广东省深圳市2011届高三第二次调研考试(数学理)(
2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)
2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科） 2011.4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考公式：若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为Sh V 31=． 一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设集合}5,4,3,2,1{=U ，}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则)(B A U等于A ．}2{B ．}5{C ．}4,3,2,1{D ．}5,4,3,1{ 2．复数(1)z i i =+（i 为虚数单位）的模等于 A ．1 B.2 C. 0 D. 23．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，且4=a ，34=b ，︒=∠30A ，则B ∠等于A ．030 B ．030或0150 C ．060 D ．060或0120 4．已知向量)1,1(=a ，),2(n =b ，若b a ⊥，则n 等于A ．3-B ．2-C ．1D ．2 5. 曲线x x y ln 2-=在点)2,1(处的切线方程为A ．1--=x yB ．3+-=x yC ．1+=x yD ．1-=x y 6．已知图1、图2分别表示A 、B 两城市某月1日至6日当天最低气温的数据折线图(其中横轴n 表示日期,纵轴x 表示气温)，记A 、B 两城市这6天的最低气温平均数分别为A x 和B x ,标准差分别为A s 和B s ．则A ．B A x x >，B A s s > B ．B A x x >，B A s s <C ．B A x x <，B A s s >D ．B A x x <，B A s s <51015510157．已知p ：3k >；q ：方程22131x y k k +=--表示双曲线．则p 是q 的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 8．如右图，已知一个锥体的正（主）视图，侧（左）视图和 俯视图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥 体的体积为A ．24B ．8C ．12D ．49．因为某种产品的两种原料相继提价，所以生产者决定对产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价%p ，第二次提价%q ； 方案乙：第一次提价%q ，第二次提价%p ； 方案丙：第一次提价%2p q +，第二次提价%2p q+， 其中0>>q p ，比较上述三种方案，提价最多的是A ．甲B ．乙C ．丙D ．一样多 10．先后抛掷一枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6），所得向上点数分别为m 和n ，则函数311201132y mx nx =-+在),1[∞+上为增函数的概率是 A.23 B. 34 C. 56 D. 79二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答．11．已知点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则x y u -=的取值范围是 ．正(主)视图侧(左)视图12．定义⎩⎨⎧≥<=.,,,*b a b b a a b a 已知3.03=a ，33.0=b ，3.0log 3=c ，则=c b a *)*( ．（结果用a ，b ，c 表示）13．如图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形（如图2），再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形（如图3），…，依此类推．设第n 个图中原三角形被剖分成n a 个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为 ；=100a ．图1 图2 图3（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线θρcos 4=与cos 4ρθ=的交点为A ,点M 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛π32，，则线段AM 的长为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90B ，4=AB ，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，2=AD ，则C ∠的大小为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．AB CD… …已知函数⎪⎭⎫⎝⎛--=2sin 2cos 2cos 2sin32)(22x xx x x f ． （1）求函数)(x f 的最大值并求出此时x 的值； （2）若0)(=x f ，求)2sin(sin )cos(sin x x x x -π++π+的值．17．（本小题满分12分）某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：（1）求分布表中s ，t 的值；（2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？ （3）已知第一组的学生中男、女生均为2人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．（1）求证：AM ∥平面BEC ； （2）求证：⊥BC 平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．F EDCBA 图1ABCDFE 图2M20．（本小题满分14分）执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（1）若输入λ= （2）若输入2＝λ，令11-=n n a b ，证明}{n b 是等差数列，并写出数列}{n a 的通项公式；（3）若输入25=λ，令212--=n n n a a c ，2011321201132c c c c T ++++= ． 求证：98<T ．21．（本小题满分14分）已知函数()e x f x =（e 为自然对数的底数），x a a x f x f x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=1)()()(，∈x R ,0>a ．（1）判断函数)(x g 的奇偶性,并说明理由；（2）求函数)(x g 的单调递增区间；（3）证明：对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立．2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 11． ]1,1[-． 12．c ． 13．18； 298 ． 14．32． 15．30． 说明：第13题第一空2分，第二空3分. 三、解答题 16．（本小题满分12分） 已知函数22()cos (cos sin ).2222x x x xf x =-- （1）求函数)(x f 的最大值并求出此时x 的值；（2）若0)(=x f ，求sin cos(π)πsin sin()2x x x x +++-的值. 解：（1）22π()cos (cos sin )cos 2sin()22226x x x x f x x xx =--=-=- ………2分当ππ2π+,62x k k -=∈Z ，即2π2π+,3x k k =∈Z 时，()f x 取得最大值为2. ………6分（2）令()0f x =时，得tan x =. …………8分 ∴sin cos()sin cos tan 12.sin cos tan 1sin sin()2x x x x x x x x x x ππ++--===+++- …………12分17．（本小题满分12分）某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330( 1 )求分布表中，的值；（2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？ （3）已知第一组的学生中男、女生均为2人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．解：（1） 80.240s ==，10.10.30.250.15t s =----=．……………4分 （2）设应抽取x 名第一组的学生，则20,440x =得2x =． 故应抽取2名第一组的学生． ………………6分 （3）在（II ）的条件下应抽取2名第一组的学生．记第一组中2名男生为12,a a ，2名女生为12,b b ．按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种等可能的结果，列举如下：121112212212,,,,,a a a b a b a b a b bb ． ………………9分其中既有男生又有女生被抽中的有11122122,,,a b a b a b a b 这4种结果，……10分 所以既有男生又有女生被抽中的概率为42.63P == ……………12分 18．(本小题满分14分)如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2． （1）求证：AM ∥平面BEC ；（2）求证：⊥BC 平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.M AFBCDEMCG M AFBCD E N图1 图2（1）证明：取EC 中点N ，连结BN MN ,． 在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， 所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =． ………………3分 所以四边形ABNM 为平行四边形．所以BN ∥AM ． ……………4分 又因为⊂BN 平面BEC ，且⊄AM 平面BEC ，所以AM ∥平面BEC ． …………5分 （2）证明：在正方形ADEF 中，ED AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =， 所以⊥ED 平面ABCD ．所以ED BC ⊥． ……………7分在直角梯形ABCD 中，1==AD AB ，2=CD ，可得2=BC ．在△BCD 中，2,2===CD BC BD ， 所以222CD BC BD =+．所以BC BD ⊥． ……………………8分 所以BC ⊥平面BDE ． ………………10分 （3）解法一：由（2）知，BC ⊥平面BDE又因为BC ⊂平面BCE ， 所以平面BDE ⊥平面BEC ． ……………………11分过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ，则⊥DG 平面BEC所以点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度 ………………………12分在直角三角形BDE 中，DG BE DE BD S BDE ⋅=⋅=∆2121所以3632==⋅=BE DE BD DG 所以点D 到平面BEC 的距离等于36. ………………………14分解法二：由（2）知，BD BC BE BC ⊥⊥, 所以,1222121=⋅⋅=⋅=∆BC BD S BCD .26322121=⋅⋅=⋅=∆BC BE S BCE ……………12分 又BCE D BCD E V V --=，设点D 到平面BEC 的距离为.h 则⋅=⋅∆3131DE S BCD h S BCE ⋅∆ 所以 36261==⋅=∆∆BCE BCD S DE S h 所以点D 到平面BEC 的距离等于36. ……………14分 19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．解：(1)解法一：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由椭圆的定义知:22224,1,3a c b a c ====-= 得 3,2==b a故C 的方程为13422=+y x . ..............4分解法二：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，依题意，122=-b a ①， 将点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M 坐标代入得12312222=⎪⎭⎫⎝⎛+b a ② 由①②解得3,422==b a ，故C 的方程为13422=+y x . .........4分 （2）因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以22143m n +=，则1342222=+>+n m n m ， 从而圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离r nm d =<+=1122，所以直线l 与圆O 相交. ........... 8 分 直线l 被圆O 所截的弦长为22211212n m d L +-=-=341112413112222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=m m m...............10 分,31341141,4341340222≤+≤≤+≤∴≤≤m m m 3362≤≤∴L . ...............14 分 20．(本小题满分14分)执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（1）若输入λ=（2）若输入2＝λ，令11-=n n a b ，证明}{n b 是等差数列，并写出数列}{n a 的通项公式；（3）若输入25=λ，令212--=n n n a a c ，2011321201132c c c c T ++++= ．求证：98<T ．解:（1）输出结果为0……4分（注：写对第一个数给1分，写对二个数得2分.） （2）当2＝λ时，111111---=-++n n n n a a b b 111211----=n na a 1112----=n n n a a a 1-=（常数），*N ∈n ，2010≤n ． 所以，}{n b 是首项11-=b ，公差1-=d 的等差数列．……6分 故n b n -=，n a n -=-11，数列}{n a 的通项公式为n a n 11-=，*N ∈n ，2011≤n ． ………9分 （3）当25＝λ时，n n a a -=+2511，212--=n n n a a c41212212412122211252212212111=----⋅=------=----=+++n n n n n n nn n n n n nn a a a a a a a a a a a a c c ， ……………………………11分 ∴}{n c 是以21为首项，41为公比的等比数列．nn n c ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=-41241211n n c n c c c T ⋅++++= 32132nn ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=41241641441232＋＋＋143241241641441241+⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n T ＋＋＋两式作差得1432412412412412412412411+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nn n T ＋＋即 111121443121121214434414n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-118181881811943499434nn n n n n n T ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--=--⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦………13分当2011=n 时，201120128818182011994349T ⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅<⎪⎪⎝⎭⎝⎭……14分 21．（本小题满分14分）已知函数()e xf x =（e 为自然对数的底数），x a a x f x f xg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=1)()()(，∈x R ,0>a ．（1）判断函数)(x g 的奇偶性,并说明理由； （2）求函数)(x g 的单调递增区间；（3）证明：对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立． 解: （1） 函数)(x g 的定义域为R ，且11()()()()()()g x f x f x a x f x f x a x g x a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--++=----+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴ 函数)(x g 是奇函数. …………2分 （2）2111()e e e e e 1e (e )(e )x x x x x x x xg x a a a a a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=+-+=-++=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦……………3分当1a =时，2'()e (e 1)0x x g x -=-≥且当且仅当0x =时成立等号，故()g x 在R 上递增； ………………4分 当01a <<时，1a a <，令'()0g x >得1e x a>或e xa <， 故()g x 的单调递增区间为(,ln )a -∞或(ln ,)a -+∞；…………5分 当1a >时，1a a >，令'()0g x >得e xa >或1e x a<， 故()g x 的单调递增区间为(,ln )a -∞-或(ln ,)a +∞．……………6分 （3）不妨设21x x >,2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+⇔121212212e e e e e2x xx x x x x x +-+<<-, 12211221222212ee ee 12x x x x x x x x x x -----+⇔<<- ………7分令0221>-=x x x ,则只需证e e e e 122x x x x x ---+<< ……8分 先证e e 12x x x--<, 由（2）知()e e 2x xg x x -=--在R 上递增,∴ 当0>x 时，()(0)0g x g >=∴ e e 2xxx -->，从而由0>x 知e e 12x xx--<成立； ……………10分再证e e e e 22x x x x x ---+<，即证：e e e ex xx xx ---<+， 令e e ()e e x x x x h x x ---=-+，则222e 12()1e 1e 1x x x h x x x -=-=--++是减函数， ∴当0>x 时，0)0()(=<h x h ，从而e e e e x xxxx ---<+成立. ………13分 综上，对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立. ……14分。
2011年广东省深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)(含答案)
绝密★启用前 试卷类型：A2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科） 2011.4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为Sh V 31=． 一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设集合}5,4,3,2,1{=U ，}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则)(B A U等于A ．}2{B ．}5{C ．}4,3,2,1{D ．}5,4,3,1{ 2．复数(1)z i i =+（i 为虚数单位）的模等于 A ．1 B. 2 C. 0 D. 23．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，且4=a ，34=b ，︒=∠30A ，则B ∠等于A ．030 B ．030或0150 C ．060 D ．060或0120 4．已知向量)1,1(=a ，),2(n =b ，若b a ⊥，则n 等于A ．3-B ．2-C ．1D ．2 5. 曲线x x y ln 2-=在点)2,1(处的切线方程为A ．1--=x yB ．3+-=x yC ．1+=x yD ．1-=x y 6．已知图1、图2分别表示A 、B 两城市某月1日至6日当天最低气温的数据折线图(其中横轴n 表示日期,纵轴x 表示气温)，记A 、B 两城市这6天的最低气温平均数分别为A x 和B x ,标准差分别为A s 和B s ．则A ．B A x x >，B A s s > B ．B A x x >，B A s s <C ．B A x x <，B A s s >D ．B A x x <，B A s s <7．已知p ：3k >；q ：方程22131x y k k +=--表示双曲线．则p 是q 的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 8．如右图，已知一个锥体的正（主）视图，侧（左）视图和 俯视图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥 体的体积为A ．24B ．8C ．12D ．49．因为某种产品的两种原料相继提价，所以生产者决定对产品分两次提价，现在有三种提价方案：正(主)视图侧(左)视图4651015图1 51015图2方案甲：第一次提价%p ，第二次提价%q ； 方案乙：第一次提价%q ，第二次提价%p ； 方案丙：第一次提价%2p q +，第二次提价%2p q+， 其中0>>q p ，比较上述三种方案，提价最多的是A ．甲B ．乙C ．丙D ．一样多 10．先后抛掷一枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6），所得向上点数分别为m 和n ，则函数311201132y mx nx =-+在),1[∞+上为增函数的概率是 A.23 B. 34 C. 56 D. 79二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答．11．已知点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则x y u -=的取值范围是 ．12．定义⎩⎨⎧≥<=.,,,*b a b b a a b a 已知3.03=a ，33.0=b ，3.0log 3=c ，则=c b a *)*( ．（结果用a ，b ，c 表示）13．如图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形（如图2），再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形（如图3），…，依此类推．设第n 个图中原三角形被剖分成n a 个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为 ；=100a ．图1 图2 图3… …（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线θρcos 4=与cos 4ρθ=的交点为A ,点M 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛π32，，则线段AM 的长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90B ，4=AB ，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，2=AD ，则C ∠的大小为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数⎪⎭⎫⎝⎛--=2sin 2cos 2cos 2sin32)(22x xx x x f ． （1）求函数)(x f 的最大值并求出此时x 的值； （2）若0)(=x f ，求)2sin(sin )cos(sin x x x x -π++π+的值．17．（本小题满分12分）某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：（1）求分布表中s ，t 的值；（2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生AB CD中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？ （3）已知第一组的学生中男、女生均为2人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．18．（本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．（1）求证：AM ∥平面BEC ； （2）求证：⊥BC 平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．F E D CBA 图1ABCDFE 图2M20．（本小题满分14分）执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（1）若输入λ，写出输出结果； （2）若输入2＝λ，令11-=n n a b ，证明}{n b 是等差数列，并写出数列}{n a 的通项公式；（3）若输入25=λ，令212--=n n n a a c ，2011321201132c c c c T ++++= ． 求证：98<T ．21．（本小题满分14分）已知函数()e xf x =（e 为自然对数的底数），x a a x f x f xg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=1)()()(，∈x R ,0>a ．（1）判断函数)(x g 的奇偶性,并说明理由； （2）求函数)(x g 的单调递增区间；（3）证明：对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立．2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 11． ]1,1[-． 12．c ． 13．18； 298 ． 14．32．15．30．说明：第13题第一空2分，第二空3分. 三、解答题 16．（本小题满分12分） 已知函数22()cos (cos sin ).2222x x x xf x =-- （1）求函数)(x f 的最大值并求出此时x 的值；（2）若0)(=x f ，求sin cos(π)πsin sin()2x x x x +++-的值. 解：（1）22π()cos (cos sin )cos 2sin()22226x x x x f x x x x =--=-=- …………2分 当ππ2π+,62x k k -=∈Z ，即2π2π+,3x k k =∈Z 时，()f x 取得最大值为2. …………6分（2）令()0f x =时，得tan x =. …………8分∴sin cos()sin cos tan 12.sin cos tan 1sin sin()2x x x x x x x x x x ππ++--===+++- ………12分17．（本小题满分12分）某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330 分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：( 1 )求分布表中，的值；（2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？ （3）已知第一组的学生中男、女生均为2人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．解：（1） 80.240s ==，10.10.30.250.15t s =----=．…………………………4分 （2）设应抽取x 名第一组的学生，则20,440x =得2x =． 故应抽取2名第一组的学生． …………………………6分 （3）在（II ）的条件下应抽取2名第一组的学生．记第一组中2名男生为12,a a ，2名女生为12,b b ．按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种等可能的结果，列举如下：121112212212,,,,,a a a b a b a b a b bb ． ……………………………9分其中既有男生又有女生被抽中的有11122122,,,a b a b a b a b 这4种结果，………………10分 所以既有男生又有女生被抽中的概率为42.63P == …………………………12分 18．(本小题满分14分)如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2． （1）求证：AM ∥平面BEC ；G M AFBCD E N（2）求证：⊥BC 平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.图1 图2（1）证明：取EC 中点N ，连结BN MN ,． 在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， 所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =． …………………………3分 所以四边形ABNM 为平行四边形．所以BN ∥AM ． …………………………4分 又因为⊂BN 平面BEC ，且⊄AM 平面BEC ，所以AM ∥平面BEC ． ……………………5分 （2）证明：在正方形ADEF 中，ED AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =， 所以⊥ED 平面ABCD ．所以ED BC ⊥． ……………………7分 在直角梯形ABCD 中，1==AD AB ，2=CD ，可得2=BC ．在△BCD 中，2,2===CD BC BD ， 所以222CD BC BD =+．所以BC BD ⊥． …………………………8分 所以BC ⊥平面BDE ． …………………………10分 （3）解法一：由（2）知，BC ⊥平面BDEM AFBCDEMC又因为BC ⊂平面BCE ， 所以平面BDE ⊥平面BEC ．……………………11分 过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ，则⊥DG 平面BEC所以点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度 …………………12分 在直角三角形BDE 中，DG BE DE BD S BDE ⋅=⋅=∆2121 所以3632==⋅=BE DE BD DG 所以点D 到平面BEC 的距离等于36. ………………………14分 解法二：由（2）知，BD BC BE BC ⊥⊥, 所以,1222121=⋅⋅=⋅=∆BC BD S BCD .26322121=⋅⋅=⋅=∆BC BE S BCE ………………………12分 又BCE D BCD E V V --=，设点D 到平面BEC 的距离为.h 则⋅=⋅∆3131DE S BCD h S BCE ⋅∆ 所以 36261==⋅=∆∆BCE BCD S DE S h 所以点D 到平面BEC 的距离等于36. ………………………14分 19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．解：(1)解法一：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由椭圆的定义知:22224,1,3a c b a c ===-= 得 3,2==b a故C 的方程为13422=+y x . ...............4分 解法二：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，依题意，122=-b a ①， 将点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M 坐标代入得12312222=⎪⎭⎫⎝⎛+b a ② 由①②解得3,422==b a ，故C 的方程为13422=+y x . .............4分 （2）因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以22143m n +=，则1342222=+>+n m n m ， 从而圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离r nm d =<+=1122，所以直线l 与圆O 相交. ............... 8 分 直线l 被圆O 所截的弦长为22211212nm d L +-=-=341112413112222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=m m m...............10 分,31341141,4341340222≤+≤≤+≤∴≤≤m m m 3362≤≤∴L . ...............14 分 20．(本小题满分14分)执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（1）若输入λ= （2）若输入2＝λ，令11-=n n a b ，证明}{n b 是等差数列，并写出数列}{n a 的通项公式；（3）若输入25=λ，令212--=n n n a a c ，2011321201132c c c c T ++++= ．求证：98<T ．解:（1）输出结果为0.………………4分（注：写对第一个数给1分，写对二个数得2分.） （2）当2＝λ时，111111---=-++n n n n a a b b 111211----=n na a 1112----=n n n a a a 1-=（常数），*N ∈n ，2010≤n ． 所以，}{n b 是首项11-=b ，公差1-=d 的等差数列．……………………6分 故n b n -=，n a n -=-11，数列}{n a 的通项公式为n a n 11-=，*N ∈n ，2011≤n ．…………………………9分 （3）当25＝λ时，n n a a -=+2511，212--=n n n a a c41212212412122251122212212111=----⋅=------=----=+++n n n n n n nn n n n n nn a a a a a a a a a a a a c c ， ……………………………11分 ∴}{n c 是以21为首项，41为公比的等比数列．nn n c ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=-41241211n n c n c c c T ⋅++++= 32132nn ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=41241641441232＋＋＋143241241641441241+⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n T ＋＋＋两式作差得1432412412412412412412411+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nn n T ＋＋即 111121443121121214434414n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 118181881811943499434n n n n n n n T ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦………………………13分当2011=n 时，201120128818182011994349T ⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅<⎪⎪⎝⎭⎝⎭………………14分 21．（本小题满分14分）已知函数()e xf x =（e 为自然对数的底数），x a a x f x f xg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=1)()()(，∈x R ,0>a ．（1）判断函数)(x g 的奇偶性,并说明理由； （2）求函数)(x g 的单调递增区间；（3）证明：对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立． 解: （1） 函数)(x g 的定义域为R ，且11()()()()()()g x f x f x a x f x f x a x g x a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--++=----+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴ 函数)(x g 是奇函数. ……………2分 （2）2111()e e e e e 1e (e )(e )x x x x x x x xg x a a a a a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=+-+=-++=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (3)分当1a =时，2'()e (e 1)0x x g x -=-≥且当且仅当0x =时成立等号，故()g x 在R 上递增；………………4分 当01a <<时，1a a <，令'()0g x >得1e x a>或e xa <， 故()g x 的单调递增区间为(,ln )a -∞或(ln ,)a -+∞； ………………5分 当1a >时，1a a >，令'()0g x >得e xa >或1e x a<， 故()g x 的单调递增区间为(,ln )a -∞-或(ln ,)a +∞． ……………6分 （3）不妨设21x x >,2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+⇔121212212e e e e e2x xx x x x x x +-+<<-,12211221222212ee ee 12x x x x x x x x x x -----+⇔<<- ………………7分令0221>-=x x x ,则只需证e e e e 122x x x x x ---+<< ………………8分 先证e e 12x xx--<, 由（2）知()e e 2x x g x x -=--在R 上递增,∴ 当0>x 时，()(0)0g x g >=∴ e e 2xxx -->，从而由0>x 知e e 12x xx--<成立； ………………10分再证e e e e 22x x x x x ---+<，即证：e e e ex xxxx ---<+， 令e e ()e e x x x x h x x ---=-+，则222e 12()1e 1e 1x x x h x x x -=-=--++是减函数， ∴当0>x 时，0)0()(=<h x h ，从而e e e ex xxxx ---<+成立. ………………13分综上，对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立.……………14分。
惠州市2011届高三第二次调研考试数学(理科)答案(已修正)
1,n 4
1 ∴椭圆 E
3
的方程
x2 4
y2 3
1
数学试题（理科）答案
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……2 分
（2） |
FH
|
2 ，设 A DFH
边上的高为 h ， SA DFH
1 2h 2
h
设 A DFH 的内切圆的半径为 R ，因为 A DFH 的周长为定值 6．
……3 分
所以
1 2
R
6
3R
16．（本题满分 12 分）
解：（1）当
x
时
，
a
(
3 ,1)
6
22
…………1 分
cos a, c
a c
|a||c|
a, c 0, .
3 (1) 1 0
2
2
3
…………3 分
3 2
2
1 2
2
p(4, 6 y1 ), 同理可求得直线 BN 与直线 x 4 的交点坐标为 Q(4, 2 y2 ) ．…11 分
x1 2
x2 2
下面证明 P 、 Q 两点重合，即证明 P 、 Q 两点的纵坐标相等：
y1 k(x1 1), y2 k(x2 1) ，
6 y1 2 y2 6k(x1 1)(x2 2) 2k(x2 1)(x1 2)
15．【解析】两圆的标准方程为 (x 1 )2 y2 1 ， x2 ( y 1 )2 1 ，
2
4
24
数学试题（理科）答案
2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科) 2
2011年深圳市高三年级第一次调研考试一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知a b ∈R ，，若3i 1i i a b +=+⋅()（其中i 为虚数单位），则A ．11a b =-=，B ．11a b =-=-，C ．11a b ==-，D ．11a b ==，2．已知p ：“a =，q ：“直线0x y +=与圆221x y a +-=()相切”．则p 是q 的 A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11S =，424SS =，则64S S 的值为A ．94B ．32C ．54D ．44．如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是 A ．24πB ．34πC ．22πD ．32π5．在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库．一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是A ．450元B ．500元C ．550元D ．600元6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．210040020一号 二号 三号 四号五号正(主)视图 侧(左)视图B ．1C ．23D ．137．设平面区域D 是由双曲线2214y x -=的两条渐近线和直线680x y --=所围成三角形的边界及内部．当,x y D ∈()时，222x y x ++的最大值为A ．24B ．25C ．4D ．78．已知函数f x ()的定义域为 1 5-[，]，部分对应值如下表．f x ()的导函数y f x '=()的图象如图所示．下列关于函数f x ()的命题：①函数y f x =()是周期函数；②函数f x ()在0 2[，]是减函数； ③如果当1 x t ∈-[，]时，f x ()的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数y f x a =-()有4个零点． 其中真命题的个数有 A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题：9．已知全集U =R ，集合A 为函数ln 1f x x =-()()的定义域，则U A ð= ． 10．设随机变量2~N 1 3X (，)，且06P X P X a ≤=>-()()，则实数a 的值为 ．11．在ABC ∆中，已知a b c ，，分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积．若向量2224 1p a b c q S =+-=()()，，，满足//p q ，则C ∠=．12．已知命题“x ∃∈R ，12x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．13．已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则二项式6(的展开式中含2x 项的系数是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或 “：=” ）14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设P 是直线 :cos sin 4l ρθθ+=()上任一点，Q 是圆24cos 3C ρρθ=-:上任一点，则PQ 的最小值是 ．15．（几何证明选讲）如图，割线PBC 经过圆心O ，1OB PB ==，OB 绕点O 逆时针旋转120︒到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数cos sin 2424x x f x x ππ=++-+π()()()()．（1）求f x ()的最小正周期； （2）若将f x ()的图象向右平移6π个单位，得到函数g x ()的图象，求函数g x ()在区间0π[，]上的最大值和最小值．17．（本小题满分12分）第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ）： 男 女9 15 7 7 8 9 9 9 8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 7 4 2 1 18 0 1BCDE PO1 19若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．18．（本小题满分14分）如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，30BAC ∠=︒，BM AC ⊥交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，//FC EA ，431AC EA FC ===，，．（1）证明：EM BF ⊥；（2）求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．19．（本小题满分14分）已知点F 是椭圆222101x y a a+=>+()的右焦点，点 0M m (，)、0 N n (，)分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0MN NF ⋅=．若点P 满足2OM ON PO =+．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹C 交于A 、B 两点，直线OA ，OB 与直线x a =-分别交于点S ，T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．AB CEFMO20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求1a ，d 和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式81n n T n λ<+⋅-()恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m n ，1m n <<()，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有m n ，的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数ln 1af x x a x =+∈+R ()()． （1）当92a =时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较f x ()与1的大小；（3）求证：1111ln 135721n n +>+++++()n ∈*N ()．2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 9． (,1]-∞ ． 10．8 ． 11．4π． 12．(,3)(1,)-∞-+∞． 13． 192-． 14． 12-． 15．773． 三、解答题 16．（本小题满分12分） 已知函数)sin()42cos()42sin(32)(πππ+-++=x x x x f ． （1）求)(x f 的最小正周期； （2）若将)(x f 的图象向右平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象，求函数)(x g 在区间],0[π上的最大值和最小值． 解：（1）x x x f sin )2sin(3)(++=πx x sin cos 3+= …………………………………………………2分 )cos 23sin 21(2x x +=)3sin(2π+=x ． …………………………………………………4分所以)(x f 的最小正周期为π2． …………………………………………………6分（2） 将)(x f 的图象向右平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象， ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=3)6(sin 2)6()(πππx x f x g )6sin(2π+=x ． …………………………………………………8分[0,]x π∈时，]67,6[6πππ∈+x ， …………………………………………………9分 ∴当26ππ=+x ，即3π=x 时，sin()16x π+=，)(x g 取得最大值2． …………10分当766x ππ+=，即x π=时，1sin()62x π+=-，)(x g 取得最小值1-．………12分 【说明】 本小题主要考查了三角函数中诱导公式、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式、三角函数的性质和图象，以及图象变换等基础知识，考查了化归思想和数形结合思想，考查了运算能力． 17．（本小题满分12分）第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，调查发现，这30名志愿者的身高如下：（单位：cm ） 男 女9 15 7 7 8 9 9 9 8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 7 4 2 1 18 0 1 1 19若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，则至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，…………………………1分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是61305=， …………………………2分 所以选中的“高个子”有26112=⨯人，“非高个子”有36118=⨯人．…………………3分用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”，则()P A =-12523C C 1071031=-=． ………………………………5分因此，至少有一人是“高个子”的概率是107． ……………………………6分 （２）依题意，ξ的取值为0,1,2,3． ……………………………7分5514C C )0(31238===ξP ， 5528C C C )1(3122814===ξP ， 5512C C C )2(3121824===ξP ， 551C C )3(31234===ξP ． …………………………9分 因此，ξ的分布列如下：………………10分15513551225528155140=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E ． …………………………12分【说明】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识．18．(本小题满分14分)如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，︒=∠30BAC ，AC BM ⊥交AC 于点 M ，⊥EA 平面ABC ，EA FC //，134===FC EA AC ，，． （1）证明：BF EM ⊥；（2）求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值． 解：（法一）（1）⊥EA 平面ABC ，⊂BM 平面ABC ， BM EA ⊥∴．……………1分 又AC ，BM ⊥ A AC EA =⋂， ⊥∴BM 平面ACFE ， 而⊂EM 平面ACFE ，EM BM ⊥∴． ………………………………………3分AC 是圆O 的直径，90ABC ∴∠=． 又，BAC ︒=∠30 4=AC ， ，，BC AB 232==∴1,3==CM AM ． ⊥EA 平面ABC ，EA FC //，1=FC ， ⊥∴FC 平面ABCD ．∴EAM ∆与FCM ∆都是等腰直角三角形． ︒=∠=∠∴45FMC EMA ． ︒=∠∴90EMF ，即MF EM ⊥（也可由勾股定理证得）．………………………………5分A B C E F M OM BM MF =⋂ ， ⊥∴EM 平面MBF ． 而⊂BF 平面MBF ，⊥∴EM BF ． ………………………………………………………………………………6分 （2）延长EF 交AC 于G ，连BG ，过C 作CH BG ⊥，连结FH ． 由（1）知FC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ， FC BG ∴⊥．而FC CH C ⋂=，BG ∴⊥平面FCH ． FH ⊂平面FCH ， FH BG ∴⊥，FHC ∴∠为平面BEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角． ……………………8分 在ABC Rt ∆中， ︒=∠30BAC ，4=AC ，330sin =⋅=∴ AB BM ．由13FC GC EA GA ==，得2GC =． 3222=+=MG BM BG ．又GBM GCH ∆∆~ ，BM CH BG GC =∴，则13232=⨯=⋅=BG BM GC CH ． ………………………………11分 FCH ∴∆是等腰直角三角形， 45=∠FHC ．∴平面BEF 与平面ABC………………………12分 （法二）（1）同法一，得33==BM AM ，． ………………………3分如图，以A 为坐标原点，垂直于AC 、AC 、AE 所在的直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系． 由已知条件得(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),A M EB (0,3,3),(3,1,1)ME BF ∴=-=-． ………4由(0,3,3)(,1)0ME BF ⋅=-⋅=，得⊥， BF EM ⊥∴． ……………（2）由（1）知(3,3,3),(3,1BE BF =--=-设平面BEF 的法向量为),,(z y x =，OHGABC EFMO由0,0,n BE n BF ⋅=⋅=得330y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，令3=x 得1,2y z ==，()3,1,2n ∴=， …………………………9分由已知⊥EA 平面ABC ，所以取面ABC 的法向量为(0,0,3)AE =， 设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，则cos cos ,2n AE θ→=<>==， …………………………11分 ∴平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为2． ……………………12分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．19．(本小题满分14分)已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．解：（1） 椭圆)0(11222>=++a y ax 右焦点F 的坐标为(,0)a ，………………1分 (,)NF a n ∴=-． (,)MN m n =-，∴由0=⋅NF MN ，得02=+am n ． …………………………3分设点P 的坐标为),(y x ，由PO ON OM +=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--，⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． …………………………5分（2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a， 则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=． ………………………………6分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==a x x y a y ,41，得214(,)a S a y --， 同理得224(,)a T a y --．…………………………8分214(2,)a FS a y ∴=--，224(2,)a FT a y =--，则4212164a FS FT a y y ⋅=+． ………9分 由⎩⎨⎧=+=ax y a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-． ……………………11分 则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a ． …………………………13分 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． …………………………………14分 (法二)①当AB x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =， :2OB l y x =-．由2,y x x a =⎧⎨=-⎩ 得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =--．由2,y x x a =-⎧⎨=-⎩得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =-．(2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=． ………………………………………7分②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y a y A 、),4(222y ayB ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+． …………………………………10分 由2(),4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-．……………………11分则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a ． …………………………13分 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． …………………………………14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想．20．(本小题满分14分)已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求1a 、d 和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）（法一）在221n n a S -=中，令1=n ，2=n ，得⎪⎩⎪⎨⎧==,,322121S a S a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,33)(,121121d a d a a a ……………………………………2分解得11=a ，2=d ， ………………………………………3分21n a n ∴=-．111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， 111111(1)2335212121n nT n n n ∴=-+-++-=-++． ……………………5分 （法二） {}n a 是等差数列， n n a a a =+∴-2121 )12(212112-+=∴--n a a S n n n a n )12(-=． …………………………2分 由221n n a S -=，得 n n a n a )12(2-=，又0n a ≠，21n a n ∴=-，则11,2a d ==． ………………………3分(n T 求法同法一)（2）①当n 为偶数时，要使不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8217n n n n nλ++<=++恒成立． …………………………………6分828n n+≥，等号在2n =时取得． ∴此时λ 需满足25λ<． …………………………………………7分②当n 为奇数时，要使不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8215n n n n nλ-+<=--恒成立． …………………………………8分82n n -是随n 的增大而增大， 1n ∴=时82n n-取得最小值6-．∴此时λ 需满足21λ<-． …………………………………………9分综合①、②可得λ的取值范围是21λ<-． …………………………………………10分 （3）11,,32121m n m n T T T m n ===++， 若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21321m nm n =++，即2244163m n m m n =+++．…11分 （法一）由2244163m n m m n =+++， 可得2232410m m n m -++=>， 即22410m m -++>， (12)分∴11m <<． ……………………………………13分 又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =．因此，当且仅当2m =， 12n =时，数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列．…………14分（法二）因为1136366n n n=<++，故2214416m m m <++，即22410m m --<，∴11m <<，（以下同上）． …………………………………………13分 【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识；考查了学生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力． 21．（本小题满分14分）已知函数()ln ()1af x x a x =+∈+R ．（1）当29=a 时，如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小； （3）求证：121715131)1ln(+++++>+n n （n *N ∈）． 解：（1）当29=a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞， 22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x x x f ， 令0)(='x f ，得21=x 或2=x ． …2分 当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在)21,0(、),2(+∞上单调递增，在)2,21(上单调递减． ……………4分)(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ．当0+→x 时，-∞→)(x f ； 当+∞→x 时，+∞→)(x f ， ∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 23+<k ．……………5分 （2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞． 令112ln 1)()(-++=-=x x x f x h ， 0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x x x h ， )(x h ∴在),0(+∞上是增函数． …………………………………7分①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． …………………………………9分（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ．令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ． ……………12分∑=+=+nk kk n 11ln)1ln( ， 1215131)1ln(++++>+∴n n ． ……………………………………14分 (法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=．3ln 2ln81=>，1ln 23∴>，即1n =时命题成立． ………………………………10分设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++．1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln 35211k k k +>++++++． 根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ．令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++，则有1111ln(2)352123k k k +>++++++，即1n k =+时命题也成立．……………13分因此，由数学归纳法可知不等式成立．（法三）如图，根据定积分的定义，得1121171151⨯+++⨯+⨯n ⎰+<n dx x 1121．……11)12(1212112111++=+⎰⎰x d x dx x n n ]3ln )12[ln(21)12ln(211-+=+=n x n ，∴121715131+++++n )12151(31++++=n ⎰++<dx x 11231 ]3ln )12[ln(2131-++=n ． ………………………………12分 11[ln(21)ln 3]ln(1)32n n ++--+=223ln 31[ln(21)ln(21)]62n n n -++-++， 又3ln 332<< ，)12ln()12ln(2++<+n n n ，)1ln(]3ln )12[ln(2131+<-++∴n n ． )1ln(1215131+<++++∴n n ． …………………………………14分 【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your moments of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face;And bending down beside the glowing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from bothYet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart.The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。
2011年深圳市高三年级第二次调研考试物理(word版)
2011年深圳市高三年级第二次调研考试理科综合(物理)第I卷（选择题共118分）一、单项选择题（每个小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，共16题，每题4分，共64分。
其中1—6为小题为生物，7—12小题为化学，13—16小题为物理）13、下列说法正确的是A．爱因斯坦提出“光子说”并成功解释了光效应现象B．汤姆生发现了电子并提出了原子的核式结构模型C．卢瑟福发现了质子和中子D．玻尔理论成功解释了所有原子的光谱14、关于放电现象，下列说法正确的是A．产生放射线的过程是原子核的裂变过程B．放射性同位素可以作为示踪原子C．各种放射线都是电磁波D．放射性物质的半衰期随时间的增加而变短15、下列说法正确的是A．被压缩的物体其分子间只存在相互作用的斥力；B．分子间距离增大则分子势能一定变大C．温度是物体分子平均动能大小的标志D．显微镜下观察到的布朗运动就是液体分子的无规则运动16、如图，某物体静止在斜面上，现对物体施加一不断增大的竖直向下的力F，则A．物体受到的支持力不断增大B．物体受到的摩擦力先增大后减小C．物体受到的合外力不断增大D．当F增大到某一值时物体开始沿斜面下滑二、双项选择题（每个小题给出的四个选项中，有两个选项符合题目要求，共9题，每题6分，共54分，全选对得6分，只选1个且正确得3分，错误、不选得0分。
其中17—21小题为物理，22—23小题为化学，24—25小题为生物）17、关于人造地球卫星的说法正确的是A．卫星运行的轨道半径变大其周期变小B．同步卫星只能在距离地面一定高度的赤道上空运行C．人造卫星在轨道上运行时处于完全失重状态D．所有人造地球卫星的运行速度都大于第一宇宙速度18、在距水平地面一定高度的某点，同时将两物体分别沿竖直方向与水平方向抛出（不计空气阻力），则两物体A．都是匀变速运动B．单位时间内速度的改变量不同C．一定同时落地D．竖直方向的位移相同19、一电子仅受电场力作用，从高电势处移动到低电势处，则A．电场力对电子做正功B．电子的电势能减少C．电子的动能减少D．电子的动能和电势能的总和保持不变20、如图，足够长的光滑导轨倾斜放置，其下端连接一个灯泡，匀强磁场垂直于导轨所在平面（导轨和导线电阻不计），则垂直导轨的导体棒ab在下滑过程中A．受到的安培力方向沿斜面向上B．受到的安培力一直增大C．导体棒的机械能一直增大D．克服安培力做的功等于灯泡消耗的电能21、闭合回路由电阻R与导线组成，其内部磁场大小按B-t图变化，方向如图，则回路中A．电流方向为顺时针方向B．电流强度越来越大C．磁通量的变化率恒定不变D．产生的感应电动势越来越大第Ⅱ卷（非选择题共182分）三、非选择题（共11小题，共182分。
广东省深圳市2011届高三第二次调研考试(数学理)
绝密★启用前 试卷类型：A2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科） 2011.4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为Sh V 31=． 若X ～),(p n B ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设集合}5,4,3,2,1{=U ，}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则)(B A U等于A ．}2{B ．}5{C ．}4,3,2,1{D ．}5,4,3,1{ 2．复数iiz -=1（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知a ，b 是非零向量，则a 与b 不共线．．．是||||||b a b a +<+的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件4．已知双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 43=，则此双曲线的离心率为A ．45 B ．34 C ．35D ．475．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若甲s ，乙s ，丙s 分别表示他们测试成绩的标准差，则 A ．丙乙甲s s s << B ．乙丙甲s s s << C ．丙甲乙s s s << D ．乙甲丙s s s <<6．已知△ABC 中，︒=∠30A ，AB ，BC 分别是23+，23－的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于 A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．23或437．学校准备从5位报名同学中挑选3人，分别担任2011年世界大学生运动会田径、游泳和球类3个不同项目比赛的志愿者，已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方法共有A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种8．设},,20,20|),{(R ∈<<<<=c a c a c a A ，则任取A c a ∈),(，关于x 的方程022=++c x ax 有实根的概率为A ．22ln 1+B ．22ln 1-C ．42ln 21+D ．42ln 23-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答．9．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）．10．已知函数21121)(-+=xx f 的定义域是R ，则)(x f 的值域是 ．正视图左视图图4图1图2图311．如图4，已知一个锥体的正视图（也称主视图），左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形， 且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积是 ． 12．如果对于任意的正实数x ，不等式1≥+xax 恒成立，则a 的取值范围是 ． 13．如图5，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和 1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（极坐标与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+==.sin 1,cos ϕϕy x （ϕ为参数，)2,0[π∈ϕ）．若以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图6，直角三角形ABC 中，︒=∠90B ，4=AB ，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，2=AD ，则C ∠的大小为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）设函数⎪⎭⎫⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω，R ∈x ． （1）若21＝ω，求)(x f 的最大值及相应的x 的集合； （2）若8π=x 是)(x f 的一个零点，且100<<ω，求ω的值和)(x f 的最小正周期．17．（本小题满分12分）为了评估天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近50多年的气象............第1行 ............第2行 ............第3行 ............第4行 ............第5行 (6)图5AB CD图6数据资料的统计分析，发现8月份是我市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天（如图7）．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．（1）求在大运会开幕（8月12日）后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率（精确到0.01）；（2）设大运会期间（8月12日至23日，共12天），发生雷电天气的天数为X ，求X 的数学期望和方差．18．（本小题满分14分）如图8，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直，如图9．（1）求证：平面⊥BDE 平面BEC ；（2）求平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小．FED CBAABCDFE图8图92468图719．（本小题满分14分）平面直角坐标系中，已知直线l :4=x ，定点)0,1(F ，动点),(y x P 到直线l 的距离是到定点F 的距离的2倍.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若M 为轨迹C 上的点，以M 为圆心，MF 长为半径作圆M ，若过点)0,1(-E 可作圆M 的两条切线EA ,EB （A ，B 为切点），求四边形EAMB 面积的最大值．20．（本小题满分14分）执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（1）若输入2＝λ，写出输出结果； （2）若输入2＝λ，求数列}{n a 的通项公式； （3）若输入2>λ，令1--=n n n pa pa c ，求常数p （1±≠p ），使得}{n c 是等比数列．21．（本小题满分14分）已知函数)(x f 满足如下条件：当]1,1(-∈x 时，)1ln()(+=x x f ，且对任意R ∈x ，都有1)(2)2(+=+x f x f ．（1）求函数)(x f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程；图10（2）求当]12,12(+-∈k k x ，*N ∈k 时，函数)(x f 的解析式； （3）是否存在]12,12(+-∈k k x k ，2011210，，，， =k ，使得等式201724019)](2[201220110+⨯=-∑=k kk kx f x成立？若存在就求出k x （2011210，，，， =k ），若不存在，说明理由．2011年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科)试题参考答案及评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．第9～13题为必做题，第14、15题为选做题，两题全答的，只计算前一题的得分．9． 10 10．⎪⎭⎫⎝⎛-21,21 11． 4 12．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,41 13． 55 14．θρsin 2= 15．︒30三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）设函数⎪⎭⎫⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω，R ∈x ． （1）若21＝ω，求)(x f 的最大值及相应的x 的集合；（2）若8π=x 是)(x f 的一个零点，且100<<ω，求ω的值和)(x f 的最小正周期．解 （1）x x x x x f ωωωωcos sin 2sin sin )(-=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+=， ………………1分 当21＝ω时，⎪⎭⎫⎝⎛-=42sin 22cos 2sin )(πx x x x f ＝－， ………………2分而142sin 1≤⎪⎭⎫⎝⎛π-≤-x ，所以)(x f 的最大值为2， ……………4分此时，π+π=π-k x 2242，∈k Z ，即π+π=k x 423，Z ∈k ， 相应的x 的集合为},423|{Z ∈π+π=k k x x ． ……………6分 （2）（法一）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2)(πωx x f ，所以，8π=x 是)(x f 的一个零点⇔048sin 8=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππωf ， ………………8分即π=π-πk 48ω，Z ∈k ，整理，得28+=k ω， 又100<<ω，所以10280<+<k ，141<<-k ，而Z ∈k ，所以0=k ，2=ω，…10分⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42sin 2)(x x f ，)(x f 的最小正周期为π． ………………12分（法二）8π=x 是)(x f 的一个零点⇔08cos 8sin 8=π-π=⎪⎭⎫⎝⎛πωωf ，即18tan =πω． ……………8分 所以48π+π=πk ω，Z ∈k ，整理，得28+=k ω， 又100<<ω，所以10280<+<k ，141<<-k ，而Z ∈k ，所以0=k ，2=ω， 10分⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42sin 2)(x x f ，)(x f 的最小正周期为π． ……………12分17．（本小题满分12分）为了评估天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近50多年的气象数据资料的统计分析，发现8月份是我市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天（如图7）．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．（1）求在大运会开幕（8月12日）后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率（精确到0.01）；（2）设大运会期间（8月12日至23日，共12天），发生雷电天气的天数为X ，求X 的数学期望和方差．解 （1）设8月份一天中发生雷电天气的概率为p ，由已知47.03157.14==p ． ……………2分 因为每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立， 所以，在大运会开幕后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率)47.01(47.0223-⨯⨯=C P351231.0=35.0≈． ……………6分（2）由已知X ～)47.0,12(B ． …………………8分所以，X 的数学期望64.547.012)(=⨯=X E ． …………………………10分X 的方差9892.247.0147.012)(）＝－（⨯⨯=X D ． …………………………12分 18．（本小题满分14分）如图8，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ．现以AD为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直，如图9．（1）求证：平面⊥BDE 平面BEC ；（2）求平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小． 证明（1）（法一）因为平面⊥ADEF 平面ABCD ， 且平面 ADEF 平面AD ABCD =， 又在正方形ADEF 中，AD ED ⊥，所以，⊥ED 平面ABCD ． ………………2分 而⊂BC 平面ABCD ，所以，BC ED ⊥． ………………3分 在直角梯形ABCD 中，2=CD ,22+=AD AB BD 2)(22=+-=AD AB CD BC ，所以，222CD BC BD =+，所以，BD BC ⊥． ………………4分 又ED ，⊂BD 平面BDE ，D BD ED = ， 所以，⊥BC 平面BDE ． ………………6分 而⊂BC 平面BEC ，所以，平面⊥BDE 平面BEC ． ……………7分（法二）同法一，得⊥ED 平面ABCD ． …………………………2分FE D CBA图82468图7以D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y z 轴，建立空间直角坐标系．则)0,0,0(D ，)0,1,1(B ，)0,2,0(C ，)1,0,0(E ． …………………………3分所以，)0,1,1(-=， )0,1,1(=，)1,0,0(=,000111)1(=⨯+⨯+⨯-=⋅，010010)1(=⨯+⨯+⨯-=⋅，所以，⊥，⊥． …………………………………5分又，不共线，DB ，⊂DE 平面BDE ，所以，⊥BC 平面BDE ． …………………………6分 而⊂BC 平面BEC ，所以，平面⊥BDE 平面BEC ． …………………………7分解 （2）（法一）因为AD EF //，⊄EF 平面ABCD ，⊂AD 平面ABCD ，所以，//EF 平面ABCD ． …………………………9分 因为平面EFB 与平面ABCD 有公共点B ，所以可设平面 EFB 平面BG ABCD =，CD G ∈．因为//EF 平面ABCD ，⊂EF 平面EFB ，平面 EFB 平面BG ABCD =， 所以BG EF //． ………………………10分 从而，AD BG //，又DG AB //，且1=AB ，2＝CD ，所以G 为CD 中点，ABGD 也为正方形． 12分 易知⊥BG 平面ECD ，所以EG BG ⊥，DG BG ⊥．所以，EGD ∠是平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的平面角， 而︒=∠45EGD ，所以平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为︒45． …………………………14分 （法二）由（1）知，平面ABCD 的一个法向量是)1,0,0(=m ． ………………9分 设平面EFB 的一个法向量为),,(z y x =n ，因为)0,0,1(==，)1,1,1()1,0,0()0,1,1(-=-=-=所以，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅==⋅.0,0z y x EB x n n 取1=y ，得1=z ，所以)1,1,0(=n ．………………11分设平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为θ， 则2221||||cos ==⋅=n m n m θ． ………………………………13分 所以平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为︒45． …………………………14分 19．（本小题满分14分）平面直角坐标系中，已知直线l :4=x ，定点)0,1(F ，动点),(y x P 到直线l 的距离是到定点F 的距离的2倍.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若M 为轨迹C 上的点，以M 为圆心，MF 长为半径作圆M ，若过点)0,1(-E 可作圆M 的两条切线EA ,EB （A ，B 为切点），求四边形EAMB 面积的最大值． 解（1）设点P 到l 的距离为d ，依题意得||2PF d =，即()2212|4y x x +-=-｜， ………………………………2分整理得，轨迹C 的方程为13422=+y x ． ………………………………4分 （2）（法一）设()00,y x M ，圆M ：()()22020r y y x x =-+-，其中2020)1(||y x MF r +-==由两切线存在可知，点E 在圆M 外， 所以，()()()20202020101y x y x +->-+--，即00>x ，又()00,y x M 为轨迹C 上的点，所以200≤<x ．而|4|212||0-==x d MF ，所以，2||1<≤MF ，即21<≤r ． ……………………6分 由（1）知，()0,1-E 为椭圆的左焦点，根据椭圆定义知，4||||=+MF ME ，所以r ME -=4||，而r MF MB ==|||｜， 所以，在直角三角形MEB 中，r r r EB 242)4(||22-=--=，r r MB EB S MEB 24||||21Δ-=⋅=， 由圆的性质知，四边形EAMB 面积S S MEB 22Δ==即23422r r S +-=（21<≤r ）．令2342r r y +-=（21<≤r ），则)43(2862--=+-='r r r r y ， 当341<<r 时，0>'y ，2342r r y +-=单调递增； 当234<<r 时，0<'y ，2342r r y +-=单调递减． 所以，在34=r 时，y 取极大值，也是最大值，此时3916244342223max=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=S ． …………………………14分（法二）同法一，四边形EAMB 面积r r S S MEB 2422Δ-==，其中21<≤r ．…10分所以39163242)24(23=⎪⎭⎫⎝⎛-++≤-⋅⋅=n n n r r r S ． 由r r 24-=，解得)2,1[34∈=r ，所以3916max =S ． ……………………14分 20．（本小题满分14分）执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（1）若输入2＝λ，写出输出结果； （2）若输入2＝λ，求数列}{n a 的通项公式； （3）若输入2>λ，令1--=n n n pa pa c ，求常数p （1±≠p ），使得}{n c 是等比数列．解 （1）输出结果是：0，22，2． (3)（2）（法一）由程序框图可知，01=a ，nn a a -λ=+11，*N ∈n ，≤n 所以，当2＝λ时，nn a a -=+211， …………………5分nnn n a a a a --=--=-+2112111， 而}{n a 中的任意一项均不为1，（否则的话，由11=+n a 可以得到1=n a ， …，与101≠=a 矛盾），所以，11112111--=--=-+n n n n a a a a ， 111111-=---+n n a a （常数），*N ∈n ，2010≤n ．故⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是首项为1-，公差为1-的等差数列， ……………………………7分 所以，n a n -=-11，数列}{n a 的通项公式为n a n 11-=，*N ∈n ，2011≤n ．…8分图10（法二）当2＝λ时，由程序框图可知，01=a ，212=a ，323＝a ，434=a ，……猜想nn a n 1-=，*N ∈n ，2011≤n ． …………………………………………5分 以下用数学归纳法证明： ①当1=n 时，101111a n n ==-=-，猜想正确； ②假设k n =（*N ∈n ，2010≤n ）时，猜想正确．即kk a k 1-=，………………7分 那么，当1+=k n 时，由程序框图可知，11)1(12111+-+=--λ=+k k k k a a k k －＝．即1+=k n 时，猜想也正确． 由①②，根据数学归纳法原理，猜想nn a n 1-=正确，*N ∈n ，2011≤n ． ……8分（3）（法一）当2>λ时，)(11111222111p p pa p p p a p p a p pa a p p a pa p a c n n n n nn n n n -λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λ-⋅=+λ-+λ-=--λ--λ=--=+++， 令112=-λp p ，则p p 1+=λ，012=+λ-p p ，242-λ±λ=p ． …………10分此时，1122=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-λp p p p p p ， ………………………………12分 所以n n c p c 21=+，*N ∈n ，2011≤n ，又01≠=p c ，故存在常数242-λ±λ=p （2>λ），使得}{n c 是以p 为首项，2p 为公比的等比数列． ……………………………14分（法二）当2>λ时，令x p p -=1，即012=+λ-p p ，解得242-λ±λ=p ， (10)分因为nn a a -λ=+11，*N ∈n ，2010≤n ．所以nnn n n n n n a p a p a p pa a p pa p a p a -λ-⋅=-λ-=-λ+λ-=--λ=+2111－， ①n n n n n n n n a pa p a p p pa p a p a a ppa -λ-⋅=-λ+λ-⋅=-λ+λ-=--λ=-+1111121，② 12分 ①÷②，得11211--⋅=--++n nn n pa pa p pa p a ， 即n n c p c 21=+，*N ∈n ，2011≤n ，又01≠=p c ，故存在常数242-λ±λ=p （2>λ）使得}{n c 是以p 为首项，2p 为公比的等比数列． ……………………………14分21．（本小题满分14分）已知函数)(x f 满足如下条件：当]1,1(-∈x 时，)1ln()(+=x x f ，且对任意R ∈x ，都有1)(2)2(+=+x f x f ．（1）求函数)(x f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）求当]12,12(+-∈k k x ，*N ∈k 时，函数)(x f 的解析式；（3）是否存在]12,12(+-∈k k x k ，2011210，，，，=k ，使得等式 201724019)](2[201220110+⨯=-∑=kk k k x f x 成立？若存在就求出k x （2011210，，，， =k ），若不存在，说明理由．解 （1）]1,1(-∈x 时，)1ln()(+=x x f ，11)(+='x x f ， ………………………2分 所以，函数)(x f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程为)0)(0()0(-'=-x f f y ，即x y =．…3分（2）因为1)(2)2(+=+x f x f ，所以，当]12,12(+-∈k k x ，*N ∈k 时，]1,1(2-∈-k x ， ………………………4分1)2(2)(+-=x f x f 12)4(22++-=x f 122)6(223+++-=x f=1222)2(221+++++-=-- k k k k x f 12)12ln(2-++-=k k k x ．…6分（3）考虑函数)(2)(x f x x g k-=，]12,12(+-∈k k x ，N ∈k ，则12)2(21222)(+--=+--='k x k x k x x g k k k，当k x k 212<<-时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减； 当k x 2=时，0)(='x g ；当122+<<k x k 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；所以，当]12,12(+-∈k k x ，N ∈k 时，12)12()2()(+-=≥kk k g x g ，当且仅当k x 2=时，12)12()2()(+-==kk k g x g ． ……………………………10分所以，]12)12[()()](2[2011201102011+-≥=-∑∑∑===k k k k k kk kk x g x f x而n n k n nk k+-++⋅+⋅=+-∑=2)12(2321]12)12[(210，令n n n S 2)12(232121-++⋅+⋅= ，则1322)12(23212+-++⋅+⋅=n n n S ， 两式相减得，13212)12(22222221+--⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n S62)32(2)12(12)12(222111121---=----⋅+⋅=++-n n n n n ．所以，62)32(1+-=+n n n S ，故2017240192011]12)12[(201220112011+⋅=+=+-∑=S k k k． ……………………12分所以，20172401912)12[()()](2[120110201102011+⋅=+-≥=-+===∑∑∑n k k k k k kk kk x g x f x．当且仅当k x k 2=2011,,2,1,0, =k 时，20172401912)12[()()](2[120112011020110+⋅=+-==-+===∑∑∑n k k k k k kk kk x g x f x．所以，存在唯一一组实数k x k 2=，2011,,2,1,0 =k ，使得等式201724019)](2[12011+⋅=-+=∑n k kk kx f x成立． ……………………………14分。
广东省惠州市2011届高三第二次调研考试(理数)
惠州市2011届高三第二次调研考试数学试题(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{ln }A x y x ==，集合{2,1,1,2}B =--，则A B =（ ）A ．(0,)+∞B ．{}1,2--C ．()1,2D ． {1,2}2.在四边形ABCD 中，||||,==且，那么四边形ABCD 为（ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．长方形 D ．正方形3.在等差数列{}n a 中，若1594a a a π++=，则46tan()a a +=（ ）A．3BC ．1D ．－14.给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分非必要条件. B ．必要非充分条件. C ．充要条件. D ．既非充分也非必要条件.5.如右图所示的程序框图，若输入n=3，则输出结果是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 6.△ABC中，1,30c b B ==∠=︒，则△ABC 的面积等于（ ） A ．23 B ．43 C ．323或 D ．4323或 7.从4名男生和3名女生中选出4人参加迎新座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有（ ）第5题图A ．140种B ． 120种C ．35种D ．34种8.如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的图像大致是（ ）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9.为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一学生抽取的人数是 ．10.若(2)a i i b i -=+，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则a b +=__________． 11.曲线x y ln =在点(,1)M e 处切线的方程为__________．12.在2101()2x x+的二项展开式中，11x 的系数是___________． 13.我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被、甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍，你可以从给出的简单图形①（甲：大矩形ABCD ，乙：小矩形EFCB ）、②（甲：大直角三角形ABC ，乙：小直角三角形DBC ）中体会这个原理，现在图③中的曲线分别是22221(0)x y a b a b +=>>与222x y a +=，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为 ．A BCD MNP A 1B 1 C1D 1CDA BC D EF甲 乙将l 向右平移 l①②（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分） 14.（几何证明选讲选做题）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，AC 和AD 是⊙O 的两条弦，AC =2，AD =3， 则∠CAD = ．15.（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别是cos ρθ=和sin ρθ=的两个圆的圆心距是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本题满分12分）已知向量(cos ,sin ),(cos ,cos ),(1,0).a x x b x x c ==-=- （1）若6x π=，求向量a 与c 的夹角；（2）当9[,]28x ππ∈时，求函数()21f x a b =⋅+的最大值。
2011年高考深圳二模数学(文科)参考答案
2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 11． ]1,1[-． 12．c ． 13．18； 298 ． 14．32． 15．30．说明：第13题第一空2分，第二空3分. 三、解答题16．（本小题满分12分） 已知函数22()cos(cossin).2222x x x x f x =--（1）求函数)(x f 的最大值并求出此时x 的值； （2）若0)(=x f ，求sin cos(π)πsin sin()2x x x x +++-的值.解：（1）22π()cos(cossin)cos 2sin()22226x x x x f x x x x =--=-=-…………2分当ππ2π+,62x k k -=∈Z ，即2π2π+,3x k k =∈Z 时，()f x 取得最大值为2.…………6分（2）令()0f x =时，得tan 3x =. …………8分∴sin cos()sin cos tan 1 2.sin cos tan 1sin sin()2x x x x x x xx x x ππ++--===+++- …………12分17．（本小题满分12分）某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330 分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：s t （2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？（3）已知第一组的学生中男、女生均为2人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．解：（1） 80.240s ==，10.10.30.250.15t s =----=．……………………………4分（2）设应抽取x 名第一组的学生，则20,440x =得2x =．故应抽取2名第一组的学生． ……………………………6分 （3）在（II ）的条件下应抽取2名第一组的学生． 记第一组中2名男生为12,a a ，2名女生为12,b b ．按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种等可能的结果，列举如下：121112212212,,,,,a a a b a b a b a b b b ． ……………………………9分其中既有男生又有女生被抽中的有11122122,,,a b a b a b a b 这4种结果， ………………10分 所以既有男生又有女生被抽中的概率为42.63P == …………………………12分18．(本小题满分14分)如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ．现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．（1）求证：AM ∥平面BEC ； （2）求证：⊥BC 平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.图1 图2M AFBCDEMECG M A FBCDE N（1）证明：取EC 中点N ，连结BN MN ,． 在△E D C 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， 所以MN ∥C D ，且12M N C D =．由已知A B ∥C D ，12A B C D =，所以M N ∥A B ，且MN AB =． …………………………3分 所以四边形ABNM 为平行四边形．所以BN ∥AM ． …………………………4分 又因为⊂BN 平面BEC ，且⊄AM 平面BEC ，所以AM ∥平面BEC ． ………………………5分 （2）证明：在正方形AD EF 中，ED AD ⊥．又因为平面AD EF ⊥平面A B C D ，且平面ADEF 平面A B C D A D =， 所以⊥ED 平面A B C D ．所以ED BC ⊥． ………………………7分 在直角梯形A B C D 中，1==AD AB ，2=CD ，可得2=BC ．在△BC D 中，2,2===CD BC BD ，所以222CD BCBD =+．所以BC BD ⊥． …………………………8分 所以B C ⊥平面BD E ． …………………………10分 （3）解法一：由（2）知，B C ⊥平面BD E又因为B C ⊂平面BC E ， 所以平面B D E ⊥平面BEC ． ……………………11分 过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ，则⊥DG 平面BEC所以点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度 ………………………12分在直角三角形BDE 中，DG BE DE BD S BDE ⋅=⋅=∆2121所以3632==⋅=BEDE BD DG所以点D 到平面BEC 的距离等于36. ………………………14分解法二：由（2）知，BD BC BE BC ⊥⊥, 所以,1222121=⋅⋅=⋅=∆BC BD S BCD.26322121=⋅⋅=⋅=∆BC BE S BCE ………………………12分又BCE D BCD E V V --=，设点D 到平面BEC 的距离为.h 则⋅=⋅∆3131DE S BCD h S BCE ⋅∆所以 36261==⋅=∆∆BCEBCD S DE S h所以点D 到平面BEC 的距离等于36. ………………………14分19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1M . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围． 解：(1)解法一：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由椭圆的定义知:22224,1,3a c b a c =+===-= 得 3,2==b a故C 的方程为13422=+yx. ...............4分解法二：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，依题意，122=-b a ①， 将点⎪⎭⎫⎝⎛23,1M 坐标代入得12312222=⎪⎭⎫⎝⎛+ba ②由①②解得3,422==b a ，故C 的方程为13422=+yx. ...............4分（2）因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以22143m n+=，则1342222=+>+nm nm ，从而圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离r nm d =<+=1122，所以直线l 与圆O 相交. ............... 8 分 直线l 被圆O 所截的弦长为 22211212nm dL +-=-=341112413112222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=m m m...............10 分,31341141,4341340222≤+≤≤+≤∴≤≤m m m3362≤≤∴L . ...............14 分20．(本小题满分14分)执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（1）若输入λ=（2）若输入2＝λ，令11-=n n a b ，证明}{n b 是等差数列，并写出数列}{n a 的通项公式；（3）若输入25=λ，令212--=n n n a a c ，2011321201132c c c c T ++++= ．求证：98<T ．解:（1）输出结果为0，2，. ………………4分（注：写对第一个数给1分，写对二个数得2分.） （2）当2＝λ时，111111---=-++n n n n a a b b 111211----=n na a1112----=n n n a a a 1-=（常数），*N ∈n ，2010≤n ． 所以，}{n b 是首项11-=b ，公差1-=d 的等差数列． …………………………6分 故n b n -=，n a n -=-11，数列}{n a 的通项公式为na n 11-=，*N ∈n ，2011≤n ．……………………………9分 （3）当25＝λ时，nn a a -=+2511，212--=n n n a a c412122124121222511252212212111=----⋅=------=----=+++n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a c c ， ……………………………11分∴}{n c 是以21为首项，41为公比的等比数列．nn n c ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=-41241211n n c n c c c T ⋅++++= 32132nn ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=41241641441232＋＋＋143241241641441241+⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n T ＋＋＋两式作差得1432412412412412412412411+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nn n T ＋＋即 111121443121121214434414n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-118181881811943499434n n n n n n n T ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦……………………………13分当2011=n 时，201120128818182011994349T ⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅<⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………14分21．（本小题满分14分）已知函数()e x f x =（e 为自然对数的底数），x a a x f x f x g ⎪⎭⎫⎝⎛+---=1)()()(，∈x R ,0>a ．（1）判断函数)(x g 的奇偶性,并说明理由； （2）求函数)(x g 的单调递增区间；（3）证明：对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立．解: （1） 函数)(x g 的定义域为R ，且11()()()()()()g x f x f x a x f x f x a x g x a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--++=----+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴ 函数)(x g 是奇函数. ………………2分（2）2111()e eee e 1e (e )(e )x xxx x x x xg x a a a a a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=+-+=-++=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦………………3分当1a =时，2'()e (e 1)0x x g x -=-≥且当且仅当0x =时成立等号，故()g x 在R 上递增；………………4分 当01a <<时，1a a<，令'()0g x >得1e xa>或e xa <，故()g x 的单调递增区间为(,ln )a -∞或(ln ,)a -+∞； ………………5分当1a >时，1a a>，令'()0g x >得e xa >或1e xa<，故()g x 的单调递增区间为(,ln )a -∞-或(ln ,)a +∞． ………………6分（3）不妨设21x x >,2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+⇔121212212eeee e2x x x x x x x x +-+<<-,12211221222212eeee 12x x x x x x x x x x -----+⇔<<- ………………7分令0221>-=x x x ,则只需证e e e e122xxx xx---+<<………………8分先证e e 12x xx--<, 由（2）知()e e 2x x g x x -=--在R 上递增,∴ 当0>x 时，()(0)0g x g >=∴ e e2x xx -->，从而由0>x 知e e 12xxx--<成立； ………………10分再证e e e e 22x xx xx---+<，即证：e e e e xx xx x ---<+，令e e ()e exx xxh x x ---=-+，则222e 12()1e1e1x x xh x x x -=-=--++是减函数，∴当0>x 时，0)0()(=<h x h ，从而e e e exx xxx ---<+成立. ………………13分综上，对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立. ………………14分命题人：许书华 姚亮 胡士军。
广东省深圳市高三数学第二次调研考试试题 理(含解析)
2016年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）1．复数z 满足(1i)1i z +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A．2 D ．1 【答案】D 【解析】1i1i 11i 1iz --===++． 2．设,A B 是两个集合，则“x A ∈”是“x A B ∈I ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 3．若1cos()23πα-=，则cos(2)πα-=（ ） A．9- B．9 C ． 79- D ．79【答案】C 【解析】∵1cos()23πα-=，∴1sin 3α=． ∴27cos(2)cos 22sin 19πααα-=-=-=-． 4．若,x y 满足约束条件10,10,410.x y x x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则目标函数13y z x +=+的最大值为（ ）A ．14 B ．23 C ．32D ．2 【答案】C 【解析】目标函数13y x ++点(,)x y 和点(3,1)--由图可知：当其经过点(1,5)A 即max 15133132y z x ++===++ ．5．如图所示的流程图中,若输入,,a b c 的值分别是2,4,5，则输出的x =（ ）A ．1B ．2C ．lg 2D ．10 【答案】A【解析】由题意可知a b c <<，∴lg 2lg51x =+=．6．已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变．则函数()f x 的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π= 【答案】D【解析】cos y x =3π−−−−−→向右个单位所有点的纵坐标不变cos()3y x π=-−−−−−−−→横坐标变为原来的一半纵坐标不变cos(2)3y x π=-．∴()cos(2)3f x x π=-．对称轴方程为2,3x k k Z ππ-=∈，即1,26x k k Z ππ=+∈，故选A ．7．以直线y =为渐近线的双曲线的离心率为为（ ）A ．2 BC ．2D【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为y =，∴b a =a b =224c a =，或2243c a =． ∴2e =，或e =8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ） A ．310 B ．35 C ．25D ．15【答案】B【解析】2222322355()35C A A A P A ⋅⋅==． 9．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BN λμ=+u u u r u u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．2B ．83C ．65D ．85【答案】D【解析】∵AC AM BN λμ=+u u u r u u u u r u u u r()()AB BM BC CN λμ=+++u u u r u u u u r u u u r u u u r11()()22AB AD AD AB λμ=++-u u u r u u u r u u u r u u u r11()()22AB AD λμλμ=-++u u ur u u u r ,∴112112λμλμ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩， 解得6525λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩，85λμ+=． 10．已知函数ln ,0,()ln(),0.x x x f x x x x -- >⎧=⎨--+<⎩ 则关于m 的不等式11()ln 22f m <-的解集为（ ）A. 1(0,)2 B ．(0,2) C ．11(,0)(0,)22-U D ．(2,0)(0,2)-U 【答案】C【解析】函数()f x 的定义域(,0)(0,)-∞+∞U 关于原点对称， ∵0x >时，0x -<，()ln ()f x x x f x -=-+=， 同理：()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数．NA DC M B∵()f x 在(0,)+∞上为减函数，且1(2)ln 22ln 22f =--=-， ∴当0m >时，由11()ln 22f m <-，得1()(2)f f m <，∴12m>，解得102m <<．根据偶函数的性质知当0m <时，得102m -<<．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（ ）A ．48B ．16C ．32D ．165 【答案】D【解析】该几何体的直观图，如图：42585S =⨯=，655h =， ∴11685516335V Sh ==⨯⨯=．12．设定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()ln xf x f x x x '-=，11()f e e=，则()f x （ ） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值，又有极小值 D ．既无极大值，也无极小值 【答案】D【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()()ln xf x f x x x '-=，∴2()()ln xf x f x xx x '-=， ∴()ln ()f x x x x '=，∴2()1ln 2f x x c x =+，∴21()ln 2f x x x cx =+．∵211111()ln 2f c e e e e e =+⨯=，∴12c =．∴22111()ln ln (ln 1)0222f x x x x '=++=+≥，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴()f x 在(0,)+∞上既无极大值也无极小值． 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分ADC BP13．高为π，体积为2π的圆柱的侧面展开图的周长为 ． 【答案】6π【解析】∵2222V r h r πππ===，∴1r =，∴侧面展开图的周长为2(2)6r πππ+=．14．过点(3,1)P 的直线l 与圆22:(2)(2)4C x y -+-=相交于,A B 两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l 的倾斜角等于 ．【答案】4π 【解析】∵AB 的长取最小值时，AB 垂直于PC ，∴1AB PC k k ⋅=-，即(1)1AB k ⋅-=-， ∴1AB k =，直线l 的倾斜角等于4π． 15．在1020161(2)x展开式中，4x 项的系数为____________．(结果用数值表示)【答案】180【解析】含有4x项为228048201612()180C x x⋅⋅-=．另解：10102016201611(2)[2]xx=+，∴通项10110201612)rrrr T C x-+=，20161)rx的通项11()(4033)2016221(1)(1)r k r k kk kkk k rrT C xxC x---+=-=-∴1(4033)42010r k r ⎧-=⎪⎨⎪≤≤⎩，∴8r =． ∴4x 项的系数为82102180C =．16．如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，BC =，AC CD ⊥，AC CD =．当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为_________．【答案】D【解析】设AC CD x ==，在ABC ∆中，2222cos AC ABAB BC ABC =+-⋅⋅∠，∴213x ABC =+-∠，∵sin sin AC AB ABC ACB =∠∠,∴sin sin ABCACB x ∠∠=．在BCD ∆中，BD====，ABCD∵(0,)ABC π∠∈，∴sin()4ABC π∠-可以取到最大值1，∴max 1BD ==．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ． 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 是n S 和1的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T ． 【解析】（1）由题意得：12n n S a +=， ① 当2n ≥时，112(1)n n S a --=-，② ①-②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，∴12nn a a -=． 由①式中令1n =，可得11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a -=． （2）由12n n n a b n -=⋅得112233n n n T a b a b a b a b =⋅+⋅+⋅++⋅L 01211222322n n -=⋅+⋅+⋅++⋅L12312122232(1)22n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L01211222222221212nn nn n n n T n n n ---=++++-⋅=-⋅=--⋅-L∴(1)21nn T n =-⋅+．18．(本小题满分12分)某市在以对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．(1)某校高一年级有男生500人，女生4000人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的把握认为“综合素（2生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．（i ）求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；（ii ）记X 表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X 的数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【解析】（1）设从高一年级男生中抽出m 人，则,25500500400m ==+．∴25205,20182x y =-==-=而45(1551015)91.1252.706301525208k ⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯ ∴没有90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”．（2）（i ）由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为15152453+=，∴从该市高一学生中随机抽取1名学生，该生为“优秀”的概率为23．记“所选3名学和g 中恰有2人综合素质评价‘优秀’学生”为事件A ，则事件A 发生的概率为：223224()()(1)339P A C =⨯⨯-=；（ii ）由题意知，随机变量2~(3,)3X B ，∴随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=．19．(本小题满分12分)在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，侧面11ABB A 是边长为2的正方体．点,E F 分别在线段111,AA A B 上，且113,,24AE A F CE EF ==⊥． （1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）若CA CB ⊥，求直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值． 【解析】（1）取线段AB 中点M ，连接EM ，在正方体11ABB A 中，131,2AM A E ==，在Rt EAM ∆和1Rt FA E ∆中，1123AE AM A F A E ==， 又12EAM FA E π∠=∠=，∴1Rt EAM Rt FA E ∆∆∼，∴1AEM A FE ∠=∠，从而1112AEM A EF A FE A EF π∠+∠=∠+∠=，∴2FEM π∠=，即EF EM ⊥． 又,EF CE ME CE E ⊥=I ， ∴EF ⊥平面CEM ，∵CM ⊂平面CEM ， ∴CM EF ⊥， 在等腰三角形CAB ∆中，CM AB ⊥，又AB 与EF 相交，知CM ⊥平面1AB ， ∵CM ⊂平面ABC ，AC BA 1B 1C 1F E∴平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）在等腰三角形CAB ∆中，由,2CA CB AB ⊥=知2CA CB ==，且1CM =，记线段11A B 中点为N ，连接MN ，由（1）知，,,MC MA MN 两两互相垂直，以M 为坐标原点，分别以,,MC MA MN u u u u r u u u r u u u u r为正交基底建立如图所示空间直角坐标系Oxyz ，则111(1,0,0),(0,1,),(0,,2),(0,1,0),(1,0,2)24C E F A C ，设平面CEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则,CE EF ⊥⊥u u u r u u u rn n ，即102202332042x y z x y z y z y z ⎧-++=⎪--=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-+=⎪⎩，取2z =，则4,5y x ==，从而得到平面CEF 的一个法向量(5,4,2)=n ． 1(1,1,2)AC =-u u u u r，记直线1AC 与平面CEF 所成角为θ，则111||30sin |cos ,|||||456AC AC AC θ⋅=<>===⋅⋅u u u u ru u u u r u u u u r n n n ． 故直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值为3018．20．（本小题满分12分）过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，且,A B 两点的纵坐标之积为4-．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知点D 的坐标为(4,0)，若过D 和B 两点的直线交抛物线C 的准线于P 点，求证：直线AP 与x 轴交于一定点．【解析】（1）抛物线的焦点为(,0)2pF ， 故可设直线AB 的方程为2px my =+，由222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y pmx p --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212y y p =-，∴24p -=-，由0p >，可得2p =． ∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）【方法1】依题意，直线BD 与x 轴不垂直，∴24x ≠．∴直线BD 的方程可表示为22(4)4y y x x =--，① ∵抛物线C 的准线方程为1x =-，② 由①，②联立方程组可求得P 的坐标为225(1,)4y x ---， 由（1）可得124y y =-， ∴P 的坐标可化为1215(1,)1y y --， ∴1121121151411APy y y y k x y --==---，∴直线AP 的方程为111214()1y y y x x y -=--， 令0y =，可得222111111114444y y x x y --=-=-=， ∴直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4．【方法2】直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4M ． 证明如下：依题意，直线BD 与x 轴不垂直，∴24x ≠． ∴直线BD 的方程可表示为22(4)4y y x x =--，① ∵抛物线C 的准线方程为1x =-，② 由①，②联立方程组可求得P 的坐标为225(1,)4y x ---， 由①，②联立方程组可求得P 的坐标为225(1,)4y x ---， 由（1）可得124y y =-，∴214y y =-．∴P 的坐标可化为1215(1,)1y y --， ∴,P M 两点连线的斜率为12112150141114PMy y y k y --==---,∴,A M 两点连线的斜率为1121104114AM y yk y x -==--, ∴PM AM k k =，∴P 、A 、M 三点共线， 即直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4．21．（本小题满分12分）已知函数2()x ax f x e =，直线1y x e=为曲线()y f x =的切线．（1）求实数a 的值；（2）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数1()min{(),}(0)g x f x x x x=->，若函数2()()h x g x cx =-为增函数，求实数c 的取值范围．【解析】（1）对()f x 求导得222(2)()()x x x xx e x e x x f x a a e e ⋅-⋅-'=⋅=⋅，设直线1y x e=与曲线()y f x =切于点00(,)P x y ，则0200001(2x )1x x ax x e e x a ee ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⋅⎪⎩，解得01a x ==．所以a 的值为1．（2）记函数211()()(),0x x F x f x x x x x e x=--=-+>，下面考察函数()y F x =的符号．对函数()y F x =求导得2(2)1()1,0x x x F x x e x-'=-->． 当2x ≥时()0F x '<恒成立．当02x <<时，2(2)(2)[]12x x x x +--≤=， 从而2222(2x)11111(x)11110x x x F e x e x x x-'=--≤--<--=-<． ∴()0F x '<在(0,)+∞上恒成立，故()y F x =在(0,)+∞上单调递减． ∵2143(1)0,(2)02F F e e =>=-<，∴(1)(2)0F F ⋅<． 又曲线()y F x =在[1,2]上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知∃惟一的0(1,2)x ∈，使0()0F x =∴00(0,),()0;(,),()0x x F x x x F x ∈>∈+∞<．∴020101()min{(),},xx x x xg x f x x x x x x e ⎧-<≤⎪⎪=-=⎨⎪>⎪⎩，，从而2022201-0()(),x x cx x x x h x g x cx x cx x xe ⎧-<≤⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩， ∴021120()(2)2,xcx x x x h x x x cx x xe ⎧+-<≤⎪⎪'=⎨-⎪->⎪⎩，由函数2()()h x g x cx =-为增函数，且曲线()y h x =在(0,)+∞上连续不断知()0h x '≥在0(0,)x ，0(,)x +∞上恒成立．①当0x x >时，(2)20x x x cx e --≥在0(,)x +∞上恒成立，即22xxc e-≤在0(,)x +∞上恒成立．记02(),x x u x x x e -=>，则03(),xx u x x x e -'=>， 当x 变化时，()u x '，()u x 变化情况如下表：∴min 3()()(3)u x u x u e ===-极小． 故“22x x c e -≤在0(,)x +∞上恒成立”只需min312()c u x e ≤=-，即312c e ≤-． ②当00x x <<时，21()12h x cx x '=+-，当0c ≤时，()0h x '>在0(0,)x 上恒成立．综合（1）（2）知，当312c e ≤-时，函数2()()h x g x cx =-为增函数．故实数c 的取值范围是31(,]2e-∞-．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O e 直径，C 在O e 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交O e 于E ，30AEC ∠=o． 证明:（1）AF FO =；（2）若CF =AD AE ⋅的值．A【解析】（1）证明：连接,OC AC ， ∵30AEC ∠=o，∴60AOC ∠=o．∵OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形． ∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线，即AF FO =． （2）连接BE ，∵CF =AOC ∆为等边三角形,∴1AF =，4AB =．∵AB 是O e 直径，∴90AEB ∠=o， ∴AEB AFD ∠=∠．∵BAE DAF ∠=∠，∴AEB ∆∽AFD ∆， ∴AD AFAB AE=，即414AD AE AB AF ⋅=⋅=⨯=． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合．若曲线C 的参数方程为32cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），直线l 的极坐标方程为sin()14πθ-=．(1)将曲线C 的参数方程化为极坐标方程；F EBCAD O(2)由直线l 上一点向曲线C 引切线，求切线长的最小值． 【解析】（1）圆C 的直角坐标方程为22(3)4x y -+=．∵222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===， ∴圆C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=．(2) ∵直线l sin()14πθ-=，∴sin cos 1ρθρθ-=，∴直线l 的直角坐标方程为10x y -+=． 设直线l 上点P ，切点为A ，圆心(3,0)C ，则有22224PA PC AC PC =-=-， 当PC 最小时，有PA 最小．∵PC ≥=∴2PA =≥=，∴切线长的最小值为2．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式231x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求M 的值；（2）正数,,a b c 满足2a b c M ++=，求111a b b c+≥++. 【解析】23(2)(3)5x x x x --+≤--+=， 若不等式231x x m --+≥+有解， 则满足15m +≤，解得64m -≤≤. ∴4M =.（2）由（1）知正数,,a b c 满足24a b c ++=， ∴11111[())]()4a b b c a b b c a b b c+=++++++++11(1)(1144b c a b a b b c ++=++≥+=++， 当且仅当,2a c a b =+=时，取等号.。
2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)
2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科） 2011.4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为Sh V 31=． 一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设集合}5,4,3,2,1{=U ，}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则)(B A U等于A ．}2{B ．}5{C ．}4,3,2,1{D ．}5,4,3,1{ 2．复数(1)z i i =+（i 为虚数单位）的模等于 A ．1 B.2 C. 0 D. 23．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，且4=a ，34=b ，︒=∠30A ，则B ∠等于A ．030 B ．030或0150 C ．060 D ．060或0120 4．已知向量)1,1(=a ，),2(n =b ，若b a ⊥，则n 等于A ．3-B ．2-C ．1D ．2 5. 曲线x x y ln 2-=在点)2,1(处的切线方程为A ．1--=x yB ．3+-=x yC ．1+=x yD ．1-=x y6．已知图1、图2分别表示A 、B 两城市某月1日至6日当天最低气温的数据折线图(其中横轴n 表示日期,纵轴x 表示气温)，记A 、B 两城市这6天的最低气温平均数分别为A x 和B x ,标准差分别为As和B s ．则A ．B A x x >，B A s s > B ．B A x x >，B A s s <C ．B A x x <，B A s s >D ．B A x x <，B A s s <7．已知p ：3k >；q ：方程22131x y k k +=--表示双曲线．则p 是q 的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 8．如右图，已知一个锥体的正（主）视图，侧（左）视图和 俯视图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥 体的体积为A ．24B ．8C ．12D ．49．因为某种产品的两种原料相继提价，所以生产者决定对产品分两次提价，现在有三种提价方案： 方案甲：第一次提价%p ，第二次提价%q ； 方案乙：第一次提价%q ，第二次提价%p ； 方案丙：第一次提价%2p q +，第二次提价%2p q+， 其中0>>q p ，比较上述三种方案，提价最多的是A ．甲B ．乙C ．丙D ．一样多 10．先后抛掷一枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6），所得向上点数分别为m 和n ，则函数311201132y mx nx =-+在),1[∞+上为增函数的概率是 A. 23 B. 34 C. 56 D. 79二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分． （一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答．11．已知点),(y x 满足，则x y u -=的取值范围是 ．⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x yx 正(主)视图侧(左)视图4651015图1 51015图212．定义⎩⎨⎧≥<=.,,,*b a b b a a b a 已知3.03=a ，33.0=b ，3.0log 3=c ，则=c b a *)*( ．（结果用a ，b ，c 表示）13．如图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形（如图2），再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形（如图3），…，依此类推．设第n 个图中原三角形被剖分成n a 个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为 ；=100a ．图1 图2 图3（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线θρcos 4=与cos 4ρθ=的交点为A ,点M 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛π32，，则线段AM 的长为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90B ，4=AB ，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，2=AD ，则C ∠的大小为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数⎪⎭⎫⎝⎛--=2sin 2cos 2cos 2sin32)(22x xx x x f ． （1）求函数)(x f 的最大值并求出此时x 的值； （2）若0)(=x f ，求)2sin(sin )cos(sin x x x x -π++π+的值．17．（本小题满分12分）某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：AB CD… …（1）求分布表中s ，t 的值；（2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？（3）已知第一组的学生中男、女生均为2人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．18．（本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．（1）求证：AM ∥平面BEC ； （2）求证：⊥BC 平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．F EDCA图1ACDFE 图2M20．（本小题满分14分）执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（1）若输入λ，写出输出结果；（2）若输入2＝λ，令11-=n n a b ，证明}{n b 是等差数列，并写出数列}{n a 的通项公式； （3）若输入25=λ，令212--=n n n a a c ，2011321201132c c c c T ++++= ．求证：98<T ．21．（本小题满分14分）已知函数()e xf x =（e 为自然对数的底数），x a a x f x f xg ⎪⎭⎫⎝⎛+---=1)()()(，∈x R ,0>a ． （1）判断函数)(x g 的奇偶性,并说明理由； （2）求函数)(x g 的单调递增区间；（3）证明：对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立．2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 11． ]1,1[-． 12．c ． 13．18； 298 ． 14．32． 15．30． 说明：第13题第一空2分，第二空3分. 三、解答题 16．（本小题满分12分） 解：（1）22π()cos (cos sin )cos 2sin()22226x x x x f x x x x =--=-=- (2)分当ππ2π+,62x k k -=∈Z ，即2π2π+,3x k k =∈Z 时，()f x 取得最大值为2.…………6分 （2）令()0f x =时，得tan 3x =. …………8分 ∴sin cos()sin cos tan 12.sin cos tan 1sin sin()2x x x x x x x x x x ππ++--===+++- …………12分17．（本小题满分12分） 解：（1） 80.240s ==，10.10.30.250.15t s =----=．……………………………4分 （2）设应抽取x 名第一组的学生，则20,440x =得2x =． 故应抽取2名第一组的学生． ……………………………6分 （3）在（II ）的条件下应抽取2名第一组的学生．记第一组中2名男生为12,a a ，2名女生为12,b b ．按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种等可能的结果，列举如下：121112212212,,,,,a a a b a b a b a b bb ． ……………………………9分其中既有男生又有女生被抽中的有11122122,,,a b a b a b a b 这4种结果， ………………10分G M AF BCD E N所以既有男生又有女生被抽中的概率为42.63P == …………………………12分 18．(本小题满分14分)（1）证明：取EC 中点N ，连结BN MN ,． 在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点，所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =．……3分 所以四边形ABNM 为平行四边形．所以BN ∥AM ． …………4分 又因为⊂BN 平面BEC ，且⊄AM 平面BEC ， 所以AM ∥平面BEC ． ………………………5分（2）证明：在正方形ADEF 中，ED AD ⊥．又因为平面A D E F ⊥平面A B C D ，且平面A D E F平面A B C D A D =， 所以⊥ED 平面ABCD ．所以ED BC ⊥． ………………7分在直角梯形ABCD 中，1==AD AB ，2=CD ，可得2=BC ．在△BCD 中，2,2===CD BC BD ， 所以222CD BC BD =+．所以BC BD ⊥． ……………8分 所以BC ⊥平面BDE ． ………10分 （3）解法一：由（2）知，BC ⊥平面BDE又因为BC ⊂平面BCE ， 所以平面BDE ⊥平面BEC ． ……………………11分 过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ，则⊥DG 平面BEC所以点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度 ………………………12分 在直角三角形BDE 中，DG BE DE BD S BDE ⋅=⋅=∆2121 所以3632==⋅=BEDE BD DG 所以点D 到平面BEC 的距离等于36. ………………14分 解法二：由（2）知，BD BC BE BC ⊥⊥, 所以,1222121=⋅⋅=⋅=∆BC BD S BCD .26322121=⋅⋅=⋅=∆BC BE S BCE …………………12分 又BCE D BCD E V V --=，设点D 到平面BEC 的距离为.h 则 ⋅=⋅∆3131DE S BCD h S BCE ⋅∆ 所以 36261==⋅=∆∆BCE BCD S DE S h 所以点D 到平面BEC 的距离等于36.…………14分 19．（本小题满分14分）解：(1)解法一：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由椭圆的定义知:22224,1,3a c b a c ====-=得 3,2==b a 故C 的方程为13422=+y x . ...........4分解法二：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，依题意，122=-b a ①， 将点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M 坐标代入得12312222=⎪⎭⎫⎝⎛+b a ②由①②解得3,422==b a ，故C 的方程为13422=+y x . ...............4分 （2）因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以22143m n +=，则1342222=+>+n m n m ， 从而圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离r nm d =<+=1122，所以直线l 与圆O 相交. ....... 8 分 直线l 被圆O 所截的弦长为22211212n m d L +-=-=341112413112222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=m m m .........10 分,31341141,4341340222≤+≤≤+≤∴≤≤m m m 3362≤≤∴L . ..........14 分 20．(本小题满分14分) 解:（1）输出结果为0，2………………4分（注：写对第一个数给1分，写对二个数得2分.） （2）当2＝λ时，111111---=-++n n n n a a b b 111211----=n na a 1112----=n n n a a a 1-=（常数），*N ∈n ，2010≤n ． 所以，}{n b 是首项11-=b ，公差1-=d 的等差数列． …………………………6分故n b n -=，n a n -=-11，数列}{n a 的通项公式为n a n 11-=，*N ∈n ，2011≤n ．……………………………9分 （3）当25＝λ时，n n a a -=+2511，212--=n n n a a c4121221241212221252212212111=----⋅=------=----=+++n n n n n n nn n n n n nn a a a a a a a a a a a a c c ， ……………………………11分 ∴}{n c 是以21为首项，41为公比的等比数列．nn n c ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=-41241211n n c n c c c T ⋅++++= 32132nn ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=41241641441232＋＋＋143241241641441241+⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n T ＋＋＋两式作差得1432412412412412412412411+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nn n T ＋＋即 11112144312112124434414n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-118181881811943499434nn n n n n n T ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--=--⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦……………………………13分当2011=n 时，201120128818182011994349T ⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅<⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………14分 21．（本小题满分14分）解: （1） 函数)(x g 的定义域为R ，且11()()()()()()g x f x f x a x f x f x a x g x a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--++=----+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴ 函数)(x g 是奇函数. …………2分（2）2111()e e e e e 1e (e )(e )x x x x x x x xg x a a a a a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=+-+=-++=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦………………3分当1a =时，2'()e (e 1)0x x g x -=-≥且当且仅当0x =时成立等号，故()g x 在R 上递增； ………………4分 当01a <<时，1a a <，令'()0g x >得1e xa>或e x a <， 故()g x 的单调递增区间为(,ln )a -∞或(ln ,)a -+∞； ………………5分 当1a >时，1a a >，令'()0g x >得e x a >或1e xa<， 故()g x 的单调递增区间为(,ln )a -∞-或(ln ,)a +∞． ………………6分 （3）不妨设21x x >,2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+⇔121212212e e e e e 2x xx x x x x x +-+<<-, 12211221222212ee ee 12x x x x x x x x x x -----+⇔<<- ………………7分令0221>-=x x x ,则只需证e e e e 122x x x x x ---+<< ………………8分 先证e e 12x x x --<, 由（2）知()e e 2x xg x x -=--在R 上递增,∴ 当0>x 时，()(0)0g x g >= ∴e e 2xxx -->，从而由0>x 知e e 12x xx--<成立； ……………10分再证e e e e 22x x x x x ---+<，即证：e e e e x x xxx ---<+，令e e ()e e x xx x h x x ---=-+， 则222e 12()1e 1e 1x xx h x x x -=-=--++是减函数， ∴当0>x 时，0)0()(=<h x h ，从而e e e ex xxxx ---<+成立. ………………13分 综上，对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立. ………………14分。
2011年高考深圳二模理科综合(物理、化学、生物)参考答案
2011年深圳二模理科综合（物理、化学、生物）参考答案【物理参考答案】34(1)ABD (2)(3)①D ；(4分)②a ；(2分)③1.43~1.46；0.91 (0.86~0.98都算对)；(4分)35解：①因小球受力平衡，qE mg = …………………… 2分得： mgE q=………………1分 电场方向向下 ………………1分mgdU Ed q==………………2分 ②在小球未进入PQ 前对地的压力N 1=Mg进入PQ 后小球受到向上大小等于mg 的电场力，根据牛顿第三定律可得PQ 对地的压力 N 2=Mg +mg . ……4分 ③依题意得：12R d >根据2111v Bqv m R = 得11BqR v m =……2分又因为 21112mgh mv = 得222211228v B q d h g gm==…….…2分 当2R d <时，同理可得 22BqR v m=……1分 222222222v B q d h g gm== ……1分所以小球应距P 板在2222222228B q d B q d h gm gm >>释放……2分36解：①设a 、b 碰后瞬间速度为v a 1、v b 1m a v 0=m a v a 1+m b v b 1 ……………………2分222011111222a a ab b m v m v m v =+……………………2分 解出： 101022/,6/a b aa b a b a bm m m v v m s v v m s m m m m -====++ ………2分②a 与b 碰后，a 上升的高度不能超过3R21max 132a a a m v m g R =⋅……………………2分1max 4.9/a v m s =≈ ……………2分③欲使b 能通过最高点，有22bb b v m g m R≤……………………1分22/b v m s ≥=得出……………1分b 球在上升过程中有221211(2)22b b b b b m v m v m g R L =+⋅+……………1分 /10min 16/,4/2a bb b am m m s v v m s m +≥≥=解得v ………………1分 因为a 球能通过粗糙区域，有212a v gs μ>……………………1分//0125/a v v m s =>……………………1分碰后a 上升的高度不能超过3R ，必须满足/0max 129.8/a v v m s ==≤=……………………1分综上可得 05/9.8/m s v m s <≤……………………1分【化学题答案】一、选择题7、D 8、C 9、A 10、B 11、C 12、B (每题4分)二、双选题22、BC 23、AD （每题6分）注：元素符号或者化学式错误或者方程式不配平，0分；不写等号或气体、漏写沉淀符号或者漏写重要的反应条件的扣1分。
深圳中学2011届高三级第二阶段考试(理数)
试卷类型：A深圳中学2011届高三年级第二次阶段考试理科数学 2010-12．本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相 应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息 点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷 上．3．非选择题必须用黑色手迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答 案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的4个选项中，只有一项 是符合题目要求的）1．已知集合}1,0,1{-M ，{}M x x y y N ∈==,|2，则集合N 的真子集个数为( ) A. 3； B ．4； C ．7； D. 8 2．下列全称命题为真命题的是( )A. 所有的素数是奇数 B ．11,2≥+∈∀x R x C ．对每一个无理数x ，x 2也是无理数 D ．所有的平行向量均相等 3．已知函数)6(sin 22cos 1)(2π--+=x x x f ，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是( )A ．f(x)是最小正周期为万的偶函数B ．f(x)的一条对称轴是3π=⋅xC ．f(x)的最大值为2D ．将函数x y 2sin 3=的图象左移6π得到函数f(x)的图象4．抛物线y=-x 2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( ) A.34 B. 57 C. 58D ．3 5．已知数列{}n a 为等差数列，且π41821=++a a a ，则cos(a 2+a 12)的值为( ) A.23B. 23-C. .21D. 21-6．某店一个月的收入和支出总共记录了N 个数据a 1，a 2，…，N a ，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )A. A>O,V=S-TB. A<O,V=S-TC. A>O,V=S+TD. A<O,V=S+T7．已知圆()()111:221=-++y x C ，圆C 2与圆C 1关于直线x-y-l =O 对称，则圆C 2的方程为( )A. (x+2)2+（y-2)2=1B. (x-2)2 +(y+2)2=1C. (x+2)2+(y+2)2=1D. (x-2)2 +(y-2)2=18．已知f(x)为R 上的可导函数，且f(x ）<f'(x)对于x ∈R 恒成立，则有( )A. ()()()02010,0)2(20102f e f f e f ⋅>⋅<B. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅>C. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅<⋅>D. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅<⋅<第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案填在答卷指定位置上． 9．设a>O ，a ≠1，函数f(x)=()32log 2+-x x a 有最小值，则不等式()01log >-x a 的解集为 ．10．已知)4('cos 2sin )(2πxf x x f +⋅=，则)4('πf =11. 已知i 、j 为互相垂直的单位向量，j i b j i a λ+=-=,2，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____12. 已知函数f(x)=x 2-1，集合]0)()(|),((≤+=y f x f y x M ，}0)()(){,{(≥-=y f x f y x N 则集合N M 所表示的平面区域的面积是____．13. 若圆x 2+y 2-4x-4y-lO=O 上至少有三个不同点到直线l ：ax+by=0的距离为22，则直线l 的斜率的取值区间为____14. 已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b ∈R ．满足2)2(),()()(=+=⋅f a bf b af b a f ()*)(2,N n n f a n n ∈=*).(2)2(,N n f b n n n ∈=．考查下列结论：①f(0)=f(1)；②f(x)为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④{}n b 为等差数列，其中正确的是 ．三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分） 当a ∈R 时，解关于x 的不等式：a x <⋅-1116．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC=3acosB-ccosB ． (1)求cosB 的值；(2)若2=⋅BC BA ,且22=b ，求a 和c 的值．17．（本小题满分14分）已知函数f(x)=alnx-ax-3(a ∈R)．(1)当a>O 时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y=f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数]2)('[)(23mx f x x x g ++=在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．18.（本小题满分14分）如图，直线y=kx+b 与椭圆1422=+y x 交于以B 两点，记△AOB的面积为S ．(Ⅰ)求在k=O ，O<b<l 的条件下，S 的最大值； (Ⅱ)当2||=AB ，S=1时，求直线AB 的方程，19．（本题满分14分）对于定义在区间D 上的函数f(x)，若存在闭区间D b a ⊆],[和常数c ，使得对任意x 1∈[a ，b]，都有f(x 1）=c ，且对任意x 2∈D ，当],[2b a x ∉时，f(x 2)>c 恒成立，则称函数f(x ） 为区间D 上的“平底型”函数．(1)判断函数|2||1|)(.1-+-=x x x f 和|2|)(2-+=x x x f 是否为R 上的“平底型”函数？ 并说明理由；(2)设f(x)是(Ⅰ)中的“平底型”函数，k 为非零常数，若不等式)(||||||x f k k t k t ⋅≥++- 对一切t ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围；(3)若函数n x x mx x g +++=2)(2是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，求m 和n 的值．20.（本题满分14分）已知数列{}n a 满足0>n a ，且对切n ∈N *有231nini S a-∑=，其中∑==ni i n a S 1(Ⅰ)对一切n ∈N *，用a n+1表示S n ； (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ)求证：321<∑=knk ak理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项 是符合题目要求的） A 卷B 卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在答卷指定位置上．9．{}2|>x x 10. 12- 11. )21,2()2,(---∞12．π l3．]32,32[+- 14. ①③④三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）当a ∈R 时，解关于x 的不等式：a x <-11解：原不等式01)1(>-+-⇔x a ax 0)]1()[1(>+--⇔a ax x …（3分）(1)当a=O 时，原不等式101<⇔<-⇔x x .............................. (5分) (2)当a>O 时，原不等式10)]11()[1(<⇔>+--⇔x a x x 或ax 11+>................ (8分) (3)当a<O 时，原不等式1110)]11()[1(<<+⇔<+--⇔x aa x x ................... (11分)综上可得：当a=O 时，原不等式的解集为}1|{<x x ；当a>O 时，原不等式的解集为}111|{ax x +><或； 当a<O 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<+111|x a x …………（12分） 16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC=3acosB-ccosB ． (1)求cosB 的值：(2)若2=⋅BC BA ，且22=b ，求a 和c 的值． (1)解：由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===则B C R B A R C B R cos sin 2cos sin 6cos sin 2-= 故B C B A C B cos sin cos sin 3cos sin -= 可得B A B C C B cos sin 3cos sin cos sin =+ 即B A C B cos sin 3)sin(=+可得B A A cos sin 3sin =,又0sin =/A , 因此31cos =B ……6分 (2)解；由2=⋅BC BA ，可得2cos =B ac又31cos =B ，故ac=6， 由B ac c a b cos 2222-+= 可得1222=+c a所以0)(2=-c a ,即a=c ，所以6==c a ……12分17.（本小题满分14分）已知函数f(x)=alnx-ax-3(a ∈R)．(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间： (2)若函数y=f （x ）的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数]2)('[)(23mx f x x x g ++=在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值 范围；解．(1))0()1()('>-=x xx a x f 当a>O 时，f(x)的单调增区间为（0,1]，减区间为[1，+∞）： …………5分(2)12)2('=-=af 得a=-2， f(x)=-2lnx+2x-3x x m x x g 2)22()(23-++=∴, 2)4(3)('2-++=∴x m x x g …7分∵g(x)在区间(t ，3)上总不是单调函数，且g ’(0)=一2⎩⎨⎧><∴0)3('0)('g t g ……9分由题意知；对于任意的t ∈[l ，2]，g'(t ）<0恒成立，所以，⎪⎩⎪⎨⎧><<0)3('0)2('0)1('g g g ,9.337-<<-∴m …………14分 18．（本小题满分14分）如图，直线y=kx+b 与椭圆1422=+y x 交于A ，B 两点，记△AOB 的面积为S ．(1)求在k=O ，O<b<l 的条件下，S 的最大值； （2）当2||=AB ，S=1时，求直线AB的方程．(1)解：设点A 的坐标为（x 1，b ），点B 的坐标为(x 2，6)， …1分由1422=+b x ，解得22,112b x -±=， ……3分 所以1112||2122221=-+≤-⋅=-⋅=b b b b x x b S …5分 当且仅当22=b 时，S 取到最大值1． …6分 (2)解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x b kx y ……7分 得01241222=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b kbx x k ，1422+-=∆b k ，① ……8分 241141||1||2222112=++-⋅+=-⋅+=k b k k x x k AB ．② …9分 设O 到AB 的距离为d ，则1||2==AB Sd ，又因为21||kb d +=， 所以b 2 =k 2+l ，……10分 代入②式并整理，得04124=+-k k ，解得23,2122==b k ,代入①式检验，△>0, 故直线AB 的方程是2622+⋅⋅=x y 或2622-=x y 或2622⋅+⋅-=x y ，或 2622-⋅-=x y ．……l4分（一条直线1分） 19．（本题满分14分），对于定义在区间D 上的函数f(x)，若存在闭区间D b a ⊆],[和常数c ，使得对任意x ∈[a ，b]，都有f(x 1)=c ，且对任意x 2 ∈D ，当],[2b a x ∉时，f(x 2)>c 恒成立，则称函数f(x)为区间D 上的“平底型”，函数．(1)判断函数|2||1|)(1-+-=x x x f 和|2|)(2-+=x x x f 是否为R 上的“平底型”函数？并说明理由；(2)设f(x)是(1)中的“平底型”函数，后为非零常数，若不等式)(||||||x f k k t k t ⋅≥++- 对一切t ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围；(3)若函数.22)(⋅+++=n x x mx x g 是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，求m 和n的值，解：(1)对于函数|2||1|)(1-+-=x x x f ，当x∈[l ，2]时，f 1(x)=1．当x<l 或x>2时，1|)2()1(|)(1=--->x x x f 恒成立，故f 1(x)是“平底型”函数，对于函数|2|)(2-+=x x x f ，当x∈(—∞，2]时,f 2(x)=2： 当x∈(2，+∞)时， f 2(x)=2x-2>2．所以不存在闭区间[a ，b]，使当],[b a x ∉时，f(x)>2恒成立．故f 2(x)不是“平 底型”函数， …4分(Ⅱ)若)(||||||x f k k t k t ⋅≥++-对一切t ∈R 恒成立，则)(|||)||(|min x f k k t k t ⋅≥++-．所以)(||||2x f k k ⋅≥．又k≠O，则f (x)≤2． 则2|2||1|≤-+-x x ，解得2521≤≤x ．故实数x 的范围是]25,21[．…………5分 (Ⅲ)因为函数n x x mx x g +++=2)(2 是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，则存在区间),2[],[+∞-⊆b a 和常数c ，使得c n x x mx =+++.2.2恒成立，所以．22)(2c mx n x x -=++恒成立，即⎪⎩⎪⎨⎧==-=n c m c m 22221．解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==111n c m 或⎪⎩⎪⎨⎧==-=111n c m . 当⎪⎩⎪⎨⎧=-==111n c m 时，|1|)(++=x x x g当x∈[-2，-l]时，g(x)=-l ，当x∈(-1，+∞)时，g(x)=2x+l>-1恒成立，此时，g(x)是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数．当⎪⎩⎪⎨⎧==-=111n c m 时，|1|)(++-=x x x g当x∈[-2，-1]时，g(x)=-2x-1≥1，当x ∈(-1，+∞)时，g(x)=1．此时，g(x)不是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数， 综上分析，m=l ，n=l 为所求， …………14分 20.（本题满分14分）已知数列{}n a 满足0>n a ，且对切n ∈N *有231nini S a-∑=，其中∑==ni i n a S 1(Ⅰ)对一切n ∈N *，用a n+1表示S n ； (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ)求证：321<∑=knk a k解：(I)2213111213123n n n n i n i n i n i S S a S a S a -=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=+=∑∑)2()(113111n n n n n n n S a a a S S a +=⇒+=+++++，即 ⇒=-⇒+=++++n n n n n n S a a S a a 22.121121 )(21.121++-=n n n a a S ………… 4分 (II)1111212222+++++⇒-==-n n n n n n S a S s a a 121+++=n n a a ，从而由⇒+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++nn n n n n a a S a a S 21211221)(2112211=-⇒-+-=++++n n n n n n n a a a a a a a所以数列{}n a 是首项a 1=1，公差为1的等差数列，故n a n = ……………9分(Ⅲ)当n>2时，有1.2)1(112-+⋅-⋅<⋅=k k k k k k a k k ).11.1(2k k --=,所以有 112221<+=∑∑==k n k k nk a k a k 32311122<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∑=n k k n k ．……14分。
【2011深圳二模】广东省深圳市2011届高三第二次调研考试(数学文)答案
2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 BBDBCCADCC二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 11． ]1,1[-． 12．c ． 13．18； 298 ． 14．32． 15． 30．说明：第13题第一空2分，第二空3分. 三、解答题 16．（本小题满分12分） 已知函数22()23sincos(cossin).2222x x x x f x =--（1）求函数)(x f 的最大值并求出此时x 的值； （2）若0)(=x f ，求sin cos(π)πsin sin()2x x x x +++-的值.解：（1）22π()23sincos(cossin)3sin cos 2sin()22226x x x x f x x x x =--=-=-…………2分当ππ2π+,62x k k -=∈Z ，即2π2π+,3x k k =∈Z 时，()f x 取得最大值为2.…………6分（2）令()0f x =时，得3tan 3x =. …………8分∴sin cos()sin cos tan 13 2.sin cos tan 1sin sin()2x x x x x x xx x x ππ++--===-+++- …………12分17．（本小题满分12分）某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330 分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：分组 频数频率[180,210） 40.1 [210,240） 8 s [240,270） 120.3 [270,300）100.25[300,330）n t( 1 )求分布表中s ，t 的值；（2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？（3）已知第一组的学生中男、女生均为2人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．解：（1） 80.240s ==，10.10.30.250.15t s =----=．……………………………4分（2）设应抽取x 名第一组的学生，则20,440x =得2x =．故应抽取2名第一组的学生． ……………………………6分 （3）在（II ）的条件下应抽取2名第一组的学生． 记第一组中2名男生为12,a a ，2名女生为12,b b ．按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种等可能的结果，列举如下：121112212212,,,,,a a a b a b a b a b b b ． ……………………………9分其中既有男生又有女生被抽中的有11122122,,,a b a b a b a b 这4种结果， ………………10分 所以既有男生又有女生被抽中的概率为42.63P == …………………………12分18．(本小题满分14分)如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ．现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2． （1）求证：AM ∥平面BEC ；（2）求证：⊥BC 平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.M AFBCDEMEDCBAFG M AFBCD E N图1 图2（1）证明：取EC 中点N ，连结BN MN ,． 在△E D C 中，,M N 分别为,EC ED 的中点，所以MN ∥C D ，且12M N C D =．由已知AB ∥C D ，12A B C D =，所以M N ∥AB ，且M N A B =． …………………………3分 所以四边形ABNM 为平行四边形．所以BN ∥AM ． …………………………4分 又因为⊂BN 平面BEC ，且⊄AM 平面BEC ，所以AM ∥平面BEC ． ………………………5分 （2）证明：在正方形AD EF 中，ED AD ⊥．又因为平面AD EF ⊥平面A B C D ，且平面ADEF 平面A B C D A D =， 所以⊥ED 平面A B C D ．所以ED BC ⊥． ………………………7分 在直角梯形A B C D 中，1==AD AB ，2=CD ，可得2=BC ．在△BC D 中，2,2===CD BC BD ，所以222CD BCBD =+．所以BC BD ⊥． …………………………8分 所以B C ⊥平面BD E ． …………………………10分 （3）解法一：由（2）知，B C ⊥平面BD E又因为B C ⊂平面BC E ， 所以平面B D E ⊥平面BEC ． ……………………11分 过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ，则⊥DG 平面BEC所以点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度 ………………………12分 在直角三角形BDE 中，DG BE DE BD S BDE ⋅=⋅=∆2121所以3632==⋅=BEDE BD DG所以点D 到平面BEC 的距离等于36. ………………………14分解法二：由（2）知，BD BC BE BC ⊥⊥,所以,1222121=⋅⋅=⋅=∆BC BD S BCD.26322121=⋅⋅=⋅=∆BC BE S BCE ………………………12分又BCE D BCD E V V --=，设点D 到平面BEC 的距离为.h 则⋅=⋅∆3131DE S BCD h S BCE ⋅∆所以 36261==⋅=∆∆BCEBCD S DE S h所以点D 到平面BEC 的距离等于36. ………………………14分19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1M . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围． 解：(1)解法一：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由椭圆的定义知: ()()22222223321101104,1,322a c b a c ⎛⎫⎛⎫=++-+-+-===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得 3,2==b a故C 的方程为13422=+yx. ...............4分解法二：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，依题意，122=-b a ①， 将点⎪⎭⎫⎝⎛23,1M 坐标代入得12312222=⎪⎭⎫⎝⎛+ba ②由①②解得3,422==b a ，故C 的方程为13422=+yx. ...............4分（2）因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以22143m n+=，则1342222=+>+nm nm ，从而圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离r nm d =<+=1122，所以直线l 与圆O 相交. ............... 8 分 直线l 被圆O 所截的弦长为 22211212nm dL +-=-=341112413112222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=m m m...............10 分,31341141,4341340222≤+≤≤+≤∴≤≤m m m3362≤≤∴L . ...............14 分20．(本小题满分14分)执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”） （1）若输入2λ=，写出输出结果；（2）若输入2＝λ，令11-=n n a b ，证明}{n b 是等差数列，并写出数列}{n a 的通项公式；（3）若输入25=λ，令212--=n n n a a c ，2011321201132c c c c T ++++= ．求证：98<T ．解:（1）输出结果为0，22，开始输入λ的值1=i ，0=aaa -λ=1输出a1+=i i2011≤i 且λ≠a ？结束是否2. ………………4分（注：写对第一个数给1分，写对二个数得2分.） （2）当2＝λ时，111111---=-++n n n n a a b b 111211----=n na a1112----=n n n a a a 1-=（常数），*N ∈n ，2010≤n ． 所以，}{n b 是首项11-=b ，公差1-=d 的等差数列． …………………………6分 故n b n -=，n a n -=-11，数列}{n a 的通项公式为na n 11-=，*N ∈n ，2011≤n ．……………………………9分 （3）当25＝λ时，nn a a -=+2511，212--=n n n a a c412122124121222511252212212111=----⋅=------=----=+++n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a c c ， ……………………………11分∴}{n c 是以21为首项，41为公比的等比数列．nn n c ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=-41241211n n c n c c c T ⋅++++= 32132nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=41241641441232＋＋＋ 143241241641441241+⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n T ＋＋＋两式作差得1432412412412412412412411+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nn n T ＋＋即 111121443121121214434414n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-118181881811943499434n n n n n n n T ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦……………………………13分当2011=n 时，201120128818182011994349T ⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅<⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………14分21．（本小题满分14分）已知函数()e x f x =（e 为自然对数的底数），x a a x f x f x g ⎪⎭⎫⎝⎛+---=1)()()(，∈x R ,0>a ． （1）判断函数)(x g 的奇偶性,并说明理由； （2）求函数)(x g 的单调递增区间；（3）证明：对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立．解: （1） 函数)(x g 的定义域为R ，且11()()()()()()g x f x f x a x f x f x a x g x a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--++=----+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴ 函数)(x g 是奇函数. ………………2分（2）2111()e eee e 1e (e )(e )x xxx x x x xg x a a a a a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=+-+=-++=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦………………3分当1a =时，2'()e (e 1)0x x g x -=-≥且当且仅当0x =时成立等号，故()g x 在R 上递增；………………4分 当01a <<时，1a a<，令'()0g x >得1e xa>或e xa <，故()g x 的单调递增区间为(,ln )a -∞或(ln ,)a -+∞； ………………5分当1a >时，1a a>，令'()0g x >得e xa >或1e x a<，故()g x 的单调递增区间为(,ln )a -∞-或(ln ,)a +∞． ………………6分（3）不妨设21x x >,2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+⇔121212212eeee e2x x x x x x x x +-+<<-,12211221222212eeee 12x x x x x x x x x x -----+⇔<<- ………………7分令0221>-=x x x ,则只需证e e e e122xxx xx---+<<………………8分先证e e 12x xx--<, 由（2）知()e e 2x x g x x -=--在R 上递增,∴ 当0>x 时，()(0)0g x g >=∴ e e2x xx -->，从而由0>x 知e e 12xxx--<成立； ………………10分再证e e e e 22x xx xx---+<，即证：e e e e xx xx x ---<+，令e e ()e exx xxh x x ---=-+，则222e 12()1e1e1x x xh x x x -=-=--++是减函数，∴当0>x 时，0)0()(=<h x h ，从而e e e exx xxx ---<+成立. ………………13分综上，对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立. ………………14分命题人：许书华 姚亮 胡士军。
2011年广东省深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)2011.3.3
2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）2011.3.3参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
柱体的体积公式V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。
如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知,a b R ∈，若3(1)a bi i i +=+⋅（其中i 为虚数单位），则( )A 、1,1a b =-=B 、1,1a b =-=-C 、1,1a b ==-D 、1,1a b ==2、已知p ：“a =，q ：“直线0x y +=与圆22()1x y a +-=相切”，则p 是q 的( ) A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件3、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11S =，424S S =，则64S S 的值为（ ） A 、94 B 、32 C 、54D 、4 4、如图，圆O ：222x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ）A 、24π B 、34πC 、22πD 、32π5、在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库。
一号仓库存有则10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。
现在要把所有的货物集中存放一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是（ ）A 、450元B 、500元C 、550元D 、600元6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、2B 、1C 、23D 、137、设平面区域D 是由双曲线2214y x -=的两条渐近线 和直线680x y --=所围成三角形的边界及内部。
广东省深圳市高三数学第二次调研考试 文
绝密★启用前 试卷类型：A2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为Sh V 31=． 一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设集合}5,4,3,2,1{=U ，}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则)(B A U等于A ．}2{B ．}5{C ．}4,3,2,1{D ．}5,4,3,1{ 2．复数(1)z i i =+（i 为虚数单位）的模等于 A ．1 B. 2 C. 0 D. 23．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，且4=a ，34=b ，︒=∠30A ，则B ∠等于A ．030 B ．030或0150 C ．060 D ．060或0120 4．已知向量)1,1(=a ，),2(n =b ，若b a ⊥，则n 等于A ．3-B ．2-C ．1D ．2 5. 曲线x x y ln 2-=在点)2,1(处的切线方程为A ．1--=x yB ．3+-=x yC ．1+=x yD ．1-=x y6．已知图1、图2分别表示A 、B 两城市某月1日至6日当天最低气温的数据折线图(其中横轴n 表示日期,纵轴x 表示气温)，记A 、B 两城市这6天的最低气温平均数分别为A x 和B x ,标准差分别为A s 和B s ．则A ．B A x x >，B A s s > B ．B A x x >，B A s s <C ．B A x x <，B A s s >D ．B A x x <，B A s s <7．已知p ：3k >；q ：方程22131x y k k +=--表示双曲线．则p 是q 的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 8．如右图，已知一个锥体的正（主）视图，侧（左）视图和 俯视图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥 体的体积为A ．24B ．8C ．12D ．49．因为某种产品的两种原料相继提价，所以生产者决定对产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价%p ，第二次提价%q ； 方案乙：第一次提价%q ，第二次提价%p ； 方案丙：第一次提价%2p q +，第二次提价%2p q+， 其中0>>q p ，比较上述三种方案，提价最多的是A ．甲B ．乙C ．丙D ．一样多 10．先后抛掷一枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6），所得向上点数分别为m 和n ，则函数311201132y mx nx =-+在),1[∞+上为增函数的概率是 A.23 B. 34 C. 56 D. 79正(主)视图侧(左)视图4651015图1 51015图2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答．11．已知点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则x y u -=的取值范围是 ．12．定义⎩⎨⎧≥<=.,,,*b a b b a a b a 已知3.03=a ，33.0=b ，3.0log 3=c ，则=c b a *)*( ．（结果用a ，b ，c 表示）13．如图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形（如图2），再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形（如图3），…，依此类推．设第n 个图中原三角形被剖分成n a 个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为 ；=100a ．图1 图2 图3（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线θρcos 4=与cos 4ρθ=的交点为A ,点M 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛π32，，则线段AM 的长为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90B ，4=AB ，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，2=AD ，则C ∠的大小为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数⎪⎭⎫⎝⎛--=2sin 2cos 2cos 2sin32)(22x xx x x f ． AB CD… …（1）求函数)(x f 的最大值并求出此时x 的值； （2）若0)(=x f ，求)2sin(sin )cos(sin x x x x -π++π+的值．17．（本小题满分12分）某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：（1）求分布表中s ，t 的值；（2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？ （3）已知第一组的学生中男、女生均为2人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．18．（本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．（1）求证：AM ∥平面BEC ； （2）求证：⊥BC 平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.FEDCBA图1ABCDFE 图2M19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．20．（本小题满分14分）执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（1）若输入λ=，写出输出结果；（2）若输入2＝λ，令11-=n n a b ，证明}{n b 是等差数列，并写出数列}{n a 的通项公式； （3）若输入25=λ，令212--=n n n a a c ，2011321201132c c c c T ++++= ．求证：98<T ．21．（本小题满分14分）已知函数()e x f x =（e 为自然对数的底数），x a a x f x f x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=1)()()(，∈x R ,0>a ．（1）判断函数)(x g 的奇偶性,并说明理由； （2）求函数)(x g 的单调递增区间；（3）证明：对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立． 2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 11． ]1,1[-． 12．c ． 13．18； 298 ． 14．32． 15．30． 说明：第13题第一空2分，第二空3分. 三、解答题 16．（本小题满分12分） 已知函数22()cos (cos sin ).2222x x x xf x =-- （1）求函数)(x f 的最大值并求出此时x 的值；（2）若0)(=x f ，求sin cos(π)πsin sin()2x x x x +++-的值. 解：（1）22π()cos (cos sin )cos 2sin()22226x x x x f x x x x =--=-=- …………2分当ππ2π+,62x k k -=∈Z ，即2π2π+,3x k k =∈Z 时，()f x 取得最大值为2.…………6分（2）令()0f x =时，得tan x =. …………8分∴sin cos()sin cos tan 12.sin cos tan 1sin sin()2x x x x x x x x x x ππ++--===+++- …………12分17．（本小题满分12分）某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330( 1 )求分布表中，的值；（2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？（3）已知第一组的学生中男、女生均为2人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．解：（1） 80.240s ==，10.10.30.250.15t s =----=．……………………………4分 （2）设应抽取x 名第一组的学生，则20,440x =得2x =． 故应抽取2名第一组的学生． ……………………………6分 （3）在（II ）的条件下应抽取2名第一组的学生．记第一组中2名男生为12,a a ，2名女生为12,b b ．按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种等可能的结果，列举如下：121112212212,,,,,a a a b a b a b a b bb ． ……………………………9分其中既有男生又有女生被抽中的有11122122,,,a b a b a b a b 这4种结果， ………………10分 所以既有男生又有女生被抽中的概率为42.63P == …………………………12分 18．(本小题满分14分)如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2． （1）求证：AM ∥平面BEC ；G M AFBCD E N（2）求证：⊥BC 平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.图1 图2（1）证明：取EC 中点N ，连结BN MN ,． 在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， 所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =． …………………………3分 所以四边形ABNM 为平行四边形．所以BN ∥AM ． …………………………4分 又因为⊂BN 平面BEC ，且⊄AM 平面BEC ，所以AM ∥平面BEC ． ………………………5分 （2）证明：在正方形ADEF 中，ED AD ⊥． 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以⊥ED 平面ABCD ．所以ED BC ⊥． ………………………7分 在直角梯形ABCD 中，1==AD AB ，2=CD ，可得2=BC ．在△BCD 中，2,2===CD BC BD ， 所以222CD BC BD =+．所以BC BD ⊥． …………………………8分 所以BC ⊥平面BDE ． …………………………10分 （3）解法一：由（2）知，BC ⊥平面BDE又因为BC ⊂平面BCE ， 所以平面BDE ⊥平面BEC ． ……………………11分 过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ，则⊥DG 平面BEC所以点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度 ………………………12分M AFBCDEMC在直角三角形BDE 中，DG BE DE BD S BDE ⋅=⋅=∆2121 所以3632==⋅=BE DE BD DG 所以点D 到平面BEC 的距离等于36. ………………………14分 解法二：由（2）知，BD BC BE BC ⊥⊥, 所以,1222121=⋅⋅=⋅=∆BC BD S BCD .26322121=⋅⋅=⋅=∆BC BE S BCE ………………………12分 又BCE D BCD E V V --=，设点D 到平面BEC 的距离为.h 则⋅=⋅∆3131DE S BCD h S BCE ⋅∆ 所以 36261==⋅=∆∆BCE BCD S DE S h 所以点D 到平面BEC 的距离等于36. ………………………14分 19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．解：(1)解法一：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由椭圆的定义知:22224,1,3a c b a c ====-= 得 3,2==b a故C 的方程为13422=+y x . ...............4分解法二：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，依题意，122=-b a ①， 将点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M 坐标代入得12312222=⎪⎭⎫⎝⎛+b a ② 由①②解得3,422==b a ，故C 的方程为13422=+y x . ...............4分 （2）因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以22143m n +=，则1342222=+>+n m n m ， 从而圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离r nm d =<+=1122，所以直线l 与圆O 相交. ............... 8 分 直线l 被圆O 所截的弦长为22211212nm d L +-=-=341112413112222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=m m m...............10 分,31341141,4341340222≤+≤≤+≤∴≤≤m m m 3362≤≤∴L . ...............14 分 20．(本小题满分14分)执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（1）若输入λ，写出输出结果；（2）若输入2＝λ，令11-=n n a b ，证明}{n b 是等差数列，并写出数列}{n a 的通项公式； （3）若输入25=λ，令212--=n n n a a c ，2011321201132c c c c T ++++= ．求证：98<T ．解:（1）输出结果为0，.………………4分（注：写对第一个数给1分，写对二个数得2分.） （2）当2＝λ时，111111---=-++n n n n a a b b 111211----=n na a 1112----=n n n a a a 1-=（常数），*N ∈n ，2010≤n ． 所以，}{n b 是首项11-=b ，公差1-=d 的等差数列． …………………………6分 故n b n -=，n a n -=-11，数列}{n a 的通项公式为n a n 11-=，*N ∈n ，2011≤n ．……………………………9分 （3）当25＝λ时，n n a a -=+2511，212--=n n n a a c41212212412122211252212212111=----⋅=------=----=+++n n n n n n nn n n n n nn a a a a a a a a a a a a c c ， ……………………………11分∴}{n c 是以21为首项，41为公比的等比数列．nn n c ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=-41241211n n c n c c c T ⋅++++= 32132nn ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=41241641441232＋＋＋143241241641441241+⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n T ＋＋＋两式作差得1432412412412412412412411+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nn n T ＋＋即 111121443121121214434414n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-118181881811943499434nn n n n n n T ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--=--⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦……………………………13分当2011=n 时，201120128818182011994349T ⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅<⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………14分 21．（本小题满分14分）已知函数()e xf x =（e 为自然对数的底数），x a a x f x f xg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=1)()()(，∈x R ,0>a ．（1）判断函数)(x g 的奇偶性,并说明理由； （2）求函数)(x g 的单调递增区间；（3）证明：对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立． 解: （1） 函数)(x g 的定义域为R ，且11()()()()()()g x f x f x a x f x f x a x g x a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--++=----+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴ 函数)(x g 是奇函数. ………………2分（2）2111()e e e e e 1e (e )(e )x x x x x x x xg x a a a a a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=+-+=-++=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦………………3分当1a =时，2'()e (e 1)0x x g x -=-≥且当且仅当0x =时成立等号，故()g x 在R 上递增； ………………4分 当01a <<时，1a a <，令'()0g x >得1e x a>或e xa <， 故()g x 的单调递增区间为(,ln )a -∞或(ln ,)a -+∞； ………………5分 当1a >时，1a a >，令'()0g x >得e xa >或1e x a<， 故()g x 的单调递增区间为(,ln )a -∞-或(ln ,)a +∞． ………………6分 （3）不妨设21x x >,2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+⇔121212212e e e e e2x xx x x x x x +-+<<-, 12211221222212ee ee 12x x x x x x x x x x -----+⇔<<- ………………7分令0221>-=x x x ,则只需证e e e e 122x x x x x ---+<< ………………8分 先证e e 12x xx--<, 由（2）知()e e 2x x g x x -=--在R 上递增,∴ 当0>x 时，()(0)0g x g >=∴ e e 2xxx -->，从而由0>x 知e e 12x xx--<成立； ………………10分再证e e e e 22x x x x x ---+<，即证：e e e e x xxxx ---<+， 令e e ()e e x x x x h x x ---=-+，则222e 12()1e 1e 1x x xh x x x -=-=--++是减函数， ∴当0>x 时，0)0()(=<h x h ，从而e e e e x xxxx ---<+成立. ………………13分综上，对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立. ………………14分。
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绝密★启用前 试卷类型：A2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科） 2011.4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为Sh V 31=． 若X ～),(p n B ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设集合}5,4,3,2,1{=U ，}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则)(B A U等于A ．}2{B ．}5{C ．}4,3,2,1{D ．}5,4,3,1{ 2．复数iiz -=1（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知a ，b 是非零向量，则a 与b 不共线．．．是||||||b a b a +<+的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件4．已知双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 43=，则此双曲线的离心率为A ．45B ．34C ．35D ．475．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若甲s ，乙s ，丙s 分别表示他们测试成绩的标准差，则 A ．丙乙甲s s s << B ．乙丙甲s s s << C ．丙甲乙s s s << D ．乙甲丙s s s <<6．已知△ABC 中，︒=∠30A ，AB ，BC 分别是23+，23－的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于 A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．23或437．学校准备从5位报名同学中挑选3人，分别担任2011年世界大学生运动会田径、游泳和球类3个不同项目比赛的志愿者，已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方法共有A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种8．设},,20,20|),{(R ∈<<<<=c a c a c a A ，则任取A c a ∈),(，关于x 的方程022=++c x ax 有实根的概率为A ．22ln 1+B ．22ln 1-C ．42ln 21+D ．42ln 23-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答．9．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）．10．已知函数21121)(-+=xx f 的定义域是R ，则)(x f 正视图左视图图1 图2 图311．如图4，已知一个锥体的正视图（也称主视图），左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形， 且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积是 ． 12．如果对于任意的正实数x ，不等式1≥+xax 恒成立，则a 的取值范围是 ． 13．如图5，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和 1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（极坐标与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+==.sin 1,cos ϕϕy x （ϕ为参数，)2,0[π∈ϕ）．若以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图6，直角三角形ABC 中，︒=∠90B ，4=AB ，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，2=AD ，则C ∠的大小为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）设函数⎪⎭⎫⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω，R ∈x ． （1）若21＝ω，求)(x f 的最大值及相应的x 的集合； （2）若8π=x 是)(x f 的一个零点，且100<<ω，求ω的值和)(x f 的最小正周期．17．（本小题满分12分）为了评估天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近50多年的气象............第1行 ............第2行 ............第3行 ............第4行 ............第5行 (6)图5AB CD图6数据资料的统计分析，发现8月份是我市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天（如图7）．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．（1）求在大运会开幕（8月12日）后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率（精确到0.01）；（2）设大运会期间（8月12日至23日，共12天），发生雷电天气的天数为X ，求X 的数学期望和方差．18．（本小题满分14分）如图8，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直，如图9．（1）求证：平面⊥BDE 平面BEC ；（2）求平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小． FED CBA图82468图719．（本小题满分14分）平面直角坐标系中，已知直线l :4=x ，定点)0,1(F ，动点),(y x P 到直线l 的距离是到定点F 的距离的2倍.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若M 为轨迹C 上的点，以M 为圆心，MF 长为半径作圆M ，若过点)0,1(-E 可作圆M 的两条切线EA ,EB （A ，B 为切点），求四边形EAMB 面积的最大值．20．（本小题满分14分）执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（1）若输入2＝λ，写出输出结果； （2）若输入2＝λ，求数列}{n a 的通项公式； （3）若输入2>λ，令1--=n n n pa pa c ，求常数p （1±≠p ），使得}{n c 是等比数列．图1021．（本小题满分14分）已知函数)(x f 满足如下条件：当]1,1(-∈x 时，)1ln()(+=x x f ，且对任意R ∈x ，都有1)(2)2(+=+x f x f ．（1）求函数)(x f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）求当]12,12(+-∈k k x ，*N ∈k 时，函数)(x f 的解析式； （3）是否存在]12,12(+-∈k k x k ，2011210，，，， =k ，使得等式201724019)](2[201220110+⨯=-∑=k kk kx f x成立？若存在就求出k x （2011210，，，， =k ），若不存在，说明理由．2011年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科)试题参考答案及评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．第9～13题为必做题，第14、15题为选做题，两题全答的，只计算前一题的得分．9． 10 10．⎪⎭⎫⎝⎛-21,21 11． 4 12．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,41 13． 55 14．θρsin 2= 15．︒30三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）设函数⎪⎭⎫⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω，R ∈x ．（1）若21＝ω，求)(x f 的最大值及相应的x 的集合； （2）若8π=x 是)(x f 的一个零点，且100<<ω，求ω的值和)(x f 的最小正周期．解 （1）x x x x x f ωωωωcos sin 2sin sin )(-=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+=， ………………1分当21＝ω时，⎪⎭⎫⎝⎛-=42sin 22cos 2sin )(πx x x x f ＝－， ………………2分而142sin 1≤⎪⎭⎫⎝⎛π-≤-x ，所以)(x f 的最大值为2， ……………4分此时，π+π=π-k x 2242，∈k Z ，即π+π=k x 423，Z ∈k ， 相应的x 的集合为},423|{Z ∈π+π=k k x x ． ……………6分 （2）（法一）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2)(πωx x f ，所以，8π=x 是)(x f 的一个零点⇔048sin 8=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππωf ， ………………8分即π=π-πk 48ω，Z ∈k ，整理，得28+=k ω， 又100<<ω，所以10280<+<k ，141<<-k ，而Z ∈k ，所以0=k ，2=ω，…10分⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42sin 2)(x x f ，)(x f 的最小正周期为π． ………………12分（法二）8π=x 是)(x f 的一个零点⇔08cos 8sin 8=π-π=⎪⎭⎫⎝⎛πωωf ，即18tan =πω． ……………8分 所以48π+π=πk ω，Z ∈k ，整理，得28+=k ω， 又100<<ω，所以10280<+<k ，141<<-k ，而Z ∈k ，所以0=k ，2=ω， 10分⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42sin 2)(x x f ，)(x f 的最小正周期为π． ……………12分17．（本小题满分12分）为了评估天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近50多年的气象数据资料的统计分析，发现8月份是我市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天（如图7）．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．（1）求在大运会开幕（8月12日）后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率（精确到0.01）；（2）设大运会期间（8月12日至23日，共12天），发生雷电天气的天数为X ，求X 的数学期望和方差．解 （1）设8月份一天中发生雷电天气的概率为p ，由已知47.03157.14==p ． ……………2分 因为每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立， 所以，在大运会开幕后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率)47.01(47.0223-⨯⨯=C P351231.0=35.0≈． ……………6分（2）由已知X ～)47.0,12(B ． …………………8分所以，X 的数学期望64.547.012)(=⨯=X E ． …………………………10分X 的方差9892.247.0147.012)(）＝－（⨯⨯=X D ． …………………………12分 18．（本小题满分14分）如图8，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ．现以AD为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直，如图9．（1）求证：平面⊥BDE 平面BEC ；（2）求平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小． 证明（1）（法一）因为平面⊥ADEF 平面ABCD ， 且平面 ADEF 平面AD ABCD =， 又在正方形ADEF 中，AD ED ⊥，所以，⊥ED 平面ABCD ． ………………2分 而⊂BC 平面ABCD ，所以，BC ED ⊥． ………………3分 FE D CA图82468图7而⊂BC 平面BEC ，所以，平面⊥BDE 平面BEC ． ……………7分（法二）同法一，得⊥ED 平面ABCD ． …………………………2分 以D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y z 轴，建立空间直角坐标系．则)0,0,0(D ，)0,1,1(B ，)0,2,0(C ，)1,0,0(E ． …………………………3分所以，)0,1,1(-=BC ， )0,1,1(=DB ，)1,0,0(=DE ,000111)1(=⨯+⨯+⨯-=⋅DB BC ，010010)1(=⨯+⨯+⨯-=⋅DE BC ，所以，DB BC ⊥，DE BC ⊥． …………………………………5分又DB ，DE 不共线，DB ，⊂DE 平面BDE ，所以，⊥BC 平面BDE ． …………………………6分 而⊂BC 平面BEC ，所以，平面⊥BDE 平面BEC ． …………………………7分解 （2）（法一）因为AD EF //，⊄EF 平面ABCD ，⊂AD 平面ABCD ，所以，//EF 平面ABCD ． …………………………9分 因为平面EFB 与平面ABCD 有公共点B ，所以可设平面 EFB 平面BG ABCD =，CD G ∈．因为//EF 平面ABCD ，⊂EF 平面EFB ，平面 EFB 平面BG ABCD =， 所以BG EF //． ………………………10分 从而，AD BG //，又DG AB //，且1=AB ，2＝CD ，所以G 为CD 中点，ABGD 也为正方形． 12分 易知⊥BG 平面ECD ，所以EG BG ⊥，DG BG ⊥．所以，EGD ∠是平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的平面角， 而︒=∠45EGD ，所以平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为︒45． …………………………14分 （法二）由（1）知，平面ABCD 的一个法向量是)1,0,0(=m ． ………………9分 设平面EFB 的一个法向量为),,(z y x =n ，因为)0,0,1(==DA EF ，)1,1,1()1,0,0()0,1,1(-=-=-=DE DB EB所以，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅==⋅.0,0z y x EB x n n 取1=y ，得1=z ，所以)1,1,0(=n ．………………11分设平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为θ，则2221||||cos ==⋅=n m n m θ． ………………………………13分 所以平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为︒45． …………………………14分 19．（本小题满分14分）平面直角坐标系中，已知直线l :4=x ，定点)0,1(F ，动点),(y x P 到直线l 的距离是到定点F 的距离的2倍.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若M 为轨迹C 上的点，以M 为圆心，MF 长为半径作圆M ，若过点)0,1(-E 可作圆M 的两条切线EA ,EB （A ，B 为切点），求四边形EAMB 面积的最大值． 解（1）设点P 到l 的距离为d ，依题意得||2PF d =，即()2212|4y x x +-=-｜， ………………………………2分整理得，轨迹C 的方程为13422=+y x ． ………………………………4分 （2）（法一）设()00,y x M ，圆M ：()()22020r y y x x =-+-，其中2020)1(||y x MF r +-==由两切线存在可知，点E 在圆M 外， 所以，()()()20202020101y x y x +->-+--，即00>x ，又()00,y x M 为轨迹C 上的点，所以200≤<x ．而|4|212||0-==x d MF ，所以，||1<≤MF ，即． ……………………6分 由（1）知，()0,1-E 为椭圆的左焦点，根据椭圆定义知，4||||=+MF ME ，所以r ME -=4||，而r MF MB ==|||｜， 所以，在直角三角形MEB 中，r r r EB 242)4(||22-=--=，r r MB EB S MEB 24||||21Δ-=⋅=， 由圆的性质知，四边形EAMB 面积S S MEB 22Δ==即23422r r S +-=（21<≤r ）．令2342r r y +-=（21<≤r ），则)43(2862--=+-='r r r r y ， 当341<<r 时，0>'y ，2342r r y +-=单调递增； M当234<<r 时，0<'y ，2342r r y +-=单调递减． 所以，在34=r 时，y 取极大值，也是最大值，此时3916244342223max=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=S ． …………………………14分（法二）同法一，四边形EAMB 面积r r S S MEB 2422Δ-==，其中21<≤r ．…10分所以39163242)24(23=⎪⎭⎫⎝⎛-++≤-⋅⋅=n n n r r r S ． 由r r 24-=，解得)2,1[34∈=r ，所以3916max =S ． ……………………14分 20．（本小题满分14分）执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（1）若输入2＝λ，写出输出结果； （2）若输入2＝λ，求数列}{n a 的通项公式； （3）若输入2>λ，令1--=n n n pa pa c ，求常数p （1±≠p ），使得}{n c 是等比数列．解 （1）输出结果是：0，22，2． (3)（2）（法一）由程序框图可知，01=a ，nn a a -λ=+11，*N ∈n ，≤n 所以，当2＝λ时，nn a a -=+211， …………………5分nnn n a a a a --=--=-+2112111， 而}{n a 中的任意一项均不为1，（否则的话，由11=+n a 可以得到1=n a ， …，与101≠=a 矛盾），所以，11112111--=--=-+n n n n a a a a ， 111111-=---+n n a a （常数），*N ∈n ，2010≤n ． 图10故⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是首项为1-，公差为1-的等差数列， ……………………………7分 所以，n a n -=-11，数列}{n a 的通项公式为n a n 11-=，*N ∈n ，2011≤n ．…8分（法二）当2＝λ时，由程序框图可知，01=a ，212=a ，323＝a ，434=a ，……猜想nn a n 1-=，*N ∈n ，2011≤n ． …………………………………………5分以下用数学归纳法证明： ①当1=n 时，101111a n n ==-=-，猜想正确； ②假设k n =（*N ∈n ，2010≤n ）时，猜想正确．即kk a k 1-=，………………7分 那么，当1+=k n 时，由程序框图可知，11)1(12111+-+=--λ=+k k k k a a k k －＝．即1+=k n 时，猜想也正确． 由①②，根据数学归纳法原理，猜想nn a n 1-=正确，*N ∈n ，2011≤n ． ……8分（3）（法一）当2>λ时，)(11111222111p p pa p p p a p p a p pa a p p a pa p a c n n n n nn n n n -λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λ-⋅=+λ-+λ-=--λ--λ=--=+++， 令112=-λp p ，则p p 1+=λ，012=+λ-p p ，242-λ±λ=p ． …………10分此时，1122=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-λp p p p p p ， ………………………………12分 所以n n c p c 21=+，*N ∈n ，2011≤n ，又01≠=p c ，故存在常数242-λ±λ=p （2>λ），使得}{n c 是以p 为首项，2p 为公比的等比数列． ……………………………14分（法二）当2>λ时，令x p p -=1，即012=+λ-p p ，解得242-λ±λ=p ， (10)分因为nn a a -λ=+11，*N ∈n ，2010≤n ．所以nnn n n n n n a p a p a p pa a p pa p a p a -λ-⋅=-λ-=-λ+λ-=--λ=+2111－， ① n n n n n n n n a pa p a p p pa p a p a a ppa -λ-⋅=-λ+λ-⋅=-λ+λ-=--λ=-+1111121，② 12分 ①÷②，得11211--⋅=--++n nn n pa pa p pa p a ， 即n n c p c 21=+，*N ∈n ，2011≤n ，又01≠=p c ，故存在常数242-λ±λ=p （2>λ）使得}{n c 是以p 为首项，2p 为公比的等比数列． ……………………………14分21．（本小题满分14分）已知函数)(x f 满足如下条件：当]1,1(-∈x 时，)1ln()(+=x x f ，且对任意R ∈x ，都有1)(2)2(+=+x f x f ．（1）求函数)(x f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）求当]12,12(+-∈k k x ，*N ∈k 时，函数)(x f 的解析式；（3）是否存在]12,12(+-∈k k x k ，2011210，，，，=k ，使得等式 201724019)](2[201220110+⨯=-∑=k kk kx f x成立？若存在就求出k x （2011210，，，， =k ），若不存在，说明理由．解 （1）]1,1(-∈x 时，)1ln()(+=x x f ，11)(+='x x f ， ………………………2分 所以，函数)(x f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程为)0)(0()0(-'=-x f f y ，即x y =．…3分（2）因为1)(2)2(+=+x f x f ，所以，当]12,12(+-∈k k x ，*N ∈k 时，]1,1(2-∈-k x ， ………………………4分1)2(2)(+-=x f x f 12)4(22++-=x f 122)6(223+++-=x f=1222)2(221+++++-=-- k k k k x f 12)12ln(2-++-=k k k x ．…6分（3）考虑函数)(2)(x f x x g k-=，]12,12(+-∈k k x ，N ∈k ，则12)2(21222)(+--=+--='k x k x k x x g k k k，当k x k 212<<-时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减； 当k x 2=时，0)(='x g ；当122+<<k x k 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；所以，当]12,12(+-∈k k x ，N ∈k 时，12)12()2()(+-=≥k k k g x g ，当且仅当k x 2=时，12)12()2()(+-==k k k g x g ． ……………………………10分所以，]12)12[()()](2[2011201102011+-≥=-∑∑∑===k k k k k kk kk x g x f x而n n k n nk k+-++⋅+⋅=+-∑=2)12(2321]12)12[(210，令n n n S 2)12(232121-++⋅+⋅= ，则1322)12(23212+-++⋅+⋅=n n n S ， 两式相减得，13212)12(22222221+--⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n S62)32(2)12(12)12(222111121---=----⋅+⋅=++-n n n n n ．所以，62)32(1+-=+n n n S ，故2017240192011]12)12[(201220112011+⋅=+=+-∑=S k k k． ……………………12分所以，20172401912)12[()()](2[120110201102011+⋅=+-≥=-+===∑∑∑n k k k k k kk kk x g x f x．当且仅当k x k 2=2011,,2,1,0, =k 时，20172401912)12[()()](2[120112011020110+⋅=+-==-+===∑∑∑n k k k k k kk kk x g x f x．所以，存在唯一一组实数k x k 2=，2011,,2,1,0 =k ，使得等式201724019)](2[12011+⋅=-+=∑n k kk kx f x成立． ……………………………14分。