力学量的平均值波函数随时间演化方程
第4章 力学量随时间的演化和对称性
第四章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化
一、力学量平均值随时间的变化
在波函数(x,t)所描写的态中，力学量A的平均值为
A(t) *(x,t)Aˆ (x,t)dx (1)
dA dt
*
t
Aˆ
dx
*
Aˆ
t
dx
*
Aˆ
t
dx
(2)
由薛定谔方程，i Hˆ
4.5.1 全同粒子的交换对称性
自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电 子，质子，中子，光子，π介子等。 同一类粒子 具有完全相同的内禀属性，包括静质量，电荷,自 旋，磁矩，寿命等.
在量子力学中，把内禀属性相同的一类粒 子称为全同（identical）粒子.
全同粒子组成的多体系的基本特征是： 任何可观测量，特别是Hamilton 量，对于任
dt ih
t
如Â不显含t，即:
Aˆ 0 t
则有:
dA 1 [ Aˆ, Hˆ ] (3) dt ih
这就是力学量 平均值随时间 变化的公式。
若
[ Aˆ, Hˆ ] 0
(4)
则
dA 0
(5)
dt
即这种力学量在任何态 (t) 之下的平均值都不随
时间改变。
力学量 A 的平均值为
用标积表示
At t, A t
守恒量有两个重要性质： (1) 在任意态(t)之下的平均值都不随时间改变； (2) 在任意态(t)之下的概率分布不随时间改变。
三、举例
1、证明：若Ĥ不显含时间t,则Ĥ为守恒量
证： ∵Hˆ 不显含t
∴ Hˆ 0 t
又∵ [Hˆ , Hˆ ] 0
力学量期望值随时间的变化 守恒定律
[ x，pˆ x ] i [Lˆ x，Lˆ y ] iLˆz
（x)2
•（px
)2
2 4
（Lx )2
•（Ly )2
2 4
2
Lz
一、力学量的平均值随时间的变化
量子力学中，处于一定状态下的体系，在每一 时刻，不是所有的力学量都具有确定的值，而只是 具有确定的平均值及几率分布。
力学量F的平均值
F *Fˆ d *(x,t)Fˆ (x,t)dx
经典力学中守恒量：体系取确定值！ ①
量子力学守恒量：不一定确定值！ 但测量值几率不随时间变化！
② 量子力学定态特点：测量值几率不随时间变化！
守恒量：1、是体系特殊的力学量。
——与H对易！
VS
2、在一切状态（不管是否是定态）
——平均值、测量几率分布不随时间变化！
定态：1、是体系特殊的状态。 ——能量本征态！
Hˆ ]
[Lˆx ,
1
2r2
Lˆ2 ]
1
2r2
[Lˆx ,
Lˆ2 ]
0
同理 [Ly , L2] [Lz , L2] 0
所以
d Lˆ2 1 [Lˆ2 , Hˆ ] 0 dt i
d Lˆx dt
1 i
[Lˆx , Hˆ ] 0
d Lˆy dt
1 i
[Lˆy , Hˆ ] 0
d Lˆz dt
②力学量的可能测值的几率分布不随时间变化
如：（i）自由粒子动量
Hˆ 1 pˆ 2
2
d p 1 [ pˆ Hˆ ] 0 dt i
动量守恒 （ii）粒子在中心力场中运动的角动量
Hˆ
2
2r2
r
(r 2
) r
量子力学中的时间演化与薛定谔方程
量子力学中的时间演化与薛定谔方程量子力学是描述微观世界中粒子行为的理论框架，它与经典力学有着本质的区别。
在量子力学中，时间演化是一个重要的概念，而薛定谔方程则是描述量子系统时间演化的基本方程。
在经典力学中，我们可以通过牛顿第二定律来描述物体的运动。
而在量子力学中，粒子的运动状态由波函数来描述。
波函数是一个复数函数，它包含了粒子的位置和动量信息。
薛定谔方程就是描述波函数随时间演化的方程。
薛定谔方程的一般形式可以写作：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，ħ是普朗克常数的约化形式，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
这个方程可以看作是量子力学中的运动方程，它告诉我们波函数随时间如何变化。
薛定谔方程的解决方法有很多种，其中最常见的是分离变量法。
通过将波函数Ψ分解成位置和时间的乘积形式，我们可以将薛定谔方程分解为两个独立的方程，一个是关于位置的方程，另一个是关于时间的方程。
这样，我们可以分别解出它们的解析解，然后将它们组合起来得到波函数的解。
薛定谔方程的解决方法还包括数值解法和近似解法。
数值解法通过离散化的方法，将薛定谔方程转化为一个矩阵方程，然后利用数值计算方法求解。
近似解法则是在一些特定情况下，对薛定谔方程进行近似处理，得到近似的解析解。
薛定谔方程的时间演化是量子力学中的一个基本概念。
它告诉我们波函数随时间如何变化，从而揭示了量子系统的动力学性质。
根据薛定谔方程，我们可以计算出波函数在任意时间的值，从而得到粒子的位置、动量等物理量的概率分布。
薛定谔方程的时间演化还可以用于描述量子系统的演化过程。
例如，在一个封闭的量子系统中，如果系统的哈密顿量不随时间变化，那么根据薛定谔方程，系统的波函数将保持不变。
这就是所谓的定态解，它描述了系统处于一个稳定的状态。
然而，如果系统的哈密顿量随时间变化，那么根据薛定谔方程，系统的波函数将随时间演化。
这种演化可以描述系统从一个态向另一个态的转变过程。
例如，在一个受到外界扰动的量子系统中，系统的波函数将随时间逐渐演化到一个新的稳定态。
第五章 力学量随时间的演化与守恒量详解
第五章 力学量随时间的演化与守恒量§1 力学量随时间的变化在经典力学中，处于一定状态下的体系的每一个力学量作为时间的函数，每一个时刻都有一个确定值；但是， 在量子力学中，只有力学量的平均值才可与实验相比较，力学量随时间的演化实质是平均值和测量值的几率分布随时间的演化。
一、守衡量力学量ˆA在任意态()t ψ上的平均值随时间演化的规律为 ˆˆ1ˆˆ,dA A A H dt t i ∂⎡⎤=+⎣⎦∂， 其中ˆH为体系的哈密顿量。
[证明] 力学量ˆA的平均值表示为()ˆ()(),()A t t A t ψψ=，()A t 对时间t 求导得 ()()ˆ()()()ˆˆ,()(),(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()1 d A t t t A A t t A t t dt t t t A H t A t t AH t i i t A t HA t t AH t i i tψψψψψψψψψψψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭∂=-+ψ+∂=ˆˆˆ,AA H i t∂⎡⎤+⎣⎦∂1ˆˆ,A H i ⎡⎤+⎣⎦1、 守恒量的定义若ˆA不显含t ， 即ˆ0A t ∂∂=， 当ˆˆ,0A H ⎡⎤=⎣⎦，那么力学量ˆA 称为守恒量。
2、守恒量的性质(1)、在任意态()t ψ上，守恒量的平均值都不随时间变化0dA dt =。
(2)、在任意态()t ψ上，守恒量的取值几率分布都不随时间变化。
[证明] 由于ˆˆ[,]0A H =知，存在正交归一的共同本征函数组{}nψ（n 是一组完备的量子数），即 ˆˆn n nn n nH E A A ψψψψ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 正交归一化条件(),n m mn ψψδ=对于体系的任意状态()t ψ可展开为： ()()n nnt a t ψψ=∑， 展开系数为()(),()n n a t t ψψ=在体系的任意态()t ψ上测量力学量ˆA 时，得到本征值nA 的几率为2|()|n a t ， 而 ()()()()()()*2*()()()()()()(),,()(),,1()1() ,,()(),,11ˆ (),,()n n n n n n n n n n n n n n n da t da t d a t a t a t dt dt dtt t t t t t t t i t t i i t i t H t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=+∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-+()()()()()()()()()()ˆ(),,()11ˆˆ (),,()(),,() (),,()(),,()0n n n n n n n n n n n n t H t t H t t H t i i E Et t t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=-+=-+= 这表明2|()|n a t 是与时间无关的量。
量子力学 第4章
证 明： 引 入 任 意 波 函 数 ψr ˆ ˆ ˆ P[ H ( r )ψ( r )] H ( r )ψ( r ) ˆ ˆ ˆ H ( r )ψ( r ) H ( r ) Pψ( r ) ˆ， H ˆ ] 0 所 以 [P ˆ又 不 显 含 时 间 ˆ是 守 恒 力 学 量 P ， 所 以P 。 ˆ 与H ˆ 可 以 有 共 同 的 本 征 函。 宇称守恒时 ，P 数 也就是讲 ， ˆ 的 本 征 函 数 具 有 确 定宇 我们可以让 H 的 称， 而 且 它 的 宇 称 态 不 随间 时而 改 变 。 这 就 是 宇 称 守 恒 的 意。 义
最后得到
d 1 A A [ A, H ] dt i t
当力学量不显含时间时，
这就是力学 量平均值随 时间的变化
d 1 A [ A, H ] dt i
二、守恒量 1. 守恒力学量的定义 若一个力学量的平均值不随时间变化,则该力学量是一个守 恒力学量. 换句话说 若
d A 0 则A是守恒力学量. dt
2. 推论: 若 A 不显含t，而且[A，H]=0 则A是守恒力学量。
即: 这种力学量在任何态下的平均值不随时间改变。这样
的定义与经典力学相吻合,因为宏观量可以看作是微观量的 平均值. 可以证明守恒力学量测量值的概率分布也不随时间改娈.
关于量子体系的守恒量的几点说明
量子体系的守恒量不一定取确定值，即体系的状 态并不一定就是某个守恒量的本征态。 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在这个本征态；若初始时刻体系并不处在守恒 量A的本征态，以后的状态也不是A的本征态。量子 体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 与定态区分： 定态：体系的一种特殊的状态－能量本征态。 在定态下，一切力学量（不显含t）的平均值和测量 概率分布都不随时间改变。 守恒量：体系的一种特殊的力学量，与哈密顿 量对易。在一切状态下的平均值和概率分布都不随 时间改变。
38力学量平均值随时间的变化
1
[F, H ]
dt t ih
如果算符不显含时间,
F t
0
则
dF
1
[F, H ]
dt ih
若
[F, H] 0
则
dF 0
dt
(3.8-4) (3.8-5)
(3.8-6) (3.8-7)
(3.8-8)
满足上式的力学量,称为体系的运动恒量。
守恒量的特点
守恒量具有如下特点，即体系在任何状态下：
（1）其平均值不随时间而变化；
§3.8力学量平均值随时间的变化 守恒定律
在波函数 描写的状态中,力学量的平均值为
F *(x,t) F (x,t)dx
因波函数是时间的函数,所以
(3.8-1)
d F d
*(x,t) F (x,t)dx
dt dt
* F dx
*
F
dx
*
F
dx
t
t
t
(3.8-2)
由 Schro&&dinger 方程
t
)
(rv,
t
)
(rv,
t
)
对应 P的本征值 1的态，称寄宇称
得出另一态，称其无确定宇称来自称守恒若体系哈密顿量具有空间反演不变性
H
(rv)
H
(rv)
则
PH
H
P
即
[P, H ]
0，亦即 P
是一个守恒量，或者说
H
描写的系统的宇称是不变的，称为宇称守恒定律。
（2）其概率分布不随时间而变化。
证明特点（2）：
因为 [F, H ] 0
，故
F
,
H
具有共同本征函数系n
量子力学_4.1 力学量随时间的演化
4
相似.
4.1 力 学 量随 时 间 的 演 化
量子力学教程(第二版)
2
式 3 代入式
，得
d m 2 r F r dt
2
5
上式即谓Ehrenfest定理.其形式也与经典Newton方 程相似.
但是, 只当 F r 可以近似代之为 F r 时,波 r 包中心 的运动规律才与经典粒子相同. 那么, 在什么条件下可以做这种近似呢?
i i t
1 1 A , HA , AH , i i t
1 A , A , H , i t
1 A A, H i t
7
时 ， 才 此时,式 可 才与经典Newton方程形式上完全相同. 5 近 由此可以看出： 似 7 要求 式在整个运动过程中成立，就要满 代 足以下条件. 之 为
4.1 力 学 量随 时 间 的 演 化
量子力学教程(第二版)
(a)波包很窄，而且在运动过程中扩散不厉害. (b) V 在空间变化较缓慢（在波包范围中变化 很小）. 从式（7）还可以看出 ,如果 V x a bx cx2 a, b, c为常量 . 所以对于线性势或谐振子势，条件
级一般是简并的.
推论
如果体系有一个守恒量 F ，而体系的某条能 级不简并（即对应于某能量本征值 E ，只有一个 本征态 E ），则 E 必为 F 的本征态.
例如 一维谐振子势 2 不简并的,而空间反射 P 为守恒量, P, H 0, 所以 能量本征态必为 的本征态,即有确定宇称. P
按4.1节式 3 ,粒子坐标和动量的平均值随时 间变化如下: d 1 r r, H p m 2 dt i
3.8力学量平均值随时间的变化守恒定律
②,力学量的可能测值的几率分布不随时间变化
第三章 量子力学中的力学量
6/17
Quantum mechanics
§3.8 力学量平均值随时间的变化守恒定律
1 2 ˆ ˆ H p 如:(1),自由粒子动量 2 ˆ 1 dp dp 1 ˆ ˆ ˆ ˆ [ p, H ] 0 [ p, H ] 0 dt i dt i
16/17
Quantum mechanics
本章目录
§3.5 厄密算符本征函数的正交性 Orthogonality of Hermitian operator eigenfunction §3.6 算符与力学量的关系 Relations of operator & mechanical quantity §3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 Commutation relation of operator Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation §3.8 力学量平均值随时间的变化守恒定律 Changing of average value of mechanical quantities with time Law of conservation
Changing of average value of mechanical quantities with time
二、守恒量与对称性的关系 Relation between symmetry &quantities of conservation
第三章 量子力学中的力学量
力学量的平均值随时间的变化
力学量的平均值随时间的变化
•23 一个质量为m的粒子在中心力场V(r)中运动，试证明
•其中E代表能级，ψ是相应的束缚定态波函数，λ是H中的参量 •(2)对于确定节点（即nr相同）的状态，若轨道角动量越大 •（即l越大），则其能量越高。
•证明: (1)由于
•则
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力学量的平均值随时间的变化
•20 在p表象中计算一维谐振子的定态能量和定态波函数 •解：薛定谔方程为
•在动量表象中有
•即 •其中
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力学量的平均值随时间的变化
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力学量的平均值随时间的变化
•代入薛定谔方程得
•以后的求解见陈<量子力学习题与解答>p97
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力学量的平均值随时间的变化
•21. t=0时刻自由粒子的波函数是 •求此时粒子动量的可能取值、概率和平均值
•解: (1) F是守恒量，即
•(2) |ψ(t)> 是定态
•18. 对于
•α是常数，下列哪些量是守恒量
•答： 守恒量是
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力学量的平均值随时间的变化
•18. 电荷为q，质量为m的无自旋粒子在磁场B中运动，其哈密顿 •算符可近似写成
•(1)指出(不必证明)下列各物理量中的守恒量
•(2)任选一个非守恒量，写出其海森堡运动方程 •(3)写出ω的构造式(用m,q…表示)及B的方向。 •解：（1） 守恒量是
•(2) N个全同Femi子组成的体系
•三个全同Femi子：设三个无相互作用的全同Femi子，处于三个 •不同的单粒子态φk1, φk2, φk3 上，则反对称波函数为
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•Slater •行列式
量子力学第二章波函数和方程.
（三） 自由粒子满足的方程
描写自由粒子波函数:
A
exp
i
(
p
•
r
Et )
应是所要建立的方程的解。
将上式对 t 微商，得：
i E
第二章 波函数 和 Schrodinger 方
程
§2.1 波函数的统计解释
子弹
光波
波：I≠I1+I2
光栅衍射
I Eo2
I Nh N
I大处 I小处 I=0
到达光子数多 到达光子数少 无光子到达
电子衍射
I | |2
IN
电子到达该处概率大 电子到达该处概率小 电子到达该处概率为零
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
的几率密度
电子穿过狭缝 ２出现在Ｐ点
的几率密度
相干项 正是由于相干项的 出现，才产生了衍
射花纹。
一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态.
量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波
描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
(r, t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
经典概念中 粒子意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
4.1-力学量随时间演化
a、量子体系守恒量不一定具有确定值。 （经典守恒量在任
意时刻都具有确定的值，并且值相等）
体系的状态并不一定为此守恒量的本征态。例如：自由粒子动量P 为守恒量，但自由粒子的状态并不一定是动量的本征态，而是多个本征 态的叠加态，因此守恒量（动量P）的值不能确定；中心力场中角动量L
* ˆ ( t ) A ( t )d
t
H i
ˆ ˆ H H
t ˆ ˆ ) ( , ˆ ) ( , A H ) ˆ ( , A A i t i 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( , H A ) ( , A H ) ( , A ) i i t 1 ˆ ˆ ˆ ( , [ A , H ] ) ( , A ) i t 1 ˆ ˆ ˆ [ A, H ] A i t
率分布都不随时间改变
四、维力定理
处于定态下，力学量平均值随时间的演化
由 d dt
1 2m
ˆ H
2 ˆ p 2m
V (r )
ˆ 1 [ A, H ] ˆ ˆ A i
则
i
d dt
ˆ ˆ r p
2 ˆ p m
ˆ ˆ ˆ [r p, H ]
2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ r p , p ] [ r p , V ( r )]
ˆ H k E k k
(t)
d dt
如
ˆ ˆ [ A, H ] 0
则有
d
ˆ A 0
ˆ A k Ak k
, a k ( t )
da k ( t ) dt ( t ) t
相应的任何态可以用这些本征态展开为：
量子力学中描写波函数随时间变化的方程
文章标题：量子力学中的波函数演化方程正文:1. 引言在量子力学中，波函数是描述微观粒子运动状态的重要工具，它包含了粒子的位置、动量等物理量的信息。
对于一个孤立系统，波函数的演化过程是由著名的薛定谔方程描述的。
然而，对于开放系统或者与外界环境发生相互作用的系统，波函数的演化则需要引入更加普适的演化方程。
本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨量子力学中描写波函数随时间变化的方程。
2. 描写波函数演化的基本方程在量子力学中，波函数随时间演化的基本方程是薛定谔方程，它可以描述封闭系统中波函数的变化。
薛定谔方程的一般形式为：\[i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r}, t) =\hat{H}\Psi(\mathbf{r}, t)\]其中，\(\Psi(\mathbf{r}, t)\)是波函数，\(\hat{H}\)是哈密顿算符，\(\hbar\)是约化普朗克常数，\(t\)是时间。
这个方程可以精确地描述封闭系统中波函数的演化，但是对于开放系统或者与外界发生相互作用的系统，薛定谔方程就不再适用。
3. 考虑系统与环境相互作用的情况在现实世界中，几乎所有的系统都会受到外界环境的影响，这种影响可能会导致系统的波函数发生演化。
为了描述开放系统或者与外界环境相互作用的系统的波函数演化，我们需要引入密度矩阵。
密度矩阵演化的方程由冯·诺依曼方程给出：\[i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\rho = [\hat{H}, \rho]\]其中，\(\rho\)是密度矩阵，\(\hat{H}\)是哈密顿算符。
这个方程可以描述系统波函数与环境相互作用导致的演化，更加普适地适用于各种情况。
4. 对波函数演化方程的理解从薛定谔方程到冯·诺依曼方程的转变，体现了我们对量子力学的不断理解和深入。
薛定谔方程仅适用于封闭系统，而冯·诺依曼方程则适用于更普遍的情况，包括开放系统和与外界环境发生相互作用的系统。
第五章 力学量随时间的演化与对称性
不能同时取确定值。 （2） Vivial Theorem 维里定理 ） 不显含 t 的力学量，在定态上的平均是与t 无关。
ˆ ˆ ˆ dr ⋅ p [ r ⋅ p, H ] , =0= dt ih
2 ˆ] 1 ˆ ˆ [ r ⋅ p, H p 1 ˆ ˆ ] + [ r ⋅ p, V( r )] = [ r ⋅ p, ih ih 2 m ih
ˆ 不随t变，而取 As 的几率 ∑ cns 2 也不随t变。 A
n
我们称与体系 H 对易的不显含时间的力学量算符 与体系 ˆ
ˆ A
为体系的运动常数。 为体系的运动常数。
各运动常数并不都能同时取确定值。因尽管它们
ˆ 都与 H对易，但它们之间可能不对易。如
p ˆ + V( r ) H= 2m
与
2
ˆ 2 , L x , L y , Lz对易，但 L , L , L 不对易， ˆx ˆy ˆz L ˆ ˆ ˆ
ˆ x, p x
的平均值。 的平均值。
ˆ A=x ˆ ˆ ˆ d < px > [px , H ] ∂V ˆ = =< − >=< Fx > dt ih ∂x
m
d <x> dt
2
2
ˆ d < px > ∂V ˆ = =< − >=< Fx > dt ∂x
称为的恩费斯脱定理。 称为的恩费斯脱定理。 我们可以看到，上面三个式子与经典力学看起来 非常相似
第四章
力学量随时间的演化与对称性
1. 力学量随时间的演化，运动常数（守恒 力学量随时间的演化，运动常数（ 恩费斯脱定理（ 量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem）。 恩费斯脱定理 ） （1）力学量的平均值随时间变化，运动常数 ）力学量的平均值随时间变化， 力学量的平均值为： 力学量的平均值为： 它随时间变化为
第二章2.7力学量随时间的演化与守恒量宇称算符
证：由F为守恒量，得Fˆ , Hˆ 0，故Fˆ与Hˆ有共同
的本征态，它们的本征值方程为
Hˆ E Fˆ f
又G为守恒量，有 Gˆ , Hˆ 0，则
HˆGˆ GˆHˆ EGˆ
故与Gˆ均为Hˆ的本征值为 E的本征态
另外，Gˆ , Hˆ 0，故GˆFˆ GˆFˆ fGˆ (与Gˆ是不同的态
既然两个不同的态具有相同的能级E，可见能级E是简并的。
如，氢原子，Lˆx与Lˆz都是守恒量，但Lˆx，Lˆz 0，故
氢原子的能级是简并的。
氢原子的基态是一个例 外，Lˆx，Lˆz 0，但Lˆx LˆzY00 Lˆz LˆxY00 0
使基态能级并不简并， 因为Y00为常数，任何微分算符 作用于 Y00均为零
（1）经典力学中，d 2 dt
x
2
给出的是坐标x的加速度；在
量子力学中，由于每一时刻x一般没有确定值，d 2 dt
x
2
给出的是坐标平均值的加速度。
（2）经典力学中，位于x的粒子所受的力- U x仅
决定于该点的势场，而且受力的大小与粒子的运动 状态无关；在量子力学中，起作用的是力的平均值
F
*
x,
t
3. 宇称算符的本征值方程
用Pˆ作用于两边得 Pˆ x x x Pˆ 2 x Pˆ x 2 x
2 1，故宇称算符的本征值 为 1
由 1
Pˆ x x Pˆ - x -称 x具有偶宇称； 波函数 - x经Pˆ作用后变号，称 - x具有奇宇称。
U
x
x,
t
d
它要涉及整个势场的作用，而且与粒子所处的
状态 x, t有关。
总之，经典力学中有关 力学量之间的关系式， 在量子力学中将以平均 值和算符的形式出现。
力学量平均值随时间的变化守恒定律
定义时间区间为$[t_1, t_2]$，其中$t_1$和$t_2$分别表示时间区间的起始时间和终止时间。
时间变化的数学表达
时间变化
在物理学中，时间的变化通常用时间导数来表示。时间导数可以表示为$frac{d}{dt}$，其中$d/dt$表示 对时间进行微分。
时间导数的物理意义
时间导数描述了物理量随时间变化的速率。如果一个物理量的时间导数为零，则表示该物理量不随时 间变化。
挑战
目录
Part
01
力学量平均值随时间变化的守 恒定律概述
定义与概念
定义
力学量平均值随时间的变化守恒定律 是指在一定条件下，一个力学量的平 均值不会随时间发生变化，即其时间 导数为零。
概念
该定律是物理学中的基本原理之一， 它表明某些物理量在特定条件下具有 恒定的性质，不受时间的影响。
守恒定律的重要性
希望借助现代科技手段，推动实验观测和数据分析的技术 革新，提高对自然现象的认知和理解。
期望在未来的发展中，能够更好地将基础理论研究与应用 实践相结合，发挥力学量平均值随时间变化的守恒定律在 解决实际问题中的价值和作用。
THANKS
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结合现代科技手段，如人工智能和大数据分析， 对实验数据进行更深入的挖掘和处理，以揭示 隐藏在数据背后的规律和模式。
拓展力学量平均值随时间变化的守恒定律在复 杂系统和非线性动力学领域的应用，如气候变 化、生态系统和脑科学等。
面临的挑战与问题
如何克服实验观测的局限性，获取更精确和全面的数据，以验证和修正理 论模型。
如何理解和解释力学量平均值随时间变化的守恒定律在不同物理体系中的 共性和差异性。
如何将力学量平均值随时间变化的守恒定律与其他物理定律和原理进行有 机整合，构建更为完整和系统的理论框架。
量子力学中的波函数时间演化理论研究
量子力学中的波函数时间演化理论研究1. 引言量子力学是描述微观世界中粒子行为的基本理论，而波函数则是量子力学中非常重要的概念。
波函数可以描述一个粒子的状态，并且可以用来计算测量结果的概率。
在量子力学中，波函数的时间演化是一个非常关键的问题。
根据薛定谔方程，波函数会随着时间的推移而发生变化。
如何理解和研究波函数的时间演化是量子力学中一个重要的研究方向。
本文将从量子力学的基本原理出发，介绍波函数的时间演化理论的研究内容和方法，包括时间演化算符、时间演化方程等。
2. 量子力学基础知识回顾在介绍波函数的时间演化理论之前，我们首先需要回顾一些量子力学的基础知识。
2.1 波粒二象性根据量子力学理论，微观粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性，这就是波粒二象性。
当物质以粒子形式存在时，其运动和位置可以被精确描述。
当物质以波动形式存在时，其运动和位置无法被精确描述，只能给出一定的概率分布。
2.2 波函数波函数是描述量子力学系统状态的数学函数。
对于一个单粒子系统，其波函数可以用一个复数函数来表示：$\\psi(x, t)$其中，x表示粒子的位置，t表示时间。
波函数的模的平方，即$|\\psi(x, t)|^2$，表示在x位置处测量该粒子的概率密度。
2.3 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的基本方程，描述了波函数随时间的演化。
薛定谔方程可以用以下形式表示：$i\\hbar \\frac{\\partial \\psi(x,t)}{\\partial t} = \\hat{H}\\psi(x,t)$其中，$\\hbar$是约化普朗克常数，$\\hat{H}$表示系统的哈密顿算符。
根据薛定谔方程，我们可以推导出波函数的时间演化方程。
3. 波函数的时间演化方程为了研究波函数的时间演化，我们可以将薛定谔方程写成波函数的时间演化方程。
3.1 时间演化算符时间演化算符是一个用来描述波函数时间演化的算符。
它是薛定谔方程的解。
力学量的平均值波函数随时间演化方程
答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响 到定理的证明。
例题1 设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即
V (cx, cy, cz) c V ( x, y, z )
n
证明
nV 2T
证明： V (cx, cy, cz) c nV ( x, y, z ) 两边对c求导数得
守恒的条件？
d A A (t ) , A , A , dt t t t A H , A , A , t t i 1 A , HA 1 ( , AH ) , i i t 1 A A 1 ( , [ A, H ] ) , [ A, H ] i t t i
1. 经典物理中的守恒量 守恒量：力学量的值不随时间变化 动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零
2. 量子力学中的守恒量
守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化 在任意量子态Ψ下，力学量A的平均值为
A(t ) ψ (t ), Aψ (t )
1. 波包的运动与经典粒子运动的关系 设质量为m的粒子在势场V(r)中运动，用波包Ψ(r,t)描述，显然 Ψ(r,t)必为非定态，因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间 变化的：与经典粒子运动对应的量子态为非定态
2 p V (r ) 设粒子运动的Hamilton 为 H 2m 则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为
则
p ~ pe
因此用轨道运动来描述电子是不恰当的。
§4.3 Schrö inger图像(绘景)和Heisenberg图像（绘景）
力学量的平均值随时间的变化
t
dx
1 Hˆ
t i
* 1 (Hˆ )*
t i
*
Fˆ
t
dx
1 i
(Hˆ
)*Fˆ
dx
1 i
*FˆHˆ
dx
Fˆ t
1 i
*HˆFˆ dx
1 i
*FˆHˆ dx
Fˆ t
1 i
*[Fˆ , Hˆ ] dx
2
[ x,
pˆ x2 ]
1
2
{pˆ x[x,
pˆ x ] [x,
pˆ x ] pˆ x}
1
2
2i
pˆ x
i
pˆ x
dx 1 [x, Hˆ ] px （对应于经典的速度）
dt i
（2）取 Fˆ pˆx ，有
[ pˆ x , Hˆ ]
[
pˆ x
,
pˆ x2
2
U ]
所以
d L2 0
dt
dLx 0 dt
即量子力学的角动量守恒定律。
dLy 0 dt
dLz 0 dt
3．哈密顿不显含时间的体系能量
若哈密顿不显含时间，即Hˆ / t 0 ，而 [Hˆ , Hˆ ] 0限深势阱、线性谐振子、氢原子等的能量均为守恒量。
又
Pˆ 2 (x,t) Pˆ (x,t) (x,t)
所以
c2 1 c 1
c 1 时，Pˆ (x,t) (x,t) (x,t) (x,t) 为偶宇称态；
c 1 时，Pˆ (x,t) (x,t) (x,t) (x,t) 为奇宇称态；
第二章2.7力学量随时间的演化与守恒量宇称算符
n
cn t n* x x, td
在 x, t态中，力学量F取值的概率分布为cn t 2.
利用薛定谔方程Hˆ 的厄米性，以及纯虚数与其复共
随 概c轭n时 率 之 t d间 分 2和不c布 d为 n tt零 2ibcccccnnnn*•***ct•tttddiE1i0tn得 n*xnn**n*xxxHˆtxx,,xtt,xt,ddtddcc••ccc•c••c••c•
2.7 力学量随时间的演化与守恒 宇称守恒
2.7.1 力学量随时间的演化
力学量F在任意态 中的平均值为
F *x, tFˆ x, td
dF dt
*
Fˆ d
t
t
*
Fˆd
*Fˆ
t
d
由薛定谔方程 1 Hˆ及复共轭方程 * - 1 Hˆ *有：
t i
t i
dF
dt
*
Fˆ d
t
-
而改变
En i
cn t 2
c•c•
（2）性质二：若初始时刻体系不处于守 恒量F的本征态，则此后任何时刻体系也 不会处于F本征态，即守恒量不取确定值， 否则便会与性质一矛盾；若初始时刻体系 处于守恒量F的本征态，则此后 任何时刻 它都会处于 的同Fˆ 一本征值的本征态中 否则也与性质一矛盾。
（3）性质三：若体系有相互不对易的守 恒量F和G，则体系的能级一般是简并的。
1 i
Hˆ
*Fˆd
1 i
*
FˆHˆd
由Hˆ的厄米性得： Hˆ *Fˆd *FˆHˆd
代入上式，并由 FˆHˆ - HˆFˆ Fˆ，Hˆ 得：
dF
dt
力学量随时间演化及对称性
4.2 守 恒 量 与 对 称 性 的 关 系
1.对称性的含义： 狭义的对称性是指在某种操作或者变换下，系统仍然保持不变，表现为系统的Hamiltonian 在这些变 换下保持不变。研究对称性的意义：第一，构造发展理论。按Heisenberg 的观点，”必须寻找的是基本 对称性”；第二，增强物理直觉，利于迅速抓住问题要点，化简提法；第三，简化一些计算。不经求 解Schr¨ odinger 方程即可得到态及本征值的某些知识。包括能级特征、矩阵元计算、禁戒规则等。 2. 量子力学中的对称性 无论就对称性的种类和程度来说，量子力学的对称性都高于经典力学中的对称性。经典力学中存在的对 称性量子力学中也都对应存在，如时间、空间的均匀、各向同性对称性；而且，量子力学还存在一些经典 力学中所没有的对称性，如全同性原理、同位旋对称性。然而，个别对称性除外，弱等效原理这种对称性 在经典力学中存在，但在量子力学中被破坏，只当向经典过渡时才又逐渐显现出来。这是说，弱等效原理 被量子涨落所破坏。
′ ˆ ψ′ ∂U ˆU ˆ ψ ′ ⇒ i ∂ψ = U ˆ −1 H ˆU ˆψ =H ∂t ∂t
[ ] ˆ, H ˆ =0 U
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ˆ ψ |U ˆ ψ = ψ |U ˆ +U ˆ |ψ = ⟨ψ |ψ ⟩ ⇒ U ˆ +U ˆ =1 ⟨ψ ′ |ψ ′ ⟩ = U
ˆ 是幺正算符，此变换是个幺正变换。如果U ˆ 是连续变化的(注：U ˆ 也可能是一个分立变换，如对于时间反 即U 演和空间反射，这里我们不作讨论)，总可以表示为
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则
Note
ψ i Hψ t
A 0 t
d 1 A (t ) [ A, H ] dt i
若
[ A, H ] 0
d A (t ) 0 dt
可见：若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。
3. 守恒量的性质 选包括H和A在内的一组力学量完全集，则
Hψk Ekψk , Aψk Akψk
证明：设ΨE是一能量本征态。因F是守恒量，则[F, H]=0
ˆF ˆψ F ˆH ˆψ F ˆEψ EF ˆψ H E E E E
即FΨE也是一个能量本征态，对应的本征值也是E. 根据假定 能级不简并，则必有
ˆψ F ψ F E E
即ΨE也是F的本征态，对应的本征值是F’
例如： 一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为 守恒量， [P,H]=0, 则能量本征态必为P的本征态，即有确定的 宇称。事实上，也确是如此，
Hψ ( t ) ,ψ k (ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 i 1 (ψ (t ), Hψ k )(ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 i Ek 2 (ψ (t ),ψ k ) 复共轭项 0 i
结论： 如果力学量A不含时间，若[A, H]=0(即为守恒量)，则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
ψ2ψ1 ψ1ψ2
/ 1 2 / 2 1
两边同时积分得
ψ1 Cψ 2
4.1.2 能级简并与守恒量的关系
定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0, 则体系能级一般是简并的。 证明： [F, H]=0,则F, H有共同的本征函数Ψ
ˆ E , F ˆ F H
又因为 [G, H]=0, 则ˆψ G ˆH ˆ Eψ EG ˆψ ˆG ˆψ G H
即GΨ也是H的本征函数，对应的本征值也是E。即体系的能级 是简并的。
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态 ΨE，则ΨE必为F 的本征态。
例题1 判断下列说法的正误 (1) 在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5) 自由粒子处于定态，则动量取确定值（错） （能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错） （一维束缚态粒子的能量本征态无简并） 证明： 对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有 则
第4 章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化 §4.2 波包的运动，Ehrenfest定理 §4.3 Schrödinger 图像与Heisenberg图像 §4.4 * 守恒量与对称性的关系 §4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性
§4.1 力学量随时间的演化 4.1.1 守恒量
守恒的条件？
d A A (t ) , A , A , dt t t t A H , A , A , t t i 1 A , HA 1 ( , AH ) , i i t 1 A A 1 ( , [ A, H ] ) , [ A, H ] i t t i
体系的任意量子态可表示为
ψ (t ) ak (t )ψk , ak (t ) (ψk ,ψ (t ))
k
在Ψ态下，测力学量A的Ak的概率为
a k (t )
2
则该概率随时间的变化为
da k d 2 a k (t ) ak 复共轭项 dt dt ψ (t ) ,ψ k (ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 t
2
r·p的平均值随时间的变化为
d 1 2 i r p [ r p , H ] [ r p, p ] [ r p,V ( r )] dt 2m p2 i r V m d 对定态有 r p0 dt
1. 经典物理中的守恒量 守恒量：力学量的值不随时间变化 动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零
2. 量子力学中的守恒量
守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化 在任意量子态Ψ下，力学量A的平均值为
A(t ) ψ (t ), Aψ (t )
Pψn ( x) ψn (x) (1) ψn ( x)
n
结论： 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级简并 也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下，当能级出现简 并时，可以根据体系的对称性，找出其守恒量。
位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为
H p / 2m V (r )
4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系 (1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。 (2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 5. 守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变