力学量的平均值波函数随时间演化方程

ˆ E , F ˆ F H
又因为 [G, H]=0, 则
ˆψ G ˆH ˆ Eψ EG ˆψ ˆG ˆψ G H
即GΨ也是H的本征函数，对应的本征值也是E。即体系的能级 是简并的。
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态 ΨE，则ΨE必为F 的本征态。
例题1 判断下列说法的正误 (1) 在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5) 自由粒子处于定态，则动量取确定值（错） （能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错） （一维束缚态粒子的能量本征态无简并） 证明： 对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有 则
ψ2ψ1 ψ1ψ2
/ 1 2 / 2 1
两边同时积分得
ψ1 Cψ 2Baidu Nhomakorabea
4.1.2 能级简并与守恒量的关系
定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0, 则体系能级一般是简并的。 证明： [F, H]=0,则F, H有共同的本征函数Ψ
Pψn ( x) ψn (x) (1) ψn ( x)
n
结论： 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级简并 也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下，当能级出现简 并时，可以根据体系的对称性，找出其守恒量。
位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为
H p / 2m V (r )
Hψ ( t ) ,ψ k (ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 i 1 (ψ (t ), Hψ k )(ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 i Ek 2 (ψ (t ),ψ k ) 复共轭项 0 i
结论： 如果力学量A不含时间，若[A, H]=0(即为守恒量)，则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
证明：设ΨE是一能量本征态。因F是守恒量，则[F, H]=0
ˆF ˆψ F ˆH ˆψ F ˆEψ EF ˆψ H E E E E
即FΨE也是一个能量本征态，对应的本征值也是E. 根据假定 能级不简并，则必有
ˆψ F ψ F E E
即ΨE也是F的本征态，对应的本征值是F’
例如： 一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为 守恒量， [P,H]=0, 则能量本征态必为P的本征态，即有确定的 宇称。事实上，也确是如此，
若力学量不显含时间，即
则
Note
ψ i Hψ t
A 0 t
d 1 A (t ) [ A, H ] dt i
若
[ A, H ] 0
d A (t ) 0 dt
可见：若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。
3. 守恒量的性质 选包括H和A在内的一组力学量完全集，则
Hψk Ekψk , Aψk Akψk
2
r·p的平均值随时间的变化为
d 1 2 i r p [ r p , H ] [ r p, p ] [ r p,V ( r )] dt 2m p2 i r V m d 对定态有 r p0 dt
守恒的条件？
d A A (t ) , A , A , dt t t t A H , A , A , t t i 1 A , HA 1 ( , AH ) , i i t 1 A A 1 ( , [ A, H ] ) , [ A, H ] i t t i
体系的任意量子态可表示为
ψ (t ) ak (t )ψk , ak (t ) (ψk ,ψ (t ))
k
在Ψ态下，测力学量A的Ak的概率为
a k (t )
2
则该概率随时间的变化为
da k d 2 a k (t ) ak 复共轭项 dt dt ψ (t ) ,ψ k (ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 t
1. 经典物理中的守恒量 守恒量：力学量的值不随时间变化 动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零
2. 量子力学中的守恒量
守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化 在任意量子态Ψ下，力学量A的平均值为
A(t ) ψ (t ), Aψ (t )
4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系 (1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。 (2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 5. 守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变
第4 章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化 §4.2 波包的运动，Ehrenfest定理 §4.3 Schrödinger 图像与Heisenberg图像 §4.4 * 守恒量与对称性的关系 §4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性
§4.1 力学量随时间的演化 4.1.1 守恒量