13不等式的应用
级安徽职高高一数学教案：第二章 不等式13
课题： 列不等式解实际应用问题课时：1课时教学目标：1．学会列简单的不等式解决一些实际应用中的问题2．培养学生理论联系实际的能力3．培养学生解决实际问题的能力教学重点：列不等式解实际的应用问题教学难点：如何根据题目给的已知条件，列出符合题意的不等式教学过程：一．引入在初中已经学习了列一元一次方程、一元二次方程、分式方程和二元一次方程组等解应用题。
这些实际问题，反映了不同量之间的相等关系。
根据题设条件可列出含有未知数的等式，即方程。
但是，还有大量的实际问题不能用等式表示，必须用不等式赖解决二．举例例1 某校团委举行讲演比赛，要发纪念品，派一人带120元钱去商店买一打10元一支的钢笔，但商店里没有10元一支的钢笔，有13元一支和8元一支的钢笔，因此总共买了一打这两种钢笔，要使这打钢笔中含有尽可能多的13元一支的钢笔，那么这两种钢笔各应买多少支呢？分析：设买13元一支的钢笔x 支，那么买8元一支的钢笔为（12－x ）支，买13元一支的钢笔共用去13x 元，买8元一支的钢笔共用去8（12－x ）元，这两种钢笔用的钱数应小于或等于120元，根据题意就可以列出不等式求解解：设买13元一支的钢笔x 支，那么买8元一支的钢笔是（12－x ）支，根据题意，得13x+8(12-x)≤120，解得 x ≤4.8，所以，买13元一支的钢笔为4支，把x=4带入12-x 中，得 12-4=8答：买13元一支的钢笔4支，买8元一支的钢笔8支例2 李明在工厂生产一种机器零件，第一天生产72个，第二天生产86个，第三天再生产多少个才能使三天平均生产的机器零件在80个以上？分析：设李明第三天生产的机器零件为x 个，那么他三天生产的机器零件的平均数应该是38672x ++个；题中要求李明三天生产的机器零件平均在80个以上，所以他三天生产的机器零件的平均数，必须大于或等于80个解：设李明第三天生产的机器零件为x 个，根据题意，得38672x ++≥80 解得 x ≥82答：李明第三天应生产机器零件82个以上例3 学校会议室里有一个长3米，宽2米的长方形桌子，要做一块桌布，使它的面积是桌面面积的两倍以上，并要求从桌面四边垂下的长度相等，应怎样做？分析：设桌布垂下的长度为x 米，则桌布的长为(2x+3)米，宽为(2x+2)米，桌布面积是(2x+3) (2x+2)平方米，它的面积应大于或等于桌面面积3×2平方米的2倍解：设桌布垂下的长度为x 米，那么桌布的长是(2x+3)米，宽是(2x+2)米根据题意，得(2x+3)(2x+2)≥2×3×2整理，得 03522≥-+x x ，解03522=-+x x ，得3,2121-==x x 所以 x ≥21 或 x ≤－3，x ≤－3不合题意，应舍去 答：桌布四边垂下得长度是0.5米以上列不等式解应用题，关键在于分析题中的数量关系及它们之间存在的不等关系，找出解题思路课堂练习：课本58页，练习，第1题作业：课本59页，习题三，A 组的第5题课题：第二章复习课时：1课时教学目标：1．使学生全面地回顾第二章的全部知识2．让学生比较系统地掌握第二章的重点知识3．培养学生实际解决问题的能力教学重点：不等式的性质、一元二次不等式及其解法、分式不等式及其解法、含绝对值的一元一次不等式及其解法和列不等式解实际应用问题教学难点：列不等式解实际应用问题教学过程：一．数集非负整数集（自然数集）――N ；正整数集――+N ；整数集――Z有理数集――Q ；实数集――R它们之间的关系是：+N ⊆N ⊆Z ⊆Q ⊆R 且+N ⊂N ⊂Z ⊂Q ⊂R二．不等式的性质1．性质1如果a>b ，那么b<a ；反过来，如果b<a ，那么a>b ，也就是a>b ⇔b<a2．性质2如果a>b ，b>c ，那么a>c ，也就是a>b ，b>c ⇒a>c注：性质2称为不等式的传递性3．性质3如果a>b ，那么a+c>b+c ，也就是a>b ⇒a+c>b+c推论：a>b ，c>d ⇒a+c>b+d4．性质4如果a>b ，c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc ，也就是a>b ，c>0⇒ac>bc ； 推论1：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd推论2：如果a>b>0，那么n n b a > ()1,>∈+n N n5．性质5a>b>0⇒n n b a >（1,>∈+n N n ）三．一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式有两种解法：①是求等价不等式法，②是用图象法例 解不等式：09682≥--x x解：方法1 原不等式等价于0)32)(34(≥-+x x 则有 ⎩⎨⎧≥-≥+032034x x 或 ⎩⎨⎧≤-≤+032034x x 分别解这两个不等式组，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥2343x x 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤2343x x 画数轴，选解集. 得. 原不等式解集为：{x| x ≥23或x ≤43-} 方法2 先把原不等式当方程来解，09682=--x x ，解得431-=x ，232=x 那么一元二次函数9682--=x x y 的图象与x从图象上可以看出不等式 09682≥--x x 的解集为：{x| x ≥23或x ≤43-} 2．解一元不等式组解一元不等式组，就是求不等式组中各个不等式解集的交集，这个交集就是不等式组的解集 例 求不等式组 ⎩⎨⎧≤<<≤-3011x x 的解集解：画出数轴，找出这两个不等式的解集的公共部分，就是所求的不等式组的解集，为 (0,1)四．分式不等式及其解法分式不等式的基本形式：0,0<++>++dcx b ax d cx b ax 解分式不等式的基本方法：找它的等价不等式组例 求分式不等式1223≥+x x 的解集 解：原不等式等价于01223≥-+x x ⇔0222≥+-x x ⇔⎩⎨⎧>+≥-02202x x 或⎩⎨⎧<+≤-02202x x ⇔ ⎩⎨⎧->≥12x x 或⎩⎨⎧-<≤12x x ⇔2≥x 或1-<x所以，原不等式的解集为 {x | 2≥x 或1-<x }五．含绝对值的一元一次不等式及其解法a x a x a x a x a x a a x a x -<>⇔>⇔><<-⇔<⇔<或2222||,||如果a 是一个负数，那么 |x|<a 的解集是空集；|x|>a 的解集是实数集R例 求不等式| 1-2x | >5的解集解：令t=1-2x ，原不等式可化为 | t | >5 ，解得 t >5 或 t <-5，把t=1-2x 代入，得 1-2x >5 或 1-2x <-5，解得 x <-2 或 x >3所以，原不等式的解集为{ x | x <-2 或 x >3}六．列不等式解实际应用问题列不等式解应用题，关键在于分析题中的数量关系及它们之间存在的不等关系，找出解题思路。
高考数学二轮复习微专题13利用基本不等式求代数式的最值问题(含解析)
微专题13 利用基本不等式求代数式的最值问题基本不等式是高中数学的一个重要知识点，在全国各地的高考考纲中都属于C 级(熟例题：(2017·苏锡常镇二模)已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，求a24－2a ＋b2－1b 的最小值．变式1若x>0，y>0，且x2＋y2＝1，则x 1－x2＋y1－y2的最小值是________________．变式2(2018·苏州调研三)设正实数x ，y 满足xy ＝x ＋9yy －x，则y 的最小值是________________．串讲1已知正实数x ，y 满足x ＋2x ＋3y ＋4y ＝10，则xy 的取值范围为________________．串讲2已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM 的值为________________．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________________．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，求4a －1＋16b －1的最小值．答案：16.解析：因为a>0，b>0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，2分则4a －1＋16b －1＝4（b －1）＋16（a －1）（a －1） （b －1）＝4b ＋16a －20ab －（a ＋b ）＋1又4b ＋16a ＝4(b ＋4a)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4×b a ＋4a b ≥20＋4×2× b a ·4ab＝36，6分 微专题13例题答案：7.解法1a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 2＋4b 24－1，下面只要求a 2＋4b 2的最小值即可．因为a ＋2b ＝ab≥2ab ，所以ab≥8，当且仅当a ＝2b ＝4时取等号；又a 2＋4b 2≥2(a·2b)≥32，当且仅当a ＝2b ＝4时取等号，则a 2＋4b24－1≥7.解法2a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 2＋4b 24－1＝（a ＋2b ）2－4ab 4－1＝a 2b 2－4ab 4－1＝（ab －2）2－44－1；因为a ＋2b ＝ab≥2ab ，得ab≥8，当且仅当a ＝2b ＝4时取等号，所以（ab －2）2－44－1≥7.解法3因为ab －a －2b ＝0，所以a ＝2b b －1.那么a 2＋4b 2＝4b 2＋4b 2（b －1）24⎣⎢⎡⎦⎥⎤（c ＋1）2＋（c ＋1）2c 2＝ 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2＋1c 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ＋2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c≥4(22a 2＋4b24－1≥7.解法4因为ab －a －2b ＝0，有2a ＋1b ＝1，则a 2＋4b 2＝(a 2＋4b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 2≥4ab·⎝ ⎛⎭⎪⎫22ab 2＝32.，则a 2＋4b24－1≥7.解法5因为ab －a －2b ＝0，则2a ＋1b ＝1，则a 2＋4b 2＝(a 2＋4b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 2＝a 2b 2＋16b 2a 2＋4a b ＋16b a a 2＋4b24－1≥7.解法6因为ab －a －2b ＝0，令a ＝m ＋n ，2b ＝m －n ，有m 2－n 2＝4m ，n 2＝m 22＋4b 2＝2(m 2＋n 2)＝2(2m 2－4m)＝4(m －1)2－4≥4(4－1)2a 2＋4b 24－1≥7.解法7因为ab －a －2b ＝0，则2a ＋1b ＝1，设a ＝2cos 2θ，b ＝1sin 2θ；那么a 2＋4b 2＝4cos 4θ＋4sin 4θ＝4·sin 4θ＋cos 4θsin 4θcos 4θ＝ 4·1－2sin 2θcos 2θsin 4θcos 4θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－2t ，其中t ＝ sin 2θcos 2θ＝sin 22θ4≤14，则4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－2t a 2＋4b 24－1≥7. 解法8因为ab －a －2b ＝0，则2a ＋1b ＝1，设a ＝2cos 2θ，b ＝1sin 2θ，那么a 2＋4b 2＝4cos 4θ＋4sin 4θ＝4⎣⎢⎡（sin 2θ＋cos 2θ）2sin 4θ＋ ⎦⎥⎤（sin 2θ＋cos 2θ）2cos 4θ＝4 ⎣⎢⎡sin 4θ＋cos 4θ＋2sin 2θcos 2θsin 4θ＋⎦⎥⎤sin 4θ＋cos 4θ＋2sin 2θcos 2θcos 4θ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋t 4＋2t 2＋2t 2＋1t 4＋1a 2＋4b 24－1≥7. 说明：也可利用幂平均不等式得到如下结果：4cos 4θ＋4sin 4θ＝ 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤13（sin 2θ）2＋13（cos 2θ）2≥4（1＋1）3（sin 2θ＋cos 2θ）2＝32. 变式联想变式1答案：2 2.解析：x 1－x 2＋y 1－y 2＝x y 2＋yx 2≥21xy ＝2xy≥2x 2＋y 22＝ 2 2. 变式2答案：3＋10.解析：由题意可知y －x ＝1y ＋9x ，即y －1y ＝x ＋9x ≥6，当且仅当x ＝3时，取等号；由y>0，y －1y ≥6可知y 2－6y －1≥0，解得y≥3＋10. 串讲激活串讲1答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，83.解析：设xy ＝k ，代入整理得10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k x ＋3k ＋2x ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k （3k ＋2），解得1≤k≤83.串讲2 答案：22. 解法1令a ＝1－x ，b ＝x ＋3，则a 2＋b 2＝4.又由－1≤x≤3可知a ，b ∈[0，2]．由（a ＋b ）24＝a 2＋2ab ＋b 2a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2，当ab ＝0时，a ＋b ＝2；当ab≠0，（a ＋b ）24＝1＋2aba 2＋b 2＝1＋2b a ＋a b，由b a ＋a b ≥2得1<（a ＋b ）24≤2，即2<a ＋b≤2 2.综上可知，a ＋b∈[2，22]，m M ＝22.解法2y 2＝4＋24－（x ＋1）2∈[4，8]，∵y ≥0，∴y ∈[2，22]∴m＝α，M ＝22，∴m M ＝22. 解法3设1－x ＝2cos α，3＋x ＝2sin α，α∈[0，π2]，∴y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，∴y ∈[2，22]，下面同解法2. 新题在线答案：14.解析：由a －3b ＋6＝0可知a －3b ＝－6，且2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ，因为对于任意x ，2x>0恒成立，结合均值不等式的结论可得2a＋2－3b≥2×2a ×2－3b＝2×2－6＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2－3b，a －3b ＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，时等号成立．综上可得2a ＋18b 的最小值为14.。
例析不等式在实际生活中的应用
不等式在实际生活中有广泛的应用，下面列举几个常见的例子：
1.金融：不等式可以用来分析金融市场的风险和收益。
例如，可以使用不等式来估算
投资的最大损失，或者计算最小投资回报率。
2.公平竞赛：不等式可以用来保证公平竞赛的公正性。
例如，在体育竞赛中，可以使
用不等式来确定最多能够获得的奖励，以确保所有参赛者有同等的机会获胜。
3.保险：不等式可以用来分析保险公司的风险和收益，并确定保险费用。
例如，可以
使用不等式来估算保险公司的最大赔偿金额，或者计算最小保费收益率。
4.工程设计：不等式可以用来分析工程设计的安全性和可靠性。
例如，在建造高楼大
厦时，可以使用不等式来确定楼房的最大承载能力，以确保安全。
5.统计学：不等式可以用来分析数据的统计特征，例如求出数据的平均值和方差。
不等式性质与应用
不等式性质与应用不等式作为数学中一种重要的关系式，在数学领域具有广泛的应用。
通过研究不等式的性质以及应用，可以帮助我们理解数值关系并解决实际问题。
本文将介绍不等式的基本性质，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性不等式具有传递性，即若对于任意的实数 a、b 和 c，若a ≤ b 且b ≤ c，则有a ≤ c。
这个性质在不等式的推导和证明过程中起着重要的作用。
2. 不等式的加减性若对于任意的实数 a、b 和 c，若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。
若a ≥ b，则 a - c ≥ b - c。
这个性质允许我们在不等式的两侧同时加减相同的数，保持不等式的方向性。
3. 不等式的乘除性若对于任意的实数 a、b 和 c（其中 c > 0），若a ≤ b，则ac ≤ bc。
若a ≥ b，则ac ≥ bc。
若a ≤ b 且 c < 0，则ac ≥ bc。
若a ≥ b 且 c < 0，则ac ≤ bc。
这个性质允许我们在不等式的两侧同时乘除相同的正数，并保持不等式的方向性。
二、不等式的应用1. 不等式在数学问题中的应用不等式在数学问题中起到了重要的作用，尤其在解方程和证明中经常出现。
通过合理运用不等式的性质，我们可以推导出问题的解析解，或者通过大小关系找到某个变量的取值范围。
同时，不等式也是数学竞赛中常见的考点，解题技巧更是需要灵活运用。
2. 不等式在实际问题中的应用不等式在解决实际问题中也扮演着关键角色。
以线性规划为例，通过建立合适的线性不等式模型，可以帮助决策者在资源有限的情况下做出最优决策，例如生产计划、配送路线等。
此外，不等式还能应用于经济学、物理学等领域，解决有关优化、约束条件等方面的问题。
三、不等式的拓展应用1. 不等式的推广除了简单的线性不等式外，还存在多项式不等式、指数不等式、对数不等式等更为复杂的类型。
这些不等式的性质和应用要求我们有更加深入的数学理解和技巧，才能处理更加复杂的问题。
不等式的实际应用教案
不等式的实际应用教案一、教学目标1. 理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 能够将实际问题转化为不等式问题，并运用不等式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 不等式的定义与基本性质2. 实际问题转化为不等式问题3. 不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的概念与基本性质，实际问题转化为不等式问题的方法。
2. 教学难点：不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解不等式的定义与基本性质，引导学生理解不等式的概念。
2. 案例分析法：通过实际问题，引导学生将问题转化为不等式问题，并解决实际问题。
3. 小组讨论法：分组讨论不等式在实际问题中的应用，促进学生之间的交流与合作。
五、教学准备1. 教学课件：制作课件，展示不等式的定义与基本性质，实际问题转化为不等式问题的案例。
2. 练习题：准备一些实际问题，供学生在课堂上练习解决。
【章节一：不等式的定义与基本性质】1. 引入不等式的概念，讲解不等式的定义。
2. 讲解不等式的基本性质，如传递性、同向可加性等。
3. 通过示例，让学生理解不等式的表示方法，如“<”、“>”、“≤”、“≥”等。
【章节二：实际问题转化为不等式问题】1. 引入实际问题，如“两个人比赛跑步，A跑得比B快，如何用不等式表示？”2. 引导学生将实际问题转化为不等式问题，如“A跑得比B快”可以表示为“A 的速度> B的速度”。
3. 通过其他案例，让学生练习将实际问题转化为不等式问题。
【章节三：不等式在实际问题中的应用】1. 引入实际问题，如“一个班级有男生和女生，男生人数多于女生人数，如何用不等式表示？”2. 引导学生将实际问题转化为不等式问题，如“男生人数多于女生人数”可以表示为“男生人数> 女生人数”。
3. 通过其他案例，让学生练习将实际问题转化为不等式问题，并解决实际问题。
【章节四：不等式的解集与图像】1. 讲解不等式的解集的概念，如“解不等式2x + 3 > 7的解集是什么？”2. 引导学生通过图像法或代数法求解不等式的解集。
不等式的解法与应用
不等式的解法与应用不等式是数学中常见的一个概念，它描述了数值之间的关系。
不等式的解法与应用在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍不等式的基本解法，并探讨在数学问题、自然科学和社会科学中的应用。
一、不等式的基本解法不等式的解法通常有两种方法：图像法和代入法。
1. 图像法图像法是通过绘制函数的图像来求解不等式。
以一元一次不等式为例，我们可以将其表示为y=ax+b的形式。
首先，我们将这个不等式转化为等式：y=ax+b。
然后，我们绘制这个函数的图像。
最后，根据题目要求，找出符合不等式的y的范围。
2. 代入法代入法是通过将一些实际数值代入不等式中，来判断不等式的真假。
以一元二次不等式为例，我们可以将其表示为ax^2+bx+c>0的形式。
我们可以将一些x的实际数值代入该不等式，计算出相应的y值，然后判断y的正负性，从而得出不等式的解集。
二、数学问题中的不等式应用不等式在数学问题中有着广泛的应用，包括代数、几何和概率统计等方面。
1. 代数在代数方面，不等式的应用广泛存在于线性规划、优化和函数的性质研究等领域。
例如，在线性规划中，我们需要找到满足一定约束条件下的最优解。
这些约束条件通常可以用不等式描述。
在函数性质研究中，我们常常通过分析不等式解集的特点来研究函数的单调性、极值点和零点等性质。
2. 几何不等式在几何中也有着广泛的应用。
例如，在三角形的研究中，我们可以通过不等式来判断三角形的形状和性质。
例如，对于一个三角形，我们可以使用三角不等式来判断是否为锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。
三、自然科学中的不等式应用不等式在自然科学中也有着重要的应用，包括物理学、化学和生物学等领域。
1. 物理学在物理学中，不等式被广泛应用于描述力学系统、热力学系统和电磁系统等的性质。
例如，在力学中，我们可以使用不等式来描述物体的运动范围和速度限制。
在热力学中，不等式可以用来描述系统的热平衡条件。
在电磁学中，不等式可以用来描述电荷和电流之间的关系。
不等式的应用
不等式的应用不等式在数学中有着广泛的应用，可以用于解决各种实际问题。
不等式是一种比较大小关系的数学表达式，通过不等号（如大于号或小于号）来表示两个数之间的大小关系。
本文将以几个不等式应用的实例来说明其在实际问题中的作用。
一、成本与收益不等式在商业领域中，成本和收益是一个重要的考虑因素。
当我们考虑某个项目或产品时，需要确定其成本和预计收益，并通过不等式来评估其可行性。
假设我们有一个生产某种产品的计划，成本为C，每个单位的收益为R，销售数量为x。
那么我们可以建立不等式C ≤ R * x，来限制生产的成本不能超过预期的收益。
二、速度与时间不等式在物理学中，速度和时间是一个常见的关系。
例如，当我们考虑一个物体的运动时，可以利用速度和时间之间的不等式来解决相关问题。
假设一个物体的速度为v，运动的时间为t，那么我们可以建立不等式v * t ≤ d，其中d为物体的位移。
这个不等式告诉我们，物体在一段时间内的位移不会超过速度与时间的乘积。
三、资源分配不等式在资源管理中，资源的有限性是一个重要的考虑因素。
假设我们有一定数量的资源，需要分配给不同的工作或项目，我们可以利用不等式来确定资源的合理分配。
设资源数量为N，需要分配给n个项目，每个项目所需的资源分别为r1、r2、...、rn。
我们可以建立不等式r1 +r2 + ... + rn ≤ N，来限制资源分配不超过总数量。
四、难度与能力不等式在教育领域中，考试和评估是一种常见的方式来衡量学生的能力。
考试的题目难度通常是不同的，我们可以利用不等式来判断学生是否具备解答某道题目的能力。
假设题目的难度为D，学生的能力为S，那么我们可以建立不等式S ≥ D，来要求学生的能力能够超过题目的难度。
总结：以上仅是不等式应用的一些实例，实际上不等式在各个领域都有着广泛的应用，包括经济学、工程学等等。
通过合理运用不等式，我们可以解决各种实际问题，做出正确的决策和评估。
因此，掌握和理解不等式的应用是数学学习的重要一环，也是我们在日常生活中需要具备的数学思维能力之一。
不等式的性质和应用
不等式的性质和应用不等式作为数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理等领域，它不仅有着严密的证明方法，而且还具有许多重要的性质和应用。
在本文中，我将就不等式的性质和应用进行一些讨论和探究。
一、不等式的性质1.传递性：不等式是具有传递性的。
也就是说，如果a<b，b<c，那么就可以得到a<c。
例如：2<3，3<4，因此2<4。
2.加减性：不等式也有加减性质。
也就是说，如果a<b，则a+c<b+c；如果a>b，则a-c>b-c。
例如：2<4，那么2+1<4+1，即3<5。
3.乘性：不等式也有乘性质。
如果a<b且c>0，则ac<bc；如果a<b且c<0，则ac>bc。
例如：2<4，2×3<4×3，即6<12。
二、不等式的应用1.解不等式：在数学中，我们常常需要解决不等式问题，例如x+5>3。
这时我们可以先把等式左右移位，得到x>-2。
也就是说，x的取值范围是大于-2的所有实数。
2.证明不等式：在数学证明中，我们也经常需要利用不等式的性质证明某些结论。
例如，在证明柯西不等式时，我们可以利用平方和的不等式，证明其正确性。
3.优化问题：不等式还可以用于解决一些优化问题。
例如，在求一个函数的最大值或最小值时，我们可以从不等式的角度出发，利用其性质进行推导和求解。
总之，不等式在数学中起着非常重要的作用，不仅有着严密的证明方法，而且还具有许多重要的性质和应用。
因此，我们在学习数学的过程中，一定要加强对不等式的学习和理解，掌握其性质和应用。
不等式的性质及应用
反证法
定义：反证法是一种通过假设相反的结论成立，然后推导出 矛盾的结论，从而证明原结论正确的方法。
步骤
1. 假设相反的结论成立。
2. 推导出矛盾的结论。
3. 得出原结论正确的结论。
例子：例如，要证明一个数不能被3整除，可以先假设它可 以被3整除，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原结论 正确。
放缩法
不等式的性质及应用
2023-11-09
contents
目录
• 不等式的基本性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
不等式的传递性是指如果a>b且c>d，那么ac>bd。
详细描述
不等式的传递性是基于实数的有序性质，即如果a>b且c>d ，那么ac>bd。但需要注意的是，不等式的传递性不适用于 所有的数学对象，例如在复数域上就不一定成立。
详细描述
不等式的乘法单调性是指当两个数a和b满足a>b且c>0时，那么a与c的乘积大于 b与c的乘积。这个性质在解决一些实际问题时非常有用，例如在经济学中的收益 问题。
正值不等式与严格不等式
总结词
正值不等式是指a>b时，称a>b；严格不等式是指a>b且a≠b时，称a>b。
详细描述
正值不等式是指当a大于b时，我们称a大于b；严格不等式是指当a大于b且a不等于b时，我们称a大于b。在数学 中，我们通常使用严格不等式来描述两个数之间的关系，以保证它们之间没有相等的情况。
利用不等式解决其他问题竞赛题
总结词
不等式在数学竞赛中还可以用来解决其他问题，如最 优化问题、数列问题、解析几何问题等。
不等式的性质和应用
不等式的性质和应用不等式是数学中比较大小关系的一种表示形式，它在实际生活中和各个学科中有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨不等式的性质以及它们在不同领域的应用。
一、不等式的性质1. 传递性不等式具有传递性，即如果a>b，b>c，则可以得出a>c。
这一性质在比较大小时起到了重要的作用。
2. 相加性对于任意的实数a、b、c，如果a>b，则a+c>b+c；如果a>b且c>0，则ac>bc。
这些相加性质可以方便地对不等式进行加减运算。
3. 相乘性对于任意的实数a、b、c，如果a>b且c>0，则ac>bc；如果a>b且c<0，则ac<bc。
这些相乘性质在不等式的乘除运算中起到了重要的作用。
4. 反向不等式两边同时取反，不等号的方向也会改变。
例如，如果a>b，则-b>-a。
这一性质在求解不等式时需要注意。
二、不等式的应用1. 经济学中的应用不等式在经济学中有着广泛的应用。
例如，用来描述消费者的预算约束条件、生产者的约束条件以及市场的供求关系等。
通过建立相应的不等式模型，可以对经济现象进行分析和预测。
2. 物理学中的应用不等式在物理学中也有着重要的应用。
例如，牛顿定律中的不等式关系、能量守恒定律中的不等式条件等，都可以通过不等式的运算和推导来得到。
3. 几何学中的应用在几何学中，不等式被广泛应用于证明和问题的求解中。
例如，通过不等式可以证明三角形的一些性质，如三角不等式；也可以用不等式求解最优化问题，如构造一个具有最大面积的矩形等。
4. 概率与统计学中的应用在概率与统计学中，不等式被用来描述和推导随机事件的概率关系。
例如，通过马尔可夫不等式可以得到随机变量的上界；通过切比雪夫不等式可以估计随机变量偏离其均值的程度等。
5. 计算机科学中的应用在计算机科学中，不等式在算法设计和复杂性分析中起到重要的作用。
例如，在排序算法中，通过不等式可以证明算法的正确性和效率；在算法复杂性的分析中，通过不等式可以得到问题的下界和上界等。
不等式在生活中的应用
不等式在生活中的应用不等式作为数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域，其中最为常见的便是在生活中的应用。
在我们的日常生活中，不等式无处不在，它们不仅能够帮助我们更好地理解问题，还可以帮助我们更好地解决问题，提高我们的生活质量。
本文将以“不等式在生活中的应用”为题，讲述不等式在我们日常生活中的应用。
一、不等式在经济中的应用在经济学中，不等式是一个非常重要的概念。
在经济学中，我们需要考虑许多不同的因素，如供需关系、市场价格等。
不等式可以帮助我们更好地理解这些因素，并帮助我们更好地做出决策。
例如，在股票市场中，我们需要考虑多种因素，如公司的盈利能力、市场的供需关系等。
不等式可以帮助我们更好地理解这些因素，并帮助我们更好地做出投资决策。
例如，如果我们认为某个公司未来的盈利能力会增长，我们可以使用不等式来计算出这个公司的股票价格可能会上涨的可能性。
这样，我们就可以更好地做出投资决策，从而获得更高的收益。
二、不等式在科学中的应用在科学中，不等式也是一个非常重要的概念。
在科学中，我们需要考虑许多不同的因素，如物理、化学等。
不等式可以帮助我们更好地理解这些因素，并帮助我们更好地解决问题。
例如，在物理学中，我们需要考虑许多不同的因素，如力、速度等。
不等式可以帮助我们更好地理解这些因素，并帮助我们更好地解决问题。
例如，如果我们需要计算一个物体从高处落下所需的时间，我们可以使用不等式来计算出这个时间的可能范围。
这样，我们就可以更好地预测物体的落下时间，从而更好地进行实验或研究。
三、不等式在生活中的应用在我们的日常生活中，不等式无处不在。
不等式可以帮助我们更好地理解生活中的问题，并帮助我们更好地解决这些问题，提高我们的生活质量。
例如，在我们的日常生活中，我们需要考虑许多不同的因素，如时间、金钱等。
不等式可以帮助我们更好地理解这些因素，并帮助我们更好地解决问题。
例如，如果我们需要在有限的时间内完成一项任务，我们可以使用不等式来计算出我们需要每天完成多少工作，从而更好地规划我们的时间，更好地完成任务。
不等式的应用与问题解决
不等式的应用与问题解决不等式是数学中常见的基本概念之一，它描述了数值之间的大小关系。
在现实世界中，不等式有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种问题。
本文将探讨不等式的应用以及如何使用它们来解决问题。
一、不等式在经济领域的应用1.利润问题：假设一个企业每月的固定成本为C元，每个产品的生产成本为V元，售价为P元，销售量为x个。
利润表示为P * x - (C + V * x)。
我们可以建立不等式P * x - (C + V * x) ≥ 0来表示企业的盈利状况。
通过解这个不等式，我们可以确定销售量的范围，从而帮助企业决策。
2.投资问题：假设一个人在银行存款利息为r的情况下，存入本金P元。
经过t 年，该人希望得到的总额超过初始本金的两倍，即P * (1 + r)^t ≥ 2P。
通过解这个不等式，我们可以确定存款的年限范围，帮助人们做出正确的投资决策。
二、不等式在科学领域的应用1.温度问题：热力学中的不等式可以帮助我们理解温度的传导过程。
例如，根据热导率公式，传热速率Q与温度差ΔT成正比，与物体的面积A和距离l成反比。
我们可以建立不等式Q/A ≤ k * ΔT/l来描述热传导过程，其中k为热导率。
通过解这个不等式，我们可以确定热传导的最大速率。
2.物质平衡问题：在化学反应中，物质的质量守恒是一项重要原则。
我们可以使用不等式来描述物质的转化过程。
例如，对于AB → CD的反应，我们可以建立不等式m(A) + m(B) ≥ m(C) + m(D)，其中m表示物质的质量。
通过解这个不等式，我们可以验证反应是否符合质量守恒的原则。
三、不等式在社会生活中的应用1.健康问题：健康是每个人都关注的重要问题。
体重是我们关注的一个指标，那么我们可以使用不等式来判断是否超重。
假设一个人的体重为W，身高为H，BMI指数定义为W/H^2。
根据世界卫生组织的标准，BMI超过25表示超重，我们可以建立不等式W/H^2 ≥ 25来判断一个人的体重状态。
不等式在生活中的应用
不等式在生活中的应用不等式是数学中的一个重要概念，它是描述两个数之间大小关系的一种表示方法。
在生活中，不等式也有着广泛的应用。
本文将从不等式的基本概念、不等式在生活中的应用以及如何解决实际问题等方面进行探讨。
一、不等式的基本概念不等式是指两个数之间的大小关系，用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”等表示。
其中，“<”表示小于，例如“a < b”表示a比b小；“>”表示大于，例如“a > b”表示a比b大；“≤”表示小于等于，例如“a ≤ b”表示a不大于b；“≥”表示大于等于，例如“a ≥ b”表示a不小于b。
在不等式中，常常涉及到一些变量。
变量是指可以取不同值的数，例如“x”可以取任何实数。
因此，在不等式中，可以使用变量表示未知数，例如“x < 5”表示x小于5。
二、不等式在生活中的应用1. 经济学中的应用不等式在经济学中有着广泛的应用。
例如，在制定物价政策时，政府需要考虑到生产成本、消费者需求和市场竞争等因素，从而确定商品的价格。
这些因素之间的关系可以用不等式来表示和分析。
另外，在投资和理财中，人们也需要考虑到不同的利率、收益率和风险等因素，从而确定投资的方向和策略。
这些因素之间的关系同样可以用不等式来表示和分析。
2. 物理学中的应用不等式在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在运动学中，人们需要考虑到速度、加速度和时间等因素，从而确定物体的运动状态。
这些因素之间的关系可以用不等式来表示和分析。
另外，在力学中，人们需要考虑到物体的质量、重力和弹性等因素，从而确定物体的运动状态和受力情况。
这些因素之间的关系同样可以用不等式来表示和分析。
3. 生活中的应用不等式在生活中也有着广泛的应用。
例如，在购物时，人们需要考虑到商品的价格和自己的购买力等因素，从而确定购买的数量和品种。
这些因素之间的关系可以用不等式来表示和分析。
另外，在健康管理中，人们需要考虑到身体的体重、身高和健康指数等因素，从而确定自己的身体状况和健康状态。
不等式的解法及其实际问题应用
不等式的解法及其实际问题应用数学是一门重要的学科，也是中学阶段学生们需要认真学习的一门科目。
在数学中，不等式是一个重要的概念，它不仅在数学理论中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着重要的作用。
本文将介绍不等式的解法以及其在实际问题中的应用。
一、不等式的解法不等式是数学中的一个重要概念，它描述了数值之间的大小关系。
解不等式的方法主要有以下几种：1. 图形法：对于简单的不等式，我们可以通过绘制数轴和图形来解决。
例如，对于不等式x + 2 > 5，我们可以在数轴上标出点5，并将其标记为开放圆点，然后将数轴分为两个区域，分别代表x + 2小于5和x + 2大于5的情况。
最后，我们可以确定x的取值范围。
2. 代入法：对于一些复杂的不等式，我们可以通过代入一些特定的值来解决。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以尝试将x取值为1、2、3等，然后判断不等式是否成立。
通过多次尝试，我们可以确定x的取值范围。
3. 分析法：对于一些特殊的不等式，我们可以通过分析不等式的性质来解决。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其转化为(x - 1)(x - 3) > 0的形式，并分析二次函数的图像，最后确定x的取值范围。
二、不等式在实际问题中的应用不等式在实际问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决许多实际生活中的大小关系问题。
以下是一些例子：1. 金融领域：在金融领域中，不等式可以帮助我们解决利率、投资收益等问题。
例如，如果一个银行的年利率为5%，我们可以通过不等式来计算在一定时间内的投资收益是否超过了一定的阈值。
2. 生活消费：在日常生活中，我们经常会面临各种消费问题，例如购物、旅行等。
不等式可以帮助我们解决这些问题。
例如，如果我们想要购买一件衣服，但是预算有限，我们可以通过不等式来确定我们能够购买的价格范围。
3. 生活健康：不等式也可以在生活健康方面发挥作用。
例如，我们知道每天的饮食摄入应该控制在一定的范围内，不等式可以帮助我们判断我们的摄入是否合理。
不等式在实际问题中的应用
不等式在实际问题中的应用不等式是数学中的重要概念，它在解决实际问题中起着重要的作用。
不等式的应用范围广泛，涉及到经济、生活、科学等各个领域。
本文将从几个实际问题出发，探讨不等式在解决这些问题中的应用。
一、经济领域中的不等式应用在经济领域中，不等式常常被用来描述资源的分配情况和经济收入的差距。
以收入分配为例，我们可以通过不等式来描述不同社会群体之间的收入差距。
假设有两个家庭A和B，家庭A的年收入为X元，家庭B的年收入为Y元，且X<Y。
我们可以用不等式X<Y来表示家庭B的收入高于家庭A。
这样的不等式可以帮助我们分析收入差距的大小，为政府制定相关政策提供参考。
二、生活中的不等式应用在日常生活中，不等式也有着广泛的应用。
以购物打折为例，商场经常会推出各种促销活动，如打折、满减等。
假设某商场推出了一种打折活动，商品原价为P 元，现在打折后的价格为Q元，且Q<P。
我们可以用不等式Q<P来表示商品打折后的价格低于原价。
通过不等式，我们可以判断打折力度的大小，从而决定是否购买。
三、科学领域中的不等式应用在科学研究中，不等式也有着重要的应用。
以生态学为例，生态系统中的物种数量和资源之间存在着一定的关系。
假设某个生态系统中的物种数量为N，资源的供给量为R，且N<R。
我们可以用不等式N<R来表示资源供给量不足以支撑物种的数量。
通过不等式，我们可以分析生态系统的平衡状态，为保护生物多样性提供科学依据。
四、教育领域中的不等式应用在教育领域中，不等式也被广泛应用于学生的成绩评价和升学选拔。
以高考为例，学生的分数通常通过不等式来进行排名和选拔。
假设某个学校有N个学生，他们的总分从高到低依次为S1、S2、...、SN，且S1>S2>...>SN。
我们可以用不等式S1>S2>...>SN来表示学生之间的成绩差距。
通过不等式，学校可以根据学生的成绩进行排名，为升学选拔提供依据。
初中数学素材 不等式的性质应用举例
不等式的性质应用举例不等式有两条重要的性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，（2）不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
这两条性质在不等式的变形等方面有着极其重要的应用。
1．确定不等式的解集。
【例1】（1）在实数X 围内定义一种运算“※”，其规则为a ※b =b a 5-，试确定不等式x ※1＜2的解集。
（2）不等式83)38(-≥-x 的解集是什么？析解：（1）根据规则，原不等式就是：5-x ＜2，由不等式的性质1，得原不等式的解集为x ＜7。
（2）原不等式就是)38()38(--≥-x ，∵38-＜0，∴由不等式的性质2，得原不等式的解集是1-≤x 。
2．确定不等式中字母的取值（X 围）【例2】（1）若关于x 的不等式x m )12(-＜86-m 的解集为x ＜2，求m 的取值。
（2）若关于y 的不等式153)5(-≥-m y m 的解集为y 3≤，求m 的取值X 围。
析解：（1）由条件及不等式的性质2知：12-m ＞0且21286=--m m ，解得3=m （2）由条件及不等式的性质2知：5-m ＜0，∴m 的取值X 围为m ＜53．比较数的大小。
【例3】若0＜x ＜1，则201120102009,,x x x的大小关系为 （ ） A ．2009x＜2010x ＜2011x B ．2009x ＜2011x ＜2010x C ．2011x ＜2010x ＜2009x D ．2010x ＜2011x ＜2009x析解：∵0＜x ＜1， ∴2009x＞0 ， 由不等式的性质2， 得x x ⋅2009＜20091x ⋅， 即2010x ＜2009x ， ①， 同样，由不等式的性质2，得2010x x ⋅ ＜2009x x ⋅，即2011x ＜2010x ， ②综合①、②，得2011x＜2010x ＜2009x ，所以选C ．4．化简。
不等式性质的应用
集成电路设计
在集成电路设计中，利用不等式优化电路的性能参数，减小功耗 和提高电路的可靠性。
06
不等式在数学建模中的应用
线性规划
01
线性规划是应用不等式性质解决 实际问题的典型例子，通过建立 线性不等式约束和目标函数，可 以求解最优解。
不等式性质的应用
contents
目录
• 不等式的性质 • 不等式在数学中的应用 • 不等式在实际生活中的应用 • 不等式在科学实验中的应用 • 不等式在工程领域的应用 • 不等式在数学建模中的应用
01
不等式的性质
定义与性质
定义
不等式是数学中表示两个数或表达 式大小关系的式子，用“<”， “>”，“≤”或“≥”连接。
等。
多目标规划
多目标规划是不等式性质在解决多目标决策问题中的应用，它涉及到多个相互冲突 的目标和约束条件。
多目标规划问题通常需要权衡不同目标之间的利益关系，找到一个平衡点或一组满 意解。
多目标规划在环境保护、城市规划、交通管理等领域有广泛应用，例如环境影响评 价、土地利用规划、交通流量分配等。
THANK YOU
药物浓度与疗效关系
在药物研究中，药物的疗效与其浓度之间存在一定的关系，通过实 验可以验证这种关系，从而确定最佳的药物浓度。
生物种群数量变化
在生态学研究中，生物种群的数量变化与环境因素之间存在不等式 关系，通过实验可以验证这些关系。
物理实验
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热力学实验
在热力学实验中，通过测量物质的热容、熵等物 理量，可以建立不等式关系，从而确定物质的热 力学性质。
电磁学实验
不等式的应用
不等式的应用不等式是数学中非常常见的一种关系表达式。
与等式不同的是，不等式中的两个数或两个算式之间不一定相等，而是通过比较大小来表示它们之间的关系。
不等式的应用十分广泛，涵盖了各个数学领域和实际生活中的许多问题。
本文将探讨不等式在数学和实际应用中的具体用途和相关概念。
一、不等式在数学中的应用1. 不等式的解集表示在数学中，我们通常使用符号 <、>、≤、≥ 来表示不等式的关系。
针对具体问题，我们需要找到不等式的解集表示，即满足该不等式关系的数的集合。
例如，对于不等式 2x + 3 > x + 5，我们可以通过移项、合并同类项等方法得到 x > 2，表示这个不等式的解集为所有大于2的实数。
2. 不等式的基本性质不等式具有许多重要的基本性质，利用这些性质可以帮助我们解决各种不等式问题。
其中一些常见的性质包括：(1) 基本性质1：若 a > b, 则有 a + c > b + c (c 为任意实数) 的性质(2) 基本性质2：若 a > b, c > 0, 则有 ac > bc 的性质(3) 基本性质3：若 a > b, c < 0, 则有 ac < bc 的性质利用这些基本性质，我们能够对复杂的不等式进行简化和推导，从而更好地理解和解决问题。
3. 不等式的解法解不等式是数学中的基本技能之一。
对于简单的不等式，我们可以通过移项、合并同类项、化简等方法求解。
例如，对于不等式 2x + 3 > x + 5，我们可以将相同项合并得到 x > 2，得到该不等式的解集。
对于一些复杂的不等式，我们可能需要使用图像法、数轴法或者区间法等方法来解决。
二、不等式在实际问题中的应用1. 不等式的经济学应用不等式在经济学中有广泛的应用。
例如，需求与供给关系中的价格不等式问题，通过建立供求方程和价格不等式，可以得到市场均衡点的范围，为市场调控和决策提供依据。
不等式在生活中的应用
不等式在生活中的应用在我们的生活中，不等式是一种非常重要的数学概念。
不等式是一种包含不等关系的数学表达式，它可以用来表示两个数之间的大小关系。
不等式在我们的日常生活中有很多应用，比如在购物、投资、运动等方面。
在购物方面，不等式可以用来帮助我们节约开支。
我们都知道，现在的生活成本越来越高，购买商品的价格也越来越贵。
因此，我们需要学会如何使用不等式来帮助我们购物。
比如，我们在购买商品时，可以使用不等式来比较不同商品的价格，从而选择价格更低的商品。
此外，不等式还可以用来计算折扣，帮助我们在购物时更加省钱。
比如，我们可以使用不等式来计算打折商品的最终价格，以便我们知道打折是否划算。
在投资方面，不等式可以用来帮助我们做出明智的投资决策。
投资是一种风险和回报并存的活动，我们需要用不等式来判断投资是否划算。
比如，我们可以使用不等式来比较不同投资的收益率，从而选择收益更高的投资。
此外，不等式还可以用来计算投资的风险，帮助我们评估投资的风险和回报。
比如，我们可以使用不等式来计算某个投资的风险系数，以便我们知道该投资的风险大小。
在运动方面，不等式可以用来帮助我们保持健康。
运动是一种锻炼身体的活动，我们需要使用不等式来计算运动的强度和效果。
比如，我们可以使用不等式来计算心率和运动强度之间的关系，以便我们知道何时应该加强运动强度或减少运动强度。
此外，不等式还可以用来计算运动的效果，帮助我们评估运动的效果是否达到预期。
比如，我们可以使用不等式来计算运动前后的体重差异，以便我们知道运动是否有助于减肥或增重。
总之，不等式在我们的日常生活中有很多应用，可以帮助我们节约开支、做出明智的投资决策和保持健康。
因此，我们需要学会如何使用不等式，以便更好地应用于我们的生活中。
2024-2025学年高一上数学课时作业13：基本不等式的实际应用
2024-2025学年高一上数学课时作业13基本不等式的实际应用基础强化1.在欧几里得之后，获得与均值不等式等价结果的数学家是芝诺多鲁斯，他写了一本名为《论等周图形》的书，专门研究等周问题，在书中他给了这样一个命题：“在边数相同、周长相等的所有多边形中，等边且等角的多边形的面积最大．”由此可知，若一个矩形的长为a，宽为b，则与这个矩形周长相等的所有四边形中，面积最大值为()A 2B．a2C D．ab2．某商场春节前t天年糕销售总量f(t)＝t2＋12t＋16(0<t≤30)，则该商场前t天的年糕平均销售量最少为()A．18B．27C．20D．163．某公司计划建造一间体积为600m3的长方体实验室，该实验室高为3m，地面每平方米的造价为120元，天花板每平方米的造价为240元，四面墙壁每平方米的造价为160元，则该实验室造价的最小值约为(参考数据：2≈1.414)()A.9.91万元B．9.95万元C．10.1万元D．10.5万元4.校庆当天，学校需要用围栏围起一个面积为225平方米的矩形(小矩形)场地用来展示校友的书画作品．它的左、右两侧都留有宽为2米的自由活动区域，顶部和底部都留有宽为2米的自由活动区域，则整个书画展区域(大矩形)面积的最小值是()A．360平方米B．384平方米C．361平方米D．400平方米5．(多选)某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x吨，运费为8万元/次．已知一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则下列说法正确的是()A．当x＝40时，y取得最小值B．当x＝45时，y取得最小值C．y min＝320D．y min＝3606．(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a>0，b>0，a＋b＝2，则()A．0<a≤1B．0<ab≤1C．a2＋b2≥2D．0<b<27．已知某产品总成本C(单位：元)与年产量Q(单位：件)之间的关系为C＝40Q2＋16000.设年产量为Q时的平均成本为f(Q)(单位：元/件)，那么f(Q)的最小值是________．8．已知直角三角形的面积等于50cm2，则该三角形的周长的最小值为________cm.9.如图，欲在山林一侧建一矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道与苗圃之间由栅栏隔开．(1)若苗圃面积为1250m2，求栅栏总长的最小值；(2)若栅栏总长为200m，如何设计可使苗圃面积最大？10.如图，长为6米，宽为4米的长方形(ABCD)草坪，截去一个三角形(DEF)区域，得到一个五边形(ABCFE)区域．设DE＝a米，DF＝b米．(1)用a，b表示△DEF的周长L，并写出a，b的取值范围；(2)当△DEF的周长L＝4＋22米时，求五边形ABCFE的面积S的最小值，并求此时a，b的值．能力提升11.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a，b，设物体的真实质量为G，则()A．a＋b2＝G B．a＋b2<GC．a＋b2>G D．ab<G12．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后水池中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t (单位：h)的变化关系为C ＝30tt 2＋9，则当水池中药品的浓度达到最大时，t ＝()A.1h B ．3h C ．5h D ．6h13．白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元/斤(a ≠b )，甲和乙购买白菜的方式不同，甲每周购买20元钱的白菜，乙每周购买6斤白菜，甲、乙两次平均单价分别记为m 1，m 2，则下列结论正确的是()A ．m 1＝m 2B ．m 1>m 2C ．m 2>m 1D ．m 1，m 2的大小无法确定14．(多选)《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步恰能见到此树(注：1里≈300步)，则该小城的周长可能为()A ．410里B ．610里C ．910里D ．1010里15.一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400km ，为了安全，两列货车间距离不得小于(v 20)2km ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要________小时，(不计货车的车身长)，此时货车的速度是________km/h.16.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD ，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH ＝2EF )，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36000cm 2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm ，设EF ＝x cm.(1)当x ＝100cm 时，求海报纸的面积；(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD 的面积最小)?答案解析1．解析：由题知矩形周长为定值2(a ＋b )，所以面积S ＝a ·b 2，当且仅当a ＝b 时取“＝”．故选A.答案：A2．解析：因为某商场春节前t 天年糕销售总量f (t )＝t 2＋12t ＋16(0<t ≤30)，所以该商场前t 天的年糕平均销售量为f （t ）t ＝t ＋16t ＋12≥2t ·16t＋12＝20，当且仅当t＝16t，即t ＝4时取等号，所以该商场前t 天的年糕平均销售量最少为20.故选C.答案：C3．解析：由题意得，地面面积和天花板面积均为200m 2，设实验室造价为y 元，地面的长为x m ，则宽为200x m ，墙壁面积为(6x ＋1200x)m 2，所以y ＝(120＋240)×200＋160×(6x ＋1200x )≥72000＋3206x ·1200x ＝72000＋192002≈9.91(万元)，当且仅当6x ＝1200x，即x ＝102时，等号成立．故选A.答案：A4．解析：设小矩形的长为x 米，宽为y 米，整个书画展区域的面积为S 平方米．由xy ＝225，得S ＝(x ＋4)(y ＋4)＝xy ＋4y ＋4x ＋16＝241＋4x ＋4y ≥241＋24x ×4y ＝241＋2×60＝361，当且仅当4x ＝4y ，即x ＝15，y ＝15时，等号成立．故整个书画展区域面积的最小值是361平方米．故选C.答案：C5．解析：一年购买某种货物800吨，每次购买x 吨，则需要购买800x次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，所以一年的总运费与总存储费用之和y ＝800x×8＋4x 万元．因为y ＝800x ×8＋4x ≥26400x ×4x ＝320，当且仅当6400x＝4x ，即x ＝40时，等号成立，所以当x ＝40时，y 取得最小值，y min ＝320.故选AC.答案：AC6．解析：∵a >0，b >0，b ＝2－a >0－a >0，解得0<a <2，同理0<b <2，则A 不正确，D 正确；∵ab 22＝1，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴0<ab ≤1，则B 正确；∵a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝222＝2，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴a 2＋b 2≥2，则C 正确．故选BCD.答案：BCD7．解析：因为某产品总成本C (单位：元)与年产量Q (单位：件)之间的关系为C ＝40Q 2＋16000.所以年产量为Q 时的平均成本为f (Q )＝C Q ＝40Q ＋16000Q ≥240Q ·16000Q＝1600，当且仅当40Q ＝16000Q，即Q ＝20时，f (Q )取得最小值，最小值为1600.答案：16008．解析：由直角三角形的面积等于50cm 2可设两条直角边长分别为x cm 、100xcm ，则该直角三角形的周长为x ＋100x ＋x 2＋10000x2≥2x ·100x ＋2x 2·10000x 2＝102＋20(cm)，＝100x 2＝10000x 2>0时，即当x ＝10时，等号成立．故该三角形的周长的最小值为20＋102cm.答案：20＋1029．解析：(1)设苗圃的长，宽分别为a ，b ，则ab ＝1250，所以2a ＋b ≥22ab ＝100，当且仅当2a ＝b ，即a ＝25，b ＝50时取等号，故栅栏总长的最小值为100米．(2)由题可得2a ＋b ＝200，所以ab ＝12×2ab ≤122＝5000，当且仅当2a ＝b ，即a ＝50，b ＝100时取等号，故当长为50米宽为100米时苗圃面积最大，最大值为5000平方米．10．解析：(1)由题意得L ＝a ＋b ＋a 2＋b 2，0<a <6，0<b <4.(2)a ＋b ＋a 2＋b 2＝4＋22，由基本不等式得a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故4＋22≥(2＋2)ab ，得ab ≤4，S ＝24－12ab ，故S 的最小值为22，此时a ＝b ＝2.11．解析：设天平的左右臂分别为l 1，l 2，物体放在左右托盘称得的重量分别为a ，b ，真实重量为G ，所以，由杠杆平衡原理知：l 1·G ＝l 2·a ，l 2·G ＝l 1·b ，所以，由上式得G 2＝ab ，即G ＝ab ，因为l 1≠l 2，a ≠b ，所以，由均值不等式a ＋b2>ab ＝G ，故选C.答案：C12．解析：由题意可知，t >0，所以9t >0，所以C ＝30tt 2＋9＝30t ＋9t ≤302t ·9t＝5，当且仅当t ＝9t ，即t ＝3时取等号．所以当t ＝3时，水池中药品的浓度达到最大．故选B.答案：B13．解析：根据题意可得m 1＝20＋2020a ＋20b＝2aba ＋b ≤2ab 2ab ＝ab .当且仅当a ＝b 时等号成立；m 2＝6a ＋6b 12＝a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，由题意可得a ≠b ，所以m 1<ab ，m 2>ab ，则m 2>m 1.故选C.答案：C14．解析：设GF ＝x 步，EF ＝y 步，由△BEF ∽△FGA 得BE GF ＝EFGA，所以1200x ＝y 750，y ＝900000x，所以小城周长为z ＝2(2x ＋2y )＝4(x ＋900000x )≥4×2x ·900000x＝240010(步)＝810(里)，当且仅当x ＝900000x，即x ＝30010时取等号．故选CD.答案：CD15．解析：设这批物资全部运到B 市用的时间为y 小时，因为不计货车的身长，所以设货车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×(v 20)2千米时，时间最快．则y ＝（v 20）2×16＋400v＝v 25＋400v ≥2v 25×400v ＝8，当且仅当v 25＝400v即v ＝100千米/小时时，时间y min ＝8小时．答案：810016．解析：(1)设阴影部分直角三角形的高为y cm ，所以阴影部分的面积：S ＝6×12xy＝3xy ＝36000，所以xy ＝12000，即：x ＝100cm ，y ＝120cm ，由图象知：AD ＝y ＋20＝140cm ，AB ＝3x ＋50＝350cm ，∴S ABCD ＝140×350＝49000(cm 2).(2)由(1)知：xy ＝12000，x >0，y >0，S ABCD ＝(3x ＋50)(y ＋20)＝3xy ＋60x ＋50y ＋1000≥3xy ＋260x ·50y ＋1000＝49000，当且仅当6x ＝5y ，即x ＝100cm ，y ＝120cm ，即AB ＝350cm ，AD ＝140cm 时等号成立．综上，选择长宽分别为350cm ，140cm 的海报纸．。
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一、安排问题：
1、有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,若要使总收入不低于15.6万元,则应该如何安排人员？
2、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元.要使得每月所付的工资最多110000元则至少要招甲种工人多少人？
3、某城市平均每天处理垃圾700吨，有甲和乙两个处理厂处理，已知甲每小时可处理垃圾55吨，需要费用550元，乙厂每小时可处理垃圾45吨，需要费用495元。
如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少要多少吨？
4、为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人？共有多少个交通路口安排值勤？
二、增减问题：
1、一根长20cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体。
在弹簧伸长后的长度不超过30cm的限度内，每挂1㎏质量的物体，弹簧伸长0.5cm.求弹簧所挂物体的最大质量是多少？
2、几个同学合影，每人交0.70元，一张底片0.68元，扩印一张相片0.5元，每人分一张，将收来的钱尽量用完，这张照片上的同学至少有多少个？
3、某人点燃一根长度为25㎝的蜡烛，已知蜡烛每小时缩短5㎝，几个小时以后，蜡烛的长度不足10㎝？
三、出租车问题：
1、出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程超过多少km?
2、某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需要7元车费），超过3km，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计）。
某人乘这种出租车从A地到B地共支付车费19元。
设此人从A地到B地经过的路程最多是多少km？
四、利润问题：
1、商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。
(1)试求该商品的进价和第一次的售价；
(2)为了确保这批商品总的利润不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？
2、某电影院暑假向学生优惠开放，每张票2元。
另外，每场次还可以售出每张5元的普通票300张，如果要保持每场次票房收入不低于2000元，那么平均每场次至少应出售学生优惠票多少张？
3、水果店进了某中水果1t，进价是7元/kg。
售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。
如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？
4、“中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克1.5元，销售中有6%的苹果损耗，商家把售价至少定为每kg多少元，才能避免亏本？
五、行程问题：
1、抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？
2、爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？
3、王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。
已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？
4、抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？
六、分配问题：
1、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具最多3件，问小朋友的人数至少有多少人？。
2、解放军某连队在一次执行任务时，准备将战士编成8个组，如果每组人数比预定人数多1名，那么战士人数将超过100人，则预定每组分配战士的人数要超过多少人？
3、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具最多3件，问小朋友的人数至少有多少人？。
4、解放军某连队在一次执行任务时，准备将战士编成8个组，如果每组人数比预定人数多1名，那么战士人数将超过100人，则预定每组分配战士的人数要超过多少人？
5、把若干颗花生分给若干只猴子。
如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。
问猴子有多少只，花生有多少颗？
6、把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。
问这些书有多少本？学生有多少人？
7、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间 8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
8、将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。
问有笼多少个？有鸡多少只？
9、用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车？
10、一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。
（1）如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：
（2）可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？
七、得分问题：
1、某次数学测验共20道题（满分100分）。
评分办法是：答对1道给5分，答错1道扣2分，不答不给分。
某学生有1道未答。
那么他至少答对几道题才能及格？
2、在一次竞赛中有25道题，每道题目答对得4分，不答或答错倒扣2分，如果要求在本次竞赛中的得分不底于60分，至少要答对多少道题目？
3、在比赛中，每名射手打10枪，每命中一次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？
4、某次数学测验共20道题（满分100分）。
评分办法是：答对1道给5分，答错1道扣2分，不答不给分。
某学生有1道未答。
那么他至少答对几道题才能及格？
5、在一次竞赛中有25道题，每道题目答对得4分，不答或答错倒扣2分，如果要求在本次竞赛中的得分不底于60分，至少要答对多少道题目？
6、一次知识竞赛共有15道题。
竞赛规则是：答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分。
结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题？
8、有红、白颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的两倍比红球多，若把每一个白球都记作数2，每一个红球都记作数3，则总数为60，求白球和红球各几个？
9、某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖,请解答下列问题:
（1）用含x的代数式表示m;
（2）求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.
1、某校校长暑假将带领该校“三好学生”去三峡旅游，甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠；乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6折优惠。
已知两家旅行社的全票价都是240元，至少要多少名学生选甲旅行社比较好？
2、李明有存款600元，王刚有存款2000元，从本月开始李明每月存款500元，王刚每月存款200元，试问到第几个月，李明的存款能超过王刚的存款。
3、暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折；乙旅行社的优惠条件是：家长，学生都按八折收费。
假设这两位家长至带领多少名学生去旅游，他们应该选择甲旅行社？
九、工程问题：
1、一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？
2、用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。
B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？
3、某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？
4、某车间有组装1200台洗衣机的任务，若最多用8天完成，每天至少要组装多少台？
5、某用煤单位有煤m吨，每天烧煤n吨，现已知烧煤三天后余煤102吨，烧煤8天后余煤72吨.(1)求该单位余煤量y吨与烧煤天数x之间的函数解析式；(2)当烧煤12天后，还余煤多少吨？(3)预计多少天后会把煤烧完？
十、浓度问题：
1、在1千克含有40克食盐的海水中，在加入食盐，使他成为浓度不底于20%的食盐水，问：至少加入多少食盐？
2、一种灭虫药粉30千克，含药率是15%，现在要用含药率比较高的同种药粉50千克和它混合，使混合的含药率大于20%，求所用药粉的含药率的范围。