2013·广州高二检测)已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．【解析】 ∵f ′(x )＝2a －1 x ＋2 2且函数f (x )在(－2，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )≤0在(－2，＋∞)上恒成立．∴a ≤12. 当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去． ∴a <12. 【答案】 a <12三、解答题9．(2013·广东高考改编)设函数f (x )＝(x －1)e x －x 2.求函数f (x )的单调区间．【解】 ∵f (x )＝(x －1)e x －x 2，∴f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x－2)．由f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝ln 2>0.由f ′(x )>0，得x <0或x >ln 2.由f ′(x )<0，得0<x <ln 2.所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，0)和(ln 2，＋∞)，单调减区间为(0，ln 2)．10．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)是否存在a ，使f (x )的单调减区间是(－1,1)．(2)若f (x )在R 上是增函数，求a 的取值范围．【解】 f ′(x )＝3x 2－a .(1)∵f (x )的单调减区间是(－1,1)，∴－1<x <1是f ′(x )<0的解，∴x ＝±1是方程3x 2－a ＝0的两根，所以a ＝3.(2)∵f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2－a ≥0对x ∈R 恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．∵y ＝3x 2在R 上的最小值为0.∴a ≤0.11．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)．(1)求f (x )的单调区间．(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．【解】 (1)∵ f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0， ∴f ′(x )＝a 2x－2x ＋a ＝－ x －a 2x ＋a x，由于a >0，∴f (x )的增区间为(0，a )，减区间(a ，＋∞)．(2)由题意得，f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e，由(1)知f (x )在[1，e]上单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧ f 1 ＝a －1≥e－1，f e ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.1 正弦定理(第2课时)课后知能检测 苏教版必修5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1 正弦定理（第2课时）课后知能检测 苏教版必修5一、填空题1．(2013·岳阳高二检测)在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则A 、B 、C 分别所对边a ∶b ∶c ＝________.【解析】 a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4.【答案】 3∶2∶42．(2013·无锡检测)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，∠A ＝60°，AC＝23，S △ABC ＝92，则AB ＝________. 【解析】 ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12AB ×23×32＝32AB ， ∴32AB ＝92，∴AB ＝3. 【答案】 33．(2013·南通检测)在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin A cosC ＝sin B ，则a c＝________. 【解析】 ∵2sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C∴sin A cos C －cos A sin C ＝0，∴sin(A －C )＝0.∴A ＝C ，∴a c ＝1.【答案】 14．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2，则△ABC 一定是________三角形． 【解析】 ∵a cos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2， ∴sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin C cos C 2，∴sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.∵0°＜A 2，B 2，C 2＜90°， ∴A 2＝B 2＝C 2，∴A ＝B ＝C ，∴△ABC 为等边三角形． 【答案】 等边5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝33. ∵b ＜a ，∴B ＜A ，∴B 为锐角，∴cos B ＝63. 【答案】 636．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(a 2，b 2)，n ＝(tan A ，tan B )，且m ∥n ，那么△ABC 一定是________三角形．【解析】 ∵m ∥n ，∴a 2tan B ＝b 2tan A ，∴sin 2A tan B ＝sin 2B tan A ，∴sin A cos B ＝sin B cos A ，∴sin 2A ＝sin 2B ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰或直角三角形． 【答案】 等腰或直角7．(2013·德州高二检测)△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．【解析】 设最小角为α，则最大角为120°－α，∴sin 120°－α sin α＝3＋12， ∴2sin(120°－α)＝(3＋1)sin α，∴sin α＝cos α，∴α＝45°，∴最大角为120°－45°＝75°.【答案】 75°8．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则AC ＋AB 的取值范围是________． 【解析】 根据正弦定理，得AC ＝BC sin B sin A＝23sin B ， AB ＝BC sin C sin A＝23sin C ，∴AC ＋AB ＝23(sin B ＋sin C )＝23[sin B ＋sin(2π3－B )] ＝23(sin B ＋32cos B ＋12sin B ) ＝6sin(B ＋π6)． ∵0＜B ＜2π3， ∴π6＜B ＋π6＜5π6， ∴12＜sin(B ＋π6)≤1， ∴3＜6sin(B ＋π6)≤6. ∴AC ＋AB 的取值范围是(3,6]．【答案】 (3,6]二、解答题9．(2013·如皋检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3. (1)求sin C 的值；(2)求△ABC 的面积．【解】 (1)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝35×12＋45×32＝110(3＋43)． (2)由正弦定理a sin A ＝bsin B， ∴a ＝b sin A sin B ＝3×3532＝65， ∴S ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝93＋3650. 10．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状．【解】 ∵A 、B 、C 是三角形的内角， ∴A ＝π－(B ＋C )，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝2sin B cos C .∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， ∴sin(B －C )＝0.又∵0＜B ＜π，0＜C ＜π，∴－π＜B －C ＜π，∴B ＝C .又∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， (R 为△ABC 外接圆的半径)可得a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角，∴△ABC 是等腰直角三角形．11．在△ABC 中，若C ＝3B ，求c b 的取值范围．【解】 由正弦定理可知c b ＝sin C sin B ＝sin 3B sin B ＝sin B cos 2B ＋cos B sin 2B sin B ＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1.又因为A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ， 故0°＜B ＜45°，22＜cos B ＜1， 所以12＜cos 2B ＜1，所以1＜4cos 2B －1＜3，故1＜cb ＜3. 即cb 的取值范围是(1,3)．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.1 2 基本不等式课后知能检测 新人教A版选修4-5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1 2 基本不等式课后知能检测 新人教A 版选修4-5一、选择题 1．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( )A.25 B ．12 C.22D ．1【解析】 显然x ≥0.当x ＝0时，f (x )＝0； 当x >0时，x ＋1≥2x ，∴f (x )≤12.当且仅当x ＝1时，等号成立， ∴f (x )max ＝12.【答案】 B2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b2 B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2D ．ab ＜a ＜a ＋b 2＜b【解析】 取特殊值法．取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b2＜b .故选B.【答案】 B3．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A ．3B ．4 C.92D ．112【解析】 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，∴y ＝1a ＋4b ＝(1a ＋4b )· a ＋b 2＝(12＋b 2a ＋2a b ＋2)≥52＋2b 2a ·2a b ＝92. 当且仅当a ＝23，b ＝43时，等号成立．故选C.【答案】 C4．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．【答案】 C 二、填空题5．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．【解析】 x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－ x ＋y 24＝34(x ＋y )2，∴(x ＋y )2≤43，∴|x ＋y |≤233.x ＋y 的最大值为233. 【答案】233 6．(2013·陕西高考)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )·(bm ＋an )的最小值为________．【解析】 ∵a ，b ，m ，n ∈R ＋，且a ＋b ＝1，mn ＝2， ∴(am ＋bn )(bm ＋an ) ＝abm 2＋a 2mn ＋b 2mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2) ≥2ab ·mn ＋2(a 2＋b 2) ＝4ab ＋2(a 2＋b 2) ＝2(a 2＋b 2＋2ab ) ＝2(a ＋b )2＝2，当且仅当m ＝n ＝2时，取“＝”． ∴所求最小值为2. 【答案】 2 三、解答题7．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .【解】 ∵x ＋y ＝(x ＋y )(a x ＋b y) ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ayx时取等号． 又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18. ① 又a ＋b ＝10，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.8．已知a ，b ，c 均是正数，求证： (1)a ＋b2≤a 2＋b 22；(2)a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 【证明】 (1)∵a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2， ∴a 2＋b 22≥a ＋b 24. 又a >0，b >0，∴a ＋b 2≤a 2＋b 22.(2)由(1)得a 2＋b 2≥22(a ＋b )．同理：b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(a ＋c )． 三式相加得：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )， 当且仅当a ＝b ＝c 时，取“＝”号． 9．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 由x >0，知原不等式等价于 0<1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x＋3恒成立．又x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2， ∴x ＋1x＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号．因此⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋3min ＝5，从而0<1a ≤5，解得a ≥15.故实数a 的取值范围为[15，＋∞)．教师备选10．某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位：m)，如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为125 m ，问d 为多少时，α－β最大？【解】 由题设知d ＝|AB |，得tan α＝H d.由|AB |＝|AD |－|BD |＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －hd，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝h d ＋H H －h d≤h2H H －h ，当且仅当d ＝H H －hd， 即d ＝H H －h ＝125× 125－4 ＝555时，上式取等号． ∴当d ＝555时，tan(α－β)最大． 因为0<β<α<π2，则0<α－β<π2，∴当d ＝555时，α－β最大．故所求的d 是55 5 m.。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 第1章 三角函数章末归纳提升 苏教版必修4
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第1章 三角函数章末归纳提升 苏教版必修4(1)任意角和弧度制．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．(2)任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)已知角α的终边过点P (－4m,3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α的值是________．(2)函数y ＝sin x ＋2cos x －1的定义域是________．【思路点拨】 (1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m 的正负． (2)利用三角函数线求解．【规范解答】 (1)r ＝|OP |＝－4m 2＋m 2＝5|m |.当m >0时，sin α＝y r ＝3m 5m ＝35，cos α＝x r ＝－4m 5m ＝－45.∴2sin α＋cos α＝25.当m <0时，sin α＝y r ＝3m －5m ＝－35，cos α＝x r ＝－4m －5m ＝45.∴2sin α＋cos α＝－25.故2sin α＋cos α的值是25或－25.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1≥0得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥12，如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3k ∈Z ，解得：2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，∴函数的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．【答案】 (1)25或－25 (2){x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }已知P (－3，m )为角α的终边上的一点，且sin α＝1313，则m 的值为________． 【解析】 r ＝3＋m 2，∴sin α＝y r＝m3＋m2＝1313，平方解得m ＝±12， ∵sin α＝1313＞0，∴m ＞0，∴m ＝12. 【答案】 1诱导公式1．在计算、化简或证明三角函数式时常用的三个技巧有：(1)“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin 2α＋cos 2α”代替． (2)切化弦．利用商数关系式把正切化为正弦和余弦函数．(3)整体代替．将计算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系．2．应用诱导公式需注意的五个问题：(1)应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为：“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．(2)在运用这六组诱导公式时，要仔细体会其中的数学思想——化归思想，并在学习过程中能自觉地运用．(3)诱导公式起着变名、变号、变角等作用，在三角函数有关问题(特别是化简、求值、证明)中常使用．(4)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似k π±α的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．(5)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”． 3．方程思想的渗透对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可以求出．(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.已知sin α＋cos α＝13，α∈(0，π)，求tan α的值．【思路点拨】 要求tan α的值，只需求得sin α，cos α的值．而由已知条件sinα＋cos α＝13，α∈(0，π)，再利用sin 2α＋cos 2α＝1，求得2sin αcos α的值，进而求得sin α－cos α的值．【规范解答】 ∵sin α＋cos α＝13，①将其两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝19，∴2sin αcos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴cos α＜0＜sin α.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，∴sin α－cos α＝173.② 由①②得sin α＝1＋176，cos α＝1－176.∴tan α＝sin αcos α＝－9＋178.化简：1＋cos(π2＋α)·sin(π2－α)·tan(π＋α)．【解】 原式＝1－sin α·cos α·tan α＝1－sin α·cos α·sin α＝1－sin 2α＝cos 2α.1.主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，利用“五点法”作图或利用图象的伸缩和平移变换来作图．具体要求：①用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π；②对于y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别；③已知函数图象来求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．2．解决三角函数有关性质的问题时，常用到数形结合、分类讨论、化归转化等数学思想，主要体现在三角函数的奇偶性、单调性、周期性以及其图象的对称性等知识的考查．如图1－1所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的部分图象．图1－1(1)求此函数的解析式；(2)分析一下该函数的图象是如何通过y ＝sin x 的图象变换得来的．【思路点拨】 (1)根据函数图象与A ，ω，φ的关系求出函数解析式；(2)根据函数图象变换的有关性质进行求解．【规范解答】 (1)由图象知A ＝－12－－322＝12，k ＝－12＋－322＝－1，T ＝2×(2π3－π6)＝π， ∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，∴所求函数的解析式为y ＝12sin(2x ＋π6)－1.(2)把y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin(x ＋π6)的图象，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin(2x ＋π6)的图象，再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin(2x ＋π6)的图象，最后把函数y ＝12sin(2x ＋π6)的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin(2x ＋π6)－1的图象．函数y ＝2a ＋b sin x 的最大值是3，最小值是1，求函数y ＝－4a sin bx2的最大值和最小值，以及相应的x 的值．【解】 当b ＝0时，y ＝2a ，此时y max ＝y min ，与题意不符，故b ≠0.若b ＞0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝3，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，此时y ＝－4a sin bx 2＝－4sin x2， 当x ＝4k π－π(k ∈Z )时，y 有最大值4； 当x ＝4k π＋π(k ∈Z )时，y 有最小值－4.若b ＜0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时y ＝－4a sin bx 2＝4sin x2， 当x ＝4k π＋π(k ∈Z )时，y 有最大值4； 当x ＝4k π1.(1)数形结合是重要的数学思想，它能把代数关系与几何图形有机结合起来，将抽象的思维方式转化为直观的思维方式，从而使问题变得简单明了．(2)数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中．2．数形结合在本章中的体现本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法，而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题，又是典型的“以数助形”的解题策略．试判断方程sin x ＝x100π实数根的个数．【思路点拨】 本题主要考查数形结合法求超越方程的根，在同一坐标系内作出函数y 1＝sin x 与y 2＝x100π的图象，由函数图象分析交点的个数．【规范解答】 令y 1＝sin x ，y 2＝x100π，即求两个函数图象的交点数．∵|sin x |≤1，∴|x100π|≤1，|x |≤100π，如图．每一个最小正周期有两个交点，[0,100π]内共有50个最小正周期，所以有100个交点．又y 1＝sin x ，y 2＝x100π均为奇函数，所以在[－100π，0]内也有100个交点，而原点处的交点重复计算了一次，所以方程sin x ＝x100π实数根有199个．若集合M ＝{θ|sin θ≥12，0≤θ≤π}，N ＝{θ|cos θ≤12，0≤θ≤π}，求M ∩N .【解】 法一 首先作出正弦函数与余弦函数以及直线y ＝12的图象．如图①②，结合图象得集合M ，N 分别为M ＝{θ|π6≤θ≤5π6}，N ＝{θ|π3≤θ≤π}． 得M ∩N ＝{θ|π3≤θ≤56π}．法二 作出单位圆的正弦线和余弦线如图． 由单位圆三角函数线知M ＝{θ|π6≤θ≤5π6}，N ＝{θ|π3≤θ≤π}． 由此可得M ∩N ＝{θ|π3≤θ≤5π6}．综合检测(一) 第1章 三角函数(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在题中横线上) 1．角α，β的终边关于x 轴对称，若α＝30°，则β＝________.【解析】 画出图形可知β的终边与－α的终边相同，故β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z .【答案】 －30°＋k ·360°，k ∈Z2．(2013·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f (f (π4))＝________.【解析】 ∵π4∈[0，π2)，∴f (π4)＝－tan π4＝－1，∴f (f (π4))＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2.【答案】 －23．函数y ＝3cos(25x －π6)的最小正周期是________．【解析】 T ＝2π25＝5π.【答案】 5π4．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)(π2＜α＜3π2)，则sin θ＋cos θ＝________.【解析】 ∵r ＝－4cos α2＋α2＝5|cos α|＝－5cos α，∴sin θ＝3cos α－5cos α＝－35，cos α＝－4cos α－5cos α＝45.∴sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15.【答案】 155．如果sin(π＋A )＝－12，则cos(32π－A )＝________.【解析】 sin(π＋A )＝－sin A ＝－12，∴sin A ＝12，cos(32π－A )＝cos[π＋(π2－A )]＝－cos(π2－A )＝－sin A ＝－12.【答案】 －126．已知tan θ＝2，则sin θsin 3θ－cos 3θ＝________.【解析】 sin θsin 3θ－cos 3θ＝sin θ2θ＋cos 2θsin 3θ－cos 3θ ＝tan 3θ＋tan θtan 3θ－1＝23＋223－1＝107. 【答案】 1077．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【解析】 设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2，∴α＝4或α＝1.【答案】 1或48．函数y ＝25－x 2＋log 3sin(π－x )的定义域为________．【解析】 ∵y ＝25－x 2＋log 3sin(π－x )＝25－x 2＋log 3sin x ，∴要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧25－x 2≥0，sin x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5，2k π<x <2k π＋πk ∈Z ，∴－5≤x <－π或0<x <π.【答案】 [－5，－π)∪(0，π)9．函数y ＝2cos(x －π3)(π6≤x ≤2π3)的最大值和最小值之积为________．【解析】 ∵π6≤x ≤23π，∴－π6≤x －π3≤π3，∴12≤cos(x －π3)≤1，∴1≤2cos(x －π3)≤2， 故所求最大值和最小值之积1×2＝2. 【答案】 210．将函数y ＝sin(3x ＋π4)的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．【解析】 y ＝sin(3x ＋π4)向右平移π8个单位得y ＝sin[3(x －π8)＋π4]，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(x －π8)．【答案】 y ＝sin(x －π8)11．(2013·扬州高一检测)设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．【解析】 由函数的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，得43π是此函数周期的整数倍．又ω＞0，∴2πω·k ＝43π(k ∈Z )，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ωmin ＝32. 【答案】 32图112．如图1为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (ω＞0，A ＞0，|φ|＜π2)图象的一部分，则f (x )的解析式为________．【解析】 A ＝3－－2＝2，B ＝3＋－2＝1，由图可知2sin φ＝1，|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以2sin(－πω＋π6)＋1＝－1，可得－πω＋π6＝－π2，所以ω＝23，所以f (x )＝2sin(23x ＋π6)＋1.【答案】 2sin(23x ＋π6)＋113．(2013·合肥高一检测)函数y ＝2sin(2x ＋π3)在[0，π]上的单调增区间为________．【解析】 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－512π＋k π≤x ≤π12＋k π(k∈Z )，令k ＝0,1得所求单调递增区间为[0，π12]，[712π，π]．【答案】 [0，π12]，[712π，π]14．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )，有下列命题：①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改为y ＝4cos(2x －π6)；③y ＝f (x )的图象关于点(－π6，0)对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题是________．(把你认为正确的命题序号都填上)【解析】 函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T 2＝π2知①错．利用诱导公式得f (x )＝4cos[π2－(2x ＋π3)]＝4cos(π6－2x )＝4cos(2x －π6)，知②正确．由于曲线f (x )与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－π6代入得f (x )＝4sin[2×(－π6)＋π3]＝4sin 0＝0，因此点(－π6，0)是f (x )图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f (x )的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x ＝－π6时y ＝0，点(－π6，0)不是最高点也不是最低点，故直线x ＝－π6不是图象的对称轴，因此命题④不正确．【答案】 ②③ 二、解答题(本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)求值sin 2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos 2(－330°)＋sin(－210°)．【解】 原式＝(32)2－1＋1－cos 230°＋sin 30°＝(32)2－1＋1－(32)2＋12＝12. 16．(本小题满分14分)已知α是第三象限角，且f (α)＝α－π23π2＋απ－α－α－π－π－α.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．【解】 (1)f (α)＝－cos α·sin α－tan α－tan α·sin α＝－cos α.(2)∵cos(α－3π2)＝cos(－3·π2＋α)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，cos α＝－1－－152＝－265，∴f (α)＝265.17．(本小题满分14分)已知函数y ＝a sin(2x ＋π6)＋b 在x ∈[0，π2]上的值域为[－5,1]，求a ，b 的值．【解】 由题意知a ≠0.∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]．当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－a2＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3.当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧－12a ＋b ＝1，a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1.∴a ，b 的取值分别是 4，－3或－4，－1.18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时x 的取值集合．【解】 (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调减区间为[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1，(3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π，∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π，k ∈Z .∴当f (x )取最大值时，x 的取值集合是{x |x ＝π6＋k π，k ∈Z }．19．(本小题满分16分)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标缩短到原来的13倍，再将曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，然后把整个曲线向左平移π3，得到函数y ＝sin x的图象，求函数f (x )的解析式，并画出函数y ＝f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图．【解】 将正弦曲线y ＝sin x 向右平移π3个单位长度，得函数y ＝sin(x －π3)的图象，再将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得函数y ＝sin(x 2－π3)的图象，然后将曲线上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得函数y ＝3sin(x 2－π3)的图象．∴f (x )＝3sin(x 2－π3)．令z ＝x 2－π3，则x ＝2z ＋2π3.列表：描点画图(如图) ：11 20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)x －π6 π3 5π6 4π3 11π6 7π3 17π6 y －1 1 3 1 －1 1 3(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．【解】 (1)设f (x )的最小正周期为T ，得T ＝11π6－(－π6)＝2π.由T ＝2πω得ω＝1. 又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝2，B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2＋2k π， 即5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|＜π2，解得φ＝－π3. ∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1. (2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k ＞0，∴k ＝3.令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]． 如图，sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解的条件是s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰有两个不同的解的条件是m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学3.3.2利用导学研究函数的极值课后知能检测新人教b版选修1
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.3.2 利用导学研究函数的极值课后知能检测新人教B版选修1-1一、选择题1．已知函数f(x)，x∈R，有唯一极值，且当x＝1时，f(x)存在极小值，则( ) A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0【解析】f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，应选C.【答案】 C图3－3－52．(2013·青岛高二检测)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图3－3－5所示，则函数f(x)的极小值是( )A．a＋b＋c B．3a＋4b＋cC．3a＋2b D．c【解析】由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数取得极小值，f(x)极小值＝c.【答案】 D3．函数f(x)＝x3－3x2＋3x( )A．x＝1时，取得极大值B．x＝1时，取得极小值C．x＝－1时，取得极大值D．无极值点【解析】f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立．∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，f(x)无极值．【答案】 D4．(2013·郑州高二检测)函数f (x )＝ln x －x 在(0，e)上的最大值为( ) A ．1－e B ．－1 C ．－e D ．0【解析】 f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1；令f ′(x )＜0，得1＜x ＜e ，∴f (x )在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－1.【答案】 B5．(2013·吉林高二检测)已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m ＞32C ．m ≤32D ．m ＜32【解析】 f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝3，验证可知x ＝3是函数的最小值点，故f (x )min ＝f (3)＝3m －272，由f (x )＋9≥0恒成立得f (x )≥－9恒成立，即3m －272≥－9，∴m ≥32. 【答案】 A 二、填空题6．函数y ＝x ·e －x，x ∈[0,4]的最小值为________．【解析】 ∵y ′＝e －x －x e －x ＝e －x(1－x )，令y ′＝0，得x ＝1，而f (0)＝0，f (1)＝1e，f (4)＝4e4，∴y min ＝0.【答案】 07．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于________． 【解析】 y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)． 令y ′＝0得x 1＝0，x 2＝4. 列表可知y 极大＝f (4)＝32＋m ＝13. ∴m ＝－19. 【答案】 －198．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________． 【解析】 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 由题意f ′(x )＝0有两个不等的实根，故Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)＞0，解之得a ＞2或a ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞) 三、解答题9．求下列函数的极值． (1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝2xx 2＋1－2. 【解】 (1)函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数有极小值， 且f (2)＝23－12×2＝－16. (2)函数的定义域为R .f ′(x )＝x 2＋－4x 2x 2＋2＝－x －x ＋x 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值； 且f (1)＝22－2＝－1.10．已知函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )(常数a ∈R )． (1)求f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在[－2,4]上的最大值． 【解】 (1)f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4.(2)由f ′(－1)＝0，得3＋2a －4＝0，∴a ＝12.则f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，∴f ′(x )＝3x 2－x －4＝3(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43.当x ∈[－2，－1)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤43，4时，f ′(x )＞0， 所以f (x )的单调递增区间是[－2，－1)与⎝ ⎛⎦⎥⎤43，4； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，43，f ′(x )＜0， 所以f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－1，43.又f (－1)＝92，f (4)＝42，f (－2)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－4427.∴f (x )在[－2,4]上的最大值f (x )max ＝f (4)＝42. 11．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时f ′(x )，f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y＝f (x )与x 轴至少有一个交点．因此若y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，应有527＋a ＜0或a －1＞0.所以当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.3.1 单调性课后知能检测 苏教版选修1-1
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.3.1 单调性课后知能检测 苏教版选修1-1一、填空题1．(2013·南京高二检测)函数y ＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间为________． 【解析】 y ′＝3x 2－6x ＝3(x 2－2x )，令y ′<0，可得0<x <2. 【答案】 (0，2)2．(2013·惠州高二检测)函数f (x )＝x ln x 的单调减区间为________． 【解析】 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1. 令f ′(x )＜0得x ＜1e ，又x ＞0，∴f (x )的减区间为(0，1e)．【答案】 (0，1e)3．y ＝x ＋2cos x ，x ∈[0，π]的单调减区间为________．【解析】 y ′＝1－2sin x ，解1－2sin x ＜0即sin x ＞12得x ∈(π6，56π)，∴单调减区间为(π6，56π)．【答案】 (π6，56π)4．设f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图3－3－3，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为下图中的______(填序号)．图3－3－3【解析】 由函数y ＝f (x )的图象可知，当x ＜0时，f (x )单调递增，当x ＞0时，f (x )先增、后减、再增，故y ＝f ′(x )图象满足的特征为：当x ＜0时，f ′(x )＞0；当x ＞0时，f ′(x )按先正再负后正的次序变化，只有④满足．【答案】 ④5．若函数f (x )＝x 3－x 2＋ax －2在区间[16，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ＝3(x －13)2＋(a －13)，当x ＝13时，f ′(x )取最小值a －13，∵x ∈[16，＋∞)，f ′(x )≥0恒成立，∴a －13≥0，∴a ≥13.【答案】 [13，＋∞)6．若函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0，2)内单调递减，那么常数a 的值为________．【解析】 f ′(x )＝6x 2＋2ax ，令6x 2＋2ax <0，若a >0，解得－a3<x <0，不合题意；若a <0，解得0<x <－a3；由f (x )在(0，2)上单调递减，知a ＝－6.【答案】 －67．(2013·泰安高二检测)函数f (x )＝ax 3－x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝3ax 2－1≤0恒成立，∴3ax 2≤1. (1)当a ≤0时显然成立． (2)当a ＞0时，a ≤13x 2无解，∴a 的取值范围是(－∞，0]． 【答案】 (－∞，0]8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．【解析】 对y ＝－43x 3＋bx 求导，得y ′＝－4x 2＋b .因为函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，所以方程－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，则Δ>0，故b >0.【答案】 b >0 二、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x ，求函数f (x )的单调区间． 【解】 由f (x )＝x 3－x 得f ′(x )＝3x 2－1＝3(x －33)(x ＋33)．当x ∈(－∞，－33)和(33，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－33，33)时，f ′(x )<0. 因此，f (x )的单调递增区间为(－∞，－33)和(33，＋∞)；单调递减区间为(－33，33)． 10．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调减区间；(2)若g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．【解】 (1)函数的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ， ∴f ′(x )＝2x －2x ＝2（x 2－1）x.由f ′(x )<0得－1<x <1，又x >0，∴当a ＝－2时，函数的单调减区间为(0，1)． (2)由题意知g (x )＝x 2＋a ln x ＋2x，∴g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，若g (x )在[1，＋∞)上为增函数，则g ′(x )＝2x ＋a x －2x2≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x－2x 2在[1，＋∞)上恒成立，令h (x )＝2x－2x 2，则h ′(x )＝－2x2－4x <0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递减， ∴h (x )m ax ＝h (1)＝0， ∴a ≥0.∴所求a 的取值范围为[0，＋∞)．11．(2013·洛阳高二检测)已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1，讨论函数f (x )的单调性．【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.当a ≥0时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f ′(x )＜0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1＜a ＜0时，令f ′(x )＝0， 解得x ＝ －a ＋12a. 则当x ∈(0,－a ＋12a)时，f ′(x )＞0； x ∈( －a ＋12a，＋∞)时，f ′(x )＜0. 故f (x )在(0, －a ＋12a)上单调递增，在( －a ＋12a，＋∞)上单调递减．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2.1 综合法与分析法课后知能检测 新人教B版选修2-2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.1 综合法与分析法课后知能检测 新人教B 版选修2-2一、选择题1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，其过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法【解析】 结合分析法及综合法的定义可知B 正确． 【答案】 B2．(2013·台州高二检测)设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B.a 2＋b 22<ab <1C ．ab <a 2＋b 22<1D ．ab <1<a 2＋b22【解析】 ∵a ＋b ＝2且a ≠b ，∴ab <(a ＋b2)2＝1，a 2＋b 22>(a ＋b2)2＝1.∴a 2＋b 22>1>ab ，故选D.【答案】 D3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定【解析】 欲比较P ，Q ，只需比较P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a 与Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12， 只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12，显然前者小． 【答案】 C4．设甲：函数f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，乙：函数g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．以上均不对【解析】 对甲，要使f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，只需要Δ＝m 2－4n >0即可；对乙，要使g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，只需要u ＝x 2＋mx ＋n 的值域包含区间(0，＋∞)，只需要Δ＝m 2－4n ≥0，∴甲是乙的充分不必要条件．【答案】 A5．(2013·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca B.a ＋b >a ＋b (a >0，b >0) C.a －a －1<a －2－a －3(a ≥3) D.2＋10>2 6【解析】 对A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；对B ，∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴a ＋b >a ＋b ；对C ，要证a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)成立，只需证明a ＋a －3<a －2＋a －1，两边平方得2a －3＋2a a －3<2a －3＋2a －2a －1，即aa －3<a －2a －1，两边平方得a 2－3a <a 2－3a ＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立； 对于D ，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0， ∴2＋10<26，故D 错误． 【答案】 D 二、填空题6．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则log2xy＝________. 【解析】 由条件知lg xy ＝lg(x －2y )2， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，即(x y)2－5x y ＋4＝0，∴x y ＝4或x y ＝1，又x ＞2y ，故x y＝4. ∴log2xy＝log 24＝4. 【答案】 47．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．【解析】 x 2－y 2＝a ＋b ＋2ab2－(a ＋b )＝2ab －a －b 2＝－a －b22≤0，∴x 2≤y 2.∵a ，b 是不相等的正数，∴x >0，y >0，x ≠y ，∴x 2<y 2即x <y . 【答案】 x <y8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，f (x )＝2x －1x ＋1，a n ＝log 2f n ＋1f n ，则S 2 011＝________.【解析】 a n ＝log 2f n ＋1f n＝log 2f (n ＋1)－log 2f (n )，∴S 2 011＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 011＝[log 2f (2)－log 2f (1)]＋[log 2f (3)－log 2f (2)]＋[log 2f (4)－log 2f (3)]＋…＋[log 2f (2 012)－log 2f (2 011)]＝log 2f (2 012)－log 2f (1)＝log 24 024－12 012＋1－log 22－11＋1＝log 21 341671＋1.【答案】 log 21 341671＋1三、解答题9．(2013·东城高二检测)用分析法证明：若a >0，则a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【证明】 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a >0，∴两边均大于零， 因此只需证(a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，只需证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a2＋4＋22(a ＋1a)，只需证a 2＋1a 2≥22(a ＋1a)，只需证a 2＋1a 2≥12(a 2＋1a 2＋2)，即证a 2＋1a2≥2，它显然成立，∴原不等式成立．10．(2013·武汉高二检测)(1)求证：a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )． (2)已知a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.【证明】 (1)∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋3≥23a ，b 2＋3≥23b ，将此三式相加得2(a 2＋b 2＋3) ≥2ab ＋23a ＋23b ， ∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．(2)∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴(1a －1)(1b －1)(1c－1)＝a ＋b ＋c －a a ·a ＋b ＋c －b b ·a ＋b ＋c －cc＝b ＋c ·a ＋c ·a ＋b ≥2bc ·2ac ·2ab＝8. 故(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.11．(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)设1＜a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .【证明】 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．由于x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .又由于1＜a ≤b ≤c ，所以x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 第1章 解三角形章末归纳提升 苏教版必修5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第1章 解三角形章末归纳提升 苏教版必修5解三角形正弦定理定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 变形类型已知两角和一边，解三角形已知两边和其中一边的对角应用 举例测量问题平面几何问题航海问题余弦定理定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 变形类型已知两边及夹角，解三角形已知三边，解三角形求出其它元素，常见类型及方法如下：在△ABC 中，a ＝4，A ＝60°，当b 满足下列条件时，解三角形：(1)b＝433；(2)b ＝22＋263；(3)b ＝833；(4)b ＝8.【思路点拨】 审清已 知条件→判断解 题类型→选择正、 余弦定理→求解【规范解答】 (1)∵a ＞b ，∴B 为锐角，由正弦定理，sin B ＝b a sin A ＝12，∴B ＝30°，C ＝90°，由正弦定理c ＝asin A ·sin C ＝833.(2)由正弦定理sin B ＝b a ·sin A ＝22＋2634×32＝6＋24，当B 为锐角时B ＝75°，C ＝45°.由正弦定理c ＝asin A ·sin C ＝463，当B 为钝角时B ＝105°，C ＝15°，由正弦定理c ＝a sin A ·sin C ＝22－263.(3)法一 由正弦定理sin B ＝ba·sin A ＝1，∴B ＝90°，C ＝30°，由正弦定理c ＝asin A ·sin C ＝433. 法二 设第三边长为c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴16＝643＋c 2－833c ，即c 2－833c ＋163＝0.∴(c －433)2＝0，∴c ＝433，由正弦定理sin C ＝c a ·sin A ＝12.∵a ＞c ，∴C 为锐角，∴C ＝30°，B ＝90°.(4)由正弦定理sin B ＝b a·sin A ＝3＞1，B 无解，三角形无解．(1)在△ABC 中，C ＝45°，A ＝60°，b ＝2，求B 及a ，c 的值；(2)在△ABC 中，a ＝2，b ＝22，c ＝6＋2，求△ABC 的三个内角．【解】 (1)∵A ＝60°，C ＝45°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(60°＋45°)＝75°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝2×326＋24＝32－ 6.∵csin C ＝b sin B ，∴c ＝b sin C sin B ＝2×226＋24＝2(3－1)． (2)∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ 22 2＋ 6＋2 2－222×22× 6＋2＝32， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22＋ 6＋2 2－ 22 22×2× 6＋2＝22，且A ，B 都是△ABC 的内角， ∴A ＝30°，B ＝45°，∴C＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴△ABC 的三个内角分别是30°，45°，105°.用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．在解三角形时常用的结论有：1．在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔cos A ＜cos B .2．在△ABC 中，a 2＋b 2＜c 2⇔cos<0⇔π2＜C ＜π，a 2＋b 2＝c 2⇔cos C ＝0⇔C ＝π2，a 2＋b 2＞c 2⇔cos C ＞0⇔0＜C ＜π2.已知△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】 若化A ＝180°－(B ＋C )，利用三角变换较为繁琐，因而可考虑利用正、余弦定理化为边的关系，利用代数恒等变形进行求解．【规范解答】 由正弦定理和余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＋a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋ca ，∴b ＋c ＝a 2＋c 2－b 22c ＋a 2＋b 2－c 22b，∴2c 2－a 2－c 2＋b 22c ＝a 2＋b 2－c 2－2b 22b，∴c 2＋b 2－a 2c ＝a 2－b 2－c 2b，∴(b 2＋c 2－a 2)(1c ＋1b)＝0.∵1c ＋1b≠0，∴b 2＋c 2－a 2＝0，∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 为直角三角形．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，角A 是锐角，则△ABC 的形状是________．【解析】 由3b ＝23a sin B ，得b sin B ＝23a 3，根据正弦定理，得b sin B ＝asin A，所以asin A ＝23a 3，即sin A ＝32. 又角A 是锐角，所以A ＝60°.又cos B ＝cos C ，且B ，C 都为三角形的内角，所以B ＝C . 故△ABC 为等边三角形． 【答案】 等边三角形是近几年高考中一类热点题型. 在具体解题中，除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外，还要注意三角形内部的隐含条件的应用，注意与方程、向量、不等式等知识的融合渗透，注意函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用．△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且8(sinB ＋C2)2－2cos 2A＝7.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求△ABC 的面积．【思路点拨】 化简已知等式→解方程求cos A →求角A →利用余弦定理求bc →求面积． 【规范解答】 (1)∵8·(sinB ＋C2)2－2cos 2A ＝7，∴8·1－cos B ＋C 2－2(2cos 2A －1)＝7，整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A＝12，即A ＝60°. (2)∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴3＝b 2＋c 2－2bc ·12＝(b ＋c )2－3bc ＝32－3bc ，bc ＝2. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×32＝32.在△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，BC ＝53，外接圆半径为5. (1)求角A 的大小；(2)若AB →·AC →＝112，求△ABC 的周长．【解】 (1)由正弦定理得sin A ＝BC 2R ＝32.∵0＜A ＜π， ∴A ＝π3或2π3.(2)∵AB →·AC →＝bc cos A ＝112＞0，∴A ＝π3，bc ＝11.由余弦定理，得12＝b 2＋c 2－a22bc ，即(b ＋c )2＝3bc ＋75＝108. ∴b ＋c ＝6 3.∴△ABC 的周长为11 3.之间的关系用函数表示出来，然后用函数的观点研究问题．方程的思想就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量之间的关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值．正、余弦定理在一定条件下，都可以看作方程，从而求出所需要的量．在△ABC 中，c ＝2＋6，C ＝30°，试求a ＋b 的取值范围．【思路点拨】 本题利用正弦定理结合比例的性质将a ＋b 转化为A 的函数，从而将求a ＋b 的取值范围转化为求函数值域．【规范解答】 因为csin C ＝a sin A ＝b sin B ＝a ＋b sin A ＋sin B， 又c ＝2＋6，C ＝30°，所以a ＋b sin A ＋sin B ＝2＋6sin 30°，A ＋B ＝180°－30°＝150°.所以a ＋b ＝2(2＋6)[sin A ＋sin(150°－A )] ＝2(2＋6)·2sin 75°cos(75°－A )＝2(2＋6)·6＋22cos(75°－A )＝(2＋6)2cos(75°－A )．所以当A ＝75°时，(a ＋b )max ＝8＋43； 又因为A ＋B ＝150°，所以0°＜A ＜150°，－150°＜－A ＜0°. 所以－75°＜75°－A ＜75°， 所以cos(75°－A )∈(cos 75°，1]． 又(2＋6)2cos 75°＝(2＋6)2·6－24＝2＋6， 所以2＋6＜a ＋b ≤8＋4 3.综上所述，a ＋b ∈(2＋6，8＋43]．在△ABC 中，已知内角A ＝π3，边BC ＝23，设内角B ＝x ，周长为y .(1)求函数y ＝f (x )的解析式和定义域； (2)求y 的最大值．【解】 (1)在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π. 由正弦定理得：AC ＝BCsin A ·sin B ＝23sinπ3sin x ＝4sin x ， AB ＝BCsin A ·sin C ＝4sin(23π－x )，x ＜23π. ∴y ＝AB ＋BC ＋AC＝4sin(23π－x )＋23＋4sin x＝23cos x ＋6sin x ＋2 3 ＝43sin(x ＋π6)＋23，其定义域为{x |0＜x ＜23π}．(2)由(1)得y ＝43sin(x ＋π6)＋23，∵0＜x ＜2π3，∴π6＜x ＋π6＜5π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，y 取得最大值为6 3.综合检测(一) 第1章 解三角形(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝45°，a ＝2，则b ＝________. 【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝2×2212＝2 2.【答案】 2 22．(2013·合肥高二检测)在▱ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，则AD ＝________.【解析】 AD ＝BC＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝46 2＋ 43 2－2×46×43×22＝4 3. 【答案】 4 33．(2013·九江高二检测)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.【解析】 ∵b sin B ＝csin C，∴sin B ＝b sin Cc ＝12.∵C ＞π2，∴B ＝π6.∴A ＝B ＝π6，∴a ＝b ＝1.【答案】 14．△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则此三角形是________． 【解析】 设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，其中t ＞0. 由于a ＜b ＜c ，所以C 是最大角．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14＜0，所以C 是钝角． 【答案】 钝角三角形5．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则sin A 的值是________．【解析】 c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝219.∵a sin A ＝csin C，∴sin A ＝a sin C c ＝4×32219＝5719. 【答案】57196．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.【解析】 ∵S ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，∴a ＝42＋12－2×4×cos 60°＝13， ∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝1332＝2339.【答案】2339 7．(2013·厦门高二检测)在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为________．【解析】 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，∴c ＝3，∴B 为最大角．∴cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－17.【答案】 －178．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＝3，则△ABC 的面积为________．【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B， ∴3sin 60°＝bsin 45°，∴b ＝2，C ＝180°－60°－45°＝75°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×sin 75°＝3＋34.【答案】3＋349．下面四个命题：①若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 必是等腰三角形；②若sin A ＝cos B ，则△ABC 是直角三角形；③若cos A ·cos B ·cos C ＜0，则△ABC 是钝角三角形；④若cos(A －B )·cos(B －C )·cos(C －A )＝1，则△ABC 是等边三角形．其中正确的是________．(填序号)【解析】 对于①，由sin 2A ＝sin 2B ，得2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形，因此①不正确；对于②，假设A ＝120°，B ＝C ＝30°，符合sin A ＝cosB ，但此时三角形不是直角三角形，因此②不正确；对于③，由cos A ·cos B ·cosC ＜0可知cos A ，cos B ，cos C 中必有一个负值，两个正值，因此△ABC 必为钝角三角形，所以③正确；对于④，由cos(A －B )·cos(B －C )·cos(C －A )＝1可知，只有满足cos(A －B )，cos(B －C )，cos(C －A )都等于1时，才有cos(A －B )·cos(B －C )·cos(C －A )＝1成立，所以A ＝B ＝C ，故此三角形为等边三角形，所以④正确．综上可知③④正确．【答案】 ③④10．(2013·镇江高二检测)已知△ABC 的三边长满足等式a 2－ b －c 2bc＝1，则A 的值为________．【解析】 等式可化为a 2－(b 2＋c 2)＝－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.【答案】 60°11．一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15海里每小时的速度航行，一个灯塔M 原来在轮船的北偏东10°方向上，经过40分钟，轮船与灯塔的距离是53海里，则灯塔和轮船原来的距离为________．【解析】 画出示意图如图． △ABC 中，AB ＝10，BC ＝53， ∠BAC ＝60°.由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60°， 得AC 2－10AC ＋25＝0，∴AC ＝5. 【答案】 5海里12．(2013·苏州高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )·cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.【解析】 由题意得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， ∴3sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 即3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∴cos A ＝33. 【答案】33图113．如图1所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，则BD ＝________.【解析】 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°， ∵AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC sin ∠BCA AB ＝9s in 30°5＝910. ∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， ∴sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，∵AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，∴BD ＝AB sin ∠BAD sin ∠ADB ＝5×91022＝922. 【答案】 92214．有一解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos 2A ＋C2＝(2－1)cos B ，________，求角A .经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝60°，试将条件补充完整．【解析】 将A ＝60°看作已知条件，由2cos 2A ＋C2＝(2－1)cos B ，得cos B ＝22，∴B ＝45°， 由a sin A ＝bsin B ，得b ＝ 2. 又C ＝75°，sin C ＝sin(45°＋30°)＝2＋64， 由a sin A ＝c sin C ，得c ＝2＋62. 若已知条件为b ＝2，且由已知得B ＝45°，则由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32， ∴A ＝60°或120°，不合题意；若已知条件为c ＝2＋62，则 b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，∴b ＝2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. 综上所述，破损处的条件为c ＝2＋62. 【答案】 c ＝2＋62 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，求b 及A .【解】 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)cos 45°＝8，∴b ＝2 2. cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝ 22 2＋ 6＋2 2－ 2322×22× 6＋2 ＝12， ∴A ＝60°.16．(本小题满分14分)(2013·泰州高二检测)在△ABC 中，已知AC ＝3，sin A ＋cos A ＝2，(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S ＝3，求BC 的值．【解】 (1)∵sin A ＋cos A ＝2，∴2sin(A ＋π4)＝ 2 ∴sin(A ＋π4)＝1，A ＝π4，∴sin A ＝22. (2)∵S ＝12AB ·AC sin A ＝12×3×22AB ＝3， ∴AB ＝22，∴BC ＝32＋ 22 2－3×22×2×22＝ 5.图217．(本小题满分14分)如图2所示，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上取一基线AB ，AB ＝20 m ，在A 处测得点P 的仰角∠OAP ＝30°，在B 处测得点P 的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高h .【解】 在Rt △AOP 中，AO ＝OP ·cot 30°＝3h .又OP ⊥OB ，∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ＝h .在△ABO 中，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos∠AOB ，即202＝3h 2＋h 2－2·3h ·h cos 60°，即4h 2－3h 2＝202，∴h ＝204－3.∴旗杆的高h 为204－3.18．(本小题满分16分)(2013·无锡高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上，(1)求角C ；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．【解】 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 得 a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 结合0＜C ＜π，得C ＝π3. (2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而a ＝b ＝3.所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934. 19．(本小题满分16分)(2013·临沂高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝13， (1)求sin 2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝3，求bc 的最大值． 【解】 (1)∵cos A ＝13，∴sin A ＝223，cos 2A ＝－79， ∴sin2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos B ＋C 2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋cos 2A ＝1＋132－79＝－19. (2)在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴3＝b 2＋c 2－23bc . ∵b 2＋c 2≥2bc ，∴3≥2bc －23bc ，即3≥43bc ，∴bc ≤94(b ＝c ＝32时取等号)，∴bc 的最大值为94.20．(本小题满分16分)(2012·江苏高考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.(1)求证：tan B ＝3tan A ；(2)若cos C ＝55，求A 的值．【解】 (1)证明：∵AB →·AC →＝3BA →·BC →，∴AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B .由正弦定理，得 AC sin B ＝BCsin A ，∴sin B ·cos A ＝3sin A ·cos B .又∵0＜A ＋B ＜π，∴cos A ＞0，cos B ＞0.∴sin B cos B ＝3·sin Acos A ，即tan B ＝3tan A .(2)∵cos C ＝55，0＜C ＜π，∴sin C ＝1－ 55 2＝255.∴tan C ＝2.∴tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2.∴tan A ＋tan B1－tan A ·tan B ＝－2.由(1)得4tan A1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1，tan A ＝－13.∵cos A ＞0，∴tan A ＝1.∴A ＝π4.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.1 正弦定理(第2课时)教案 苏教版必修5
第2课时正弦定理(2)(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)学会利用正弦定理解决有关平面几何问题以及判断三角形的形状，掌握化归与转化的数学思想；(2)能熟练运用正弦定理解斜三角形．2.过程与方法通过解斜三角形进一步巩固正弦定理，让学生总结本节课的内容．3．情感、态度与价值观(1)培养学生在方程思想指导下处理解斜三角形问题的运算能力；(2)培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力．●重点、难点重点：利用正弦定理判断三角形形状．难点：灵活利用正弦定理以及三角恒等变换公式．教学时要抓住知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合三角形中的边角关系，不断地观察、比较、分析，总结判断三角形形状的方法，揭示其中的规律．(教师用书独具)●教学建议本节内容安排在学生学习了正弦定理之后，是对正弦定理的应用和深化．因此，建议本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的应用”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨．让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．●教学流程结合所提问题，引导学生在复习正弦定理内容的基础上探究正弦定理的各种变形形式.⇒引导学生结合已学三角形面积公式探究已知两边夹角时三角形的面积公式.⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第4页)在正弦定理的表达式中，asin A＝bsin B＝csin C，其中比值的几何意义是什么？探索并证明你的结论．【提示】比值是△ABC外接圆的直径，可先对直角三角形探索，并推广到一般三角形，其证明过程如下：若△ABC为锐角三角形，如图所示，连结BD.∵A与D对应，∴A＝D，∴asin A＝bsin∠ABC＝csin∠ACB＝asin D.又∵a sin D ＝2R sin ∠DBC，∠DBC ＝90°，∴asin D ＝2R 1，∴a sin A ＝b sin ∠ABC ＝c sin ∠ACB＝2R .若△ABC 为钝角三角形，不妨设B ＞90°，如图所示，连结BD .∵A 与D 对应，∴A ＝D ，∴a sin A ＝b sin ∠ABC ＝c sin ∠ACB ＝asin D. 又∵a sin D ＝2R sin ∠DBC ，∠DBC ＝90°，∴a sin D ＝2R 1，∴a sin A ＝b sin ∠ABC ＝c sin ∠ACB＝2R .正弦定理经常变形如下，以便于边角互化． (1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ； (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(3)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C； (4)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(5)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C.1．在△ABC 中，已知BC ＝a ，高AD ＝h ，如何计算△ABC 的面积S? 【提示】 S ＝12ah .2．在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，角C 已知，你能否求出△ABC 的面积？ 【提示】 ∵h ＝AD ＝b sin C ， ∴S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C .S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .(对应学生用书第4页)在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，求△ABC 的面积．【思路探究】 画图，由图形可知，不能直接利用面积公式，应由正弦定理求出sin C ，从而求出sin B .【自主解答】 由正弦定理，得7sin 120°＝5sin C ，∴sin C ＝5314，且C 为锐角，∴cos C ＝1114，∴sin B ＝sin (180°－120°－C )＝sin (60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B＝12×5×7×3314＝1534. 即△ABC 的面积为154 3.1．由于A ＞90°，所以B ，C 均为锐角，应避免对角C 分类讨论．2．利用两边一夹角公式求△ABC 的面积，应注意已知条件是否符合公式要求，即两边及它们的夹角，否则不能乱用．△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． 【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，A ＝90°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.故△ABC 的面积是23或 3. 【答案】 23或 3在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b ＝a cos C ，试判定△ABC 的形状．【思路探究】 利用正弦定理的变形，将边化为角，再利用三角形内角和定理及三角恒等变换进行转化．【自主解答】 ∵b ＝a cos C ， 由正弦定理得sin B ＝sin A ·cos C . ∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin(A ＋C )＝sin A ·cos C .即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A ·cos C ， ∴cos A sin C ＝0. ∵A 、C ∈(0，π)， ∴cos A ＝0，A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．1．确定三角形的形状主要有两条途径： (1)化边为角；(2)化角为边．2．确定三角形形状的思想方法：先将条件中的边角关系由正弦定理统一为角角或边边关系，再由三角变形或代数变形分解因式，判定形状．在变形过程中要注意等式两端的公因式不要约掉，应移项提取公因式，否则会有漏掉一种解的可能．若将条件“b ＝a cos C ”换为“b cos A ＝a cos B ”，试判断△ABC 的形状． 【解】 ∵b cos A ＝a cos B ，∴sin B cos A ＝sin A cos B ， ∴sin(A －B )＝0，∴A －B ＝0，∴A ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形．台风中心位于某城市正东方向300 km 处，并以40 km/h 的速度向西北方向移动，距离台风中心250 km 的范围内将会受其影响．如果台风风速不变，那么该城市在多长时间后开始受到台风的影响？这种影响将持续多长时间？(精确到0.1 h)【思路探究】 本题实质上是三角形中已知两边和其中一边所对的角，解三角形问题． 【自主解答】 如图所示，该城市位于点A ，台风中心点B 在点A 的正东方向300 km 处，以40 km/h 的速度向西北方向移动．设经过t 1小时，该城市受到影响，经过t 2小时，台风刚好离开，城市受影响的时间为t 小时．则在△ABC 1中，AB ＝300 km ，AC 1＝250 km ，AC 2＝250 km ，BC 1＝40t 2 km ，B ＝45°， 由正弦定理得AC 1sin B ＝AB sin ∠AC 1B ＝BC 1sin ∠C 1AB ， 即sin ∠AC 1B ＝AB sin B AC 1＝352≈0.8485，∴∠AC 1B ≈58.05°，∠AC 2B ≈121.95°.当∠AC 1B ≈58.05°时，∠C 1AB ＝180°－(B ＋∠AC 1B )≈76.95°，BC 1＝AC 1sin ∠C 1AB sin B≈344.42(km)，此时t 2＝BC 140≈8.6(h)．同理，当∠AC 2B ≈121.95°时，BC 2≈79.83(km)，t 1≈2.0(h)．t ＝t 2－t 1≈8.6－2.0＝6.6(h)．答：约2小时后该城市开始受到台风影响，持续时间约为6.6 h.1．解决正弦定理的实际应用问题的关键是根据题意将已知量置于可解的三角形中，通过正弦定理与其他知识解三角形后，根据实际问题得出结论．2．以三角形为数学模型求解实际问题时，要正确使用仰角，俯角，方位角，方向角等概念，依此得出相应的三角形内角的大小．甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 点处，测得乙船以每小时a 海里的速度向正北行驶．已知甲船的速度是每小时3a 海里，则甲船应如何航行才能最快地与乙船相遇？【解】 如图所示，设这两船最快在C 点相遇，在△ABC 中，B ＝120°，AB 为定值，AC ，BC 分别是甲船与乙船在相同时间内的行程，由已知条件有AC ∶BC ＝3a ∶a ＝3∶1， 由正弦定理得sin ∠CAB ＝BC AC sin B ＝13sin 120°＝12， 又0°＜∠CAB ＜60°，∴∠CAB ＝30°.故甲船的航向是北偏东60°－∠CAB ＝60°－30°＝30°.故甲船向北偏东30°的方向航行，才能最快地与乙船相遇．(对应学生用书第5页)判断三角形形状时忽略隐含条件而致误在△ABC 中，(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC的形状．【错解】 由已知得a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， 所以2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A .由正弦定理，得sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0， 所以sin 2A ＝sin 2B .所以2A ＝2B ，即A ＝B . 所以△ABC 为等腰三角形．【错因分析】 解题过程中忽略角的范围这一限制条件，约分时应指出sin A ≠0，sinB ≠0.同时由sin 2A ＝sin 2B 及角2A,2B 的范围应得出两种情况：2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.出现上述错误的主要原因就是三角函数的知识掌握得不扎实．【防范措施】 在进行有关三角形内角的三角恒等变换时，先讨论角的范围，然后在所求范围内，由三角恒等式讨论角的关系．【正解】 由(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， 得a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]＝b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]， 所以2a 2sin B cos A ＝2b 2sin A cos B .由正弦定理得sin 2A cos A sinB ＝sin 2B sin A cos B . 因为A ，B ∈(0，π)，所以sin A ＞0，sin B ＞0， 所以sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . 因为0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．基础知识：(1)三角形面积公式；(2)正弦定理的深化及变化．2．基本技能：(1)求三角形的面积；(2)判断三角形形状；(3)正弦定理的综合应用与实际应用．3．思想方法：(1)转化与化归思想；(2)数学建模；(3)公式法求面积．(对应学生用书第6页)1．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B ＝________. 【解析】 sin A ∶sin B ＝a 2R ∶b2R＝a ∶b ＝5∶3. 【答案】 5∶32．已知△ABC 中，AB ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为________． 【解析】 由BC sin A ＝ABsin C ，得BC ＝6，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝9 3.【答案】 9 33．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________千米．【解析】 如图所示，∠C ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理AC sin B ＝ABsin C得AC ＝AB ·sin Bsin C ＝2×3222＝ 6. 【答案】64．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若a b ＝cos Bcos A，试判断△ABC的形状．【解】 由正弦定理得a b ＝sin Asin B，所以，a b ＝cos B cos A ⇒sin A sin B ＝cos B cos A⇒sin A cos A＝sin B cos B ⇒sin 2A ＝sin 2B ⇒2A ＝2B 或2A ＝π－2B ⇒A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.(对应学生用书第80页)一、填空题1．(2013·岳阳高二检测)在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则A 、B 、C 分别所对边a ∶b ∶c ＝________.【解析】 a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4. 【答案】 3∶2∶42．(2013·无锡检测)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，∠A ＝60°，AC ＝23，S △ABC ＝92，则AB ＝________.【解析】 ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12AB ×23×32＝32AB ，∴32AB ＝92，∴AB ＝3. 【答案】 33．(2013·南通检测)在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin A cosC ＝sin B ，则ac＝________.【解析】 ∵2sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ∴sin A cos C －cos A sin C ＝0，∴sin(A －C )＝0. ∴A ＝C ，∴a c＝1. 【答案】 14．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 一定是________三角形．【解析】 ∵a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2， ∴sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2， ∴sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.∵0°＜A 2，B 2，C2＜90°， ∴A 2＝B 2＝C2，∴A ＝B ＝C ，∴△ABC 为等边三角形． 【答案】 等边5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________. 【解析】 ∵a sin A ＝bsin B，∴sin B ＝b sin A a ＝33. ∵b ＜a ，∴B ＜A ，∴B 为锐角，∴cos B ＝63. 【答案】636．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(a 2，b 2)，n ＝(tan A ，tan B )，且m ∥n ，那么△ABC 一定是________三角形．【解析】 ∵m ∥n ，∴a 2tan B ＝b 2tan A ， ∴sin 2A tanB ＝sin 2B tan A ， ∴sin A cos B ＝sin Bcos A，∴sin 2A ＝sin 2B ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰或直角三角形．【答案】 等腰或直角7．(2013·德州高二检测)△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．【解析】 设最小角为α，则最大角为120°－α， ∴sin 120°－α sin α＝3＋12，∴2sin(120°－α)＝(3＋1)sin α， ∴sin α＝cos α，∴α＝45°，∴最大角为120°－45°＝75°. 【答案】 75°8．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则AC ＋AB 的取值范围是________．【解析】 根据正弦定理，得AC ＝BC sin B sin A ＝23sin B ，AB ＝BC sin C sin A＝23sin C ，∴AC ＋AB ＝23(sin B ＋sin C ) ＝23[sin B ＋sin(2π3－B )]＝23(sin B ＋32cos B ＋12sin B ) ＝6sin(B ＋π6)．∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6， ∴12＜sin(B ＋π6)≤1， ∴3＜6sin(B ＋π6)≤6.∴AC ＋AB 的取值范围是(3,6]． 【答案】 (3,6] 二、解答题9．(2013·如皋检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A＝45，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．【解】 (1)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝35×12＋45×32＝110(3＋43)．(2)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴a ＝b sin Asin B ＝3×3532＝65，∴S ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝93＋3650.10．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状．【解】 ∵A 、B 、C 是三角形的内角， ∴A ＝π－(B ＋C )， ∴sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C .∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， ∴sin(B －C )＝0.又∵0＜B ＜π，0＜C ＜π， ∴－π＜B －C ＜π，∴B ＝C . 又∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， (R 为△ABC 外接圆的半径) 可得a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角， ∴△ABC 是等腰直角三角形．11．在△ABC 中，若C ＝3B ，求cb的取值范围． 【解】 由正弦定理可知c b ＝sin C sin B ＝sin 3B sin B ＝sin B cos 2B ＋cos B sin 2B sin B＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1. 又因为A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ， 故0°＜B ＜45°，22＜cos B ＜1， 所以12＜cos 2B ＜1，所以1＜4cos 2B －1＜3，故1＜c b＜3.即c b的取值范围是(1,3)．(教师用书独具)在△ABC 中，求证a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.【思路探究】 由正弦定理把等式左边统一为角的三角函数，通过三角变换证明． 【证明】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 左边＝2R sin A －2R sin C ·cos B 2R sin B －2R sin C ·cos A＝sin A －sin C ·cos Bsin B －sin C ·cos A＝sin B ＋C －sin C ·cos Bsin A ＋C －sin C ·cos A＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C －sin C ·cos Bsin A ·cos C ＋cos A ·sin C －sin C ·cos A＝sin B ·cos C sin A ·cos C ＝sin Bsin A＝右边．所以a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.如图所示，D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，且AB ＝AD ，记∠CAD ＝α，∠ABC ＝β.(1)求证sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC ＝3DC ，求β的值．【解】 (1)证明：因为AB ＝AD ，所以∠ADB ＝∠ABD ＝β. 又因为α＝π2－∠BAD ＝π2－(π－2β)＝2β－π2，所以sin α＝sin(2β－π2)＝－cos 2β，即sin α＋cos 2β＝0. (2)在△ADC 中，由正弦定理得 DC sin α＝ACsin ∠ADC ， 即DCsin α＝ACsin π－β，即DCsin α＝3DCsin β，所以sin β＝3sin α. 由(1)知sin α＝－cos 2β，所以sin β＝－3cos 2β＝－3(1－2sin 2β)， 即23sin 2β－sin β－3＝0. 解得sin β＝32或sin β＝－33. 因为0＜β＜π2，所以sin β＝32，所以β＝π3.拓展三角形中的几个隐含条件1．A ＋B ＋C ＝π. 2．sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .4．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．5．在△ABC 中，sin A ＞sin B ⇔A ＞B ⇔a ＞b ；A ＞B ⇔cos A ＜cos B .。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 第一章 三角函数综合检测 北师大版必修4
第一章 三角函数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝3sin(x 2－π4)，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π【解析】 T ＝2πω＝2π12＝4π.【答案】 D2．化简sin(9π－α)＋cos(－9π2－α)＝( )A ．2sin αB ．2cos αC ．sin α＋cos αD ．0【解析】 sin(9π－α)＋cos(－9π2－α)＝sin(π－α)＋cos(π2＋α)＝sin α－sin α＝0.【答案】 D3．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)图像的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1D.π4 【解析】 由题意知截得线段长为一周期，∴T ＝π4，∴ω＝ππ4＝4，∴f (π4)＝tan (4×π4)＝0.【答案】 A4．已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6【解析】 ∵sin 2π3>0，cos 2π3<0，∴点(sin 2π3，cos 2π3)在第四象限．又∵tan α＝cos2π3sin2π3＝－33，∴α的最小正值为2π－16π＝116π.【答案】 D5．要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度【解析】 由于y ＝sin(4x －π3)＝sin[4(x －π12)]，所以只需把y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位长度，故选D.【答案】 D6．设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图像关于直线x ＝π3对称 B ．f (x )的图像关于点(π4，0)对称C ．把f (x )的图像向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图像D ．f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数【解析】 f (π3)＝sin(2×π3＋π3)＝sin π＝0，故A 错；f (π4)＝sin(2×π4＋π3)＝sin(π2＋π3)＝cos π3＝12≠0，故B 错；把f (x )的图像向左平移π12个单位长度，得到y ＝cos 2x 的图像，故C 正确．【答案】 C7．(2012·福建高考)函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2【解析】 法一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.法二 x ＝π4时，y ＝sin(π4－π4)＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2时，y ＝sin(π2－π4)＝22，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin(－π4－π4)＝－1，符合题意，C 项正确；而x ＝－π2时，y ＝sin(－π2－π4)＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 【答案】 C8．(2013·西安高一检测)下列函数中，以π为周期且在区间(0，π2)上为增函数的函数是( )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin xC ．y ＝－tan xD ．y ＝－cos 2x【解析】 C 、D 中周期为π，A 、B 不满足T ＝π. 又y ＝－tan x 在(0，π2)为减函数，C 错．y ＝－cos 2x 在(0，π2)为增函数．∴y ＝－cos 2x 满足条件． 【答案】 D9．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 T ＝6，则5T4≤t ，如图：∴t ≥152，∴t min ＝8.故选C. 【答案】 C10．(2012·天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2【解析】 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω(x －π4)，将(3π4，0)代入得sinωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2. 【答案】 D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上) 11．已知圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm 2. 【解析】 15°＝π12，∴扇形的面积为S ＝12r 2·α＝12×62×π12＝3π2.【答案】3π212．sin(－120°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝________. 【解析】 原式＝－sin(180°－60°)·cos(3·360°＋210°)＋cos(－1 080°＋60°)·sin(－3×360°＋30°)＝－sin 60°cos(180°＋30°)＋cos 60°·sin 30° ＝－32×(－32)＋12×12＝1. 【答案】 113．(2013·江苏高考)函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为________．【解析】 函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期T ＝2π2＝π.【答案】 π图114．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝________. 【解析】 由图像可知，T ＝4×(2π3－π3)＝4π3， ∴ω＝2πT ＝32.【答案】 3215．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下命题：①对于任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f (x )既是奇函数又是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中假命题的序号是________．【解析】 当φ＝2k π，k ∈Z 时，f (x )＝sin x 是奇函数； 当φ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，f (x )＝－sin x 仍是奇函数；当φ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，f (x )＝cos x 或φ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )＝－cos x都是偶函数．所以①和④是错误的，③是正确的．又因为φ无论取何值都不能使f (x )恒为零，故②正确．所以填①④. 【答案】 ①④三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知角x 的终边过点P (1，3)．(1)求：sin(π－x )－sin(π2＋x )的值；(2)写出角x 的集合S .【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)， ∴r ＝|OP |＝12＋32＝2.∴sin x ＝32，cos x ＝12. (1)原式＝sin x －cos x ＝3－12. (2)由sin x ＝32，cos x ＝12. 若x ∈[0,2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝{x |x ＝2k π＋π3，k ∈Z }.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A ＞0，ω＞0)图像上的一个最高点的坐标为(π8，22)，则此点到相邻最低点间的曲线与直线y ＝2交于点(38π，2)，若φ∈(－π2，π2)．(1)试求这条曲线的函数表达式； (2)求函数的对称中心．【解】 (1)由题意得A ＝22－2＝ 2.由T 4＝3π8－π8＝π4， ∴周期为T ＝π. ∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时解析式为y ＝2sin(2x ＋φ)＋ 2.以点(π8，22)为“五点法”作图的第二关键点，则有2×π8＋φ＝π2，∴φ＝π4，∴y ＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.(2)由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数的对称中心为(k π2－π8，2)(k ∈Z )． 18．(本小题满分12分)(2012·陕西高考)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值．【解】 (1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2. ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1.(2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，∴sin(α－π6)＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.19．(本小题满分13分)已知y ＝a －b cos 3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最值，并求取得最值时的x 的值； (2)判断(1)问中函数的奇偶性． 【解】 (1)∵y ＝a －b cos 3x ，b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y max＝a ＋b ＝32，ymin ＝a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.∴函数y ＝－4a sin(3bx )＝－2sin 3x ， ∴此函数的周期T ＝2π3.当x ＝2k π3＋π6(k ∈Z )时，函数取得最小值－2；当x ＝2k π3－π6(k ∈Z )时，函数取得最大值2.(2)∵函数解析式为y ＝－2sin 3x ，x ∈R ， ∴－2sin(－3x )＝2sin 3x ，即f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．20．(本小题满分13分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图所示．图2(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图像向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图像，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合，并写出该函数的增区间．【解】 (1)由题意知T ＝π＝2πω，∴ω＝2.将y ＝A sin 2x 的图像向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin(2x ＋π6)，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)依题意，f 2(x )＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝－2cos(2x ＋π6)，∴y ＝f 2(x )的最大值为2. 当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2，x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }．∵y ＝cos x 的减区间为x ∈[2k π，2k π＋π]，k ∈Z ，∴f 2(x )＝－2cos (2x ＋π6)的增区间为{x |2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z }，解得{x |k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z }， ∴f 2(x )＝－2cos(2x ＋π6)的增区间为x ∈[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .图321．(本小题满分13分)已知定义在区间[－π，2π3]上的函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π6对称，当x ∈[－π6，2π3]时，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)，其图像如图所示．(1)求函数y ＝f (x )在[－π，2π3]上的表达式；(2)求方程f (x )＝22的解． 【解】 (1)由图像可知，A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π.∴ω＝2πT ＝2π2π＝1.∵f (x )＝sin(x ＋φ)过点(2π3，0)，∴2π3＋φ＝π. ∴φ＝π3.∴f (x )＝sin(x ＋π3)，x ∈[－π6，2π3]．∵当－π≤x <－π6时，－π6≤－x －π3≤2π3，又∵函数y ＝f (x )在区间[－π，2π3]上的图像关于直线x ＝－π6对称，∴f (x )＝f (－x －π3)＝sin[(－x －π3)＋π3]＝sin(－x )＝－sin x ，x ∈[－π，－π6]．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋π3，x ∈[－π6，2π3]，－sin x ，x ∈[－π，－π6(2)当－π6≤x ≤2π3时，π6≤x ＋π3≤π.由f (x )＝sin(x ＋π3)＝22，得x ＋π3＝π4或x ＋π3＝3π4，∴x ＝－π12或x ＝5π12.当－π≤x <－π6时，由f (x )＝－sin x ＝22，即sin x ＝－22得x ＝－π4或x ＝－3π4.∴方程f (x )＝22的解为x ＝－π12或5π12或－π4或－3π4.。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 1.1.1 任意角教案 苏教版必修4
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1.1 任意角教案苏教版必修41．1任意角、弧度1．1.1 任意角(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；(2)理解象限角、坐标轴上的角的概念；(3)理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；(4)能表示特殊位置(或给定区域内)的角的集合；(5)能进行简单的角的集合之间的运算．2．过程与方法以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，类比初中所学的角的概念，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系；引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求．●重点难点1．重点：理解正角、负角和零角及象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断．2．难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．(教师用书独具)●教学建议1．任意角的概念：建议教师在教学过程中通过拨手表指针问题引导学生感受推广角的概念的必要性．教学时，可以先让学生自己描述“校准”手表的过程，然后引导学生体会仅用0°～360°之间的角已经无法解决当前的问题．2．象限角的概念：建议教师在教学过程中强调角与平面直角坐标系的关系，引导学生发现象限角所在的范围可以用不等式表示，并注意讲解“终边落在坐标轴上的角，它不属于任何一个象限”．3．终边相同的角的表示：建议教师在教学中应当让学生先通过自己的活动形成对“终边相同的角相差360°的整数倍”的直观感知，通过具体角寻找终边相同角的规律，归纳其一般表示形式．教学时，有条件的可以利用信息技术，利用动态的观点，旋转角的终边，观察角的变化规律，从而将数、形联系起来，使角的几何表示和集合表示相结合，从而达到对终边相同角的认知的统一．●教学流程创设问题情境，复习初中角的定义，引出任意角的概念.⇒引导学生结合任意角的定义，理解正角与负角的概念并加以区分，理解角的分类.⇒通过引导学生探究在直角坐标系中，按角的终边的位置不同定义不同的象限角，并理解终边相同的角的表示方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握角的概念及其应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握终边相同的角的表示方法及其注意事项.⇒通过例3及其互动探究使学生掌握象限角的表示及其应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.课标解读1.了解任意角的概念．2．理解象限角的概念及终边相同的角的含义．(重点) 3．掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．(难点)任意角的概念【问题导思】1．在初中时我们是如何定义角的？【提示】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．2．如果你的手表慢了10分钟，你是怎样校准的？【提示】校准方法很多，由于分针转一圈为360°，故10分钟分针需要转过60°，且要调快分针可顺时针转，故可让分针顺时针旋转60°.(1)一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．(2)按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角．如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角．象限角及终边相同的角【问题导思】1．如果把一个角的顶点放在直角坐标系的原点，角的始边为x轴正半轴，那么角终边的位置在坐标系中有几种情况？【提示】在第一、二、三、四象限或与坐标轴重合．2．0°角与360°角的终边相同吗？【提示】相同．(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．(2)终边相同的角：一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.角的概念及相关应用(1)下列各命题正确的有________．(填序号)①终边相同的角一定相等；②第一象限角都是锐角；③锐角都是第一象限角；④小于90°的角都是锐角．(2)下列说法正确的是________．(填序号)①一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大．②在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°.③将钟表调快一个小时，则分针转了360°.④顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转形成的角．【思路探究】根据各种角的含义进行判断．【自主解答】(1)对于①，－60°角和300°角是终边相同的角，但它们并不相等，∴应排除①.对于②，390°角是第一象限角，但它不是锐角，∴应排除②.对于④，－60°角是小于90°的角，但它不是锐角，∴应排除④.∵锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}，第一象限角的集合是{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}，∴锐角是第一象限角．∴③正确．(2)如果一条射线绕端点顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故①不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为－90°，故②不正确．将钟表调快一个小时，也是按顺时针转动，故分针转了－360°，③不正确．顺时针方向旋转形成的角为负角，它一定小于逆时针方向旋转形成的正角，故④正确．【答案】(1)③(2)④解答概念辨析题，一是利用定义直接判断；二是利用反例排除错误答案，要说明一个命题不正确，只需举出一个反例即可．下列说法正确的是________．(填序号)①三角形的内角必是第一、二象限角；②第一象限角一定是正角；③第二象限角一定比第一象限角大；④与30°终边相同的角有无穷多个．【解析】90°可以是三角形的内角，但它既不是第一象限角，又不是第二象限角，故①错；－330°是第一象限角，但不是正角，故②错；120°是第二象限角，390°是第一象限角，但390°>120°，故③错；④正确．【答案】④终边相同的角在0°～360°范围内，请指出与下列角的终边相同的角，并说出此角是第几象限角．(1)430°(2)909°(3)－60°(4)－1 550°【思路探究】将所给角α写成α＝k·360°＋β(0°≤β＜360°)的形式，则β即为所求．【自主解答】(1)430°＝1×360°＋70°，所以在0°～360°范围内与430°终边相同的角为70°，此角为第一象限角．(2)909°＝2×360°＋189°，所以在0°～360°范围内与909°终边相同的角为189°，此角为第三象限角．(3)－60°＝－1×360°＋300°，所以在0°～360°范围内与－60°终边相同的角为300°，此角为第四象限角．(4)－1 550°＝－5×360°＋250°，所以在0°～360°范围内与－1 550°终边相同的角为250°，此角为第三象限角．将任意角写成α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式的关键是确定k.可用观察法(α绝对值较小时)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，余数是正数．如图1－1－1，分别写出终边落在所示直线上的角的集合．图1－1－1【解】由于终边落在直线上的角都是180°的整数倍加上相应的角(0°到180°范围内)，因此相对应的角的集合为：(1)S＝{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}；(2)S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}；(3)S＝{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}；(4)S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋k ·90°，k ∈Z }．象限角的表示及其应用 已知α为第一象限角，求2α，α2，α3所在的象限． 【思路探究】 用不等式表示α→求2α，α2，α3的范围→分类讨论→得出结论 【自主解答】 ∵α为第一象限角，∴360°·k ＜α＜360°·k ＋90°，k ∈Z ，∴360°·2k ＜2α＜360°·2k ＋180°，k ∈Z ，∴2α是第一或者第二象限角，或是终边在y 轴正半轴上的角．∵180°·k ＜α2＜180°·k ＋45°，k ∈Z ， 当k 为奇数时，α2是第三象限角； 当k 为偶数时，α2是第一象限角． ∴α2为第一或第三象限角．又∵120°·k ＜α3＜120°·k ＋30°，k ∈Z ， 当k ＝3n (k ∈Z )时，360°·n ＜α3＜360°·n ＋30°，n ∈Z ， ∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(k ∈Z )时，360°·n ＋120°＜α3＜360°·n ＋150°，n ∈Z ，∴α3是第二象限角；当k ＝3n ＋2(k ∈Z )时，360°·n ＋240°＜α3＜360°·n ＋270°，n ∈Z ，∴α3是第三象限角．∴α3为第一、第二或第三象限角． 1．用不等式表示象限角的集合是解决这类问题的基本方法．2．α，α2，2α终边位置关系： α 第一象限 第二象限第三象限 第四象限 α2 第一、三 象限 第一、三 象限第二、四 象限 第二、四 象限 2α 第一、二象 限或y 轴 的正半轴 第三、四象限或y 轴的负半轴 第一、二象 限或y 轴 的正半轴 第三、四象 限或y 轴 的负半轴把本例中条件改为“若α是第三象限角”，求角2α，2所在的象限． 【解】 由角α是第三象限角可知，k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°，k ∈Z ， 于是，2k ·360°＋360°＜2α＜2k ·360°＋540°，k ∈Z ，即(2k ＋1)·360°＜2α＜(2k ＋1)·360°＋180°，k ∈Z .所以2α为第一、二象限角或终边在y 轴的正半轴上的角．因为k ·180°＋90°＜α2＜k ·180°＋135°，k ∈Z ， 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则n ·360°＋270°＜α2＜n ·360°＋315°，n ∈Z ，此时α2为第四象限角； 当k 为偶数时，设k ＝2n ，n ∈Z ，则n ·360°＋90°＜α2＜n ·360°＋135°，n ∈Z ，此时α2为第二象限角． 因此α2为第二象限角或第四象限角． 区间角表示错误图1－1－2用角度表示顶点在原点上，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在图1－1－2所示的阴影区域内的角的集合(含边界)．【错解】 因为区域起始、终边边界分别对应的角为300°和45°，所以它表示的角的集合为{α|k ·360°＋300°≤α≤k ·360°＋45°，k ∈Z }．【错因分析】 因为45°≤300°，所以上式是错误的，由于没有弄清角的大小而造成了错误，出现了矛盾不等式．【防范措施】 表示区间角时，应先按逆时针方向，确定在(0°，360°)范围内区间的起始边界与终止边界所对应的角α，β(α＜β)，再在所得到的范围{x |α＜x ＜β}两边加上k ·360°，即得区域角的集合{x |k ·360°＋α＜x ＜k ·360°＋β，k ∈Z }．【正解】 由题意可知300°角与－60°角的终边相同，所以它表示的角的集合为{α|k ·360°－60°≤α≤k ·360°＋45°，k ∈Z }．1．对角的概念的理解关键是抓住“旋转”二字：(1)要明确旋转的方向；(2)要明确旋转的大小；(3)要明确射线未作任何旋转时的位置．2．在运用终边相同的角时，需注意以下几点：(1)k 是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k ·360°与α之间用“＋”连结，如k ·360°－30°应看成k ·360°＋(－30°)(k ∈Z )；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是________．【解析】 一条射线绕着端点按顺时针方向旋转所形成的角是负角，且旋转了240°，故填－240°.【答案】 －240°2．在148°，475°，－960°，－1 601°，－185°这五个角中，属于第二象限角的个数是________．【解析】 148°显然是第二象限角．而475°＝360°＋115°，－960°＝－3×360°＋120°，－185°＝－360°＋175°，都是第二象限角，而－1 601°＝－5×360°＋199°，不是第二象限角．【答案】 43．若角α＝2 008°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．【解析】 ∵2 008°＝5×360°＋208°，∴与2 008°角终边相同的角的集合为{α|α＝208°＋k ·360°，k ∈Z }，∴最小正角是208°，最大负角是－152°.【答案】 208° －152°4．求0°～360°范围内与－30°终边相同的角．【解】 与－30°角终边相同的角为k ·360°－30°，k ∈Z ，取k ＝1，得1×360°－30°＝330°，0°≤330°＜360°，因此所求角为330°.一、填空题1．(2013·泰安高一检测)钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________．【解析】 分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过13周． 【答案】 －120° －1 440°2．543°是第________象限角．【解析】 543°＝183°＋360°，又183°是第三象限角，故543°也是第三象限角．【答案】 三3．与405°终边相同的角的集合为________．【解析】 405°－360°＝45°，故与405°角终边相同的角可表示为k ·360°＋45°，k ∈Z .【答案】 {α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }4．(2013·南京高一检测)已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．【解析】 与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3 000°＋k ·360°，k ∈Z }，与θ终边相同的最小正角是当k ＝9时，θ＝－3 000°＋9×360°＝240°.所以与α终边相同的最小正角为240°.【答案】 240°5．若α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．【解析】 因为α是第二象限角，所以k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z ，所以k ·360°＜180°－α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以180°－α是第一象限角．【答案】 一6．(2013·曲阜师大附中检测)在－720°～720°内与－1 050°角终边相同的角是________．【解析】 与－1 050°终边相同的角可表示为k ·360°－1 050°(k ∈Z )，k ＝1时，1×360°－1 050°＝－690°，k ＝2时，2×360°－1 050°＝－330°，k ＝3时，3×360°－1 050°＝30°，k ＝4时，4×360°－1 050°＝390°.【答案】 －690°或－330°或30°或390°7．在－360°～0°内与160°角终边相同的角是________．【解析】 与160°角终边相同的角α＝k ·360°＋160°，k ∈Z .∵－360°≤α＜0°，∴取k ＝－1，得α＝－360°＋160°＝－200°.故在－360°～0°内与160°角终边相同的角是－200°.【答案】 －200°8．若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为________．【解析】 ∵角α和角β的终边关于x 轴对称，∴α＋β＝k ·360°(k ∈Z )．∴α＝k ·360°－β(k ∈Z )．【答案】 k ·360°－β(k ∈Z )二、解答题9．写出终边在如图1－1－3所示阴影部分(包括边界)的角的集合．图1－1－3【解】 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则(1){α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }；(2){α|－210°＋k ·360°≤α≤30°＋k ·360°，k ∈Z }．10．写出与15°角终边相同的角的集合，并求该集合中满足不等式－1 080°≤β＜720°的元素β.【解】 与15°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝15°＋k ·360°，k ∈Z }，其中，满足－1 080°≤β＜720°的元素有：k ＝－3时，β＝－1 065°；k ＝－2时，β＝－705°；k ＝－1时，β＝－345°；k ＝0时，β＝15°；k ＝1时，β＝375°，∴集合中满足条件的元素β有－1 065°，－705°，－345°，15°，375°.11．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°(k ∈Z )}中：(1)有几种终边不相同的角？(2)有几个大于－360°且小于360°的角？(3)写出其中是第二象限的角的一般表示法．【解】 (1)当k ＝4n,4n ＋1,4n ＋2,4n ＋3，n ∈Z 时，在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．(2)由－360°＜k ·90°＋45°＜360°，得－92＜k ＜72. 又k ∈Z ，故k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.∴在给定的角集合中大于－360°且小于360°的角共有8个．(3)其中是第二象限的角可表示成k ·360°＋135°，k ∈Z .(教师用书独具)已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内，求角α的取值范围．【思路探究】 先在－180°～180°范围内找出终边落在阴影内的角，然后写出角的集合(注意边界)．【自主解答】 当角α的终边落在阴影的上半部分时，α∈{α|k ·360°＋30°＜α≤k ·360°＋150°，k ∈Z }，当角α的终边落在阴影的下半部分时，α∈{α|k ·360°－150°＜α≤k ·360°－30°，k ∈Z }．由此可知满足题意的角α为{α|k ·180°＋30°＜α≤k ·180°＋150°，k ∈Z }．1．角的终边为虚线，则不等式中应不带“＝”号．2．本题实质上是求两个范围内角的并集，应注意化简为最简结果．如图所示，写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为________．【解析】 与－30°角终边在一条直线上的角的集合为S 1＝{α|α＝－30°＋k ·180°，k ∈Z }＝{α|α＝150°＋k ·180°，k ∈Z }．与45°＋90°＝135°角终边在同一直线上的角的集合为S 2＝{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }，从而图中阴影部分的角的取值集合为{α|135°＋k ·180°≤α≤150°＋k ·180°，k ∈Z }．【答案】 {α|135°＋k ·180°≤α≤150°＋k ·180°，k ∈Z }。
【课堂新坐标】2013-2014学年高中数学配套课件：第一章 导数及其应用第1章-1.2.3 选修2-2
主 导 学
∴y′＝2x－12cos x.
时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 选修2－2
教
学 教
复合函数的导数
思 想
法
方
分
法
析
技
教
求下列函数的导数．
巧
学
当
方 案 设
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝2x－1 13；
堂 双 基
计
达
课
(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.
计
达
课 前
可以看作由 y＝ln u 和 u＝2x＋π6，经过“复合”得到的，即 y
标
自
课
主 导
可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数．
时 作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 选修2－2
教
学
思
教
想
法
方
分
法
析
技
巧
教
复合函数的导数
学
当
方 案 设 计
y＝f(x)的导数 y′＝f′(x)又可记为：ddyx＝y′＝f′(x)．
堂 双 基
达
课 前 自
特别是当 y＝f(u(x))是 x 的复合函数时，记号ddyx明确表示
标 课
主 导 学
对 x 求导数，它和dduy是不同的，两者的关系是 ddyx＝dduy·ddux
.
时 作 业
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RB ·数学 选修2－2
【课堂新坐标】（教师用书）2021学年高中数学 第一章 解三角形综合检测 新人教B版必修5(1)
第一章 解三角形(时刻90分钟，总分值120分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，∠A ＝130°，那么此三角形( ) A ．无解 B ．只有一解 C ．有两解D ．解的个数不定【解析】 依照大角对大边，∵b >a ，∴∠B >∠A ， ∵∠A ＝130°，∴此题无解． 【答案】 A2．(2021·广东高考)在△ABC 中，假设∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，那么AC ＝( )A ．4 3B ．23C.3D.32【解析】 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A，∴AC ＝BC ·sin Bsin A＝32×2232＝23.【答案】 B3．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，c ＝1，那么最短边的边长等于( ) A.63 B.62 C.12D.32【解析】 ∵∠A ＝180°－45°－60°＝75°， ∴∠A >∠C >∠B ， ∴边b 最短．由b sin B ＝c sin C ，得b ＝c sin B sin C ＝sin 45°sin 60°＝63. 【答案】 A4．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝4∶1∶1，那么a ∶b ∶c ＝( ) A.3∶1∶1 B ．2∶1∶1 C.2∶1∶2D ．3∶1∶1【解析】 由∠A ∶∠B ∶∠C ＝4∶1∶1，得∠A ＝120°，∠B ＝30°，∠C ＝30°， 因此a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝32∶12∶12＝3∶1∶1.【答案】 A5．(2021·东营高二期中)假设△ABC 的三个内角知足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，那么△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【解析】 sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，且∠C 是△ABC 的最大内角，又因为52＋112－132<0，故cos C <0，∴角C 为钝角．【答案】 B6．(2021·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边别离是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，那么cosC ＝( )A.725 B ．－725C ．±725D.2425【解析】 由b sin B ＝csin C ，且8b ＝5c ，∠C ＝2∠B ，因此5c sin 2B ＝8c sin B ， 因此cos B ＝45.因此cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725. 【答案】 A7．符合以下条件的三角形有且只有一解的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 B ．a ＝1，b ＝2，∠A ＝30°C ．a ＝1，b ＝2，∠A ＝100°D ．b ＝c ＝1，∠B ＝45°【解析】 A ：a ＋b ＝3＝c 不能组成三角形；B ：b sin A <a <b .故有两解．C ：a <b ，故∠A 应为锐角，而∠A ＝100°，不能组成三角形．D ：b ＝c ＝1，△ABC 为等腰三角形，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴∠A ＝90°，故只有一解． 【答案】 D8．如图1所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点别离测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，那么树的高度为( )图1 A ．(30＋303) m B ．(30＋153) m C ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】 由正弦定理可得60sin 45°－30°＝PB sin 30°，PB ＝60×12sin 15°＝30sin 15°，h ＝PB ·sin 45°＝30sin 15°·sin45°＝(30＋303)(m)．【答案】 A9．(2021·阜新高二期中)在锐角三角形中，a 、b 、c 别离是内角A 、B 、C 的对边，设∠B ＝2∠A ，那么b a的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(2，3)【解析】 ∵b a ＝sin B sin A ＝sin 2Asin A ＝2cos A ，而30°<∠A <45°，故2cos A ∈(2，3)，即b a的取值范围是(2，3)．【答案】 D10．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长别离为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，假设p ∥q ，那么角C 的大小为( )A.π6 B.π3 C.π2D.2π3【解析】 由p ∥q 得：(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0，∴a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝ab2ab ＝12.∴∠C ＝π3. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 11．(2021·北京高考)在△ABC 中，假设a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，那么∠C 的大小为________．【解析】 在△ABC 中，由正弦定理可知a sin A ＝bsin B，即sin B ＝b sin A a＝3×323＝12. 又∵a >b ，∴∠B ＝π6.∴∠C ＝π－∠A －∠B ＝π2.【答案】 π212．(2021·大连高二检测)在△ABC 中，若是S △BAC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么∠C ＝________.【解析】 由三角形面积公式S △BAC ＝12ab sin C ＝14(a 2＋b 2－c 2)，∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab，而由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴sin C ＝cos C ，∴∠C ＝45°. 【答案】 45° 图213．如图2，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，那么塔AB 的高是________米．【解析】 在△BCD 中，CD ＝10 m ，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CDsin 30°，∴BC ＝CD sin 45°sin 30°＝102m ，在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC，∴AB ＝BC tan 60°＝106(m)．【答案】 10614．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，给出以下结论： ①由已知条件，那个三角形被唯一确信； ②△ABC 必然是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，那么△ABC 的面积是1532.其中正确结论的序号是________．【解析】 由(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，可设a ＝7k ，b ＝5k ，c ＝3k (k >0)，a ，b ，c 随着k 的转变而转变，可知结论①错误．∵cos A ＝5k2＋3k 2－7k22×5k ×3k<0，∴结论②正确．∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3， ∴结论③正确．∵cos A ＝－12，∴sin A ＝32，假设b ＋c ＝8，不妨设b ＝5，c ＝3，a ＝7，那么S △ABC ＝1534，∴结论④不正确．【答案】 ②③三、解答题(本大题共4小题，共50分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤)15．(本小题总分值12分)(1)在△ABC 中，已知∠C ＝45°，∠A ＝60°，b ＝2，求此三角形最小边的长及a 与∠B 的值．(2)在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝5，求∠C 及a 、c 的值． 【解】 (1)∵∠A ＝60°，∠C ＝45°， ∴∠B ＝180°－(∠A ＋∠C )＝75°. ∴∠C <∠A <∠B .∴c <a <b ，即c 边最小． 由正弦定理可得a ＝b sin A sin B ＝2sin 60°sin 75°＝32－6，c ＝b sin C sin B＝2sin 45°sin 75°＝23－2.综上可知，最小边c 的长为23－2，a ＝32－6，∠B ＝75°.(2)∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝30°. ∴∠A ＝∠C .∴a ＝c . 由正弦定理可得a ＝b sin A sin B＝5sin 30°sin 120°＝533.综上可知，∠C ＝30°，a ＝c ＝533.16．(本小题总分值12分)(2021·课标全国卷)已知a ，b ，c 别离为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(1)求A ；(2)假设a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .【解】 (1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理得3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，因此sin(A －π6)＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.17．(本小题总分值12分)在△ABC 中，假设∠B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判定△ABC 的形状． 【解】 法一 由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C . ∵∠B ＝60°，∴∠A ＋∠C ＝120°， ∠A ＝120°－∠C ，代入上式，得 2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C ， 展开整理得，32sin C ＋12cos C ＝1. ∴sin(C ＋30°)＝1，∴∠C ＋30°＝90°， ∴∠C ＝60°，故∠A ＝60°. ∴△ABC 为正三角形．法二 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵∠B ＝60°，b ＝a ＋c2，∴(a ＋c2)2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°.整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而a ＝b ＝c . ∴△ABC 为正三角形．18．(本小题总分值14分)(2021·东营高二检测)一缉私艇发此刻方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，假设缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°＋α的方向追去，假设要在最短的时刻内追上该走私船，求追及所需时刻和α角的正弦．(注：方位角是指指北方向按顺时针方向旋转形成的角)．【解】 设缉私艇与走私船原先的位置别离为A 、B ，在C 处两船相遇， 由条件知∠ABC ＝120°，AB ＝12(海里)，设t 小时后追及，∴BC ＝10t ，AC ＝14t ，由正弦定理得 10tsin α＝14tsin 120°⇒sin α＝5314，cos α＝1114. 再由余弦定理得100t 2＝196t 2＋144－2×12×14t cos α ⇒12t 2－33t ＋18＝0，∴t ＝2或t ＝34，但当t ＝34时，AC ＝212<12＝AB ，不合，∴t ＝2(小时)，sin α＝5314.。
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第一章 解三角形(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，∠A ＝130°，则此三角形( ) A ．无解 B ．只有一解 C ．有两解D ．解的个数不定【解析】 根据大角对大边，∵b >a ，∴∠B >∠A ， ∵∠A ＝130°，∴本题无解． 【答案】 A2．(2012²广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32【解析】 在△ABC 中，ACsin B ＝BCsin A，∴AC ＝BC ²sin Bsin A ＝32³2232＝2 3.【答案】 B3．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于( ) A.63B.62C.12D.32【解析】 ∵∠A ＝180°－45°－60°＝75°， ∴∠A >∠C >∠B ， ∴边b 最短． 由bsin B ＝c sin C ，得b ＝c sin B sin C ＝sin 45°sin 60°＝63. 【答案】 A4．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c ＝( ) A.3∶1∶1 B ．2∶1∶1 C.2∶1∶2D ．3∶1∶1【解析】 由∠A ∶∠B ∶∠C ＝4∶1∶1，得∠A ＝120°，∠B ＝30°，∠C ＝30°， 所以a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝32∶12∶12＝3∶1∶1. 【答案】 A5．(2013²东营高二期中)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【解析】 sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，且∠C 是△ABC 的最大内角，又因为52＋112－132<0，故cos C <0，∴角C 为钝角．【答案】 B6．(2012²天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725B ．－725C ．±725D.2425【解析】 由b sin B ＝csin C ，且8b ＝5c ，∠C ＝2∠B ，所以5c sin 2B ＝8c sin B ， 所以cos B ＝45.所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.【答案】 A7．符合下列条件的三角形有且只有一解的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 B ．a ＝1，b ＝2，∠A ＝30° C ．a ＝1，b ＝2，∠A ＝100° D ．b ＝c ＝1，∠B ＝45°【解析】 A ：a ＋b ＝3＝c 不能构成三角形；B ：b sin A <a <b .故有两解．C ：a <b ，故∠A 应为锐角，而∠A ＝100°，不能构成三角形．D ：b ＝c ＝1，△ABC 为等腰三角形，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴∠A ＝90°，故只有一解．【答案】 D8．如图1所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )图1A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】 由正弦定理可得60sin 45°－30° ＝PB sin 30°，PB ＝60³12sin 15°＝30sin 15°，h ＝PB ²sin 45°＝30sin 15°²sin 45°＝(30＋303)(m)．【答案】 A9．(2013²阜新高二期中)在锐角三角形中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，设∠B ＝2∠A ，则b a的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(2，3)【解析】 ∵b a ＝sin B sin A ＝sin 2Asin A＝2cos A ，而30°<∠A <45°，故2cos A ∈(2，3)，即b a的取值范围是(2，3)．【答案】 D10．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3【解析】 由p ∥q 得：(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0，∴a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.∴∠C ＝π3.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 11．(2012²北京高考)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________． 【解析】 在△ABC 中，由正弦定理可知a sin A ＝bsin B，即sin B ＝b sin A a＝3³323＝12. 又∵a >b ，∴∠B ＝π6.∴∠C ＝π－∠A －∠B ＝π2.【答案】π212．(2013²大连高二检测)在△ABC 中，如果S △BAC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么∠C ＝________.【解析】 由三角形面积公式S △BAC ＝12ab sin C ＝14(a 2＋b 2－c 2)，∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，而由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴sin C ＝cos C ，∴∠C ＝45°. 【答案】 45°图213．如图2，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．【解析】 在△BCD 中，CD ＝10 m ，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CDsin 30°，∴BC ＝CD sin 45°sin 30°＝102m ，在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，∴AB ＝BC tan 60°＝106(m)．【答案】 10 614．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，给出下列结论： ①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532.其中正确结论的序号是________．【解析】 由(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，可设a ＝7k ，b ＝5k ，c ＝3k (k >0)，a ，b ，c 随着k 的变化而变化，可知结论①错误．∵cos A ＝ 5k 2＋ 3k 2－ 7k22³5k ³3k <0，∴结论②正确．∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3， ∴结论③正确．∵cos A ＝－12，∴sin A ＝32，若b ＋c ＝8，不妨设b ＝5，c ＝3，a ＝7，则S △ABC ＝1534，∴结论④不正确．【答案】 ②③三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(1)在△ABC 中，已知∠C ＝45°，∠A ＝60°，b ＝2，求此三角形最小边的长及a 与∠B 的值．(2)在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝5，求∠C 及a 、c 的值． 【解】 (1)∵∠A ＝60°，∠C ＝45°， ∴∠B ＝180°－(∠A ＋∠C )＝75°. ∴∠C <∠A <∠B . ∴c <a <b ，即c 边最小． 由正弦定理可得a ＝b sin A sin B ＝2sin 60°sin 75°＝32－6， c ＝b sin C sin B ＝2sin 45°sin 75°＝23－2.综上可知，最小边c 的长为23－2，a ＝32－6，∠B ＝75°. (2)∵∠A ＝30°，∠B ＝120°， ∴∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝30°. ∴∠A ＝∠C .∴a ＝c .由正弦定理可得a ＝b sin A sin B ＝5sin 30°sin 120°＝533. 综上可知，∠C ＝30°，a ＝c ＝533.16．(本小题满分12分)(2012²课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .【解】 (1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理得 3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.17．(本小题满分12分)在△ABC 中，若∠B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． 【解】 法一 由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C . ∵∠B ＝60°，∴∠A ＋∠C ＝120°， ∠A ＝120°－∠C ，代入上式，得 2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C ， 展开整理得，32sin C ＋12cos C ＝1. ∴sin(C ＋30°)＝1，∴∠C ＋30°＝90°， ∴∠C ＝60°，故∠A ＝60°. ∴△ABC 为正三角形．法二 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵∠B ＝60°，b ＝a ＋c2，∴(a ＋c2)2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°.整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而a ＝b ＝c . ∴△ABC 为正三角形．18．(本小题满分14分)(2013²东营高二检测)一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°＋α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需时间和α角的正弦．(注：方位角是指指北方向按顺时针方向旋转形成的角)．【解】 设缉私艇与走私船原来的位置分别为A 、B ，在C 处两船相遇， 由条件知∠ABC ＝120°，AB ＝12(海里)，设t 小时后追及，∴BC ＝10t ，AC ＝14t ，由正弦定理得 10t sin α＝14t sin 120°⇒sin α＝5314，cos α＝1114. 再由余弦定理得100t 2＝196t 2＋144－2³12³14t cos α ⇒12t 2－33t ＋18＝0，∴t ＝2或t ＝34，但当t ＝34时，AC ＝212<12＝AB ，不合，∴t ＝2(小时)，sin α＝5314.。